佛山市南海区2013届普通高中高三质量检测文科数学试题参考答案
2013年广东高考文科数学精美word版逐题详解教案资料
学习-----好资料2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）逐题详解【详解提供】广东佛山市南海区南海中学钱耀周1参考公式:V?Sh Sh表示锥体的高.表示椎体的底面积,,其中椎体的体积公式3只有一项,分,在每小题给出的四个选项中5分,共50一、选择题:本大题共10小题,每小题.是符合题目要求的????22Rx?xRT?|x?2x?0,S?x|x?2x?0,x??ST( )则,1．设集合,????????2,0,2?2,00?0,2DCA .B．．．??????00,2M???2,0SN?T AA．故选；易得所以,,,【解析】??1xlg????fx( )??????????????,1,?1,????,1?1,11??1,??1的定义域是2．函数1?xDBCA .．．．01?x??1x?x??1 CC；依题意且故选．,解得,?【解析】01?x??开始??yix?R y?x,ix?yi4?i3?( )则,的模是3．若,n 输入5342DBA .C．．．3??xy?xi?3?4i?4,y?1s?i?1,D, ；依题意所以,【解析】i3x?yi?4?5 D．的模为所以故选,否ni??15?????cos?sin是 ( ) ,那么4．已知?输出s52?????s1is??1212??结束BDCA .．．．5555 1?i?i?51???????cossin CC；由诱导公式可得．,故选【解析】??25??第5题图sn3 ( )5．执行如图所示的程序框图的值为,则输出的,若输入的值是7412DCA .B．．．3i?2s?2,?s?1,i C；第二次循环后:；；第一次循环后:【解析】4i?s?4,4 C.,选；循环终止,第三次循环后:故输出 ( )则该三棱锥的体积是6．某三棱锥的三视图如图所示,1121BA .DC．．．633侧视图正视图12B,高为；由三视图可知该三棱锥的底面积为,【解析】2111??V??2 B.,所以故选俯视图题图6第332221?xy?1y?x?( )且与圆．垂直于直线7相切于第一象限的直线方程是更多精品文档．学习-----好资料0?0x?y?1x?y?1?0?x?y?2x?y?2?0DCA .B．．．2?y??x AA．,故选画出直线和圆,不难得到切线方程为；数形结合!【解析】??,l( )下列命题中正确的是,是两个不同的平面8．设,为直线??????////l//l????ll//BA .则,若,则,．若,???????l//l?//??//l?l DC,,,,．若．若则则BACDB．是典型错误命题,；选【解??1,0FCC ( ) 的方程是,在椭圆9．已知中心在原点的椭圆,的右焦点为离心率等于析】1222222222yxyyyxxx?1?1??1???1?DA .CB．．．433424341?e22222a?c?13?4b??aca?DD．从而；依题意,所以,,故选,,【解析】2: 有如下四个命题的分解,10．设是已知的平面向量且,关于向量0?aaa????cba??；, 给定向量总存在向量,使；②给定向量和,总存在实数,和使①ca?b?ccbb????ca??b③给定单位向量和正数使,总存在单位向量和实数；,cb????ca??b.④和使,总存在单位向量和单位向量给定正数,cb( ),则真命题的个数是上述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线abcb3421DBA .C．．．BBB比．:对于④,；考查平面向量基本定理,成立的有①②,故选说明【解析】??1??. 和如给定,就不一定存在单位向量和单位向量,使c?a?bcab??c如图,给定单位向量和正数,可知,的模确定,的方向确定对于③bb OAa?AB?c. 等式不能成立时,20分4小题，每小题5分，共二、填空题：本题共5小题，考生作答)13(一)必做题(11～题????aa?aaa?2?1 ,则是首项为________,公比为11．设数列．的等比数列423n115?4?8?1?2?aa?a??a8a???4,aa??2,15. ；依题意所以,【解析】4324213??x?a2a1,y xax?lny?______.则轴12．若曲线在点处的切线平行于,111???a?2axy A 0a?1?2. ；求导得,,依题意所以【解析】3 22x0???y3x?CB?1yx,yx?z?1?x??1?____.则满足约束条件已知变量的最大值是,13. 13?O x1??1y????y?x?z1,4A55.,,；画出可行域如图所示其中且最大值为取得最大值时的点为【解析】 ,只计前一题的得分）,考生只能从中选做一题,两题全答的题（二）选做题（14、15??x2cos?C极轴为以极点为坐标原点,已知曲线的极坐标方程为14.,)(坐标系与参数方程选讲选做题C_____________. 则曲线轴的正半轴建立直角坐标系,的参数方程为更多精品文档．好资料学习-----?cos?1?x???2??222,01?x?y2?x1?yx?1?C,圆心为的普通方程为,即,(曲线为参数)；?【解析】?siny???cos1?x???C1?r).(,所以曲线半径为参数的参数方程为??siny?BC?3?AB3?BCABCD,,中)如图,在矩形,15. (几何证明选讲选做题AC?BE?EDE_________.,垂足为则,E21ABCRt?32AC?,,由射影定理可得中；依题意,在【解析】A D2题图第1532??30?ABCADE??AEAC?AE?AB所以(也可以由 ,中,得到),在由余弦定理可得22132133222??ED?3????29???AEAE?2ADED??ADcos30所以. ,22442.,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤满分80分三、解答题:本大题共6小题, 12分）16．（本小题满分????cosxf(x)?2R x?.已知函数,??12?????33??????????2?,f?f?cos,若,求求的值； (Ⅱ． ) (Ⅰ) ??????2635??????????????1?f2coscos?2??Ⅰ【解析】(；)????41233?????433???????2,???cossin因为(Ⅱ,所以, ,) ??255??????134?????????????????cos??cos??f??2cossin???2.????????55561246????????分）．（本小题满分131750:的频数分布表如下:克)个,其质量(单位从一批苹果中,随机抽取??90,95Ⅰ) 根据频率分布表计算苹果的重量在的频率；(??????80,8595,10080,854的有,其中重量在和的苹果中共抽取(Ⅱ) 用分层抽样的方法从重量在个?几个????95,10080,85124. 和)在(Ⅱ中抽出的中各有个苹果中,任取,个求重量在个的概率) ??90,95?的频率为)【解析】(Ⅰ依题意,苹果的重量在；550141??80,851?5?? (Ⅲ220????95,10080,85ad,,bc24包(Ⅲ,.抽样比为的有) . (所以重量在,Ⅱ个55?155重量在,,个苹果中) 设抽取的重量在的为中的为从中任取个更多精品文档．学习-----好资料????????????????95,100,80,85b,,da,c,,,ad,,db,cca,b6中各满足重量在,共含的基本??????d,,b,,aa,ca?31. 共所以所求概率为有个个的基本事件为.,62事件有:和个；31分）（本小题满分18．13AC,D,EAB BCABCFAD?AE1的中边上的点分别是,,如图1,在边长为是的等边三角形,中2?BC BCFGA?AFDEAFABF?. 沿,折起,交于点得到如图,将2所示的三棱锥其中点,与2AAEG GEDDC FBCFB2图1图BCF//DE平面(Ⅰ) 证明:；?CFABF平面(Ⅱ) 证明:；2?AD VDEGF?. 时,求三棱锥(Ⅲ) 当的体积3AEAD?BCAB?ACDE//AEAD?1 ,所以因为中,；,,【解析】(Ⅰ)方法一:(面面平行)在图所以ACAB BCFDG?BCFDG//BF?BF2 ,平面,,在图因为中,平面由翻折的不变性可知GGE?DGBCFBCFDGE//BCFDG//GE// ,又同理可证平面,所以平面平面所以平面,BCFDE//DGE?DE.平面又,所以平面AEAD?BC//AB?ACDEAE?AD2, ,所以,,方法二:在图所以中,由翻折不变性可知ACAB BCF//BC?BCFDEDE?BCF.所以平面平面平面,因为,1222?BCBCBF?CF??CFBF?BFCF?2因为中,(,,所以,Ⅱ) 在图22FAF?BF?CF?CFAFABF.又平面,,所以DGFCFCF??GEGE?GE//ABFABF,所以平面平面)知,平面Ⅲ() 因为,所以(,由Ⅱ33311?AGGF???AF???DGGE?AD, ,依题意可得6323233111331?V??S?????DEG?F. 所以的体积所以三棱锥,??2*a14n??4S?a N n?aaaSn构成等比、,设DGF?324363326363 14分）20．（本小题满分各项均为正数的数列的前满足项和为,且、,n1n?n1452n.数列5?aa?4 :；（Ⅰ）证明12??a的通项公式；（Ⅱ）求数列n更多精品文档．好资料学习-----1111????n. （Ⅲ）证明:对一切正整数，有2aaaaaa1n31?2n2 22?a4a?51???14S4?a?4Sa?4n1?n0?a所以,. 【解析】（Ⅰ）在,中令可得而,2121n?1n2??2211?S?a4?n?41??4n4S?a2n?).(可得（Ⅱ）由n1n?1?nn2??22244a?a?a?2a??a2a?a?0a?,,因为即,两式相减,可得所以,n1nn?nnn?1n?1n??a.2的等差数列把第1项去掉后于是数列,是公差为n2????2a?aaa3aa?a24aaa?6??成等比数列可得、、, 由,,即解得5142142522225?a?4a2?1a?a?a,可得由于是,12121????1?2n?a1?2?n?1a. 所以是首项为1,所以数列公差为2的等差数列,nn11111?????, （Ⅲ）因为??????1?1?22n?1aa22n?1n2n??1n?n??111111111111?????????????1??????. 所以??????????aa2a2n?1a3aa23522n?12n?12????????31122nn?20．（本小题满分14分）32????0ccF?0,0??y?2x ClP为直:已知抛物线的距离为的顶点为原点,其焦点设到直线.2BPA,PBA,ClP.??yP,xlAB的方程；作抛物线,过点的两条切线其中线为切点上的点,C的方程；(Ⅰ) 求抛物线上的定点时,求直线为直线(Ⅱ) 当点00BFAF?lP. (Ⅲ) 当点求在直线的最小值上移动时,0?c?2322cyx?4c?0c?1C?. ,结合,依题意,设抛物线由的方程为解得【解析】(Ⅰ) 222yx?4C. 的方程为所以抛物线1122?y?4x?x?xyy C求导得 (Ⅱ) 抛物????21y,y??yBy,Axx,xxPBPA,, 的斜率分别为(其中设则切线的方程为,,即4222xx11线,,),1221211244222xxx??111y?x??y0?2yxx?2y?xx??y?y PA即,即,的方程为所以切线11111222xx?2y?2y?0PB同理可得切线的方程为22??yP,x xx?2y?2y?0xx?2y?2y?0PB,PA所以因为切线,,均过点2211000000????y,,yx,x xx?2y?2y?0的两组解所以. 为方程002211xx?2y?2y?0AB.??????所以直线的方程为00AF?y?1BF?y?1, ,(Ⅲ) 由抛物线定义可知21?y?1y?11y???yy?AFBF?y所以212112xx?2y?2y?0???00222x y?yx2y??0?y联立方程整理得消去,?0002x?4y?更多精品文档．学习-----好资料22y?y?x?2yyy?y由一元二次方程根与系数的关系可得,0021021??22?2yy??y?xy?y1?1?AF?BF?y所以0021102??x?y?2yx,Pl,所以又点上,在直线0000291??222??2yy?5y?1?2y??y?x2?2所以??00000022??91BF?AF?y?.时, 且最小值为取得最小值,所以当022分）（本小题满分1421．????23R?xx?x??kxfk. 设函数??xf1k?求函数的单调区间；时Ⅰ) 当,(????k?kf,x m0k?M. 上的最小值时,求函数在(Ⅱ)当和最大值????232?1xx??f3xx?x?x?xf?21k?当时, ,【解析】(Ⅰ)2???????xf?0xf0?4?3????21?RR. 在上单调递增上恒成立因为,,所以在所以??????f??x,. 无递减区间所以,的单调递增区间为??2????22?12xkx?f3x??31?4??2kk?4?3??? ) (Ⅱ,判别式 ?????0?3?k?x0xf?f0??RR上单调递增. 所以在在当时,上恒成立,即,y????????3k???kM?ffx2k,?k?m?fkkk?上的最小值,最大值所以在；122x 3k?k??3k?k x2?????xx3??k0x?f0??.????2?0,1?x1?f3x?2kx?x,, 当时,令,即得21k的对称轴为, 因为且恒过30x?k?x?, 画出大致图像如图所示,可知21?????xxff x:当的变化如下表变化时,,????????????xfmaxMminm?fk,fx?f?k,.,由表可知,12更多精品文档．学习-----好资料??????????223k?f?km01?x?kf?xx?fk??x?kxx?k?. ,所以因为222222????2??????????22330kx?1?xk?k?kf?x?f?kx??kx?x?2??k?,因为??111111??3?kk??2M?f?k.所以????????3?kk?k??2fMk?k,k?mfk??xf0?k. 上的最小值当,综上所述时，函数，最大值在不吝赐教,有错难免更多精品文档．。
2013年佛山市普通高中高二教学质量检测文科数学试题参考答案定稿12.17
EPAM DH第16题图PBAMDC2013年佛山市普通高中高二教学质量检测数学试题（文科）参考答案和评分标准一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分.11．3π 12．813．2- 14．12三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分12分)如图,已知四边形O A B C 是矩形,O 是坐标原点,O 、A 、B 、C 按逆时针排列,A 的坐标是),4AB =.(Ⅰ) 求点C 的坐标； （Ⅱ）求B C 所在直线的方程.解: (Ⅰ)因为四边形O A B C 是矩形,O A 所在直线的斜率3OA k =…2分 所以O C 的斜率为3-,O C 所在的直线方程为y =,…4分因为4OC AB ==,设(),C x ,则24O C x ===, ……………………6分所以2x =-或2x =(舍去),所以点C 的坐标为(2,-.…………………………………………8分 （Ⅱ）因为O A 与B C , 所以B C 所在直线的斜率3BC O A k k ==…………………………………10分所以B C 所在直线的方程为()23332+=-x y ,即80x -+=.…………………………12分给分说明:第 （Ⅱ）问中的直线若正确地写成一般式或斜截式均给满分.16.(本小题满分13分)如图,在四棱锥P A B C D -中,四边形A B C D 为直角梯形,//AD BC ,90BAD ∠=︒,P A ⊥ 底面A B C D ,且2PA AD ==,1A B B C ==,M 为P D 的中点.(Ⅰ) 求证://C M 平面P A B ； （Ⅱ）求证:C D ⊥平面PAC .解:(Ⅰ) 取P A 的中点E ,连结,ME BE ,…………1分因为M 为P D 的中点,所以1//2E M A D ,又1//2B C A D …………3分所以//EM BC ,所以四边形B C M E 为平行四边形, 所以//C M BE ,………………………………………5分 又B E ⊂平面P A B ,C M ⊄平面P A B ,所以//C M 平面P A B .………………………………6分 （Ⅱ）在直角梯形A B C D 中,//A D B C ,90B A D ∠=︒,1A B B C ==,2AD =,过C 作C H AD ⊥于H ,由平几知识易得A C=CD =所以222AC CD AD +=,所以A C C D ⊥……………………9分 又P A ⊥ 底面A B C D ,C D ⊂底面A B C D , 所以P A C D ⊥…………………11分又PA AC A = ,所以C D ⊥平面PAC .…………………13分17.(本小题满分13分)已知圆C 经过点(0,3)A 和(3,2)B ,且圆心C 在直线y x =上.(Ⅰ) 求圆C 的方程；（Ⅱ）若直线2y x m =+被圆C 所截得的弦长为4,求实数m 的值. 解:(Ⅰ)解法一:设圆心(,)C a a ,因为AC BC =,=解得1a =……………………………………………………………………………………………………4分 所以圆心(1,1)C ,半径r AC ==……………………………………………………………………6分所以圆C 的方程为22(1)(1)5x y -+-= ………………………………………………………………7分 解法二:设圆C 的方程为()()()2220x a y a rr -+-=>, ……………………………………………2分依题意得()()()222222332a a r a a r⎧+-=⎪⎨-+-=⎪⎩,………………………………………………………………………5分解得21,5a r ==,所以圆C 的方程为22(1)(1)5x y -+-= ………………………………………7分 解法三:依题意易得线段A B 的中垂线方程为32y x =-,……………………………………………2分 联立方程组32y x y x =⎧⎨=-⎩,解得11x y =⎧⎨=⎩,所以圆心(1,1)C ,……………5分 下同解法一.（Ⅱ）因为直线2y x m =+被圆C 所截得的弦长为4, 所以圆心(1,1)C 到直线2y x m =+的距离1d == ……………………………10分1=，解得1m =-±……………………………………………………………………13分18.(本小题满分14分)已知曲线C 上的任意一点到定点(1,0)F 的距离与到定直线1x =-的距离相等. (Ⅰ) 求曲线C 的方程；（Ⅱ）若曲线C 上有两个定点A 、B 分别在其对称轴的上、下两侧,且||2FA =，||5FB =,求原点O 到直线AB 的距离.解:(Ⅰ) 因为曲线C 上的任意一点到定点(1,0)F 的距离与到定直线1x =-的距离相等.由抛物线定义可知,C 的轨迹T 是以()1,0F 为焦点,直线1x =-为准线的抛物线,…………………4分所以动圆圆心C 的轨迹T 的方程为24y x =.……………………………………………………………6分 （Ⅱ）由已知得)0,1(F ,设A ),(11y x (其中10y >),由2=FA 得1,2111==+x x ,所以()1,2A …………………………………………………………9分 同理可得()4,4B -,所以直线AB 的方程为042=-+y x . ………………………………………12分则原点O 到直线AB的距离5d ==…………………………………………………………14分19.(本小题满分14分)如图,在底面为平行四边形的四棱柱1111ABC D A B C D -中,1D D ⊥底面ABC D ,1AD =,2C D =,60D C B ∠=︒. (Ⅰ) 求证:平面11A BCD ⊥平面11BD D B ； （Ⅱ）若1D D BD =,求四棱锥11D A BCD -的体积. 解: (Ⅰ) 在ABD ∆中,由余弦定理得BD ==所以222AD BD AB +=,所以90A D B ∠=︒,即AD BD ⊥又四边形A B C D 为平行四边形,所以BC BD ⊥…………………………………2分 又1D D ⊥底面A B C D ,B C ⊂底面A B C D ,所以1D D BC ⊥又1D D BD D = ,所以B C ⊥平面11BD D B ,………………………………5分 又B C ⊂平面11A BCD ,所以平面11A BCD ⊥平面11BD D B .……6分（Ⅱ）解法一：连结1BD，∵1DD BD ==，∴1BD =∵B C ⊥平面11BD D B ，所以1BC BD ⊥……………8分 所以四边形11A BCD的面积111122A BC D S BC BD =⨯⋅⋅=取1BD 的中点M ，连结D M ，则1D M BD ⊥，且2D M =又平面11A BCD ⊥平面1B D D ,平面11A BC D 平面1B D D 1B D =， 所以D M ⊥平面11A BCD ……………12分 所以四棱锥11D A BCD -的体积11113A BC D V S D M =⋅⋅=……14分 解法二: 四棱锥11D A BCD -的体积111D A B D D B C D V V V --=+……8分而三棱锥11D A BD -与三棱锥1D BC D -底面积和高均相等 所以11112D A BD D BC D D BC D V V V V ---=+=第19题解法一图BDC A A 1B 1C 1D 1M第19题解法二图BD CAA 1B 1C 1D 1第19题图BDC AA 1B 1C 1D 11112213D BC D BC D V S D D -==⨯⋅⋅=………………14分20.(本小题满分14分)已知椭圆C 的中心在原点,焦点在坐标轴上,短轴的一个端点为()0,4B ,离心率35e =.(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若()0,0O 、()2,2P ,在椭圆上求一点Q 使OPQ ∆的面积最大. 解:(Ⅰ) 设椭圆C 的方程为()222210x y a b ab+=>>,依题意得34,5c b a==,又222a b c =+,…………………………3分所以5,4,3a b c ===, 所以椭圆C 的方程为2212516xy+=.…5分（Ⅱ）依题意OP =,直线O P 的方程为y x =,………7分 设与O P 平行的直线l 的方程为y x m =+(0m ≠),当l 与椭圆相切时,切点为所求的点Q ,此时OPQ ∆的面积最大. ……………………………9分由方程组2212516y x mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消元得224150254000x mx m ++-=(*)由225004414000m ∆=+⨯⨯=得m =………………………12分将m =(*)式,解得41x =±,此时对应切点的坐标为4141⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭,,4141⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭, 易知此两点到直线O P的距离相等,满足题意, 从而所求点Q 的坐标为4141⎛⎫-⎪⎪⎝⎭或,4141⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭…………………………14分。
2013佛山一模(文数)【含答案--全WORD--精心排版】
2013年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数 学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷和答题卡交回． 参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，则复数i2i+等于（ ） A ．12i 55+ B ． 12i 55-+ C ．12i 55- D ．12i 55--2．命题“2,11x x ∀∈+≥R ”的否定是（ ）A ．2,11x x ∀∈+<RB ．2,11x x ∃∈+≤RC ．2,11x x ∃∈+<RD ．2,11x x ∃∈+≥R 3．某程序框图如图所示，该程序运行后，输出s 的值是（ ） A ．10 B ．15 C ．20 D ．304．已知(1,2)=a ，(0,1)=b ，(,2)k =-c ，若(2)+⊥a b c ，则k =（ ） A ．2 B ． 2- C ．8 D ．8-5．已知实数,x y 满足11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为（ ）A ．3-B ．12C ．5D ．66．已知集合{}2log (1)2M x x =-<，{}6N x a x =<< ,且()2,M N b =,则a b +=（A ．4B ．5C ．6D ．7 7．函数2()2xf x e x =+-在区间()2,1-内零点的个数为A ．1B ．2C ．3D ．48．已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的22221y x a b+=（0a b >>）焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（ ） A ．13 B ．12 C D ．29．一长方体被一平面截去一部分后所剩几何体的正视图和俯视图如图所示，则侧视图可以为（ ）10．设二次函数2()4()f x ax x c x =-+∈R 的值域为[0,)+∞，则19c a+的最小值为（ ） A ．3 B ．92C ．5D ．7 二、填空题：本大共5小题．考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题(11～13题)11．课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市个数分别为4、12、8．若用分层抽样的方法抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为 ． 12．函数sin sin 3y x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭ 的最小正周期为 ，最大值是 ． 13．1<<<；…则第5个不等式为 ．(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线l 过点(1,0)且与直线3πθ=（ρ∈R ）垂直，则直线l 极坐标方程为 ． 15．（几何证明选讲）如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l过点M 分别交,AD AC 于点,E F ．若3AD AE =，则:AF FC = ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）如图，在△ABC 中，45C ∠=，D 为BC 中点，2BC =.记锐角ADB α∠=．且满足7cos 225α=-．（1）求cos α；（2）求BC 边上高的值．17．（本题满分12分）城市公交车数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取5组，如下表所示（单位：min ）：（1）求这15名乘客的平均候车时间；（2）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（3）若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．18．（本题满分14分）如图所示，已知圆O 的直径AB 长度为4，点D 为线段AB 上一点，且13AD DB =，点C 为圆O 上一点，且BC =．点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD BD =．F A B C D E MlB D A（1）求证：CD ⊥平面PAB ； （2）求点D 到平面PBC 的距离． 19．（本题满分14分）数列{}n a 的前n 项和为22n n S a =-，数列{}n b 是首项为1a ，公差不为零的等差数列,且1311,,b b b 成等比数列．（1）求123,,a a a 的值；（2）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （3）求证：3121235nnb b b b a a a a ++++<．20．（本题满分14分）已知(2,0)A -，(2,0)B ，(,)Cm n ． （1）若1m =，n =ABC ∆的外接圆的方程；（2）若以线段AB 为直径的圆O 过点C （异于点,A B ），直线2x =交直线AC 于点R ，线段BR 的中点为D ，试判断直线CD 与圆O 的位置关系，并证明你的结论．21．（本题满分14分）设函数1()x e f x x-=，0x ≠．（1）判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性；（2）证明：对任意正数a ，存在正数x ，使不等式()1f x a -<成立．2013年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（文科）参考答案和评分标准二、填空题：本大共11．2 12．2π（2分）（3分） 13++< 14．2sin()16πρθ+=（或2cos()13πρθ-=、cos sin 1ρθθ=） 15．1:4三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解析：（1）∵27cos 22cos 125αα=-=-，∴29cos 25α=，∵(0,)2πα∈，∴3cos 5α=． ----------5分 （2）方法一、由（1）得4sin 5α==，∵45CAD ADB C α∠=∠-∠=-，∴sin sin()sin coscos sin44410CAD πππααα∠=-=-=， -----------------9分 在ACD ∆中，由正弦定理得：sin sin CD ADCAD C =∠∠，∴1sin 5sin CD C AD CAD⋅∠===∠， ------------11分 则高4sin 545h AD ADB =⋅∠=⨯=． ---------12分 方法二、如图，作BC 边上的高为AH 在直角△ADH 中，由（1）可得3cos 5DB AD α==，则不妨设5,AD m = 则3,4DH m AH m ==-------8分 注意到=45C ∠，则AHC ∆为等腰直角三角形，所以CD DH AH +=，则134m m +=---------10分 所以1m =，即4AH = ----------12分17．解：（1）1(2.527.5612.5417.5222.51)15⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1157.5=10.515=⨯min ．-----------------3分 （2）候车时间少于10分钟的概率为3681515+=，---4分，故候车时间少于10分钟的人数为8603215⨯=人．--6分 （3）将第三组乘客编号为1234,,,a a a a ，第四组乘客编号为12,b b ．从6人中任选两人有包含以下基本事件：1213141112(,),(,),(,),(,),(,)a a a a a a a b a b ，23242122(,),(,),(,),(,)a a a a a b a b ，343132(,),(,),(,)a a a b a b ， 4142(,),(,)a b a b ，12(,)b b ， -----------10分其中两人恰好来自不同组包含8个基本事件，所以，所求概率为815． ------------12分 18．解：（Ⅰ）法1：连接CO ，由3AD DB =知，点D 为AO 的中点， 又∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥BC =知，60CAB ∠=， ∴ACO ∆为等边三角形，从而CD AO ⊥．-------------3分∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，∴PD ⊥平面ABC ， 又CD ⊂平面ABC ，∴PD CD ⊥，-----------------5分 由PD AO D =得，CD ⊥平面PAB ．-----------------6分法2：∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥，∵在Rt ABC ∆中，4AB =， ∴由3AD DB =BC =得，3DB =，4AB =，BC =∴BD BC BC AB ==，则BDC BCA ∆∆∽，∴BCA BDC ∠=∠，即CD AO ⊥．-----------------3分 ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ， ∴PD CD ⊥，-----------------5分，由PD AO D =得，CD ⊥平面PAB ．-----------------6分法3：∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥，在Rt ABC ∆BC =得，30ABC ∠=，∵4AB =，由3AD D B =得，3DB =，BC =由余弦定理得，2222cos303CD DB BC DB BC =+-⋅=， ∴222CD DB BC +=，即CD AO ⊥．----------3分，∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，∴PD CD ⊥，-----------------5分 由PD AO D =得，CD ⊥平面PAB ．-----------------6分 （Ⅱ）法1：由（Ⅰ）可知CD ，3PD DB ==，--------7分∴1111133332322P BDC BDC V S PD DB DC PD -∆=⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯=--------10分又PB =PC =BC ==∴PBC ∆为等腰三角形，则12PBC S ∆=⨯=．--------12分 设点D 到平面PBC 的距离为d ，由P BDC D PBC V V --=得，132PBC S d ∆⋅=，解得5d =．--------14分 法2：由（Ⅰ）可知CD =，3PD DB ==，过点D 作DE CB ⊥，垂足为连接PE ，再过点D 作DF PE ⊥，垂足为F ．-----------------8分∵PD ⊥平面ABC ，又CB ⊂平面ABC ，∴PD CB ⊥，又PD DE D =， ∴CB ⊥平面PDE ，又DF ⊂平面PDE ，∴CB DF ⊥，又CBPE E =，∴DF ⊥平面PBC ，故DF 为点D 到平面PBC 的距离．--------10分在Rt DEB ∆中，3sin 302DE DB =⋅=，PE ==，在Rt PDE ∆中，33PD DE DF PE ⨯⋅===D 到平面PBC 的距离为519．解：（1）∵22n n S a =-，∴当1n =时，1122a a =-，解得12a =；当2n =时，212222S a a a =+=-，解得24a =；当3n =时，3123322S a a a a =++=-，解得38a =． -----------------3分 （2）当2n ≥时，111(22)(22)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， -----------------5分 得12n n a a -=又11122a S a ==-，12a =，∴数列{n a }是以2为首项，公比为2的等比数列，所以数列{n a }的通项公式为2nn a =． -------7分，112b a ==，设公差为d ，则由1311,,b b b 成等比数列，得2(22)2(210)d d +=⨯+， ------8分，解得0d =（舍去）或3d =， ---------9分所以数列}{n b 的通项公式为31n b n =-．-----------------10分P（3）令312123nn n b b b b T a a a a =++++123258312222n n -=++++，121583122222nn n T --=++++，-------11分 两式式相减得12133********n n n n T --=++++-， ∴131(1)3135222512212n n n n n n T ---+=+-=--， ----13分又3502nn +>，故5n T <．-----------------14分 20．解：（1）法1：设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，由题意可得420420130D F D F D F ⎧-+=⎪++=⎨⎪+++=⎩，解得0,4D E F ===-，∴ABC ∆的外接圆方程为2240x y +-=，即224x y +=．-----------------6分法2：线段AC 的中点为1(2-，直线AC的斜率为1k =， ∴线段AC 的中垂线的方程为1)22y x -=+，线段AB 的中垂线方程为0x =， ∴ABC ∆的外接圆圆心为(0,0)，半径为2r =，∴ABC∆的外接圆方程为224x y +=．-----------------6分法3：||2OC ==，而||||2OA OB ==，∴ABC ∆的外接圆是以O 为圆心，2为半径的圆， ∴ABC ∆的外接圆方程为224x y +=．------6分法4：直线AC 的斜率为1k =BC 的斜率为2k =121k k ⋅=-，即AC BC ⊥， ∴ABC ∆的外接圆是以线段AB 为直径的圆，∴ABC ∆的外接圆方程为224x y +=．-----------------6分 （2）由题意可知以线段AB 为直径的圆的方程为224x y +=，设点R 的坐标为(2,)t ，∵,,A C R 三点共线，∴//AC AR ，----------------8分，而(2,)AC m n =+，(4,)AR t =，则4(2)n t m =+， ∴42n t m =+，∴点R 的坐标为4(2,)2n m +，点D 的坐标为2(2,)2nm +，-----------------10分 ∴直线CD 的斜率为222(2)22244nn m n n mn m k m m m -+-+===---，而224m n +=，∴224m n -=-， ∴2mn mk n n==--，-----------------12分，∴直线CD 的方程为()m y n x m n -=--，化简得40mx ny +-=，∴圆心O 到直线CD 的距离2d r ====，所以直线CD 与圆O 相切． ------------14分 21．解：（1）22(1)(1)1()x x x xe e x e f x x x---+'==， ------------2分 令()(1)1x h x x e =-+，则()(1)x x x h x e e x xe '=+-=，当0x >时，()0x h x xe '=>，∴()h x 是()0,+∞上的增函数，∴()(0)0h x h >=， 故2()()0h x f x x'=>，即函数()f x 是()0,+∞上的增函数． --------------6分 （2）11()11x x e e x f x x x----=-=，当0x >时，令()1x g x e x =--，则()10x g x e '=->，------8分 故()(0)0g x g >=，∴1()1x e x f x x ---=，原不等式化为1x e x a x--<，即(1)10x e a x -+-<， ----10分 令()(1)1x x e a x ϕ=-+-，则()(1)x x e a ϕ'=-+，由()0x ϕ'=得：1xe a =+，解得ln(1)x a =+， 当0ln(1)x a <<+时，()0x ϕ'<；当ln(1)x a >+时，()0x ϕ'>．故当ln(1)x a =+时，()x ϕ取最小值[ln(1)](1)ln(1)a a a a ϕ+=-++，-----------------12分令()ln(1),01a s a a a a =-+>+，则2211()0(1)1(1)as a a a a '=-=-<+++． 故()(0)0s a s <=，即[ln(1)](1)ln(1)0a a a a ϕ+=-++<． 因此，存在正数ln(1)x a =+，使原不等式成立．----------------14分。
广东省佛山市2013届高三教学质量检测(一)数学文试题(WORD解析版)
2013年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设i为虚数单位，则复数等于（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把给出的复数分子分母同时乘以2﹣i，然后整理成a+bi（a，b∈R）的形式即可．解答：解：=．故选A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．2．（5分）命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是（）A．∀x∈R，x2+1＜1 B．∃x∈R，x2+1≤1 C．∃x∈R，x2+1＜1 D．∃x∈R，x2+1≥1考点：V enn图表达集合的关系及运算；交、并、补集的混合运算．专题：规律型．分析：全称命题：“∀x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“∃x∈A，非P（x）”，结合已知中原命题“∀x∈R，都有有x2+1≥1”，易得到答案．解答：解：∵原命题“∀x∈R，有x2+1≥1”∴命题“∀x∈R，有x2+1≥1”的否定是：∃x∈R，使x2+1＜1．故选C．点评：本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握全称命题：“∀x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“∃x∈A，非P（x）”，是解答此类问题的关键．3．（5分）（2013•佛山一模）程序框图如图所示，该程序运行后输出的i的值是（）A．10 B．11 C．12 D．13考点：循环结构．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环 a b i循环前/4 2 1第一圈是2 1 2第二圈是1 3第三圈是 4第四圈是 5…第9圈是10第10圈是11第11圈是12第12圈是13第13圈否该程序运行后输出的i的值是13，故选D．点评：本题考查循环结构的程序框图，解决本题的关键是弄清开始和结束循环的条件．属于基础题．4．（5分）（2013•佛山一模）已知=（1，2），=（0，1），=（k，﹣2），若（+2）⊥，则k=（）A．2B．﹣2 C．8D．﹣8考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：由向量的坐标运算易得的坐标，进而由可得它们的数量积为0，可得关于k的方程，解之可得答案．解答：解：∵=（1，2），=（0，1），∴=（1，4），又因为，所以=k﹣8=0，解得k=8，故选C点评：本题考查平面向量数量积和向量的垂直关系，属基础题．5．（5分）（2013•潮州二模）已知实数x，y满足，则目标函数z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣3 B．C．5D．6考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x﹣y对应的直线进行平移，可得当x=2，y=﹣1时，z取得最大值5．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，。
2013年高考真题文科数学(广东卷)解析版含答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科A 卷）解析从今以后，不再是大学特学综合科，而是大学特学数学科了！让别的科扼杀学生的能 力吧，数学出基础题就好一一感恩广东今年数学出题老师一一湛江 -农垦-小徐注 （QQ:808068）本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.1锥体的体积公式： V 1 Sh .其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.3一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1.设集合 S {x|x 2 2x 0,x R} , T {x|x 2 2x 0,x R}，则 S TA . {0}B- {0, 2}C. { 2,0} D . { 2,0, 2} 【解析】：先解两个一元二次方程，再取交集，选A , 5分到手，妙!2 .函数f (x) lg( x ——9的定义域是x 1A . ( 1,) B . [ 1, ) C. ( 1,1) (1, )D . [ 1,1) (1,【解析】： 对数真数大于零, 分母不等于零，目测C !3 .若 i(x yi) 3 4i ,x, y R ，则复数xyi 的模是A . 2B . 3C. 4D . 54,y模为5，选D.4 .已知sin(2)—, 那么cos21C 1A .B. C. -555【解析】考 查 三角5 S "(2)sin(2 +—) si n —2 2cos1—，选 C.55.执行如图1所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是A. 1B. 2C. 4D. 7【解析】选C•本题只需细心按程序框图运行一下即可.正视图侧视图俯视图6.某三棱锥的三视图如图 2所示，则该三棱锥的体积是【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为 选B.排除B 、C ;相切于第一象限排除 D ,选A •直接法可设所求的直线方程为:①给定向量b ，总存在向量c ，使a b c ； ②给定向量b 和c ,总存在实数 和，使a b③给定单位向量 b 和正数 ，总存在单位向量 c 和实数④给定正数和，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a b c ;1 A .61 B.3C. 23D. 12=3，7 .垂直于直线.. 2 2y x 1且与圆x y 1相切于第一象限的直线方程是A . x yB .C . x yD .【解析】本题考查直线与圆的位置关系,直接由选项判断很快，圆心到直线的距离等于再利用圆心到直线的距离等于r 1，求得k 2 .&设I 为直线, 是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A .若 I//, I //，则 // B .若I ,I ，则 //C .若 I , I //，则 //D .若,I// ，则【解析】基础题，在脑海里把线面可能性一想，就知道选9.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为2 2x y .A.————22x yB .— 1 4 3C .D .【解析】基础题，c1,a 2,b3，选 D.10.设a 是已知的平面向量且’a ；0，关.于向量 a 的分解, 有如下四个命，使a b上述命题中的向量b, c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是D. 4A. 1B. 2C. 3【解析】本题是选择题中的压轴题， 主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则 利用向量加法的三角形法则，易的①是对的； 利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以 a 的终点作长度为 的圆，这个圆必须和向量 b 有交点，这个不一定能满足，③是错的; 利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须a ，所以④是假命题•综上，本题选B •平面向量的基本定理考前还强调过,不懂学生做得如何•【品味选择题】 文科选择题答案：ACDCC BABD 选择题3322再次出现！今年的选择题很基 础，希望以后高考年年出基础题！二、填空题：本大题共 5小题•考生作答4小题•每小题5分，满分20分. （一）必做题（11〜13题）11 •设数列｛a n ｝是首项为1，公比为 2的等比数列, 【解析】这题相当于直接给出答案了 15212.若曲线y ax In x 在点（1,a ）处的切线平行于标系，则曲线C 的参数方程为【解析】本题考了备考弱点x 1 cos1，易的则曲线 C 的参数方程为（为参数）则 a 1 |a 21 a s |a 41x 轴,【解析】本题考查切线方程、方程的思想.依题意y2ax1 ',y x 1 2a 1 x13.已知变量x, y 满足约束条件 x 1，则 z 1最大值是【解析】画出可行域如图，最优解为1,4，故填5（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14.（坐标系与参数方程选做题） 已知曲线C 的极坐标方程为2cos .以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐.讲参数方程的时候，参数的意义要理解清楚•先化成直角坐标方程X 1 2 y 2y sin15.（几何证明选讲选做题）如图3,在矩形ABCD中，AB 3, BC 3, BE AC，垂足为E，则ED⑵用分层抽样的方法从重量在[80,85）和[95,100）的苹果中共抽取4个，其中重量在【解析】本题对数值要敏感，由AB 3, BC 3，可知 BAC 60从而AE 计，CAD 30，【品味填空题】 选做题还是难了点，比理科还难些•三、解答题：本大题共 6小题，满分80分•解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知函数 f(x) 2 cos x 一 , x R . 12(1)求f 的值;333⑵若cos -,——,2 ，求f 526 【解析】(1) fcos - —v 2 cos -13 3 12441 Vcos3 3,2sin2cos5 25f=2 cos2 cos cossin sin —1644 45【解析】这个题实在是太简单，两角差的余弦公式不要记错了17. （本小题满分13分）从一批苹果中，随机抽取 50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下:分组（重量） [80,85)[85,90)[90,95)[95,100)频数（个）5102015（1）根据频数分布表计算苹果的重量在 [90,95）的频率;DEAE 2 AD 2 2AE AD cos3021 2图3［80,85）的有几个?⑶ 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在［80,85）和［95,100）中各有1个的概率.20【解析】（1）苹果的重量在 90,95的频率为20 =0 4 ；505（2） ------------------------- 重量在80,85的有4 =1个；5+15（3）设这4个苹果中80,85分段的为1， 95,100分段的为2、3、4,从中任取两个，可 能的情况有：（1，2）（ 1,3）（ 1 ,4）（ 2, 3）（2,4）（ 3, 4）共 6 种；设任取 2 个，重量在 80,85 和 95,1003 1 中各有1个的事件为A ,贝U 事件A 包含有（1, 2）（ 1 , 3）（ 1, 4）共3种，所以p （A ） 3 '.6 2【解析】这个基础题，我只强调：注意格式！18. （本小题满分13分）如图4,在边长为1的等边三角形 ABC中，D,E 分别是AB, AC 边上的点，AD AE , F是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将 ABF 沿AF 折起，得到如图A BCF ，其中 BC（1）证明：DE //平面BCF ;⑵证明：CF 平面ABF ;⑶当AD —时，求三棱锥F3 DEG 的体积V【解析】（1）在等边三角形ABC 中， AD AEADAE，在折叠后的三棱A BCF 中DB EC 1 1也成立， DE / /BC ., DE 平面 BCF ,5所示的三棱锥G图5BC 平面BCF , DE // 平面BCF ；（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF BC①，BF CF 1.2在三棱锥A BCF中，BC BC2BF2CF2CF BF ②（2）两问是已知S n 求a n , a n 是等差数列，第（3）问只需裂项求和即可，估计不少学生猜出通项公式，跳过第（易错点在分成n 1，n 2来做后，不会求印，没有证明q 也满足通项公式. 20.（本小题满分14分） 已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点 F 0,c c 0到直线I : X y 2 o 的距离为3 2.设P 为直线I 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA,PB ，其中代B 为切点. 2（1）求抛物线C 的方程;（2）当点P X o ,y °为直线l 上的定点时，求直线 AB 的方程;⑶ 当点P 在直线I 上移动时，求|AF | |BF |的最小值.抛物线C 的方程为X 2 4y ； (2)设点 A(X 1, y 1),B(X 2,y 2),C 在点A 处的切线PA 的方程为y 力 ；（x X 1）,11 1 12 2n 121 2n 1 2n 1【解析】（1）依题意d-&2，解得c 1 （负根舍去）2由X 24y ,即卩 y - x 2,得 y4【解析】本题考查很常规, 2）问，作出第（3）问•本题P(x o , y o ),•••抛物线X 1—X 21 2y12X1.?X * . •••点P(x o , y o )在切线I 1 上，• y oX 1刁《y 「同理，y°qx。
佛山市普通高中高三教学质量检测(二)文科数学试题答案
2013年佛山二模数学试题（文科）参考答案和评分标准11．4π 12．()()22115x y -+-= 13． 20 14．sin()42πρθ+= 15．13三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分） (1)解法1、 由题可知：(1,3)A -， (cos ,sin )B αα即(1,3)OA =-，(cos ,sin )OB αα= …………2分OA OB ⊥，得0OAOB ⋅= …………3分∴ cos 3sin 0αα-+= 则1tan 3α= …………4分解法2、由题可知：(1,3)A -， (cos ,sin )B αα …………1分3OA k=-， tan OBk α= …………2分∵OA OB ⊥，∴1OA OB K K ⋅=- …………3分3tan 1α-=-，得1tan 3α=…………4分 （2）解法1、由（1）OA == 记AOx β∠=， (,)2πβπ∈∴sinβ==，cos β==…………6分 ∵1OB = 4cos 5α=，得3sin 5α== …………8分43sin sin()10510510AOB βα∠=-=+⨯=…………10分 ∴11sin 12210AOB S AO BO AOB ∆=∠=⨯32= …………12分解法2、由题意得：AO 的直线方程为30x y +=， …………6分则3sin 5α== 即43(,)55B …………8分则点B 到直线AO 的距离为d ==…………10分 又OA ==∴113222AOB S AO d ∆=⨯== …………12分解法3、3sin 5α==即43(,)55B …………6分 即：(1,3)OA =-，43(,)55OB = ， …………7分OA == 1OB =4313cos OA OB AOB OA OB-⨯+⨯⋅∠===…………9分 ∴ sin AOB ∠==…………10分则113sin 1222AOBS AO BO AOB ∆=∠== …………12分 17．（本题满分12分）解：（1）李生可能走的所有路线分别是： DDA ，DDB ，DDC ，DEA ，DEB ，DEC ， EEA ，EEB ，EEC ，EDA ，EDB ，EDC ；共12种情况； …………6分 （2）从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的走法有：DEA ， DEC ，EEA ， EEC 共四种情况， …………8分 所以从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率41123P ==. …………12分 18．（本题满分14分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中， 已知底面ABCD 是边长 侧棱1D D 垂直于底面ABCD ，且13D D =． （1）点P 在侧棱1C C 上，若1CP =， 求证：1A P ⊥平面PBD ；（2）求三棱锥11A BDC -的体积V ． 解：（1）依题意，1CP =，12C P =， 在Rt BCP ∆中，PB =……………………1分同理可知，1A P ==1A B == ………………………3分所以22211A P PB A B +=， …………………………4分则1A P PB ⊥， …………………………5分 同理可证，1A P PD ⊥， …………………………6分 由于PB PD P =，PB ⊂平面PBD ，PD ⊂平面PBD ， …………………………7分 所以，1A P ⊥平面PBD ． …………………………8分 （2）解法1、如图1，易知三棱锥11A BDC -的体积等于四棱柱的体积减去四个体积相等的三棱锥的体积，即11111114A BDC ABCD A B C D A ABD V V V ---=- ………………………………11分()1111432AB AD A A AB AD A A ⎛⎫=-⨯⨯ ⎪⎝⎭………………………………13分1323== ……………………………………14分PABCD 1A1B 1C 1D 第18题图解法2、依题意知，三棱锥11A BDC -的各棱长分别是112AC BD ==，1111A B A D C B C D ====10分如图2，设BD 的中点为M ，连接 11A M C M ，，则1A M BD ⊥，1C M BD ⊥，且11AM C M = 于是BD ⊥平面11AC M ， …………12分 设11AC 的中点为N ，连接MN ，则11MN AC ⊥，且3MN ===，则三角形11AC M 的面积为11111123322A C M S AC MN ∆==⨯⨯=， …………………13分 所以，三棱锥11A BDC -的体积111132233A C M V S BD ∆==⨯⨯=． …………………14分19．（本题满分14分）解：（1）由题意，抛物线2C 的焦点()1,0F ，则1,22pp ==，所以方程为：24y x =. …………3分（2）解法1、设(,)P m n ，则OP 中点为(,)22m n， …………4分因为O P 、两点关于直线(4)y k x =-对称，所以(4)221nm k n k m ⎧=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，即80km n k m nk -=⎧⎨+=⎩，解之得2228181k m k kn k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩， …………………………………7分 将其代入抛物线方程，得：222288()411k k k k -=⋅++，所以21k =. ………………9分联立 2222(4)1y k x x y a b =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得：2222222()8160b a x a x a a b +-+-=.由2222222(8)4()(16)0a b a a a b ∆=--+-≥，得2216a b +≥， 分 注意到221b a =-，即2217a ≥，所以a ≥，即2a ≥ ………………13分 因此，椭圆1C . ………………14分解法2、设2,4m P m ⎛⎫⎪⎝⎭，因为O P 、两点关于直线l 对称，则=4OM MP =， …………………………………5分 4=，解之得4m =± …………………………………6分 即(4,4)P ±,根据对称性,不妨设点P 在第四象限，且直线与抛物线交于A B CD 1A 1B 1C 1D （第18题图1） BD1A M1C （第18题图2） N,A B如图.则11ABOPkk=-=,于是直线l方程为4y x=-联立222241y xx ya b=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y，得：2222222()8160b a x a x a a b+-+-=.由2222222(8)4()(16)0a b a a a b∆=--+-≥，得2216a b+≥，注意到221b a=-，即2217a≥，所以a≥，即2a≥因此，椭圆1C. ………………14分20．（本题满分14分）解：(1)设第n年新城区的住房建设面积为nλ2m，则当14n≤≤时，12nnaλ-=；………………1分当5n≥时，(4)nn aλ=+. ………………2分所以, 当14n≤≤时，(21)nna a=-；………………3分当5n≥时，2489(4)na a a a a a n a=+++++++…29222n na+-=. ………………5分故2(21)(14),922(5).2nna na n na n⎧-≤≤⎪=⎨+-≥⎪⎩………………6分.(2)13n≤≤时，11(21)nna a++=-，(21)644nnb a a na=-+-，显然有1n na b+<. ………………7分4n=时，1524na a a+==，463nb b a==，此时1n na b+<. ………………8分516n≤≤时，2111122nn na a++-=，29226442nn nb a a na+-=+-，………………10分1(559)n na b n a+-=-. ………………11分所以,511n≤≤时，1n na b+<；1216n≤≤时，1n na b+>.17n≥时，显然1n na b+>. ………………13分故当111n≤≤时，1n na b+<；当12n≥时，1n na b+>. ………………14分21．（本题满分14分）解：（1）222211(21)()()()x a x af xx x a x x a-++'=-=--设22()(21)h x x a x a=-++，其判别式22(21)441a a a∆=+-=+…………2分①当14a≤-时，0,∆≤2()0,()0h x x x a≥->，()0f x'∴≥,)(xf在定义域()0,+∞上是增函数；…………3分当0∆>时，由22()(21)0h x x a x a=-++=解得：12x x==…………5分②当104a -<<时，0∆>， 210a +>；又22(21)(41)40a a a +-+=>，210a ∴+，故210x x >>即()h x 在定义域()0,+∞上有两个零点12212122a a x x ++==在区间()10,x 上，()0h x >，2()0x x a ->，()0f x '∴>， )(x f 为()10,x 上的增函数在区间()12,x x 上，()0h x <，2()0x x a ->，()0f x '∴<，)(x f 为()12,x x 上的增函数在区间()2,x +∞上，()0h x >，2()0x x a ->，()0f x '∴>,)(x f 为()2,x +∞上的增函数. ………6分 ③当0a =时，120,1x x ==，在区间()0,1上，()0h x <，2()0x x a ->，()0f x '∴<，在区间()1,+∞上，()0h x >，2()0x x a ->，()0f x '∴>， …………7分 ④当0a >时，函数)(x f 的定义域是()()0,,a a +∞，()0h a a =-<，()h x 在()0,a 上有零点1212a x +=，在(),a +∞上有零点221,2a x +=，在区间()10,x 和()2,x +∞上，()0f x '>，)(x f 在()10,x 和()2,x +∞上为增函数；在区间()1,x a 和()2,a x 上，()0f x '<，)(x f 在()1,x a 和()2,a x 上位减函数. …………8分 综上: 当14a ≤-时,函数)(x f 的递增区间是()0,+∞. 当104a -<<时, )(x f 的递增区间是()10,x 和()2,x +∞,递减区间是()12,x x ； 当0a =时，)(x f 的递减区间是()0,1；递增区间是()1,+∞.当0a >时，)(x f 的递减区间()1,x a 和()2,a x ,递增区间是()10,x 和()2,x +∞. …………9分 （2）当0a ≤时，()g x 的定义域是()0,+∞， 当0a >时，()g x 的定义域是()()0,,a a +∞，2(1ln )()()x x ag x x x a --'=-，令()(1ln )t x x x =-，则()ln t x x '=-， …………11分 在区间()0,1上，()ln 0t x x '=->，()(1ln )t x x x =-是增函数且0()1t x <<；在区间()1,+∞上，()ln 0t x x '=-<，()(1ln )t x x x =-是减函数且()1t x <；当1x =时，(1)1t =. …………12分 故当1a ≥时，()0g x '≤，()g x 无极大值；当01a <<时，()0t a a -≠，方程()t x a =在区间()0,1和()1,+∞上分别有一解,x x '''，此时函数()g x 在x x ''=处取得极大值； …………13分 当0a ≤时，方程()t x a =在区间[),e +∞上有一解x '''， 此时函数()g x 在x x '''=处取得极大值.综上所述，若()g x 有极大值，则a 的取值范围是(),1-∞. …………14分。
【VIP专享】【解析版】广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测(佛山二模)数学(文)试题
故有 1+b2=4，解得 b=± ， 故选 D． 点评： 本题主要考查复数的基本概念，求复数的模，属于基础题．
3．（5 分）（2013•江门二模）已知命题 p：∃x＞1，x2﹣1＞0，那么¬p 是（ ）
集合 B={2，3}，
∴A∪B={0，1，2，3}．
故选 ．
点评： 本题考查集合的并集的定义及其运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意并集中相同的元素只写
一个．
2．（5 分）（2013•江门二模）已知复数 z 的实部为 1，且|z|=2，则复数 z 的虚部是（ ）
A
．
B．
考点： 复数求模． 专题： 计算题． 分析： 设复数 z 的虚部是为 b，根据已知复数 z 的实部为 1，且|z|=2，可得 1+b2=4，由此解得 b 的值，即
A 30 ．
B．60
考点： 频率分布直方图． 专题： 计算题． 分析： 由图分析，易得底部周长小于 110cm 段的频率，根据频率与频数的关系可得频数． 解答： 解：由图可知：则底部周长小于 110cm 段的频率为（0.01+0.02+0.04）×10=0.7，
A ． ∀x＞1，x2﹣1＞0
考点： 命题的否定． 专题： 常规题型． 分析： 将量词“∃”变为“∀”，结论否定即可． 解答：
解：∵命题 p：∃x＞1，x2﹣1＞0
B．∀x＞1，x2﹣1≤0
6.培养学生观察、思考、对比及分析综合的能力。过程与方法1.通过观察蚯蚓教的学实难验点，线培形养动观物察和能环力节和动实物验的能主力要；特2征.通。过教对学观方察法到与的教现学象手分段析观与察讨法论、，实对验线法形、动分物组和讨环论节法动教特学征准的备概多括媒，体继课续件培、养活分蚯析蚓、、归硬纳纸、板综、合平的面思玻维璃能、力镊。子情、感烧态杯度、价水值教观1和.通过学理解的蛔1虫.过观适1、察于程3观阅 六蛔寄.内列察读 、虫生出蚯材 让标容生3根常蚓料 学本教活.了 据见身： 生，师的2、解 问的体巩鸟 总看活形作 用蛔 题线的固类 结雌动态业 手虫 自形练与 本雄学、三： 摸对 学动状习人 节蛔生结4、、收 一人 后物和同类 课虫活构请一蚯集 摸体 回并颜步关 重的动、学、蚓鸟 蚯的 答归色学系 点形教生生让在类 蚓危 问纳。习从 并状学理列学平的害 题线蚯四线人 归、意特出四生面体以形蚓、形类 纳大图点常、五观玻存 表及动的鸟请动文 本小引以见引、察璃现 ，预物身类 3学物明 节有言及的、导巩蚯上状 是防的体之生和历 课什根蚯环怎学固蚓和， 干感主是所列环史 学么据蚓节二样生练引牛鸟 燥染要否以举节揭 到不上适动、区回习导皮类 还的特分分蚯动晓 的同节于物让分答。学纸减 是方征节布蚓物起 一，课穴并学蚯课生上少 湿法。?广的教， 些体所居归在生蚓前回运的 润；4泛益学鸟色生纳.靠物完的问答动原 的4蛔，处目类 习和活环.近在成前题蚯的因 ？了虫以。标就 生体的节身其实端并蚓快及 触解寄上知同 物表内特动体结验和总利的慢我 摸蚯生适识人 学有容点物前构并后结用生一国 蚯蚓在于与类 的什，的端中思端线问活样的 蚓人飞技有 基么引进主的的考?形题环吗十 体生行能着 本特出要几变以动，境？大 节活的1密 方征本“特节化下物.让并为珍 近习会形理切 法。课生征有以问的小学引什稀 腹性态解的 。2课物。什游题主.结生出么鸟 面和起结蛔关观题体么戏：要利明蚯？类 处适哪构虫系察：的特的特用确蚓等 ，于些特适。蛔章形殊形征板，这资 是穴疾点于可虫我态结式。书生种料 光居病是寄的们结构，五小物典， 滑生？重生鸟内学构，学、结的型以 还活5要生类部习与.其习巩鸟结的爱 是如原活生结了功颜消固类构线鸟 粗形何因的存构腔能色化练适特形护 糙态预之结的，肠相是系习于点动鸟 ？、防一构现你动适否统。飞都物为结蛔。和状认物应与的行是。主构虫课生却为和”其结的与题、病本理不蛔扁的他构特环以生？8特乐虫形观部特8征境小理三页点观的动位点梳相组等、这；，哪物教相，理适为方引些2鸟，育同师.知应单面导鸟掌类结了；？生识的位学你握日构解2互.。办特生认线益特了通动手征观识形减点它过，抄；察吗动少是们理生报5蛔？物，与的解.参一了虫它和有寄主蛔与份解结们环些生要虫其。蚯构都节已生特对中爱蚓。会动经活征人培鸟与飞物灭相。类养护人吗的绝适这造兴鸟类？主或应节成趣的为要濒的课情关什特临？就危感系么征灭来害教；？；绝学，育，习使。我比学们它生可们理以更解做高养些等成什的良么两好。类卫动生物习。惯根的据重学要生意回义答；的3.情通况过，了给解出蚯课蚓课与题人。类回的答关：系线，形进动行物生和命环科节学动价环值节观动的物教一育、。根教据学蛔重虫点病1.引蛔出虫蛔适虫于这寄种生典生型活的线结形构动和物生。理二特、点设；置2.问蚯题蚓让的学生生活思习考性预和习适。于穴居生活的形态、结构、生理等方面的特征；3.线形动物和环节动物的主要特征。
2013年广东高考数学文科试题(试卷分析与解析版答案)
2013年广东高考数学文科解析版本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 锥体的体积公式：13V Sh =．其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈，2{|20,}T x x x x R =-=∈，则S T = A ．{0} B ．{0,2} C ．{2,0}- D ．{2,0,2}- 【解析】：先解两个一元二次方程，再取交集，选A ，5分到手，妙！ 2．函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是 A ．(1,)-+∞ B ．[1,)-+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞ 【解析】：对数真数大于零，分母不等于零，目测C ！ 3．若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】：复数的运算、复数相等，目测4,3x y ==-，模为5，选D . 4．已知51sin()25πα+=，那么cos α= A ．25- B ．15- C ．15 D ．25【解析】：考查三角函数诱导公式，51sin()sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭，选C. 5．执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是 A ．1 B ．2 C ．4 D ．7 【解析】选C.本题只需细心按程序框图运行一下即可. 6．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是 A ．16 B ．13 C ．23D ．图 1是否结束输出s i=i +1i ≤ n i=1, s=1输入n 开始s=s+(i-1)图 21俯视图侧视图正视图21【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则111=112=323V ⋅⋅⋅⋅，选B.7．垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是 A ．20x y +-= B ．10x y ++= C ．10x y +-= D ．20x y ++=【解析】本题考查直线与圆的位置关系，直接由选项判断很快，圆心到直线的距离等于1r =，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A.直接法可设所求的直线方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线的距离等于1r =，求得2k =.8．设为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 【解析】基础题，在脑海里把线面可能性一想，就知道选B 了. 9．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是 A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x【解析】基础题，1,2,3c a b ===，选D.10．设 a 是已知的平面向量且≠0 a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量 b ，总存在向量 c ，使=+a b c ；②给定向量 b 和 c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量 b 和正数μ，总存在单位向量 c 和实数λ，使λμ=+a b c ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量 b 和单位向量 c ，使λμ=+a b c ；上述命题中的向量 b ， c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】本题是选择题中的压轴题，主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则. 利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须=+λμλμ+≥b c a ，所以④是假命题.综上，本题选B.平面向量的基本定理考前还强调过，不懂学生做得如何.【品味选择题】文科选择题答案：ACDCC BABDB.选择题3322再次出现！今年的选择题很基础，希望以后高考年年出基础题！二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．设数列{}n a 是首项为，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++= 【解析】这题相当于直接给出答案了1512．若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a = ． 【解析】本题考查切线方程、方程的思想.依题意''1112,210,2x y ax y a a x ==-=-=∴= 13．已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-≥+-11103y x y x ，则z x y =+的最大值是．【解析】画出可行域如图，最优解为()1,4，故填 5 ； （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为 ．【解析】本题考了备考弱点.讲参数方程的时候，参数的意义要理解清楚.先化成直角坐标方程()2211x y -+=，易的则曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ （θ为参数）15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD 中，3,AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED = ． 【解析】本题对数值要敏感，由3,AB =3BC =，可知60BAC ∠=ECB从而3,302AE CAD =∠= ， 22212cos302DE AE AD AE AD =+-⋅⋅=. 【品味填空题】选做题还是难了点，比理科还难些.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()2cos ,12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．(1) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】(1)2cos 2cos 133124f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，24sin 1cos 5θθ=--=-，1=2cos 2cos cos sin sin 64445f ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴--=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【解析】这个题实在是太简单，两角差的余弦公式不要记错了.17．（本小题满分13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量） [80,85) [85,90)[90,95)[95,100)频数（个）5102015(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．【解析】（1）苹果的重量在[)95,90的频率为20=0.450； （2）重量在[)85,80的有54=15+15⋅个； （3）设这4个苹果中[)85,80分段的为1，[)100,95分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在[)85,80和[)100,95中各有1个的事件为A ，则事件A 包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以31(A)62P ==. 【解析】这个基础题，我只强调：注意格式！18．（本小题满分13分）如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，,D E 分别是,AB AC 边上的点，AD AE =，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将ABF ∆沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥A BCF -，其中22BC =． (1) 证明：DE //平面BCF ； (2) 证明：CF ⊥平面ABF ；(3) 当23AD =时，求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -．【解析】（1）在等边三角形ABC 中，AD AE =AD AEDB EC∴=,在折叠后的三棱锥A BCF -中 也成立，//DE BC ∴ ,DE ⊄ 平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，//DE ∴平面BCF ；（2）在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥①，12BF CF ==. 在三棱锥A BCF -中，22BC =，222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥② 图 4GEF ABCD图 5DGBFCAEBF CF F CF ABF ⋂=∴⊥ 平面；（3）由（1）可知//GE CF ，结合（2）可得GE DFG ⊥平面.11111131332323323324F DEG E DFGV V DG FG GF --⎛⎫∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭【解析】这个题是入门级的题，除了立体几何的内容，还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容.19．（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列．(1) 证明：2145a a =+；(2) 求数列{}n a 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++< ． 【解析】（1）当1n =时，22122145,45a a a a =-=+，21045n a a a >∴=+（2）当2n ≥时，()214411n n S a n -=---，22114444n n n n n a S S a a -+=-=--()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+∴当2n ≥时，{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列，25214a a a ∴=⋅，()()2222824a a a +=⋅+，解得23a =, 由（1）可知，212145=4,1a a a =-∴=21312a a -=-= ∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （3）()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦ 【解析】本题考查很常规，第（1）（2）两问是已知n S 求n a ，{}n a 是等差数列，第（3）问只需裂项求和即可，估计不少学生猜出通项公式，跳过第（2）问，作出第（3）问.本题易错点在分成1n =，2n ≥来做后，不会求1a ，没有证明1a 也满足通项公式.20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为322．设P 为直线上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点． (1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点()00,P x y 为直线上的定点时，求直线AB 的方程； (3) 当点P 在直线上移动时，求AF BF ⋅的最小值．【解析】（1）依题意023222c d --==，解得1c =（负根舍去） ∴抛物线C 的方程为24x y =；（2）设点11(,)A x y ,22(,)B x y ，),(00y x P ，由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-， 即2111212x y x x y -+=. ∵21141x y =， ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理， 20202y x x y -=. ② 综合①、②得，点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x xy -=002. ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的， ∴直线AB 的方程为y x xy -=002，即00220x x y y --=； （3）由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+， 所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩，消去x 得()22200020y y x y y +-+=， 2212001202,y y x y y y y ∴+=-= 0020x y --=()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++220019=22+5=2+22y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴当012y =-时，AF BF ⋅取得最小值为92【解析】2013广州模直接命中了这一题，广一模20题解法2正是本科第（2）问的解法，并且广一模大题结构和高考完全一致. 紫霞仙子：我的意中人是个盖世英雄，有一天他会踩着七色云彩来娶我，我只猜中了前头，可是我却猜不中这结局……形容这次高考，妙极！21．（本小题满分14分）设函数x kx x x f +-=23)( ()R k ∈．(1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间；(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M ． 【解析】：()'2321fx x kx =-+(1)当1k =时()'2321,41280fx x x =-+∆=-=-<()'0f x ∴>,()f x 在R 上单调递增.（2）当0k <时，()'2321f x x kx =-+，其开口向上，对称轴3kx =，且过()01，（i ）当()()24124330k k k ∆=-=+-≤，即30k -≤<时，()'0f x ≥，()f x 在[],k k -上单调递增，从而当x k =时，()f x 取得最小值()m f k k == , 当x k =-时，()f x 取得最大值()3332M f k k k k k k =-=---=--.（ii ）当()()24124330k k k ∆=-=+->，即3k <-时，令()'23210f x x kx =-+=解得：221233,33k k k k x x +---==,注意到210k x x <<<,(注：可用韦达定理判断1213x x ⋅=，1223kx x k +=>,从而210k x x <<<；或者由对称结合图像判断)()(){}()(){}12min ,,max ,m f k f x M f k f x ∴==-()()()()32211111110f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>()f x ∴的最小值()m f k k ==,()()()()()232322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k --=-+---⋅-+-++<()f x ∴的最大值()32M f k k k =-=--综上所述，当0k <时，()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()32M f k k k =-=--解法2（2）当0k <时，对[],x k k ∀∈-，都有32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k -=-+-+-=+-≥，故()()f x f k ≥-kk3k x =32332222()()()(221)()[()1]0f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k --=-++++=+-++=+-++≤故()()f x f k ≤-，而 ()0f k k =<，3()20f k k k -=-->所以 3max ()()2f x f k k k =-=--，min ()()f x f k k ==【解析】：看着容易，做着难！常规解法完成后，发现不用分类讨论，奇思妙解也出现了：结合图像感知x k = 时最小，x k =-时最大，只需证()()()f k f x f k ≤≤-即可，避免分类讨论.本题第二问关键在求最大值，需要因式分解比较深的功力，这也正符合了2012年高考年报的“对中学教学的要求——重视高一教学与初中课堂衔接课”.2013高考数学试卷分析与专家点评（广东卷）（文科）2013年广东高考数学试卷,遵循《2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)大纲》的规定:贯彻了有利于中学数学教学与有利于高校选拔人才相结合的原则,贯彻了“总体保持稳定,深化能力立意,积极改革创新”的指导思想.试卷立足现行高中教材,在注重对基础知识和基本方法全面考查的同时,又突出了对数学思想、数学核心能力的综合考查.试卷具有以下鲜明特点: 1.题型稳定,保持风格2013年高考数学试卷(广东卷文科)和2012年高考数学试卷(广东卷文科)犹如双胞胎,其考查的知识内容、题型和整体难易程度与2012年基本一致,保持了高考命题的连续性、稳定性. 2.注重基础,重视教材试卷以考查考生对“双基”的掌握情况为原则,重视基础,紧扣教材,回归课本,无偏题、怪题,这对中学数学教学有很好的导向作用,让战斗在高三第一线的师生从满天飞舞的资料与题海中解脱出来,做到求真务实,抓纲务本.整套试卷中有不少题目可以在教材上找到原型.很多题目考查的都是现行高中教材中最基本且重要的数学知识,所用到的方法也是通性通法,这样考查既体现了高考的公平、公正,也对中学数学教学和复习回归课本,重视对基础知识的掌握起到好的导向作用,这对引导中学数学教学用好教材有一定的助推作用.3.突出重点,考查全面2013年数学试卷所考查知识点的大致分布如下表.《考试说明》所指出的三角函数、平面向量、圆锥曲线、立体几何、概率与统计、数列、函数与导数等是中学数学的主干知识,其中的核心模块概率与统计、三角函数、立体几何、圆锥曲线、数列、函数与导数在今年试卷的解答题部分均得到较高.的体现4.突出能力,稳中求变通览今年的数学试卷,数学思想贯穿始终.整套试卷对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想以及思维能力、运算能力、空间想象能力都进行了全方位的考查.今年的数学试题在题型结构、题量、各题型分值与内容分布等方面与往年相比稳中有变.整套试卷的试题既保持了整体的难易梯度,又增加了一定的层次感.最后三题压轴,每题的两问之间的难易梯度不大,但是整体难度略有增加.总之,2013年高考数学试卷从数学基础知识、数学思维方法和学科能力出发,多层次、多角度、多视点地考查了考生的数学素养和学习潜能,是一份难得的好试卷.11。
2013全国统一高考(海南卷)数学(文科)试题及答案
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(海南卷)文科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
（1）已知集合M=｛x|-3<X<1｝，N=｛-3，-2，-1，0，1｝，则M∩N= （A）｛-2，-1，0,1｝（B）｛-3，-2，-1，0｝（C）{-2，-1，0} （D）{-3，-2，-1 }（2）||=（A）2 （B）2 （C）（D）1（3）设x，y满足约束条件，则z=2x-3y的最小值是（A）（B）-6 （C）（D）-（4）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2，B=，C=，则△ABC的面积为（A）2+2 （B）（C）2 （D）-1（5）设椭圆C：+=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30。
，则C的离心率为（A）（B）（C）（D）（6）已知sin2α=，则cos2(α+)=（A）（B）（C）（D）（7）执行右面的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=（A）1（B）1+（C）1++++（D）1++++（8）设a=log32,b=log52,c=log23,则（A）a＞c＞b （B）b＞c＞a （C）c＞b＞a （D）c＞a ＞b（9）一个四面体的顶点在点间直角坐系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可为（A）（B）（C）（D）( 10)设抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线L过F且与C交于A, B两点.若|AF|=3|BF|，则L的方程为（A）y=x-1或y=-x+1 （B）y=（X-1）或y=-（x-1）（C）y=（x-1）或y=-（x-1）（D）y=（x-1）或y=-（x-1）（11）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c ，下列结论中错误的是（A）（B）函数y=f（x）的图像是中心对称图形（C）若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（-∞，x0）单调递减（D）若x0是f(x)的极值点，则f’（x0）=0（12）若存在正数x使2x（x-a）＜1成立，则a 的取值范围是（A）（-∞，+∞）（B）(-2, +∞) (C)(0, +∞) (D)（-1，+∞）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2013年佛山市普通高中高三教学质量检测(二)文科数学试题答案-推荐下载
分
同理可知， A1P 22 22 2 2 ， A1B 32 12 10 ，
分
所以 A1P2 PB2 A1B2 ，
分
则 A1P PB ，
分
同理可证， A1P PD ，
分
由于 PB PD P ， PB 平面 PBD ， PD 平面 PBD ，
10 10
∵ OB 1 cos 4 ，得 sin 1 cos2 3
5
sin AOB sin( ) 3 10 4 10 3 3 10 10 5 10 5 10
∴ SAOB
1 2
AO
解法 2、由题意得： AO 的直线方程为 3x y 0 ，
A1
解：（1）由题意，抛物线 C2
的面积为 SA1C1M
BDC1 的体积V
（2）解法 1、设 P(m, n) ，则 OP 中点为 ( m , n) ， 22
因为 O、P 两点关于直线 y k(x 4) 对称，
所以
n 2
m
n
k(m 2
k
将其代入抛物线方程，得：
C1M BD ，且 A1M C1M 10 ，
于是 BD 平面 A1C1M ， …………12 分
设 A1C1 的中点为 N ，连接 MN ，
则 MN A1C1 ，且 MN A1M 2 A1N 2 10 1 3 ， D
则三角形 A1C1M
所以，三棱锥
19．（本题满分 14 分）
18．（本题满分 14 分） 如图，在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， 已知底面 ABCD 是边长
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2013届南海区普通高中高三教学质量检测试卷数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题 本大题共10小题，每小题5分，共50分．二、填空题 本大题共4小题， 每小题5分，满分20分．11．(2,0) 12．56π13． 10 14．1 15． 6三、解答题 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．16．（本小题满分12分） 解析：(Ⅰ)203T πω=> ，，∴2323πωπ==， ………………2分∴()2sin 36f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. ………………3分 ∴222sin 32sin 336k k f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin 166k πππ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. ………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知()2sin 36f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,则2sin 32sin 393962f απαπππα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯++=+ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2cos α==, ………………7分 ∴cos α=, ………………8分 又∵02πα-<<，∴sin α==-34=-, ………………10分 ∴31sin sin cos cos sin 66642428πππααα⎛⎫+=+=-+= ⎪⎝⎭. ………………12分 17．（本小题满分12分）解析：(Ⅰ)用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本, 设抽取学历为本科的人数为m ， ∴30505m=, 解得3m =. ……………………2分 ∴ 抽取了学历为研究生2人，记作12,S S ；学历为本科3人，记作123,,B B B . ………………3分从这5人中任取2人的所有基本事件共10个:111213(,),(,),(,),S B S B S B ,212223(,),(,),(,),S B S B S B 12(,)S S ,122313(,),(,),(,)B B B B B B . ………5分其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个:111213(,),(,),(,),S B S B S B ,212223(,),(,),(,),S B S B S B 12(,)S S , ………………6分∴ 从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为710. ………………7分 (Ⅱ)解: 依题意得：10539N =，解得78N =. ………………8分 ∴ 35～50岁中被抽取的人数为78481020--=. ………………9分 ∴482010805020x y==++. ………………11分解得40, 5x y ==. ∴40, 5x y ==为所求. ………………12分18.（本小题满分14分）(Ⅰ)证明：设AC BD O = ，取BE 中点G ，连结OG FG ,，………2分所以，OG //=12DE . …………3分 因为DE AF //，AF DE 2=，所以AF //=OG ， …………4分 从而四边形AFGO 是平行四边形，AO FG //. …………6分 因为FG ⊂平面BEF ,AO ⊄平面BEF , ………7分 所以//AO 平面BEF ，即//AC 平面BEF . …………8分（Ⅱ）解：因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，且交线为AD ,AB AD ⊥, …………9分所以AB ⊥平面ADEF . ………10分因为DE AF //,90ADE ∠=,22===AF DA DE ， …………11分所以122DEF S ED AD =⨯⨯= ， …………12分 所以四面体BDEF 的体积=⨯=∆AB S DEF 3143. …………14分19．（本小题满分14分）解：(Ⅰ)∵ 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，∴ 当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-． …………2分 当1n =时，111a S ==亦满足上式， …………3分ACGFEDO故21n a n =-，(*)n ∈N ．…………4分又 数列{}n b 为等比数列，设公比为q ，∵ 11b =，3418b b q ==， …………5分∴2q =． …………6分∴ 12n n b -= (*)n ∈N ． …………7分 （Ⅱ）2121nn n b n c a b ==-=-． …………9分123n n T c c c c =+++ 12(21)(21)(21)n =-+-++- 12(222)n n =++-2(12)12n n -=--． 即 122n n T n +=--． ……11分因为1210n n n T T --=->(*)n ∈N所以{}n T 是一个递增数列 …………13分 所以11n T T ≥=. …………14分 20．（本小题满分14分） 解：(Ⅰ)由题意得3c a =，∴ 2223c a =， …………2分 222b ac =- 又，∴2213b a =① …………3分 又椭圆1C 经过点31(,)22，所以222231()()221a b+= ② …………4分联立①②解得： 23a =，21b =. …………5分所以椭圆1C 方程为2213x y +=. …………6分 （Ⅱ）设过点(0,)(0)P m m <的直线l 的方程为y kx m =+， …………7分 ∵直线l 与椭圆只有一个交点∴2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩, 消去y 整理得：222(13)6(33)0k x kmx m +++-= …………9分所以222(6)4(13)(33)0km k m ∆=-+-=，化简得：2231m k =+ ③ …………10分 由题意可求得圆222:4C x y +=的圆心2(0,0)C 到直线l， …………11分又直线l 截圆222:4C x y +=所得的弦长为，∴=，化简得：222(1)m k =+ ④ …………12分联立③④解得：1,2(0)k m m =±=-< …………13分 所以直线l 的方程为2y x =±-. ………14分21．（本小题满分14分）（Ⅰ）()3213f x x ax bx =++ ()22f x x ax b '∴=++，………………………1分 直线230x y -+=的斜率为2，∴曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,()1122f a b '∴=++=……① ………………………………………2分曲线()C :y f x =经过点()12P ,，()1123f a b ∴=++=……② ………………………………………3分由①②得：2,37.3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………………………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：()32127333f x x x x =-+，∴()()232123m g x x x -=-，()()2413g x m x x ⎛⎫'∴=-- ⎪⎝⎭, 由()00g x x '=⇒=，或43x =.……………5分当210m ->，即1m ,>或1m <-时，x ，g x '，()g x 变化如下表()()()403g x g x g g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭极大极小()()2232320118181m m ⎡⎤=---=-⎢⎥⎣⎦ ……………7分当210m ,-<即11m -<<时，x ，()g x '，()g x 变化如下表由表可知：()()()403g x g x g g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭极大极小()()2232321018181m m =---=--………………8分综上可知：当1m ,>或1m <-时，()()g x g x -=极大极小()232181m -；当11m -<<时，()()g x g x -=极大极小()232181m --……………………………………9分 （Ⅲ）因为()f x 在区间()12,内存在两个极值点 ，所以()0f x '=，即220x ax b ++=在(1,2)内有两个不等的实根．∴2(1)120,(1)(2)440,(2)12,(3)4()0.(4)f a b f a b a a b '=++>⎧⎪'=++>⎪⎨<-<⎪⎪∆=->⎩ …………………………………………………………11分由 （1）+（3）得：0a b +>， ………………………………………………………12分 由（4）得：2a b a a +<+， 由（3）得：21a -<<-，∴2211()224a a a +=+-<，∴2ab +<． …………………………13分故02a b <+< …………………………………………………………………………14分。