第三讲 定点转动、基点法

进动角 ψ = ∠x0ON 章动角 θ = ∠z0Oz 自转角 θ = ∠NOx
ϕz
ψ
z0
θ
y
刚体的定点转动可以 拆分成三个相对定轴转动 的复合。它可以用三个转 动参数描述。图示的欧拉
角 (ψ , θ , ϕ ) 就是一种定点
转动的定位参数。
x0
x
O
ϕ
y0
ψ
N
θ
2-2 动系单位基矢量的时间导数定理
定理：对任意动系的单位基矢量
解：圆锥体作定点运动。圆锥体与坐标面Oxy相接触的母
线OA即是该定点运动的瞬时转动轴。
由定点转动刚体的速度分布公式， C点的速度：
e3 z
C
ωOxyz
r
O1
x
vC h
ω
e1 A
O
e2 y
vC = ω × rOC
vC = 48e2 ω = −ωe1 rOC = 16 / 5e1 +12 / 5e3
ω = −20e1 (rad/s)
z
C
r
h
x d vC
A
O
Oxyz定轴转动，其角 速度 ωOxyz ， 根据定义
e&i = ωOxyz × ei , i = 1, 2,3
ω = vC d = 48 /(3× 4 / 5) = 20
∴ ω = −20e1 (rad/s)
ω
z0 z
y
e3
ωOxyz
x0 A0 e1 x A
O e2
y0 y
动系相对定系的角速度: ω = ω1e1 + ω2e2 + ω3e3
定义：刚体上固连坐标系的角 速度定义为刚体的角速度。
定轴转动刚体的角速度： ω = ϕ&e3 = ϕ&k
e&3 = 0 e&1 = ω × e1 = ϕ&e3 × e1 = ϕ&e2 e&2 = ω × e2 = ϕ&e3 × e2 = −ϕ&e1体的所有点的
运动轨迹的形状都一样，
任意时刻所有的点的速度
和加速度都一样。平动刚
体上任意一点的运动就可
代表其运动特性。
ε
C点的运动轨迹与A、 B两点的运动轨迹形状相 同，即以O点为圆心l为半 径的圆弧线。
定点转动：其上一点永远保持不动的刚体运动。
刚体姿态的欧拉角表示
定义节线ON 为 Oxy平面与Ox0y0平面的交线。
v =ω×r
ω 为刚体的角速度
证明：
刚体上的点P，在固连系 O xyz的坐 标 (x, y, z) 不随时间变化。其矢径
z e3 z0
vP r
e2y
x0
O
x e1
y0 ω
r = xe1 + ye2 + ze3
v = r& = xe&1 + ye&2 + ze&3
= x (ω× e1 ) + y (ω× e2 ) + z (ω× e3 )
存在唯一的角速度矢量 ω 使
e&i = ω× ei , i = 1, 2, 3
z e3 k z0
分析：任意单位矢量的导数与它本
身垂直，e&i ⊥ ei , i = 1, 2, 3
ω1
利用叉积的性质，存在 ωi , i = 1, 2, 3
e&1 动系
e2 y
定系 j
e&1 = ω1 × e1 = (ω11e1 + ω12e2 + ω13e3 ) × e1
e3 z
vC = ω × rOC
ωoxyz
vC = ωOxyz × rOC
vC h
O1 O
ε
ω
ω = −20e1 (rad/s) ωOxyz = 15e3 ( rad/s)
e2 y ω 矢端图
根据角速度的定义 e&i = ωOxyz × ei , i = 1, 2,3
角加速度
( ) ε = ω& = −20e&1 = −20ωOxyz × e1 = −300e2 rad/s2
v = ω× r a = ε × r + ω×(ω× r)
§2-5 刚体一般运动及基点法
固连坐标系Oxyz代表刚体、定参考系 O0x0 y0z0完全代 表刚体相对定系的运动。
坐标轴始终保持与其初始位置 平行且方向一致的动坐标系称 为平动坐标系。
z
zp
y
Oxpypzp定义为随基点O平动 的坐标系，称为基点平动
本周作业：李俊峰、张雄主编《理论力学》
（1）熟悉刚体的定义、刚体运动的分类和性质， 并 研究角速度的定义和性质。 （2）习题 2-17、 2-18
瞬时转轴及有关性质
v = ω× r 在不同瞬时，瞬时转轴在空间的
方位以及刚体上的位置各不相同。
C
ω
v
O
定点运动刚体在每一瞬时的 真实运动，就是绕每一瞬时转动 轴转动；
平动刚体的所有点的运动 轨迹的形状都一样，任意时刻
Z
所有的点的速度和加速度都一 样。平动刚体上任意一点的运 O
动就可代表其运动特性。
rAB = 常矢量 r&AB = 0
rB = rA + rAB
r&B = r&A vB = vA
&r&B = r&&A aB = aA
A rAB
rA
B
Y rB r X A AB
⎡0
Ω=
⎢ ⎢
ω3
⎢⎣− ω2
反对称
− ω3 ω2 ⎤
0
−
ω1
⎥ ⎥
ω1 0 ⎥⎦
(e&1 ,e&2 ,e&3 ) = (e1 ,e2 ,e3 ) AT A& = (e1 ,e2 ,e3 ) Ω
⎡0
Ω=
⎢ ⎢
ω3
− ω3 ω2 ⎤
0
−
ω1
⎥ ⎥
⎢⎣− ω2 ω1 0 ⎥⎦
动系相对定系的角速度:
角速度矩阵
圆锥的底面中心C点在水平方向的速度 vC = 48cm/s = 常 数。已知圆锥高为h = 4cm，底面半径 r = 3cm。试求：
(1) 圆锥体的角速度和角加速度；
(2) C点及A点的加速度。
C
r
h
vC
A
O
解：圆锥体作定点运动。圆锥体与水平面相接触的母线OA即是该定 点运动的瞬时转动轴。圆椎体运动过程中瞬时转动轴绕通过O的铅 垂轴匀速定轴转动。取Oxyz坐标系， 如图所示，Oz轴垂直于水平 面， Ox轴跟随OA一起转动。 因此坐标系Oxyz作绕通过O的铅垂轴 定轴转动。
动系单位基矢量的时间导数
(e&1 ,e&2 ,e&3 ) = (i, j,k)A& = (e1 ,e2 ,e3 )AT A& = (e1 ,e2 ,e3 )Ω
( ) 其中 Ω = AT A& = −A& T A = − AT A& T = −ΩT
AT A = I A& T A + AT A& = 0
C点也可以看作是Oxyz坐标系上的点，
vC = ωOxyz × rOC
ωOxyz = 15e3 (rad/s)
2-4 刚体的角加速度及定点转动刚体的加速度分析
刚体的角加速度 ε = dω dt
刚体上一点的加速度
a = ε × r + ω× (ω× r )
证明：
v =ω×r a = v& = ω& × r + ω× r&
vP = vO +ω ×rOP aP = aO +ω ×(ω ×rOP) +ε ×rOP
rO0P = rO0O + rOP
在定系中对上式求时间导数
z e3 zp
r&O0P = r&O0O + r&OP &r&O0P = r&&O0O + r&&OP
P
命题：定系和平动系的单位基矢量相同
y
，任意动矢量在二者中的投影相同。动 矢量在两坐标系中的时间导数相同。
已知圆椎体的角速度和角加速度
e3 z
ω = −20e1 (rad/s)
aA
( ) ε = −300e2 rad/s2
计算圆椎体上C点及A点 的加速度
C aC
x
vC
e1 A
O1
ε
O
ω
aC = ε × rOC + ω × (ω× rOC )
e2 y
= −300e2 × (16 / 5e1 +12 / 5e3 ) + (−20e1) × 48e2
= ε×r + ω×v
= ε×r + ω×(ω×r)
向轴加速度
ω×(ω× r )
瞬时 C 转轴
ε×r 旋转加 r ω
速度
O
ε
定点转动刚体上 一点的加速度
证毕
2
解：圆锥体作定点运动。圆锥体与坐标面Oxy相接触的
母线OA即是该定点运动的瞬时转动轴。
C点是定点转动刚体上的点， 速度已知， 有：
C
r x
e1 A
坐标系。
z0
xp
O
yp
x
借助基点平动坐标系描述刚
rO0O
体运动的方法称为基点法。
x0
O0
y0
一般运动：刚体最一般的运动
刚体一般运动：可分解为随基点的平动+相对基点