有限群表示理论读书报告
《有限域上的代数曲线：理论和通信应用》札记
《有限域上的代数曲线：理论和通信应用》读书札记目录一、书籍概述 (2)（一）书籍背景及重要性 (2)（二）作者介绍及贡献 (3)（三）书籍结构概览 (4)二、有限域上代数曲线基础 (5)（一）基本概念及定义 (6)（二）有限域的性质与特点 (8)（三）代数曲线的分类与表示方法 (9)三、代数曲线的理论基础研究 (10)（一）代数曲线的基本性质分析 (10)（二）代数几何码理论探讨 (12)（三）有限域上的代数几何构造研究 (13)四、通信应用中的代数曲线理论 (14)（一）代数曲线在通信领域的应用概述 (16)（二）编码理论在通信中的应用实例分析 (17)（三）代数曲线在信号处理中的应用探讨 (18)五、案例分析与实践应用 (20)（一）基于代数曲线的编码解码案例分析 (21)（二）通信系统中代数曲线应用的实例研究 (21)（三）理论与实践相结合的应用展望 (23)六、总结与展望 (25)（一）本书内容总结与回顾 (26)（二）对有限域上代数曲线未来发展的展望 (27)一、书籍概述《有限域上的代数曲线：理论和通信应用》是一本关于有限域上的代数曲线的学术著作，作者是著名数学家张伟教授。
本书详细介绍了有限域上的代数曲线的基本概念、性质和应用，以及它们在通信领域的潜在应用。
全书共分为六章，内容包括有限域的基本概念、代数曲线的定义与分类、代数曲线的性质、代数曲线上的点运算、代数曲线的应用以及通信中的有限域代数曲线等。
通过阅读本书，读者可以全面了解有限域上的代数曲线的理论和实际应用，为进一步研究和应用这些概念奠定基础。
（一）书籍背景及重要性在现今数学与工程交织发展的时代背景下，《有限域上的代数曲线：理论和通信应用》一书显得尤为重要。
此书不仅为我们提供了有限域上代数曲线的基本理论，更展示了其在通信领域中的广泛应用。
其背景深厚，对于我们理解数学在现实生活中的应用具有深远意义。
有限域上的代数曲线是代数几何领域的一个重要分支，随着数学理论的发展，尤其是代数几何和数论的发展，有限域上的代数曲线理论逐渐成熟并广泛应用于其他领域。
物理学中的群论基础第三章
H T (A )T † (A ),
A G
式中求和遍及群G的所有元素, 援引矩阵代数中的一个定理: 任一厄 米矩阵可以通过幺正变换完全对角化. 若U是所需要的变换, 则 U-1HU=Hd , 其中Hd是一对角矩阵, 其对角元是的实本征值. 前一式代入上式得
H d U
1
U T (A )U U 1T 唵 A )U T (A )T (A ), (
似乎可以得出结论, 集合T在矩阵乘法下是一个群. 在此必须注 意, 集合T的各矩阵未必全不相同. 若T的每个不同矩阵各取一次, 则所得到的集合肯定在矩阵乘法下是一个群. 若矩阵T的所有矩阵都不相同, 则明显存在着G的元素与T的矩 阵间的一一对应. 这种情况下, 群G与群T互相同构, 而由T的矩阵 生成的表示称为群G的忠实表示. 另外, 若T的矩阵并非全不相同, 则只存在群G到群T的一个同态, 这种表示称为群G的非忠实表示. 群的最简单表示就是, 每个元素与数1对应. 这样, 在群C4v的例 子中, 将有下列对应: 元素: 表示:
D (1) (A ) 0 T (A ) , X (A ) D (2) (A )
其中D(1)(A)和D(2)(A)分别是m阶和nm阶方阵, X(A)是nm行m
列矩阵, 而0是m行nm列的零矩阵. 采用行矢量来证明这一点: i=(0 0 0 1i 0 0). 第i列元素为1而其余元素全为零. 这样选定n个基矢的编号: 使头m 个基矢在Lm中, 于是AG对基矢(1≤≤m)的作用由下式给出:
0 D (1) (A ) 0 D (1) (B ) T (C ) X (A ) D (2) (A ) X (B ) D (2) (B ) D (1) (A )D (1) (B ) 0 X (A )D (1) (B ) D (2) (A )X (B ) D (2) (A )D (2) (B )
表示论专题
本课程介绍有限 Lie 型群的特征标理论。
1. 有限群表示理论的简要回顾
2. 典型群、约化代数群、有限 Lie 型群概述
3. 平展上同调概述
4. Deligne-Lusztig 理论
5. 延伸与应用
课堂讲授。
文献阅读及讲述、读书报告、或者作业。
教学评估
李文威：
否
平台课性质
平台课类型
授课语言
中文
教材
无；
Representations of Finite Groups of Lie Type,Digne / Michel,Cambridge University Press,19910426,
参考书
1,978-1108481489；
表示论专题课程详细信息
课程号
00102930
学分
3
英文名称
representation theory
先修课程
advanced linear algebra, abstract algebra
中文简介
本课程会介绍李群李代数的不可约表示，有限群的表示论。
英文简介
Introducing finite-dimensional representations of Lie groups and Lie algebras, this example-oriented book works from representation theory of finite groups, through Lie groups and Lie algrbras to the finite dimensional representations of the classical groups.
群表示理论在群结构研究中的应用
作 者 简介 ： 张复兴（９ １ ） 男， １５一 ， 湖南新邵人 ， 教授， 主要从事代数理论等研究．
２
邵 阳学院 学报 （ 自然科 学版 ）
第７ 卷
关 于共 轭 元 素 类 的 个 数 、 轭类 的 长度 的 论 共
断， 有： 还
均 为非 负整数 ． 命 题 Ⅲ 对 于 有 限群 Ｇ， 有
且 １ ＺＧ Ｉ Ｉ （） Ｇ：
一
般地 ， 以上不定方程 （．） １ ） ｌ ≠ １ （． 中 Ｉ １ ２ Ｇ
嘶，， ｌ ２ … ，． ｉ ＝ ，， ｓ ｊ
收 稿 日期 ： ２１－ ３３ ００ ０－０
基 金 项 目： 湖南省普通高等学校教学改革研究项 目（ 湘教通［０７２０号） ２０ ］３
不整除 Ｉ ， Ｇ Ｊ则群代数 Ｇ是半单的， 】 即任意一个
ＨＧ 模 都 是完 全 可约 的 ． 卜 它揭示 了有 限群 Ｇ的线 性 表示 和基 域 Ｆ的特征 之间 的关 系． 而任意 一个 因 ｃ Ｇ 模 是 完 全 可 约 的． 文 旨在 以 Ｍ ｓｈ ｅ 理 ［卜 本 ａｃｋ 定 为 理论 基 础 ， 研究 群 的不 可 约线 性表 示 ， 过构 造 通 特 征 标 表 ， 求 群 的 结构 的一 些 性 质 ， ： 规 子 寻 如 正 群 的数 目、 规子群 的构成 以及群 的单性 等． 正
故 ｌｆ Ｉ。 Ｉ： … ＋Ｃ Ｉ Ｇ ＝Ｃ Ｉ Ｃ Ｉ ＋ ＋ Ｉ
（． １） １
称 （．） 为群 Ｇ的类 方 程 ， １１式 ｓ叫做 Ｇ的类 数 ，
共轭元素类 Ｇ所包含的元素个数 Ｉ 叫做 Ｇ的长 ＧＩ
度 ．Ｖａ∈Ｇ ， 于 ａ所 在 的 共 轭 类 Ｃ（ ） 有 ［ 对 “， ｔ ｌ
北京大学群论-习题第二章群表示理论
第二章习题1．设A(g)是群G＝{g}的一个表示，证明：复共轭矩阵A*(g)也是G的一个表示。
当A(g)是不可约的或幺正的，则*A(g)也是不可约的或幺正的。
2．设A(g)是G＝{g}的一个表示，证明：转置逆矩阵[A t(g)]－1、厄密共轭逆矩阵[A＋(g)]－1也是G的表示，并且当A(g)是不可约的或幺正的，则它们分别也是不可约的或幺正的。
试问[A t(g)]、[A＋(g)]也是G的表示吗？3．设A(g)是有限群G的一个不可约表示，C是G中一个共轭类，λ为常数，E为单位矩阵，证明：Σg∈C A(g)＝λE。
4．证明群G中属于同一类的各元的表示矩阵之和，必与群G的一切元的表示矩阵对易。
5．求三阶群的所有不等价不可约表示。
6．设A(g)是有限群G的一个不可约表示，B(g)是G的一个一维非恒等表示，证明：A(g)⊗B(g)也是G的一个不可约表示。
7．V的所有不等价不可约表示。
8.9求出D3群在二次齐次函数空间中的群表示，求出它所包含的不可约表示。
10.写出4阶循环群的左正则表示和右正则表示。
11．设A p(g)和A r(g)是群G的两个不等价不可约表示，证明：直积表示A p(g) ⊗A r*(g)不包含恒等表示，而A p(g) ⊗ A p*(g)包含恒等表示一次且仅一次。
12．求正三角形对称群D3的群表示，表示空间为三维线性函数空间，其基底为：φ1(θ)=cos2θ, φ2(θ)=sin2θ, φ3(θ)=√2cosθsinθ，并将其约化为不可约表示。
13．求正三角形对称群D3的子群{e, a}的恒等表示所诱导的表示，它包含哪些不可约表示。
14. 求出D3群所有不可约表示的直积，并把它们约化为不可约表示的直和。
群环与因子群环对称单位之间的联系
Ｖｏ １ ． ２ ６ Ｎｏ ． ４
ＮＯ Ｖ ．２ ０ １ ３
文章 编 号 ： １ ０ ０ ６—１ ０ ３ ７ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４— ０ ０ １ ８—０ ４ ｄ ｏ ｉ ： ｌ Ｏ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ６—１ ０ ３ ７ ． ２ ０ １ ３ ． １ １ ． ０ ５
令 ｇ 一 ， 则 ｇ—
Ｃ － Ｇ ＼ （ １ 十 ｇ ∈Ｇ ＼ （ 、 ＿
， 其 中 ， ｇ Ｅ Ｇ ＼ Ｇ丁， ａ ＊一 一 ａ ，
从而 ∑ ｇ ： ∑ ａ （ ｇ ＋ｇ ） 。
特别 的 ， 若 ｃ ｈ ａ ｒ Ｆ≠ ２， 则 （ Ｆ Ｇ） 一 ① Ｆ（ ｇ＋ ｇ ）。
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３ ０ ７ ２ ０ 作者简介 ： 刘 勤韬 ， 男， 硕士研究生 ， 主 要研 究 方 向 ： 有 限 群 表示 理论 。
第 ４期
刘 勤韬 ， 等： 群 环 与 因子群环 对称 单位 之 间的联 系
１ ９
性质 ２ 证明
（ Ｆ Ｇ） 是一 个环 当且 仅 当 （ Ｆ Ｇ） 的生成 ： 元可换 。特别 地 ， 若 Ｇ是 交换 群 ， 则 （ Ｆ Ｇ） 是 一个 环 。
群环 与 因子 群环 对 称 单 位之 问的联 系
刘勤韬， 海 进 科
（ 青 岛大 学数 学科 学 学院 ， 青岛 ２ ６ ６ ０ ７ １ ）
摘要 ： 设 Ｇ是一 个有 限群 ， Ｆ是 一个域 ， Ｎ 是 Ｇ 的一 个正 规子群 。提 出群环 对称 单位 与 因子 群 环对称 单位 的联 系问题 。利 用 Ｇ到 Ｇ／ Ｎ 上 的 自然 满 同态 系数 扩 张 到 Ｆ 上 ， 得到 Ｆ Ｇ 到
群的概念教学中几个有限生成群的例子
群的概念教学中几个有限生成群的例子霍丽君(重庆理工大学理学院重庆400054)摘要：群的概念是抽象代数中的最基本的概念之一，在抽象代数课程的教学环节中融入一些有趣的群例，借助于这些较为具体的群例来解释抽象的群理论，对于激发学生的学习兴趣以及锻炼学生的数学思维能力等方面都会起到一定的积极作用。
该文介绍了一种利用英文字母表在一定的规则下构造的有限生成自由群的例子，即该自由群的同音商，称为英语同音群。
此外，该文结合线性代数中的矩阵相关知识，给出了有限生成群SL2(Z )以及若于有限生成特殊射影线性群的例子。
关键词：有限生成群英语同音群一般线性群特殊射影线性群中图分类号：O151.2文献标识码：A文章编号：1672-3791(2022)03(b)-0165-04Several Examples of Finitely Generated Groups in the ConceptTeaching of GroupsHUO Lijun(School of Science,Chongqing University of Technology,Chongqing,400054China)Abstract:The concept of group is one of the most basic concepts in abstract algebra.Integrating some interesting group examples into the teaching of abstract algebra course and explaining the abstract group theory with the help of these more specific group examples will play a positive role in stimulating students'learning interest and training students'mathematical thinking ability.In this paper,we introduce an example of finitely generated free group by using the English alphabet under some certain rules,which is called homophonic quotients of free groups,or briefly called English homophonic group.In addition,combined with the theory of matrix in linear algebra,we give some examples of about finitely generated group SL_2(Z)and finitely generated special projective linear groups.Key Words:Group;Finitely generated group,English homophonic group;General linear group;Special projective linear group1引言及准备知识群是代数学中一个最基本的代数结构，群的概念已有悠久的历史，最早起源于19世纪初叶人们对代数方程的研究，它是阿贝尔、伽罗瓦等著名数学家对高次代数方程有无公式解问题进行探索的结果，有关群的理论被公认为是19世纪最杰出的数学成就之一[1-2]。
李代数表示理论概述
李代数表示理论概述李代数表示理论是数学界的一个重要分支，主要研究以李代数表示类型为基础的一类数学特性。
它由20世纪30年代至1960年代期间由列夫瓦利采夫等李代数理论伟大的创始人发展和推广，迅速发展并广泛应用于许多学科中，包括几何、代数、数论、数值分析以及计算机科学等。
它的发展主要推动了许多数学理论的发展，并促进了许多学科的发展，对计算机科学的发展影响深远。
本文主要对李代数表示理论及其在当今数学领域中的应用进行概述。
一、李代数表示理论简介李代数表示理论是以有限群类型的李代数表示为基础的一类数学理论，是20世纪30年代至1960年代期间由李代数理论伟大的创始人，如列夫瓦利采夫，发明并推广的一类具有数学普遍意义的表示理论。
李代数表示理论主要研究的是有限群的李代数表示，即将群的元素用一组有限的数字来表示。
由于组元素间的线性依赖性，这种数学表示法能够描述群的某种结构特征，通常用于分析定义在有限群上的一些函数，如代数、几何等，并在计算数学理论中得到广泛应用。
二、李代数表示理论的应用李代数表示理论的应用也非常广泛，它被广泛用于数学、物理、化学、生物、统计学、计算机科学等学科中。
它可以被应用于许多数学方面，包括几何、代数、数论、数值分析等，尤其是在几何、代数、数论等方面可以解决许多复杂的问题，提供了重要的数学方法和特性。
此外，李代数表示理论还能够用于数据压缩和信息安全等领域，可以用于改善数据传输的效率和安全性。
同时，它也被广泛用于计算机科学领域，如计算机绘图、图形处理等，常用于描述和分析图形对象，构建计算机图形学算法等。
三、总结李代数表示理论是数学界的一个重要分支，其发明和推广推动了许多数学理论的发展，并促进了许多学科的发展，其应用也被广泛应用于数学、物理、化学、生物、统计学、计算机科学等学科中。
它的发展也对计算机科学的发展影响深远，对计算机绘图、图形处理等有着重要的作用。
因此，李代数表示理论有着深远的影响力，不仅促进了各种学科的发展，而且也为当今数学领域的研究和应用提供了重要的数学方法和思路。
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有限群表示理论读书报告
一、整体认识
Galois在研究高次方程的根式解的问题时，考虑了根的置换，这是群论的开始。
19世纪末20世纪初，Frobenius和Burnside独自开创了由线性群（或等价的矩阵群）来描述群的理论，群论形成了一个完整的系统的理论体系。
Frobenius的工作由Schur改善和简化，由诱导表示得到的Frobenius互反律、特征标乘积分解等是群表示论的主要工具。
Burnside定理是群表示论应用于有限群研究的最早的著名结果。
20世纪20年代，Noether强调了“模”这一代数结构的重要性，把代数结构理论和群表示理论融合为一，从而形成了广泛的“表示理论”。
Brauer将群表示理论大大深化，引进了有限群的模表示理论，建立了模表示与常表示的关系，使群表示论在有限群结构理论中起着日益重要的作用。
本书我们学习的内容就是群的模表示理论。
以下将分章梳理所学内容。
第一章主要学习了群表示的一些基本概念。
1.1节将线性变化与矩阵之间建立联系，主要概念及结论有：
1、Hom(U,V)——线性变换的推广；
2、dim Hom(U,V)=dimU·dimV——从基的像理解;
3、Hom(U,V)与F n×m同构——线性变化与矩阵的对应；
4、EndV= Hom(V,V)——U=V，仅考虑V的线性变换，可以进一步考虑U到V的映射是否为单射、满射；
5、V的一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的；
6、EndV是域F上的结合代数——是一个线性空间，定义乘法后，满足分配律、数乘运算与乘法结合律，是一个环；
7、若V 是域F 上n 维线性空间，则结合代数EndV 与F n ×n 同构——结合代数的同构就是保持乘法运算的线性空间的同构；
8、GL （V ）与GL （n, F ）同构——GL （V ）为除去EndV 中不可逆的线性变换；
群表示就是研究群到GL （V ）或GL （n, F ）中的同态映射。
1.2节给出了群表示定义及一些重要例子, 主要内容有：
1、G 的一个n 维F 表示：（ρ，V ），表示空间：V ，表示的级数：n ——任何有限群都有表示，确定表示空间后方可确定表示；
2、G 的平凡表示：ρ(g)=id V , G g ∈∀——平凡表示可是1,2，…n 维;
3、等价表示：（1ρ，V 1）～（2ρ，V 2）——基不同，同一线性变换的不同表示;
4、矩阵表示及等价定义——基不同，同一线性变换对应的矩阵不同；
5、S 3的一维平凡表示，符号表示，置换表示及到S n 的推广；
6、正则表示定义——左平移与置换表示的复合；
7、n 阶循环群，对称群S 3的正则表示；
8、表示的核定义——核是正规子群；
9、忠实表示定义——单射时，表示为忠实表示；
10、一维表示的性质：有限群的不同的一维表示不等价，一维表示与核的关系，G 的不同一维表示个数与G/G ′的一维表示个数相同；
1.3进一步介绍了群表示的一些重要概念，主要内容有：
1、不变子空间及子表示；
2、商表示；
3、可约表示及不可约表示；
4、完全可约表示；
5、常表示及模表示；
6、有限群的任何有限维常表示都是完全的；
7、有限群的任何表示均可分解为不可约子表示的直和；
8、缩减表示；
1.4学习了表示的张量积，结合线性空间引入了示的张量积；
1.5定义了群代数，以环或结合代数理论的观点研究群表示论，主要内容有:
1、群代数；
2、（L,FG ）等价于G 的左正则表示；
3、结合代数的左理想、右理想及理想；
4、极小左理想对应于不可约不变子空间；
5、FG 的中心；
6、共轭类；
7、G 的共轭类为FG 的中心Z （FG ）的基；
8、F 值函数及类函数；
9、群G 的F 值函数与群代数FG 的线性函数一一对应，群G 的F 值类函数与群代数FG 的中心Z （FG ）的线性函数一一对应；
第二章学习了群表示的特征标。
2.1给出了特征标的定义。
例1指出了一维表示的特征标即为对应一阶矩阵的数值，例2给出了S 3对应的置换表示、缩减表示与正则表示的特征标，例3讨论了n 阶循环群的特征标；定理1给出了群特征标的基本性质：1）1对应的特征标与表示空间维数的关系2）群中互逆元特征标的关系3）群的F 值类函数；定理2指出了群的等价表示特征标相同。
2.2节Shur 引理，引理1有以下内容：1）表示与表示空间的关系2）由一个表示空间的不变子空间得到相关的另一个表示空间的不变子空间；引理2有以下结论：1）两个不等价的不可约表示对应的Hom(1ρ，2ρ)=﹛0﹜2）一个不可约表示对应的Hom(ρ，ρ)是一个体；
推论1有C 不可约表示对应的Hom(ρ，ρ)与复数域C 同构；例1以4阶循环群为例说明了Hom(ρ，ρ)与C 同构；例2以实数域上的四元数体H 为例说明了Hom(ρ，ρ)与H 同构。
2.3节利用Shur 引理给出了群的不可约表示的特征标的正交关
系。
定理1给出了两个不等价的不可约表示的特征标的关系；定理2给出了两个不可约的C表示在等价、不等价时特征标的关系；例1以n阶循环群为例验证了定理2的结果；定理3定义内积后给出了酉空间；定理4指出了表示分解为不可约表示直和的方式在等价意义下是惟一的；例2验证了S3的缩减表示是不可约表示；例3验证了四元数群的不可约实表示作为复表示是可约的。
2.4利用CG确定不可约复表示的个数及与维数的关系。
第三章介绍了点群的不可约表示，第四章介绍了群代数的分解，第五章介绍了有限群的实表示与复表示，第六章介绍了有限群的进一步性质及某些应用，第七章有限群表示初论。
二、理解与感悟
有限群表示论这门课在抽象代数的学习基础上，与高等代数内容相对应的介绍了有限群的表示，以常用的群为例分析了相关内容，利用特征标进一步讨论了其性质。
下面将结合具体知识点谈一下我的一些认识：
1.P7 正则表示的刻画,例4、5
2.P22 群代数的定义
3.P40 例3。