高中数学 第二章 平面向量 2-3-2、3平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算课件 新人教A版必修4
了变化，该向量的坐标变化吗？ 提示 一个向量平移后，该向量的坐标不变，因为向量坐
标是终点坐标与始点坐标的差.
名 师 点 拨 1.点的坐标与向量的坐标的区别和联系 (1)区别： ①意义： 点的坐标反映点的位置，它由点的位置决定；向量的坐标 反映的是向量的大小和方向，与位置无关．
②表示形式． → → 如点 A(x，y)，向量 a＝OA＝(x，y)．当平面向量OA平行移 → → → → 动到O1A1时，向量不变，即O1A1＝OA＝(x，y)，但O1A1的起点 O1 和终点 A1 的坐标都发生了变化．
1 3 ∴b1＝|b|cos120° ＝3×－2＝－2，
3 3 b2＝|b|sin120° ＝3× 2 ＝2 3. ∴a＝(2 2，2
3 3 2)，b＝－2，2 3.
误区警示
公式a1＝|a|cosθ，a2＝|a|sinθ中的θ是指a的方向
相对于x轴正方向的夹角，此点不容忽视.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
一
向量的坐标表示
在直角坐标系xOy中，向量a，b如图所示，分别
【例1】
求它们的坐标．
பைடு நூலகம்
【解】 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，由图知|a|＝4，|b|＝ 3. 2 则a1＝|a|cos45° ＝4× ＝2 2， 2 2 a2＝|a|sin45° ＝4× ＝2 2. 2 向量b相对于x轴正方向的夹角为120° ，
第二章
平面向量
§2.3
平面向量的基本定理及坐标表示
2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2．3.3 平面向量的坐标运算
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学 习 目 标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示． 2．掌握两个向量的和、差及向量数乘的坐标运算法则.
误区警示
在书写向量的坐标时，注意与点的坐标的区别
与联系，向量a＝(x，y)中间用等号连接，而一个点的坐标 A(x，y)，中间没有等号；相等的向量的坐标是相同的，而它 们的起点，终点的坐标可以不同．
变式训练2 如图所示，在△ABC中，A(7,8)，B(3,5)， C(4,3)．M，N是AB，AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交 → 于点F，求DF.
变式训练1 如图所示，在正方形ABCD中，O为中心，且 → → → → OA＝(－1，－1)，试求OB，OC，OD的坐标．
→ 解 ∵OA＝(－1，－1)，∴A(－1，－1)． 由正方形的对称性得B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)， → → → ∴OB＝(1，－1)，OC＝(1,1)，OD＝(－1,1).
(2)联系： ①向量 a 的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的 具体位置没有关系，只与其相对位置有关系． ②把坐标原点作为表示向量 a 的有向线段的始点，这时向 量 a 的坐标就由表示向量 a 的有向线段的终点唯一确定，即终 点的坐标就是向量 a 的坐标．
2．相等向量坐标之间的关系 由向量的坐标定义知， 两向量相等等价于它们的坐标相等， 若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＝b⇔x1＝x2 且 y1＝y2. 3．平面向量坐标的线性运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量 数乘的运算法则进行． (2) 若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐 标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
3．平面向量的坐标运算 已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a＋b＝________，a－b＝________，即两个向量和(差) 的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)． (2)λa＝________(λ∈R)，即实数与向量的积的坐标等于用 这个实数乘原来向量的相应坐标．
二
平面向量的坐标运算
【例2】
已知平面上三个点A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求
→ → → → → → → 1→ AB，AC，AB＋AC，AB－AC，2AB＋2AC. 【分析】 本题涉及向量的坐标表示，向量的加法、减
法、实数与向量的积的坐标运算，关键是正确使用运算法则．
【解】
∵A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，
课 前 热 身 1.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个________的向量，叫做把向量正交 分解．
2．平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中， 分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个 单位向量 i，j 作为基底，对于平面内的一个向量 a，由平面向 量基本定理可知，有且只有一对实数 x，y 使 a＝xi＋yj，我们把 有序数对________叫做向量 a 的坐标，记作 a＝________，其 中________叫做 a 在 x 轴上的坐标，________叫做 a 在 y 轴上 的坐标．显然，i＝________，j＝________，0＝________.
(3)若 A 点坐标为(x1，y1)，B 点坐标为(x2，y2)，O 为坐标原 → → → → → 点，则OA＝________，OB＝________，AB＝OB－OA＝(x2，y2) －(x1，y1)＝________. 即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐 标减去始点的坐标.
1.互相垂直 自 2.(x，y) (x，y) x y (1,0)
→ ∴AB＝(7－4,5－6)＝(3，－1)， → AC＝(1－4,8－6)＝(－3,2)， → → AB＋AC＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)， → → AB－AC＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)， 1 → 1→ 2AB＋2AC＝2(3，－1)＋2(－3,2)
3 9 ＝(6，－2)＋－2，1＝2，－1.
我 (0,1) (0,0) 校 3.(1)(x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) 对 (2)(λx1，λy1) (3)(x1，y1) (x2，y2) (x2－x1，y2－y1)
思考探究 1
i，j，0 的坐标分别是什么？
提示 i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)． 思考探究 2 一个向量平移后，始点坐标和终点坐标发生
高中数学 第二章 平面向量 232、3平面向量的正交分解
(2)联系： ①向量 a 的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的 具体位置没有关系，只与其相对位置有关系． ②把坐标原点作为表示向量 a 的有向线段的始点，这时向 量 a 的坐标就由表示向量 a 的有向线段的终点唯一确定，即终 点的坐标就是向量 a 的坐标．
2．相等向量坐标之间的关系 由向量的坐标定义知，两向量相等等价于它们的坐标相等， 若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＝b⇔x1＝x2 且 y1＝y2. 3．平面向量坐标的线性运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量 数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐 标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
第二章 平面向量
§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2．3.3 平面向量的坐标运算
课前预习目标
课堂互动探究
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梳理知识 夯实基础
学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示． 2．掌握两个向量的和、差及向量数乘的坐标运 把一个向量分解为两个________的向量，叫做把向量正交 分解．
解 ∵O→A＝(－1，－1)，∴A(－1，－1)． 由正方形的对称性得B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)， ∴O→B＝(1，－1)，O→C＝(1,1)，O→D＝(－1,1).
二 平面向量的坐标运算
【例2】 已知平面上三个点A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求 A→B，A→C，A→B＋A→C，A→B－A→C，2A→B＋12A→C.
【分析】 本题涉及向量的坐标表示，向量的加法、减 法、实数与向量的积的坐标运算，关键是正确使用运算法则．
高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
2.3.3 平面向量的坐标运算(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．点A (1，－3)，AB →的坐标为(3,7)，则点B 的坐标为( ) A ．(4,4) B ．(－2,4) C ．(2,10)D ．(－2，－10)【解析】 设点B 的坐标为(x ，y )，由AB →＝(3,7)＝(x ，y )－(1，－3)＝(x －1，y ＋3)，得B (4,4)．【答案】 A2．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，若表示向量4a,3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 等于( )A ．(1，－1)B ．(－1,1)C ．(－4,6)D ．(4，－6)【解析】 因为4a,3b －2a ，c 对应有向线段首尾相接，所以4a ＋3b －2a ＋c ＝0，故有c ＝－2a －3b ＝－2(1，－3)－3(－2,4)＝(4，－6)．【答案】 D3．若a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( ) A ．－12a ＋32b B ．12a －32b C ．32a －12bD ．－32a ＋12b【解析】 设c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋λ2＝－1，λ1－λ2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝12，λ2＝－32，∴c ＝12a －32b .故选B ． 【答案】 B4．已知点A (1,2)，B (2,4)，C (－3,5)．若BP →＝BA →＋mBC →，且点P 在y 轴上，则m ＝( ) A ．－2B ．15C ．－15D ．2【解析】 设P (x ，y )，由题意AP →＝mBC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－5m ，y －2＝m ，∴P (－5m ＋1，m ＋2)，又点P 在y 轴上，∴－5m ＋1＝0，m ＝15.【答案】 B5．已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝45°，设OC →＝λOA →＋(1－λ)·OB →(λ∈R )，则λ的值为( ) 【导学号：00680050】A ．15B ．13C ．25D ．23【解析】 如图所示，∵∠AOC ＝45°，∴设C (x ，－x )，则OC →＝(x ，－x )． 又∵A (－3,0)，B (0,2)，∴λOA →＋(1－λ)OB →＝(－3λ，2－2λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3λ，－x ＝2－2λ⇒λ＝25.【答案】 C 二、填空题6．已知点A (2,3)，B (－1,5)，且AC →＝13AB →，则点C 的坐标为________．【解析】 因为AC →＝13AB →，即OC →－OA →＝13(OB →－OA →)，所以OC →＝23OA →＋13OB →＝23(2,3)＋13(－1,5)＝⎝⎛⎭⎪⎫1，113.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫1，1137．已知边长为单位长度的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AB ，AD 分别落在x 轴、y 轴的正方向上，则向量2AB →＋3BC →＋AC →的坐标为________. 【导学号：70512033】【解析】 根据题意建立平面直角坐标系(如图)，则各顶点的坐标分别为A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)．∴AB →＝(1,0)，BC →＝(0,1)，AC →＝(1,1)． ∴2AB →＋3BC →＋AC →＝(2,0)＋(0,3)＋(1,1) ＝(3,4)． 【答案】 (3,4) 三、解答题8．若向量|a|＝|b|＝1，且a ＋b ＝(1,0)，求a 与b 的坐标． 【解】 设a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝1，p 2＋q 2＝1，m ＋p ＝1，n ＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝p ＝12，q ＝－32，n ＝32，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝p ＝12，q ＝32，n ＝－32.故所求向量为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，或a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.9．(1)已知平面上三个点A (4,6)，B (7,5)，C (1,8)，求AB →，AC →，AB →＋AC →，AB →－AC →，2AB →＋12AC →. (2)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)，求向量a ＋b ，a －b,3a －4b 的坐标． 【解】 (1)因为A (4,6)，B (7,5)，C (1,8)， 所以AB →＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)． AC →＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)，AB →＋AC →＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)，AB →－AC →＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)．2AB →＋12AC →＝2(3，－1)＋12(－3,2)＝(6，－2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－1. (2)a ＋b ＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)，a －b ＝(1,2)－(－3,4)＝(4，－2)， 3a －4b ＝3(1,2)－4(－3,4)＝(15，－10)．[能力提升]1．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,0)，BA →|BA →|＋BC →|BC →|＝BD →|BD →|，则四边形ABCD 的面积是( )A ．32B ． 3C ．34D ．32【解析】 BA→|BA →|为在BA →方向上的单位向量，记为e 1＝BM →，类似地，设BC →|BC →|＝e 2＝BN →，BD→|BD →|＝e 3＝BG →，所以e 1＋e 2＝e 3，可知四边形BNGM 为菱形，且|BM →|＝|BG →|＝|BN →|，所以∠MBN ＝120°，从而四边形ABCD 也为菱形，|AB →|＝|BC →|＝1，所以S ▱ABCD ＝|AB →|·|BC →|·sin∠ABC ＝32. 【答案】 D2．以原点O 及点A (23，－2)为顶点作一个等边△AOB ，求点B 的坐标及向量AB →的坐标． 【解】 因为△AOB 为等边三角形，且A (23，－2)，所以|OA →|＝|OB →|＝|AB →|＝4.因为在0～2π范围内，以Ox 为始边，OA 为终边的角为11π6，当点B 在OA 的上方时，以OB 为终边的角为π6，由三角函数的定义得：OB →＝⎝⎛⎭⎪⎫4cos π6，4sin π6＝(23，2)．所以AB →＝OB →－OA →＝(23，2)－(23，－2)＝(0,4)． 当点B 在OA 的下方时，以OB 为终边的角为3π2，由三角函数的定义得：OB →＝(0，－4)， 所以AB →＝OB →－OA →＝(0，－4)－(23，－2) ＝(－23，－2)．综上所述，点B 的坐标为(23，2)，AB →的坐标为(0,4)或点B 的坐标为(0，－4)，AB →的坐标为(－23，－2)．。
高中数学第2章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算
解 (1)O→P＝tO→A＋O→B＝(3＋t,3＋2t)， ∴P 点坐标为(3＋t,3＋2t)， 若 P 在 x 轴上，则 3＋2t＝0 得 t＝－32， 若 P 在 y 轴上，则 3＋t＝0 得 t＝－3， 若 P 在第二象限，则33＋＋t2<t>0，0， 得 t 无解，
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第三十页，共四十八页。
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解 (1)O→P＝O→A＋tO→B＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t，2＋3t)， 所以 P 点坐标为(1＋3t,2＋3t)．
若 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0，得 t＝－23； 若 P 在 y 轴上，则 1＋3t＝0，得 t＝－13； 若 P 在第二象限，则12＋＋33tt<>00，， 得－23<t<－13.
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(2)已知A→B＝(1,3)，且点 A(－2,5)，则点 B 的坐标为( )
A．(1,8)
B．(－1,8)
C．(3，－2) D．(－3,2)
解析 因为向量坐标等于终点坐标减去起点坐标，所以 B 点坐标为(－1,8)．
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(3)(教材改编 P100T2)若 a＝(2,1)，b＝(1,0)，则 3a＋2b
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∵A→P＝A→B＋λA→C， ∴xy－ －23＝ ＝31＋ ＋57λλ， ， ∴xy＝ ＝54＋ ＋57λλ，. (1)若 P 在一、三象限角平分线上，则 5＋5λ＝4＋7λ. ∴λ＝12.
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(2)若 P 在第三象限内，则54＋ ＋57λλ<<00， ， ∴λ<－1. ∴λ＝12时，点 P 在第一、三象限角平分线上；λ<－1 时， 点 P 在第三象限内．
高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
两个向量和的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的和
减法
两个向量差的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的差
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这 个实数乘原来向量的相应坐标
向量坐 标公式
一个向量的坐标等于表示此向量 的有向线段的终点的坐标减去始 点的坐标
符号表示
a+b=(x1+x2,y1+y2)
a-b=(x1-x2,y1-y2)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
分析:确定出终点的坐标,即可确定向量������������的坐标. 解:设点 A(x,y), 则 x=|OA|cos 60°=2√3,y=|OA|sin 60°=6, 即 A(2√3,6),故������������=(2√3,6).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
变式训练1
探究三
思维辨析
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
学习目标
思维脉络
1.理解平面向量的正交 分解及坐标表示的意义. 2.理解向量加法、减法、 数乘的坐标运算法则,能
熟练进行向量的坐标运
算. 3.能借助向量的坐标,用 已知向量表示其他向量.
1.平面向量的正交分解 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示 (1)基底:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个 单位向量i,j作为基底. (2)坐标:对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得 a=xi+yj,我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中 x叫做向量a在x轴上的坐标,y叫做向量a在y轴上的坐标. (3)坐标表示:a=(x,y)就叫做向量的坐标表示. (4)特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.2 平面向量的正交分解及坐
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示1．借助于力的分解理解平面向量的正交分解及坐标表示的意义．2．了解向量与坐标的关系，会求给定向量的坐标．1．平面向量的正交分解把一个平面向量分解为两个互相______的向量，叫做平面向量的正交分解．【做一做1】 如图所示，在矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，下列是正交分解的是( )A.AB →＝OB →－OA →B.BD →＝AD →－AB →C.AD →＝AB →＋BD →D.AB →＝AC →＋CB →2．平面向量的坐标表示(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向______的两个______向量i ，j 作为______．(2)坐标：对于平面内的一个向量a ，__________对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，我们把有序实数对______叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做向量a 在____轴上的坐标，y 叫做向量a 在____轴上的坐标．(3)坐标表示：a ＝(x ，y )就叫做向量的坐标表示．(4)特殊向量的坐标：i ＝______，j ＝______，0＝______.【做一做2】 已知基向量i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，m ＝4i －j ，则m 的坐标是( )A ．(4,1)B ．(－4,1)C ．(4，－1)D ．(－4，－1)3．向量与坐标的关系设OA →＝x i ＋y j ，则向量OA →的坐标______就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的______就是向量OA →的坐标(x ，y )．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是________的．向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量终点的坐标才相同．【做一做3】 平面直角坐标系中，任意向量m 的坐标有________个．答案：1．垂直【做一做1】 B 由于AD →⊥AB →，则BD →＝AD →－AB →是正交分解．2．(1)相同 单位 基底 (2)有且只有一 (x ，y )x y (4)(1,0) (0,1) (0,0)【做一做2】 C3．(x ，y ) 坐标 一一对应【做一做3】 1 由于向量和有序实数对是一一对应的，则任意向量m 的坐标仅有1个．1．向量的表示法剖析：向量的表示方法有三种：①字母表示法：用一个小写的英文字母来表示，例如向量a ；也可以用上面加箭头的两个大写英文字母来表示，例如向量AB →，该向量的起点是A ，终点是B .②几何表示法：用有向线段来表示．③代数表示法：用坐标表示．2．点的坐标与向量坐标的联系与区别剖析：(1)表示形式不同，向量a ＝(x ，y )中间用等号连接，而点的坐标A (x ，y )中间没有等号．(2)意义不同，点A (x ，y )的坐标(x ，y )表示点A 在平面直角坐标系中的位置，a ＝(x ，y )的坐标(x ，y )既表示向量的大小，也表示向量的方向，另外(x ，y )既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x ，y )或向量a ＝(x ，y )．(3)联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同．题型一 求向量的坐标【例1】 如图所示，已知点M (1,2)，N (5,4)，试求MN →的坐标．分析：用基底i 和j 表示MN →＝x i ＋y j ，则(x ，y )是MN →的坐标．反思：向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系．特别地，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则MN →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．题型二 由向量共线求参数值【例2】 设a ，b 是两个不共线的非零向量，若向量k a ＋b 与2a ＋k b 共线，求实数k 的值．反思：解答由向量共线求参数值的题目，应由向量共线定理：λa ＋μb ＝0(a ，b 不共线)，则λ＝0，μ＝0列出方程组，再解方程组得参数值．题型三 平面向量的正交分解及坐标表示【例3】 已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA |＝43，∠xOA ＝60°，求向量OA →的坐标．反思：求向量的坐标时，将向量的起点平移到坐标原点后，利用三角知识求出终点坐标即可．答案：【例1】 解：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，则MN →＝4i＋2j ，所以MN →的坐标是(4,2)．【例2】 解：∵向量k a ＋b 与2a ＋k b 共线，∴存在实数λ使k a ＋b ＝λ(2a ＋k b )，即(k －2λ)a ＝(kλ－1)b .∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －2λ＝0，kλ－1＝0k2＝2. ∴k ＝± 2.【例3】 解：设点A (x ，y )，则x ＝|OA →|cos 60°＝23，y ＝|OA →|sin 60°＝6，即A (23，6)，∴OA →＝(23，6)．1．已知a ＝(3,2x －1)，b ＝(y ＋1，x )，且a ＝b ，则xy ＝________.2．如图所示，向量MN u u u u r 的坐标是________．3．在直角坐标系中，|a |＝4，|b |＝3，a ，b 如图所示，求它们的坐标．答案：1．2 ∵a ＝b ，∴21,31,x x y -=⎧⎨=+⎩解得x ＝1，y ＝2，则xy ＝1×2＝2.2．(2，－3)3．解：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a 1＝|a |cos 45°＝22a 2＝|a |sin 45°＝22b 向量相对于x 轴正方向转角为120°.∴b 1＝|b |cos 120°＝32-，b 2＝|b |sin 120°＝332. ∴a ＝(2222，b ＝33322⎛- ⎝.。
2-3-2、3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算
第二章
2.2 2.3.2 、2.3.3
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自主预习 阅读教材P94－98回答下列问题． 1．平面向量的正交分解
垂直 把一个平面向量分解为两个互相________的向量，叫做
平面向量的正交分解．
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第二章
2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2．3.3 平面向量的坐标运算
第二章
平面向量
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课前自主预习
课堂典例讲练
课后强化作业
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课前自主预习
如图所示，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，下列是 正交分解的是( )
→ → → A.AB＝OB－OA → → → C.AD＝AB＋BD
→ → → B.BD＝AD－AB → → → D.AB＝AC＋CB
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2.2 2.3.2 、2.3.3
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3．向量与坐标的关系 → → (x，y) 设 OA ＝xi＋yi，则向量 OA 的坐标_______就是终点A的坐 → 坐标 标；反过来，终点A的_______就是向量 OA 的坐标(x，y)．因 此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序 实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是
[精品课件]高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算课件
【解析】(1)2a+3b=2(-1，2)+3(2，1)
=(-2，4)+(6，3)=(4，7)．
(2)a-3b=(-1，2)-3(2，1)=(-1，2)-(6，3)
=(-7，-1)．
3 1 a 1 b 1 1，2 1 (2，1) ( 1，1) ( 2，1) ( 7，2).
(2)坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得 a=_x_i_+y_j_，则有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标. (3)坐标表示：a=(x，y). (4)特殊向量的坐标：i=__(1_，__0_) _，j=__(0_，__1_) _，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算 设向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，λ ∈R，则有下表：
所以
AB (
3，1)，AD ( 1， 3 ).
22
22
答案：( 3，1)
22
( 1， 3) 22
【补偿训练】在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且 |a|=2，|b|=3，|c|=4，分别计算出它们的坐标.
【解题指南】题目中给出了向量a，b，c的模以及与坐标轴的夹角， 要求向量的坐标，先将向量正交分解，把它们分解为横、纵坐标的形 式，然后写出其相应的坐标.
2
22
4
类型三 由相等向量求坐标
【典例】1.(2015·江苏高考)已知向量a=(2，1)，b=(1，-2)，若
ma+nb=(9，-8)(m，n∈R)，则m-n的值为________.
2.已知A(2，4)、B(-4，6)，若AC 3 AB，BD 4 BA，则 CD的坐标为____.
2
3
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算导4_1
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.知识点一 平面向量的正交分解思考 如果向量a 与b 的夹角是90°，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b .互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？答案 互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底. 梳理 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 知识点二 平面向量的坐标表示思考1 如图，向量i ，j 是两个互相垂直的单位向量，向量a 与i 的夹角是30°，且|a |＝4，以向量i ，j 为基底，如何表示向量a?答案 a ＝23i ＋2j .思考2 在平面直角坐标系内，给定点A 的坐标为A (1，1)，则A 点位置确定了吗？给定向量a 的坐标为a ＝(1，1)，则向量a 的位置确定了吗？答案 对于A 点，若给定坐标为A (1，1)，则A 点位置确定.对于向量a ，给定a 的坐标为a ＝(1，1)，此时给出了a 的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a 的位置还与其起点有关.思考3 设向量BC →＝(1，1)，O 为坐标原点，若将向量BC →平移到OA →，则OA →的坐标是多少？A 点坐标是多少？答案 向量OA →的坐标为OA →＝(1，1)，A 点坐标为A (1，1). 梳理 (1)平面向量的坐标①在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y ).②在平面直角坐标平面中，i ＝(1，0)，j ＝(0，1)，0＝(0，0). (2)点的坐标与向量坐标的区别和联系知识点三 平面向量的坐标运算思考 设i 、j 是分别与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，根据向量的线性运算性质，向量a ＋b ，a －b ，λa (λ∈R )如何分别用基底i 、j 表示？答案 a ＋b ＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ，a －b ＝(x 1－x 2)i ＋(y 1－y 2)j ，λa ＝λx 1i ＋λy 1j .梳理 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.类型一 平面向量的坐标表示例1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形.(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标； (3)求点B 的坐标.解 (1)作AM ⊥x 轴于点M ， 则OM ＝OA ·cos 45° ＝4×22＝22， AM ＝OA ·sin 45°＝4×22＝2 2. ∴A (22，22)，故a ＝(22，22). ∵∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°， ∴∠COy ＝30°. 又∵OC ＝AB ＝3，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332，∴AB →＝OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332， 即b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332.(2)BA →＝－AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－332.(3)OB →＝OA →＋AB →＝(22，22)＋(－32，332)＝⎝⎛⎭⎪⎫22－32，22＋332.反思与感悟 在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标.一般利用不等式思想求解，即把问题条件转化为关于参数的不等式(组)，再解不等式(组)就可以求得参数的取值范围.跟踪训练1 已知边长为2的正三角形ABC ，顶点A 在坐标原点，AB 边在x 轴上，点C 在第一象限，D 为AC 的中点，分别求向量AB →，AC →，BC →，BD →的坐标.解 如图，正三角形ABC 的边长为2，则顶点A (0，0)，B (2，0)，C (2cos 60°，2sin 60°)，∴C (1，3)，D (12，32)，∴AB →＝(2，0)，AC →＝(1，3)， BC →＝(1－2，3－0)＝(－1，3)， BD →＝(12－2，32－0)＝(－32，32). 类型二 平面向量的坐标运算例2 已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4).设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 的值； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标.解 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8). (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝a ＝(5，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点， ∵CM →＝OM →－OC →＝3c ，∴OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)， ∴M (0，20).又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， ∴N (9，2)，∴MN →＝(9，－18). 反思与感悟 向量坐标运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行. 跟踪训练2 已知a ＝(－1，2)，b ＝(2，1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .解 (1)2a ＋3b ＝2(－1，2)＋3(2，1) ＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7). (2)a －3b ＝(－1，2)－3(2，1) ＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1). (3)12a －13b ＝12(－1，2)－13(2，1) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－76，23. 类型三 平面向量坐标运算的应用例3 已知点A (2，3)，B (5，4)，C (7，10).若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，试求λ为何值时： (1)点P 在第一、三象限的角平分线上； (2)点P 在第三象限内. 解 设点P 的坐标为(x ，y )，则AP →＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)， AB →＋λAC →＝(5，4)－(2，3)＋λ[(7，10)－(2，3)]＝(3，1)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，1＋7λ). ∵AP →＝AB →＋λAC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ.(1)若点P 在一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ， ∴λ＝12.(2)若点P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<0，4＋7λ<0，∴λ<－1.∴当λ＝12时，点P 在第一、三象限角平分线上；当λ<－1时，点P 在第三象限内.反思与感悟 (1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用. (2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.跟踪训练3 已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________. 答案 －3解析 ∵a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，∴m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3.1.设平面向量a ＝(3，5)，b ＝(－2，1)，则a －2b 等于( ) A.(7，3) B.(7，7) C.(1，7) D.(1，3) 答案 A2.已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－4，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－12 C.(－8，1) D.(8，1)答案 A解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(－8，1)， ∴12AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，12.3.已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12 C.(3，2) D.(1，3)答案 A解析 设D 点坐标为(x ，y )，则BC →＝(4，3)， AD →＝(x ，y －2)，由BC →＝2AD →，得⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x ，3＝2(y －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝72，∴D (2，72).4.已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →等于( ) A.(－7，－4) B.(7，4) C.(－1，4) D.(1，4)答案 A解析 AB →＝(3，1)，AC →＝(－4，－3)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4). 5.如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a ，b ，c 满足c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，则x ＋y ＝________.答案197解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设小方格的边长为1，则可得a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)，c ＝(3，4).∵c ＝x a ＋y b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝x ＋2y ，4＝2x －3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝177，y ＝27.因此x ＋y ＝197.1.向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据.向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化.2.要区分向量终点的坐标与向量的坐标.由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，此时AB →＝(x B －x A ，y B －y A ).3.向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.课时作业一、选择题1.已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(1，0)，那么向量3b －a 的坐标是( ) A.(－4，2) B.(－4，－2) C.(4，2) D.(4，－2)答案 D解析 3b －a ＝3(1，0)－(－1，2)＝(3，0)－(－1，2)＝(3＋1，0－2)＝(4，－2)，故选D. 2.已知a －12b ＝(1，2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( )A.(－2，－2)B.(2，2)C.(－2，2)D.(2，－2)答案 D3.已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，3)，c ＝(3，4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( ) A.－2，1 B.1，－2 C.2，－1 D.－1，2答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.4.在▱ABCD 中，已知AD →＝(3，7)，AB →＝(－2，3)，对角线AC ，BD 相交于点O ，则CO →的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5 答案 B解析 CO →＝－12AC →＝－12(AB →＋AD →)＝－12×(－2，3)－12×(3，7)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5，故选B. 5.如果将OA →＝(32，12)绕原点O 逆时针方向旋转120°得到OB →，则OB →的坐标是( )A.(－12，32)B.(32，－12) C.(－1，3) D.(－32，12) 答案 D解析 因为OA →＝(32，12)所在直线的倾斜角为30°，绕原点O 逆时针方向旋转120°得到OB →所在直线的倾斜角为150°，所以A ，B 两点关于y 轴对称，由此可知B 点坐标为(－32，12)，故OB →的坐标是(－32，12)，故选D.6.已知向量a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c 等于( ) A.(－23，－12) B.(23，12) C.(7，0) D.(－7，0)答案 A解析 ∵a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )， 且3a －2b ＋c ＝0，∴c ＝2b －3a ＝2(－4，－3)－3(5，2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12).7.已知M (－2，7)，N (10，－2)，点P 是线段MN 上的点，且PN →＝－2PM →，则P 点的坐标为( ) A.(－14，16) B.(22，－11) C.(6，1) D.(2，4) 答案 D 二、填空题8.已知e 1＝(1，2)，e 2＝(－2，3)，a ＝(－1，2)，则以e 1，e 2为基底，将a 分解成λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R )的形式为____________. 答案 a ＝17e 1＋47e 2解析 设a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R )， 则(－1，2)＝λ1(1，2)＋λ2(－2，3)＝(λ1－2λ2，2λ1＋3λ2)，由⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ1－2λ2，2＝2λ1＋3λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝17，λ2＝47.所以a ＝17e 1＋47e 2.9.已知平面上三点A (2，－4)，B (0，6)，C (－8，10)，则12AC →－14BC →的坐标是________.答案 (－3，6)10.已知A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________. 答案112解析 ∵AC →＝(－2，0)－(－1，－2)＝(－1，2)， BD →＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)，又∵2BD →＝AC →，即(2x －4，2y －6)＝(－1，2)，∴由⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝－1，2y －6＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112.11.已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，则MN →的坐标为________. 答案 (9，－18)解析 CM →＝3(1，8)＝(3，24)， CN →＝2(6，3)＝(12，6)，MN →＝CN →－CM →＝(12，6)－(3，24)＝(9，－18).12.已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，|OA →|＝6，∠xOA ＝150°，向量OA →的坐标为________. 答案 (－33，3)13.已知A (－3，0)，B (0，2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4.设OC →＝λOA →＋OB →(λ∈R )，则λ＝________.答案 23解析 过C 作CE ⊥x 轴于点E ，由∠AOC ＝π4知， |OE |＝|CE |＝2，所以OC →＝OE →＋OB →＝λOA →＋OB →，即OE →＝λOA →，所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝23. 三、解答题14.已知a ＝(2，1)，b ＝(－1，3)，c ＝(1，2)，求p ＝2a ＋3b ＋c ，并用基底a 、b 表示p . 解 p ＝2a ＋3b ＋c＝2(2，1)＋3(－1，3)＋(1，2)＝(4，2)＋(－3，9)＋(1，2)＝(2，13).设p ＝x a ＋y b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝2，x ＋3y ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝197，y ＝247.∴p ＝197a ＋247b . 四、探究与拓展15.已知点A (－1，2)，B (2，8)及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C 、D 和CD →的坐标. 解 设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由题意可得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3，6)，DA →＝(－1－x 2，2－y 2)，BA →＝(－3，－6).∵AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →， ∴(x 1＋1，y 1－2)＝13(3，6)＝(1，2)，(－1－x 2，2－y 2)＝－13(－3，－6)＝(1，2)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧ －1－x 2＝1，2－y 2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－2，y 2＝0.∴C ，D 的坐标分别为(0，4)和(－2，0)， ∴CD →＝(－2，－4).。
高中数学第二章平面向量2.3.2、3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算aa高一数学
这个实数乘原来向量的相应坐标．
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(3)若点 A 坐标为(x1，y1)，点 B 坐标为(x2，y2)，O 为坐标原 点，则O→A＝ (x1，y1) ，O→B＝ (x2，y2) ，A→B＝O→B－O→A＝(x2，y2) －(x1，y1)＝ (x2－x1，y2－y1)． 即一个向量的坐标等于表示此 向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．
方法 4(利用中点的向量表达式)如图④，在▱ABCD 中，设 AC 的中点为 M，则点 M 也是 BD 的中点．
∵O→M＝12(O→A＋O→C)＝12(O→B＋O→D)， ∴O→A＋O→C＝O→B＋O→D， ∴O→D＝O→A＋O→C－O→B＝(－2,1)＋(3,4)－(－1,3)＝(2,2)． ∴顶点 D 的坐标为(2,2)．
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[答一答] 2．与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？
提示：与 x 轴平行的向量的纵坐标为 0，即 a＝(x,0)；与 y 轴平行的向量的横坐标为 0，即 b＝(0，y)．
3．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求线段 AB 的长度？ 提示：由于A→B＝(x2－x1，y2－y1)且线段 AB 的长度等于向量 A→B的模，所以线段 AB＝|A→B|＝ x2－x12＋y2－y12.
5．如图，已知边长为 12 的等边△ABC 中，点 D 是边 AC 上靠近点 A 的一个三等分点，求点 D 和B→D的坐标．
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解：依题意可得 A(0,6 3)，B(－6,0)，C(6,0)． 设点 D 的坐标为(x，y)． 则C→D＝(x－6，y)，C→A＝(－6,6 3)．因为C→D＝23C→A， 所以(x－6，y)＝23(－6,6 3)＝(－4,4 3)． 所以yx＝－46＝3－，4， 解得yx＝＝42，3. 所以点 D 的坐标为(2,4 3)． 所以B→D＝(8,4 3)．
高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2_2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示、平面向
．平面向量的正交分解及坐标表示．平面向量的坐标运算学习目标.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．知识点一平面向量的正交分解思考如果向量与的夹角是°，则称向量与垂直，记作⊥.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？答案互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底．梳理把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．知识点二平面向量的坐标表示思考如图，向量，是两个互相垂直的单位向量，向量与的夹角是°，且＝，以向量，为基底，如何表示向量?答案＝＋.思考在平面直角坐标系内，给定点的坐标为()，则点位置确定了吗？给定向量的坐标为＝()，则向量的位置确定了吗？答案对于点，若给定坐标为()，则点位置确定．对于向量，给定的坐标为＝()，此时给出了的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此的位置不确定．思考设向量＝()，为坐标原点，若将向量平移到，则的坐标是多少？点坐标是多少？答案向量的坐标为＝()，点坐标为()．梳理()平面向量的坐标①在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，作为基底．对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，，使得＝＋.平面内的任一向量都可由，唯一确定，我们把有序数对(，)叫做向量的坐标，记作＝(，)．②在直角坐标平面中，＝()，＝()，＝()．()点的坐标与向量坐标的区别和联系思考 设，是分别与轴、轴同向的两个单位向量，若设＝(，)，＝(，)，则＝＋，＝＋，根据向量的线性运算性质，向量＋，－，λ(λ∈)如何分别用基底，表示？ 答案 ＋＝(＋)＋(＋)， －＝(－)＋(－)，λ＝λ＋λ. 梳理 设＝(，)，＝(，)，段的终点的坐标减去始点的坐标．．相等向量的坐标相等．( √ )．在平面直角坐标系内，若(，)，(，)，则向量＝(－，－)．( × ) 提示 ＝(－，－)．．与轴，轴方向相同的两个单位向量分别为：＝()，＝()．( √ )类型一 平面向量的坐标表示例 如图，在平面直角坐标系中，＝，＝，∠＝°，∠＝°，＝，＝.四边形为平行四边形．()求向量，的坐标；()求向量的坐标；()求点的坐标．考点平向向量的正交分解及坐标表示题点利用平面向量的正交分解求向量的坐标解()作⊥轴于点，则＝·°＝×＝，＝·°＝×＝.∴(，)，故＝(，)．∵∠＝°－°＝°，∠＝°，∴∠＝°.又∵＝＝，∴，∴＝＝，即＝.()＝－＝.()＝＋＝(，)＋＝.反思与感悟在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标．跟踪训练在平面直角坐标系中，向量，，的方向如图所示，且＝，＝，＝，分别计算出它们的坐标．考点平向向量的正交分解及坐标表示题点利用平面向量的正交分解求向量的坐标解设＝(，)，＝(，)，＝(，)，则＝°＝×＝.＝°＝×＝，＝°＝×＝－，＝°＝×＝，＝(－°)＝×＝，＝(－°)＝×＝－.因此＝(，)，＝，＝(，－)．类型二平面向量的坐标运算例已知＝(－)，＝()，求：()＋；()－；()－.考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算解()＋＝(－)＋()＝(－)＋()＝()．()－＝(－)－()＝(－)－()＝(－，－)．()－＝(－)－()＝－＝.反思与感悟向量坐标运算的方法()若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．()若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．()向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．跟踪训练已知点()，()，向量＝(－，－)，则向量等于( )．(－，－) ．()．(－) ．()考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案解析设(，)，则＝(，－)＝(－，－)，即＝－，＝－，故(－，－)，则＝(－，－)，故选.类型三平面向量坐标运算的应用例已知点()，()，()．若＝＋λ(λ∈)，试求λ为何值时：()点在第一、三象限的角平分线上；()点在第三象限内．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数解设点的坐标为(，)，则＝(，)－()＝(－，－)，＋λ＝()－()＋λ[()－()]＝()＋λ()＝(＋λ，＋λ)．∵＝＋λ，且与不共线，∴则()若点在第一、三象限角平分线上，则＋λ＝＋λ，∴λ＝.()若点在第三象限内，则∴λ<－.反思与感悟()待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．()坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．跟踪训练已知平面上三点的坐标分别为(－)，(－)，()，求点的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标解当平行四边形为时，设(，)，由＝()，＝(－－)，且＝，得()．当平行四边形为时，设(，)，由＝()，＝(－，－)，且＝，得()．当平行四边形为时，设(，)，由＝()，＝(－－－)，且＝，得(－)，故点坐标为()或()或(－).．已知＝()，＝(，－)，则－等于( )．(－) ．(，－)．(－，－) ．()考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案解析－＝()－(，－)＝＝(－)．．已知向量＝(，－)，＝(－，－)，则向量的坐标是( )．(－) ．()考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案解析∵＝－＝(－)，∴＝.．已知四边形的三个顶点()，(－，－)，()，且＝，则顶点的坐标为( )．() ．()考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标答案解析设点坐标为(，)，则＝()，＝(，－)，由＝，得∴，∴.．已知向量＝(，－)，＝()，＝()，若＝＋，则＋＝.考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数答案解析由于＝＋，即()＝(，－)＋()＝(＋，－＋)，所以＋＝且－＋＝，解得＝，＝，所以＋＝.．已知点()，(－)，且＝，则点的坐标为．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标答案()解析设(，)，则(－，－)＝(－)＝(－)，∴＝，＝.．向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据．向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化．．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，若(，)，(，)，则＝(－，－)．．向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.一、选择题．已知()，()，则的坐标是( )．(，－) ．(－) ．(－) ．(，－)考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案解析＝()－()＝(－)．．已知－＝()，＋＝(，－)，则等于( )．(－，－) ．()．(－) ．(，－)考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案．若向量＝()，＝(－)，＝()，则等于( )．－．＋．－＋．＋考点平面向量的坐标运算的应用题点用坐标形式下的基底表示向量答案解析设＝＋，则解得∴＝－.．已知两点()，(，－)，则与向量同向的单位向量是( )考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案解析因为与同向的单位向量为，＝(，－)－()＝(，－)，＝＝，所以＝.．如果将＝绕原点逆时针方向旋转°得到，则的坐标是( )．(－，)考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案解析因为＝所在直线的倾斜角为°，绕原点逆时针方向旋转°得到所在直线的倾斜角为°，所以，两点关于轴对称，由此可知点坐标为，故的坐标是，故选.．已知(－)，(，－)，点是线段上的点，且＝－，则点的坐标为( )．(－) ．(，－)．() ．()考点平面向量坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标．若α，β是一组基底，向量γ＝α＋β(，∈)，则称(，)为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量在基底＝(，－)，＝()下的坐标为(－)，则在另一组基底＝(－)，＝()下的坐标为( ) ．() ．(，－)．(－) ．()考点平面向量坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案解析∵在基底，下的坐标为(－)，∴＝－＋＝－(，－)＋()＝()．令＝＋＝(－＋，＋)，∴解得∴在基底，下的坐标为()．二、填空题．已知平面上三点(，－)，()，(－)，则－的坐标是．考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案(－)．已知(－)，(，－)，(－，－)，＝，＝，则的坐标为．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案(，－)解析＝()＝()，＝()＝()，＝－＝()－()＝(，－)．.向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ(λ，μ∈)，则的值为．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数答案解析以向量和的交点为原点建立平面直角坐标系，则＝(－)，＝()，＝(－，－)，根据＝λ＋μ得(－，－)＝λ(－)＋μ()，有－λ＋μ＝－，λ＋μ＝－，解得λ＝－且μ＝－，．已知()，()，且＝(α，β)，α，β∈，则α＋β＝. 考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数答案或－解析因为＝(－)＝＝(α，β)，所以α＝－且β＝，∵α，β∈，所以α＝－，β＝或－，所以α＋β＝或－.三、解答题．已知点(－)，()及＝，＝－，求点，和的坐标．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标解设点(，)，(，)，由题意可得＝(＋，－)，＝()，＝(－－－)，＝(－，－)．∵＝，＝－，∴(＋，－)＝()＝()，(－－－)＝－(－，－)＝()，则有和解得和∴，的坐标分别为()和(－)，∴＝(－，－)．．已知＝()，＝(－)，＝()，求＝＋＋，并用基底，表示. 考点平面向量的坐标运算的应用题点用坐标形式下的基底表示向量解＝＋＋＝()＋(－)＋()＝()＋(－)＋()＝()．设＝＋＝()＋(－)＝(－，＋)，与不共线，则有解得∴＝＋.四、探究与拓展．已知点(，－)与(－)，点在直线上，且＝，求点的坐标．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标解设点坐标为(，)，＝.当在线段上时，＝.∴(－，＋)＝(－－－)，∴解得∴点坐标为.当在线段延长线时，＝－.∴(－，＋)＝－(－－－)，∴解得综上所述，点的坐标为或(－)．．已知点()，()，()，及＝＋.()为何值时，点在轴上？点在轴上？点在第二象限？()四边形能为平行四边形吗？若能，求值；若不能，说明理由．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数解()＝＋＝()＋()＝(＋＋)，若点在轴上，则＋＝，∴＝－.若点在轴上，则＋＝，∴＝－，若点在第二象限，则∴－<<－.()＝()，＝－＝(－－)．若四边形为平行四边形，则＝，∴该方程组无解．故四边形不能成为平行四边形．。