平面运动基点法求加速度
大学理论力学 平面图形上各点的加速度分析
O
aB
a
n BE
cos45
A ar 由于滑块可沿杆OA滑动，因此 vr 应利用点的合成运动方法求杆OA的 vB aB a e 角速度及角加速度。 ve B ac n 以滑块B为动点。 动系与OA杆固结。 ae 45 va ve vr l
vr 0 ve va vB v
2 2
a 2 a 1 2 1 cot
2
即 a 1 a 2 并由此看出 , AB 作瞬时平动时
aA aB
[例3] 曲柄滚轮机构，滚子半径R=OA=15cm, n=60 rpm，作纯滚 动。 求：当 =60º (OAAB),滚轮的Ｂ，aＢ． 时
分析: 要想求出滚轮的Ｂ, aＢ 先要求出vB, aB
解：轮O作平面运动，P为速度瞬心，
v O / R
（
）
由于
n 以O为基点， P a O a PO a PO a
v O / R 在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，故而 d 1 d vO aO a （ ） dt R dt R
2
n a PO R 2 R (
而 1 v A / O1 A ,
(b)
2 vB / O2 B ;
n n aA aB
式中
O1 A O 2 B
τ τ aA aB
1 2
aA aB
a 2 aB / O2 B ;
a 1 a A / O1 A ,
a1 a 2
(b) AB杆作平面运动, 图示瞬时AB杆作瞬时平动, 即 v A vB AB 0
解：OA杆作定轴转动,AB杆和轮B作平面运动
理论力学(大学)课件17.1 求平面图形各点加速度的基点法
主要内容
1、基点法求平面图形各点加速度
2、基点法求加速度的应用
1、基点法求平面图形各点加速度
基点法求平面图形内各点加速度
平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。
基点 ：A 平移坐标系： ''Ax y t BA a AB
a BA ⋅=αt 大小 方向垂直于 ，指向同 AB α
大小 方向由 指向
n BA a n 2BA a AB
ω=⋅B A n r t r e a a a a B ++=n
t BA
BA A B a a a a ++=为什么没有科氏加速度
基点法求平面图形各点加速度
A a t BA a n
BA
a 动点：B 动系： ''Ax y 绝对运动：待求 牵连运动：随同A 点平移 相对运动：B 绕A 的转动。
理论力学06_4刚体平面运动_加速度
§6.3* 平面运动刚体上点的加速度由于平面运动可以看成是随同基点的牵连平移与绕基点的相对转动的合成运动，于是图形上任一点的加速度可以由加速度合成定理求出。
设已知某瞬时图形内A 点的加速度a A ，图形的角速度为ω，角加速度为α，如图6-13所示。
以A 点为基点，分析图形上任意一点B 的加速度a B 。
因为牵连运动为动坐标系随同基点的平移，故牵连加速度a e =a A 。
相对运动是点B 绕基点A 的转动，故相对加速度a r =a BA ，其中a BA 是点B 绕基点A 的转动加速度。
由式 (5.3.7)可得图6-13 加速度分析的基点法 α (6.3.1) BA A B αα+=由于B 点绕基点A 转动的加速度包括切向加速度和法向加速度a ，故式(6.3.1)可写为t BA a n BAa (6.3.2) n t BA BA A B a a a ++=即平面图形上任意一点的加速度，等于基点的加速度与该点绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。
当基点A 和所求点B 均作曲线运动时，它们的加速度也应分解为切向加速度和法向加速度的矢量和，因此，式(6.3.2)可表示为(6.3.3)n t n t n t BA BA A A B B a a a a a a +++=+在式(6.3.3)中，相对切向加速度与点A 和B 连线方向垂直，相对法向加速度沿点A 和B连线方向从B 指向A ；仅当点A 和B 的运动轨迹已知时，才可以确定点A 和B 的切向加速度a 和及法向加速度和a 。
t BA a n BA a t A t B a n A a n B 在应用式(6.3.2)或(6.3.3)计算平面图形上各点的加速度时，只能求解矢量表达式中的两个要素。
因此在解题时，要注意分析所求问题是否可解。
当问题可解时，将式(6.3.2)或(6.3.3)在平面直角坐标系上投影，即可由两个代数方程联立求得所需的未知量。
例6.3-2：半径为R 的车轮沿直线滚动，某瞬时轮心O 点的速度为v O ，加速度为a O ，如图a 所示。
8 刚体的平面运动
第九章 刚体的平面运动1、 基本要求（1） 熟练掌握基点法、速度瞬心法求解平面运动刚体的速度；（2） 熟练掌握基点法求解平面运动刚体的加速度；（3） 熟练应用点的复合运动和刚体的平面运动定理求解刚体系中各构件的速度和加速度。
注：牵连运动只要求掌握平移和定轴转动两种，牵连运动为平面运动超大纲，不要求。
2、 知识点（1） 平面运动的分解：（要真正理解并运用）可取任意基点将平面运动分解为平移和转动，其中平移的速度和加速度与基点的选择有关，而平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关。
（2） 求平面运动刚体的速度：三种方法✧ 基点法：平面图形内任一点B 的速度等于基点A 的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。
B A BA v v v =+其中，BA v AB ω=⋅，方向垂直于AB ，朝向图形转动的一方。
基点A 的选取原则：其运动速度大小与方向已知。
✧ 速度投影定理()()B A AB AB v v =同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。
✧ 速度瞬心法● 刚体作平面运动时，每瞬时都有且仅有一个速度瞬心；● 在不同瞬时，速度瞬心点的位置不同；● 平面图形的平面运动可看作绕速度瞬心P 的瞬时转动。
（对速度而言） 注意：并非真正绕速度瞬心作定轴转动，因0P a ≠。
● 四类速度瞬时如何确定参见第九章PPT2。
✧ 三种方法比较：● 速度投影定理无法求出刚体转动的角速度，而在求加速度时又要用到此参量，故通常不用速度投影定理来求解速度与角速度。
通常该定理主要用于判定点的速度的确切指向。
● 首选速度瞬心法：前提必须知道刚体上任意两点的速度方向。
● 基点法：在以下两种情况下只能用基点法：(a) 只知道刚体上某一点的速度大小与方向，其它各点大小方向均未知；(b) 速度瞬心虽可找到但几何关系过于复杂。
（3） 求平面运动刚体的加速度：唯一的方法 —— 基点法平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。
用基点法求平面图形内各点的加速度
第二节 平面图形上各点的速度分析一、基点法由上一节分析可知，平面图形在其自身平面内的运动可分解为两个运动：（1）牵连运动，即随同基点A 的平动；（2）相对运动，即绕基点A 的转动。
于是，平面图形内任一点B 的速度可用速度合成定理来求得，这种方法称为基点法。
因为牵连运动是平动，所以点B 的牵连速度等于基点A 的速度A v ，如图15-7所示。
又因为点B 的相对运动是以点A 为圆心的圆周运动，所以点B 的相对速度就是平面图形绕点A 转动时点B 的速度，用BA v 表示，它垂直于AB 且与图形的转动方向一致，大小为ω⋅=AB v BA ，式中ω是平面图形角速度的绝对值（以下同）。
由速度合成定理可得B 点的速度为BA A B v v v += （15-2）由此可得出结论：平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点相对转动速度的矢量和。
必须注意的是B v 位于速度平行四边形的对角线上。
基点法公式（15-2）中包含三个矢量，共有大小、方向六个要素，其中BA v 总是垂直于AB ，于是，只需知道任何其他三个要素，便可作出速度平行四边形，求出其他两个未知量。
BA v 总是垂直于AB 两点的连线，也就是说它在AB 两点连线上的投影恒等于零，将矢量方程（15-2）向AB 连线上投影可得[][]AB A AB B v v = （15-3）上式称为速度投影定理，即刚体上任意两点的速度在其连线方向上的投影相等。
此定理的几何意义可参考图15-7加以理解，它说明了图形上两点在其连线方向没有相对速度，这反映了刚体上两点距离不变的物理本质。
该定理不仅适用于刚体平面运动，也适用于其它任何形式的刚体运动。
若已知刚体上一点速度的大小和方向，又知道另一点速度的方向，在不知道两点间距离及刚体转动角速度的情况下，应用速度投影定理可方便地求出该点速度的大小。
下面通过实例说明基点法与速度投影定理的应用。
例15-1 曲柄连杆机构如图15-8a 所示，OA=r ，AB=r 3。
理论力学总复习
2
再选动点:滑块B; 动系: O1D; 静系: 机架。
根据
vBa vBe vBr
做出速度矢量图。
vBe 2ve 0.06 5
m/s,
vB vBa vBe / cos 0.15 vBr vBetg 0.03 5
做出加速度矢量图
m/s
m/s
n 根据 aBa aBe aBe aBr aBk
2．定轴转动刚体
3．平面运动刚体
1 T J z 2 2
1 T J P 2 （P为速度瞬心） 2
1 1 2 M vC J C 2 2 2
四．质点系的动能定理
T2 T1 W
•求速度定用动能定理； •若机构中有平面运动的物体，求机构的运动量，用动能定
理；
•求定轴转动刚体的角加速度，用定轴转动刚体的转动微分 方程最简单；
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求：该瞬时顶杆 AB的速度和加速度。 解: 动点: 顶杆上A点； 动系: 凸轮 ; 静系: 地面。 绝对运动: 直线;
绝对速度: va=? 待求, 方向沿AB;
相对运动: 曲线; 相对速度: vr=? 方向n; 牵连运动: 定轴转动; 牵连速度: ve= r ， 方向OA，
根据速度合成定理 va
理论力学总复习
运动学
运动学部分重点内容： 1.运动学基础
2.点的合成运动
速度合成定理
va = vr + ve
常用几何法,作速度合成图,最后归结为解三角形。 加速度合成定理 牵连运动为平动 aa = ar + ae aa = ar + ae + ak
牵连运动为定轴转动
922134-理论力学之动力学-2平面运动加速度
20
例：求系统在图示位置时，AB杆的角速度和角加速
度。
OA 2R,u R const.
1.求AB杆的角速度
B e
vr vCA R
30 o
uC
O
vA
A
动 点：C 动 系：AB杆 绝 动：直线 相 动：直线 牵 动：平面运动
vA AB CV A 2 3vO
aO OR
7
A
aAt B
y
aA aAn B
aBt O aO
x
B aBnO
aB aO aBt O aBnO
aA aB aAt B aAnB
大小: ?
方向:
4 ABR 4A2BR
aA aO aBt O aBnO aAt B aAnB
x：0
aO
2.加速度瞬心(Instant Center for acceleration)法
定义：某瞬时平面图形上加速度为零的点，称图形在 该瞬时的加速度瞬心C a
定理：当平面图形的角速度与角加速度不同时为零，
必存在唯一的加速度瞬心
问题：过Ca的任一直线上各点的加速度分布有何特点？ —-- 与图形定轴转动时的加速度分布类似
aB
aA
aBt A
a
n BA
AB 0
B
a
n B
aB aA aBt A
aBn
a
t B
aA
aBt A
D y : aBn aA aBt A cos
aBt A 0
10
例：半径为R 的圆盘在水平板A上纯滚动，若该瞬时板的速度 为u，加速度为a，轮心O相对板的速度为vr，相对加速度为ar。 求圆盘的角速度和角加速度以及圆盘最高点B的速度和加速度
11-1讲 基点法求加速度
O C
§8-4
用基点法求平面图形内各点的加速度
解：⑴ 车轮作平面运动，瞬心为C ⑵ 利用瞬心法求轮的角速度和 角加速度
t aCO
vO OC vO R
dω 1 dvO aO dt R dt R
⑶ 取轮上O点为基点，利用基点法 求瞬心C的加速度
t n aC aO aCO aCO
B
⑶ 取杆AB上的D点为基点,利用 基点法求A点加速度
t n aA aD aAD aAD
AB
D y aD n a AD
O
C
x
A
t a AD
大小 ? 方向 √
√ √
？ √
√ √
aD l 2
n 2 l 2 aAD AD AB
aD
aA
2 n 向y轴投影得 aA cos60 aD cos60 aAD a A l
杆OA作绕O轴转动 行星齿轮Ⅱ作平面运动
vA OA 1 l1 ⑵ 轮Ⅱ的速度瞬心为C,利用瞬 心法求轮Ⅱ（任意时刻）的 角速度 vA CA l1 r 所以角加速度始终为0
⑶ 取A点为基点,利用基点法求 B,D的加速度
大小 ? 方向 ?
t n aD aA aDA aDA
2 1
aA arctan n aBA
1 (l r )
2
a B a ( a ) l
arctan
r l
例8-13 图示机构中,OD=AD=BD=l,曲柄OD以匀角速度ω绕O 轴转动。求当 60 时,尺AB的角加速度和点A的加速度。 解：⑴ 分析各物体的运动 滑块A、B作平移 杆OD绕O 轴转动 杆AB作平面运动 ⑵ 找出杆AB的速度瞬心,利用 瞬心法求杆AB的角速度
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1、图中各杆做什么运动？
只有平面运动的杆才用瞬心法，基点法。
2、请找出AB杆瞬心并求其角速度。
区分各个角速度，定轴转动、平面运动各有各的角速度
3、指出A、B两点绝对轨迹，指明半径及曲率中心。
由
此画出A、B点绝对加速度。
轨迹：直线只有一个加速度，与速度在一条线上；曲线（通常是圆周）就要沿切向、法向分解。
半径及圆心：法向加速度沿半径指向圆心，切向加速度垂直于半径。
圆周运动法向加速度、切向加速度应遵循圆周运动的公式，但应注意区分角速度和角加速度。
4、画出在AB杆上用A点求解B点加速度的矢量图并求
解投影前可求解的加速度。
（只需用字母代表长度，如AB代表AB杆长度）。