任意角和弧度制的概念
角的概念与弧度制
1、任意角的概念：设角的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半 轴重合，终边在坐标平面内， (1)从运动的角度看，可分为正角、负角和零角． (2)从终边位置来看，可分为象限角和轴线角． 象限角：若角 的终边落在第 k 象限，则称 为第 k 象限角； 注：若角 的终边在坐标轴上，则角 不属于任何象限角； (3)若 α 与 β 角的终边相同， 则 β 用 α 表示为 β＝α＋2kπ(k ∈Z)．
)
练习 1： （1）给出下列四个命题： ①－
5 12
是第四象限角；
② 5 是第三象限角；
4
③475°是第二象限角； 其中正确的命题有
④－ 7 是第一象限角；
4
9π (2)下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是( 4 A．2kπ＋45° (k∈Z) C．k· 360° －315° (k∈Z) 9π B．k· 360° ＋ (k∈Z) 4 9π D．kπ＋ (k∈Z) 4
)
例 2、分别写出终边在四个象限的角的集合
练习 2、已知角 是第二象限角，求： （1）角 是第几象限的角；
2
（2）角 2 终边的位置。
例 3、已知扇形的圆心角是 α，半径为 R，弧长为 l. (1)若 α＝60° ，R＝10 cm，求扇形的弧长 l 及该弧所在弓形的 面积； ； (2)若扇形的周长为 20 cm， 当扇形的圆心角 α 为多少弧度时， 这个扇形的面积最大；
弧长 l＝|α|r 1 1 S＝ lr＝ |α|r21)锐角是第一象限角，反之亦然．( (2)终边在 x )
.(
π 轴上的角的集合是 αα＝kπ＋2，k∈Z
)
π (3)将分针拨快 10 分钟，则分针转过的角度是 .( 3 (4)第一象限的角一定不是负角．( )
任意角与弧度制知识点汇总
任意角与弧度制知识梳理:一、任意角和弧度制1、角(de)概念(de)推广定义：一条射线OA由原来(de)位置,绕着它(de)端点O按一定(de)方向旋转到另一位置OB,就形成了角α,记作：角α或α∠可以简记成α.2、角(de)分类：由于用“旋转”定义角之后,角(de)范围大大地扩大了.可以将角分为正角、零角和负角.正角：按照逆时针方向转定(de)角.零角：没有发生任何旋转(de)角.负角：按照顺时针方向旋转(de)角.3、“象限角”为了研究方便,我们往往在平面直角坐标系中来讨论角,角(de)顶点合于坐标原点,角(de)始边合于x轴(de)正半轴.角(de)终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限(de)角角(de)终边落在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限,称为轴线角.例1、（1）A={小于90°(de)角},B={第一象限(de)角},则A∩B=（填序号）.①{小于90°(de)角} ②{0°～90°(de)角}③ {第一象限(de)角} ④以上都不对（2）已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°(de)角},那么A、B 、C 关系是（ ）A ．B=A∩CB ．B∪C=C C ．A ⊂CD ．A=B=C4、常用(de)角(de)集合表示方法 1、终边相同(de)角：（1）终边相同(de)角都可以表示成一个0 到360 (de)角与)(Z k k ∈个周角(de)和.（2）所有与 终边相同(de)角连同 在内可以构成一个集合{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ即：任何一个与角 终边相同(de)角,都可以表示成角 与整数个周角(de)和 注意：1、Z ∈k2、α是任意角3、终边相同(de)角不一定相等,但相等(de)角(de)终边一定相同.终边相同(de)角有无数个,它们相差360°(de)整数倍.4、一般(de),终边相同(de)角(de)表达形式不唯一. 例1、（1）若θ角(de)终边与58π角(de)终边相同,则在[]π2,0上终边与4θ(de)角终边相同(de)角为 .（2）若βα和是终边相同(de)角.那么βα-在例2、求所有与所给角终边相同(de)角(de)集合,并求出其中(de)最小正角,最大负角：（1） 210-； （2）731484'- ．例3、求θ,使θ与 900-角(de)终边相同,且[] 1260180，-∈θ．2、终边在坐标轴上(de)点：终边在x 轴上(de)角(de)集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ 终边在y 轴上(de)角(de)集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ 终边在坐标轴上(de)角(de)集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ 3、终边共线且反向(de)角：终边在y =x 轴上(de)角(de)集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ 终边在x y -=轴上(de)角(de)集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ 4、终边互相对称(de)角：若角α与角β(de)终边关于x 轴对称,则角α与角β(de)关系：βα-=k 360若角α与角β(de)终边关于y 轴对称,则角α与角β(de)关系：βα-+= 180360k若角α与角β(de)终边在一条直线上,则角α与角β(de)关系：βα+=k 180角α与角β(de)终边互相垂直,则角α与角β(de)关系： 90360±+=βαk 例1、若θα+⋅= 360k ,),(360Z m k m ∈-⋅=θβ 则角α与角β(de)中变得位置关系是（ ）.A.重合B.关于原点对称C.关于x 轴对称D.有关于y 轴对称二、弧度与弧度制 1、弧度与弧度制：弧度制—另一种度量角(de)单位制, 它(de)单位是rad 读作弧度定义：长度等于 (de)弧所对(de)圆心角称为1弧度(de)角.如图： AOB=1rad , AOC=2rad , 周角=2 rad 注意：1、正角(de)弧度数是正数,负角(de)弧度数是负数,零角(de)弧度数是02、角 (de)弧度数(de)绝对值 rl=α（l 为弧长,r 为半径） 3、用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角,单位不同,量数也不同. 4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用. 2、角度制与弧度制(de)换算弧度定义：对应弧长等于半径所对应(de)圆心角大小叫一弧度 角度与弧度(de)互换关系：∵ 360 = rad 180 = rad∴ 1 =rad rad 01745.0180≈π'185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad注意：正角(de)弧度数为正数,负角(de)弧度数为负数,零角(de)弧度数为零.例1、 把'3067 化成弧度例 例2、 把rad π53化成度 例3、将下列各角从弧度化成角度 （1）36πrad （2） rad （3） rad π533、弧长公式和扇形面积公式or C 2rad1rad r l=2o A A Br l α= ； 22121r lR S α==练习题一、选择题1、下列角中终边与330°相同(de)角是（ ）A ．30°B ．-30°C ．630°D ．-630°2、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）(de)形式是 （ ）A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°3、终边在第二象限(de)角(de)集合可以表示为： （ ） A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°,k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°,k ∈Z ｝D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°,k ∈Z ｝ 4、下列命题是真命题(de)是（ ）Α．三角形(de)内角必是一、二象限内(de)角 B ．第一象限(de)角必是锐角 C ．不相等(de)角终边一定不同D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360| αα={}Z k k ∈+⋅=,90180| αα 5、已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°(de)角},那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=CC ．A ⊂CD ．A=B=C6、在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中,属于第二象限(de)角是( )A.①B.①②C.①②③D.①②③④7、若α是第一象限(de)角,则-2是( ) A.第一象限(de)角B.第一或第四象限(de)角C.第二或第三象限(de)角D.第二或第四象限(de)角8、下列结论中正确(de)是( )A.小于90°(de)角是锐角B.第二象限(de)角是钝角C.相等(de)角终边一定相同D.终边相同(de)角一定相等9、集合A={α｜α=k ·90°,k ∈N +}中各角(de)终边都在( )轴(de)正半轴上轴(de)正半轴上轴或y 轴上轴(de)正半轴或y 轴(de)正半轴上10、α是一个任意角,则α与-α(de)终边是( )A.关于坐标原点对称B.关于x 轴对称C.关于直线y=x 对称D.关于y 轴对称11、集合X={x ｜x=(2n+1)·180°,n ∈Z},与集合Y={y ｜y=(4k ±1)·180°,k ∈Z}之间(de)关系是( )C.Ｘ=Y≠Y12、设α、β满足-180°＜α＜β＜180°,则α-β(de)范围是( )°＜α-β＜0° °＜α-β＜180° °＜α-β＜0°°＜α-β＜360°13、下列命题中(de)真命题是（ ）A ．三角形(de)内角是第一象限角或第二象限角B ．第一象限(de)角是锐角C ．第二象限(de)角比第一象限(de)角大D ．角α是第四象限角(de)充要条件是2k π－2π＜α＜2k π(k ∈Z ) 14、设k ∈Z ,下列终边相同(de)角是（ ）A ．（2k +1）·180°与（4k ±1）·180°B ．k ·90°与k ·180°+90°C ．k ·180°+30°与k ·360°±30°D ．k ·180°+60°与k ·60°15、已知弧度数为2(de)圆心角所对(de)弦长也是2,则这个圆心角所对(de)弧长是 （ ） A ．2B ．1sin 2C ．1sin 2D ．2sin16、设α角(de)终边上一点P(de)坐标是)5sin ,5(cos ππ,则α等于（ ）A ．5πB ．5cot πC ．)(1032Z k k ∈+ππD ．)(592Z k k ∈-ππ17、若90°＜－α＜180°,则180°－α与α(de)终边（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．以上都不对18、设集合M ={α|α=5-2ππk ,k ∈Z },N ={α|－π＜α＜π},则M ∩N 等于（ ）A ．{－105ππ3,}B ．{－510ππ4,7} C ．{－5-105ππππ4,107,3,}D ．{07,031-1ππ }19、“21sin =A ”“A=30o”(de)（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件20、中心角为60°(de)扇形,它(de)弧长为2π,则它(de)内切圆半径为 （ ） A ．2B ．3C ． 1D ．23 21、设集合M ={α|α=k π±6π,k ∈Z },N ={α|α=k π+(－1)k6π,k ∈Z }那么下列结论中正确(de)是 （ ）A ．M =NB ．M NC ．N MD ．M N 且N M二、填空题22、若角α是第三象限角,则2α角(de)终边在 . 23、与－1050°终边相同(de)最小正角是 .24、已知α是第二象限角,且,4|2|≤+α则α(de)范围是 .任意角(de)三角函数练习题一、选择题1. 设α角属于第二象限,且2cos2cosαα-=,则2α角属于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 给出下列各函数值：①)1000sin(0-；②)2200cos(0-；③)10tan(-；④917tancos 107sinπππ. 其中符号为负(de)有（ ）A. ①B. ②C. ③D. ④3. 02120sin 等于（ ）A.23±B. 23C. 23-D. 214. 已知4sin 5α=,并且α是第二象限(de)角,那么tan α(de)值等于（ ）A. 43- B. 34- C. 43D. 345．若θ∈（5π4 ,3π2）,则1－2sin θcos θ 等于θ－sin θθ＋cos θθ－cos θD.－cos θ－sin θ6．若tan θ＝13,则cos 2θ＋sin θcos θ(de)值是A.－65B.－45C. 45D.65二、填空题1. 设θ分别是第二、三、四象限角,则点)cos ,(sin θθP 分别在第___、___、___象限. 2. 设MP 和OM 分别是角1817π(de)正弦线和余弦线,则给出(de)以下不等式：①0<<OM MP ；②0OM MP <<； ③0<<MP OM ；④OM MP <<0,其中正确(de)是_____________________________. 3．若角α(de)终边在直线y ＝－x 上,则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-＝ .4．使tan x －xsin 1有意义(de)x (de)集合为 .5．已知α是第二象限(de)角,且cos α2 ＝－45 ,则α2 是第 象限(de)角.三、解答题 1. 已知1tan tan αα，是关于x (de)方程2230x kx k -+-=(de)两个实根,且παπ273<<,求ααsin cos +(de)值.2. 设cos θ＝m －nm ＋n（m ＞n ＞0),求θ(de)其他三角函数值.3．证明(1)1＋2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ ＝1＋tan θ1－tan θ(2)tan 2θ－sin 2θ＝tan 2θsin 2θ4. 已知)1,2(,cos sin ≠≤=+m m m x x 且,求（1）x x 33cos sin +；（2）x x 44cos sin +(de)值.。
2025届高考数学一轮复习教案：三角函数-任意角和弧度制及三角函数的概念
第一节任意角和弧度制及三角函数的概念【课程标准】1.了解任意角的概念和弧度制;2.能进行弧度与角度的互化;3.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.【考情分析】考点考法:高考命题常以角为载体,考查扇形的弧长、面积、三角函数的定义;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.角的概念的推广(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.(2)分类按旋转方向正角、负角、零角按终边位置象限角和轴线角(3)相反角:我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为__-α__.(4)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号rad表示.(2)公式角α的弧度数公式|α|=l r(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°=180rad;1rad=(180)°弧长公式弧长l=|α|r扇形面积公式S=12lr=12|α|r23.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义(推广):设P(x,y)是角α终边上异于原点的任意一点,其到原点O的距离为r,则sinα=, cosα=,tanα=(x≠0).(2)三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.(3)三角函数的定义域三角函数sinαcosαtanα定义域R R{α|α≠kπ+π2,k∈Z}【基础小题·自测】类型辨析改编易错题号12,341.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是()A.-π3是第三象限角B.若角α的终边过点P(-3,4),则cosα=-35C.若sinα>0,则α是第一或第二象限角D.若圆心角为π3的扇形的弧长为π,则该扇形面积为3π2【解析】选BD.因为-π3是第四象限角,所以选项A错误;由三角函数的定义可知,选项B正确;由sinα>0可知,α是第一或第二象限角或终边在y轴的非负半轴上,所以选项C错误;由扇形的面积公式可知,选项D正确.2.(必修第一册P175练习T1改题型)-660°等于()A.-133πB.-256πC.-113πD.-236π【解析】选C.-660°=-660×π180=-113π.3.(必修第一册P176习题T2改条件)下列与角11π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ+135°(k∈Z)B.k·360°+11π4(k∈Z)C.k·360°+135°(k∈Z)D.kπ+3π4(k∈Z)【解析】选C.与11π4的终边相同的角可以写成2kπ+3π4(k∈Z)或k·360°+135°(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,排除A,B,易知D错误,C正确.4.(忽视隐含条件)设α是第二象限角,P(x,8)为其终边上的一点,且sinα=45,则x=()A.-3B.-4C.-6D.-10【解析】选C.因为P(x,8)为其终边上的一点,且sinα=45,所以sinα=45,解得x=±6,因为α是第二象限角,所以x=-6.【巧记结论·速算】α所在象限与2所在象限的关系α所在象限一二三四α2所在象限一、三一、三二、四二、四【即时练】设θ是第三象限角,且|cos2|=-cos2,则2是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选B.因为θ是第三象限角,所以2的终边落在第二、四象限,又|cos2|= -cos2,所以cos2<0,所以2是第二象限角.【核心考点·分类突破】考点一象限角及终边相同的角[例1](1)(2023·宁波模拟)若α是第二象限角,则()A.-α是第一象限角B.2是第三象限角C.3π2+α是第二象限角D.2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上【解析】选D.因为α是第二象限角,可得π2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,对于A,可得-π-2kπ<-α<-π2-2kπ,k∈Z,此时-α位于第三象限,所以A错误;对于B,可得π4+kπ<2<π2+kπ,k∈Z,当k为偶数时,2位于第一象限;当k为奇数时,2位于第三象限,所以B错误;对于C,可得2π+2kπ<3π2+α<5π2+2kπ,k∈Z,即2(k+1)π<3π2+α<π2+2(k+1)π,k∈Z,所以3π2+α位于第一象限,所以C错误;对于D,可得π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z,所以2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上,所以D正确.(2)在-720°~0°内所有与45°终边相同的角为-675°和-315°.【解析】所有与45°终边相同的角可表示为β=45°+k×360°(k∈Z),当k=-1时,β=45°-360°=-315°,当k=-2时,β=45°-2×360°=-675°.【解题技法】1.知α确定kα,(k∈N*)的终边位置的步骤(1)写出kα或的范围;(2)根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置.2.求适合某些条件的角的方法(1)写出与这个角的终边相同的角的集合;(2)依据题设条件,确定参数k的值,得出结论.【对点训练】已知角θ在第二象限,且|sin2|=-sin2,则角2在()A.第一象限或第三象限B.第二象限或第四象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为角θ是第二象限角,所以θ∈(π2+2kπ,π+2kπ),k∈Z,所以2∈(π4+kπ,π2+kπ),k∈Z,所以角2在第一或第三象限.又|sin2|=-sin2,所以sin2<0,所以角2在第三象限.考点二弧度制及其应用[例2]已知扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l.(1)若α=π3,R=10cm,求扇形的弧长l.(2)(一题多法)若扇形的周长是16cm,当扇形的圆心角为多少弧度时,这个扇形的面积最大?(3)若α=π3,R=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面积.【解析】(1)因为α=π3,R=10cm,所以l=|α|R=π3×10=10π3(cm).(2)方法一:由题意知2R+l=16,所以l=16-2R(0<R<8),则S=12lR=12(16-2R)R=-R2+8R=-(R-4)2+16,当R=4cm时,S max=16cm2,l=16-2×4=8(cm),α==2,所以S的最大值是16cm2,此时扇形的半径是4cm,圆心角α=2rad.方法二:S=12lR=14l·2R≤14·(r22)2=16,当且仅当l=2R,即R=4cm时,S的最大值是16cm2.此时扇形的圆心角α=2rad.(3)设弓形面积为S弓形,由题意知l=2π3cm,所以S弓形=12×2π3×2-12×22×sinπ3=(2π3-3)cm2.【解题技法】应用弧度制解决问题时的注意事项(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为基本不等式或二次函数的最值问题.(3)在解决弧长和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.【对点训练】若扇形的周长是16cm,圆心角是360π度,则扇形的面积(单位cm2)是16.【解析】设扇形的半径为r cm,圆心角弧度数为α=360π·π180=2,所以αr+2r=16即4r=16,所以r=4,所以S=12αr2=12×2×16=16.答案:【加练备选】已知弧长为60cm的扇形面积是240cm2,求:(1)扇形的半径;(2)扇形圆心角的弧度数.【解析】设扇形的弧长为l,半径为r,面积为S,圆心角为α.(1)由题意得S=12lr=12×60r=240,解得r=8(cm),即扇形的半径为8cm.(2)α==608=152,所以扇形圆心角的弧度数为152rad.考点三三角函数的定义及应用【考情提示】三角函数的定义主要考查利用定义求三角函数值及三角函数值符号的应用,常与三角函数求值相结合命题,题目多以选择题、填空题形式出现.角度1利用定义求三角函数值[例3](1)已知角α的终边经过点P(2,-3),则sinα=-31313,tanα=-32.【解析】因为x=2,y=-3,所以点P到原点的距离r=22+(-3)2=13.则sinα===-31313,tanα==-32.(2)若角60°的终边上有一点A(4,a),则a=43.【解析】由题设知:tan60°=4=3,即a=43.角度2三角函数值的符号[例4](1)若sinαtanα<0,且cos tan>0,则角α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选B.由sinαtanα<0,知α是第二象限或第三象限角,由cos tan>0,知α是第一象限或第二象限角,所以角α是第二象限角.(2)sin2cos3tan4的值()A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在【解析】选A.因为π2<2<3<π<4<3π2,所以sin2>0,cos3<0,tan4>0.所以sin2cos3tan4<0.【解题技法】与三角函数定义有关的解题策略(1)利用三角函数的定义,已知角α终边上一点P的坐标,可以求出α的三角函数值;已知角α的三角函数值,也可以求出点P的坐标.(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时,特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.【对点训练】1.(多选题)设△ABC的三个内角分别为A,B,C,则下列各组数中有意义且均为正值的是()A.tan A与cos BB.cos B与sin CC.tan2与cos2D.tan2与sin C【解析】选CD.因为A,B的范围不确定,所以A选项不满足条件;cos B与sin C都有意义,但cos B不一定为正值,故B选项不满足条件;因为B,C∈(0,π),所以2,2∈(0,π2),所以C选项满足条件;因为0<A<π,所以0<2<π2,所以tan2>0,又因为0<C<π,所以sin C>0,故D选项满足条件.2.已知角θ的终边经过点(2a+1,a-2),且cosθ=35,则实数a的值是()A.-2B.211C.-2或211D.1【解析】选B.由题设可知=35且2a+1>0,即a>-12,所以42+4r152+5=925,则11a2+20a-4=0,解得a=-2或a=211,又a>-12,所以a=211.【加练备选】已知角α的终边上一点P的坐标为(sin5π6,cos5π6),则角α的最小正值为5π3.【解析】因为sin5π6>0,cos5π6<0,所以角α的终边在第四象限,根据三角函数的定义,可知sinα=cos5π6=-32,故角α的最小正值为α=2π-π3=5π3.。
任意角和弧度制、三角函数的概念
π
3π
所以 kπ+2 < 2<kπ+ 4 (k∈Z).
π
3π
当 k=2n(n∈Z)时,2nπ+2 < 2<2nπ+ 4 , 2是第二象限角;
3π
7π
当 k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+ 2 < 2 <2nπ+ 4 , 2是第四象限角.
综上可知,当 α 是第三象限角时,2是第二或第四象限角.
4
3
3
3
是真命题;-400°=-360°-40°,从而-400°是第四象限角,故③是真命
题;-315°=-360°+45°,从而-315°是第一象限角,故④是真命题.
π
π
(2)集合 π + ≤ ≤ π + ,∈Z 中的角的终边所表示的范围(阴影
4
2
部分)是( C )
π
π
当 k=2n(n∈Z)时,2nπ+ ≤ ≤2nπ+ ,
3
3
3
4π
,k∈Z}.
3
= 2π +
解题心得1.角的终边在一条直线上比在一条射线上多一种情况.
2.判断角β所在的象限,先把β表示为β=2kπ+α,α∈[0,2π),k∈Z,再判断角α所
在的象限即可.
3.确定角 kα, (k≥2,且 k∈N*)的终边的位置:先用终边相同角的形式表示出
角 α 的范围,再写出 kα 或 的范围,最后根据 k 的可能取值讨论确定角 kα 或
∴终边在直线 y= 3x 上的角的集合为 =
任意角、弧度制、三角函数定义
任意角、弧度制、三角函数定义、同角三角函数关系式任意角和弧度制1．角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内绕着从一个位置到另一个位置所成的图形．2.终边相同的角象限角与终边落在坐标轴上的角终边落在坐标轴上的角经常用到，下表是终边落在x轴、y轴各半轴上的角，请完成下表.下表是终边落在各个象限的角的集合，请补充完整.写出终边落在x轴上的角的集合S.写出终边落在y轴上的角的集合T.3．1弧度的角：把长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号表示，读作．4．弧度制：用作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．5．角的弧度数的规定：一般地，正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是.这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．6．角度与弧度的互化：360°＝rad；180°＝rad；1°＝rad≈0.017 45 rad.7.弧长公式和扇形面积公式，任意角的三角函数1．任意角三角函数的定义单位圆定义法：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： 叫做α的正弦， 记作sin α，即sin α＝ ； 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝ ；y x叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ (x ≠0)．终边定义法：设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则有sin α＝___，cos α＝___，tan α＝___ (x ≠0)，其中r ＝x 2＋y 2>0.2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号3．诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值 ，即：sin(α＋k ·2π)＝ ，cos(α＋k ·2π)＝ ，tan(α＋k ·2π)＝ ，其中k ∈Z.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( )(3)角α终边上点P 的坐标为(－12，32)，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.( )(4)α∈(0，π2)，则tan α>α>sin α.( )(5)α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( )【典型例题】例1 (1)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________．(2)若角α在第三象限，则α2在第________象限．跟踪训练1 (1)设集合M ＝{x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z }，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅(2)集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )（3）．角－870°的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（4）．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是 ( ) A ．2k π＋45°(k ∈Z ) B ．k ·360°＋94π(k ∈Z ) C ．k ·360°－315°(k ∈Z ) D ．k π＋5π4(k ∈Z )例2 已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10cm ，求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10cm ，面积是4cm 2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？跟踪训练2：(1)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 ( ) A.π3 B.π6 C ．－π3 D ．－π6(2)已知扇形的周长为4cm ，当它的半径为________cm 和圆心角为________弧度时，扇形面积最大． （3）．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin2 C.2sin1D ．2sin1例3 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z)的形式，并指出是第几象限角： (1)－1 500°； (2)23π6； (3)－4. 跟踪训练3 将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z)的形式例4 已知角α的终边上一点P (－15a,8a ) (a ∈R 且a ≠0)，求α的各三角函数值．跟踪训练4 已知角θ的终边上一点P (x,3) (x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ.例5 求下列各式的值．(1)cos 25π3＋tan ()－15π4； (2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°.跟踪训练5 求下列各式的值．(1)cos ()－23π3＋tan 17π4； (2)sin 630°＋tan 1 125°＋tan 765°＋cos 540°.例6 判断下列各式的符号：(1)sin α·cos α(其中α是第二象限角)； (2)sin 285°cos(－105°)； (3)sin 3·cos 4·tan ⎝⎛⎭⎫－23π4.跟踪训练6 (1)若sin αcos α<0，则α是第_________象限角．(2)代数式：sin 2·cos 3·tan 4的符号是________．例7 (1)已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32(2)点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为 ( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫－32，－12C.⎝⎛⎭⎫－12，－32 D .⎝⎛⎭⎫－32，12例8 (1)若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角(2)设θ是第三象限角，且||cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角专项基础训练1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为( ) A.π3 B.π2C. 3 D ．2 3．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α等于( )A.43B.34 C ．－34 D ．－434．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )A ．sin α＋cos α＜0B ．tan α－sin α＜0C ．cos α－tan α＜0D ．tan αsin α＜0 5．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角； ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角； ③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．46．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________．7．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为________．8．设角α是第三象限角，且||sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角．9．一个扇形OAB 的面积是1cm 2，它的周长是4cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .10．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ.11．已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π2弧长到达点N ，以ON 为终边的角记为α，则tan α等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 12．给出下列各函数值： ①sin(－1000°)；②cos(－2200°)；③tan(－10)， 其中符号为负的是( )A ．①②B ．②C ．③D ．①③13．已知点P (sin α－cos α，2)在第二象限，则α的一个变化区间是( )A.()－π2，π2B.()－π4，3π4C.()－3π4，π4D.()π2，π14．在直角坐标系中，O 是原点，A 点坐标为(3，－1)，将OA 绕O 逆时针旋转450°到B 点，则B 点的坐标为____________．15．如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P ，点Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．。
第四章 §4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念
题型二 弧度制及其应用
例 2 (1)已知一扇形的圆心角 α＝π3，半径 R＝10 cm，则此扇形的弧积为____3____ cm2.
由已知得 α＝π3，R＝10 cm， 所以 l＝αR＝π3×10＝130π(cm)， S 扇形＝12αR2＝12×π3×102＝530π(cm2).
√C.第三、四象限
D.第一、四象限
因为cos α·tan α<0，所以cos α，tan α的值一正一负，所以角α的终边 在第三、四象限.
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一、单项选择题 1.给出下列四个命题，其中正确的是 A.－34π是第四象限角 B.43π是第二象限角 C.－400°是第一象限角
√D.－315°是第一象限角
思维升华
(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三 角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标. (2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽 略角的终边在坐标轴上的情况.
跟踪训练 3 (1)已知角 α 的终边过点 P(－8m，－6sin 30°)，且 cos α＝
A.2kπ－45°(k∈Z)
B.k·360°＋94π(k∈Z)
√C.k·360°－315°(k∈Z)
D.kπ＋54π(k∈Z)
自主诊断
与94π的终边相同的角可以写成 2kπ＋94π(k∈Z)，但是角度制与弧度制 不能混用，所以只有 C 正确.
自主诊断
3.(必修第一册P180T3改编)已知角θ的终边过点P(－12,5)，则sin θ＋cos θ
题型三 三角函数的概念
例 3 (1)(2023·北京模拟)在平面直角坐标系中，角 α 以 x 轴的非负半轴为
第1讲 任意角和弧度制、三角函数的概念
第1讲任意角和弧度制、三角函数的概念1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.1.任意角(1)任意角包括正角、负角和零角.(2)象限角：在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在□1第几象限，就说这个角是第几□2象限角；如果角的终边在□3坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝□4{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于□5半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是一个□6正数，负角的弧度数是一个□7负数，零角的弧度数是□80.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝π180rad；1rad＝□9(180π)°弧长公式弧长l＝□10|α|r扇形面积公式S＝□1112lr＝□1212|α|r2扇形的弧长公式、面积公式中角的单位要用弧度，在同一式子中，采用的度量制必须一致.3.任意角的三角函数(1)概念：任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sinα＝□13y，cosα＝□14x，tan α＝□15y x(x ≠0).(2)概念推广：三角函数坐标法定义中，若取点P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，设点P 到原点O 的距离为r ，则sin α＝□16y r ，cos α＝□17x r ，tan α＝□18y x(x ≠0).常用结论1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.象限角与不属于任何象限的角(1)(2)(3)3.重要不等关系：若α∈(0，π2)，则sin α<α<tan α.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.()(3)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关.()(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2.回源教材(1)67°30′化为弧度是()A.3π8B.38C.673π1800D.6731800解析：A 67°30′＝67.5×π180＝38π.(2)已知α是第一象限角，那么α2是()A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第二象限角D.第一或第三象限角解析：D 易知2k π＜α＜π2＋2k π，k ∈Z ，故k π＜α2＜π4＋k π，所以α2是第一或第三象限角.(3)已知角θ的终边经过点P (－12，5)，则sin θ＋cos θ＝.解析：由三角函数的定义可得sin θ＋cos θ＝5（－12）2＋52＋－12（－12）2＋52＝513－1213＝－713.答案：－713任意角及其表示例1(1)(多选)若α是第二象限角，则()A.－α是第一象限角B.α2是第一或第三象限角C.3π2＋α是第二象限角D.2α是第三或第四象限角或终边在y 轴负半轴上解析：BD因为α是第二象限角，所以可得π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z .对于A ，－π－2k π<－α<－π2－2k π，k ∈Z ，则－α是第三象限角，所以A 错误.对于B ，可得π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角，所以B 正确.对于C ，2π＋2k π<3π2＋α<5π2＋2k π，k ∈Z ，即2(k ＋1)π<3π2＋α<π2＋2(k ＋1)π，k ∈Z ，所以3π2＋α是第一象限角，所以C 错误.对于D ，π＋4k π<2α<2π＋4k π，k ∈Z ，所以2α的终边位于第三象限或第四象限或y 轴负半轴上，所以D 正确.故选BD.(2)集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析：C当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样.故选C.反思感悟1.表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.(2)再按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x |α＜x ＜β}，其中β－α＜360°.(3)最后令起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角的集合.2.象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角.(2)转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角.训练1(1)把－380°表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，则θ的值可以是()A.π9B.－π9C.8π9D.－8π9解析：B∵－380°＝－20°－360°，∴－380°＝(－π9－2π)rad ，故选B.(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为.解析：如图，在平面直角坐标系中画出直线y＝3x，可以发现它与x轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y＝3x上的角有两个，即π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个，即－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为{－5π3，－2π3，π3，4π3}.答案：{－5π3，－2π3，π3，4π3}弧度制及其应用例2已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝π3，R＝10cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形的周长是20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若α＝π3，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.解：(1)因为α＝π3，R＝10cm，所以l＝|α|R＝π3×10＝10π3(cm).(2)由已知，得l＋2R＝20，所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.所以当R＝5cm时，S取得最大值，此时l＝10cm，α＝2.(3)设弓形面积为S弓形，由题意知l＝2π3cm，所以S弓形＝12×2π3×2－12×22×sinπ3＝(2π3－3)(cm2).反思感悟应用弧度制解决问题时的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，或用基本不等式解决.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.训练2如图，图1是杭州2022年第19届亚运会的会徽，名为“潮涌”，整个会徽象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是会徽的几何图形，设弧AD 的长度是l 1，弧BC 的长度是l 2，几何图形ABCD 的面积为S 1，扇形BOC 的面积为S 2，若l 1l 2＝2，则S1S 2＝()图1图2A.1B.2C.3D.4解析：C 设∠BOC ＝α，由l 1l 2＝2，得OA ·αOB ·α＝OA OB ＝2，即OA ＝2OB ，∴S1S 2＝12α·OA 2－12α·OB 212α·OB 2＝OA 2－OB 2OB 2＝4OB 2－OB 2OB 2＝3.故选C.三角函数的定义及其应用三角函数的定义例3(1)(2024·哈尔滨期中)已知角α的终边经过点P (－3，4)，则sin α－cos α－11＋tan α的值为()A.－65 B.1C.2D.3解析：A由（－3）2＋42＝5，得sin α＝45，cos α＝－35，tan α＝－43，代入原式得45－（－35）－11＋（－43）＝－65.(2)如果点P 在角23π的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标是()A.(1，3)B.(－1，3)C.(－3，1)D.(－3，－1)解析：B由三角函数定义知，cos 23π＝x P |OP |＝－12，sin 23π＝y P |OP |＝32，所以x P ＝－1，y P ＝3，即P 的坐标是(－1，3).三角函数值的符号例4(1)点P (sin 100°，cos 100°)落在()A.第一象限内B.第二象限内C.第三象限内D.第四象限内解析：D因为sin 100°＝sin(90°＋10°)＝cos 10°＞0，cos 100°＝cos(90°＋10°)＝－sin 10°＜0，所以点P (sin 100°，cos 100°)落在第四象限内.(2)已知sin θ＜0，tan θ＜0，则角θ的终边位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：D 由sin θ＜0，tan θ＜0，根据三角函数的符号与角的象限间的关系，可得角θ的终边位于第四象限.反思感悟1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.训练3(1)(多选)已知角α的终边与单位圆交于点P (35，m5)，则sin α的值可能是()A.45B.35C.－45 D.－35解析：AC由题意可得sin α＝m 5（35）2＋（m 5）2＝m 32＋m 2＝m5，解得m ＝±4.当m ＝4时，sin α＝45；当m ＝－4时，sin α＝－45.故A ，C 正确，B ，D 错误.(2)(多选)已知角θ的终边经过点(－2，－3)，且θ与α的终边关于x 轴对称，则()A.sin θ＝－217B.α为钝角C.cos α＝－277D.点(tan θ，tan α)在第四象限解析：ACD因为角θ的终边经过点(－2，－3)，所以sin θ＝－37＝－217，故A 正确.因为θ与α的终边关于x 轴对称，所以α的终边经过点(－2，3)，则α为第二象限角，不一定为钝角，且cos α＝－27＝－277，故B 错误，C 正确.因为tanθ＝32>0，tan α＝－32<0，所以点(tan θ，tan α)在第四象限，D 正确.故选ACD.限时规范训练(二十四)A级基础落实练1.与－2023°终边相同的最小正角是()A.137°B.133°C.57°D.43°解析：A因为－2023°＝－360°×6＋137°，所以与－2023°终边相同的最小正角是137°.2.下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ＋45°(k∈Z)B.k·360°＋9π4(k∈Z)C.k·360°－315°(k∈Z)D.kπ＋5π4(k∈Z)解析：C对于A，B，2kπ＋45°(k∈Z)，k·360°＋9π4(k∈Z)中角度和弧度混用，不正确；对于C，因为9π4＝2π＋π4与－315°是终边相同的角，故与角9π4的终边相同的角可表示为k·360°－315°(k∈Z)，C正确；对于D，kπ＋5π4(k∈Z)，不妨取k＝0，则表示的角5π4与9π4终边不相同，D错误.3.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－31010，则y＝()A.3B.－3C.1D.－1解析：B因为sinθ＝－31010＜0，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y＜0，由三角函数的定义，得yy2＋1＝－31010，解得y＝－3(正值舍去).4.(2024·鹰潭期中)点A(sin1240°，cos1240°)在直角坐标平面上位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：D1240°＝3×360°＋160°，160°是第二象限角，所以sin1240°＞0，cos1240°＜0，P点在第四象限.5.(2023·河东一模)在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为()A.4B.22C.2D.1解析：C设扇形的半径为R(R＞0)，圆心角为α，则12αR2＝4，所以α＝8R2，则扇形的周长为2R＋αR＝2R＋8R≥22R·8R＝8，当且仅当2R＝8 R，即R＝2时，取等号，此时α＝2，所以周长最小时半径的值为2.6.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角一定是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cosθ＜0，则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的序号是()A.②④⑤B.③⑤C.③D.①③⑤解析：C①由于120°是第二象限角，390°是第一象限角，故第二象限角大于第一象限角不正确，即①不正确；②直角不属于任何一个象限，故三角形的内角是第一象限角或第二象限角错误，即②不正确；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，即③正确；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同或终边关于y轴对称，即④不正确；⑤若cosθ＜0，则θ是第二象限角或第三象限角或θ的终边落在x轴的负半轴上，即⑤不正确.其中正确命题的序号是③，故选C.7.(多选)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边上有一点P(1，2sinα)，且|α|＜π2，则角α的可能取值为()A.－π3B.0C.π6D.π3解析：ABD因为角α的终边上有一点P(1，2sinα)，所以tanα＝2sinα，所以sinαcosα＝2sinα，①若α＝0，则sinαcosα＝2sinα成立；②若α≠0，则cosα＝12，因为|α|＜π2，所以α＝π3或α＝－π3.8.已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，则m的值为.解析：因为r＝64m2＋9，所以cosα＝－8m64m2＋9＝－45，所以4m264m2＋9＝125，因为m＞0，解得m＝12.答案：1 29.α为第二象限角，且|cosα2|＝－cosα2，则α2在象限.解析：∵α为第二象限角，∴α2为第一或第三象限角，又|cos α2|＝－cos α2，∴cos α2＜0，∴α2在第三象限.答案：第三10.若角α的终边与函数5x ＋12y ＝0(x ＜0)的图象重合，则2cos α＋sin α＝.解析：∵角α的终边与函数5x ＋12y ＝0(x ＜0)的图象重合，∴α为第二象限角，且tan α＝－512，即sin α＝－512cos α.∴sin 2α＋cos 2α＝(－512cos α)2＋cos 2α＝1，解得cos α＝－1213.∴sin α＝－512cos α＝－512×(－1213)＝513.∴2cos α＋sin α＝2×(－1213)＋513＝－1913.答案：－191311.用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内(含边界)的角θ的集合是.解析：由题图，终边OB 对应角为2k π－π6且k ∈Z ，终边OA 对应角为2k π＋3π4且k ∈Z ，所以阴影部分角θ的集合是[2k π－π6，2k π＋3π4]，k ∈Z .答案：[2k π－π6，2k π＋3π4]，k ∈Z12.已知扇形的圆心角为23π，扇形的面积为3π，则该扇形的周长为.解析：设扇形的半径为R，利用扇形面积计算公式S＝12×23πR2＝3π，可得R＝3，所以该扇形的弧长为l＝23π×3＝2π，所以周长为l＋2R＝6＋2π.答案：6＋2πB级能力提升练13.(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(－1，m)(m＞0)，则下列各式的值一定为负的是()A.sinα＋cosαB.sinα－cosαC.sinαcosαD.sinαtanα解析：CD因为角α终边经过点P(－1，m)(m＞0)，所以α在第二象限，所以sinα＞0，cosα＜0，tanα＜0，如果α＝23π，所以sinα＋cosα＝32－12＞0，所以选项A不满足题意；sinα－cosα＞0；sinαcosα＜0；sinαtanα＜0，故CD正确.14.(2023·长治模拟)水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强相互作用力(SIM)材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴.如图所示，水滴是由线段AB，AC和圆的优弧BC围成，其中AB，AC恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为1，点A到圆弧所在圆的圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为()A.3＋2π3 B.23＋2π3C.23＋π3D.3＋π3解析：A 如图，设圆弧所在圆的圆心为O ，连接OA ，OB ，OC ，依题意得OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，且OB ＝OC ＝1，OA ＝2，则AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝π3，所以∠BOC ＝2π3，所以该封闭图形的面积为2×12×3×1＋12×(2π－2π3)×12＝3＋2π3.15.(2024·牡丹江模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (35，45)，将线段OA绕原点顺时针旋转π3得到线段OB ，则点B 的横坐标为.解析：易知A (35，45)在单位圆上，记终边在射线OA 上的角为α，如图所示，根据三角函数定义可知，cos α＝35，sin α＝45；OA 绕原点顺时针旋转π3得到线段OB ，则终边在射线OB 上的角为α－π3，所以点B 的横坐标为cos(α－π3)＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝3＋4310.答案：3＋431016.若点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0，2π)内α的取值范围是.解析：由题意可得α－cos α＞0，α＞0，∈[0，2π），α＞0，∈[0，2π），可得α∈(0，π2)或α∈(π，3π2)，当α∈(0，π2)，即α为第一象限角，则sin α＞0，cos α＞0，∵sin α－cos α＞0，则tan α＞1，∴α∈(π4，π2)；当α∈(π，3π2)，即α为第三象限角，则sin α＜0，cos α＜0，∵sin α－cos α＞0，则0＜tan α＜1，∴α∈(π，5π4)；综上所述，α∈(π4，π2∪(π，5π4).答案：(π4，π2)∪(π，5π4)。
任意角和弧度制及任意角的三角函数考点及例题讲解
任意角和弧度制及任意角的三角函数考纲解读 1.通过角的变换，判断角所在象限；2.常见的角度与弧度之间的转化；3.已知角的终边求正弦、余弦、正切值；4.利用三角函数线求角的大小或角的范围；5.利用扇形面积公式和弧长公式进行相关计算．[基础梳理]1．任意角的概念(1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角． ①正角：按逆时针方向旋转形成的角； ②负角：按顺时针方向旋转形成的角；③零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角． (2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }． 2．弧度与角度的互化(1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角． (2)角α的弧度数公式：|α|＝lr .(3)角度与弧度的换算：360°＝2π rad,1°＝π180 rad,1 rad ＝(180π)°≈57°18′.(4)扇形的弧长及面积公式： 弧长公式：l ＝α·r . 面积公式：S ＝12l ·r ＝12α·r 2.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫作角α的正弦线、余弦线和正切线．4．终边相同的角的三角函数 sin(α＋k ·2π)＝sin α， cos(α＋k ·2π)＝cos α，tan(α＋k ·2π)＝tan α(其中k ∈Z )，即终边相同的角的同一三角函数的值相等．[三基自测]1．单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( ) A ．10π B ．9π C.9π10 D.10π9答案：D2．若角θ满足tan θ＞0，sin θ＜0，则角θ所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：C3．弧长为3π、圆心角为34π的扇形半径为________．答案：44．(必修4·4.1例题改编)α终边上一点P (－3,4)．则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.答案：45 －35 －435．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)若α的终边过点(3,4)，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝__________. 答案：7210[考点例题]考点一 终边相同的角及象限角|易错突破高考总复习·数学(理)第三章 三角函数、解三角形[例1] (1)若角α满足α＝2k π3＋π6(k∈Z )，则α的终边一定在( )A ．第一象限或第二象限或第三象限B ．第一象限或第二象限或第四象限C ．第一象限或第二象限或x 轴非正半轴上D ．第一象限或第二象限或y 轴非正半轴上(2)已知sin α＞0，cos α＜0，则12α所在的象限是( )A ．第一象限B ．第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限(3)下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )[解析] (1)由α＝2k π3＋π6，k ∈Z ，当k ＝0时，α＝π6，终边在第一象限．当k ＝1时，α＝2π3＋π6＝5π6，终边在第二象限．当k ＝－1时，α＝－2π3＋π6＝－π2，终边在y 轴的非正半轴上，故选D.(2)因为sin α＞0，cos α＜0，所以α为第二象限角，即π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ，则π4＋k π＜12α＜π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，12α为第一象限角；当k 为奇数时，12α为第三象限角，故选C.(3)由定义知终边相同的角中不能同时出现角度和弧度，应为π4＋2k π或k ·360°＋45°(k ∈Z )．[答案] (1)D (2)C (3)C [易错提醒][纠错训练]1．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )， 则令－720°<45°＋k ×360°＜0°， 得－765°<k ×360°＜－45°， 解得－765360<k ＜－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°2．终边在直线y ＝3x 上的角的集合为__________． 解析：在坐标系中画出直线y ＝3x ， 可以发现它与x 轴正半轴的夹角是π3，终边在直线y ＝3x 上的角的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π3，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π3，k ∈Z考点二 扇形弧长、面积公式的应用|方法突破[例2] (1)(2018·合肥模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，问这块田的面积是多少(平方步)？( )A ．120B ．240C ．360D ．480(2)(2018·太原模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1D ．2 sin 1[解析] (1)由题意可得：S ＝12×8×30＝120(平方步)．(2)如图：∠AOB ＝2弧度，过O 点作OC ⊥AB 于C ，并延长OC 交弧AB 于D .则∠AOD ＝∠BOD ＝1弧度，且AC ＝12AB ＝1，在Rt △AOC 中，AO ＝AC sin ∠AOC ＝1sin 1，即r ＝1sin 1，从而弧AB 的长为l ＝α·r ＝2sin 1.[答案] (1)A (2)C [方法提升][母题变式]将本例(1)改为已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．4 B ．2 C ．8D ．1解析：设半径为r ，圆心角的弧度数为θ， 由S ＝12θr 2，得8＝12×θ×4，∴θ＝4.答案：A考点三 三角函数的定义|模型突破角度1 用三角函数的定义求值[例3] (1)(2018·大同模拟)已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则x的值为________．(2)已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，则10sin α＋3cos α的值为________． [解析] (1)∵cos α＝－x(－x )2＋(－6)2＝－x x 2＋36＝－513，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 2x 2＋36＝25169，解得x ＝52.(2)设α终边上任一点为P (k ，－3k )， 则r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |. 当k ＞0时，r ＝10k ， ∴sin α＝－3k 10k ＝－310，1cos α＝10kk＝10， ∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0；当k ＜0时，r ＝－10k ， ∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10k k＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.[答案] (1)52 (2)0[模型解法]角度2 三角函数值符号的判断[例4] (1)(2018·怀化模拟)sin 2·cos 3·tan 4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0D ．不存在(2)已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)∵π2<2<3<π<4<32π.∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0. ∴sin 2·cos 3·tan 4<0.(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ cos α<0，tan α<0，则⎩⎪⎨⎪⎧sin α>0，cos α<0，所以角α的终边在第二象限，故选B.[答案] (1)A (2)B [模型解法]角度3 利用三角函数线比较大小，解不等式[例5] (1)(2018·石家庄模拟)若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α[解析] 如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，观察可得，AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α.[答案] C (2)y ＝sin x －32的定义域为________． [解析] ∵sin x ≥32，作直线y ＝32交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角x 的终边的范围，故满足条件的角x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z[模型解法]形如sin α≥a 或sin α≤a ()a ∈[－1，1]的解，其关键点为： (1)作出sin α＝a 的函数线；(2)根据不等式，确定α的转动方向； (3)写出α的区域．[高考类题](2014·高考大纲全国卷)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b解析：∵b ＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°＝a ，∴b >a . 又∵c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°>sin 35°＝cos 55°＝b ，∴c >b .∴c >b >a .故选C. 答案：C[真题感悟]1.[考点一、二] (2014·高考新课标全国卷Ⅰ)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )答案：C2.[考点二、三](2017·高考北京卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝__________.解析：由已知可得，sin β＝sin(2k π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝13(k ∈Z )．1答案：3。
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任意角和弧度制
角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形。
1.任意角，包括正角、负角和零角。
我们规定：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角，这样零角的始边与终边重合。
如果α是零角，那么α=0°。
设α，β是任意两个角，如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α=β。
我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β。
类似于实数a的相反数是-a，我们引入角α的相反角的概念。
我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角。
角α的相反角记为-α。
角的减法可以转化为角的加法。
在直角坐标系内讨论角。
为了方便，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限就说这个角是第几象限角。
如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限。
2.弧度制
角可以用度为单位进行测量，1度的角等于周角的1/360，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。
另一种度量角的单位制是弧度制。
如图，射线OA 绕断点O 旋转到OB 形成角α，在旋转过程中，射线OA 上的一点P （不同于点O ）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α。
设︒=n α，r OP =，点P 所形成的圆弧的长为l 。
由180r n l π=，于是180
πn r l =。
根据上面公式可以发现，圆心角α所对的弧长与半径的比值，只与α的大小有关。
也就是说这个比值随尔法的确定而唯一确定，这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角。
我们规定：长度等于半径长的圆弧，所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad 表示，读作弧度。
我们把半径为1的圆叫做单位圆。
根据上述规定，在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角为α rad,那么
r
l
=α。
其中α的正负由角α的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。
当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于2π，或者小于-2π拍的角。
这样就可以得到弧度为任意大小的角。
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。
角度制和弧度制的互换
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同，都是0；用角度制和弧度制度量任意非零角，单位不同，量数也不同，因为周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360，所以
就可以进行弧度与角度的换算了。