高二上期末复习6--选修2-1空间向量

因此，∠AEB是所求二面角的平面角，
EA EB 21 cos( EA, EB ) , 7 | EA | | EB |
21 7
解得所求二面角的余弦值为
例3 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形， 侧棱PA⊥底面ABCD，AB= 3 ，BC=1，PA=2， E为PD的中点 （Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值； （Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC， 解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直 角坐标系，则A(0,0,0)、B( ,0,0)、 C( 3 ,1,0)、D(0,1,0) 、P(0,0,2)、 3 1 E(0, ,0)，
1 1 NC (1 x ,1 y , z ), MC (1, 0, ), x 1 , y 1, z . 2 2 1 4 要使 AN MC , 只需 AN MC 0即x z 0, 解得 .
，
从而 n (2,1,2)
| D1 E n | 2 1 2 1 . 所以点到平面的距离为 h 3 3 |n|
n ( a , b , c ) （3 ）设平面 D1EC 的法向量 ， ∴ CE (1, x 2, 0), D1C (0, 2, 1), DD1 (0, 0,1),
(2)线线垂直:证两直线的方向向量垂直,即 a b a b 0
(3)线面垂直: ①证直线的方向向量与平面的法向量垂直; ②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量共线; ③利用共面向量定理,即证明可在平面内找到两不共线向量来线 性变式直线的方向向量.
(4)线面垂直: ①证直线的方向向量与平面的法向量平行; ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题. (5)面面平行: ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量); ②转化为线面平行、线线平行问题. (6)面面垂直: ①证明两个平面的法向量互相垂直; ②转化为线面垂直、线线垂直问题. 6.运用空间向量求空间角.
2
5
有BN MC 0
例2 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形， 侧面VAD是正三角形,面DB所成的二面角的余弦值.
证明： 以D为坐标原点，建立如 图所示的坐标系 （Ⅰ）证明：不妨设A(1,0,0)， 则B(1,1,0)，V ( 1 , 0, 3 ) ，
1 3 E ( , 0, ) 4 4 3 3 3 3 1 3 A EA ( ,0, ), EB ( ,1, ), DV ( ,0, ). x 4 4 4 4 2 2
D
C y
B
由 EB DV 0, 得EB DV , 又EA DV .
ab 注意两异面直线所成 (1)求异面直线所成的角: cos a, b |a ||b| 的角的范围 (0, ]
2
(2)求线面角:求直线与平面所成角时,一种方法是先求出直线及射 影直线的方向向量,通过数量积求出直线与平面所成角;另一种 方法是借助平面的法向量,先求出直线方向向量与平面法向量 的夹角 ,即可求出直线与平面所成的角 ,其关系是sin | cos |
5 5 5 AN BN 2 2 .故所求的二面角的余弦值为 . cos( AN , BN ) 3 3 | AN | | BN |
1 2 1 2 AN ( ,1, ), BN ( , 1, ) 5 5 5 5
由
n D1C 0, 2b c 0 a b( x 2) 0. n CE 0,
令，b 1, c 2, a 2 x
∴ 依题意 cos
n (2 x,1, 2). | n DD1 |
（ 1） DA1 , D1 E (1, 0,1),(1, x , 1) 0, DA1 D1 E .
D1(0,0,1) 、E(1,x,0) 、A(1,0,0) 、C(0,2,0)
（ 2）因为E为 AB D1 E (1,1, 1), 的中点，则E(1,1,0)，从而
x
∴与所成角的余弦值为 3
7 14
（Ⅱ）由于 N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为 1 NE ( x , ,1 z ) ，由NE⊥面PAC可得， (x,0,z)， 2
NE AP 0, NE AC 0. 1 ( x , ,1 z ) (0, 0, 2) 0, z 1 0, 2 即 化得 1 1 3 x 0. ( x , ,1 z ) ( 3,1, 0) 0. 2 2
典例解析
例1 已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC， 1 ∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC= ， 2 AB=1，M是PB的中点 （Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD； （Ⅱ）求AC与PB所成的角； （Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的余弦.
证明：以A为坐标原点,AD长为单位长度，如图建立空间 直角坐标系，则各点坐标为 1 A(0,0,0), B(0, 2,0), C (1,1,0), P(0,0,1), M (0,1, ) D(1,0,0), 2 （Ⅰ）证明：因 AP (0,0,1), DC (0,1,0),
故 AP DC 0, 所以AP DC .
由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD 又 DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD
故 | AC | 2,| PB | 5, AC PB 2, 所以 AC PB 10 cos AC , PB . 5 | AC | | PB | （Ⅲ）解：在MC上取一点N(x,y,z)，则存在 R,使 NC MC,
1 3 AB (0,1, 0),VA ( , 0, ) 2 2
2 2
A x B V z
，
D
C y
由 AB VA 0,得AB⊥VA，又 AB⊥AD，因而AB与平面VAD内 两条相交直线VA，AD都垂直 ∴AB⊥平面VAD
V
z
（Ⅱ）解：设E为DV中点，则，
ab cos a, b |a ||b|
4.直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面 的相对位置的重要概念,通过研究方向向量与法向量之间的关 系,可以来确定直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置 关系以及有关的计算问题.
5.用空间向量判断课件中的位置关系的常用方法. (1)线线平行:证两直线的方向向量是共线向量.
2 2 2 . 2 4 | n | | DD1 | 2 2 ( x 2) 5
∴ x1 2 3 （不合，舍去）， x2 2 3 ∴ AE 2 3 时，二面角D1-EC-D的大小为
（Ⅱ）解：因 AC (1,1,0), PB (0,2, 1),
4 1 2 可知当 时,N点坐标为 ( 5 ,1, 5 )能使 AN MC 0. 5
此时 由AN MC 0, BN MC 0得AN MC, BN MC.所以ANB 30 30 4 为所求二面角的平面角 | AN | ,| BN | , AN BN .
(3)求二面角: 用向量法求二面角也有两种方法:一种方法市利用平面角的定义,在 两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量,然后求出 这两个方向向量的夹角,由此求出二面角的大小;另一种方法市转 化为求二面角的两个面的法向量的夹角,它与二面角的大小相等 或互补. 7.运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的 距离 (1)点与点的距离: 两点间的线段的长度,即对应向量的模. (2)点与面的距离:求解步骤 ①求出该平面的一个法向量; ②求出从该点出发的任一条斜线段对应的向量; ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模, 即得所求得点面距离.
2
z P
y D C
A B AC ( 3,1,0), PB ( 3,0, 2). 从而 AC PB 3 3 7 cos , 设 AC与PB 的夹角为 ，则 14 | AC | | PB | 2 7
3 x 6 z 1
∴即N点的坐标为 ( 分别为 1, 3 6
3 , 0,1) ，从而N点到AB和AP的距离 6
z P
y D C
A
B
x
例4 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中, AD=AA1=1， AB=2,点E在棱AB上移动 （1）证明：D1E⊥A1D； （2）当E为AB的中点时，求点E到ACD1面的距离； （3）AE等于何值时，二面角D1-BC-D的大小为 4 解：以D为坐标原点，直线DA、DC、DD1分别为x、y、 z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1(1,0,1) 、
n AC 0, a 2b 0 a 2b 则 也即 ，得 a c 0 n AD1 0, a c
AC (1, 2,0), AD1 (1,0,1) ，设平面的法向为 n (a, b, c)，
期末综合复习 ---选修2-1圆锥曲线
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