20181213小学奥数练习卷(知识点：孙子定理[中国剩余定理])含答案解析.doc
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20181213小学奥数练习卷（知识点：孙子定理[中国剩余定理]）含答案解析
小学奥数练习卷（知识点：孙子定理[ [ 中国剩余定理] ]））题号一二三总分得分注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（共 4 小题） 1．有一个整数，除以 3 余数是2，除以 5 余数是 3，除以 7 余数是 4，这个数可能是（） A．67 B．73 C．158 D．22 2．给出一列数：23+m，23+2m，23+3m，，23+2015m，这 2015 个数的和除以14 的余数是（）（其中 m 为正整数） A．9 B．7 C．5 D．3 3．设ɑ是一个满足下列条件的最大的正整数：使得用ɑ除 64 的余数是 4；用ɑ除155 的余数是 5；用ɑ除 187 的余数是 7，则ɑ=（） A．10 B．15 C．30 D．60 4．设 m 是一个满足下列条件的最大正整数；用 m 除 64 的余数是 4；用 m 除 55的余数是 5；用 m 除 187 的余数是 7；则 m=（） A．10 B．15 C．30 D．60 第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分
二．填空题（共 43 小题） 5．被 4 除余 1，被 5 除余 2，被 6 除余 3 的最小自然数是． 6．如果两个不同自然数的积被 5 除余 1，那么我们称这两个自然数互为模 5 的倒数．比如，37=21，被 5 除余 1，则 3 和 7 互为模 5 的倒数．即 3 与 7都是有模 5 的倒数的数．那么 8，9，10，11，12 中有模 5 的倒数的数为，最小的模 5 的倒数分别
为． 7．99799910011003 除以 13 的余数是． 8．一个自然数被 3 除余 2，被 5 除余 4，并且这个数大于 100 且小于 125，那么这个数
是． 9．m，n，p 是三个不同的正整数，它们除以 13 的余数分别是 3，6，11 那么（m+n﹣p）（2m﹣n+p）除以 13 的余数是． 10．在 1 到 100 这 100 个数中，被 2，3，5 除都有非零的余数，且余数彼此不等的数有
个． 11．在小于 2016 的正整数中，被 63 除后，商和余数相同的数有
个． 12．某数加上 31 的和被 9 除的余数是 2，原来这个数被 9 除的余数是． 13．一个数除以 5 余 2，除以 6 余 2，除以 7 余 3，求能满足这三个条件的最小自然数是． 14．满足被 7 除余 3，被 9 除余 4，并且小于 100 的自然数有． 15．若 A、B、C 三种文具分别有 38 个，78 和128 个，将每种文具都平均分给学生，分完后剩下 2 个 A，6 个 B，20 个 C，则学生最多有人． 16．有一筐苹果，甲班分，每人 3 个还剩 11 个；乙班分，每人 4 个还剩 10 个；丙班分，每人 5 个还剩 12 个．那么这筐苹果至少有个． 17．幼儿园的老师给班里的小朋友送来 55 个苹果，114 块饼干，83 块巧克力，同样都平均分发完毕后，还剩 3 个苹果，10 块饼干，5 块巧克力．这个班最多有位小朋友． 18．被 3 除余 2，被 5 除余 4，被 7 除余 4 的最小自然数是． 19．所有三...
五年级奥数.数论.中国剩余定理及弃九法(A级).学生版
一、 中国剩余定理——中国古代趣题 1) 趣题一 中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。” 此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。 韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。 我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？ 首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。 孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。 2) 趣题二 我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法： “三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．” 这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem ），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤： 三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘． 五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘． 七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘． 除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数． 此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得知识框架 中国剩余定理及弃九法
学而思小学奥数知识点梳理
学而思小学奥数知识点梳理 学而思教材编写组 前言 小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。 概述 一、计算 1．四则混合运算繁分数 ⑴运算顺序 ⑵分数、小数混合运算技巧 一般而言： ①加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ②乘除运算中，统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2．简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 ①运算定律的综合运用 ②连减的性质 ③连除的性质 ④同级运算移项的性质 ⑤增减括号的性质 ⑥变式提取公因数 形如： 3．估算 求某式的整数部分：扩缩法 4．比较大小 ①通分 a. 通分母 b. 通分子 ②跟“中介”比 ③利用倒数性质 若，则c>b>a.。形如：，则。 5．定义新运算
6．特殊数列求和 运用相关公式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n 二、数论 1．奇偶性问题 奇奇=偶奇×奇=奇 奇偶=奇奇×偶=偶 偶偶=偶偶×偶=偶 2．位值原则 形如：=100a+10b+c 3．数的整除特征： 整除数特征 2 末尾是0、2、4、6、8 3 各数位上数字的和是3的倍数 5 末尾是0或5 9 各数位上数字的和是9的倍数 11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数 4和25 末两位数是4（或25）的倍数 8和125 末三位数是8（或125）的倍数 7、11、13 末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数 4．整除性质 ①如果c|a、c|b，那么c|(a b)。 ②如果bc|a，那么b|a，c|a。 ③如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。 ④如果c|b,b|a,那么c|a. ⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 5．带余除法 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0?r＜b,使得a=b×q+r 当r=0时，我们称a能被b整除。 当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r, 0?r＜b a=b×q+r 6. 唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 n= p1 × p2 ×...×pk 7. 约数个数与约数和定理
五年级奥数.数论.中国剩余定理及弃九法(A
五年级奥数.数论?中国剩余定理及弃九法（A 【例门将1至2（X）8这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数； 12345678910111213 - 20072008,试求这个多位数除以9的余数. 【考氏】弃九法【堆废】3冕【題型】解察 【妙析】以19992000 IX个八伎数为例，它放9冷的余数等于（149厶949424040 + 0）被9除的余数，但是由于1999与（14-9 + 94-9）^ 9徐的余数相同，20CO与（2 4-04 04-0J被9除的余數相同，曲以19992000就与（iw 2（扌械9除的余数相同.由此可得.从1开於的自然数12345678910111213?- 2OO72OOS破9於的余数与荊2008个自然敷之和除以9的余秋相同.植猎等差数列求和公式，这个和为：（12008）、2008 =2017036 ,它秋9除的余數为1?另外还可以 2 利用连埃9个自然敛之和必能坡9楚冷逗个性质，籽腹多位数分成123456789, 101112131415161718? ................... . 199920002001200220032004200520062007. 2008 爭数，可见它放 9 除的余数与2008被9除的余数相同.因此，此数被9冷的余数为1? 【答案】1 I［矶固H连埃写出从I开始的自然敷,写到2009时停止,得到一个多位1234567891011-19992000, 请说明：这个多位数除以3,得到的余数是几？为什么？ 【考点】弁九法【难度】3星【题型】解答 【关坡词】第六屈，希空杯 ［分析】因为连续3个白然歎可以被3整除，而且最后一个白產數祁是3的信数，因为1998是3的倍數，所以123456789101 1…W9M是3的倍数，又因为 1234567?9101 1 I9992O 位值原理 叁仟陆佰伍拾捌 3 6 5 8 加油站 位值原理的定义： 同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示 的数值也不同.也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外， 还有一个“位置值”.例如“2”，写在个位上，就表示2个一， 写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数 的原则，称为写数的位值原理. 【例1】(★) 填空: ⑴ 123＝1个（ ）＋2个（ ）＋3个（ ） ⑵234＝（ ）个100＋（ ）个10＋（ ）个1 ⑶24＝2×（ ）＋4×（ ） 【例2】(★ ★) : ⑴ 30300 3 3 ⑵ 22030 2 2 3 ⑷657＝（ ）×100＋（ ）×10＋（ ）×1 2 3 ⑸ （ ）＝5×100＋7×10＋9×1 ⑹ 23＋45＝（ ）×10＋（ ）×1 ⑺ 234＋321＝（ ）×100＋（ ）×10＋（ ）×1 ＝（ ）×111 ⑶ abc 100 10+ 1 ⑷ abcd a b c d ⑸ 1 【例3】（★★★）【例5】(★★★)(希望杯五年级一试试题） ⑴ 三位数abc比三位数cba小99，若a,b,c彼此不 同，则abc最大是_____。 ⑵a b a b 98790807 【例6】(★★★★) 【例4】(★★★) 计算：(123456＋234561＋345612＋456123＋561234＋612345)÷7 从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三 位 数.若这六个三位数之和是3330，则这六个三位数中最小至少是 多 少？最大的至多是多少？ 【例7】(★★★★★)(希望杯四年级二试试题) 本讲总结 数abcd，abc，ab，a依次表示四位数、三位数、 两位数及一位abcd abc ab a 1787，那么满足条件的是多少？ abcd a c=a c 重要应用： ①计算——分位计算 ②代数化表示——分类讨论 在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中的解同余式。 ① 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？ 解：除以3余2的数有：2， 5， 8， 11，14， 17， 20，23… 它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11… 除以4余1的数有：1， 5， 9， 13， 17， 21， 25，29… 它们除以12的余数是：1， 5， 9， 1， 5， 9，…. 一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5。如果我们把①的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5+12×整数，整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案. ②一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数。 解：先列出除以3余2的数：2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23，26… 再列出除以5余3的数：3， 8， 13， 18， 23，28… 这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8+15×整数，列出这一串数是8， 23， 38，…，再列出除以7余2的数 2， 9， 16， 23，30… 就得出符合题目条件的最小数是23. 事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23. 那么韩信点的兵在1000-1500之间，可能是105×10+23=1073人 问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三”术曰： 三三数剩一置几何？答曰：五乘七乘二得之七十。 五五数剩一复置几何？答曰，三乘七得之二十一是也。 七七数剩一又置几何？答曰，三乘五得之十五是也。 三乘五乘七，又得一百零五。 则可知已，又三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数 . . 20181213小学奥数练习卷（知识点：孙子定理[中国 剩余定理]）含答案解析 小学奥数练习卷（知识点：孙子定理[ [ 中国剩余定理] ]） ） 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第 Ⅰ 卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共 4 小题） 1．有一个整数，除以 3 余数是 2，除以 5 余数是 3，除以 7 余数是 4，这个数可能是（ ） A ．67 B ．73 C ．158 D ．22 2．给出一列数：23+m ，23+2m ，23+3m ，，23+2015m ，这 2015 个数的和除以14 的余数是（ ）（其中 m 为正整数） A ．9 B ．7 C ．5 D ．3 3．设 ɑ 是一个满足下列条件的最大的正整数：使得用 ɑ 除 64 的余数是 4；用 ɑ除 155 的余数是 5；用 ɑ 除 187 的余数是 7，则 ɑ=（ ） A ．10 B ．15 C ．30 D ．60 4．设 m 是一个满足下列条件的最大正整数；用 m 除 64 的余数是 4；用 m 除 55的余数是 5；用 m 除 187 的余数是 7；则 m=（ ） A ．10 B ．15 C ．30 D ．60 第 Ⅱ 卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共 43 小题） 5．被 4 除余 1，被 5 除余 2，被 6 除余 3 的最小自然数 是 ． 6．如果两个不同自然数的积被 5 除余 1，那么我们称这两个自然数互为模 5 的倒数．比如，37=21，被 5 除余 1，则 3 和 7 互为模 5 的倒数．即 3 与 7都是有模 5 的倒数的数．那么 8，9，10，11，12 中有模 5 的倒数的数为 ，最小的模 5 的倒数分别 为 ． 7．99799910011003 除以 13 的余数是 ． 8．一个自然数被 3 除余 2，被 5 除余 4，并且这个数大于 100 且小于 125，那么这个数是 ． 9．m ，n ，p 是三个不同的正整数，它们除以 13 的余数分别是 3，6，11 那么（m+n ﹣p ）（2m ﹣n+p ）除以 13 的余数是 ． 10．在 1 到 100 这 100 个数中，被 2，3，5 除都有非零的余数，且余数彼此不等的数有 个． 11．在小于 2016 的正整数中，被 63 除后，商和余数相同的数有 个． 12．某数加上 31 的和被 9 除的余数是 2，原来这个数被 9 除的余数是 ． 13．一个数除以 5 余 2，除以 6 余 2，除以 7 余 3，求能满足这三个条件的最小自然数是 ． 14．满足被 7 除余 3，被 9 除余 4，并且小于 100 的自然数有 ． 15．若 A 、B 、C 三种文具分别有 38 个，78 和 128 个，将每种文具都平均分给学生，分完后剩下 2 个 A ，6 个 B ，20 个 C ，则学生最多有 人． 16．有一筐苹果，甲班分，每人 3 个还剩 11 个；乙班分，每人 4 个还剩 10 个；丙班分，每人 5 个还剩 12 个．那么这筐苹果至少有 个． 17．幼儿园的老师给班里的小朋友送来 55 个苹果，114 块饼干，83 块巧克力，同样都平均分发完毕后，还剩 3 个苹果，10 块饼干，5 块巧克力．这个班最多有 位小朋友． 18．被 3 除余 2，被 5 除余 4，被 7 除余 4 的最小自然数是 ． 19．所有三... 位值原理 知识框架 当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使像古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十.我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算.这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同.既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”.例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值.最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十.但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们.希望同学们在做题中认真体会. 1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同.也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”.例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理. 2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f. 3.解位值一共有三大法宝： （1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式 （2）利用十进制的展开形式，列等式解答 （3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答 例题精讲 知识点一：位值原理的认识 【例 1】填空： 365= ×100+ ×10+ ×1 365=36×+5× =2×+3×＋a×+b×=203 +× 【例 2】ab与ba的和被11除，商等于______与______的和。 【例 3】把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来数加起来的和恰好是121，这个两位数的数字和是多少？ 【巩固】把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？ 【例 4】（1）用数字1、2、3各一个可以组成三位数，所有这样的三位数之和是多少？这个和是三位数的数字和的多少倍？ （2）有三个不同的数字，用它们组成六个不同的三位数，如果这六个三位数的和是1554，那么这 三个数字分别是多少？ 【巩固】从1-9这九个数字中取出3个，用这三个数字可以组成6个不同的三位数，若这六个三位数之和是2442，则这三个数字的和是多少？ 奥数的七大模块包括：计算、数论、几何、行程、应用题、计数和杂题 模块一：计算模块 1、速算与巧算 2、分数小数四则混合运算及繁分数运算 3、循环小数化分数与混合运算 4、等差及等比数列 5、计算公式综合 6、分数计算技巧之裂项、换元、通项归纳 7、比较与估算 8、定义新运算 9、解方程 模块二：数论模块 1、质数与合数 2、因数与倍数 3、数的整除特征及整除性质 4、位值原理 5、余数的性质 6、同余问题 7、中国剩余定理（逐级满足法） 8、完全平方数 9、奇偶分析 10、不定方程 11、进制问题 12、最值问题 模块三：几何模块 （一）直线型 1、长度与角度 2、格点与割补 3、三角形等积变换与一半模型 4、勾股定理与弦图 5、五大模型 （二）曲线型 1、圆与扇形的周长与面积 2、图形旋转扫过的面积问题 （三）立体几何 1、立体图形的面积与体积 2、平面图形旋转成的立体图形问题 3、平面展开图 4、液体浸物问题 模块四：行程模块 1、简单相遇与追及问题 2、环形跑道问题 3、流水行船问题 4、火车过桥问题 5、电梯问题 6、发车间隔问题 7、接送问题 8、时钟问题 9、多人相遇与追及问题 10、多次相遇追及问题 11、方程与比例法解行程问题 模块五：应用题模块 1、列方程解应用题 2、分数、百分数应用题 3、比例应用题 4、工程问题 5、浓度问题 6、经济问题 7、牛吃草问题 模块六：计数模块 1、枚举法之分类枚举、标数法、树形图法 2、分类枚举之整体法、对应法、排除法 3、加乘原理 4、排列组合 5、容斥原理 6、抽屉原理 7、归纳与递推 8、几何计数 9、数论计数 模块七：杂题 1、从简单情况入手 2、对应与转化思想 3、从反面与从特殊情况入手思想 4、染色与覆盖 5、游戏与对策 6、体育比赛问题 7、逻辑推理问题 8、数字谜 9、数独 六下奥数1 论述中国剩余定理的形成及对教育的影响 摘要：“中国剩余定理”是由秦九韶从“孙子定理”的基础上推广而来的，本文从论述中国剩余定理的形成到中国剩余定理的主要方法和对现代教育的影响来写。中国剩余定理在高中有初步的基础应用，在大学中的初等数论中该定理得到了仔细的讲解。中国剩余定理的思想方法和原则不仅有光辉的历史意义,而且在近代数学中仍然有着重大影响和作用。 引言 随着数学学科的发展，数学方面的知识得到了不断的更新和强化。 在数学发展史上，剩余问题（即：在整数除法里，一个数同时除以几个数，整数商后，均有剩余；已知各除数及其对应的余数，要求适合条件的这个被除数。这类问题统称剩余问题）曾经困扰过人们很长一段时间。这个问题的解决，是我们中国人迈出了开拓性的第一步。 如果说，一部中国数学发展史像一条源远流长的河流，那么几千年来祖先们取得的辉煌成就，就是这河流中耀眼的浪花。在祖先取得的成就中有一个“中国剩余定理”。大家都知道，“勾股定理”最早是由我国西周时期的商高发现的，但国外却称其为“毕达哥拉斯定理”，法国称为“驴桥定理”，埃及称为“埃及三角形”等。还有“增乘开方法”，最早是由我国宋代的贾宪发明的，但现代数学却称其为“霍纳法”，贾宪的发明比霍纳早了800年。而中国剩余定理则是唯一一个以我国国名命名的定理，大家一定对这个定理很感兴趣，很想知道关于这个定理的故事。现在我就为大家简单介绍一下“中国剩余定理”。 1、中国剩余定理的简介及形成 在我国古代劳动人民中，长期流传着“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”等数学游戏。有一首“孙子歌”，甚至远渡重洋，输入日本：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。”这些饶有趣味的数学游戏，以各种不同形式，介绍世界闻名的“孙子问题”的解法，通俗地反映了中国古代数学一项卓越的成就。“孙子问题”在现代数论中是一个一次同余问题，它最早出现在我国公元四世纪的数学著作《孙子算经》中。《孙子算经》是算经十书之一，又作《孙子算术》。现有传本《孙子算经》分上、中、下共3卷。该书作者和确切成书年代均无法考证，大约成书于公元400年前后。中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。又称中国剩余定理。 一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个数。《孙子算经》给出了一个非常有效的巧妙解法。术曰：“三、三数之剩二，置一百四十；五、五数之剩三，置六十三；七、七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三。以二百一十减之，即得。凡三、三数之剩一，则置七十；五、五数之剩一，则置二十一；七、七数之剩一，则置十五。一百六以上，一百五减之，即得。 在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事：韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立立下了卓绝的功劳。据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后记下最后一个士兵所报之数；再令士兵从1至5报数，也记下最后一个士兵所报之数；最后令士兵从1至7报数，又记下最后一个士兵所报之数；这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵？因为《孙子算经》对这类问题的研究只是初具雏形，还远远谈不上完整，其不足之处在于： （1 ）没有把解法总结成文，致使后人研究多凭猜测； 1. 系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理 2. 掌握中国剩余定理的核心思想，并灵活运用 一、中国剩余定理——中国古代趣题 （1）趣题一 中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。” 此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。 韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。 我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？ 首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。 孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。 （2）趣题二 我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法： “三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．” 这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem ），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤： 三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘． 五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘． 七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘． 除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数． 此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求．也就是270321215233?+?+?=，233105128-=，12810523-= 为什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105是从何而来？ 先看70，21，15，105的性质：70被3除余1，被5，7整除，所以70a 是一个被3除余a 而被5与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21b 是被5除余b ，被3与7整除的数；同理15c 是被7除余c ，被3、5整除的数，105是3，5，7的最小公倍数．也就是说，702115a b c ++是被3除余a ，被5除余b ，被7除余c 的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数． 了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答． 二、核心思想和方法 对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》知识点拨 教学目标 5-5-4.中国剩余定理 及余数性质拓展 小学奥数数论知识点总结 1.奇偶性问题 奇+奇=偶奇×奇=奇 奇+偶=奇奇×偶=偶 偶+偶=偶偶×偶=偶 2.位值原则 形如：abc=100a+10b+c 3.数的整除特征： 整除数特征 2末尾是0、2、4、6、8 3各数位上数字的和是3的倍数 5末尾是0或5 9各数位上数字的和是9的倍数 11奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数4和25末两位数是4(或25)的倍数 8和125末三位数是8(或125)的倍数 7、11、13末三位数与前几位数的差是7(或11或13)的倍数 4.整除性质 ①如果c|a、c|b，那么c|(ab)。 ②如果bc|a，那么b|a，c|a。 ③如果b|a，c|a，且(b,c)=1,那么bc|a。④如果c|b,b|a,那么c|a. ⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 5.带余除法 一般地，如果a是整数，b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数q和r，0≤r 当r=0时，我们称a能被b整除。 当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商(亦简称为商)。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r,0≤r 6.唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即n=p1×p2×...×pk 7.约数个数与约数和定理 设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×...×pk那么：n的约数个数： d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1) n的所有约数和：(1+P1+P1+…p1)(1+P2+P2+…p2)… (1+Pk+Pk+…pk) 8.同余定理 ①同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b 对于模m同余，用式子表示为a≡b(modm) ②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。 ④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。 ⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。 9.完全平方数性质 ①平方差：A-B=(A+B)(A-B)，其中我们还得注意A+B，A-B同奇偶性。 小学奥数练习卷（知识点：孙子定理[中国剩余定理]） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共4小题） 1．有一个整数，除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是4，这个数可能是（） A．67B．73C．158D．22 2．给出一列数：23+m，23+2m，23+3m，…，23+2015m，这2015个数的和除以14的余数是（）（其中m为正整数） A．9B．7C．5D．3 3．设ɑ是一个满足下列条件的最大的正整数：使得用ɑ除64的余数是4；用ɑ除155的余数是5；用ɑ除187的余数是7，则ɑ=（） A．10B．15C．30D．60 4．设m是一个满足下列条件的最大正整数；用m除64的余数是4；用m除55的余数是5；用m除187的余数是7；则m=（） A．10B．15C．30D．60 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（共43小题） 5．被4除余1，被5除余2，被6除余3的最小自然数是． 6．如果两个不同自然数的积被5除余1，那么我们称这两个自然数互为“模5的倒数”．比如，3×7=21，被5除余1，则3和7互为“模5的倒数”．即3与7都是有“模5的倒数”的数．那么8，9，10，11，12中有“模5的倒数”的数为，最小的“模5的倒数”分别为． 7．997×999×1001×1003除以13的余数是． 8．一个自然数被3除余2，被5除余4，并且这个数大于100且小于125，那么这个数是． 9．m，n，p是三个不同的正整数，它们除以13的余数分别是3，6，11那么（m+n ﹣p）（2m﹣n+p）除以13的余数是． 10．在1到100这100个数中，被2，3，5除都有非零的余数，且余数彼此不等的数有个． 11．在小于2016的正整数中，被63除后，商和余数相同的数有个．12．某数加上31的和被9除的余数是2，原来这个数被9除的余数是．13．一个数除以5余2，除以6余2，除以7余3，求能满足这三个条件的最小自然数是． 14．满足被7除余3，被9除余4，并且小于100的自然数有． 15．若A、B、C三种文具分别有38个，78和128个，将每种文具都平均分给学生，分完后剩下2个A，6个B，20个C，则学生最多有人． 16．有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩11个；乙班分，每人4个还剩10个； 丙班分，每人5个还剩12个．那么这筐苹果至少有个． 17．幼儿园的老师给班里的小朋友送来55个苹果，114块饼干，83块巧克力，同样都平均分发完毕后，还剩3个苹果，10块饼干，5块巧克力．这个班最多有位小朋友． 18．被3除余2，被5除余4，被7除余4的最小自然数是． 19．所有三位数中被7除余1的所有数的和是． 20．一个自然数除以3余2，除以5余4，除以7余6，这个自然数最小是．21．一个两位数，用它除58余2，除73余3，除85余1，这个两位数是． 第一讲加乘原理 加法原理：做一件事情，完成它有N类方式，第一类方式有M1种方法，第二类方式有 M2种方法，……，第N类方式有M(N)种方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M(N) 种方法。 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有ml种不同的方法，做第二 步有m2不同的方法，，做第n步有mn不同的方法。那么完成这件事共有N=m1 x m2 Xm3 n 种不同的方法。 核心：分布相乘、分步相加 例题1 : (1)从天津到上海的火车，上午、下午各发一列；也可以乘飞机，有3个不同的航班，还有一艘轮船直达上海。那么从天津到上海共有多少种不同的走法？ (2 )请观察下面的树状图，请问从A到“树叶”节点的路线一共有多少条? 练习1 : (1 )从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种 不同走法？ (2 )下图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B 段和点不得重复经过，问家中最多有多少种走法？ 点，要求任何线*干 例题 2 ：泡泡有许多套服装，帽子数量为 5 顶、上衣有10 件，裤子有8 条，还有运动鞋6双，早晨要从几种服装中各取一个搭配，问：有多少种搭配？ 练习 2 ：书架上有 6 本不同的外语书， 4 本不同的语文书， 3 本不同的数学书，从中任取外语、语文、数学书各一本，有多少种不同的取法？ 例题3：由数字1、2 、3、4、5、6、7、8 可组成多少个没有重复数字的三位数？百位为 7 的没有重复数字的三位数？ 练习3：利用数字1，2，3，4，5 共可组成⑴多少个数字不重复的三位数？⑵多少个数字不重复的三位偶数？⑶多少个数字不重复的偶数？ 例题4：甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶A、B、C、D、E 这五辆不同型号的汽车，一共有 多少种不同的安排方式？ 如果会驾驶汽车 A 的只有甲和乙，一共有多少种安排方式？ 20181213小学奥数练习卷（知识点：孙子定理[中国剩余定理]）含答案解析 小学奥数练习卷（知识点：孙子定理[ [ 中国剩余定理] ]））题号一二三总分得分注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（共 4 小题） 1．有一个整数，除以 3 余数是2，除以 5 余数是 3，除以 7 余数是 4，这个数可能是（） A．67 B．73 C．158 D．22 2．给出一列数：23+m，23+2m，23+3m，，23+2015m，这 2015 个数的和除以14 的余数是（）（其中 m 为正整数） A．9 B．7 C．5 D．3 3．设ɑ是一个满足下列条件的最大的正整数：使得用ɑ除 64 的余数是 4；用ɑ除155 的余数是 5；用ɑ除 187 的余数是 7，则ɑ=（） A．10 B．15 C．30 D．60 4．设 m 是一个满足下列条件的最大正整数；用 m 除 64 的余数是 4；用 m 除 55的余数是 5；用 m 除 187 的余数是 7；则 m=（） A．10 B．15 C．30 D．60 第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分 二．填空题（共 43 小题） 5．被 4 除余 1，被 5 除余 2，被 6 除余 3 的最小自然数是． 6．如果两个不同自然数的积被 5 除余 1，那么我们称这两个自然数互为模 5 的倒数．比如，37=21，被 5 除余 1，则 3 和 7 互为模 5 的倒数．即 3 与 7都是有模 5 的倒数的数．那么 8，9，10，11，12 中有模 5 的倒数的数为，最小的模 5 的倒数分别 为． 7．99799910011003 除以 13 的余数是． 8．一个自然数被 3 除余 2，被 5 除余 4，并且这个数大于 100 且小于 125，那么这个数 是． 9．m，n，p 是三个不同的正整数，它们除以 13 的余数分别是 3，6，11 那么（m+n﹣p）（2m﹣n+p）除以 13 的余数是． 10．在 1 到 100 这 100 个数中，被 2，3，5 除都有非零的余数，且余数彼此不等的数有 个． 11．在小于 2016 的正整数中，被 63 除后，商和余数相同的数有 个． 12．某数加上 31 的和被 9 除的余数是 2，原来这个数被 9 除的余数是． 13．一个数除以 5 余 2，除以 6 余 2，除以 7 余 3，求能满足这三个条件的最小自然数是． 14．满足被 7 除余 3，被 9 除余 4，并且小于 100 的自然数有． 15．若 A、B、C 三种文具分别有 38 个，78 和128 个，将每种文具都平均分给学生，分完后剩下 2 个 A，6 个 B，20 个 C，则学生最多有人． 16．有一筐苹果，甲班分，每人 3 个还剩 11 个；乙班分，每人 4 个还剩 10 个；丙班分，每人 5 个还剩 12 个．那么这筐苹果至少有个． 17．幼儿园的老师给班里的小朋友送来 55 个苹果，114 块饼干，83 块巧克力，同样都平均分发完毕后，还剩 3 个苹果，10 块饼干，5 块巧克力．这个班最多有位小朋友． 18．被 3 除余 2，被 5 除余 4，被 7 除余 4 的最小自然数是． 19．所有三... 位值原理 当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十.我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算.这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同.既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”.例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值.最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十.但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们.希望同学们在做题中认真体会. 1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同.也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”.例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理. 2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f. 3.解位值一共有三大法宝： （1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式 （2）利用十进制的展开形式，列等式解答 （3）把整个数字整体的考虑设为x ，列方程解答 （1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式 （2）利用十进制的展开形式，列等式解答 （3）把整个数字整体的考虑设为x ，列方程解答 知识框架 重难点 位值原理 被除数÷除数=商＋余数（余数＜除数） 同余定理1 如果a，b除以c的余数相同，那么我们说a，b对于c是同余的。并且我们说a，b之间的差能被c整除。（a b c三个数都是自然数） 例1：有一个大于1的数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数可能是多少？ 习题1：已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a 和b的值. 同余定理2 a和b的积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积或者这个余数的积再除以c所得的余数。（a b c均为自然数） 例2：22003除以7的余数是多少？ 习题2：??的积,除以4的余数是_____. 例3：今有一类数，除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是2.试问这个类数最小那个又什么？（中国剩余定理） 分析：此题就是国际上有名的“中国剩余定理”，早在中国古代人们就中国人民就掌握了这种题型的解法。此题解法很多，在此介绍同余尝试法。在附录中有此种题型的一般解法。题目中给出的条件比较多，假如一开始就同时考虑三个条件，由于关系复杂很难一下子看出答案。所以应该先考虑其中的一个条件，进而考虑其中的两个条件，最后考虑三个条件，以求出最后答案。一般应该先考虑除数最大的那个条件，即找出除以7余2的数： 2 ，9 ，16 ，23，30，37，43，50，57…… 在此，我们必须在上面的数列中找出满足第二个条件的数，即除以5余3的数，显然， 23，23+5×7，23+5×7×2，23+5×7×3，23+5×7×4……以上数列都能满足前面两个要求。所以，能够满足‘除以7余2，除以5余3’这两个条件的数有 23，58，93，128，163，198，233，268，303，338…… 接下去，我们要继续考虑第三个条件，以上数列中满足除以3余数是2的数，显然 23，23+5×7×3，23+5×7×3×2，23+5×7×3×3…… 综上，我们发现 23，128，233，338，443…… 均能满足‘除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是2’，其中最小的数是23。 以上的求解过程我们叫同余尝试法，难点在于尝试这个过程会导致计算量比较大，但是这种解题方法适应性强，条件可以无限制增加，方法不变。 位值原理 知识框架 位值原理 当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十.我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算.这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同.既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”.例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值.最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十.但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们.希望同学们在做题中认真体会. 1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同.也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”.例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理. 2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f. 3.解位值一共有三大法宝： （1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式 （2）利用十进制的展开形式，列等式解答 （3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答 重难点 （1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式 （2）利用十进制的展开形式，列等式解答 （3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答 例题精讲 【例 1】一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100.这个两位数的各位数字的和是 . 【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空 【关键词】2006年，第4届，希望杯，4年级，初赛，7题，六年级，初赛，第8题，5分小学四年级奥数 第13讲：位值原理
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