2022-2023学年河南省南阳市高三上学期期终质量评估(期末考试)数学(理)试卷含答案
河南省普高联考2022-2023学年高三下学期测评(四)理科数学试题PDF版含解析
河南省普高联考2022-2023学年高三下学期测评（四）理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，，则（ ）{24}A xx =<<∣{(6)(3)0}B x x x =--≥∣A ．B ．C ．D ．2A B∈ 3A B∈⋂4A B∈ 5A B∈ 2．若复数z 的共轭复数为，且，则z 的虚部为（ ）z (2i)35i z z -+=-+A ．B ．C ．D ．22i-2i2-3．已知等比数列的前n 项和为，且，，则（ ）{}n a n S 123nn S m =⨯-m ∈R 4S =A ．B ．5C ．D ．1331732234．塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑．最初是供奉或收藏佛骨、佛像、佛经、僧人遗体等的高耸型点式建筑，称“佛塔”．如图，为测量某塔的总高度AB ，选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得，，米，在C 点测得塔顶A 的仰角为60°，则塔的总30BCD ∠=︒45BDC ∠=︒30CD =高度约为（ ））1.4≈ 1.7≈A ．13米B ．24米C ．39米D ．45米5．函数的大致图象是（ ）3sin ||x xy x -=A ．B ．C ．D．6．某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了“绘画、书法、围棋、舞蹈、武术”五项兴趣拓展活动，小明计划从这五项活动中选择三项，则书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．0.90.70.60.37．记不等式组的解集为D ，现有下面四个命题：30,10,30x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩，；，；1:(,)p x y D ∀∈280x y -+≥2:(,)p x y D ∃∈240x y -+>，；，．3:(,)p x y D ∀∈30x y ++>4:(,)p x y D ∃∈330x y +-≤其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知抛物线的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于点A ，B ，与2:2(0)C x py p =>抛物线的准线交于点M ，且点A 位于第一象限，F 恰好为AM 的中点，，AF BM λ=()λ∈R 则（ ）λ=A ．B ．CD32439．任意写出一个正整数，并且按照以下的规律进行变换：如果是个奇数，则下一m m 步变成，如果是个偶数，则下一步变成，无论是怎样一个数字，最终必31+m m 12m m 进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．它可以表示为数列1421→→→（为正整数），，若，则的所有可能{}1:n a a m =m 131,1,2n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩当为奇数时当为偶数时72a =m 取值之和为（ ）A ．B ．C ．D ．18819019220110．在菱形ABCD 中，，，AC 与BD 的交点为G ，点M ，N 分别在线段5AB =6AC =AD ，CD 上，且，，将沿MN 折叠到，使13AM MD =13CN ND =MND MND '△的外接球的表面积为（ ）GD '=D ABC '-A ．B ．C ．D ．1203π16627π16289π840π11．设双曲线的左、右焦点分别为，，B 为双曲线E 上:E 22221x y a b-=(0,0)a b >>1F 2F 在第一象限内的点，线段与双曲线E 相交于另一点A ，AB 的中点为M ，且1F B ，若，则双曲线E 的离心率为（ ）2F M AB ⊥1230AF F ∠=︒AB ．2C D 12．已知，，，其中e 为自然对数的底数，则（ ）0.618e 1a =-ln1.618b =tan 0.618c =A ．B ．c a b >>a b c >>C ．D ．b a c>>a c b>>二、填空题13．二项式的展开式中的系数为________．523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4x 14．如图，在矩形ABCD 中，，AC 与BD 的交点为M ，N 为边AB 上任22AB BC ==意点（包含端点），则的最大值为________．MB DN ⋅15．圆与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧)，点N 满足22:280M x y x ++-=，直线与圆M 和点N 的轨迹同时相切，则直线l 的斜率为||2||NA NB =:(0)l y kx m k =+>________．16．先将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横()cos f x x =2π3坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象与函数的图象关于x 轴对称，1(0)ωω>()g x 若函数在上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围是()g x 2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ω________．三、解答题17．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．ABC cos )sin b a C c A -=(1)求A ；(2)若D 在线段AC 上，且，求BD 的最小值．ABC 13AD AC =18．如图，在四棱锥中，底面ABCD 是平行四边形，，M ABCD -4AB =AD =，点M 在底面ABCD 上的射影为CD 的中点O ，E 为线段AD MC ==45ADC ∠︒上的点(含端点)．(1)若E 为线段AD 的中点，证明：平面平面MAD ；MOE ⊥(2)若，求二面角的余弦值．3AE DE =D ME O --19．某公司为了解年营销费用x （单位：万元）对年销售量y （单位：万件）的影响，统计了近5年的年营销费用和年销售量，得到的散点图如图所示，对i x (1,2,3,4,5)i y i =数据进行初步处理后，得到一些统计量的值如下表所示．51ii u=∑51ii v=∑()()51iii u u v v =--∑()521ii u u =-∑16.1026.020.40 1.60表中，，，．已知可以作为年销售量y 关ln i i u x =ln i i v y =5115i i u u ==∑5115i i v v ==∑b y a x =⋅于年营销费用x 的回归方程．(1)求y 关于x 的回归方程；(2)若公司每件产品的销售利润为4元，固定成本为每年120万元，用所求的回归方程估计该公司每年投入多少营销费用，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益销售=利润营销费用固定成本）--参考数据：．4.399e 81≈139≈参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截()()()1122,,,,,,n n u v u v u v v u αβ=+距的最小二乘估计分别为，．()()()`121ˆniii ni i u u v v u u β==--=-∑∑ˆˆv u αβ=-20．已知椭圆的右焦点为F ，离心率为，且点在㮋圆上．2222:1(0)x y C a b a b+=>>1231,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过右焦点F 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为Q ，经过坐标原点O 和点Q 的直线m 与椭圆C 交于M ，N 两点，求四边形AMBN 的面积的取值范围．21．已知函数．()2cos sin ()f x mx mx x x m =--∈R (1)当时，求在点处的切线方程；1m =()f x ()()π,πf (2)当时，，求实数m 的取值范围．0x >()0f x >22．在直角坐标系中，直线l 的参数方程为其中t 为参数，以坐标原点为xOy 1,1,x t y t =+⎧⎨=-⎩极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为，其中为参数．2|sin |2|cos |ρθθ=+θ(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程，并画出曲线C 的简图（无需写出作图过程）；(2)直线与曲线C 相交于A ，B 两点，且的值．:m θα=π0,2α⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭||AB =α23．已知函数的最小值为m ．()2|1||1|4f x x x =++--(1)在直角坐标系中画出的图象，并求出m 的值；()y f x =(2)a ，b ，c 均为正数，且，求的最小值．1a b c m ++=-+222a b c b c a++参考答案：1．B【分析】根据二次不等式解法求出集合B ，求出及，根据元素和集合的关系即A B ⋂A B ⋃可逐项判断.【详解】由题可知或，则，或{6B xx =≥∣3}x ≤{23}A B x x ⋂=<≤∣{4A B x x ⋃=<∣，依据选项可知B 正确.6}x ≥故选：B ．2．D【分析】先根据条件求出复数，然后可得虚部.z 【详解】设复数，a ，，则，i z a b =+b ∈R i (2i)(i)a b a b +-+-()(3)i a b b a =-++-35i =-+即，解得，则，故z 的虚部为2.()335a b b a -+=-⎧⎨-=⎩12a b =⎧⎨=⎩12z i =+故选：D ．3．B【分析】先根据的定义依次求出，再由等比数列的定义即可得到关于的关系式，n S 123,,a a a m 解之即可得出答案.【详解】因为，123nn S m =⨯-当时，，1n =1123a S m ==-当时，，则，2n =21243m a S a =+=-223a =当时，，则，3n =312383a m a a S +=+-=343a =因为是等比数列，所以，则，{}n a 322a q a ==2113a a q ==所以，解得，2133m -=13m =则，11233n n S =⨯-则.45S =故选：B.4．C【分析】在Rt △ABC 根据∠ACB 的正切得AB 与BC 的关系，在△BCD 中利用正弦定理列式即可求解．【详解】设，则，AB m=tan 60m BC ==︒在中，，由正弦定理得，BCD △105CBD ∠=︒sin105sin 45CD BC=︒︒因为，()sin105sin 4560︒=︒+︒sin 45cos 60cos 45sin 60=︒︒+︒︒=代入数据，解得（米），90m =-9030 1.739≈-⨯=故选：C ．5．A【分析】先判断函数的奇偶性即可排除选项；再利用特殊值即可排除选项，进而求解.B,D C 【详解】函数的定义域为，3sin ()xx xy f x -==(,0)(0,)-∞+∞ 且，3sin()3sin ()()x x x xf x x x f x-----+-===-所以是奇函数，图象关于原点对称，排除选项，()f x B,D 只需研究的图象，当时，，则，排除选项.0x >π6x =πππ33sin 06662-=-<π06f ⎛⎫< ⎪⎝⎭C 故选：．A 6．B【分析】方法一：根据排列组合结合分类加法法则得出答案；方法二：先求出“书法、舞蹈这两项活动都被选中”的概率，即可根据对立事件的概率求法得出答案.【详解】方法一：“书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中”分两种情况：①都没有被选中，有种情况；②两项活动只有一项被选中，有种情况，33C 1223C C 则所求概率为，故选B ．31232335C C C 70.7C 10P +===方法二：“书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中”的对立事件是“书法、舞蹈这两项活动都被选中”，故所求概率为，123235C C 710.7C 10P =-==故选：B ．7．C【分析】作出不等式组所表示的区域，再逐项的作出对应直线，观察所作直线与可行域的关系，再利用存在命题与全称命题的概念进行判断即可求解.【详解】不等式组的解集D 表示的可行域如图中阴影部分所示，依据图（1）知命题为真1p 命题，依据图（2）知命题为真命题，2p 依据图（3）知命题为假命题，依据图（4）知命题为真命题．所以真命题有3个，3p 4p故选：C ．8．A【分析】过点A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为N ，E ，根据抛物线的定义，又F 恰好为AM 的中点，可得到比例，进一步推导得到的值.||||AF BM λ【详解】如图，过点A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为N ，E ，根据抛物线的定义得，，||||AF AN =||||BF BE =因为F 为AM 的中点，所以，又||||||||1||||||AF BF BM BF BM BM BM +==+||||||||BF BE BM BM ==，所以，所以.||||1||||2AN AF AM AM ==||||1311||||22AF BF BM BM =+=+=32λ=故选：A 9．B【分析】列举出的可能情况，可得出的所有可能取值，1234567a a a a a a a →→→→→→m 相加即可得解.【详解】由题意，的可能情况有：1234567a a a a a a a →→→→→→①；②；2142142→→→→→→16842142→→→→→→③；④；2010516842→→→→→→310516842→→→→→→⑤；⑥；128643216842→→→→→→21643216842→→→→→→所以，的可能取值集合为，的所有可能取值之和为m {}2,16,20,3,128,21m .21620312821190+++++=故选：B.10．B【分析】设MN 与BD 的交点为H ，连接，证明平面ABC ．设的外接圆圆D H 'D G '⊥ABC 心为，的外接圆圆心为，过，分别作平面ABC ，平面的垂线，设1O AD C ' 2O 1O 2O AD C '两垂线交于点O ，则O 是三棱锥外接球的球心，先求出，再求出三棱锥D ABC '-12,r r 的外接球的半径即得解.D ABC '-R 【详解】如图所示，因为，，13AM MD =13CN ND =所以，设MN 与BD 的交点为H ，连接，//MN AC 'D H 因为，，所以，则，，5AD CD AB ===3GA GC ==4DG =1GH =3DH =所以．又，则．又，3D H '=GD '=222D G GH D H ''+=D G GH '⊥D G AC '⊥，平面ABC ，故平面ABC ．AC HG G ⋂=AC HG ⊂，D G '⊥设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，过，分别作平面ABC ，平ABC 1O AD C ' 2O 1O 2O 面的垂线，设两垂线交于点O ，则O 是三棱锥外接球的球心，且四边形AD C 'D ABC '-为矩形．设的外接圆半径为，在中，由，解得12O OO G ABC 1r ABC ()2221143r r -+=，同理可得的外接圆半径的1258r =AD C ' 2r =2GO =D ABC '-外接球半径为R ，则，则三棱锥的外接球的表面22212R O A GO =+6252627646464=+=D ABC '-积.26274π16S R π==故选：B ．11．D【分析】连结连接、.设，根据双曲线的定义可推得，即2AF 2BF 2AF =2BF m =||4AB a =．进而在直角三角形中，根据勾股定理可得.结合已知条件，即可2m a =2F 得出，从而得出离心率.222c a =【详解】如图，连接、.2AF 2BF 因为M 为AB 的中点，，所以．2F M AB ⊥22AF BF =设，2AF =2BF m =因为，所以.212AF AF a -=12AF m a =-又因为，所以，122B F B F a -=1BF =2m a +则．11||4AB BF AF a =-=因为M 为AB 的中点，所以，则．||||2AM BM a ==1F M m =设，在中，122FF c =12Rt F F M △2F在中，2Rt AF M△2F ，整理可得，所以．=22222m a c =+2F 当时，，则，1230AF F ∠=︒12sin AF F ∠=212FMF F =12=222c a =所以离心率为ce a==故选：D ．12．D【分析】构造函数，，利用导数判断其单调性即可判断的大()1tan x f x x =--e π04x <<,a c 小；，可构造函数判断与的大小，ln1.618ln(10.618)b ==+()ln(1)h x x x =+-ln1.618b =0.618构造函数判断与的大小，从而可判断的大小.()tan k x x x =-0.618tan 0.618,b c 【详解】令，，()1tan xf x x =--e e cos cos sin cos x x x xx--=π04x <<令，()e cos x g x x =-cos sin x x -则，()(sin cos )e x g x x x '=-+sin cos x x +-()e 1(cos sin )xx x =--当时，，则在上单调递增，π04x <<()0g x '>()g x 0,4π⎛⎫⎪⎝⎭又，所以当时，，又，所以在上恒(0)110g =-=04x π<<()0g x >cos 0x >()0f x >0,4π⎛⎫⎪⎝⎭成立，又，所以，即．00.6184π<<(0.618)0f >a c >令，则，()ln(1)h x x x =+-1()111x h x x x -=-=++'当时，，所以在上单调递减，02x π<<()0h x '<()h x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭所以当时，，即．02x π<<()(0)0h x h <=ln(1)x x +<令，则，在上单调递减，()tan k x x x =-21()10cos k x x '=-≤()k x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭所以当时，，即，02x π<<()(0)0k x k <=tan x x <所以在上恒成立．ln(1)tan x x x +<<0,2π⎛⎫⎪⎝⎭令，则，所以．0.618x =ln(0.6181)0.618tan 0.618+<<c b >综上所述，．a c b >>故选：D ．【点睛】构造函数比较大小主要方法有：1.通过找中间值比较大小，要比较的两个或者三个数之间没有明显的联系，这个时候我们就可以通过引入一个常数作为过渡变量，把要比较的数和中间变量比较大小，从而找到他们之间的大小；2.通过构造函数比较大小，要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性，就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系.有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.13．90【分析】由二项式展开式通项公式可求.【详解】由题知，当时，，故的系数为90．()52153C rrrr T xx -+⎛⎫= ⎪⎝⎭1035C 3r r rx -=⋅⋅2r =4390T x =4x 故答案为：90.14．##522.5【分析】以点A 为坐标原点，，的方向为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，写ABAD 出对应点的坐标，设，根据平面向量数量积的坐标运算即可求解.(,0)N m (02)m ≤≤【详解】以点A 为坐标原点，，的方向为x 轴，y 轴正方向，建立平面直角坐标系，ABAD 则，，，设，11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭(2,0)B (0,1)D (,0)N m (02)m ≤≤所以，，则，11,2MB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ (,1)DN m =- MB DN ⋅= 12m +因为，所以，即的最大值为．02m ≤≤1522MB DN ≤⋅≤ MB DN ⋅ 52故答案为：．5215【分析】求出A 、B 坐标，设N (x ,y )，求出N 的轨迹圆E 的方程，作出图象，利用圆的公切线的几何性质即可求其斜率．【详解】对于圆，令，得，解得或，22:280M x y x ++-=0y =2280x x +-=4x =-2x =则，．()4,0A -()2,0B 设，∵，∴，(,)N x y 2NANB=2NA NB =，整理得，=22(4)16x y -+=则点N 的轨迹是圆心为，半径为的圆．()4,0E 4R =又圆M 的方程为，则圆M 的圆心为，半径为．22(1)9x y ++=(1,0)-3r =∵，∴两圆相交，434(1)43-<--<+设直线l 与圆M 和点N 轨迹圆E 切点分别为C ，D ，连接CM ，DE ，过M 作DE 的垂线，垂足为点F ，则四边形CDFM 为矩形，∵，，∴5ME =431EF DE DF R CM =-=-=-=MF =则tan FME ∠则两圆公切线CD 的斜率即为直线FM16．11,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先根据题目的要求平移伸缩对称变换得到的解析式，然后结合函数在()g x 2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点以及在上单调递增，列出不等式组，即可求得本题答案.ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，()f x 2π32πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭再将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，因1ω2πcos 3y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为函数的图象与的图象关于x 轴对称，()g x 2πcos 3y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以，2π()cos 3g x x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2ππsin 32x ω⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭πsin 6x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭因为，所以，20π3x ≤≤ππ2ππ6636x ωω≤+≤+又因为在恰有2个零点，且，，π()sin 6g x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦()sin π0k =Z k ∈所以，解得，2π2ππ3π36ω≤+<1117<44ω≤令，，得，，令，22πππ2π2π262k x k ω-+≤+≤+2k ∈Z 222π2π2ππ33k k x ωωωω-+≤≤+2k ∈Z 20k =得在上单调递增，所以，()g x 2ππ,33ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2ππ,33ωω⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦所以，又，解得．2ππ312ππ312ωω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩0ω>04ω<≤综上所述，，故的取值范围是．1144ω≤≤ω11,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：11,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦17．(1)；π3A =【分析】（1）根据正弦定理，结合三角恒等变换化简可推得tan A =（2）由已知可推得.在中，由余弦定理可推得，然后根据9bc =ABD △2221193c bbc BD =+-基本不等式，即可得出BD 的最小值．【详解】（1，sin cos )sin sin B A CC A -=又，πA B C ++=]sin()sin cossin sin A C A C C A +-=．sin A C sin sin C A =又，则．sin 0C >sin A A =tan A =因为，所以．(0,π)A ∈π3A =（2）由（1）知，则的面积为．π3A =ABC 1πsin 23S bc ===9bc =在中，，ABD △13AD b =由余弦定理得2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅2211π2cos933c b c b =+-⨯⨯⨯，221193c b bc =+-≥13bc 133bc ==当且仅当，即2219c b =b =c =所以BD 18．(1)证明见解析【分析】(1)在△ADO 中，利用勾股定理证明ED ⊥EO ，再结合ED ⊥MO 即可证明平面MOE ，AD ⊥从而可证明平面平面MAD ；MOE ⊥(2)连接OA ，证明，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可DO OA ⊥求解二面角的余弦值．【详解】（1）∵平面ABCD ，平面ABCD ，∴．AD ⊂MO ⊥MO AD ⊥∵O 为线段CD 的中点，E 为线段AD 的中点，∴，2DO =DE =∵，由余弦定理得，=45ADC ∠︒2222222EO =+-⨯=则，则．222EO DE DO +=DE EO ⊥∵，平面MOE ，∴平面MOE ，MO EO O ⋂=,MO EO ⊂AD ⊥又∵平面MAD ，∴平面平面MAD ．AD ⊂MOE ⊥（2）连接OA ，由(1)知当E 为线段AD 的中点时，AE DE EO ===则A 、O 、D 三点在以AD 为直径的圆上，故．DO OA ⊥故以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又，MC =2MO =∴，，，．(0,0,0)O (2,0,0)D (0,2,0)A (0,0,2)M 又，则，3AE DE =13,,022E ⎛⎫⎪⎝⎭∴，，，．(0,0,2)OM = (2,0,2)DM =- (2,2,0)DA =-13,,022OE ⎛⎫= ⎪⎝⎭设平面MAD 的法向量为，则解得()111,,m x y z = 1111220220DM m x z DA m x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，，1111x z x y =⎧⎨=⎩，，取，则平面MAD 的一个法向量为．11x =(1,1,1)m =设平面MEO 的法向量为，则解得()222,,x n y z = 2221302220OE n x y OM n z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩，，22230x y z =-⎧⎨=⎩，，取，则平面MEO 的一个法向量为．23x =(3,1,0)n =-则，cos m n m n m n ⋅⋅===⋅则二面角D ME O --19．(1)1481y x =(2)该公司每年投入351万元营销费用时，该产品一年的收益达到最大【分析】(1)根据题目要求可知，y 关于x 的回归方程为非线性的，设，可得b y a x =⋅，代入已知条件所给的数据，计算即可.(2)列出年收益与营销费用的关系式，ln ln ln y a b x =+通过求导来求得最值.【详解】（1）由得，，令，，，则b y a x =⋅ln ln()ln ln b y a x a b x =⋅=+ln u x =ln v y =lnc a =．v c bu =+由表中数据可得，，()()()515210.4ˆ0.251.6iii ii u u v v bu u ==--===-∑∑则，所以．26.0216.1ˆˆ0.25 4.39955cv bu =-=-⨯=ˆ 4.3990.25v u =+即，因为，所以，ˆln 4.3990.25ln y x =+14.3994ln e x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭ 4.399e 81≈14ˆ81y x =故所求的回归方程为．1481y x =（2）设年收益为W 万元，则，144120324120W y x x x =--=--对求导，得，()W f x =34'()811f x x -=-令，解得，348110x --=132433519x =≈⨯=当时，，单调递增，当时，，单调递减，(0,351)x ∈'()0f x >()f x (351,)x ∈+∞'()0f x <()f x 因此，当时W 有最大值，即该公司每年投入351万元营销费用时，该产品一年的收351x =益达到最大．20．(1)；22143xy +=(2)．[6,【分析】（1）由题得到关于的方程，解方程即得解；,,a b c （2）设直线l 的方程为，联立椭圆C 的方程得到韦达定理，设线段AB 的中点为1x ky =+，求出它的坐标，求出、点M ，N 到直线l 的距离，再化简求出()00,Q x y ||AB 12,d d 即得解.S =【详解】（1）设椭圆右焦点的坐标为，则，即，(,0)(0)c c >12c a =2a c =又，则，222a b c =+223b c =因为点在椭圆上，31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，即，解得，221914a b +=2213144c c +=1c =则，C 的标准方程为．2a =b =22143x y +=（2）由（1）知，因为直线l 的斜率不为0，所以可设直线l 的方程为，(1,0)F 1x ky =+代入椭圆C 的方程，消去x 化简得，22143x y +=()2234690k y ky ++-=设，，则，．()11,A x y ()22,B x y 122634ky y k -+=+122934y y k -=+设线段AB 的中点为，则，，()00,Q x y 12023234y y k y k +-==+200231134k x ky k -=+=++2434k =+即，则直线m 的方程为，2243,3434k Q k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭34k y x =-代入椭圆C 的方程可得，x =M．N⎛ ⎝||AB =-=，=()2212134k k +=+点M ，N 到直线l 的距离分别为1d 2d 则四边形AMBN 的面积为1211||||22S AB d AB d =⨯⨯+⨯⨯()121|2ABd d =⨯⨯+∣1||2AB =⨯⨯因为点M ，N 在直线l 的两侧，所以1|2S AB =⨯1||2AB ⨯⨯1||2AB ⨯()221211234k k +=⨯+=，==因为，所以2110344k <≤+6S ≤<因此，四边形AMBN 的面积的取值范围为．[6,21．(1)4πy x =-(2)[1,)+∞【分析】（1）由导数法求切线；（2）法一：对m 分类讨论，由导数法研究函数单调性及符号即可判断，其中时，由作1m ≥差法说明，将问题转化为判断的符号；()2cos sin f x x x x x ≥--()2cos sin g x x x x x =--法二：不等式等价为，由导数法研究图象性质，由数形结合判sin 2cos xmx x >-sin ()2cos x g x x=-断范围.【详解】（1）因为，所以，()2cos sin f x x x x x =--()22cos sin f x x x x '=-+因为，，所以切线方程为，即．()π4f '=()π3πf =()3π4πy x -=-4y x π=-（2）方法一：i.若，1m ≥由，2cos sin (2cos sin )mx mx x x x x x x -----2(1)(1)cos m x m x x =---(1)(2cos )0m x x =--≥可得，()2cos sin f x x x x x ≥--设，则，()2cos sin g x x x x x =--()22cos sin g x x x x '=-+当时，，所以单调递增，则；(0,]x π∈()0g x '>()g x ()(0)0g x g >=当时，，所以，(,)x ∈π+∞()(1cos )(sin )0g x x x x x =-+->()0g x >所以恒成立，符合题意；()0f x >ii.若，，0m ≤()2cos sin f x mx mx x x =--(1cos )sin mx x mx x =-+-当时，，不合题意．π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x <iii.若，，01m <<()2(1)cos sin f x m m x mx x '=-++设，则，()()h x f x '=()(21)sin cos h x m x mx x '=++当时，，所以在上单调递增，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x '>()f x 'π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭因为，，所以存在，使得，ππ2022f m ⎛⎫⎛⎫=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'(0)0f '<0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00f x '=当时，，则在上单调递减，，不合题意．()00,x x ∈()0f x '<()f x ()00,x ()(0)0f x f <=综上所述，m 的取值范围为．[1,)+∞方法二：由题知当时，，即，0m >2cos sin 0mx mx x x -->(2cos )sin mx x x ->因为，所以．2cos 0x ->sin 2cos xmx x>-设，因为，所以为周期函数，且周期为．sin ()2cos x g x x=-(2)()g x g x π+=()g x 2π，22cos (2cos )sin ()(2cos )x x x g x x --'=-22cos 1(2cos )x x -=-令，则或，，()0g x '=π2π3x k =+5π2π3x k =+k ∈Z 所以当，时，，则单调递增；ππ2π,2π33x k k ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭k ∈Z ()0g x '>()g x 当，时，，则单调递减．π5π2,2π33x k k π⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭k ∈Z ()0g x '<()g x 当时，令，则，则单调递减，0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()h x g x '=32sin (1cos )()0(2cos )x x h x x -+'=<-()()h x g x '=∴.()(0)1g x g ''<=当时，直线与曲线相切，如图，1m =y mx =()y g x =根据图象可知，要使，只需，故实数m 的取值范围为．sin 2cos x mx x>-m 1≥[1,)+∞【点睛】恒成立问题，一般可通过分离参数法，转化为由导数法研究不含参部分的最值；或者对参数分类讨论，由导数法分别说明.22．(1)，，作图见解析；20x y +-=222||2||0x y x y +--=(2)或．π12α=5π12α=【分析】（1）消去参数，即可得出直线的普通方程.根据公式即可求得曲线C 的直角坐标方t 程.然后根据方程作图即可；（2）设点A 位于第一象限，由图象集合已知条件可推出，2sin 2cos A ραα=+.由.然后根据的范围，即可得出2sin 2cos B ραα=+||AB =πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭αα的值．【详解】（1）将直线的参数方程消去t ，得普通方程为．20x y +-=曲线C 的极坐标方程为，即，2|sin |2|cos |ρθθ=+22|sin |2|cos |ρρθρθ=+又，，，所以曲线C 的直角坐标方程为222x y ρ=+cos x ρθ=sin y ρθ=．222||2||0x y x y +--=则曲线C的简图如图所示．（2）不妨设点A 位于第一象限，结合图形和直线可知，:0,2m πθαα⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，2sin 2cos A ραα=+2sin(π)2cos(π)B ραα=-+-+2sin 2cos αα=+则，||4sin 4cos A B AB ρραα=+=+π4α⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以.πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭又，所以，π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ3π,444α+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦则或，所以或．ππ43α+=π2π43α+=π12α=5π12α=23．(1)作图见解析，2m =-(2)3【分析】(1)写出f (x )解析式，按照一次函数图象画法即可画出图象，根据图象即可求出最小值m ；(2)利用基本不等式得，，，三式相加即可求得22a b a b+≥22b c b c +≥22c a c a +≥222a b c b c a ++的最小值．【详解】（1）由题知()35,1,1,11,33,1,x x f x x x x x --≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩描点，，，，连线得的图象如图所示．(2,1)-(1,2)--(1,0)(2,3)()y f x =通过图象可知，当时，函数的最小值为，即．=1x -()y f x =2-2m =-（2）由(1)知，，2m =-13a b c m ++=-+=，，，22a b a b+≥22b c b c +≥22c a c a +≥三个式子相加得，当且仅当时等式成立，2223a b c a b c b c a++≥++=1a b c ===∴的最小值为3．222a b c b c a++。
河南省南阳市2023-2024学年高一上学期期终质量评估数学试题
河南省南阳市2023-2024学年高一上学期期终质量评估数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A．B．
C ．
D ．
1
二、多选题
9．下列情境适合用古典概型来描述的是（ ）
A ．向一条线段内随机地投射一个点，观察点落在线段上不同位置
B ．五个人站一排，观察甲乙两人相邻的情况
C ．从一副扑克牌（去掉大、小王共52张）中随机选取1张，这张牌是红色牌
D ．某同学随机地向靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，命中1环和脱靶
10．已知函数()22,2
log ,2
x a x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩，若()f x 存在最小值，则实数a 的可能取值为（ ）
四、解答题
(2)若()22x
f x m >+恒成立，求实数m 的取值范围.。
河南省南阳市2024届高三上学期期末数学参考答案及评分细则
2023年秋期高中三年级期终质量评估数学试题参考答案一．选择题1-8.CBDC BDAC 二．选择题9.AC 10.ACD 11.ABD12.CD三．填空题13.-1214.），（）（∞+-10,1 15.8916.四．解答题（答案仅供参考，各小题若有其他解法，请酌情给分）17.解析：（1）(),m a b =，()sin ,n B A = ，且0m n ⋅=，sin cos 0a B A -=∴，∴由正弦定理得sin sin cos 0A B B A -=.……………………………………………2分0πB << ，sin 0B ∴≠，sin A A =∴，tan A =.0πA << ，π3A ∴=.………………………………………………………………………5分（2）10a = ，∴由余弦定理得22222cos 10a b c bc A =+-=，即22100b c bc +-=.…………………………………………………………………………7分222b c bc +≥ ，1002bc bc ∴+≥，100bc ∴≤.1sin 1002S bc A ==≤= 8分∴当且仅当b c =时，ABC △面积有最大值，最大值为.…………………………10分18.解析：（1）因为11122n n n n n a a a a a +++++=-+，所以1131122n n n n a a a a ++=---，则111111111n n n n n n n n a a a a a a a a ++++--==+++++1121122n n n n a a a a ++-=-，所以12n n b b +-=，……………………………………………………………………………2分又10a =，所以11111b a ==+，故数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，所以12(1)21n b n n =+-=-，……………………………………………………………5分1122112121n n na b n n -=-=-=--.…………………………………………………………6分（2）证明：（方法一）由（1）可得2n S n =，所以211n S n=.当1n =时，1117=14T S =<.…………………………………………………………………7分当2n ≥时，22111111211n n n n ⎛⎫<=- ⎪--+⎝⎭，…………………………………………8分1231111n nT S S S S =++++ 111111111111232435211n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111111221n n ⎛⎫=+⨯+-- ⎪+⎝⎭711174214n n ⎛⎫=-+<⎪+⎝⎭.………………………………11分综上可得7.4n T <…………………………………………………………………………12分（方法二）由（1）可得2n S n =，所以211n S n=.当1n =时，1117=14T S =<.…………………………………………………………………7分当2n =时，22111157=+1+=444T S S =<.…………………………………………………8分当3n ≥时，21111(1)1n n n n n<=---，…………………………………………………9分1231111n nT S S S S =++++ 11111111++423341n n <+--++-- 71744n =-<.…………………………………11分综上可得7.4n T <…………………………………………………………………………12分19.解析：(1)证明：如图，连接1A C ，在AC A 1∆中，12A A =，1AC =，160A AC ∠=︒，由余弦定理，得222111112cos 4122132A C AA AC AA AC A AC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以1A C =，所以22211AC AC A A +=，所以1A C AC ⊥，…………………………………………2分同理1A C BC ⊥，又BC AC C ⋂=，,AC BC ⊂平面ABC ,所以1A C ⊥平面ABC ,又1AC ⊂平面11A ACC ，所以平面ABC ⊥平面11A ACC .……………………………………………5分(2)由平面几何知识可知，AC ⊥CP ，……………………………………………6分以C 为坐标原点，以CA，CP，CA 1为,x y z ,轴，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，则(1,0,0)A，1(2B -，1A ，……………………………………………7分所以1(AA =-，3(,22AB =- 设平面1A AB 的法向量为111(,,)m x y z =，则111110,3·0,22m AA x m AB x ⎧⋅=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩令11z =，得m =.…………………………………………………………9分又平面P CA 1的法向量为)0,0,1(=n ， (10)分13391933=++=∴…………………………………………11分所以二面角11B P A C --的正弦值为13130.……………………………………………12分（若用综合几何法求解，请按照步骤酌情给分）20.解析：(1)∵前四组频数成等差数列，∴设a ＝0.2＋d ，b ＝0.2＋2d ，c ＝0.2＋3d ，∴0.5×(0.2＋0.2＋d ＋0.2＋2d ＋0.2＋3d ＋0.2＋d ＋0.1＋0.1＋0.1)＝1，解得d ＝0.1，∴a ＝0.3，b ＝0.4，c ＝0.5.居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25.……………………………4分(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于等于2.5的频率为0.7<0.8，∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应规定83.215.07.08.05.2≈-+=w …………………………………………………8分(3)将频率视为概率，设A (单位：立方米)代表居民月用水量，可知P (A ≤2.5)＝0.7，由题意，知X ～B (3，0.7)，P (X ＝0)＝C 03×0.33＝0.027，P (X ＝1)＝C 13×0.7×0.32＝0.189，P (X ＝2)＝C 23×0.72×0.3＝0.441，P (X ＝3)＝C 33×0.73＝0.343.∴X 的分布列为X 0123P0.0270.1890.4410.343………11分∵X ～B (3，0.7)，∴E (X )＝3×0.7＝2.1.…………………………………………………12分21.解析：（1）设),(y x P ，则x a b y Q -=，y bax R -=，由题意可得，2|)(21||)(21|aby b a y x a b x =-∙+-∙，即12222=+b y a x ，故点P 的轨迹C 的方程为12222=+by a x ；……………4分（2）由（1）可知C：1422=+y x 假设存在常数n,使λ=∙AE AD （常数），设直线n my x l +=：，代入C，整理得0)4(24(222=-+++n mny y m ），设),(),,(2211y x E y x D 则44,422221221+-=+-=+m n y y m mn y y ……………6分所以),4(),4(2211y x y x AE AD +∙+=∙21212121)4)(4()4)(4(y y n my n my y y x x +++++=+++=221212)4())(4()1(++++++=n y y n m y y m ……………7分λ=++++-+-+=222222)4(4)4(24)4)(1(n m n n m m n m （算法一）整理化简得：0460325)12(22=-+++-λλn n m 对R m ∈∀恒成立.……9分故0460325,0122=-++=-λλn n 舍去）或(652012325,122--=∴=++=∴n n n λ……………11分当直线l 为x 轴时12=∙AE AD 综上，存在常数52-=n ,对任意直线l ,使12=∙AE AD （为定值）……………12分（算法二）λ=+++-+---=++++-+-+=22222222222)4(4)4()48()4(4)4(24)4)(1(n m n m n n n m n n m m n m 根据对应系数成比例得：444822-=---n n n .……………9分整理得0123252=++n n ，解得652-=-=n n 或当6-=n 不能保证任意l 成立，故舍去.将52-=n 代入上式可得12=∙AE AD ……………11分当直线l 为x 轴时12=∙AE AD 综上，存在常数52-=n ,对任意直线l ,使12=∙AE AD （为定值）……………12分22.解析：（1）依题意知：()0,x ∈+∞，()'ln a x a f x =+，)1(11)(2xa x x x a x g -=-='…………………1分①0≤a 时，0)(<'x g 恒成立，)(x g 在），（∞+0上单调递减；……………………3分②0>a 时，由,10,0)(a x x g <<<'得,1,0)(ax x g >>'得)(x g 在，（a 10上单调递减，），（∞+a1上单调递增.……………………5分（2）依题意，要证：ln e sin 1x x x x <+-，①当01x <≤时，ln 0,1sin 0x x x e x ≤-+>，故原不等式成立，…………………………7分②当1x >时，要证：ln e sin 1x x x x <+-，即要证：ln sin 10x x x e x --+<，令()ln sin 1,(1)x h x x x e x x =--+>则()ln cos 1xh x x e x '=--+，()1sin x h x e x x''=-+，………………………………8分0)(,1<''∴>x h x ………………………………9分()h x '∴在()1+∞，单调递减()()11cos10h x h e ''∴<=--<………………………10分()h x ∴在()1+∞，单调递减，()(1)1sin10h x h e ∴<=--<，即：ln sin 10x x x e x --+<，故原不等式成立.…………………………………12分。
河南省南阳市2022-2023学年高一上学期期末数学试题(1)
4. “ log2 a log2 b ”是“ 2a 2b ”地（ ）
A. 充分不必要款件 C. 充分且不必要款件 【结果】A 【思路】
B. 必要不充分款件 D. 既不充分也不必要款件
【思路】解指数不等式和对数不等式,求出两个命题地等价命题,进而依据充要款件地定义,可得结果．
【详解】“ 2a 2b ” “ a b ”, “ log2 a log2 b ” “a b 0”, “ a b 0”是“ a b ”地充分而不必要款件,
1
0 log2 3 5 log8 5 log4 3 log2 3 1 23 ,据此思路可得结果．
【详解】解：依据题意,函数 y f (x 1) 地图象有关直线 x 1 对称,
则 f (x) 地图象有关 y 轴对称,即函数 f (x) 为偶函数,
又由对任意地 x1 , x2 ( , 0] ,当 x1
此时平均数为 x ,方差为 s2 ,则（ ）
A. x 5 , s2 2
B. x 5 , s2 1.6
C. x 4.9 , s2 1.6
【结果】B
D. x 5.1 , s2 2
【思路】
【思路】设这 10 个数据分别为： x1, x2 ,, x7 , x8 4, x9 5, x10 6 ,进而依据题意求出 x1 x2 x7 和
地概率为（ ）
1
A.
6
【结果】D
1
B.
3
C.
1 2
5
D.
6
【思路】
【详解】从 4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4 中随机抽取 2 张地基本事件有： 12,13,14,23,24,34,一共 6 种, 其中数字之积为偶数地有：12,14,23,24,34 一共有 5 种,
河南省南阳市2024届高三年级期终质量评估数学试题(附答案)
河南省南阳市2024届高三年级期终质量评估试题数 学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效．2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．出4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损．第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合{}1,3,A n =，{}2,1B n =，且A B A ⋃=，则实数n 的值为（ ）A. 0B. 1C. 0或D. 2. 已知随机变量服从正态分布2~(2,)X N σ，若(12)(1)1P X a P X a ≤-+≤+=，则=a （ ） A. 0B. 2C. 1-D. 2-3. 函数()21x x f x e-=图象大致为（ ）A. B.C. D.的4. 在三棱锥-P ABC 中，1PA =，2PB =，3PC =，则当该三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为（ ） A. 12πB. 13πC. 14πD. 15π5. 反比例函数k y x=（0k ≠）的图像可以看作是由等轴双曲线经过旋转得到的，那么双曲线2y x =的焦距为（ ）A.B.C. 4D. 66. 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，若11a =，12n n a S +=，则2024a =（ ） A 20223B. 20233C. 202323⨯D. 202223⨯7. 抛物线E ：2y x =的焦点为F ，P 为准线上任意一点，过点P 作E 的切线，切点为A ，则PA PF ⋅的最小值为（ ） A.14B.12C. 1D. 28. 若函数()2e xf x ax x =--有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围为（ ） A. ()(),00,∞-+∞U B. ()0,∞+ C. 110,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D. ()()0,11+∞二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.设复数122z =--的共轭复数为z ，则下列结论正确的有（ ） A 22cosisin 33z ππ=+ B.212z z = C.1zz= D. 222z z +=10. 为了研究某种作物在特定温度下（要求最高气温t 满足：27C 30C t ︒≤≤︒）的生长状况，某农学家需要在10月份去某地进行为期10天的连续观察试验．现有关于该地区近十年10月份日平均最高气温和日平均最低气温（单位：C ︒）的记录如下：的..根据上述记录，下列说法正确的有（ ）A. 农学家观察试验的起始日期为10月7日或10月8日B. 设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高气温的方差和最低气温的方差分别为1D ，2D ，则12D D <C. 设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高气温的方差和最低气温的方差分别为1D ，2D ，则12D D >D. 从10月份的31天中随机选择连续3天，则所选3天中日平均最高气温值都在[]27,30的概率为102911. 用一个平面去截正方体，关于截面的说法，正确的有（ ） A. 截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形 B. 截面有可能是四边形，并且有可能是正方形 C. 截面有可能是五边形，并且有可能是正五边形 D. 截面有可能是六边形，并且有可能是正六边形12. 设函数()222,0log ,0xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的函数()()()()222g x f x a f x a =-++⎡⎤⎣⎦恰好有n 个零点，则下列说法正确的是（ ）A. 若2n =，则实数a 的取值范围为(),0∞-B. 若3n =，则实数a 的取值范围为()0,1C. 若4n =，则实数a 的取值范围为()()0,23,+∞D. 若5n =，则实数a 取值范围为(]2,3第Ⅱ卷 非选择题（共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）的13. 62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中4x 的系数为_____________．（用数字作答） 14. 若点()0,1在圆2220x y ax a +++=的外部，则实数a 的取值范围为_____________．15. 某楼梯共有10个台阶，小明在上楼梯的时候每步可以上1个或者2个台阶，则小明不同的上楼方法共有_____________种．（用数字作答）16. 如图，点P 为BAC ∠内一点，1PA =，30BAP ∠=︒，45CAP ∠=︒，过点P 作直线分别交射线AB ，AC 于D ，E 两点，则11PD PE+的最大值为_____________．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(),m a b =，()sin ,n B A = ，且0m n ⋅=．（1）求内角A 的大小；（2）若10a =，求ABC 面积的最大值．18. 已知数列{}n a 满足10a =，且11122n n n n n a a a a a +++++=-+．数列{}n b 满足11n n b a =+，{}n b 的前n 项和为n S ．（1）判断数列{}n b 是否为等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：74nT <． 19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC ==，120ACB ∠=︒，112AA A B ==，160A AC ∠=︒．（1）证明：平面ABC⊥平面11A ACC ；（2）若13BP BA =uu r uu r，求二面角11C A P B --的正弦值．20. 某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列．（1）求a ，b ，c 的值及居民月用水量在2～2.5内的频率；（2）根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w 至少定为多少？（精确到0.01） （3）若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X ，求其分布列及均值．21. P 为平面直角坐标系内一点，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，交直线by x a=-（0a b >>）于Q ，过P 作y 轴的垂线，垂足为N ，交直线by x a =-于R ，若△OMQ ， ONR 的面积之和为2ab ．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）若2a =，1b =，()4,0A -，(),0G n ，过点G 的直线l 交C 于D ，E 两点，是否存在常数n ，对任意直线l ，使AD AE ⋅为定值？若存在，求出n 的值及该定值，若不存在，请说明理由． 22. 已知函数()ln f x ax x =（0a ≠），()'f x 为()f x 的导数． （1）讨论函数()()1'g f x x x=+的单调性； （2）当1a =时，求证：()e sin 1xf x x <+-．答案解析第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合{}1,3,A n =，{}2,1B n =，且A B A ⋃=，则实数n 的值为（ ）A. 0B. 1C. 0或D. 【答案】C 【答案解析】【详细分析】由题意得BA ⊆，结合互异性以及集合与元素的关系即可得解.【过程详解】由题意A B A ⋃=，所以BA ⊆，而21n ≠，即1n ≠±，所以23n =或2=n n ，解得0n =或满足题意. 故选：C.2. 已知随机变量服从正态分布2~(2,)X N σ，若(12)(1)1P X a P X a ≤-+≤+=，则=a （ ） A. 0 B. 2C. 1-D. 2-【答案】D 【答案解析】【详细分析】根据正态分布的性质可得(12)(1)P X a P X a ≥-=≤+，即可得到12a -、1a +关于2x =对称，从而得到方程，解得即可.【过程详解】解：因为(12)(1)1P X a P X a ≤-+≤+=， (12)(12)1P X a P X a ≤-+≥-=， 所以(12)(1)P X a P X a ≥-=≤+， 所以12122a a -++=⨯，解得2a =-. 故选：D3. 函数()21x x f x e-=的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【答案解析】【详细分析】由题意可得函数()f x 不是偶函数，图象不关于y 轴对称，然后再根据特殊值进行判断可得结果．【过程详解】解： ()()()21xx f x f x e ----=≠，所以()f x 的图象不关于y 轴对称，排除选项B ，C ，又因为()22212320f e e--==<，排除A .故选：D.【名师点评】本题考查根据函数的答案解析式判断函数的大体图象，考查详细分析判断能力和应用意识，结合函数奇偶性的判断，属于基础题.4. 在三棱锥-P ABC 中，1PA =，2PB =，3PC =，则当该三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为（ ） A. 12π B. 13πC. 14πD. 15π【答案】C 【答案解析】【详细分析】要使该三棱锥的体积最大，只需PA PB ⊥,PC ⊥面PAB ，求出球的球心，进而求出球的半径和表面积．【过程详解】设点C 到底面PAB 的距离为h ，则1111sin sin 3323P ABC PAB V S h PA PB APB h APB h -=⨯=⨯⋅∠⨯=∠⨯ ， 要使该三棱锥的体积最大时,则需sin ,APB h ∠达到最大值,即π,2APB h PC ∠==,即PA PB ⊥PC ⊥面PAB ，所以PAB 的斜边AB 的中点为外接圆圆心1O ，因为1PA =，2PB =，所以22AB r ==, 如图所示，易得四边形1OO PH 为矩形，所以12OH O P r ===，令棱锥外接球半径为R ， 设CH x =，则2222CO CH OP HP -=- 即()22223R x R x -=--，解得32x =， 所以22272R HO CH =+=,解得2R =，所以该三棱锥的外接球表面积为224π4π14π2S R ⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭. 故选：C.5. 反比例函数ky x=（0k ≠）图像可以看作是由等轴双曲线经过旋转得到的，那么双曲,的线2y x=的焦距为（ ）A. B.C. 4D. 6【答案】B 【答案解析】【详细分析】求出双曲线与对称的交点即顶点坐标，求出顶点到中心的距离即得a ，从而求得,b c ，得出结论． 【过程详解】双曲线2y x=的对称轴是直线y x =和y x =-，它与对称轴y x =的交点是，(，即为双曲线的顶点，2=，即2a =，因此2b =，c ==2c =．故选：B ．6. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，12n n a S +=，则2024a =（ ） A. 20223B. 20233C. 202323⨯D.202223⨯【答案】D 【答案解析】【详细分析】利用11n n n a S S ++=-得出{}n S 是等比数列，由通项公式求出2023S 后求出2024a . 【过程详解】由12n n a S +=，得112n n n n a S S S ++=-=，所以13n n S S +=，又111S a ==， 所以{}n S 是等比数列，首项为1，公比为3，所以13n n S -=，所以202220232024232a S =⨯=故选：D7. 抛物线E ：2y x =的焦点为F ，P 为准线上任意一点，过点P 作E 的切线，切点为A ，则PA PF ⋅的最小值为（ ）A.14B.12C. 1D. 2【答案】A【答案解析】【详细分析】利用抛物线对称性设不妨设切点为A在第一象限，然后利用导函数求切线斜率，进而求出直线方程，得14P⎛⎫-⎝，得01124P xA PF⎫⎛⎛⎫=++⎪⎝⎭⋅⎝⎭，最后利用基本不等式求最值. 【过程详解】由2y x=，根据抛物线的对称性，不妨设切点为A在第一象限，所以A在)0y y=>上，设(0A x，1,4P t⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,04F⎛⎫⎪⎝⎭，由)0y y=>，得1212y x-'=，切线斜率为k=，故切线方程为)0y x x=-，又1,4P t⎛⎫- ⎪⎝⎭在直线)0y x x=-，得014t x⎫-=--⎪⎭，得t=-14P⎛⎫-⎝，所以014PA x⎛⎫=++⎝，12PF⎛=⎝⎭，1124P xA PF⎫⎛⎛⎫=++⎪⎝⎭⋅⎝⎭1111464884xx=++≥+=，当且仅当01464xx=，即14x=时取等号，PA PF⋅的最小值为14.故选：A8. 若函数()2e xf x ax x=--有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（）A. ()(),00,∞-+∞UB. ()0,∞+C. 110,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ()()0,11+∞【答案】C 【答案解析】【详细分析】转化为()e 21xf x ax =--'有两个变号零点，令()e 21xh x ax =--，求导，分0a ≤和0a >两种情况，得到其单调性，极值和最值情况，从而得到不等式22ln 210a a a --<，再构造函数()22ln 21g a a a a =--，求导得到其单调性，极值最值情况，求出答案.【过程详解】由题意得()e 21xf x ax =--'有两个变号零点，令()e 21xh x ax =--，定义域为R ，则()e 2xh x a '=-，当0a ≤时，()0h x '>恒成立，()h x 在R 上单调递增，不会有两个零点，舍去， 当0a >时，令()0h x '>得，ln 2x a >，令()0h x '<得，ln 2x a <， 所以()h x 在(),ln 2a -∞上单调递减，在()ln 2,a +∞上单调递增， 故()h x 在ln 2x a =处取得极小值，也是最小值， 则()ln 20h a <，即22ln 210a a a --<，令()22ln 21g a a a a =--，0a >，则()22ln 222ln 2g a a a '=--=-， 令()0g a '>得102a <<，令()0g a '<得12a >， ()g a 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，故()22ln 21g a a a a =--在12a =处取得极大值，也是最大值， 又102g ⎛⎫=⎪⎝⎭，故22ln 210a a a --<的解集为110,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 此时当x 趋向于负无穷时，()h x 趋向于正无穷，当x 趋向于正无穷时，()h x 趋向于正无穷， 满足()e 21xh x ax =--有2个变号零点.故选：C【名师点评】结论名师点评：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.设复数122z =--共轭复数为z ，则下列结论正确的有（ ） A. 22cosisin 33z ππ=+ B.212z z = C.1zz= D. 222z z +=【答案】AC 【答案解析】【详细分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算法则，即可求解.【过程详解】对于A，122isin2233z ππ=-++，故A 正确； 对于B，2211i i 2211i 2222z z -+-+===⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故B 错误； 的对于C，211i 221i22222222zz ⎛⎫-+ ⎪-+===--⎝⎭⎝⎭，所以1z z =，故C 正确；对于D，2211i i 2222z ⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，2211i i 2222z ⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以221z z +=-，故D 错误.故选：AC10. 为了研究某种作物在特定温度下（要求最高气温t 满足：27C 30C t ︒≤≤︒）的生长状况，某农学家需要在10月份去某地进行为期10天的连续观察试验．现有关于该地区近十年10月份日平均最高气温和日平均最低气温（单位：C ︒）的记录如下：根据上述记录，下列说法正确的有（ ）A. 农学家观察试验的起始日期为10月7日或10月8日B. 设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高气温的方差和最低气温的方差分别为1D ，2D ，则12D D <C. 设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高气温的方差和最低气温的方差分别为1D ，2D ，则12D D >D. 从10月份的31天中随机选择连续3天，则所选3天中日平均最高气温值都在[]27,30的概率为1029【答案】ACD 【答案解析】【详细分析】选项A ，从图中可以看出，从7日到17日时，最高温度满足，因此选择起始日期为7日或8日，从而判断出选项A 的正误；通过图，分别求出前10天的最高温度和最低温度的方差，即可判断出选项B 和C 的正误；对于选项D ，随机选择连续三天，共有29种可能，满足题意的选择有10种可能，由古典概型概率公式可得结论，从而得出结果． 【过程详解】因为某种作物要求最高气温t 满足：27C 30C t ︒≤≤︒，由图可知，10月6日的平均最高气温为26C ︒，从10月18日起的平均最高气温均低于27C ︒， 所以农学家观察试验的起始日期为10月7日或10月8日，故选项A 正确； 因为10月1日至10月10的最高气温分别为：30,31,29,28,27,26,27,27,27,27， 其平均数为3031292827262727272727.910x +++++++++==，所以22222211[(3027.9)(3127.9)(2927.9)(2827.9)(2727.9)5(2627.9)] 2.2910D =-+-+-+-+-⨯+-=，又10月1日至10月10的最低气温分别为：19,19,18,18,17,18,18,17,17,17， 其平均数为19218417417.810y ⨯+⨯+⨯==，所以22221[2(1917.8)4(1817.8)4(1717.8)]0.5610D =⨯-+⨯-+⨯-=， 故12D D >，所以选项B 错误，选项C 正确，对于选项D ，设“所选3天中日平均最高气温值都在[]27,30”为事件A ， 易知，基本事件为(1,2,3(,(2,3,4),(3,4,5),,(29,30,31) ，共29个，又由题图可以看出，事件A 中包含(3,4,5)，(7,8,9),(8,9,10),(9,10,11),(10,11,12)，(11,12,13),(12,13,14),(13,14,15),(14,15,16),(15,16,17)，共10个，所以10()29P A =，故选项D 正确， 故选：ACD.11. 用一个平面去截正方体，关于截面的说法，正确的有（ ） A. 截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形 B. 截面有可能是四边形，并且有可能是正方形 C. 截面有可能是五边形，并且有可能是正五边形D. 截面有可能是六边形，并且有可能是正六边形 【答案】ABD 【答案解析】【详细分析】根据题意，结合正方体的几何结构，以及截面的概念与性质，逐项判定，即可求解.【过程详解】由题意，在正方体1111ABCD A B C D -中，对于A 中，过点11,,A B D 三点的截面为11AB D ，截面的形状为正三角形，所以A 正确； 对于B 中，过棱1111,,,AA BB CC DD 的中点，作正方体的截面，此时截面与上下底面平行且全等，所以截面的性质为正方形，所以B 正确；对于C 中，用一个平面截正方体，截面可以是五边形，但不能为正五边形，所以C 错误； 对于D 中，如图所示，用一个平面截正方体，当取各边的中点时，截面是正六边形，所以D 正确. 故选：ABD.12. 设函数()222,0log ,0xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的函数()()()()222g x f x a f x a =-++⎡⎤⎣⎦恰好有n 个零点，则下列说法正确的是（ ） A. 若2n =，则实数a 的取值范围为(),0∞- B. 若3n =，则实数a 的取值范围为()0,1C. 若4n =，则实数a 的取值范围为()()0,23,+∞D. 若5n =，则实数a 的取值范围为(]2,3 【答案】CD 【答案解析】【详细分析】令()f x t =，则()()222g t t a t a =-++零点的个数，就是方程()2220t a t a -++=的根的个数，最后转化为()f x a =的零点的个数问题，画出()f x 的图象，由图象逐项详细分析即可.【过程详解】令()f x t =，则()()222g t t a t a =-++，作()f x 的图象如图所示：()()222g t t a t a =-++所对应的方程为()2220t a t a -++=，()()22Δ24220a a a =+-⨯=-≥，当Δ0=时，则2a =，故方程为2440t t -+=，解为2t =，此时关于x 的函数()()()()222g x f x a f x a =-++⎡⎤⎣⎦有2个零点，故A 错误；当0∆>时，方程()2220t a t a -++=有两个不相等的实根为：2t =或t a =，若关于x 的函数()()()()222g x f x a f x a =-++⎡⎤⎣⎦恰好有3个零点， 则()f x a =只有一个零点，由图可知实数a 的取值范围为{}0，故B 错误； 若关于x 的函数()()()()222g x f x a f x a =-++⎡⎤⎣⎦恰好有4个零点，则()f x a =有2个零点，由图可知实数a 的取值范围为()()0,23,+∞ ，故C 正确； 若关于x 的函数()()()()222g x f x a f x a =-++⎡⎤⎣⎦恰好有5个零点， 则()f x a =有3个零点，由图可知实数a 的取值范围为(]2,3，故D 正确； 故选：CD.【名师点评】方法名师点评：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对答案解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.第Ⅱ卷 非选择题（共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中4x 的系数为_____________．（用数字作答）【答案】12- 【答案解析】【详细分析】由二项展开式的通项公式可得． 【过程详解】展开式的通项为6621662C ()(2)C rrr r r rr T x x x--+=-=-， 令624r -=，得1r =， 因此所求系数为162C 12-⨯=-． 故答案为：12-．14. 若点()0,1在圆2220x y ax a +++=的外部，则实数a 的取值范围为_____________． 【答案】()()1,01,-⋃+∞ 【答案解析】【详细分析】根据方程表示圆可得()2240a a ->，由点()0,1在圆外可得10a +>，解不等式组即可.【过程详解】由()0,1在圆2220x y ax a +++=的外部，得()()210240110a a a a a a ⎧⎧->->⎪⇒⎨⎨>-+>⎪⎩⎩，解得1a >，或10a -<<，故答案为：()()1,01,-⋃+∞15. 某楼梯共有10个台阶，小明在上楼梯时候每步可以上1个或者2个台阶，则小明不同的上楼方法共有_____________种．（用数字作答） 【答案】89 【答案解析】【详细分析】借助加法计数原理，得到()12,3n n n a a a n --=+≥，依次计算即可.的【过程详解】设小明上n 个台阶有n a 种方法，考虑最后一步： 若最后一步小明上1个台阶，则前n 1-个台阶有1n a -种方法且2n ≥； 若最后一步小明上2个台阶，则前2n -个台阶有2n a -种方法且3n ≥. 由加法原理得()12,3n n n a a a n --=+≥，易知121,2a a ==，可得33a =，456789105,8,13,21,34,55,89.a a a a a a a ======= 所以小明不同的上楼方法共有89种. 故答案为：89.16. 如图，点P 为BAC ∠内一点，1PA =，30BAP ∠=︒，45CAP ∠=︒，过点P 作直线分别交射线AB ，AC 于D ，E 两点，则11PD PE+的最大值为_____________．【答案】11+ 【答案解析】【详细分析】用正弦定理表示PD 、PE ，再结合辅助角求函数的最大值. 【过程详解】如图：设ADP α∠=，AEP β∠=，则105αβ+=︒.在ADP 中，由正弦定理得：1sin sin 30PD α=︒⇒12sin PD α=；同理，在AEP 中，1PEβ=.所以112sin PD PEαβ+= ()2sin 105ββ=︒-+2sin105cos 2cos105sin βββ=︒-︒cos sin 22ββ=+()(()cos sin 1sin 4512βββ=+=++︒≤+（当且仅当45β=︒时取等号）故答案为：1+【名师点评】方法名师点评：一般选择填空求最值得问题，通常有以下方法： 第一：转化为二次函数在给定区间上的值域问题求解； 第二：运用基本（均值）不等式求最值； 第三：转化为三角函数求值域；第四：较少题目会用导数详细分析函数单调性求值域.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(),m a b =，()sin ,n B A = ，且0m n ⋅=．（1）求内角A 的大小；（2）若10a =，求ABC 面积的最大值． 【答案】（1）π3A =（2）． 【答案解析】【详细分析】（1）把向量的数量积用坐标表示后利用正弦定理化边为角，利用三角函数性质可得；（2）用余弦定理后利用基本不等式得出bc 的最大值，从而可得面积最大值． 【小问1过程详解】∵(),m a b =，()sin ,n B A = ，且0m n ⋅=，∴sin cos 0a B A =，∴由正弦定理得sin sin cos 0A B B A =． ∵0πB <<，∴sin 0B ≠，∴sin A A =，tan A =．∵0πA <<，∴π3A =． 【小问2过程详解】 ∵10a =，∴由余弦定理得22222cos 10a b c bc A =+-=，即22100b c bc +-=． ∵222b c bc +≥，∴1002bc bc +≥，∴100bc ≤， 当且仅当10b c ==时，等号成立，∴1sin 100244S bc A bc ==⨯=≤， ∴ABC面积有最大值，最大值为18. 已知数列{}n a 满足10a =，且11122n n n n n a a a a a +++++=-+．数列{}n b 满足11n n b a =+，{}n b 的前n 项和为n S ．（1）判断数列{}n b 是否为等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：74n T <．【答案】（1）是，2221n na n -=-； （2）证明见答案解析﹒ 【答案解析】【详细分析】(1)通过恒等变形得111211n n a a +-=++，从而得12n n b b +-=，即可判断{}n b 为等差数列，可求{}n b 的通项公式，再由11n n b a =+得{}n a 的通项公式； (2)先由(1)得211n S n =，再利用放缩法和裂项相消法证明74n T <． 【小问1过程详解】 因为11122n n n n n a a a a a +++++=-+，所以1131122n n n n a a a a ++=---， 则1111111121111122n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++---===+++++-． 所以12n n b b +-=， 又10a =，所以11111b a ==+， 故数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列， 所以12(1)21n b n n =+-=-， 得1122112121n n n a b n n -=-=-=--． 【小问2过程详解】 由(1)可得2n S n =，所以211n S n=． 当1n =时，11714S =<． 当2n ≥时，22111111211n n n n ⎛⎫<=- ⎪--+⎝⎭．所以1231111n nT S S S S =+++⋅⋅⋅+111111111111232435211n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111711711221414n n n n ⎛⎫⎛⎫=+⨯+--=-+< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC ==，120ACB ∠=︒，112AA A B ==，160A AC ∠=︒．（1）证明：平面ABC⊥平面11A ACC ；（2）若13BP BA =uu r uu r，求二面角11C A P B --的正弦值．【答案】（1）证明见答案解析（2）13【答案解析】【详细分析】（1）首先由解三角形知识得1A C AC ⊥，同理1AC BC ⊥，结合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证.（2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由向量夹角的余弦公式结合平方关系即可得解. 【小问1过程详解】如图，连接1AC ，在1A AC △中，12A A =，1AC =，160A AC ∠=︒， 由余弦定理，得222111112cos 4122132A C AA AC AA AC A AC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以1A C =，所以22211A C AC A A +=，所以1A C AC ⊥，同理1A C BC ⊥，又BC AC C ⋂=，AC ，BC ⊂平面ABC ，所以1A C ⊥平面ABC ，又1AC ⊂平面11A ACC ， 所以平面ABC⊥平面11A ACC ．【小问2过程详解】由平面几何知识可知，AC CP ⊥，以C 为坐标原点，以,CA CP ，1CA 为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，则()1,0,0A，1,,022B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，(1A ，所以(1AA =-，3,,022AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭设平面1A AB 的法向量为()111,,m x y z =，则1111103022m AA x m AB x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 令11z =，得)m =u r．又平面1CA P 的法向量为()1,0,0n =r，∴cos ,13m n ==， 所以二面角11C A P B --的正弦值为13． 20. 某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列．（1）求a ，b ，c 的值及居民月用水量在2～2.5内的频率；（2）根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w 至少定为多少？（精确到0.01）（3）若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X ，求其分布列及均值．【答案】（1）0.3a =，0.4b =，0.5c =，0.25 （2）2.83 （3）分布列见答案解析，2.1 【答案解析】【详细分析】（1）前四组频数成等差数列，所以对应的频率除以组距也成等差数列，设0.2a d =+，0.22b d =+，0.23c d =+，然后根据频率之和等于1可求得；（2）根据百分位的定义可得；（3）首先求出X 的可能取值，并求出随机变量取每一个值时对应的概率，列出分布列求出均值.【小问1过程详解】∵前四组频数成等差数列，所以对应的频率除以组距也成等差数列 ∴设0.2a d =+，0.22b d =+，0.23c d =+，∴()0.50.20.20.220.230.20.10.10.11d d d d ⨯+++++++++++=， 解得0.1d =，∴0.3a =，0.4b =，0.5c =．居民月用水量在2～2.5内的频率为0.50.50.25⨯=． 【小问2过程详解】由题图及（1）可知，居民月用水量小于等于2.5的频率为0.70.8<， ∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米， 应规定0.80.72.5 2.830.15w -=+≈【小问3过程详解】将频率视为概率，设A （单位：立方米）代表居民月用水量， 可知()2.50.7P A =≤， 由题意，知()~3,0.7X B ，()0330C 0.30.027P X ==⨯=， ()1231C 0.70.30.189P X ==⨯⨯=， ()2232C 0.70.30.441P X ==⨯⨯=，()3333C 0.70.343P X ==⨯=． ∴X 的分布列为X 0 1 2 3 P0.0270.1890.4410.343∵()~3,0.7X B ， ∴()30.7 2.1E X =⨯=．21. P 为平面直角坐标系内一点，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，交直线by x a=-（0a b >>）于Q ，过P 作y 轴的垂线，垂足为N ，交直线by x a=-于R ，若△OMQ ， ONR 的面积之和为2ab ． （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）若2a =，1b =，()4,0A -，(),0G n ，过点G 的直线l 交C 于D ，E 两点，是否存在常数n ，对任意直线l ，使AD AE ⋅为定值？若存在，求出n 的值及该定值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）22221x y a b+=（2）存在常数25n =-，对任意直线l ，使12AD AE ⋅= （为定值）【答案解析】【详细分析】（1）详细分析题意求出轨迹即可. （2）分斜率是否存在的两种情况讨论即可. 【小问1过程详解】设(),P x y ，则Q b y x a =-，R ax y b=-， 由题意可得，11222b aab x x y y a b ⎛⎫⎛⎫⋅-+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22221x y a b +=，故点P 的轨迹C 的方程为22221x y a b+=；【小问2过程详解】由（1）可知C ：2214x y +=假设存常数n ，使AD AE λ⋅=（常数），设直线l ：x my n =+，代入C ，整理得()()2224240m y mny n +++-=，在设()11,D x y ，()22,E x y则12224mny y m +=-+，212244n y y m -=+ 所以()()11224,4,AD AE x y x y ⋅=+⋅+()()()()121212124444x x y y my n my n y y =+++=+++++ ()()()2212121(4)4m y y m n y y n =++++++()()()222222142(4)444m n m n n n m m λ+-+=-++=++ 整理化简得：()22125326040m n n λλ-+++-=对R m ∀∈恒成立．故120λ-=，25326040n n λ++-= ∴12λ=，2532120n n ++= ∴25n =-或6-（舍去） 当直线l 为x 轴时12AD AE ⋅=综上，存在常数25n =-，对任意直线l ，使12AD AE ⋅= （为定值） 22. 已知函数()ln f x ax x =（0a ≠），()'f x 为()f x 的导数． （1）讨论函数()()1'g f x x x=+的单调性； （2）当1a =时，求证：()e sin 1xf x x <+-．【答案】（1）答案见答案解析 （2）证明见答案解析 【答案解析】【详细分析】（1）先求出()g x ，然后分0a ≤和0a >结合导函数求单调区间；（2）当01x <≤时，根据函数的正负证明，当1x >时，转化为证ln sin 1e 0x x x x --+<，构造函数求导详细分析单调性与最值即可.【小问1过程详解】由()ln f x ax x =，得()'ln f x a x a =+ 依题意知：()0,x ∞∈+，所以 ()()11'ln g x f x a x a x x=+=++， 所以()2111'a g x a x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭①0a ≤时，()'0g x <恒成立，()g x 在()0,∞+上单调递减； ②0a >时，由()'0g x <，得10x a<<，()'0g x >得1x a >，()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增．【小问2过程详解】依题意，要证：ln e sin 1x x x x <+-，①当01x <≤时，1sin 0e x x -+>，故原不等式成立， ②当1x >时，要证：ln e sin 1x x x x <+-， 即要证：ln sin 1e 0x x x x --+<， 令()ln e sin 1xh x x x x =--+，（1x >）则()'ln e cos 1xh x x x =--+，令()ln e cos 1xm x x x =--+，则()1e sin xm x x x-'=+， 先证：()e 11xx x >+>，即要证：()e 101xx x -->>， 令()e 1xx x ϕ=--，则()()e 11xx x ϕ='->，∵1x >，所以()e 10xx ϕ='->，所以()x ϕ在()1,∞+单调递增，所以()()1e 10x ϕϕ>=->，即()e 11xx x >+>，当1x >时，101x<<，sin 1x ≤， ()()()111e sin 1sin sin 10x m x x x x x x x x x ⎛⎫=-+<-++=-+-< ⎪⎝⎭'，所以()'ln e cos 1xh x x x =--+在()1,∞+单调递减，所以()()1''1ln1e cos111e cos10h x h <=--+=--<所以()ln e sin 1xh x x x x =--+在()1,∞+单调递减，所以()()11e sin10h x h <=--< 即()ln e sin 10xh x x x x =--+<，得证【名师点评】关键点名师点评：本题证明不等式的关键是能够将问题转化为函数最值的求解问题，令()ln e sin 1xh x x x x =--+，利用导数可求得()h x 单调性，由此可得函数最值，从而得到结论.。
2022-2023学年河南省南阳市高三上学期秋季期中考试化学试题及答案
试题
1
高三
2022 年秋期期中质量评估高三化学参考答案
一、选择题（本题包括 16 小题，每题 3 分，共 48 分，每小题只有一个选项符合题意） 1-5 CDBDD 6-10 BCDBD 11-15 CCDAB 16 C 二、非选择题（共 52 分） 17．（9 分，除标注外每空 2 分） （1）FeS2 11 （2）2Fe3++Fe=3Fe2+ （3）分散质微粒的直径在 1~100nm 之间 （1 分） （4）H2O2+2H++2Fe2+=2H2OƯ）启普发生器（1 分） H2（或 CO2）（1 分） （2）不能使液体顺利流下（1 分） （3）FeS+2H+=H2S↑+Fe2+ （4）固体溶解，溶液由棕黄色变为无色（1 分）
（5）3H2S+IO3-=3S↓+I-+3H2O
（6）蒸发结晶 （1 分） （7）5.28g 19．（12 分，除标注外每空 2 分） （1）Fe(OH)3、S （2）①使 CuS 被 H2SO4 溶解②把 Fe 元素氧化成 Fe3+③促进金属离子浸出（2 分、答出①② 即可满分） 2CuS+4H++O2=2Cu2++2S+2H2O （3）3.2≤pH＜4.2（1 分）
（4）不利于（1 分）H2 还原 Cu2+时，失电子生成 H+，酸度增大，H+浓度增大，不利于 H2 失电子生成 H+，故不利于 Cu 的生成 （5）2Zn2++4HCO3-=Zn(OH)2CO3↓+4CO2↑+2H2O 20．（12 分，除标注外每空 2 分） Ⅰ（1）+41.2kJ·molL−1 （2）L4 （3）P3>P2>P1（1 分） 反应①是放热反应，反应②是吸热反应，温度高于 570℃之后，反 应转化率主要由反应②决定 Ⅱ（1）AC （2）吸收（1 分） 0.02MP 21、（8 分，除标注外每空 2 分） （1）减小（1 分）阴（1 分） Co2++2e-=Co （2）HCl（或盐酸） LiCoO2+e-+4H+=Li++Co2++2H2O
河南省豫南名校2022-2023学年高三上学期9月质量检测试题数学理科试卷
(2) 2 3 + 6
【18 题答案】
【答案】(1)0, 2 ；
(2){m∣m 11}.
【19 题答案】
【答案】(1)
f
(x)
=
2sin
2x
+
3
(2) a − 2 3 【20 题答案】
【答案】(1) f ( x) (0, 2) 上单调递增,在 (2, +) 上单调递减；
(2)
0,
1 2
(1)若 x = 1 是 f ( x) 的极值点,求 f ( x) 的单调区间；
(2)若关于 x 的方程 f (x) =1+ ln a 恰有一个解,求 a 的取值范围.
22.已知函数 f ( x) = sin x cos 2x , g ( x) = a + cos x sin 2x .
(1)求 g ( x) 在 (0, π) 上的极小值点；
0
称#所以)'#/3(/(''!%#(=0'%0! /'!
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河南省南阳市2024届高三上学期1月期终质量评估英语
2023年秋期高中三年级期终质量评估英语试题说明：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题，满分95分）和第Ⅱ卷（非选择题，满分55分）两部分。
2．将所有答案均按题号填涂或填写在答题卡或答题纸相应的答题处，否则不得分。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共95分）第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话，每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题，每段对话仅读一遍。
1．What are the lights made out of?A．Metal. B．Paper. C．Plastic.2．What does the man suggest the woman do?A．Use his phone. B．Email her mother. C．Wait until tomorrow.3．Why did the man give up moving to New York?A．Because of the living expense.B．Because of the distance.C．Because of the job.4．What does the man do every day?A．Go to work at the same time.B．Lift weights for an hour.C．Cook some breakfast.5．What are the speakers mainly talking about?A．Finding a job in the city.B．Eating something different.C．Working in the countryside.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
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2022年秋期高中三年级期终质量评估数学试题（理）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损．第I 卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合{}2230A x x x =--≤∣，{}2log 1B x x =≤∣，则A B ⋃＝（ ） A ．［－1，3]B ．(,3]-∞C ．（0，2]D ．（0，3]2．已知复数z 满足(i 1)2i z -=，则 z （ ）A ．1B CD ．23．从3，4，5，6四个数中任取三个数作为三角形的三边长，则构成的三角形是锐角三角形的概率是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．344．已知向量(4,2a =-，(1,5)b =，则向量b 在向量a 方向上的投影是（ ）A ．B ．－1C ．1D5．已知x ∈R ，y ∈R ，若:|1||2|1p x y ++-≥，22:2440q x y x y ++-+≥，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 点M 在C 的右支上，直线1F M 与C 的左支交于点N ，若1F N b =，且2||MF MN =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．13y x =±B ．3y x =±C ．12y x =±D ．2y x =±7．设f （x ）是定义在R 上且周期为4的奇函数，当02x ≤≤时，,01()2,12x x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩，令g （x ）＝f （x ）＋f （x ＋1），则函数y ＝g （x ）的最大值为（ ） A ．1B ．－1C ．2D ．－28．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π上单调递增，且2()3f x f π⎛⎫≥-⎪⎝⎭恒成立，则ω的值为（ ） A ．2B ．32C ．1D ．129．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线C 于点A ，B （A 在x 轴上方），与抛物线准线交于点M ．若|BM |＝2|BF |，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．60°B ．30°或150°C ．30°D ．60°或120°10．对于函数()sin xf x x x e =+-，[0,]x π∈，下列说法正确的是（ ） A ．函数f （x ）有唯一的极大值点 B ．函数f （x ）有唯一的极小值点 C ．函数f （x ）有最大值没有最小值D ．函数f （x ）有最小值没有最大值11．如图为“杨辉三角”示意图，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前n 项和为n S ，设n b ={}n b 中的整数项依次取出组成新的数列记为{}n c ，则2023c 的值为（ ）A ．5052B ．5057C ．5058D ．506312．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a ，b ，c 分别是ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，且22()6b a c --=，cos sin 2cos 6A C B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若点P 为ABC △的费马点，则PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅=（ ） A ．－6B ．－4C ．－3D ．－2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．上级将5名农业技术员分派去3个村指导农作物种植技术，要求每村至少去一人，一人只能去一个村，则不同的分派种数有______．（数字作答）14．如图，△ABC 内接于椭圆，其中A 与椭圆右顶点重合，边BC 过椭圆中心O ，若AC 边上中线BM 恰好过椭圆右焦点F ，则该椭圆的离心率为______．15．《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，全书总结了战国、泰、汉时期的数学成就，内容十分丰富，在数学史上有其独到的成就．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，几何体P －ABCD 为一个阳马，其中PD ⊥平面ABCD ，若DE PA ⊥，DF PB ⊥，DG PC ⊥，且PD ＝AD ＝2AB ＝4，则几何体EFGABCD 的外接球表面积为______．16．已知函数1()ln (0)mx x f x x mx x e+=-+>的值域为[0,)+∞，则实数m 取值范围为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚） 17．（本题满分12分）已知数列{}n a 是各项均为正数．．的等差数列， n S 是其前n 项和，且()()122n n n a a S -+=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若89nn n b a ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，求n b 取得最大值时的n ． 18．（本题满分12分）在2022年卡塔尔世界杯亚洲区预选赛十二强赛中，中国男足以1胜3平6负进9球失19球的成绩惨败出局．甲、乙足球爱好者决定加强训练提高球技，两人轮流进行定位球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得－1分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为12，乙每次踢球命中的概率为23，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概率15，且各次踢球互不影响，（1）经过一轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）若经过两轮踢球，用2p 表示经过第2轮踢球后甲累计得分高于乙累计得分的概率，求2p ．19．（本题满分12分）如图，四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，PB ⊥底面ABCD ，112PB AB AD BC ====，设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面P AB ；（2）设Q 为l 上的动点，求PD 与平面QAB 所成角的正弦值的最大值． 20．（本题满分12分）已知函数2()ln f x a x x ax =-+． （1）当a ＝1时，求证：()0f x ≤；（2）若函数f （x ）有且只有一个零点，求实数a 的取值范围． 21．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，离心率为12，其左右焦点分别为1F ，2F ，点A （1，－1）在椭圆内，P 为椭圆上一个动点，且1||PF PA +的最大值为5． （1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 的上半部分取两点M ，N （不包含椭圆左右端点），且122FM F N =，求四边形12F F NM 的面积．选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分． 22．【选修4－4：坐标系与参数方程】（10分） 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos (sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）， （1）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C 极坐标方程； （2）若点A ，B 为曲线C 上的两个点且OA OB ⊥，求证：2211||||OA OB +为定值． 23．【选修4－5：不等式选讲】（10分）已知存在0x ∈R ，使得0024x a x b +--≥成立，a ，b +∈R ． （1）求a ＋2b 的取值范围；（2）求22a b +的最小值．2022年秋期高中三年级期终质量评估数学（理）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）13．150 14．13 15．20π 16．21,e ∞⎛⎤- ⎥⎝⎦ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【解析】（1）当1n =时，()()1111122a a S a -+==，解得：12a =或者11a =-，因为0n a >，故12a =． 方法一：因为()()1222n n n n a a n a S ++==，所以()()()21222n n n n a a a +-+=，又0n a >，即可得1n a n =+．方法二：当2n =时，()()22221222a a S a -+=+=，易得：23a =．因为数列{}n a 是等差数列，故1n a n =+．（2）由（1）知，()819n n b n ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，故()11829n n b n ++⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭．18799nn n n b b +-⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭， 当7n <时，1n n b b +>；当7n =时，1n n b b +=； 当n >7时，1n n b b +<；故数列{}n b 的最大项为7b ，8b ，即7n =或8 18．【解析】（1）记一轮踢球，甲进球为事件A ，乙进球为事件B ，A ，B 相互独立， 由题意得：()1121?255P A ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，()2111323P B ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭， 甲的得分X 的可能取值为－1，0，1，()()()()21111535P X P AB P A P B ⎛⎫=-===-⨯= ⎪⎝⎭，()()()()()()()21218011535315P X P AB P AB P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫==+=+=⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()214115315P X P AB P A P B ⎛⎫====⨯-=⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为：所以()411015151515E X =-⨯+⨯+⨯= （2）根据题意，经过第2轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的情况有三种； 分别是：甲两轮中第1轮得0分，第2轮得1分； 或者甲第1轮得1分，第2轮得0分； 或者甲两轮各得1分，于是：()()()()()201101p P X P X P X P X P X ⎡⎤==⋅=+=⋅=+=⎣⎦8448416151515151545⎛⎫=⨯+⨯+= ⎪⎝⎭ 19．【解析】（1）证明：因为PB ⊥底面ABCD ，所以PB BC ⊥． 又底面ABCD 为直角梯形，且2ABC BAD π∠∠==，所以AB BC ⊥．因此BC ⊥平面PAB ．因为BC AD ∥，BC ⊄平面PAD ， 所以BC ∥平面PAD ．又由题平面PAD 与平面PBC 的交线为l ， 所以l BC ∥，故l ⊥平面PAB ．（2）以B 为坐标原点，BC 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -， 则()0,0,0B ，()2,0,0C ，()0,1,0A ，()0,0,1P ，由（1）可设(),0,1Q a ，则(),0,1BQ a =．设(),,n x y z =是平面QAB 的法向量，则00n BQ n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00ax z y +=⎧⎨=⎩，可取()1,0,n a =-所以cos ,3n PD n PD n PD⋅-==⋅设PD 与平面QAB 所成角为θ，则sinθ==因此：当0a>≤（当且仅当1a=时等号成立）又当0a≤时，易知不符合题意．所以PD与平面QAB所成角的正弦值的最大值为3．20．【解析】（1）()()()221112121x xx xf x xx x x----++='=-+=故f（x）在（0，1）上是单调增加的，在（1，＋∞）上是单调减少的．所以()()max10f x f==，即()0f x≤（2）当a＝0时，()2f x x=-，不存在零点当0a≠时，由()0f x=得21ln x xa x+=，()0,x∞∈+设()2ln x xg xx+=，则()312ln x xg xx--'=令()12lnh x x x=--，易知()h x在()0,∞+上是单调减少的，且()10h=．故()g x在()0,1上是单调增加的，在()1,∞+上是单调减少的．由于21111egee-+⎛⎫=<⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭，()11g=，且当1x>时，()0g x>故若函数()f x有且只有一个零点，则只须11a=或1a<即当(){},01a∞∈-⋃时，函数()f x有且只有一个零点．21．【解析】（1）由题意知：12ca=，即2a c=，又由椭圆定义可得：()122PF PA a PA PF+=+-2225a AF a≤+==，又∵222a b c =+，且52a ≤， 故可得：2a =，b =1c =．即椭圆C ：的方程为：22143x y += （2）延长1F M 交椭圆于点P ，由122FM F N =， 根据椭圆的对称性可得112F M PF =．设()11,M x y ，()22,P x y ，则()22,N x y --．显然，10y >． 设直线PM 的方程为1x my =-，联立221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()2234690m y my +--=，∴122634my y m +=+① 122934y y m =-+②又112FM PF =，得122y y =-③由①②③得，m =得直线PM的方程为15x y =-20y -+=， 设2F 到直线PM 的距离为d ，则由距离公式得：3d ==，又由弦长公式得：12PM y =-==将m =278PM =， 设四边形12F F NM 的面积为S ，易知1127228S PM d =⋅⋅=⨯= 【选做题】 22．【解析】（1）因为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩，所以曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=． 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以，曲线C 的极坐标方程为：2243sin 1ρθ=+（2）由于OA OB ⊥，故可设()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭21243sin 1ρθ=+，22243cos 1ρθ=+，所以2222121111||||OA OB ρρ+=+ ()()223cos 13sin 1544θθ+++==．即2211||||OA OB +为定值5423．【解析】（1）由题知：()()2222x a x b x a x b a b a b +--≤+--=+=+， 因为存在0x R ∈，使得0024x a x b +--≥，所以只需24a b +≥， 即2a b +的取值范围是[)4,∞+． （2）方法一：由（1）知24a b +≥，因为,a b R +∈，不妨设22t a b =+， 当2b ≥时，224t a b =+>，当02b <<时，有222(42)t b a b -=≥-，整理得，2281651616555t b b b ⎛⎫≥-+=-+ ⎪⎝⎭，此时t 的最小值为165；综上：22a b +的最小值为165．方法二：令222t a b =+，不妨设cos a t θ=，sin b t θ=，因为24a b +≥，所以4cos 2sin t θθ≥≥+，所以：2165t ≥，即22a b +的最小值为165．。