特殊三角形复习学案

特殊三角形复习课标要求（1）了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。

探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。

探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。

（2）了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。

（3）探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。

课标分析从知识与技能、数学思考、问题解决、情感与态度等四个方面阐述（1）、知识与技能掌握基本的证明方法和基本的作图等技能；掌握基本的推理技能。

(2)、数学思考在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中，进一步发展空间观念；经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。

体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力。

能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式（3）、问题解决尝试从不同角度寻求解决问题的方法并能有效地解决问题；在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论。

经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。

（4）、情感与态度感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心。

在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。

教学目标：1、知道等腰三角形的轴对称性及对称轴；2、掌握等腰三角形和等边三角形的有关性质和判定，能运用这些性质及判定进行有关计算和证明。

3、掌握直角三角形的性质和判定，能运用这些性质及判定进行有关计算和证明。

4、掌握勾股定理及其逆定理，进一步理解数形之间的联系。

教学重点：等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质和判定，勾股定理。

教学难点：灵活运用等腰三角形、直角三角形的性质和判定，进行有关计算和证明。

教学过程【自主练习】自主完成课件“自主尝试”环节。

【知识回顾】1．等腰三角形：(1)性质：相等，相等，底边上的高线、中线、顶角的角平分线“三线合一”；(2)判定：有两边相等、两角相等或两线合一的三角形是等腰三角形．2．等边三角形：(1)性质：相等，三内角都等于；(2)判定：三边相等、三内角相等或有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．3．直角三角形：在△ABC中，∠C＝90°.(1)性质：边与边的关系：(勾股定理)a2＋b2＝；(2)角与角的关系：∠A＋∠B＝；(3)边与角的关系：若∠A＝30°，则a＝c，b＝ c；若a＝c，则∠A＝30°；若∠A＝45°，则a＝b＝c；若a＝c，则∠A＝45°；斜边上的中线m＝c＝R.其中R为三角形外接圆的半径．(4)判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形；如果三角的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．【基础自测】1．(2011·)如果一个等腰三角形的两边长分别是5 cm 和6 cm ，那么此三角形的周长是( )A ．15 cmB ．16 cmC ．17 cmD ．16 cm 或17 cm2．(2011·)下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是( )A ．等腰三角形两底角相等B ．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合C ．等腰三角形是中心对称图形D ．等腰三角形是轴对称图形3．(2011·)如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝45°， F是高AD 和BE 的交点，CD ＝4，则线段DF 的长度为( )A ．2B ．4C ．3D ．44．如图，在ABC △中，13AB AC ==，10BC =，点D 为BC 的中点，DE DE AB ⊥，垂足为点E ，则DE 等于（ ） A ．1013 B ．1513 C ．6013 D ．75135．如图，在边长为4的等边三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高，点E 、F 是AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．43B ．33C ．23D ．3题型分类 深度剖析题型一 等腰三角形有关边角的讨论 【例 1】 (1)方程x 2－9x ＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为( )A ．12B ．12或15C ．15D ．不能确定(2)如果等腰三角形的一个内角是80°，那么顶角是________度．探究提高 在等腰三角形中，如果没有明确底边和腰，某一边可以是底， EB 4题图也可以是腰．同样，某一角可以是底角也可以是顶角，必须仔细分类讨论．变式训练1 (1)(2011·株洲)如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC.①求∠ECD的度数；②若CE＝5，求BC长．(2)(2011·)等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为___________________．题型二等腰三角形的性质【例 2】如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，且AE＝BF，试判断△DEF的形状．变式训练2 已知：如图，D是等腰△ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF.当D点在什么位置时，DE＝DF？并加以证明．题型三等边三角形【例 3】(1)已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的度数．(2)(2010·大兴安岭)如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC.其中正确结论的个数( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式训练3 如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F.(1)求证：AD＝CE；(2)求∠DFC的度数．题型四直角三角形、勾股定理【例 4】(1)如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上，且l1、l2之间的距离为2，l2、l3之间的距离为3，则AC的长是( ) A．2B．2 C．4 D．7(2)如图，在钝角三角形ABC中，BC＝9，AB＝17，AC＝10，AD⊥BC，交BC的延长线于D，求AD 的长．变式训练4 (1)如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5和11，则b的面积为( )A．4 B．6 C．16D．55(2)(2011·鸡西)已知三角形相邻两边长分别为20 cm和 30 cm，第三边上的高为10 cm，则此三角形的面积为__________cm2.三角形的高可能在形外在△ABC中，高AD和高BE相交于H，且BH＝AC，求∠ABC的度数易出错的等腰三角形问题已知△ABC是等腰三角形，由A所引BC边上的高恰好等于BC边长的一半，试求∠BAC的度数．总结提醒1．对于等腰三角形问题，当给出的条件(如边、角情况)不明时，一般要分情况逐一考察，否则，容易出现错解或漏解的错误．2．当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角为直角时，腰上的高与另一腰重合；当顶角为钝角时，腰上的高在三角形外．这是在解与等腰三角形腰上的高有关的问题时，应考虑的几个方面.方法与技巧1. 掌握分类的思想和方法，可深入理解，有效记忆，便于应用．例如：从三角形三边长的比较，可把三角形分为不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形又分为等边三角形和其它等腰三角形；而从最大内角的大小出发，又可以把三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．由于两种分类的标准不同，所以一个具体的三角形，在两种分类中，必各属于其中的一类．如等腰直角三角形，在第一种分类中，属于其它等腰三角形；在第二种分类中，属于直角三角形．2. 在一个三角形中“等边对等角，等角对等边”，当所要求证的两边、两角位于同一个三角形中，利用等腰三角形来论证它们的相等关系是常用的方法．3. 等腰三角形“三线合一”的性质，运用广泛而又灵活，在于三线中只要有任两线重合，则可判定三角形等腰，即第三线也重合．4. 证明等边三角形的方法一般有两种：一是直接论证三边或三角相等；二是先证明是等腰三角形，再证明其中一角为60°.5. 在直角三角形中斜边上中线等于斜边的一半，同时这条中线将直角三角形分成了两个等腰三角形，这一特征在解题中时有运用；在直角三角形中，含锐角30°、45°这两类是较为特殊的，它们的边、角有一些特殊的数量关系，应该熟记在心．失误与防范1．在解有关等腰三角形的问题时，有一种习惯上的认识，总认为腰大于底，这是造成错解的原因．实际上底也可以大于腰，此时也能构成三角形．2．有关等腰三角形的问题，若条件中没有明确底和腰时，一般应从某一边是底还是腰这两个方面进行讨论，还要特别注意构成三角形的条件；同样，在底角没有被指定的等腰三角形中，应就某角是顶角还是底角进行讨论．我们要细心谨慎，注意运用分类讨论的方法，将问题考虑全面，不能想当然．3．在已知三角形三边的前提下，判断这个三角形是否为直角三角形，首先要确定三条边中的最大边，再根据勾股定理的逆定理来判定．在解题时，往往受思维定式的影响，误认为如果是直角三角形，则c就是斜边，从而造成误解．当堂测试考点一：等腰三角形性质的运用1、（2012•襄阳）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长考点二：线段垂直平分线3、（2012•毕节地区）如图．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（）A．23 B．2 C．43 D．44．（2012•）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（）A．3 B．2 C．3 D．1考点三：等边三角形的判定与性质5．（2012•）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）求线段BD的长．考点四：角的平分线6、（2012•）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF= ．7．（2012•）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DC=2，则D到AB边的距离是．考点五：勾股定理8、（2012•黔西南州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB的周长为．9.（2012•新疆）如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S 1=258π，S 2=2π，则S 3是 ．课下作业1．（2012•）如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、AC 于点E 、O ，连接CE ，则CE 的长为（ ）A ．3B ．3.5C ．2.5D ．2.82．（2012•）如图，在平面直角坐标系中，点P 坐标为（-2，3），以点O 为圆心，以OP 的长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A ，则点A 的横坐标介于（ ）A ．-4和-3之间B ．3和4之间C ．-5和-4之间D ．4和5之间3．（2012•）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ）A ．16B ．18C ．20D ．16或204．（2012•）已知实数x ，y 满足|x-4|+8y -=0，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）C ．16D ．以上答案均不对5．（2012•）如图在直角△ABC 中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE 是AB 边的垂直平分线，垂足为D ，交边BC 于点E ，连接AE ，则△ACE 的周长为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．136．（2012•黔东南州）如图，矩形ABCD 中，AB=3，AD=1，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于M ，则点M 的坐标为（ ）A ．（2，0）B ．（51-，0）C ．（101-，0）D ．（5，0）7．（2012•铜仁地区）如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若BM+CN=9，则线段MN 的长为（ ）A．6B．7C．8D．9 8．（2012•）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20 B．12 C．14 D．13 9．（2012•）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD= ．10．（2012•黄冈）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为．。