直线与抛物线相交弦长问题公开课
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说课课题：直线与抛物线相交问题的研究
高三一轮复习之直线与抛物线（第一课时）——直线与抛物线相交问题的研究说课稿各位专家，各位老师：大家好！我说课的课题是高三一轮复习课《直线与抛物线》第一课时，我想通过这节课同时表达一种教学理念——关注学生发展，构建有效课堂。
1、说教材解析几何是中学数学的核心内容之一，根据《2011年浙江省普通高考考试说明（文科）》所列数学考试内容的要求，能解决直线与抛物线的位置关系等问题。
鉴于它的重要地位，直线与抛物线这块内容的复习我分成三个课时来完成：第一课时研究直线与抛物线相交问题时是用设直线方程，求交点坐标或者是用韦达定理的方法来解决；第二课时研究直线与抛物线相交问题时用先设点的坐标（不设直线方程），然后利用三点共线斜率相等，代换的方法来解决；第三课时主要研究直线与抛物线问题中所产生的最值问题。
本节课内容是《直线与抛物线》第一课时,着重是教会学生用坐标法研究直线与抛物线位置关系中的直线与抛物线相交问题，应用方程联立，代换，韦达定理的方法，最终能够自主解决重庆的关于直线与抛物线的高考题。
在教学过程中，让学生体会方程思想、等价转化、数形结合等数学思想方法，优化学生的解题思维，提高学生解题能力。
2、说目标学情分析：在此之前,学生已复习了直线的基本知识，椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单的几何性质及直线与圆的位置关系,对直线和抛物线的位置关系有了一定的了解，但缺乏综合性问题的“实战”经验。
根据以上探讨，确定本节课的目标及达重难点如下：知识与技能目标：①会用焦点弦公式求过抛物线焦点的弦长。
②会用弦长公式解有关弦长的简单问题。
③能够归纳直线与抛物线的一般解题步骤，通过练习，提高运算能力。
过程与方法目标：①经历从三个熟悉的题型到高考题的蜕变，体会具体方程与一般方程在解法上的区别与联系，从具体到一般的数学本质。
②通过求解的过程，体会转化与化归，分类讨论，数形结合的数学思想方法。
情感态度价值观目标：通过对斜率是否存在的分类讨论，培养学生形成扎实严谨的科学作风 重点：通过例题及练习，归纳出直线与抛物线的一般解题步骤难点：体会解析几何中设而不求，整体代换的解题方法关键：从变式到高考题的转化3、 说教法本节课采用让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法。
直线与抛物线公开课
直线与抛物线的位置关系
喷泉
直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系的判断方法
1、根据几何图形的直接判断
形
2、直线与圆 锥曲线的公 共点的个数
Ax+By+c=0
解的个数 f(x,y)=0(二次方程)
数
探究新知
直线和抛物线的位置关系有哪几种? (1)有一个公共点 (2)两个公共交点 (3)没有公共点 F x y
x 0 由 2 求得交点（0， 0） y 2x
x=0.
y
故直线 x=0与抛物线只有一个交点. (2)若直线斜率存在,设为k,则过P点的 直线方程是y=kx+1
y kx 1 消y得k 2 x 2 2(k - 1)x 1 0 2 y 2x
1 Ⅰ当k 0时，x , y 1 2
解 :由题意, 设直线l的方程为y 1 k x 2
1
1 将y =1代入y 4 x, 得x . 4 1 这时直线l与抛物线只有一个公共点 ,1 4
2
1 当k = 0时,由方程 1 得y =1
探究新知
2 当k 0时，方程 1的 16 2k 2 k 1
练习：
例1过点P（4,1）且与抛物线 y 4 x 只 有一 1 ,2）呢？ 引申2：若改为P（-2,1）呢？
练习：
引申2：过点P（-2,1）且与抛物线 y 4 x 只有一个公共点的直线有几条
2
x2 y2 变式一：把抛物线换成椭圆 1 结果如何？ (2条) 4 3
y
x 2 2 x m 0,
o
x
4 4m 0, 得m 1;
2 x y 1 0 解方程组 得P 1,1 2 y x
喷泉
直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系的判断方法
1、根据几何图形的直接判断
形
2、直线与圆 锥曲线的公 共点的个数
Ax+By+c=0
解的个数 f(x,y)=0(二次方程)
数
探究新知
直线和抛物线的位置关系有哪几种? (1)有一个公共点 (2)两个公共交点 (3)没有公共点 F x y
x 0 由 2 求得交点（0， 0） y 2x
x=0.
y
故直线 x=0与抛物线只有一个交点. (2)若直线斜率存在,设为k,则过P点的 直线方程是y=kx+1
y kx 1 消y得k 2 x 2 2(k - 1)x 1 0 2 y 2x
1 Ⅰ当k 0时，x , y 1 2
解 :由题意, 设直线l的方程为y 1 k x 2
1
1 将y =1代入y 4 x, 得x . 4 1 这时直线l与抛物线只有一个公共点 ,1 4
2
1 当k = 0时,由方程 1 得y =1
探究新知
2 当k 0时，方程 1的 16 2k 2 k 1
练习：
例1过点P（4,1）且与抛物线 y 4 x 只 有一 1 ,2）呢？ 引申2：若改为P（-2,1）呢？
练习：
引申2：过点P（-2,1）且与抛物线 y 4 x 只有一个公共点的直线有几条
2
x2 y2 变式一：把抛物线换成椭圆 1 结果如何？ (2条) 4 3
y
x 2 2 x m 0,
o
x
4 4m 0, 得m 1;
2 x y 1 0 解方程组 得P 1,1 2 y x
探究直线与抛物线的交点问题教学设计
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页8 共页2 第
页8 共页3 第
小组讨论提纲：（1）本题的关键词；直线如何画？会两个问题的区别如果不画图容易丢解，再
页8 共页4 第
个向上平移6??kxyn单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象的取有公共点时，Gn 值范围．课题探究直线与抛物线的交点问题例题中对函数图象的分析示意图1.形数方程组的解的问题函数图象的
板书交点问题设计解题策略：明确动直线与抛物线；1. 动手操作，确定临界时刻——形；用数解形，求出临界时刻——数
页8 共页7 第
页8 共页8 第。
抛物线(公开课)
过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交
于点D.若|AF|＝8，则以下结论正确的是
√A.p＝4
√B. D→F＝F→A
√C.|BD|＝2|BF|
D.|BF|＝4
如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点 E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p.因为直线l 的斜率为 3，所以其倾斜角为60°. 因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°， 由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|， 则△AEF为等边三角形， 所以∠EFP＝∠AEF＝60°， 则∠PEF＝30°， 所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4， 故A正确；
线准线的垂线，垂足为D，
则|PF|＝|PD|， ①
|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.
当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小. 由最小值为 41，得 20＋p2＝41，解得 p＝42.
当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P，M，F 三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小.
A.y1y2＝－1
√B.|AB|＝25 16
√C.PB平分∠ABQ √D.延长AO交直线x＝－14 于点C，则C，B，Q三点共线
设抛物线的焦点为F， 则 F14，0. 因为 P4116，1， 且l1∥x轴， 故A(1,1)， 故直线 AF：y＝11－－014x－14＝43x－13.
由y＝43x－13， y2＝x
又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，
所以9＋
p 2
＝12，解得p＝6.
(2)已知点M(20,40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的一 点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于_4_2_或__2_2__.
直线和抛物线的关系PPT教学课件
k2x2 2(k 1)x 1 0
当 k=0时，x= 1 ,y=1. 2
故直线 y=1 与抛物线只有一个交点 .
当k≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则
Δ 4(k 1)2 4k2 0,k 1 .
此时直线方程为
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
x
2
1.
2
1
综上所述，所求直线方程是 x=0 或 y=1 或 y x 1.
2
点评：本题用了分类讨论的方法.若先用数
形结合，找出符合条件的直线的条数，就不会
造成漏解。
例3 在抛物线 y x2 上求一点，使它到直线
2x-y-4=0的距离最小.
解：设P(x,y)为抛物线 y x2 上任意一点，
则P到直线2x-y-4=0的距离
d | 2x y 4 | | 2x x2 4 | | (x 1)2 3 |
例2 求过定点P（0，1）且与抛物线 y2 2x
只有一个公共点的直线的方程.
解: (1)若直线斜率不存在,则过点P的直线方程是 x=0.
{ 由{
x y
0 2 2x
得
x 0 y0
故直线 x=0与抛物线只有一个交点.
(2)若直线斜率存在,设为k,则过P点的直线方程是
y=kx+1,
ykx 1 由方程组 { y2 2x 消去 y 得
检查预习：
4、氯气的实验室制法： (1)反应原理： (2)制气类型： (3)发生装置： (4)收集方法： (5)除杂装置： (6)尾气吸收：
知知识网网络络：
CH4
光照
C2H4
C6H6 Fe
CHCl3 ClCH2CH2Cl
Cl
HCl
直线与抛物线问题公开课课件
①若a＝－1，方程组恰有一解xy＝＝－－11，.
②若a≠－1，令Δ＝0，得1＋
4a＋1 a
＝0，解得a＝－
45，这时直线与曲线相切，只有一个公共点．
综上所述，a＝0或a＝－1或a＝－45.
【答案】 a＝0或a＝－1或a＝－45
探究1 (1)直线与圆锥曲线相切时只有一个公共点，但只 有一个公共点时未必相切，这主要体现在抛物线和双曲线的 情况．
答案 C 解析 先求解直线的方程，再进一步根据抛物线的定
义求解弦长．
∵F为抛物线C：y2＝3x的焦点，∴F(34，0)．
∴AB的方程为y－0＝tan30°(x－34)，即y＝
33x－
3 4.
y2＝3x，
联立 y＝
33x－
43，
得13x2－72x＋136＝0.
∴x1＋x2＝－－172＝221，即xA＋xB＝221. 3
2 2(x－1)，代入抛物线的方程消去y，得2x2－5x＋2＝0，求
得x＝2或12，所以x2＝12，故|BF|＝32.
授人以渔
题型一 直线与抛物线的位置关系
例1 已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一个公共 点，求实数a的值．
【解析】 联立方程yy＝2＝aa＋x. 1x－1， (1)当a＝0时，此方程组恰有一组解xy＝＝10，. (2)当a≠0，消去x，得a＋a 1y2－y－1＝0.
的一条焦点弦，|AB|＝4，则 AB 中点 C 的横坐标是( )
A．2
B.1
2
C.3D.5ຫໍສະໝຸດ 22答案 C
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵|AB|＝4，∴x1＋12＋x2＋12＝4，∴x1＋x2＝3. ∴C点横坐标为32，故选C.
8.10直线与抛物线课件(48张)
答案：D
题后师说
(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置 关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距 离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义 的灵活应用．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点， 若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦点在x轴正半 轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．
(2)[2023·河北唐山期末]已知点E(2，－2)和抛物线C：x2＝8y，过C的 焦点且斜率为k的直线与C交于P，Q两点．若∠PEQ＝90°，则k＝
________．
巩固训练1
(1)已知抛物线y2＝4x，过其焦点F的直线l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，
y2)两点，若x1，3，x2三个数构成等差数列，则线段|AB|的长为( )
x＝3
0
4．(易错)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，
这样的直线有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
答案：C
5．(易错)已知直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于两个不同的点A、B， 且AB的中点横坐标为2，则k的值为____2____．
关键能力·题型突破
答案：B
真题展台 1.[2022·新高考Ⅰ卷](多选)已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C： x2＝2py(p>0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则( ) A．C的准线为y＝－1 B．直线AB与C相切 C．|OP|·|OQ|>|OA|2 D．|BP|·|BQ|>|BA|2
答案：BCD
A．9
B．8
C．7
直线和抛物线的位置关系市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
所以
y12 y22
66xx21121
2得
y1 y2 x1 x2
6 y1 y2
k所以y1
y2
6 k
因为 y1 y2 1，所以k 3, 2
所以3x y 11 0即为所求。
二、抛物线旳焦点弦性质
例1.过抛物线y2=2px(p>0)旳焦点旳一条直线和
y
抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
当K ≠ 0时，该方程是一元二次方程,所以 (2k 4)2 4k 2 16(1 k )
（1）当 0，即k 1时，直线与抛物线相交
（2）当 0，即k 1时，直线与抛物线相切
（3）当 0，即k 1时，直线与抛物线相离
当 k=0 时 ， 直线方程为y=1，与抛物线交于一点
综上所述，当k<1时直线和抛物线相交且k=0时交于一点; 当k=1时，直线和抛物线相切;当k>1时直线和抛物线相离.
A
故以AB为直径旳圆与准线相切.
F
O
M1
M
X
B1
B
过抛物线y2=2px(p>0)旳焦点旳一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(6)焦点F对A、B在准线上射影旳张角为90o。
证明：如图，
1=2 3，4=5 6， 又1 3 4 5 1800，
y A1 2
A
1 4 900，即AFB 900
例2： 在抛物线 y x2 上求一点，使它到直线2x-y-
4=0旳距离最小.
解：设P(x,y)为抛物线 y x 2 上任意一点，则P到直
线2x-y-4=0旳距离
d | 2x y 4 | | 2x x2 4 | | (x 1)2 3 |
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5p
x1 x2 4
20 35-
| AB | 9, x1 x2 p 9
5 p p 9, p 4抛物线的方程y2 8x 4
（2）由p 4可得x2 5x 4 0 x1 1, x2 4.
A(1,2 2), B(4,4 2),设C(x3, y3).
1 2
设A(x1, y1)B(x2 , y2 )
y=x-
1 2
x2 3x
y2 2x
1 4
0
x1
x1 x2
x2
1 4
3
解法：联立方程，
AB (1 k 2 )[(x1 x2 )2 4x1x2 ] 设而不求，用弦长
(112 )[32 4 1] 4 公式
交抛物线于A、B两点，则线段AB的长是多少？
解：焦点为 12，0，所以直线方程为y=解 的x- 法定12 ：义用转抛化物线
设A(x1, y1)B(x2 , y2 )
y
y=x- 1 2
y2 2x
x2
1 3x 0
4 x1 x2
3
准线为x=- 1，根据抛物线定义
回顾 直线与圆、椭圆相交问题
B
O
rd
A
l
B
A2
( l )2 r2 d2 2
|A| B1k2 (x1x2)24x1x2
3-5
问题探究
例12.. 过抛物线 y2 2x的焦点作倾斜角为45o的直线 交抛物线于A、B两点，则线段AB的长是多少？
例2. 过点(0,2) 作倾斜角为 450的直线交抛物线
1 k 2 16k 2 32 8 3.k 4 3k 2 10 0
k 2 2或k 2 （5 舍去），k 2
4.(2011江西)已知过抛物线 y2 2 px( p 0)
的B(焦x2点, y，2 )斜两率点为（2其中2的x1直线x交2）抛，物且线| A于BA|(x91, y1),
4
题型二：一般弦弦长问题
例2. 过点 (0,2)作倾斜角为 450的直线交抛物线
y2 2x 于A, B 两点，则线段AB 的长是多少？
解：由条件得直线方程为 y x 2
设 A(x1, y1), B(x2, y2 )
由
y y2
x
2得x2 2x
6x
4
0
y
B
1
K
A OF
B
(x2,y2)
x
|A| Bx11 x1kx22x2(x14 6x2)24x1x2解设法而： 不联求x1立， 2p 方用A (x程弦1,y1，长)
112 3616 2 10 公式
20
小结：抛物线弦长问题
首先判断是否为焦点弦，然后选择方法 方法1：焦点弦的弦长公式（注意焦点位置）
2
AB x1 x2 1 4
B1
B
(x2,y2)
K
A1 O F
x
A (x1,y1)
x p 2
题型一：焦点弦弦长问题
例例12.过抛物线 y2 2x的焦点作倾斜角为45o的直线
交抛物线于A、B两点，则线段AB的长是多少？
解：焦点为
12 ，0 ，所以直线方程为y=x-
OC OA OB
(x3, y3) (1,2 2) (4,4 2) (4 1,4 2 2 2)
y3
x3 4
4 2
1 2
2
C在抛物线 y2 8x上， y32 8x3
（4 2 2 2）2 （8 4 1）
0或 2
解：当斜率不存在时x 0与抛物线只有一个交点，不满足条件
当斜率存在时设l : y 2 kx.Ax1, y1, Bx2, y2
y2
x2
4
16k 2
kx
y
32
x2 4kx 8 0
0.x1x1x2x248k
| AB | 8 3.
y2 2x 于A, B 两点，则线段AB 的长是多少？
学生练讲 3 15
题型一：焦点弦弦长问题
例例12.过抛物线 y2 2x的焦点作倾斜角为45o的直线
交抛物线于A、B两点，则线段AB的长是多少？
解：焦点为
12 ，0 ，所以直线方程为y=x-
1 2
由
y y2
x
|AB|= .
2. 过抛物线 x2 4 y的焦点作直线交抛物线于A、B
两点，若线段AB的中点的纵坐标为3，则|AB|= .
3. 过点(0,2) 作直线l 交抛物线 x2 4 y 于两点， 若| AB | 8 3，求直线 l 的方程
20 25-28
3. 过点(0,2) 作直线l 交抛物线 x2 4 y 于两点， 若| AB | 8 3，求直线 l 的方程
1 2得4x2
2x
12x
1
0
x
3
4 2
2
x
3 2
y 1
2或x
3 2
2 y 1
2 2
解法：直接求出交点， 用两点距离公式
| AB | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 8 8 4
题型一：焦点弦弦长问题
例例21.过抛物线 y2 2x的焦点作倾斜角为45o的直线
课堂反思 你是否完成了本节课任务？
1.能区分焦点弦与一般弦问题 2.会通过抛物线的定义解决焦点弦问题 3.能熟练应用弦长公式求一般弦长问题
（1）求该抛物线的方程。
（2）O为坐标原点，C 为抛物线上一点，
若 OC OA OB ，求 的值
解(1)抛物线的焦点为（p ，0）,故直线AB的方程是y 2 2(x p )
2
2
由y 2
2(x
p) 2
4x2
5 px
p2
0
y2 2 px
25 p2 16 p2 9 p2 0
AB x1 x2 p
方法2：利用圆锥曲线弦长公式
AB (1 k 2 ) (x1 x2 )2 4x1x2
方法3：求出交点，用两点距离公式
AB (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
练习
1. 过抛物线 y2 4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) 两点，若x1 x2 6 ，则