3-1 群表示理论
x ′ = ∑ Dij ( R)x j i
i = 1, 2, 3
旋转操作为固定坐标系，逆时针旋转物体。 旋转操作为固定坐标系，逆时针旋转物体。即，从正 x 轴转向 。（同样的 也适用于固定物体顺时针旋转坐标轴） 同样的， 正 y 轴。（同样的，也适用于固定物体顺时针旋转坐标轴）
x1 x′ x1 1 ˆ ˆ C 2 , z x 2 = x ′ = D ( C 2 ,z ) x 2 P′ = RP 2 x3 x′ x3 3 − x1 − 1 x1 + 0 x2 + 0 x3 − 1 0 0 x1 = − x2 = 0 x1 − 1 x2 + 0 x3 = 0 − 1 0 x2 x3 0 x1 + 0 x2 + x3 0 0 1 x3 a31x1 + a32x2 + a33x3
p z
ˆ z
●
P
在笛卡尔坐标系中， 在笛卡尔坐标系中，选择一个空 间点 P 的坐标（x, y, z） 作为表示的 的坐标（ ） 基，与选择一组正交归一的单位矢 量 ( 1, 0, 0 )，( 0, 1, 0 )，( 0, 0, 1 ) 作 ， ， 为表示的基是可以不加区别的。 为表示的基是可以不加区别的。
ˆ E
ˆ C2 (z)
ˆ σ XZ
ˆ σ YZ
1 0 0 −1 0 0 1 0 0 −1 0 0 0 1 0 0 −1 0 0 −1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
x 3 ] = [− 1 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3
a11x1 + a21x2 + a31x3
0 x1 − 1 x2 + 0 x3
= [x 1
x2
−1 0 0 x 3 ] 0 − 1 0 0 1 0
3 j
ˆ P′ = RP
x ′ = ∑ D ji ( R)x j i
1 0 0 D(E ) = 0 1 0 0 0 1
cos θ D(C3 ) = sin θ 0
− sin θ cos θ 0
0 −1 2 − 3 2 0 0 = 3 2 −1 2 0 1 0 0 1
群表示理论是通过对称性研究化学问题的核心内容。 群表示理论是通过对称性研究化学问题的核心内容。
3.1.1 对称操作作用于位置矢量
群表示与表示的基直接相关。 群表示与表示的基直接相关。欲 求某点群的表示必须首先确定对称操 作作用的对象，即群表示的基。 作作用的对象，即群表示的基。
O
y x
ˆ z
●
P
p z
由此我们可以看出， 由此我们可以看出，基（化学对象）、对称操作和群表示三者 化学对象）、对称操作和群表示三者 ）、 之间的关系。 之间的关系。即，群表示确定了基（化学对象）在对称操作作用下 群表示确定了基（化学对象） 的（变换）效果。 变换）效果。 由此我们可以看出，分子对称性是研究分子的物理、 由此我们可以看出，分子对称性是研究分子的物理、化学性质 的一个有力工具，通过分子的对称性来研究分子的物理、化学性质 的一个有力工具，通过分子的对称性来研究分子的物理、 的最好的办法就是去研究它们的矩阵表示。 的最好的办法就是去研究它们的矩阵表示。
引进对称操作的矩阵表示， 引进对称操作的矩阵表示，就是用矩阵代数来代替对称操作的 几何学，从而赋予对称性以精准的数学含义，给对称性提供了一个 几何学，从而赋予对称性以精准的数学含义， 更方便的数学处理工具。研究分子的对称性与分子的物理、 更方便的数学处理工具。研究分子的对称性与分子的物理、化学性 质之间的关系，最好的办法就是去研究它们的矩阵表示。 质之间的关系，最好的办法就是去研究它们的矩阵表示。 一个分子点群的矩阵表示可以有许多，群的矩阵表示与表示的 一个分子点群的矩阵表示可以有许多， 基直接相关。 基直接相关。
−1 2 3 2 0 − 1 0 0 = − 3 2 − 1 2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 12 3 2 0 = 3 2 −1 2 0 0 0 1
p z
ˆ z
●
P
ˆ ˆ ˆ p = xx + y y + zz ˆ ˆ ˆ = x 1 e1 + x 2 e 2 + x 3 e 3
（e1, e2, e3）是一组正交归一的单位 矢量。 矢量。
O
y x
ˆ y
ˆ x
笛卡尔坐标系中的点 P( x, y, z ) 与位置矢量 p( x, y, z )
对应于空间每一点（ 对应于空间每一点（x1, x2, x3）， 都有一个位置矢量， 都有一个位置矢量，我们可以认为一个 点和确定该点的位置矢量是通用的。 点和确定该点的位置矢量是通用的。
x1 x′ x1 1 ˆ ˆ C 2 , z x 2 = x ′ = D ( C 2 ,z ) x 2 P′ = RP 2 x3 x′ x3 3 − x1 − 1 x1 + 0 x2 + 0 x3 − 1 0 0 x1 = − x2 = 0 x1 − 1 x2 + 0 x3 = 0 − 1 0 x2 x3 0 x1 + 0 x2 + x3 0 0 1 x3
x′ = ∑Dji(R)xj i = 1, 2, 3 i
j 3
例 2 C3v 群的矩阵表示
若选择笛卡尔坐标系中的一组正 交归一的矢量作为表示的基， 交归一的矢量作为表示的基，则 C3v 群的六个对称操作对应的一个三维矩 阵表示如下： 阵表示如下：
2
y
′ σ v′′
1
′ σ v′
x
3
′ σv
C3v 群对称操作位置关系俯视图
x ′ = ∑ Dij ( R)x j i
j
3
i = 1, 2, 3
ˆ C2 ,z [x 3 ] = [x ′ 1
x′ 2
x′ ] = [x 1 3
x2
x 3 ] D ( C 2 ,z ) 0 x1 + 0 x2 + 1 x3 ]
x 3 ] = [− 1 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3
对称操作的下标表明了对称元素在坐标系中的位置关系。 对称操作的下标表明了对称元素在坐标系中的位置关系。
旋转操作为固定坐标系，逆时针旋转物体。 旋转操作为固定坐标系，逆时针旋转物体。即，从正 x 轴转向 。（同样的 也适用于固定物体顺时针旋转坐标轴） 同样的， 正 y 轴。（同样的，也适用于固定物体顺时针旋转坐标轴）
0 x1 − 1 x2 + 0 x3
= [x 1
x2
−1 0 0 x 3 ] 0 − 1 0 0 1 0
ˆ P′ = RP
ˆ C2 ,z [x 1 = [− x 1
x2 − x2
x 3 ] = [x ′ 1
x′ 2
x′ ] = [x 1 3
x2
x 3 ] D ( C 2 ,z ) 0 x1 + 0 x2 + 1 x3 ]
群表示的基
从群论的角度看，基就是对称操作（或线性变换）的对象， 从群论的角度看，基就是对称操作（或线性变换）的对象，其 选择有一定任意性。可以是一组点的坐标、一组矢量、 选择有一定任意性。可以是一组点的坐标、一组矢量、一组函数如 原子轨道、分子轨道、轨道的角度部分、杂化轨道等。 原子轨道、分子轨道、轨道的角度部分、杂化轨道等。 从化学的角度看，基就是各种化学的和物理的对象。分子的对 从化学的角度看，基就是各种化学的和物理的对象。 称性与分子的物理、化学性质之间的关系， 称性与分子的物理、化学性质之间的关系，必然体现在分子在对称 操作下的变换效果上，而这个在对称操作作用下的（变换） 操作下的变换效果上，而这个在对称操作作用下的（变换）效果就 是其矩阵表示。 是其矩阵表示。
旋转操作为固定坐标系，逆时针旋转物体。 旋转操作为固定坐标系，逆时针旋转物体。即，从正 x 轴转向 。（同样的 也适用于固定物体顺时针旋转坐标轴） 同样的， 正 y 轴。（同样的，也适用于固定物体顺时针旋转坐标轴）
x1 x′ x1 1 ˆ ˆ C 2 , z x 2 = x ′ = D ( C 2 ,z ) x 2 P′ = RP 2 x3 x′ x3 3 − x1 − 1 x1 + 0 x2 + 0 x3 − 1 0 0 x1 = − x2 = 0 x1 − 1 x2 + 0 x3 = 0 − 1 0 x2 x3 0 x1 + 0 x2 + x3 0 0 1 x3
O
y x
ˆ y
ˆ x
笛卡尔坐标系中的点 P( x, y, z ) 与位置矢量 p( x, y, z )
例 1 C2v 群的矩阵表示
选择笛卡尔坐标系中的一组正交归一的矢量作为表示的基，C2v 选择笛卡尔坐标系中的一组正交归一的矢量作为表示的基， 分子）的四个对称操作的矩阵表示如下： 群（H2O 分子）的四个对称操作的矩阵表示如下：
群表示理论
目录
3 群表示理论（1） 群表示理论（ ）
3.1 群的表示
3.1.1 对称操作作用于位置矢量 3.1.2 函数作为表示的基
3.2 等价表示与特征标 3.3 可约与不可约表示
3.1 群的表示
第三章 群的表示理
' '' ''' {T}={ T ( E ) T (C3 ) T (C32 ) T ( V ) T ( V ) T ( V ) }
因为 C3v T 所以{T}是 C3v 的忠实表示.
Ⅶ.非忠实表示（The unfaithful representation） 若 G T ，即有 1． : G T 2． ( Ai B j ) ( Ai ) ( B j ) 即多对一
0 0 1 0 T (E) 0 1
1 0 0 ' T ( V ) 0 1 0 0 0 1
因为由下图可知，仅对
' V 的矩阵.
e1 反射才变号，而对 e2
和
e3 都不变号，故有
' V 的矩阵.
e2
'' V
''' V
e1
" G C3v {E C3C32 v' v v'"} C3v {E 2C3 3 v }
' '' ''' {T}={ T ( E ) T (C3 ) T (C32 ) T ( V ) T ( V ) T ( V ) } 同构，即 C3V T
这时必有 1/．映射 将 C3V 映射到 T 上，即 1-对-1 映射. 2/． ( AB) ( A) ( B) ，例如， T ( V''' ) = T (C3 V' ) = T (C3 ) T ( V' ) . 即
第二章_群表示理论
第二章 群表示理论基础§2.1 群表示【定义2.1】 （线性空间）数域K （实数域R 或复数域C ）上的线性空间V 是一个向量集合，}{x V=；该集合定义了加法和数乘两种二元运算，且集合V 在加法运算下构成交换群，满足：，唯一逆元）（）（唯一单位元，有o x x x x o x x o o x z y x z y x x y y x V z y x=+-=-+=+=+++=+++=+∈∀,)()(,, 数乘运算KV →V 满足：x x x b x a x b a ya x a y x a xb a x ab K b a=+=++=+=∈∀1)()()()(,,【定义2.2】 （线性无关和维数）线性空间V 中，任意n 个向量n x x x,,,21，其线性组合02211=+++n n x a x a x a当且仅当021====n a a a 时成立，则称此n 个向量线性无关，否则它们线性相关。
线性空间中线性无关向量的最大个数m ，称为空间V 的维数，记为dim V = m 。
【定义2.3】 （基矢）设V 是n 维线性空间，则V 中任意一组n 个线性无关的向量，称为空间V 的基矢，记为),,,(21n e e e 。
空间中任意矢量均可表示为n 个基矢的线性组合，∑=n ii i e x x。
矩阵形式：n i i i e e e e e e 0000121+++++=+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0100][,0100),,(21i n i e e e e e⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∑=n n n i ni i x x x x x x x e e e e x x 2121211][,),,,(【定义2.4】 （线性变换）线性变换A 是将V 映入V 的线性映射，满足：)()()(,)(,:,,,y A x aA y x a A V x A V V A K a V y x+=+∈→∈∈∀线性变换的矩阵形式：采用列矢量记法⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=='====∑∑∑∑∑∑∑∑n n n nn n n n i j ij j i iiij jj jj j nj j j n ii ij j j jjj j j j y y e e e x x A A A A e e e x a e e a x e x A x A a a a e e e e a e e A e y y e x x y x A 12111111212121),,,(),,,())()(),,,()(,,)(故有矩阵形式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n nn n n y y x x A A A A y x A 111111],[]][[ 若0]det[≠A ，则称线性变换A 非奇异，A 有逆变换A -1，[A -1]=[A ]-1。
第七章群论
第七章群论第七章群论§1 群的基本概念和一般理论一、群的定义和例子群是按照某种规律互相联系着的一些元素的集合，我们用G来表示这个集合，并设它含有的元素是A，B，C，E等等。
不是随便什么样的元素集合都构成群，要组成数学群必须满足下列四个条件：1.封闭性G中任何两个元素相“乘”（包括一个元素本身“平方”），其结果任然是G中的元素。
如A属于G：B属于G：则有() （7.1-1）“乘”这个术语是通用的说法，在这里它含有比初等代数里的“乘”更广泛的意义，也许用“组合”来代替更恰当一些，我们将在下面通过几个例子来阐明。
一个数学群必须首先定义一种乘法。
2.缔合性三个以上的元素相乘满足乘法的结合律。
如A B C=A ( B C )= (A B ) C(7.1-2)即在保持三个元素相乘先后次序一定的前提下，其结果与哪两个元素相乘无关。
3.单位元素G中有一个元素E，它同每一个元素相乘，都等于该元素本身，即E A=A E=A,(7.1-3)称E为单位元素或恒等元素。
4.逆元素G中每一个元素A，都有另一个元素A-1，两者相乘等于单位元素E，即A=A=E,(7.1-4)称为的逆元素。
逆元素可以是该元素本身。
下面我们举几个群的例子（2）G={所有大于0的实数}集合G包含所有大于0的实数，对普通的乘法而言，组成一个群。
满足封闭性和缔合性是显然的。
1是单位元素，任一实数m的逆元素为。
(3) G={0,±1, ±2, ±3……±n…}集合G包含0和所有正负整数，对于加法而言，组成一个群，成为整数加群。
此例中“乘”的意思是加。
1+2=3 封闭性满足1+2+3=1+(2+3)=(1+2)+3=6 缔合性满足0+3=3+0=3 0是单位元素n+(-n)=0 n有逆元素-n 213（4）G={E、I} ( C i )这个群（称为C i）里面的二个元素是“对称操作”，E是不动，I为对原点的倒反。
第二章 群表示理论
群的封闭线性空间：只有当函数空间（线性空 间）在算符群中所有算符的作用下都不变时， 算符群才能给出群的表示。
11
问题：群的表示有多少种？ 设矩阵群D是G的表示， Dg 对应于群元g的矩 阵。有一个非奇异矩阵S，有 D g S 1D g S 。对 于所有 g G ， g 构成一个矩阵群，也是G的一 D 个表示。
定理1. 如果有限群G有一个非单位矩阵表示， 则必能通过相似变换将其变为幺正矩阵表示。 （对任一g∈G,有表示矩阵D(g),可找到一个矩 阵S，使 D g S 1D g S ，并且 D g D g 1 。）
13
D 证明：群G的一个矩阵表示， : A1 , A2 ,, Ai ,, Ag ， H A A ,H 对应于各个群元的表示矩阵。定义 G 是厄米阵（ H H ）。对于任一g∈G，一定存在 D g S 1D g S 成为D的等价表示。 非奇异矩阵S，使
对于厄米阵H ，存在一个幺正阵V使其对角化，即
V 1 HV H，H是对角化的。 V是H的特征矩阵排列构成的。 H A A V AVV AV
1 1
H
kk
A kj A
j
jk
Akj
j
2
,（k任意）
14
则H kk 0。若等于0，则A阵是奇异的，而群表示 H 矩阵是非奇异的。因此， kk 均是大于0的实数。
T 矩阵群 M A M g | g G ， A M A , M A ~ G ；
选取不同基矢组， TA有不同的矩阵群。
群表示的另一种定义：设G是群，M是一个n维方矩阵，如果 G 与M同态 ，则称M是G的一个n维表示。
群论-第二章_群表示理论_2011.12.7
j
C3v： e,c3 ,c32 ,1 , 2 , 3
c3eˆ1
1 2
eˆ1
3 2
eˆ 2
0
eˆ 3
c3eˆ 2
3 2
eˆ1
1 2
eˆ 2
0
eˆ 3
c3eˆ3 eˆ3
6
c3 M
c3
1 2
3 2
3 2
1 2
0
1 2
0
，也可写成
19
定理2.若D1和D2是群G的等价幺正表示，则有
幺正矩阵U，使得
。
证明：D1和D2等价，必存在一非奇异矩阵S， 对∀g∈G，有
D2 g S 1D1 g S 并有D2 g 1 S 1D1 g 1 S D2 g 1 S D1 g 1 S 1 D21 g 1 S D11 g 1 S 1 D2 g S D1g S 1
y
1 2
x
3 2
y eˆ1
3 2
x
1 2
y
eˆ 2
x
11
T c3 u1r
eˆ1 c31r 2
eˆ2
c31r
2
1 2
x
3 2
y 2
3 2
x
1 2
y 2
1 2
u1
r
13
一个群有多少种表示？
群论-3群的表示理论
利用基矢的正交归一条件(ei,ej来自 = δij（也可写为<ei|ej> = δij）， 可得：
Aij = <ei|Â|ej> ≡ (ei, Âej)，i,j = 1, 2, …,n
n×n阶的矩阵A ——算符Â在基{e1, e2, …,en}中的矩阵表示。
群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示
，将Hd写成
H
2 d
H
2 d
并代入前式，两边
同时左乘和右乘
1
Hd 2
，可得：
E
H
d
1 2
D'
g
D'
†
g
Hd
1 2
1
Hd 2 D'
gi g
D' †
gi g
1
Hd 2
gG
gG
H
d
1 2
D'
gi
D'
g
D'
†
g
D'
†
gi
H
d
1 2
gG
H
1 2
d
D'
gi
D'
g
D'
†
g
D'
†
gi
H
d
Dij (g) ei Dˆ g e j
群论-群的表示理论-群的线性表示
如果一个表示存在不变子空间：
设Vn是群G的表示空间，Vm是其不变子空间 {e1, e2,…,em, em+1,…,en}是Vn的一组正交归一基矢
其中前m个基矢是子空间Vm的基矢， 则当j = 1，2，…m，i = m+1，…，n时，Dij (g) = 0。
群表示理论
M
(C ' 2
)
0
1
0
0 0 1
M
(C
''
2
)
1 2
3
2
3 2
1 2
0 0001M(C32)
1 2
3 2
3 2
1 2
0
0
0
0 1
1
M
(C ''' 2
)
2
3 2
3 2
1 2
0
0
0
0 1
7
作业：写出C3v群在三维空间的表示矩阵。
例2. D3 群在以 u1r x2 y2,u2r 2xy为基矢的二
任意一个有限群都存在单位表示。
3. 如何确定群的表示（非单位表示）
例1. D3 群在三维实空间的表示。
D3 :
E,
C3
,
C32
,
C2'
,
C2''
,
C ''' 2
空间基矢 eˆ1, eˆ2, eˆ3 ，任意矢量
r xeˆ1 yeˆ2 zeˆ3
群元 R ↔ 算符T(R) ，T Rui u jM ji R
j
则M(R) 是群元R的一个表示。
4
C3作用在三维空间基矢上得到其矩阵表示。
M
(C3
)
1 2
3
2
3 2
1 2
0
0
0
0 1
C' 作用在三维空间基矢上得到其矩阵表示。 2
1 0 0
M
(C ' 2
)
0
1
0
群论-3 群的表示理论
群论-群的表示理论-群的线性表示
如果一个表示存在不变子空间：
设Vn是群G的表示空间，Vm是其不变子空间 {e1, e2,…,em, em+1,…,en}是Vn的一组正交归一基矢
其中前m个基矢是子空间Vm的基矢， 则当j = 1，2，…m，i = m+1，…，n时，Dij (g) = 0。
内积，内积空间
线性空间Vn上的任一矢量x，当选择{e1, e2, …,en}为基矢组 时，也可展开为
x = x1e1 + x2e2 + …+ xnen x1, x2,…, xn即为矢量x在基矢e1, e2, …,en上的坐标
x可以用它的坐标来表示： x = (x1, x2,…, xn)
常把(x1, x2,…, xn)写成单列矩阵，称之为 矢量x的列向量表示
且F中存在单位元1，k(lx)=(kl)x； 加法与数乘满足分配律；
那么V称为数域F上的线性空间
F中元素称为标量或数量，V中元素称为向量
当系数域F为实数域时，V称为实线性空间。当F为复数域时， V称为复线性空间。
群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示
基矢 线性空间Vn上的任意n个线性无关的矢量都可以构成Vn的一 组基矢 一般取e1, e2, …,en为空间Vn上的一组正交归一基矢
3 / 2 1/ 2
2 等价表示
群论-群的表示理论-群的线性表示
矩阵的相似变换： M' = S -1MS
等价表示：两个以相似变换联系起来的表示称为等价表示 记作D(G) ~ D'(G) 。
相似变换实际上可认为是坐标系的变换（基矢变换）
——故可认为一切等价表示都是相同的表示。
有限群表示论课程简介
“有限群表示论”课程简介课程名称有限群表示论课程代码∕课程英文名称Representation theory of finite groups任课教师任课教师职称课程类别专业必修课学时60学分 3 授课方式课堂讲授主要内容简介有限群的表示理论是重要的代数学科，发展至今已有一百多年历史，在数学的多个分支仍至自然科学的各个领域有广泛应用。
本课程旨在介绍有限群表示理论的基本概念与研究该理论的主要研究工具：有限维结合代数的结构理论和特征表理论。
分两大部分内容：第一部分占整个课程内容的三分之二，主要介绍有限群的常表示理论（即在特征数不整除群的阶数的域上的表示 , 具有完全可约性），着重介绍与群的诱导表示有关的一些经典结果，同时也探讨域的选取与群表示分解之间的关系。
第二部分占整个课程内容的三分之一，主要介绍有限群模表示的 Brauer 理论 (即在特征数整除群的阶数的域上的表示 , 一般不具备完全可约性），着重介绍 p 模系统，各种 Grothendieck 环之间映射， Brauer 特征标，块的理论及其 p 亏群。
本课程作为数学系基础数学专业第二层次的研究生必修课，设定学生已经熟悉线性代数理论、近世代数、代数基础的基本知识。
要求学生通过本课程的学习，对于有限群表示理论的一般概念、主要结果和研究方法有系统的了解，并对一些常见群的表示和特征标有直观的认识，并具有一定的解题能力。
考核方式闭卷考试教材曹锡华，时俭益编著，“有限群表示论”，高等教育出版社2009年出版（第二版增补版）。
参考书目及文献 1. C. W. Curtis, I. Reiner, “Methods of representation theory withapplications to finite groups and orders, ” , I, Wiley-Interscience,1981; II, Wiley-Interscience, 1987.2. I. M. Isaacs, “ Character theory of finite groups” , Dover, New York,1994.3. J.-P. Serre, “ Linear representations of finite groups ”, Springer-Verlag,New York, 1977. 中译本“有限群的线性表示”，郝鈵新译，科学出版社，1984.。
群表示理论
E C3
C32
v’ v”
v’”
RR 试验证i=2, j=1的情况和 RD i E ( k) D E j( m ) * 0 ,if i jo /a rk n m d
A
23
例2：
取n=nn=1, 即1维不可约表示A1
D A 1(R )D A 1(R ) (1 1 ) 6
R
R
例3：
R R D ik (
A
14
(3) 可约表示与不可约表示
可约(化)表示:如果有一相似变换可以将一个表示的所有矩阵都对角化,或变成式样相同 的准对角(分块)矩阵,那么,这个表示就是可约(化)表示. 于是,相似变换又是约化表示的工具. 约化后的可约表示等于各子块表示矩阵的直和. 不可约表示(IR):若子块表示矩阵不能再约化了,则称为不可约表示。
R
关系
R R D ik (
R
)D * njm (
)(gn)ni jkm
g为群的阶,加和遍及所有的操作R. 证明见附录A.7-1
A
20
对称操作R的逆矩阵 对称操作R的逆操作
假定不可约表示是酉群
R R D ik (
R
)D njm (
)*(gn)ni jkm
（理解更重要）
可分为三个等式理解
R R n D ik ()D n jm ()* 0 ,if
对于一个给定的群,可约表示有无数；但不等价不可约表示是有限个,是确定的.它反映了 该群的特征,从而构成群表示理论的基础.
A
15
A
16
A
17
A
18
A
19
(4) 广义正交定理（关键定理，Great Orthogonality Theorem）：