2018中科大自主招生考试数学
四川省绵阳南山中学2018-2019年度初升高自主招生数学试题(含答案)
18．一个透明密闭的正方体容器中,恰好盛有该容器一半容积的水.任意转动这个正方体,则水 面在容器中的形状可以是 :(1) 三角形;(2)长方形;(3)正方形;(4)正六边形.其中正确的结论是 ____________.(把你认为正确的序号都填上) 三．解答题:本大题共 7 个小题,共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
由此还可以对某些函数的增减性进行判断和证明。
如：证明函数 f (x) 2 (x 0) 是减函数． x
证明：假设 x1 x2 ，且 x1 0, x2 0,
f
(x1)
f
(x2 )
2 x1
2 x2
2(x2 x1) x1x2
∵ x1 x2 ，且 x1 0, x2 0,
2018 年自主招生考试 数学试卷 第 3页 共 4 页
20．（本小题满分 12 分） 为了落实“全民阅读活动”，从某学校初一学生中随机抽取了 100 名学生，获得了他们一
周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
组号
分组
频数
1
0 x2
6
2
2 x4
8
故 从 该 校 随 机 选 取 一 名 学 生 ， 估 计 其 该 周 课 外 阅 读 时 间 少 于 12 小 时 的 概 率 为
0.9.
……………（8 分）
（3）样本中的 100 名学生该周课外阅读时间的平均数在第 4 组
…………（12 分）
(每小问 4 分。重点在估计二字上，规范酌情扣分)
4．使代数式 1 4 3x 有意义的非正整数 x 有（ ） x3
创新班试题
中科大自主招生试题数学：选择（选项顺序已记不清，共四道）第一aA2+bA2>0,则绝对值a>0且绝对值b>0的否命题是1.a A2+b A2<=0,则绝对值a<0或绝对值b<02.a A2+b A2<=0,则绝对值a<0且绝对值b<0332+匕人2<=0,则绝对值a<=0或绝对值b<=0432+匕人2<=0,则绝对值a<=0且绝对值b<=0第二道，第三道记不清，其中一道是求分段函数的反函数。
另一道记不得。
第四道：sin 6*s in 42*s in 66*s in 78 的值1.1/22.1/43.1/164.1/32编者评价：选择题较简单，但当时第四道选择题题目出错，把我。
sin66打印成sin56。
着实吓填空题：（只记得其中几道，顺序全不知道，共五道，）1.x属于（-n /2, n /2,编者注：不确定），求8/sinx+1/cosx的最小值。
2.一个正方体的各个面的中心取一点，从这些点中取三点，可构成三角形，甲乙两人互相独立，甲取出的三角形与乙的三角形相似的概率是编者评价：等我想起其他题，再补充。
解答题：（共六道）1.证明：xA2+xy+yA2>=3*（x+y-1）对任意的实数x, y都成立。
2•数列Xn , Yn满足下式：X（ n+2）=2X（ n+1）+X n,Y（ n+2）=Y（ n+1）+2Y n求证：存在n。
，使得一切正整数n>n。
，都使Xn>Yn。
3.如图，三角形ABC的面积为1 , D为AB的三等分点，E为BC的三等分点，F为AC的三等分点.，求三角形GIH的面积。
3.有2008个白球和2009个黑球全部在直线排成一列，求证，必有一个黑球的左边的黑球和白球数量相等（包括0）。
4.N+是正整数集，为全集。
（n+n! , n是正整数）为A的集合，B是A的补集。
（1）试证明：不可能从B集合中取出无限个元素，使无限个元素成为等差数列。
2018年XXX第二批次自主招生(实验班)考试数学学科试卷和答案
2018年XXX第二批次自主招生(实验班)考试数学学科试卷和答案2018年XXX第二批次自主招生（实验班）数学考试试卷考试时间：90分钟，满分100分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
每小题只有一个正确答案）1.化简 (2-m)/(m-2) 的结果是：A。
m-2B。
2-mC。
-m-2D。
-2/(m-2)2.表达式 abc+abc+abc 的所有可能值的个数是：A。
2个B。
3个C。
4个D。
无数个3.某班50名学生可在音乐、美术、体育三门选修课中选择，每位学生至少选择一门。
选择音乐的有21人，选择美术的有28人，选择体育的有16人，既选择音乐又选择美术的有7人，既选择美术又选择体育的有6人，既选择体育又选择音乐的有5人，则三项都参加的人数是：A。
2B。
3C。
4D。
54.已知二次函数 y=x^2-2x-6，当m≤x≤4 时，函数的最大值为2，最小值为-7，则满足条件的 m 的取值范围是：A。
m≤1B。
-2<m<1C。
-2≤m<1D。
-2≤m≤15.适合不等式 2/(3x-y) ≤ 1，且满足方程 3x+y=1 的 x 的取值范围是：A。
x≤1/3B。
-1≤x<1/3C。
x≤1D。
-1≤x≤16.已知 A、B 两点在一次函数 y=x 的图像上，过 A、B 两点分别作 y 轴的平行线交双曲线 y=1/x (x>0) 于 M、N 两点，O 为坐标原点。
若 BN=3AM，则 9OM^2-ON^2 的值为：A。
8B。
16C。
32D。
367.在直角三角形 ABC 中，∠BAC=90°，M、N 是 BC 边上的点，BM=MN=CN/2，如果 AM=8，AN=6，则 MN 的长为：A。
4√3B。
2√3C。
10D。
10/38.将正奇数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对(n,m) 表示第 n 排，从左到右第 m 个数，如 (4,2) 表示奇数 15，则表示奇数 2017 的有序实数对是：A。
中科大历年考研数学真题
直线 l1, l2 平行，且 π 与 l1 的距离是 91, 求 π 的方程。
3. 设 A : U → V 为数域 F 上的线性空间 U 到 V 上线性映射. 证明：
dim KerA + dim Im A = dim U
2 −1 1 4. 设 A = 2 2 −1 , 求方阵 P , 使得 P −1AP 为 A 的 Jordan 标准形。
··· ···
(α1, αn)
(α2, αn) ...
,
其中 (αi, αj) 是 V 的内积.
(αn, α1) (αn, α2) · · · (αn, αn)
求证:G 正定的充分必要条件是 α1, · · · , αn 线性无关。
5. 设 A 是无限维线性空间 V 的线性变换，B 是 A 在 ImA 上的限制变换. 求证：
.
a2x1 + x2 + x3 = 1
5.
使线性方程组
x1 + ax2 + x3 = a x1 + x2 + x3 =a2
有解的实数 a 的取值范围是
.
6.
已知实方阵 A 的伴随矩阵 A∗
2.
以曲线
y = x2 z=2
为准线，原点为顶点的锥面方程为
.
3. 以 xOy 平面上的权限 f (x, y) = 0 绕 x 轴旋转所得的旋转面的方程是
.如
果曲线方程是 x2 − y2 − 1 = 0, 由此得到的曲面类型是
.
4. 设 α1, α2α3α4 是线性空间 V 中 4 个线性无关的向量,
为 α1 = (1, 0, −1), α2 = (?, ?, ?), 求矩阵 A 以及使 A 对角化的矩阵 P 7. A 是复方阵，线性变换 T → AX + XA, 证明：如果 A 可对角化，那么 T 也可以对
2018年高中自主招生数学试题(最后定稿)
**中学 2018年高中自主招生统一考试 座位号数学试卷 姓 名一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．过正方体上底面的对角线和下底面一顶点的平面截去一个三棱锥所得到的几何体如图所示，它的俯视图为（ ）A ．B ．C ．D ．2．下表是某校合唱团成员的年龄分布对于不同的x ，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ） A ．平均数、中位数 B ．众数、中位数 C ．平均数、方差 D ．中位数、方差3.对于正数x 和y ，定义xyx y x y⊕=+，那么（ ） A.⊕“”符合交换律，但不符合结合律 B.⊕“”符合结合律，但不符合交换律 C.⊕“”既不符合交换律，也不符合结合律 D.⊕“”符合交换律和结合律 4.速录员小明打2500个字和小刚打3000个字所用的时间相同，已知小刚每分钟比小明多打50个字，求两人的打字速度．设小刚每分钟打x 个字，根据题意列方程，正确的是（ ） A ．=B ．=C ．=D ．=5.已知实数,x y 满足234x y -=，并且1x ≥-，2y <，现有k x y =-，则k 的取值范围为（ ）A. 3k >-B. 13k ≤<C. 13k <≤D. 3k <6．如图，在x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点O 按顺时针方向旋转，若∠BOA 的两边分别与函数y=﹣，y=的图象交于第10题图CBAB 、A 两点，则tan ∠OAB 的值的变化趋势为：（ ） A ．逐渐变小 B ．逐渐变大C ．时大时小D ．保持不变7. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以△ABC 的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC 的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ） A ．4B ．5C ．6D ． 78.如图，矩形ABOC 的顶点坐标为（－4，5），D 是OB 的中点，E 为OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是（ ）A ．4(0,)3B ．5(0,)3C ．(0，2)D ．10(0,)3第8题图 第9题图 第10题图9.如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折180°得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于 ( ) A ．2 B ．54 C.53 D ．7510.已知函数()()12030x xy x x⎧->⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩的图像如图所示，点P 是y 轴负半轴上一动点，过点P 作y 轴的垂线交图象于A ，B 两点，连接OA 、OB .下列结论：①若点()()111222M x y M x y ，，，在图象上，且120x x <<，则12y y <；②当点P 坐标为（0，-3）时，AOB ∆是等腰三角形；③无论点P 在什么位置，始终有7.54AOB S AP BP ∆==，；④当点P 移动到使90AOB ∠=︒时，点A 的坐标为（，）.其中正确的结论个数为（ ）A ．1B ．2 C. 3 D ．4二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）11．若函数y=与y=x ﹣2图象的一个交点坐标（a ，b ），则﹣的值为 ．12.规定0x x =时，代数式221x x +的值记为0()f x .例如：1x =-时，22(1)1(1)1(1)2f --==+-，则)20181()41()31()21()2018()3()2()1(f f f f f f f f +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++的值等于 .13.如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是BC 边上的动点（点M 不与B ，C 重合），CN ⊥DM ，CN 与AB 交于点N ，连接OM ，ON ，MN ．下列五个结论：①△CNB ≌△DMC ；②△CON ≌△DOM ；③△OMN ∽△OAD ；④AN 2+CM 2=MN 2；⑤若AB=2，则S △OMN 的最小值是，其中结论正确的序号是 ．（把所有正确结论的序号都选上）第13题图 第14题图14.长为1，宽为a 的矩形纸片（＜a ＜1），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，则a 的值为 ． 三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）15．计算：6cos45°+（13）-1+ 1.73）0 +|5﹣|+42017 ×（﹣0.25）201816. 先化简，再求值：（a ﹣）÷（），其中a满足a 2﹣3a+2=0．四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图所示，正方形网格中，△ABC 为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上），网格中小正方形的边长为1．（1）把△ABC 沿BA 方向平移后，点A 移到点A 1，在网格中画出平移后得到的△A 1B 1C 1； （2）把△A 1B 1C 1绕点A1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A 2B 2C 2，并求点B 两次运动路径总长．18．如图①，把∠α=60°的一个单独的菱形称作一个基本图形，将此基本图形不断的复制并平移，使得下一个菱形的一个顶点与前一个菱形的中心重合，这样得到图②，图③，…（1）观察图形并完成表格：猜想：在图n 中，菱形的个数为[用含有n （n ≥3）的代数式表示]；（2）如图，将图n 放在直角坐标系中，设其中第一个基本图形的中心O 1的坐标为（x 1，1），则x 1= ；第2018个基本图形的中心O2018的坐标为 ． 五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.【回顾】如图1，△ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝3，BC ＝4，则△ABC 的面积等于 ． 【探究】图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含30°的角，较短的直角边长为a ；另一个含有45°的角，直角边长为b ．小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形ABCD （如图3），用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出sin75°＝；小丽用两副这样的三角尺拼成一个矩形EFGH ，如图4，也推出sin75．请你写出小明或小丽推出sin75的具体说理过程．20．如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，CD是⊙O切线，D在AB的延长线上，作AE⊥CD于E．（1）求证：AC平分∠BAE；（3分）（2）若AC=2CE=6，求⊙O的半径；（3分）（3）请探索：线段AD，BD，CD之间有何数量关系？（4分）请证明你的结论．六、（本题满分12分）21．[探究函数4y xx=+的图象与性质]（1）函数4y xx=+的自变量x的取值范围是；（2分）（2）下列四个函数图象中函数4y xx=+的图象大致是（）；（2分）（3）对于函数4y xx=+，求当x＞0时，y的取值范围. （4分）A B请将下列的求解过程补充完整. 解：∵x ＞0∴()2224y xx=+=+=+∴ y ≥ .⑷若函数2x 5x 9y x-+=，则y 的取值范围 . （4分）七、（本题满分12分）22．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y （千克）与销售价x （元/千克）之间的函数关系如图所示： （1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3分）（2）求每天的销售利润W （元）与销售价x （元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（5分）（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？（4分）八、（本题满分14分）23．我们知道，三角形三个内角平分线的交点叫做三角形的内心，已知点I 为△ABC 的内心．（1）如图1，连接AI 并延长交BC 于点D ，若AB=AC=3，BC=2，求ID 的长；（4分） （2）如图2，过点I 作直线交AB 于点M ，交AC 于点N ． ①若MN ⊥AI ，求证：MI 2=BM •CN ；（6分）②如图3，AI 交BC 于点D ，若∠BAC=60°，AI=4，则+的值为 ．（4分）高中自主招生真题哪里找？考自主招生的，某宝上有题目搜【高中中学自主招生考试备考试卷历年真题付款后留邮箱地址】2015-2018全套试题及答案。
中科大组合数学试卷
2011年1月13日组合数学1、有n 个正整数组成序列12:,,...,n S x x x ，求证：该序列中一定存在连续的一段 1:,...,(1)i j S x x i j n ≤<≤，使得该子序列的和能够被n 整除：|jk k i n x =∑2、写出如下等式的组合含义：1011...k k k k n n C C C C +++++=3、 A 、B 两个玩家轮流拿n 个硬币，每人每次可以拿1个或2个。
问：第一次和最后一次都是A 拿的方案书是多少？4、 求满足如下方程正的解的个数：123418x x x x +++=，其中，18i x ≤≤，*i x Z ∈5、 求（1）n 位十进制整数中不出现1或2或3的个数（2）直线x+ky=n 在第一象限与坐标轴围出的区域中覆盖的整数点的个数（在线上和坐标轴上的点也包括在内）6、 A 、B 两种球各2个放在2个盒子中，问在如下两种情况下各有杜少中放法？（1）2个盒子不同（2）2个盒子相同7、 在一条直线上放N 个k 中颜色的球，问在如下两种情况下放球的方案数：（1）颜色数最多k 种（2）颜色数恰等于k 2012-2013年第一学期一、（10分）设12100,,...,a a a 是由数字1和2组成的序列，已知从任一数开始的顺序10个数的和不超过16，即19...16,191i i i a a a i +++++≤≤≤，则存在h 和k ，k > h ，使得1...39h k a a +++=二、（12分）（1）是否存在参数为b=12,k=4,v=16,r=3的BIBD ？（2）设样品是44⨯棋盘上的16个方格，定义区组如下：对于每个给定的方格，取与其在同一行或同一列的6个方格（但不包括该方格本身）。
因此棋盘上的16个方格中的每个方格都以这种方式确定一个区组。
证明折是一个BIBD 。
三、（16分）令{1,2,...,1},2S n n =+≥，{(,,)|,,,,}T x y z x y z s x z y z =∈<<，证明：（1）21||n k T k==∑（2）11||223n n T ++⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭四、（16分）设长为n 个三元序列（即用0,1,2组成序列）中1与2的个数之和为奇数的序列个数为n a 。
中国科学院大学《高等代数》《数学分析》考研真题汇总(2009-2018年汇编)
|z| ≤ na, |x| ≤ nh, |y| ≤ nk.
(2) 求证： Hermite 矩阵的特征值都是实数.
(3) 求证：反对称矩阵的非零特征值都是纯虚数.
六、 ( 15 分) 设 A 是 n 维实线性空间 V 的线性变换, n ≥ 1. 求证： A 至少存在一个一维或者二维的不变 子空间.
七、 ( 20 分) 设循环矩阵 C 为
01
生成的子空间. 求 W ⊥ 的一组标准正交基.
00
11
八、 ( 18 分) 设 T1, T2, · · · , Tn 是数域 F 上线性空间 V 的非零线性变换, 试证明存在向量 α ∈ V , 使得 Ti(α) = 0, i = 1, 2, · · · , n.
7
5. 2013年中国科学院大学《高等代数》研究生入学考试试题
三、 ( 20 分) 已知 n 阶方阵
a21
a1a2 + 1 · · · a1an + 1
A
=
a2a1 + 1
a22
···
a2an + 1
,
···
··· ··· ···
ana1 + 1 ana2 + 1 · · ·
a2n
n
n
其中 ai = 1, a2i = n.
i=1
八、 ( 15 分) 设 A 是 n 阶实方阵, 证明 A 为实对称阵当且仅当 AAT = A2, 其中 AT 表示矩阵 A 的转置.
6
4. 2012年中国科学院大学《高等代数》研究生入学考试试题
一、 ( 15 分) 证明：多项式 f (x) = 1 + x + x2 + · · · + xn 没有重根.
2018年___自主招生数学试卷(含答案解析)
2018年___自主招生数学试卷(含答案解析)2018年___自主招生数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.√16的平方根是()A.4B.±4C.22.若√(1−x)2=x−1成立，则x满足()A.x≥1B.x≥C.x≤1D.±23.已知x=√5−1，则x2+2x的值是()A.2B.3C.4D.54.如图所示的四条直线a、b、c、d，直线a、b与水平线平行，以其中一条为x轴，d与水平线垂直，取向右为正方向；直线c、以其中一条为y轴，取向上为正方向．某同学在此坐标平面上画了二次函数x=xx2+2xx+2(x≠0)的图象如图，则下面结论正确的是()A.a为x轴，c为y轴B.a为x轴，d为y轴C.b为x轴，c 为y轴D.b为x轴，d为y轴5.如图，已知AB为圆的直径，C为半圆上一点，D为半圆的中点，xx⊥xx，垂足为H，HM平分∠xxx，HM交AB于x.若xx=3，xx=1，则MH长为()A.1B.1.5C.0.5D.0.76.如图，△xxx中，∠x=90°，D是BC边上一点，∠xxx=3∠xxx，xx=8，xx=7.则AB的值为()A.15B.20C.2√2+7D.2√2+√7二、填空题（本大题共10小题，共40.0分）7.已知实数x、y满足x+2x=5，则x−x=3.8.分解因式：x2+4xx+4x2+x+2x−2=(x+2x+1)2−3.9.在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(x,3)，(3x−1,3)，若线段AB与直线x=2x+1相交，则m的取值范围为(0,1)。
10.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是9cm。
11.如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D、N处，B在同一直线上，分别落在M、F与BE交于点G.设AB=√3，那么△xxx的周长为4+4√3.12.如图，已知点x1，x2，…，xx均在直线x=x−1上，点x1，x2，…，xx均在双曲线x=−x上，x1x1⊥x并且满足：x1x2⊥x轴，x2x2⊥x轴，…，xx−1xx⊥x轴，xxxx⊥x轴，且x1x2=x2x3=…=xx−1xx，则n的最小值为2.1.由题意可知，点B在x轴负半轴，点A在x轴正半轴，且AB垂直于x轴，因此AB的斜率为0，即AB为x轴，所以B的纵坐标为0.又因为B在x轴负半轴，所以其横坐标为负数，设为-a。
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2018中科大自主招生考试数学
准考证打印时间：2018年6月5日
笔试时间：2018年6月10日8:30-11:30（提前半小时入场） 面试时间：2018年6月10日13：00 1.
)
2018
1
-= .
分析：复数三角形式
解析：()201721-
2212cos sin 33ππ⎛
⎫-=+ ⎪⎝⎭
i
)
(
)2018
20182017
11
2212⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪
⎝⎭
.
2.已知3tan 25
α=，则()()
tan 15tan 15αα+=-o
o
. ()()()()()()tan 15sin 15cos 15sin 2sin 3011
sin 2sin 30
tan 15cos 15sin 15αααααααα++-+===--+-o
o o
o
o
o
o
o
.
2. 设12
x >-，则()21
21
f x x x x =++
+的最小值为 . 解析：
()2
211111212422f x x x x x x ⎛
⎫=++=++-
⎪+⎛
⎫⎝⎭+ ⎪
⎝
⎭
1
2
111111244422x x x ⎛
⎫=+++-
⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
1
4
≥
-14-=
（等号当且仅当12x -=）.
3. 设{}1,2,3,4,5S
=，则满足()()f f x x =的映射:f S S
→的个数是 . 解析：
4. 设α为复数，i 为虚数单位，关于x 的方程20x x α++=i 有实根，则α
的取值范围是 . 分析：复数代数形式
解析:易得0x ≠
，2x x α+==≥i
5. 已知定义在()0,+∞上的函数()f x 是单射，对任意0x >，()1xf x >，
()()12f xf x -=，则()2f = .
解析：1 由()f x 为单射，故()1xf x -为常数，设其为C . 故()1C f x x
+=，由()2f C =，代入可得1C =
即()2
f x x
=，
()21f =.
135
555326
⨯++=C C C
6. 在四面体ABCD 中，△ ABC 是斜边AB 为2的等腰直角三角形，△ABD
是以AD 为斜边的等腰直角三角形，
已知CD =点P 、Q 分别在线段AB 、CD 上，则PQ 的最小值为 . 解析：相当于求AB ，CD 之间的距离.
建系，各种垂直关系不累述了，
以C 为坐标原点建立空间坐标系，CB u u u r
为y 轴正方向, ()0,0,0C
，(A
，()B
，()D
则(AB =u u u r
，()
CD =u u u r
令(11,2
n AB CD =⨯=r u u u r u u u r
于是5CA n d n
⋅==u u u r r
r .
7. 点P 在圆()
()2
2
211x y -+-=上运动，则向量PO u u u r
（其中O 为坐标原点）
绕点P 逆时针旋转90°得PQ u u u r
，则点Q 的轨迹方程为 . 解析：
相当于OP u u u r
顺时针旋转
45
倍得到OQ u u u r
.
设()00,P x y ，(),Q x y ，在复平面内相当于
(
)
00cos45sin 452
x y x y +=++i i i o o 即()()001212
x x y y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， D
C
B
A
1
代入可得()()2
2
424x y x y --++-=,
即()()2
2
3310x y -+-=.
8. 过点()1,0-的直线m 与抛物线2y x =相交于,A B ，若△ AOB 的面积为3
（其中O 为坐标原点），求直线m 的方程.
解析：设直线为y kx k =+(0k >)，联立抛物线可得2
0x kx k --=. 2
4k k ∆=+
12132AOB S y y ∆=
-==.
即
434360k k +-=.只能给出数值解. 9.求所有的二次实系数多项式
()2
f x x ax b =++，使得()()2|f x f x . 解析：由题意可知，若()0f α=，则一定()20f α=
则()f x 的零点集合可能为{}0，{}1，{}0,1，{}1,1-，{}2,w w ，
其中12
w =-+. ()2f x x =,()221f x x x =-+,()2f x x x =-,()2
1f x x =-,
()21f x x x =++.
10.设11a =，()3
111n n a n a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
，求证：
（1）1
3
21
11n n
k a n k -=⎛⎫=+
⎪ ⎪⎝
⎭
∑
； （2）113n
k k k a =⎛⎫
+< ⎪⎝
⎭∏
.
（1）()
1
3
3
2
1
1n n a a n n n +=
+
+，叠加可得答案.
（2）()31311k k k k k
a k
k a k a a k a +++==+
()
13111n
n k
k a k a n +=⎛⎫+==
⎪+⎝
⎭∏
(
)1
2
111
11
12331n
n k k k k n k
-==+<+=-<+∑
∑
.。