浙教版八上第二章特殊三角形重难点习题
浙教版数学八年级上册第二章特殊三角形章节提高训练
浙教版八上数学第二章：特殊三角形1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( )A. 3.5B. 4.2C. 5.8D. 7（第1 题图）（第2 题图）（第3 题图）（第4 题图）2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC，交BC于点D，E为AC的中点，连结DE，则△CDE的周长为( )A. 20B. 12C. 14D. 133．已知一足够长的钢架MAN，∠A＝15°，现要在其内部焊上等长的钢条(相邻钢条首尾相接)来加固钢架，如图是已焊上的两根钢条B C 和B C ，且B C ＝B C ＝AC .照此焊接下去，在该钢架内部最多能焊接钢条( )1 1 12 1 1 1 2 1A. 7根B. 6根C. 5根D. 4根4．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB 的垂直平分线DE 交AB 于点E，交BC 于点D，CD＝3，则BC 的长为( )A. 6B. 6 3C. 95．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠A＝30°，则AD 等于（）D. 3 3A． 4BD B．3BD C． 2BD D． BD（第5 题图）（第6 题图）（第7 题图）（第8 题图）6.如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE，若△CDE的周长为21，则BC的长为（）A．6 B．9 C．10 D．127.如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F，则△AEF的周长为()A. 98.如图，若AB=AC，BG=BH，AK=KG，则∠BAC的度数为（）A．30°B．32°C．36°D．40°B. 11C. 12D. 139.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O 作EF∥BC交AB 于E，交AC 于F，过点O 作OD ⊥AC于D，下列四个结论：①EF=BE+CF；②∠BOC=90°+∠A；③点O 到△ABC各边的距离相等；④设OD=m，AE+AF=n，则S=mn．其中正确的结论是（△AEF ）A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④10．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为( )A. 1B. 1.5C. 2D. 2.511.在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中，最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为( )A. 49 cm2B. 98 cm2C. 147 cm2D. 无法确定（第9 题图）（第10 题图）（第11 题图）（第12 题图）12．如图所示，AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE等于( )A．1 B. 2 C. 3 D．213．图中，不能用来证明勾股定理的是( )14.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于点D，E是垂足，连结CD.若BD＝1，则AC的长是( )A. 2 3B. 2C. 4 315．如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC.若以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E，则下列结论一定正D. 4确的是( A．AE＝EC )B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE（第14 题图）（第15 题图）（第16 题图）（第17 题图）16．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为b，若(a＋b) ＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( 2 )A．3 B．4 C．5 D．617．如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE.若AB 的长为2，则FM 的长为( )A．2 B. 3 C. 2 D．118．已知△ABC的三边长分别为4，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )．A．3 条B．4 条C．5 条D．6 条19．如图所示，直线l 上摆有三个正方形a，b，c，若a，c 的面积分别为8 和10，则b 的面积是( )A．24 B．20 C．18 D．1620．将一个斜边长为2的等腰直角三角形纸片[如图(1)]沿它的对称轴折叠 1 次后得到另一个等腰直角三角形[如图(2)]，再将图(2)的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后又得到一个等腰直角三角形[如图(3)]，则连续将图(1)的等腰直角三角形折叠n 次后所得到的等腰直角三角形[如图]的斜边长为( )n n－1 n1 12 2222A.n B. C. D.21．如图，已知∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的边AB，BC，CA为一边向△ABC外作正方形ABDE，正方形BCMN，正方形CAFG，连结EF，GM.设△AEF，△CGM的面积分别为S，S，则下列结论正确的是( )1 2A.S＝S B．S＜S C．S＞S D．S≤S1 2 1 2 1 222.如图△ABC中，PM，QN 分别是AB，AC 的垂直平分线，∠BAC＝110°，则∠PAQ＝_______．1 2（第21 题图）（第22 题图）（第24 题图）23.等腰三角形的周长为16，一腰上的中线把周长分成5∶3两部分，则三角形的底边长___．24.如图，在△ABC中， AB＝AC，∠BAC＝36°，DE 是线段AC 的垂直平分线．若BE＝a，AE＝b，则用含a，b 的代数式表示△ABC的周长为________．25．我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①所示．在图②中，若正方形ABCD 的边长为14，正方形IJKL 的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH 的边长为________．（第25 题图）（第26 题图）（第27 题图）26．如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的两动点，且总使AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD FG于点G，则＝____．AF27.如图，两块完全一样的含30°角的直角三角尺重叠在一起，若绕长直角边AC的中点M转动，使上面一块直角三角尺的斜边A′B′刚好过下面一块直角三角尺的直角顶点C.若∠A＝30°，AC＝10，则此时两直角顶点C，C′间的距离是____．28．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，连结DE，M是AB的中点，N是DE的中点．求证：MN是DE的中垂线．29．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(不与点A，B重合)，连结CD，将线段CD绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连结BE.(1)求证：△ACD≌△BCE.(2)当AD＝BF时，求∠BEF的度数．30.如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，分别以AB，AC为边作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连结ED交AB于点F.1求证：（1）BC＝AB.（2）EF＝DF.231.已知，如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CG＝EG（1）求证：CD＝AE；（2）若AD＝BD，CD＝2，则求△ABD的面积．32.在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．(1)如图所示，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF.求证：△DEF为等腰直角三角形；(2)如果E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．33．如图①，A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．(1)连结BE，DC，求证：BE＝DC.(2)如图②，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′.①当旋转角为____度时，边AD′落在AE上．②在①的条件下，延长DD′交CE于点P，连结BD′，CD′.当线段AB，AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．34.已知△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°.探究并解决下列问题：(1)如图①，若点P在线段AB上，且AC＝1＋3，PA＝2，则：①线段PB＝____，PC＝____．②猜想：PA，PB，PQ三者之间的数量关系为__．222(2)如图②，若点P在AB的延长线上，在(1)中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程．PA1(3)若动点P满足＝，求的值．PB3ACPC29．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(不与点A，B重合)，连结CD，将线段CD绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连结BE.(1)求证：△ACD≌△BCE.(2)当AD＝BF时，求∠BEF的度数．30.如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，分别以AB，AC为边作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连结ED交AB于点F.1求证：（1）BC＝AB.（2）EF＝DF.231.已知，如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CG＝EG（1）求证：CD＝AE；（2）若AD＝BD，CD＝2，则求△ABD的面积．32.在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．(1)如图所示，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF.求证：△DEF为等腰直角三角形；(2)如果E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．33．如图①，A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．(1)连结BE，DC，求证：BE＝DC.(2)如图②，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′.①当旋转角为____度时，边AD′落在AE上．②在①的条件下，延长DD′交CE于点P，连结BD′，CD′.当线段AB，AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．34.已知△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°.探究并解决下列问题：(1)如图①，若点P在线段AB上，且AC＝1＋3，PA＝2，则：①线段PB＝____，PC＝____．②猜想：PA，PB，PQ三者之间的数量关系为__．222(2)如图②，若点P在AB的延长线上，在(1)中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程．PA1PC(3)若动点P满足＝，求的值．PB3AC29．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(不与点A，B重合)，连结CD，将线段CD绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连结BE.(1)求证：△ACD≌△BCE.(2)当AD＝BF时，求∠BEF的度数．30.如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，分别以AB，AC为边作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连结ED交AB于点F.1求证：（1）BC＝AB.（2）EF＝DF.231.已知，如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CG＝EG（1）求证：CD＝AE；（2）若AD＝BD，CD＝2，则求△ABD的面积．32.在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．(1)如图所示，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF.求证：△DEF为等腰直角三角形；(2)如果E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．33．如图①，A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．(1)连结BE，DC，求证：BE＝DC.(2)如图②，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′.①当旋转角为____度时，边AD′落在AE上．②在①的条件下，延长DD′交CE于点P，连结BD′，CD′.当线段AB，AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．34.已知△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°.探究并解决下列问题：(1)如图①，若点P在线段AB上，且AC＝1＋3，PA＝2，则：①线段PB＝____，PC＝____．②猜想：PA，PB，PQ三者之间的数量关系为__．222(2)如图②，若点P在AB的延长线上，在(1)中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程．PA1PC(3)若动点P满足＝，求的值．PB3AC。
浙教版八上第二章特殊三角形重难点习题
^数学辅导教案时间：年级：八年级课时数：２学员姓名：辅导科目：数学学科教师：等腰三角形和直角三角形的性质与判定授课内容逆定理的运用、勾股定理教学目标学会利用本章所学知识证明三角形问题*等腰三角形性质与判定。
《>＝＝-》"！直角三角形的性质与判定考查类型一直角三角形的三边关系（勾股定理）解题思路：①勾股定理：a、b为直角边，c为斜边，则a²+b²=c²；②一个直角三角形斜边上有高，则可以利用等面积法，即等面积计算，两直角边的积等于斜边与斜边上的高的积求解。
③普通三角形的三边关系同时适用于直角三角形。
1.如图，在锐角△ABC中，高AD＝12，边AC＝13，BC＝14，-求AB的长．2.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，沿AD折叠，使点B落在斜边AC上，若AB＝3，BC＝4，则求BD。
^3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3.(1)求DE的长；(2)求△ADB的面积．<4.如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，且AB＝8 cm，BC＝10 cm，求EC的长．5.一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．(1)这个梯子的顶端距地面有多高~(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗考查类型二直角三角形斜边上的中线的应用.解题思路：①直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.②直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半.6.<7.如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC于D,E、F、G分别是AC、AB、BC的中点。
求证：四边形OEFG是等腰梯形。
8.如图所示，BD、CE是三角形ABC的两条高，M、N分别是BC、DE的中点求证：MN⊥DE"9.过矩形ABCD对对角线AC的中点O作EF⊥AC分别交AB、DC于E、F，点G为AE的中点，若∠AOG＝30度.求证：3OG=DC！10.如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90o，点M、N分别是BD、AC的中点。
2022-2023学年浙教版八年级数学上册第2章《特殊三角形》易错题精选(原卷版)
保密★启用前2022-2023学年浙教版八年级数学上册第2章《特殊三角形》易错题精选学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项∶1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2. 所有答案都必须写到答题卷上。
选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体要工整，笔迹要清楚。
3．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分。
考试时间共90分钟。
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．(本题3分)（2022·浙江衢州·八年级期末）如图图案中，成轴对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．(本题3分)（2020·浙江·模拟预测）等腰三角形的两边长为3和8则这个等腰三角形的周长是（ ）A ．14B ．19C ．14或19D ．203．(本题3分)（2021·浙江·八年级期末）如图，在ABC 中，,30AB AC A =∠=︒，直线//,m n 顶点C 在直线n 上，直线m 交AB 于点,D 交AC 于点E ，若1150,∠=︒则2∠的度数是( )A ．45B ．40C ．35D ．304．(本题3分)（2020·浙江·绍兴市锡麟中学八年级阶段练习）有下列命题：①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若a ＝b ，则|a|＝|b|；④全等三角形的对应角相等．它们的逆命题一定成立的有（ ）A ．①②③④B ．①④C ．②④D ．②5．(本题3分)（2022·浙江杭州·八年级期末）在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以A 点，B 点为圆心以大于12AB 为半径画弧，两弧交于E ，F ，连接EF 交AB 于点D ，连接CD ，以C 为圆心，CD 长为半径作弧，交AC 于G 点，则:CG AB =（ ）A ．B ．1：2C ．D ．6．(本题3分)（2021·浙江杭州·八年级期中）在锐角ABC 中，15AB =，13AC =，高12AD =，则BC 的长度为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．137．(本题3分)（2021·浙江湖州·八年级阶段练习）如图，AO ，BO 分别平分CAB ∠，CBA ∠，且点O 到AB 的距离2OD =，ABC 的周长为28，则ABC 的面积为（ ）A ．7B ．14C ．21D ．288．(本题3分)（2022·浙江绍兴·八年级期末）如图，斜靠在墙上的一根竹竿，AB ＝10m ，BC ＝6m ，若A 端沿垂直于地面的方向AC 下移2m ，则B 端将沿CB 方向移动的距离是（ ）米．A ．1.6B ．1.8C ．2D ．2.29．(本题3分)（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，△ABC 中，90ACB ∠=，以其三边分别向外侧作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，若要求图中两个阴影部分面积之和，则只需知道（ ）A ．以BC 为边的正方形面积B ．以AC 为边的正方形面积 C ．以AB 为边的正方形面积D ．△ABC 的面积10．(本题3分)（2022·浙江绍兴·八年级期末）在Rt △ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∠ACB＝90°，点P ，Q 分别是边AB 和BC 上的动点，始终保持AP ＝BQ ，连接AQ ，CP ，则AQ CP+的最小值为（ ）A ．BC ．D ．6二、填空题（本题有7个小题，每小题3分，共21分）11．(本题3分)（2021·浙江宁波·八年级期中）等腰三角形的顶角是40°，则底角的度数为________°．12．(本题3分)（2019·浙江杭州·八年级期末）如图，已知O 是等边△ABC 内一点，D 是线段BO 延长线上一点，且 OD OA =，AOB ∠=120°，那么BDC ∠=_____．13．(本题3分)（2022·浙江·台州市书生中学八年级期中）已知直角三角形的两边长分别为3和4，则斜边上的中线长为______．14．(本题3分)（2021·浙江·乐清市英华学校八年级期中）课本第78页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中有如下问题：如图①分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的S 1，S 2，S 3满足的数量关系是S 1+S 2=S 3．现将△ABF 向上翻折，如图②，已知S 甲＝9，S 乙＝8，S 丙＝7，则△ABC 的面积是______ ．15．(本题3分)（2021·浙江·杭州英特外国语学校八年级期中）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝8cm ，则△BED 的周长是______．16．(本题3分)（2022·浙江·浦江县实验中学八年级期中）图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时点A 、B 、C 在同一直线上，且∠ACD ＝90°，图2是小床支撑脚CD 折叠的示意图，在折叠过程中，△ACD 变形为四边形ABC'D'，最后折叠形成一条线段BD ''．某家装厂设计的折叠床是AB ＝4cm ，BC ＝8cm ， （1）此时CD 为_________ cm ；（2）折叠时，当AB ⊥BC′时，四边形ABC′D′的面积为_______cm 2 ．17．(本题3分)（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，△ABC 中，13AB AC ==，24BC =，点D 在BC 上()BD CD >，△AED 与△ACD 关于直线AD 轴对称，点C 的对称点是点E ，AE 交BC 于点F ，连结BE ，CE ． 当DE BC ⊥时，∠ADE 的度数为________，CE 的长为________．三、解答题（请写出必要的解题过程，本题共6个小题，共49分）18．(本题6分)（2019·浙江·八年级期中）如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，点E 在BC 上，点F 在AB 的延长线上，且AE ＝CF ．（1）求证：△ABE ≌△CBF ．（2）若∠ACF ＝70°，求∠EAC 的度数．19．(本题8分)（2022·浙江嘉兴·八年级期末）如图，在7×7的正方形网格中，A ，B 两点都在格点上，连结AB ，请完成下列作图：(1)在图1中找一个格点C，使得△ABC是等腰三角形（作一个即可）；(2)在图2中找一个格点D，使得△ABD是以AB为直角边的直角三角形（作一个即可）．20．(本题8分)（2022·浙江绍兴·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC 边上（不与A，C重合），连接BD，BD=AB．(1)设∠C＝α，∠ABD＝β．①当α＝50°时，求β．②直接写出β与α之间的等量关系及α的取值范围．(2)若AB＝5，BC＝6，求AD的长．21．(本题8分)（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，M，N分别为锐角AOB∠边OA，OB上的点，把AOB∠所在平面内的点C处．∠沿MN折叠，点O落在AOB(1)如图1，点C 在AOB ∠的内部，若20CMA ∠=︒，50CNB ∠=︒，求AOB ∠的度数．(2)如图2，若45AOB ∠=︒，ON =折叠后点C 在直线OB 上方，CM 与OB 交于点E ，且MN ME =，求折痕MN 的长．(3)如图3，若折叠后，直线MC OB ⊥，垂足为点E ，且5OM =，3ME =，求此时ON 的长．22．(本题9分)（2022·浙江杭州·八年级期末）如图，C 是线段BD 上的一点，以,BC CD 为斜边在线段BD 同侧作等腰直角三角形ABC 和CDE △，过D 作DF DE ⊥于点D ，且DF AB =，连接AF 交BD 于点G ，连接,AE EF ．(1)求证：AGB FGD △≌△；(2)请判断AEF 的形状，并说明理由；(3)请写出CAG ∠与DEF ∠的数量关系，并说明理由．23．(本题10分)（2022·浙江宁波·八年级期末）如果平面内一点到三角形的三个顶点的距离中，最长距离的平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的勾股点，如图1，平面内有一点P 到△ABC 的三个顶点的距离分别为P A 、PB 、PC ，若,PC PA PC PB >>，且222PC PA PB =+，则点P 就是△ABC 的勾股点．⨯的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点在格点（小(1)如图2，在32正方形的顶点）上，格点P是△ABC的勾股点吗？请说明理由；(2)如图3，△ABC为等边三角形，过点A作AB的垂线，点E在该垂线上，以CE为边在其右侧作等边△CDE，连结AD．①求证：点A是△CDE的勾股点；②若AC=1AE=，直接写出等边△CDE的边长．。
浙教版八年级上第2章 特殊三角形期末复习(含答案)
期末复习(二) 特殊三角形01 知识结构特殊三角形⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧图形的轴对称⎩⎪⎨⎪⎧轴对称图形轴对称轴对称和轴对称图形的性质等腰三角形⎩⎪⎨⎪⎧轴对称性性质定理判定定理逆命题和逆定理⎩⎪⎨⎪⎧互逆命题互逆定理线段垂直平分线定理的逆定理直角三角形⎩⎪⎨⎪⎧性质定理判定定理勾股定理勾股定理的逆定理全等的判定角平分线的性质定理02 重难点突破重难点1 等腰三角形的性质及判定【例1】 (萧山区期中)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC .(1)若AC ＝BC ，∠B ∶∠C ＝2∶1，试写出图中的所有等腰三角形，并给予证明； (2)若AB ＋BD ＝AC ，求∠B ∶∠C 的比值、 【思路点拨】 (1)根据等腰三角形的定义及“等角对等边”判定等腰三角形；(2)利用“截长法”或“补短法”添加辅助线，将AC －AB 或AB ＋BD 转化成一条线段，通过全等得到线段相等，从而得到角相等、解：(1)等腰三角形有3个：△ABC ，△ABD ，△ADC ，证明：∵AC ＝BC ，∴△ABC 是等腰三角形、 ∴∠B ＝∠BAC .∵∠B ∶∠C ＝2∶1，∠B ＋∠BAC ＋∠C ＝180°， ∴∠B ＝∠BAC ＝72°，∠C ＝36°. ∵∠BAD ＝∠DAC ＝12∠BAC ＝36°，∴∠B ＝∠ADB ＝72°，∠DAC ＝∠C ＝36°. ∴AB ＝AD ，DA ＝DC .∴△ABD 和△ADC 是等腰三角形、(2)在AC 上截取AE ＝AB ，连结DE ， 又∵∠BAD ＝∠DAE ，AD ＝AD ， ∴△ABD ≌△AED .∴∠AED ＝∠B ，BD ＝DE .∵AB ＋BD ＝AC ，AC ＝AE ＋EC ， ∴BD ＝EC . ∴DE ＝EC .∴∠EDC ＝∠C .∴∠B ＝∠AED ＝∠EDC ＋∠C ＝2∠C . ∴∠B ∶∠C ＝2∶1.1、(上城区期中)如图，△AB C 、△ADE 中，C 、D 两点分别在AE 、AB 上，BC 与DE 相交于点F .若BD ＝CD ＝CE ，∠ADC ＋∠ACD ＝104°，则∠DFC 的度数为( C )A 、104°B 、118°C 、128°D 、136°2、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别在A B 、B C 、AC 边上，且BE ＝CF ，BD ＝CE .(1)求证：△DEF 是等腰三角形；(2)当∠A ＝40°时，求∠DEF 的度数、解：(1)证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C .在△BDE 和△CEF 中，⎩⎨⎧BE ＝CF ，∠B ＝∠C ，BD ＝CE ，∴△BDE ≌△CEF (SAS )、∴DE ＝EF ，即△DEF 是等腰三角形、 (2)∵∠A ＝40°，AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ＝70°.由(1)知，△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF.∴∠DEF＝180°－∠BED－∠CEF＝180°－∠BED－∠BDE＝∠B＝70°.重难点2直角三角形的性质及判定【例2】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，∠AEF＝∠AFE.(1)求证：AD⊥BC(请用一对互逆命题进行证明)；(2)写出你所用到的这对互逆命题、【思路点拨】由“直角三角形的两个锐角互余”得到∠ABF＋∠AFB＝90°，又因为∠ABF＝∠CBF，∠AEF＝∠BED，从而转化为∠CBF＋∠BED＝90°，从而AD⊥BC得证、解：(1)证明：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，∴∠ABF＋∠AFB＝90°.∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF.∵∠AEF＝∠AFE，∠BED＝∠AEF，∴∠BED＝∠AFE.∴∠CBF＋∠BED＝90°.∴∠BDE＝90°.∴AD⊥BC.(2)互逆命题：直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形、3、(庆元县岭头中学月考)已知，如图，B、C、D三点共线，AB⊥BD，ED⊥CD，C是BD 上的一点，且AB＝CD，∠1＝∠2，请判断△ACE的形状并说明理由、解：△ACE是等腰直角三角形，理由：∵∠1＝∠2，∴AC＝CE.∵AB⊥BD，ED⊥CD，∴∠B＝∠D＝90°.在Rt△ABC和Rt△CDE中，⎩⎨⎧AC ＝CE ，AB ＝CD ，∴Rt △ABC ≌Rt △CDE . ∴∠ACB ＝∠CED .∵∠CED ＋∠ECD ＝90°， ∴∠ACB ＋∠ECD ＝90°. ∴∠ACE ＝90°.∴△ACE 是等腰直角三角形、重难点3 勾股定理及其逆定理【例3】 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 是AC 的中点，作∠ADB 的平分线DE 交AB 于点E .(1)求证：DE ∥BC ；(2)若AE ＝3，AD ＝5，点P 为线段BC 上的一动点，当BP 为何值时，△DEP 为等腰三角形？请求出所有BP 的值、【思路点拨】 (1)要证DE ∥BC ，可转化为证∠AED ＝∠ABC ＝90°，即证DE ⊥AB ，由等腰三角形“三线合一”的性质可推导得出；(2)△DEP 为等腰三角形，存在三种情况：DE ＝EP ，DP ＝EP ，DE ＝DP ，结合勾股定理可求得BP 的值、解：(1)证明：∵∠ABC ＝90°，点D 是AC 的中点，∴BD ＝AD ＝12AC .∵DE 是∠ADB 的平分线， ∴DE ⊥AB .又∵∠ABC ＝90°，∴DE ∥BC . (2)∵AE ＝3，AD ＝5，DE ⊥AB ， ∴DE ＝AD 2－AE 2＝4. ∵DE ⊥AB ，AD ＝BD ， ∴BE ＝AE ＝3.①DE ＝EP 时，BP ＝42－32＝7； ②DP ＝EP 时，BP ＝12DE ＝12×4＝2；③DE ＝DP 时，过点D 作DF ⊥BC 于点F ，则DF ＝BE ＝3， 由勾股定理，得FP ＝42－32＝7， 点P 在F 下边时，BP ＝4－7，点P 在F 上边时，BP ＝4＋7，综上所述，BP 的值为7，2，4－7或4＋7.4、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5 cm ，AC ＝3 cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以1 cm /s 的速度运动，设运动时间为t (s )、(1)当△ABP 为直角三角形时，求t 的值； (2)当△ABP 为等腰三角形时，求t 的值、解：(1)∵∠C ＝90°，AB ＝5 cm ，AC ＝3 cm ，∴BC ＝4 cm .①当∠APB 为直角时，点P 与点C 重合，BP ＝BC ＝4 cm ， ∴t ＝4.②当∠BAP 为直角时，BP ＝t cm ，CP ＝(t －4)cm ，AC ＝3 cm ， 在Rt △ACP 中，AP 2＝32＋(t －4)2， 在Rt △BAP 中，AB 2＋AP 2＝BP 2， ∴52＋[32＋(t －4)2]＝t 2， 解得t ＝254.综上，当△ABP 为直角三角形时，t ＝4或254.(2)①当BP ＝BA ＝5 cm 时，t ＝5.②当AB ＝AP 时，BP ＝2BC ＝8 cm ，∴t ＝8.③当PB ＝P A 时，PB ＝P A ＝t cm ，CP ＝(4－t )cm ，AC ＝3 cm ， 在Rt △ACP 中，AP 2＝AC 2＋CP 2， ∴t 2＝32＋(4－t )2，解得t ＝258. 综上，当△ABP 为等腰三角形时，t ＝5或8或258.03 备考集训一、选择题(每小题3分，共30分)1、(上城区期中)下列四个图形中，是轴对称图形的是( C )2、下列各命题的逆命题成立的是( C )A 、全等三角形的对应角相等B、如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C、两直线平行，同位角相等D、如果两个角都是45°，那么这两个角相等3、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，如果∠A＝50°，那么∠DCB ＝( A )A、50°B、45°C、40°D、25°4、下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是( B )A、两条直角边对应相等B、两个锐角对应相等C、一条直角边和它所对的锐角对应相等D、一个锐角和锐角所对的直角边对应相等5、(永嘉县校级期中)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( D )A、60°B、120°C、60°或150°D、60°或120°6、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，且DA＝DB＝5，如果△DAB的面积为10，那么DC的长是( B )A、4B、3C、5D、4.5第6题图第7题图7、如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC 于点D，连结BD，下列结论错误的是( D )A、∠C＝2∠AB、BD平分∠ABCC、图中有三个等腰三角形D、S△BCD＝S△BOD8、(萧山区期中)△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB 于点D，PE⊥AC于点E，则PD＋PE的长是( A )A、4.8B、4.8或3.8C、3.8D、59、(庆元县岭头中学月考)如图，三角形纸片ABC中，∠B＝2∠C，把三角形纸片沿直线AD 折叠，点B落在AC边上的E处，那么下列等式成立的是( B )A、AC＝AD＋BDB、AC＝AB＋BDC、AC＝AD＋CDD、AC＝AB＋CD第9题图第10题图10、(河北中考)如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有(D)A、1个B、2个C、3个D、3个以上二、填空题(每小题4分，共24分)11、等腰三角形的一个角是110°，则它的底角是35°、12、(永嘉县校级期中)如图是一个外轮廓为长方形的机器零件的平面示意图，根据图中的尺寸(单位：cm)，计算两个圆孔中的A和B的距离为10cm.第12题图第13题图13、如图，在△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝6，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，D是AB的中点，则△DEF的周长是10、14、(萧山区期中)如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为32、第14题图第15题图15、(江山期末)如图，在边长为2的等边△ABC中，AD是BC边上的高，点E是AC中点，点P是AD上一动点，则PC＋PE的最小值是3、16、(杭州期中)已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD ＝BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE ＝BA ，过E 作EF ⊥AB ，F 为垂足，下列结论：①△ABD ≌△EBC ；②∠BCE ＋∠BCD ＝180°；③AD ＝EF ＝EC ；④BA ＋BC ＝2BF .其中正确的结论有①②④(填序号)、三、解答题(共46分)17、(10分)如图，请将下面两个三角形分成两个等腰三角形、(要求重新画图，且标出每个等腰三角形的内角的度数)解：如图：18、(10分)(杭州中考)如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，点M ，N 分别在AB ，AC 边上，AM ＝2MB ，AN ＝2NC .求证：DM ＝DN .证明：∵AM ＝2MB ，AN ＝2NC ，AB ＝AC ， ∴AM ＝AN .∵AD 平分∠BAC ， ∴∠MAD ＝∠NAD .在△AMD 和△AND 中，⎩⎨⎧AM ＝AN ，∠MAD ＝∠NAD ，AD ＝AD ，∴△AMD ≌△AND (SAS )、 ∴DM ＝DN .19、(12分)(萧山区期中)(1)用直尺和圆规作一个等腰三角形，使得底边长为线段a ，底边上的高的长为线段b ，要求保留作图痕迹；(不要求写出作法)(2)在(1)中，若a ＝6，b ＝4，求等腰三角形的腰长、解：(1)如图，等腰三角形ABC 即为所求作三角形，其中AB ＝a ，OC ＝b . (2)由题意知AC ＝BC ，AO ＝BO ，CO ⊥AB ，且CO ＝4，AB ＝6， ∴AO ＝3.∴AC ＝OA 2＋OC 2＝5，即等腰三角形的腰长为5.20、(14分)如图1，OA ＝2，OB ＝4，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt △ABC . (1)求C 点的坐标； (2)如图2，P 为y 轴负半轴上一个动点，当P 点沿y 轴负半轴向下运动时，以P 为顶点，P A 为腰作等腰Rt △APD ，过D 作DE ⊥x 轴于E 点，求OP －DE 的值、解：(1)过C 作CM ⊥x 轴于M 点，∵∠MAC ＋∠OAB ＝90°，∠OAB ＋∠OBA ＝90°， ∴∠MAC ＝∠OBA .在△MAC 和△OBA 中，⎩⎨⎧∠CMA ＝∠AOB ＝90°，∠MAC ＝∠OBA ，AC ＝BA ，∴△MAC ≌△OBA (AAS )、 ∴CM ＝OA ＝2，MA ＝OB ＝4.∴OM ＝OA ＋AM ＝2＋4＝6. ∴点C 的坐标为(－6，－2)、(2)过D 作DQ ⊥OP 于Q 点，则DE ＝OQ . ∴OP －DE ＝OP －OQ ＝PQ .∵∠APO ＋∠QPD ＝90°，∠APO ＋∠OAP ＝90°， ∴∠QPD ＝∠OAP .在△AOP 和△PQD 中，⎩⎨⎧∠AOP ＝∠PQD ＝90°，∠OAP ＝∠QPD ，AP ＝PD ，∴△AOP ≌△PQD (AAS )、 ∴PQ ＝OA ＝2， 即OP －DE ＝2.。
浙教版八年级上册数学第2章 特殊三角形 含答案
浙教版八年级上册数学第2章特殊三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、在中，斜边AB=2，则的值是（）A.6B.8C.10D.122、若等腰三角形有两条边的长度为2和5，则此等腰三角形的周长为（）A.9B.12C.9或12D.103、下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的是 ( )①②③④A.②③④B.①②③C.①②④D.①③④4、在下列条件中，不能判定两直角三角形全等的是（）A.斜边和一锐角对应相等B.斜边上的中线和一直角边对应相等C.两边分别相等D.直角的平分线和一直角边对应相等5、等腰三角形的一腰长为3a，底角为15°，则另一腰上的高为（）A.aB. aC.2aD.3a6、等腰三角形的一个外角是130°，则它的底角等于（）A.50°B.65°C.100°D.50°或65°7、如图,△ABC内接于☉O,D为线段AB的中点,延长OD交☉O于点E,连接AE,BE,在以下判断中,不正确的是( )A.AB⊥DEB.AE=BEC.OD=DED. =8、下列定理中逆定理不存在的是（）A.全等三角形的对应角相等B.如果在一个三角形中，两边相等，那么它们所对的角也相等C.同位角相等，两直线平行D.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等9、在平面直角坐标系中，点A（，），B（3，3），动点C在x轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为（）A.2B.3C.4D.510、如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连结DM 、 MC 下列结论：①DF=DN；②△ABM≌△BNM；③△CMN是等腰三角形；④AE=CN；其中正确的结论个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个11、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.12、如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC的高是（）A. B. C. D.13、如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片，使AB边与对角线AC 重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（）A.3B.4C.5D.614、如图，某建筑物在一个坡度为的山坡上，建筑物底部点到山脚点的距离米，在距山脚点右侧水平距离为60米的点处测得建筑物顶部点的仰角是24°，建筑物和山坡的剖面的同一平面内，则建筑物的高度约为（）（参考数据：，，）A.32.4米B.20.4米C.16.4米D.15.4米15、如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5 ，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为（）A. B. C. D.3二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AD边上一点，连接CE，把△CDE沿CE翻折，得到△CPE，EP交AC于点F，CP 交BD于点G，连接PO，若PO∥BC，则四边形OFPG的面积是________．17、在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=2，则BC的长为________．18、如图，已知点，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OB上的动点，则周长的最小值是________．19、在中，边上的高为4，，，则的周长等于________.20、如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=3，BE=4，则阴影部分的面积是________.21、如图，在中，为BC上一点，过点D作，垂足为E，连接AD，若，则AB的长为________22、在平面直角坐标系中，A（4，0），直线l：y=6与y轴交于点B，点P是直线l上点B右侧的动点，以AP为边在AP右侧作等腰Rt△APQ，∠APQ=90°，当点P的横坐标满足0≤x≤8，则点Q的运动路径长为________．23、在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，则△ABC是________三角形.24、已知，点在的内部，与关于对称，与关于对称，________ .25、如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到△A’B’C’，连接A’C，则△A’B’C的周长为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，在中，，点在边上，且，连接，若，求的度数．27、如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E．（1）若D恰好在BC的中点上（如图1）求证：△ADE是等边三角形；（2）若D为直线BC上任一点（如图2），其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．28、如图所示，AB⊥BC，DC⊥AC，垂足分别为B，C，过D点作BC的垂线交BC 于F，交AC于E，AB=EC，试判断AC和ED的长度有什么关系并说明理由．29、如图，在四边形ABCD中，对角线AC＝BD，E，F为AB、CD的中点，连接EF交BD、AC于P、Q，取BC中点G，连EG、FG，求证：OP＝OQ.30、已知△ABC中，AC＝BC，∠C＝100°，AD平分∠BAC交BC于D，点E 为AB上一点，且∠EDB＝∠B．求证：AB＝AD+CD．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、B3、B4、C5、B6、D7、C9、B10、C11、D12、A13、D14、C15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、29、。
第2章 特殊三角形 浙教版八年级上册数学测试卷(含答案)
浙教版八年级上册数学第二章特殊三角形一、选择题1．下列关于体育运动的图标是轴对称图形的为（ ）A．B．C．D．2．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）A．∠A＝∠C－∠B B．a2＝b2－c2C．a：b：c＝2：3：4D．a＝34，b＝54，c＝13．等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的大小是（ ）A．50°B．65°或50°C．65°D．80°4．在锐角△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则BC的长度为（ ）A．16B．15C．14D．135．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A．直角都相等B．全等三角形的对应角相等C．在Rt△ABC中，30°角所对的边是斜边的一半D．在△ABC中，a、b、c为三角形三边的长，若a2=(b+c)(b―c)，则△ABC是直角三角形6．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果AD＝1，BC＝6，那么CE等于（ ）A．5B．4C．3D．27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为（ ）A ．1cmB ．43cmC ．53cmD ．2cm8．《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为x 尺，根据题意，可列方程为（ ）A ．x 2+42=102B ．(10―x)2+42=102C ．(10―x)2+42=x 2D ．x 2+42=(10―x)29．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于 12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC=60°；③点D 在AB 的中垂线上；④S △DAC ：S △ABC =1：3.A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，在△ABC 中，AB =2，∠B =60°，∠A =45°，点D 为BC 上一点，点P 、Q 分别是点D 关于AB 、AC 的对称点，则PQ 的最小值是（ ）A．6B．8C．4D．2二、填空题11．在三角形ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则AC的长为 .12．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 ．13．小明同学将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件是 ．14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC= °．15．如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M，P是直线MN上一动点，点H 为BC中点．若BC=5，△ABC的面积是30，则PB+PH的最小值为 ．16．如图，等边△ABC中，BF是AC边上中线，点D为BF上一动点，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，则∠CFE的大小是 ．三、解答题17．如图，AB⊥BC于点B，AD⊥DC于点D，BC=DC．求证：∠1=∠2．18．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AC=5，BC=9，AD=4，求AB的长．19．如图，△ABC中，CA=CB，D是AB的中点，∠B=42°，求∠ACD的度数．20．如图所示，若MP和NQ 分别垂直平分AB和AC．（1）若△APQ的周长为12，求BC的长；（2）∠BAC=105°，求∠PAQ 的度数．21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D在AC边上，BD＝AB．（1）求△ABC的面积；（2）求AD的长．22．（1）如图1，点D、E分别是等边△ABC边AC、AB上的点，连接BD、CE，若AE=CD，求证：BD=CE （2）如图2，在（1）问的条件下，点H在BA的延长线上，连接CH交BD延长线于点F，．若BF=BC，求证：EH=EC．23．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=16，D是AC上的一点，CD=3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接AP．（1）当t=3秒时，求AP的长度；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；（3）过点D作DE⊥AP于点E，连接PD，在点P的运动过程中，当PD平分∠APC时，直接写出t的值．答案解析部分1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】C4．【答案】C5．【答案】C6．【答案】B7．【答案】B8．【答案】D9．【答案】D10．【答案】A11．【答案】2612．【答案】同位角相等，两直线平行13．【答案】∠A=60°（答案不唯一）14．【答案】3015．【答案】1216．【答案】90°17．【答案】证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC∴∠B=∠D=90°又∵在Rt△ABC和Rt△ADC中AC=AC BC=DC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)．∴∠1=∠2．18．【答案】21319．【答案】48°20．【答案】（1）12；（2）30°．21．【答案】（1）解：过点A作AM⊥BC于点M，如图所示：∵AB ＝AC ，AM ⊥BC ，∴M 是BC 的中点，∵AB ＝5，BC ＝6，∴BM ＝CM ＝3，∴AM ＝AB 2―BM 2=52―32＝4，∴△ABC 的面积＝12BC•AM ＝12×6×4＝12；（2）解：过点B 作BN ⊥AC 于点N ，如图所示：∵BD ＝AB ，∴AN ＝DN ＝12AD ，∵△ABC 的面积＝12AC•BN ＝12×5•BN ＝12；∴BN ＝245，AN ＝AB 2―BN 2=75∴AD ＝2AN ＝145．22．【答案】（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC ，∠A=∠ABC=∠BCA.∴在△AEC 和△CDB 中AE =CD ∠EAC =∠DCB AC =CB∴△AEC ≌△CDB （SAS ）∴BD=CE.（2）证明：如图：由（1）△AEC≌△CDB，∴∠ACE=∠CBD.∴60°－∠ACE=60°－∠CBD，即∠ABD=∠ECB.∵BC=CF，∴∠BCF=∠BFC，又∵∠BCF=∠ECB+∠ECH，∠BFC=∠ABD+∠H，∴∠ECH=∠H，∴EH=EC.23．【答案】（1）241（2）当△ABP为等腰三角形时，t的值为45、16、5；（3）当t的值为5或11时，PD平分∠APC．。
浙教版八年级数学上册第二章知识点+注意点+经典例题
八年级上册第二章《特殊三角形》2.1图形的轴对称[轴对称图形]1.如果一个图形沿某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.2.有的轴对称图形的对称轴不止一条,如圆就有无数条对称轴.3.折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.[轴对称]有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点,叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称.ﻭ［图形轴对称的性质］①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称.[轴对称与轴对称图形的区别][线段的垂直平分线]（1)经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.（2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来,与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．2。
2等腰三角形+2。
3等腰三角形性质定理＋2。
4等腰三角形判定定理［等腰三角形]★1. 有两条边相等的三角形是等腰三角形。
★2。
在等腰三角形中,相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边.两腰所夹的角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角.[等腰三角形的性质]★性质1:等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）★性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）.特别的:(1)等腰三角形是轴对称图形。
(2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.[等腰三角形的判定定理］★如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边").特别的:（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形. (2)有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形.（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．(4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形.[等边三角形］三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形.[等边三角形的性质]★等边三角形的三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60°[等边三角形的判定方法]★(1）三条边都相等的三角形是等边三角形；★(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；★(３)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.２。
(汇总)浙教版八年级上册数学第2章 特殊三角形含答案
浙教版八年级上册数学第2章特殊三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、给出下列命题：①在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5；②三角形的三边a、b、c满足a2+c2=b2，则∠C=90°；③△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC是直角三角形；④△ABC中，若 a：b：c=1：2：，则这个三角形是直角三角形.其中，正确命题的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个2、下列三个长度的线段能组成直角三角形的是（）A.3 2， 4 2， 5 2B.0.3，0.4，0.5C. ，，D.，，3、如图，下列图形中，轴对称图形的个数是（）A.1B.2C.3D.44、如图，在R△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，E为AC上一点，且AE ＝，AD平分∠BAC交BC于D.若P是AD上的动点，则PC+PE的最小值等于（）A. B. C.4 D.5、下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A. B. C. D.6、等腰三角形的底角为15，腰长a为，则此等腰三角形的底长为（）A. B. C. D. a7、如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（）A.4B.8C.2D.48、一艘轮船位于灯塔中P的南偏东方向的M处它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东的N处，则N处与灯塔P的距离为（）A.40海里B.60海里C.70海里D.80海里9、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数为（）A.72°B.100°C.108°D.120°10、如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔.如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反射)，那么该球最后将落入的球袋是（）A.1 号袋B.2 号袋C.3 号袋D.4 号袋11、如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结、则线段的最大值是（）A. B.3 C. D.12、如图，在△ABC中，AC=4，BC=2，点D是边AB上一点，CD将△ABC分成△ACD和△BCD，若△ACD是以AC为底的等腰三角形，且△BCD与△BAC相似，则CD的长为（）A. B.2 C.4 ﹣4 D.13、如图所示，CD是线段AB的对称轴，与线段AB交于D，则下列结论中正确的有（）①AD＝BD；②AC＝BC；③∠A＝∠B；④∠ACD＝∠BCD；⑤∠ADC＝∠BDC＝90°．A.2个B.3个C.4个D.5个14、满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( )A.b²=c²-a²B.a：b：c=3：4：5C.∠C=∠A-∠BD.∠A：∠B：∠C=3：4：515、已知等腰三角形的一个底角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（）A.40°B.100°C.40°或100°D.50°或70°二、填空题(共10题，共计30分)16、半径为5的圆中有两条弦长分别为6，8的平行弦，这两条弦之间的距离是________．17、如图，已知圆柱底面周长是4dm，圆柱的高为3dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为________ dm．18、如图，正方形的四个顶点分别在扇形的半径，和上，且点是线段的中点，若的长为，则长为________．19、在中，平分交边于平分交边于若则边的长为________．20、为了丰富居民的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校，所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB 于点B，已知AB=25 km，CA=15 km，DB=10 km，则图书室E应该建在距点A________km处，才能使它到两所学校的距离相等。
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3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB
于E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3.
(1)求DE的长；
(2)求△ADB的面积．
4.如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，
且AB＝8 cm，BC＝10 cm，求EC的长．
6.如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC于D,E、F、G分别
是AC、AB、BC的中点。 求来自：四边形OEFG是等腰梯形。7.如图所示，BD、CE是三角形ABC的两条高，M、N分别是
BC、DE的中点 求证：MN⊥DE
8.过矩形ABCD对对角线AC的中点O作EF⊥AC分别交AB、
DC于E、F，点G为AE的中点，若∠AOG＝30度.
考查类型三命题与逆命题
解题思路：①角平分线性质定理与逆定理
②线段垂直平分线性质定理与逆定理
12.
13.
14. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，
AC=5，BC边的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E。
求△ABE的周长。
15. 如图所示，在△ABC中，∠A=90°，BD是∠ABC的平
a²+b²=c²；②一个直角三角形斜边上有高，则可以利用等面
积法，即等面积计算，两直角边的积等于斜边与斜边上的
高的积求解。③普通三角形的三边关系同时适用于直角
三角形。
1.如图，在锐角△ABC中，高AD＝12，边AC＝13，BC＝14，
求AB的长．
2.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，沿AD折叠，使点B落
求证：ED⊥AC．
18.已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD.求证：AD＝BC
19.已知，如图，AC、BD相交于O，AC＝BD，∠C＝∠D＝90°.
求证：OC＝OD.
20.如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，
且过A，B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D，E，请
你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程.
数学辅导教案
时 间：年级：八年级课时数：２
学员姓名：辅导科目：数学学科教师：
授课内容
等腰三角形和直角三角形的性质与判定
逆定理的运用、勾股定理
教学目标
学会利用本章所学知识证明三角形问题
等腰三角形性质与判定
＝
＝
直角三角形的性质与判定
考查类型一直角三角形的三边关系（勾股定理）
解题思路：①勾股定理：a、b为直角边，c为斜边，则
5.一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米，
那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？
考查类型二直角三角形斜边上的中线的应用.
解题思路：①直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
②直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半.
分线，DE是BC的垂直平分线，则∠C是多少．
考查类型四直角三角形全等的判定
解题思路：①普通三角形的全等判定同时适用于直角
三角形全等判定；②有一条直角边与斜边相等的两个
直角三角形全等（HL）
16.已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．
求证：（1）AB＝CD；（2）AD∥BC．
17.已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．
求证：3OG=DC
9.如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90o，点M、N分别是
BD、AC的中点。MN、AC的位置关系如何？证明你的猜想。
10.已知：如，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．
求证：BD=¼AB．
11.如下图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA,若PC=4，求PD的长。
21. 如图，已知AB＝AC，AE＝AF，AE⊥EC，AF⊥BF，垂足分
别是点E、F.求证：∠1＝∠2.
考查类型五画图找点问题
解题思路：利用角平分线和中垂线逆定理，
到两点距离相等是连接两点做中垂线
到两直线距离相等是延长两直线后做夹角的
角平分线。
如图，已知在两条公路OA，OB的附近有C，D两个超市，现准备在两条公路的交叉路口附近安装一个监控摄像头，要求摄像头P的位置到两个超市的距离相等，且到两条公路的距离也相等，请你找出摄像头P的位置。