湖北省2019届高三数学招生统一考试试题理2
2019年湖北高考数学试题及答案理科-14页文档资料
试卷类型：A2019年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(理工农医类) (湖北卷)解析本试题卷共4页，三大题21小题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。
2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
咎在试题卷、草稿纸上无效。
3填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.1.i 为虚数单位，则=⎪⎭⎫⎝⎛-+201111i iA.i -B.1-C.iD.1 【答案】A解析：因为()i i i i i =-+=-+221111，所以i i i i i i -====⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⨯3350242011201111，故选A .2.已知{}1,log 2>==x x y y U ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>==2,1x x y y P ，则=P C U A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21 B.⎪⎭⎫⎝⎛21,0 C.()+∞,0 D. ()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∞-,210,Y【答案】A解析：由已知()+∞=,0U .⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,0P ，所以⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞=,21P C U ,故选A .3.已知函数()x x x f cos sin 3-=，R x ∈，若()1≥x f ，则x 的取值范围为A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,3ππππ B . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,232ππππC. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,656ππππ D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,65262ππππ【答案】B解析：由条件1cos sin 3≥-x x 得216sin ≥⎪⎭⎫⎝⎛-πx ，则 652662πππππ+≤-≤+k x k ，解得ππππ+≤≤+k x k 232，Z k ∈，所以选B . 4.将两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n ，则 A. 0=n B . 1=n C. 2=n D. 3≥n【答案】C解析：根据抛物线的对称性，正三角形的两个 顶点一定关于x 轴对称，且过焦点的两条直线 倾斜角分别为030和0150，这时过焦点的直线 与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形 的个数记为n ，2=n ，所以选C. 5.已知随机变量ξ服从正态分布()2,2σN ，且()8.04=<ξP ，则()=<<20ξPA. 6.0 B . 4.0 C. 3.0 D. 2.0 【答案】C 解析：如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于 直线2=x 对称，所以()5.02=<ξP ，并且 则()()()2420<-<=<<ξξξP P P 所以选C.6.已知定义在R 上的奇函数()x f 和偶函数()x g 满足()()2+-=+-xxaa x g x f()1,0≠>a a 且，若()a g =2，则()=2fxy O FABC D xyO 4 2A. 2 B . 415 C. 417 D. 2a 【答案】B解析：由条件()()22222+-=+-aa g f ，()()22222+-=-+--a a g f ，即()()22222+-=+--a a g f ，由此解得()22=g ，()222--=a a f ，所以2=a ，()41522222=-=-f ，所以选B . 7.如图，用21A A K 、、三类不同的元件连接成一个系统，K 正常工作且21A A 、至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知21A A K 、、正常工作的概率依次为9.0、8.0、8.0，则系统正常工作的概率为A. 960.0 B . 864.0 C. 720.0 D. 576.0【答案】B解析：21A A 、至少有一个正常工作的概率为()()211A P A P -系统正常工作概率为()()()()864.096.09.0121=⨯=-A P A P K P ，所以选B .8.已知向量a ()3,z x +=，b ()z y -=,2，且a ⊥b .若y x ,满足不等式1≤+y x ，则z 的取值范围为A. []2,2- B . []3,2- C. []2,3- D. []3,3- 【答案】D解析：因为a ⊥b ，()()032=-++z y z x ， 则y x z 32+=，y x ,满足不等式1≤+y x ， 则点()y x ,的可行域如图所示,当y x z 32+=经过点()1,0A 时，y x z 32+=取得最大值3 当y x z 32+=经过点()1,0-C 时，y x z 32+=取得最小值-3 所以选D.9.若实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则称a 与b 互补，记()b a b a b a --+=22,ϕ，那么()0,=b a ϕ是a 与b 互补KA 1A 2 xy O A(0,1)B(1,0)C(0,-1)D(-1,0)l 1l 2A. 必要而不充分条件 B . 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件 【答案】C解析：若实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则a 与b 至少有一个为0，不妨设0=b ，则()0,2=-=-=a a a a b a ϕ；反之，若()0,22=--+=b a b a b a ϕ，022≥+=+b a b a两边平方得ab b a b a 22222++=+0=⇔ab ，则a 与b 互补，故选C.10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：()3002t M t M -=，其中0M 为0=t 时铯137的含量，已知30=t 时，铯137的含量的变化率．．．是2ln 10-（太贝克/年），则()=60M A . 5太贝克 B . 2ln 75太贝克 C . 2ln 150太贝克 D . 150太贝克 【答案】D解析：因为()300/22ln 301tM t M -⨯-=，则()2ln 1022ln 3013030300/-=⨯-=-M M ，解得6000=M ，所以()302600tt M -⨯=，那么()150416002600603060=⨯=⨯=-M （太贝克），所以选D .二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11.在1831⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中含15x 的项的系数为 .（结果用数值表示） 【答案】17【解析】二项式展开式的通项公式为rr r r x x C T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+3118181rr r r x C ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--31211818，令2152118=⇒=--r r r ，含15x 的项的系数为17312218=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C ，故填17.12.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为 .（结果用最简分数表示） 【答案】14528 解析：从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ，从这30瓶饮料中任取2瓶，没有取到1瓶已过了保质期饮料为事件B ，则A 与B 是对立事件，因为()291513272302527⨯⨯==C C B P ，所以()()145282915132711=⨯⨯-=-=B P A P ，所以填14528. 12.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升. 【答案】6667解析：设该数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意⎩⎨⎧=++=+++439874321a a a a a a a ，即⎩⎨⎧=+=+421336411d a d a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+6673471d d a ，则d d a d a a 374115-+=+=6667662134=-=，所以应该填6667. 14.如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系//Oy x （其中/y 轴与y 轴重合）所在的平面为β，0/45=∠xOx .（Ⅰ）已知平面β内有一点()2,22/P ，则点/P 在平面α内的射影P 的坐标为 ； （Ⅱ）已知平面β内的曲线/C 的方程是()02222/2/=-+-y x，则曲线/C 在平面α内的射影C 的方程是 .【答案】()2,2,()1122=+-y x解析：（Ⅰ）设点/P 在平面α内的射影P 的坐标为()y x ,，则点P 的纵坐标和()2,22/P 纵坐标相同，所以2=y ，过点/P 作Oy H P ⊥/，垂足为H ，αβxy (y /)C /Ox•βxy (y /)C /Ox•PH连结PH ，则0/45=∠HP P ，P 横坐标 所以点/P 在平面α内的射影P 的坐标为()2,2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得2245cos //⨯==x x x ，y y =/，所以⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x //2代入曲线/C 的方程()02222/2/=-+-y x，得()⇒=-+-0222222y x ()1122=+-y x ，所以射影C 的方程填()1122=+-y x .15.给n 个则上而下相连的正方形着黑色或白色.当4≤n 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如下图所示： 由此推断，当6=n 时，黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有 种.（结果用数值表示） 【答案】43,21解析：设n 个正方形时黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案数为n a ，由图可知， 由此推断1365435=+=+=a a a ，21138546=+=+=a a a ，故黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种；由于给6个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有6422222226==⨯⨯⨯⨯⨯种方法，由于黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种，所以至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有432164=-种着色方案，故分别填43,21. 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分10分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 、所对的边分别为a 、b 、c ，已知11. 2.cos .4a b C === （Ⅰ）求ABC ∆的周长 （Ⅱ）求()cos A C -的值本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(湖北.理)含答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效．3．将填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．4．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果2323nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）Ａ．3Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10 2．将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）Ａ．π2cos 234x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭3．设P 和Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈∉，且，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，那么P Q -等于（ ）Ａ．{}|01x x << Ｂ．{}|01x x <≤Ｃ．{}|12x x <≤Ｄ．{}|23x x <≤4．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是m '和n '，给出下列四个命题：①m n m n ''⊥⇒⊥； ②m n m n ''⊥⇒⊥；③m '与n '相交⇒m 与n 相交或重合； ④m '与n '平行⇒m 与n 平行或重合．其中不正确的命题个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3Ｄ．45．已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111lim 111pq n n n ∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭→（ ） A ．0B ．1C ．p qD ．11p q -- 6．若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为正常数，n *∈N ），则称{}n a 为“等方比数列”． 甲：数列{}n a 是等方比数列； 乙：数列{}n a 是等比数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7．双曲线22122:1(00)x y C a b a b-=>>，的左准线为l ，左焦点和右焦点分别为1F 和2F ；抛物线2C 的准线为l ，焦点为21F C ；与2C 的一个交点为M ，则12112F F MF MF MF -等于（ ）A ．1-B ．1C ．12-D ．128．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量()m n ，a =与向量(11)=-，b 的夹角为θ，则0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，的概率是（ ）A ．512B ．12C ．712D ．5610．已知直线1x ya b+=（a b ，是非零常数）与圆22100x y +=有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ） A ．60条 B ．66条 C ．72条 D ．78条二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上． 11．已知函数2y x a =-的反函数是3y bx =+，则a = ；b = ． 12．复数i z a b a b =+∈R ，，，且0b ≠，若24z bz -是实数，则有序实数对()a b ，可以是 ．（写出一个有序实数对即可）13．设变量x y ，满足约束条件02 3.x y x +⎧⎨-⎩≥，≤≤则目标函数2x y +的最小值为．14．某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率 ．（用数值作答）15．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为116t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：（I ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 ；（II ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ． （I ）求θ的取值范围； （II）求函数2()2sin cos 24f θθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭π的最大值与最小值．17．（本小题满分12分）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：（I ）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；（II ）估计纤度落在[1.381.50)，中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？（III ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[1.301.34)，的中点值是1.32）作为代表．据此，估计纤度的期望． 18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC BC a ==，VDC θ∠=π02θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭．（I ）求证：平面VAB ⊥VCD ；（II ）当解θ变化时，求直线BC 与平面VAB 所成的角的取值范围．19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，过定点(0)C p ，作直线与抛物线22x py =（0p >）相交于A B ，两点．（I ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB △面积的最小值；（II ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．（此题不要求在答题卡上画图） 20．（本小题满分13分） 已知定义在正实数集上的函数21()22f x x ax =+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同． （I ）用a 表示b ，并求b 的最大值；VAx（II ）求证：()()f x g x ≥（0x >）． 21．（本小题满分14分） 已知m n ，为正整数，（I ）用数学归纳法证明：当1x >-时，(1)1mx mx ++≥；（II ）对于6n ≥，已知11132m n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，求证1132mm m ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭， 求证1132m mm n ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，12m n =，，，； （III ）求出满足等式34(2)(3)nnn m n n ++++=+的所有正整数n ．2019年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ｂ 2．Ａ 3．Ｂ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｂ 7．Ａ 8．Ｄ 9．Ｃ 10．Ａ二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分25分． 11．162；12．(21)，（或满足2a b =的任一组非零实数对()a b ，）13．32-14．1512815．110110010111610t t t y t -⎧⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎪⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，，，≤≤；0.6 三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力． 解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴．（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+-πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=． 17．本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力． 解：（Ⅰ）（Ⅱ）纤度落在[)1.381.50，中的概率约为0.300.290.100.69++=，纤度小于1.40的概率样本数据约为10.040.250.300.442++⨯=． （Ⅲ）总体数据的期望约为1.320.04 1.360.25 1.400.30 1.440.29 1.480.10 1.520.02 1.4088⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．18．本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力． 解法1：（Ⅰ）AC BC a ==∵，ACB ∴△是等腰三角形，又D 是AB 的中点， CD AB ⊥∴，又VC ⊥底面ABC ．VC AB ⊥∴．于是AB ⊥平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ） 过点C 在平面VCD 内作CH VD ⊥于H ，则由（Ⅰ）知CD ⊥平面VAB ． 连接BH ，于是CBH ∠就是直线BC 与平面VAB 所成的角． 在CHD Rt △中，sin 2CH a θ=； 设CBH ϕ∠=，在BHC Rt △中，sin CH a ϕ=，sin 2θϕ=． π02θ<<∵， 0sin 1θ<<∴，0sin 2ϕ<<． 又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴． 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫⎪⎝⎭，．解法2：（Ⅰ）以CA CB CV ，，所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)(00)(00)000tan 22a a C A a B a D V θ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，于是，tan 222a aVD a θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，022a a CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，(0)AB a a =-，，． 从而2211(0)0002222a aABCD a a a a ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭，，，，··，即AB CD ⊥．同理2211(0)tan 0022222a a AB VD a a a a θ⎛⎫=--=-++= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，··， 即AB VD ⊥．又CD VD D =，AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ．ADBCHV∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为ϕ，平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，则由00AB VD ==，nn ··．得0tan 0222ax ay a a x y az θ-+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，．可取(11)θ=n ，又(00)BC a =-，，，于是sin sin 2BC BCa ϕθ===n n ···， π02θ<<∵，0sin 1θ<<∴，0sin ϕ<<．又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴． 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．解法3：（Ⅰ）以点D 为原点，以DC DB ，所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)000000D A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，0tan 22V a a θ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，，，于是0tan 22DV a a θ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，，，002DC a ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，，，(00)AB =，．从而(00)ABDC =，·0002a ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，，·，即AB DC⊥．同理(00)0tan 022ABDV a a θ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，，，·，即AB DV ⊥． 又DCDV D =，AB ⊥∴平面VCD ．又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为ϕ，平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，则由00AB DV ==，··n n，得0tan 022ax az θ=⎨-+=⎪⎩，． 可取(tan 01)θ=，，n，又022BC a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，，于是tan 2sin 2BC a BC θϕθ===n n ···，π02θ<<∵，0sin 1θ<<∴，0sin 2ϕ<<． 又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴， 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．解法4：以CA CB CV ，，所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)(00)(00)022a aC A a B aD ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，． 设(00)(0)V t t >，，．（Ⅰ）(00)0(0)22a a CV t CD AB a a ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，，，，，，，，， (0)(00)0000AB CV a a t =-=++=，，，，··，即AB CV ⊥．22(0)0002222a a a a AB CD a a ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭，，，，··，即AB CD ⊥．又CV CD C =，AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设直线BC 与平面VAB 所成的角为ϕ， 设()x y z =，，n 是平面VAB 的一个非零法向量，A则()(0)0()(0)0AB x y z a a ax ay AV x y z a t ax tz ⎧=-=-+=⎪⎨=-=-+=⎪⎩，，，，，，，，，，nn····取z a =，得x y t ==．可取()t t a =，，n ，又(00)CB a =，，，于是sin CB CBa ϕ====···n n(0)t ∈+，∵∞，sin ϕ关于t 递增． 0sin ϕ<<∴，π04ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴． 即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，．19．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．解法1：（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为(0)N p -，，可设1122()()A x y B x y ，，，，直线AB 的方程为y kx p =+，与22x p y =联立得22x p y y k x p ⎧=⎨=+⎩，．消去y 得22220x pkx p --=．由韦达定理得122x x pk +=，2122x x p =-．于是12122ABN BCN ACN S S S p x x =+=-△△△·．12p x x =-=2p ==∴当0k =时，2min ()ABN S =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，AC 的中点为O '，l 与AC 为直径的圆相交于点P ，Q PQ ，的中点为H ，则O H PQ '⊥，Q '点的坐标为1122x y p +⎛⎫⎪⎝⎭，．12O P AC '===∵， 111222y p O H a a y p +'=-=--， 222PH O P O H ''=-∴2221111()(2)44y p a y p =+--- 1()2p a y a p a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭， 22(2)PQ PH =∴14()2p a y a p a ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2p y =， 即抛物线的通径所在的直线．解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得12AB x =-=2= 又由点到直线的距离公式得d =．从而112222ABN S d AB p ===△···∴当0k =时，2min ()ABN S =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，则以AC 为直径的圆的方程为11(0)()()()0x x x y p y y -----=，将直线方程y a =代入得211()()0x x x a p a y -+--=， 则21114()()4()2p x a p a y a y a p a ⎡⎤⎛⎫=---=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△． 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为3344()()P x y Q x y ，，，，则有34PQ x x =-==令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2p y =， 即抛物线的通径所在的直线．20．本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．解：（Ⅰ）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同．()2f x x a '=+∵，23()a g x x'=，由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=． 即22000200123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，由20032a x a x +=得：0x a =，或03x a =-（舍去）． 即有222221523ln 3ln 22b a a a a a a a =+-=-． 令225()3ln (0)2h t t t t t =->，则()2(13ln )h t t t '=-．于是 当(13ln )0t t ->，即130t e <<时，()0h t '>；当(13ln )0t t -<，即13t e >时，()0h t '<．故()h t 在130e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，为增函数，在13e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞为减函数， 于是()h t 在(0)+，∞的最大值为123332h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （Ⅱ）设221()()()23ln (0)2F x f x g x x ax a x b x =-=+-->， 则()F x '23()(3)2(0)a x a x a x a x x x-+=+-=>． 故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +，∞为增函数，于是函数()F x 在(0)+，∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=．故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥．。
2019年湖北高考试题(数学理)
2019年湖北高考试题（数学理）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！数 学〔理工农医类〕〔湖北卷〕本试卷分第Ⅰ〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分。
第一卷1至2页，第二卷3至4页，共150分。
考试用时120分钟。
第一卷〔选择题共60分〕本卷须知1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2.每题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷上无效。
3.考试结束，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。
【一】选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. 1.设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q ={a+b |a ∈P ,b ∈Q}.假设P={0,2,5},Q ={1,2,6},那么P +Q 中元素的个数是A.9B.8C.7D.6 ①“a =b ”是“ac =bc ”的充要条件； ②“a +5是无理数”“a 是无理数”充要条件；③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件.其中真命题的个数是 A.1B.2C.3 D.4 3.=++-i1)i 21)(i 1(A.-2-iB.2C.2-iD.2+i4.函数y =e \Inx \-︱x -1︱的图像大致是5.双曲线=-ny m x 221(m ≠n )的离心率为2,有一个焦点与抛物线y 2,有一个焦点与抛物线y =4x 的焦点重合，那么mn 的值为A.63B.83C.616D.38 6.在y =2x,x=log 2x ,y =x 2,y =cos2x 这四个数中，当0<x 1<x 2<1时，使)(221x x +>2)()(21x f x f +恒成立的函数的个数是 A.0B.1C.2D.37.假设sin α+cos α=tan α=tan α(0<α<2π)，那么α∈A.(0,6π)B.(6π,4π)C.(4π,3π)D.(3π,2π)8.假设1min →x (211x bx a ---)=1,那么常数a ,b 的值为 A 、a =-2,b =4B.a =2,b =-4C.a =-2,b =-4D.a =2,b =4 9.假设0<x <2π,那么2x 与3sin x 的大小关系：A.2x >3sin xB.2x <3sin xC.2x =3sin xD.与x 的取值有关10.如图，在三棱柱ABC-A ′B ′C ′中，点E 、F 、H 、K 分别为AC ′、CB ′、A ′B 、B ′C ′的中点，Ｇ为△ABC 的重心.从K 、H 、G 、B ′中取一点作为P,使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，那么P 为 A.K B.H C.G D.B ′11.某初级中学有学生270人，其中一年级108人，【二】三年级各81人，现要利用抽样方法随机抽样和分层抽样时，将学生按【一】【二】三年级依次统一编号为1,2,…270;使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2,…,270,并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有以下四种情况：①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250; ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265; ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254; ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270. 关于上述样本的以下结论中，正确的选项是A.②、③都不能系统抽样B.②、④都不能分层抽样C.④、①都可能为系统抽样D.①、③都可能为分层抽样12.以平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，那么这两个三角形不共面的概率p 为 A.385367B.385376C.385192D.38518 第二卷〔非选择题共90分〕本卷须知第二卷用0.5毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。
2019湖北普通高等学校招生全国统一考试数学(理)解析版2
2019湖北普通高等学校招生全国统一考试数学（理）解析版2注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
数学(理工农医类)一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项满足题目要求的。
1、假设i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数Z ，那么表示复数1zi+的点是 A 、EB.FC.GD.H2、设集合()22{,|1}416x y A x y =+=，{(,)|3}x B x y y ==，那么A B ⋂的子集的个数是 A 、4B 、3C 、2D 、13.在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，那么cosB =A －3B 3C 4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,那么事件A ，B 中至少有一件发生的概率是 A512B 12C 712D 345、ABC ∆和点M 满足0MA MB MC --→--→--→+=+.假设存在实数m 使得AB AC AM m --→--→--→+=成立，那么m=A 、2B 、3C 、4D 、56、将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，……600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003、这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数一次为A 、26,16,8,B 、25，17，8C 、25，16，9D 、24，17，97、如图，在半径为r 的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设n s 为前n 个圆的面积之和，那么limn →∞n s =A 、22r π B.832r π C.42r π D.62r π8、现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。
2019年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷.理)含答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。
全卷共150分。
考试用时120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题纸上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3. 考试结束后，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分散。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量(3,1)a =，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b =，则b = ( B )A ．（1,22） B ．（1,22） C ．（13,44） D ．（1,0） 2.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = ( D ) A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 3.若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A += ( A )B ．．53 D ．53- 4．设2()lg 2x f x x +=-，则2()()2x f f x+的定义域为 ( B ) A ．(4,0)(0,4)- B ．(4,1)(1,4)-- C ．(2,1)(1,2)-- D ．(4,2)(2,4)--5．在24(x 的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有 ( C ) A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．6项6．关于直线,m n 与平面,αβ，有以下四个命题： ①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ； ②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥； ④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ；其中真命题的序号是 ( D ) A ．①② B ．③④ C ．①④ D ．②③7．设过点(,)P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =且1OQ AB =，则点P 的轨迹方程是 ( D )A ．22331(0,0)2x y x y +=>> B ．22331(0,0)2x y x y -=>> C ．22331(0,0)2x y x y -=>> D ．22331(0,0)2x y x y +=>>8．有限集合S 中元素的个数记做()card S ，设,A B 都为有限集合，给出下列命题： ①AB =∅的充要条件是()()()card A B card A card B =+；②A B ⊆的充要条件是()()card A card B ≤； ③A B Ú的充要条件是()()card A card B ≤； ④A B =的充要条件是()()card A card B =；其中真命题的序号是 ( B ) A ．③④ B ．①② C ．①④ D ．②③9．已知平面区域D 由以(1,3),(5,2),(3,1)A B C 为顶点的三角形内部＆边界组成。
2019年全国高考统一招生【湖北卷】【理科】数学试卷
2019年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. i 为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ）A. 1-B. 1C. i -D. i2. 若二项式7)2(xa x +的展开式中31x 的系数是84，则实数=a （ ） A.2 B. 54 C. 1 D. 423. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件A.0,0>>b aB.0,0<>b aC.0,0><b aD.0.0<<b a5.在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0）， （1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A. ①和②B.③和①C. ④和③D.④和② 6.若函数[]1,1)(),(,0)()()(),(11-=⎰-为区间则称满足x g x f dx x g x f x g x f 上的一组正交函数，给出三组函数：①x x g x x f 21cos )(,21sin)(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f == 其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（ ）A.0B.1C.2D.37.由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ）A.81 B.41 C. 43 D.878.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A.227 B.258C.15750D.3551139.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）C.3D.210、已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当X ≧0时，则实数a的取值范围是二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案天灾答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11.设向量(3,3)a =，(1,1)b =-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ=________.12.直线1l ：y=x+a 和2l ：y=x+b 将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________. 13.设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例如815a =，则()158I a =，()851D a =）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b =________.14.设()x f 是定义在()+∞,0上的函数，且()0>x f ，对任意0,0>>b a ，若经过点()()()()b f b a f a ,,,的直线与x 轴的交点为()0,c ，则称c 为b a ,关于函数()x f 的平均数，记为),(b a M f ，例如，当())0(1>=x x f 时，可得2),(ba cb a M f +==，即),(b a M f 为b a ,的算术平均数.（1）当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的几何平均数； （2）当当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的调和平均数ba ab+2；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）（二）选考题15.（选修4-1：几何证明选讲） 如图，P 为⊙O 的两条切线，切点分别为B A ,，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于D C ,两点，若,3,1==CD QC 则_____=PB16.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y t x ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为________17、（本小题满分11分）某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位;h ）的变化近似满足函数关系；(1) 求实验室这一天的最大温差； (2) 若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？18（本小题满分12分） 已知等差数列满足：=2，且，成等比数列.（1） 求数列的通项公式.（2） 记为数列的前n 项和，是否存在正整数n ，使得若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.19(本小题满分12分)如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在棱1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP . （1）当1=λ时，证明：直线1BC 平面EFPQ ;（2）是否存在λ，使平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.20.（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？21.（满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C.(1)求轨迹为C 的方程(2)设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围。
2019年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷理)详解
试卷类型：A2019年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数 学(理工农医类解析)本试题卷共4页，三大题21小题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。
2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
咎在试题卷、草稿纸上无效。
3填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.1.i 为虚数单位，则=⎪⎭⎫⎝⎛-+201111i iA.i -B.1-C.iD.1 【答案】A解析：因为()i i i i i =-+=-+221111，所以i i i i i i -====⎪⎭⎫⎝⎛-++⨯3350242011201111，故选A .2.已知{}1,log 2>==x x y y U ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>==2,1x x y y P ，则=P C U A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21 B.⎪⎭⎫⎝⎛21,0 C.()+∞,0 D. ()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∞-,210,【答案】A解析：由已知()+∞=,0U .⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,0P ，所以⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞=,21P C U ,故选A .3.已知函数()x x x f cos sin 3-=，R x ∈，若()1≥x f ，则x 的取值范围为A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,3ππππ B . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,232ππππC. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,656ππππ D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,65262ππππ【答案】B解析：由条件1cos sin 3≥-x x 得216sin ≥⎪⎭⎫⎝⎛-πx ，则 652662πππππ+≤-≤+k x k ，解得ππππ+≤≤+k x k 232，Z k ∈，所以选B . 4.将两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n ，则A. 0=n B . 1=n C. 2=n D. 3≥n 【答案】C解析：根据抛物线的对称性，正三角形的两个 顶点一定关于x 轴对称，且过焦点的两条直线 倾斜角分别为030和0150，这时过焦点的直线 与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形 的个数记为n ，2=n ，所以选C.5.已知随机变量ξ服从正态分布()2,2σN ，且()8.04=<ξP ，则()=<<20ξPA. 6.0 B . 4.0 C. 3.0 D. 2.0 【答案】C 解析：如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于 直线2=x 对称，所以()5.02=<ξP ，并且()()4220<<=<<ξξP P则()()()2420<-<=<<ξξξP P P3.05.08.0=-=所以选C.6.已知定义在R 上的奇函数()x f 和偶函数()x g 满足()()2+-=+-xxaa x g x f()1,0≠>a a 且，若()a g =2，则()=2fA. 2 B . 415 C. 417 D. 2a 【答案】B解析：由条件()()22222+-=+-aa g f ，()()22222+-=-+--a a g f ，即()()22222+-=+--a a g f ，由此解得()22=g ，()222--=a a f ，所以2=a ，()41522222=-=-f ，所以选B . 7.如图，用21A A K 、、三类不同的元件连接成一个系统，K 正常工作且21A A 、至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知21A A K 、、正常工作的概率依次为9.0、8.0、8.0，则系统正常工作的概率为A. 960.0 B . 864.0 C. 720.0 D. 576.0 【答案】B解析：21A A 、至少有一个正常工作的概率为()()211A P A P -()()94.004.018.018.011=-=-⨯--=，系统正常工作概率为()()()()864.096.09.0121=⨯=-A P A P K P ，所以选B .8.已知向量a ()3,z x +=，b ()z y -=,2，且a ⊥b .若y x ,满足不等式1≤+y x ，则z 的取值范围为A. []2,2- B . []3,2- C. []2,3- D. []3,3- 【答案】D解析：因为a ⊥b ，()()032=-++z y z x ， 则y x z 32+=，y x ,满足不等式1≤+y x ，则点()y x ,的可行域如图所示,当y x z 32+=经过点()1,0A 时，y x z 32+=当y x z 32+=经过点()1,0-C 时，y x z 32+=取得最小值-3 所以选D .9.若实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则称a 与b 互补，记()b a b a b a --+=22,ϕ，那么()0,=b a ϕ是a 与b 互补A . 必要而不充分条件B . 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件 【答案】C解析：若实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则a 与b 至少有一个为0，不妨设0=b ，则K A 1A 2()0,2=-=-=a a a a b a ϕ；反之，若()0,22=--+=b a b a b a ϕ，022≥+=+b a b a两边平方得ab b a b a 22222++=+0=⇔ab ，则a 与b 互补，故选C.10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：()3002t M t M -=，其中0M 为0=t 时铯137的含量，已知30=t 时，铯137的含量的变化率．．．是2ln 10-（太贝克/年），则()=60M A . 5太贝克 B . 2ln 75太贝克 C . 2ln 150太贝克 D . 150太贝克 【答案】D解析：因为()300/22ln 301tM t M -⨯-=，则()2ln 1022ln 3013030300/-=⨯-=-M M ，解得6000=M ，所以()302600tt M -⨯=，那么()150416002600603060=⨯=⨯=-M （太贝克），所以选D .二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11.在1831⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中含15x 的项的系数为 .（结果用数值表示）【答案】17【解析】二项式展开式的通项公式为rr r r x x C T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+3118181rr r r x C ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--31211818，令2152118=⇒=--r r r ，含15x 的项的系数为17312218=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C ，故填17.12.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为 .（结果用最简分数表示） 【答案】14528 解析：从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ，从这30瓶饮料中任取2瓶，没有取到1瓶已过了保质期饮料为事件B ，则A 与B 是对立事件，因为()291513272302527⨯⨯==C C B P ，所以()()145282915132711=⨯⨯-=-=B P A P ，所以填14528. 12.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升. 【答案】6667解析：设该数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意⎩⎨⎧=++=+++439874321a a a a a a a ，即⎩⎨⎧=+=+421336411d a d a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+6673471d d a ， 则d d a d a a 374115-+=+=6667662134=-=，所以应该填6667. 14.如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系//Oy x （其中/y 轴与y 轴重合）所在的平面为β，0/45=∠xOx .（Ⅰ）已知平面β内有一点()2,22/P ，则点/P 在平面α内的射影P 的坐标为 ； （Ⅱ）已知平面β内的曲线/C 的方程是()02222/2/=-+-y x，则曲线/C 在平面α内的射影C 的方程是 .【答案】()2,2,()1122=+-y x解析：（Ⅰ）设点/P 在平面α内的射影P 的坐标为()y x ,，则点P 的纵坐标和()2,22/P 纵坐标相同，所以2=y ，过点/P 作Oy H P ⊥/，垂足为H ，连结PH ，则0/45=∠HP P ，P 横坐标0/45cos H P PH x ==2222245cos 0/=⨯==x ， 所以点/P 在平面α内的射影P 的坐标为()2,2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得2245cos //⨯==x x x ，y y =/，所以⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x //2代入曲线/C 的方程()02222/2/=-+-y x，得()⇒=-+-0222222y x ()1122=+-y x ，所以射影C 的方程填()1122=+-y x .15.给n 个则上而下相连的正方形着黑色或白色.当4≤n 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如下图所示：由此推断，当6=n 时，黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有 种.（结果用数值表示） 【答案】43,21解析：设n 个正方形时黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案数为n a ，由图可知， 21=a ，32=a ， 213325a a a +=+==， 324538a a a +=+==，由此推断1365435=+=+=a a a ，21138546=+=+=a a a ，故黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种；由于给6个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有6422222226==⨯⨯⨯⨯⨯种方法，由于黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种，所以至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有432164=-种着色方案，故分别填43,21. 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分10分） 设ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，41cos =C . （Ⅰ）求ABC ∆的周长； （Ⅱ）求()C A -cos 的值.本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力 解析：（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=cn=1 n=2n=3n=4∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a .（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8152415sin sin ===cCa A ∵c a <，∴C A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A ∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. 17．（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.解析：（Ⅰ）由题意：当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得⎩⎨⎧=+=+60200200b a b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=320031b a故函数()x v 的表达式为()x v =()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x x x当200≤≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=⨯；当20020≤≤x 时，()()()310000220031200312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=x x x x x f ， 当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立．所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值310000． 综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值3333310000≈，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时． 18．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱111C B A ABC -的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合．（Ⅰ）当1=CF 时，求证C A EF 1⊥；（Ⅱ）设二面角E AF C --的大小为θ，θtan 的最小值． 本题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础 知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解 能力. 解析：ABCEA 1C 1B 119.（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：1a a =(0)a ≠，n n rS a =+1 (n ∈N *，,1)r R r ∈≠-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若存在k ∈ N *，使得1+k S ，k S ，2+k S 成等差数列，试判断：对于任意的m ∈N *，且2m ≥，1+m a ，m a ，2+m a 是否成等差数列，并证明你的结论.20. （本小题满分14分）平面内与两定点1(,0)A a -，2(,0)A a (0)a >连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线.（Ⅰ）求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值得关系；（Ⅱ）当1m =-时，对应的曲线为1C ；对给定的(1,0)(0,)m U ∈-+∞，对应的曲线为2C ，设1F 、2F 是2C 的两个焦点。
湖北省部分重点中学2019届高三第二次联考高三理科数学试卷与参考答案
(
)
(
)
2 r |= 4 ， | n | . | DC |
r r n.DC
解得 =
2 . 3
所以当
PQ 2 = 时, 存在 Q 使 DC 与面 DEQ 所成角的正弦值为 PC 3
…………………………12 分
2 4
19.（1）由已知 F1 ( −1, 0 ) ， F2 (1, 0 )
，圆 F2 的半径为 r = 2 2
湖北省部分重点中学 2019 届高三第二次联考
高三数学理科试卷参考答案
一．选择题： 1 C 2 D 3 D 4 B 5 D 6 C 7 B 8 C 9 A 10 B 11 D 12 A
二．填空题：13）60
14）583
15） 30
16） ( −, 0 ) , +
1 e
经检验知 k 2 = y=
6 ( x − 2) 6
…………………………12 分
20.（1）由频率分布直方图可得第 4 组的频率为 1-0.1-0.3-0.3-0.1=0.2， 故 x=0.02. 故可估计所抽取的 50 名学生成绩的平均数为 (55 0.01+65 0.03+75 0.03+85 0.02+95 0.01) 10=74（分）. ……………3 分 由于前两组的频率之和为 0.1+0.3=0.4，前三组的频率之和为 0.1+0.3+0.3=0.7，故中位数 在第 3 组中.设中位数为 t 分， 则有(t-70) 0.03=0.1，所以 t = 73
(
)
(
)
(
)
(
)
又因为 PQ = PC = −2 , 3 , − ,所以 { y = 3
2019年湖北省高考理科数学试卷及答案解析【word版】
2019年普通高等学校招生全国统一考试理科（四川卷）参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂= A ．{1,0,1,2}- B ．{2,1,0,1}-- C ．{0,1} D ．{1,0}- 【答案】A【解析】{|12}A x x =-≤≤，B Z =，故A B ⋂={1,0,1,2}- 2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为 A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 【答案】C【解析】含3x 项为24236(1)15x C x x ⋅=3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上 所有的点 A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A【解析】因为1sin(21)sin[2()]2y x x =+=+，故可由函数sin 2y x =的图象上所有的点向左平行移动12个单位长度得到4．若0a b >>，0c d <<，则一定有 A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c< 【答案】D【解析】由1100c d d c<<⇒->->，又0a b >>，由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a bd c< 5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，函数2S x y =+的最大值为2.6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种 【答案】B【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有55A 种；当最左端为乙时，不同的排法共有14C 44A 种。
2019年全国高考湖北省数学(理)试卷及答案【精校版】
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. i 为虚数单位，则11(ii) 2（）A. 1B. 1C. iD. i2. 若二项式a7(2x ) 的展开式中x13x的系数是84，则实数a （）25 4 C. 1 D.A.2B.43. 设U 为全集，A, B 是集合，则“存在集合 C 使得A C, B C C 是“A B ”的（）UA. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 根据如下样本数据x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 0.5 0.5 2.0 3.0得到的回归方程为y?bx a ，则（）A. a 0,b 0B. a 0,b 0C. a 0, b 0D. a 0.b 05. 在如图所示的空间直角坐标系O xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2 ），（2,2,0 ），（1,2 ，1），（2,2,2 ），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A. ①和②B. ③和①C. ④和③D. ④和②16. 若函数 f (x), g (x)满足 f (x)g( x) dx 0, f ( x), g( x) 1,1 上的一组正交函数，给出三组函数：7. 1 则称为区间1 1① f x x g x x( ) sin , ( ) cos ；② f (x) x 1, g (x) x 1；③f (x) x,g(x) x 22 2其中为区间[ 1 ,1] 的正交函数的组数是（）A.0 B.1 C.2 D.3x y y 0x 2 0确定的平面区域记为 1 ，不等式xxyy18. 由不等式，确定的平面区域记为 2 ，在 1 中随2机取一点，则该点恰好在 2 内的概率为（）A. 18B.14C.34D.789.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也. 又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式12v L h. 它实际上是将圆锥体积公36式中的圆周率近似取为 3. 那么近似公式22v L h 相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）75A. 227B.258C.15750D.35511310.已知F1,F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且F1PF2 , 则椭圆和双曲线的离心率3的倒数之和的最大值为（）A. 4 33B.2 33C.3D.211.已知函数 f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x 0 时，x R, f (x1) f (x), 则实数 a 的取值范围为（）12 2 2f (x) (| x a |) | x 2a | 3a ). 若2A.1 1[ , ]6 6B.6 6[ , ]6 6C.1 1[ , ]3 3D.3 3[ , ]3 3二、填空题：本大题共 6 小题，考生共需作答 5 小题，每小题 5 分，共25 分. 请将答案天灾答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.（一）必考题（11—14 题）12.设向量a (3,3)，b(1, 1)，若a b a b ，则实数________.13.直线l ：y=x+a 和1 l ：y=x+b将单位圆22 2C : x y 1分成长度相等的四段弧，则2 2a b ________.14.设a是一个各位数字都不是0 且没有重复数字的三位数. 将组成a的3 个数字按从小到大排成的三位数记为I a ，按从大到小排成的三位数记为 D a （例如a 815，则I a 158，D a 851）. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个 a ，输出的结果 b ________.15.设f x 是定义在0, 上的函数，且f x 0，对任意a 0,b 0 ，若经过点a, f a , b, f b 的直线与x轴的交点为c,0 ，则称c 为a,b 关于函数 f x 的平均数，记为M f ( a,b) ，例如，当 f x 1(x 0) 时，可得a bM f ，即M f (a,b) 为a,b 的算术平均数.(a, b) c2（1）当f x _____(x 0) 时，M f (a,b) 为a,b 的几何平均数；（2）当当f x _____(x 0) 时，M ( a,b)f 为a,b的调和平均数（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）2aba b；（二）选考题16.（选修4-1 ：几何证明选讲）如图，P 为⊙O 的两条切线，切点分别为A,B ，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C, D两点，若QC 1, CD 3, 则PB _____17.（选修4-4 ：坐标系与参数方程）x t已知曲线C1 的参数方程是y 3t3t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线为参数C 的极坐标方程是 2 ，则C1 与C2 交点的直角坐标为________217、（本小题满分11 分）某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位;h ）的变化近似满足函数关系；(1) 求实验室这一天的最大温差；(2) 若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？18（本小题满分12 分）已知等差数列满足：=2，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式.（2）记为数列的前n 项和，是否存在正整数n，使得若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.19( 本小题满分12分)如图，在棱长为2的正方体A BCD A1B C D 中，E, F ,M, N 分别是棱AB, AD, A1B1, A1D1 的中点，点P,Q 分1 1 1别在棱D D , BB1上移动，且DP BQ 0 2 .1（1）当1时，证明：直线B C 平面EFPQ ;1（2）是否存在，使平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 20. （本小题满分12 分）计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去50 年的水文资料显示，水库年入流量X ( 年入流量：一年内上游来水与库区降水之和. 单位：亿立方米）都在40 以上. 其中，不足80 的年份有10 年，不低于80 且不超过120 的年份有35 年，超过120 的年份有 5 年. 将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1) 求未来 4 年中，至多 1 年的年入流量超过120 的概率；(2) 水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台年利润为5000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800 万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？18.（满分14 分）在平面直角坐标系xOy 中，点M到点F 1,0 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M的轨迹为C.(1) 求轨迹为C的方程(2) 设斜率为k 的直线l 过定点p 2,1 ，求直线l 与轨迹 C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k的相应取值范围。
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湖北省2019届高三数学招生统一考试试题 理注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合}02|{2<--=x x x A ，}log |{2m x x B >=，若B A ⊆，则实数m 的取值范围（ ） A ．]21,(-∞ B ．]4,0( C ．]1,21(D ．]21,0(2. 若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z=（ ） A ．1+2i B ．1﹣2i C ．﹣1+2i D ．﹣1﹣2i3．在等差数列{}n a 中，810112a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S =( ) A. 8 B. 16 C. 22 D. 44 4． 某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为A ．9214π+B ．8214π+C ．9224π+D ．8224π+ 5．若)()1(*3N n xx x n ∈+的展开式中存在常数项，则下列选项中n 可为( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 6．某地区高考改革，实行“3+1+2”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有 ( ) A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种7. 已知抛物线C: 28=x y ，定点A （0，2），B （0，2-），点P 是抛物线C 上不同于顶点的动点，则∠PBA 的取值范围为 （ ）A. 0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 42，ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 0,3π⎛⎤⎥⎝⎦D.32，ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭8． 若0>ω，函数)3cos(πω+=x y 的图象向右平移3π个单位长度后与函数x y ωsin =图象重合，则ω的最小值为 A.211 B.25 C.21 D. 23 9．抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在9次试验中成功次数的均值为（ ）A. 3B. 4C. 5D.610. 如图，已知圆锥的顶点为S ，底面圆O 的两条直径分别为AB 和CD ，且AB ⊥CD ，若平面 SAD 平面SBC l =．现有以下四个结论： ① AD ∥平面SBC ； ② AD l //；③ 若E 是底面圆周上的动点，则△SAE 的最大面积等于△SAB 的面积； ④ l 与平面SCD 所成的角为45°． 其中正确结论的个数是( )A. 1B.2C. 3D.411．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为1F 、2F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则21e e -的取值范围是( )A ． 2(,)3+∞B ． 4(,)3+∞C ． 2(0,)3D ． 24(,)3312．在数学史上，中国古代数学名著周髀算经、九章算术、孔子经、张邱建算经等，对等差级数(数列)])1([)3()2()(d n a d a d a d a a -++⋅⋅⋅+++++++和等比级数（数列）132-+⋅⋅⋅++++n aq aq aq aq a ，都有列举出计算的例子，说明中国古代对数列的研究曾作出一定的贡献.请同学们根据所学数列及有关知识求解下列问题.数阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211a a a a a a a a a 中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数依次成等比数列，若422=a ，则这9个数和的最小值为A. 64B.C. 36D. 16二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知平面向量,满足)3,2(,3||,2||=-==, 则=+|| . 14．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为65，则判断框中的条件m i <中的整数m 的值是 .15. 已知，满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+≥041c by ax y x x ，且目标函数y x z +=2的最大值为，最小值为，则acb a ++= . 16. 已知0a ＞，若不等式(2)2xax x e +-＞恰好有两个整数解，则a 的取值范围是的 .三、解答题（共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22, 23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）已知(2cos ,)=a x x ，(cos ,cos )b x x =-，x f ⋅=)(. （1）求函数)(x f y =的最小正周期以及单调递增区间；（2）若锐角ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若1)(-=A f ，1a =，求ABC ∆周长的取值范围.18.（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，已知11190B C A ∠=︒，11AB A C ⊥，且1AA AC =.（1）求证：平面11ACC A ⊥平面111A B C ；（2）若11112AA AC B C ===，求二面角111C AA B --的余弦值．19．（本小题满分12分）在2018年高考数学的全国I 卷中，文科和理科的选做题题目完全相同，第22题考查坐标系和参数方程，第23题考查不等式选讲某校高三质量检测的命题采用了全国I 卷的模式，在测试结束后，该校数学组教师对该校全体高三学生的选做题得分情况进行了统计，得到两题得分的统计表如下已知每名学生只做了一道题：（第22题的得分统计表） （ 第23题的得分统计表）(1) 完成如下2x 2列联表，并判断能否有的把握认为“选做题的选择”与“文、(2) 现有44名考生中至少有2人得分不低于8分的概率；(3) 若以选题的得分率作为决策依据，如果你是当年的考生，你会选择做哪道题，并说明理由.得分率题目平均分题目满分，结果精确到附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中.d c b a n +++=20已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M, N 两点，2MNF ∆的周长为8，且2F 到M,N 两点的距离之和的最大值为5.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 的左，右顶点分别为A ，B ，证明：直线MA ，NB 的交点P 在定直线m 上，并求出直线m 的方程.21．（本小题满分12分）设函数22ln )(x a x x x f -= （1）当),0(+∞∈x ，02)(≤+x ax f 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）设x x f x g -=)()(在],1[2e 上有两个极值点1x ，2x ． ① 求实数a 的取值范围；② 求证：.2ln 1ln 121ae x x >+(二)选考题（共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分）22．[选修4—4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩ (θ为参数)，直线l 的参数方程为1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩ (t 为参数)．(1) 求曲线C 和直线l 的普通方程；(2) 设()1,0M ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，若2AM MB =，求直线l 的斜率.23. [选修4—5：不等式选讲](10分)设函数.31)(a x x x f -++=（1）当1=a 时，解不等式;32)(+≤x x f（2）若关于x 的不等式a x x f -+<24)(有解，求实数a 的取值范围.2019年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试模拟试答案（一）命题：夷陵中学文科数学组 审题：夷陵中学文科数学组 一、选择题：CDCCD ADBBA AB 二、填空题：13.41 14.3π15.2 16.8 三、解答题： 17．（1）由已知得12712153a d a d +=+=⎧⎨⎩，16a ∴=-，1d =......................................................................3分所以通项公式为()6117n a n n =-+-⋅=-.......................................................................................6分.（2）由已知得：141498b b b b ⋅+==⎧⎨⎩，又{}n b 是递增的等比数列，故解得11b =，48b =，所以2q =，12n n b -∴=........................................................................................................................8分. ∴()()()()1133552121n n a b a b a b a b --++++++++ ()()13211321n n a a a b b b --=+++++++()()16422814164n n -=---++-+++++()()2146284172143nn n n n n --+--=+=-+-．................................................................................12分. 18.解：（1）连接AF ，与CD 交于点H ，连接GH ， 则GH 为ABF △的中位线，所以BF GH ∥，又BF ⊄平面C D G ，GH ⊂平面C D G ，所以BF ∥平面C D G． (5)分（2）由点H 为AF 的中点，且点F ∉平面CDG 可知， 点F 到平面CDG 的距离与点A 到平面CDG 的距离相等，由四边形ADFC 是正方形，AC AB ⊥，可得CA 是三棱锥C ADG -的高，由题意得，2CA =，1AG =，DG =，DG AG ⊥，所以111232C ADG V -=⨯⨯=，在CDG △中，DG =，CG ，DG CG ⊥，设点A 到平面CDG 的距离为h ，则1132A CDG V h -=⨯=由C ADG A CDG V V --==h ==， 所以点F 到平面CDG 的距离为25．............................................................................12分19.解：（1）商店的日利润y 关于需求量x 的函数表达式为： ()()50143014,1420501014,1014x x y x x x ⎧⨯+⨯-≤≤⎪=⎨-⨯-≤<⎪⎩，化简得30280,142060140,1014x x y x x +≤≤⎧=⎨-≤<⎩．.............................3分（2）①由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间[)10,12的频率是20.080.16⨯=； 海鲜需求量在区间[)12,14的频率是20.120.24⨯=； 海鲜需求量在区间[)14,16的频率是20.150.30⨯=； 海鲜需求量在区间[)16,18的频率是20.100.20⨯=； 海鲜需求量在区间[]18,20的频率是20.050.10⨯=； 这50天商店销售该海鲜日利润y 的平均数为：()()()11601400.1613601400.2415302800.30⨯-⨯+⨯-⨯+⨯+⨯+ ()()17302800.2019302800.10⨯+⨯+⨯+⨯83.2153.621915885698.8=++++=........................8分②由于14x =时，30142806014140700⨯+=⨯-=， 显然30280,142060140,1014x x y x x +≤≤⎧=⎨-≤<⎩在区间[]10,20上单调递增，58060140y x ==-，得12x =；76030280y x ==+，得16x =；日利润y 在区间[]580,760内的概率即求海鲜需求量x 在区间[]12,16的频率：0.240.300.54+=．......................................................................................................................12分分，：此时直线分，故，化简得）（）（点在椭圆上，所以因为分点坐标为故又的中点为故分，由根与系数的关系，得联立，，，，，的方程：设直线的斜率不为直线）（分的方程为：，椭圆，得）由题意，（四边形12.........................................................................3)23221(22110, (0012914)3631438418................................................).........436,438(,2)433,434(6.....................................................................................4394360.096)43(1341)()(1.0).0,1(24 (1341)3233221.20224222222222212212222221122222=⨯⨯⨯=====+=+-⨯++⨯+-+==++-+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+>∆=-++⎪⎩⎪⎨⎧=++=+==+⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧+==+=∆AOE AOBE S S x AB m m m m m m E m m m E OE ON OB OA m m m N AB m y y m m y y my y m y x my x y x B y x A my x AB AB F y x C c b a c b a c a b 21.解析：（1）①由题知a e x f x -=)('.............................................................................................1分若0≤a ，则0)('>-=a e x f x，故)(x f 在R 上单调递增若0>a ，)ln ,(a x -∞∈时)(x f 单调递减，),(ln +∞∈a x )(x f 单调递增...........................4分②当1=a 时，)(x f 在),0(+∞∈x 上单调递增，故0)0()(=≥f x f 即证...............................5分（2）令1)()()(-+=x g x f x h ，a x e x h x -++=11)('..........................................................6分 当2≤a 时，由（1）知1+≥x e x 恒成立，故0211111)('≥-≥-+++≥-++=a a x x a x e x h x ，所以)(x h 在),0(+∞∈x 上单调递增，从而0)0()(=≥h x h 恒成立，.................................................................................................................................9分当2>a ，令)()('x h x =ϕ，因为0≥x 时，0)1(1)(2'≥+-=x e x xϕ，故)(x ϕ在),0(+∞∈x 上单调递增，而02)0('<-=a h ，0ln 1)(ln '>+=aa a h 故存在)ln ,0(0a x ∈，使得0)(0'=x h ，从而)(x h 在),0(0x 上单调递减，)ln ,(0a x 上单调递增，又，0)0(=h 0)(0<x h ，此时0)(≥x h 不成立，不合题意。