关于边分法近似计算对数函数实数值的归纳证明
对数函数的知识点归纳总结
对数函数的知识点归纳总结【对数函数的知识点归纳总结】对数函数是数学中一种常见的函数类型，它在许多领域中都有广泛的应用。
对数函数可以通过指数函数的逆运算来定义，具有独特的特性和重要的性质。
本文将对对数函数的定义、性质、常用公式以及应用进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用对数函数。
一、对数函数的定义对数函数的定义基于指数函数，对于任意正数a、b（其中 a ≠ 1），对数函数y = logₐ b表示a的y次方等于b。
其中，a为底数，b为真数，y为对数。
对数函数可以写成指数形式的等价表达式，即a^y = b。
二、对数函数的性质1. 底数为正数且不等于1的对数函数定义域为(0, +∞)，值域为(-∞,+∞)。
2. 对数函数的图像在直线y = x和底数为a的指数函数的图像y =a^x关于y = x的对称轴上对称。
3. 对数函数的图像随底数的变化而变化，对于不同的底数，对数函数的图像呈现出不同的特性和形状。
三、常用对数函数公式1. 换底公式：logₐ b = logₐ c / logc b，用于将一个底数下的对数转化为另一个底数下的对数。
2. 对数运算法则：- 乘法法则：logₐ (b·c) = logₐ b + logₐ c- 除法法则：logₐ (b/c) = logₐ b - logₐ c- 幂法法则：logₐ (b^k) = k·logₐ b，其中k为任意常数- 指数形式转换：logb a = 1 / logₐ b3. 对数函数的特殊值：- logₐ 1 = 0，对于任意正数a（a ≠ 1）- logₐ a = 1，对于任意正数a（a ≠ 1）- log₁₀ 10 = 1，logⱼ ⱼ = 1，对于任意正整数j（j ≠ 1）四、对数函数的应用1. 解决指数方程：对数函数可以将指数方程转化为对数方程，利用对数函数的性质和公式求出方程的解。
2. 简化复杂计算：对数函数可以简化复杂的数学计算，如乘法、除法和指数运算等。
对数函数知识点总结
对数函数知识点总结对数函数是指可以用对数形式表示的函数，它的定义域为正实数集合，值域为实数集合。
对数函数具有一些特殊的性质和运算规则，在数学中得到广泛应用。
本文将对对数函数的定义、性质、运算规则以及常见的应用进行总结。
一、对数函数的定义与性质：1. 对数的定义：对于任意的正实数a和b (a ≠ 1)，对数函数 y = loga(b) 表示满足 a^y = b 的唯一实数y。
2.对数函数的定义域为正实数集合，值域为实数集合。
3. 常见的对数函数是以自然常数e为底的自然对数函数 y = ln(x)和以常数10为底的常用对数函数 y = log10(x)。
4. 对数函数与指数函数是互逆变换关系，即 loga(a^x) =a^(loga(x)) = x。
5. 对数函数的图像特点：以对数函数 y = loga(x) 为例，当 a > 1 时，函数图像过点(1,0)，在区间(0,+∞)上是单调递增的，当x趋于0时，y趋于负无穷；当 a < 1 时，函数图像过点(1,0)，在区间(0,+∞)上是单调递减的，当x趋于0时，y趋于正无穷。
6. 对数函数具有对称性，即 loga(a/x) = -loga(x)。
二、对数函数的运算规则：1. 对数的乘法规则：loga(mn) = loga(m) + loga(n)。
2. 对数的除法规则：loga(m/n) = loga(m) - loga(n)。
3. 对数的幂次规则：loga(m^p) = p * loga(m)。
4. 对数的换底公式：loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中c为任意的正实数（c ≠ 1）。
5. 对数函数的反函数：对于对数函数 y = loga(x)，其反函数为指数函数 x = a^y。
三、对数函数的应用：1.解指数方程和指数不等式：对于形如a^x=b或a^x<b的方程或不等式，可以通过取对数将其转化为对数方程或对数不等式进行求解。
对数函数的运算规则证明
对数函数的运算规则证明在数学中，对数函数是一种常见的数学函数，它在许多领域都有广泛的应用。
对数函数具有一些特殊的运算规则，本文将对这些规则进行证明。
1. 对数函数的定义对数函数可表示为y = logₐ(x)，其中a为底数，x为真数，y为结果。
定义中有一条重要的性质：底数为a时，a的对数等于1，即logₐ(a) = 1。
2. 对数函数的乘法规则定理：logₐ(x * y) = logₐ(x) + logₐ(y)证明：假设logₐ(x) = A，logₐ(y) = B。
因为a的A次方等于x，a的B次方等于y，所以有a^A = x，a^B = y。
那么，x * y可表示为a^A * a^B = a^(A + B)。
根据对数的定义，logₐ(x * y) = A + B = logₐ(x) + logₐ(y)。
3. 对数函数的除法规则定理：logₐ(x / y) = logₐ(x) - logₐ(y)证明：同样假设logₐ(x) = A，logₐ(y) = B。
那么，x / y可表示为a^A / a^B = a^(A - B)。
根据对数的定义，logₐ(x / y) = A - B = logₐ(x) - logₐ(y)。
4. 对数函数的幂运算规则定理：logₐ(x^k) = k * logₐ(x)证明：假设logₐ(x) = A。
那么，x^k可表示为(a^A)^k = a^(A * k)。
根据对数的定义，logₐ(x^k) = A * k = k * logₐ(x)。
5. 对数函数的换底公式定理：logₐ(x) = logₐ(b) / log_b(x)证明：假设logₐ(x) = A，logₐ(b) = B，log_b(x) = C。
那么，x可表示为a^A，b可表示为a^B，x可表示为b^C。
由于x = a^A，可以得到a = x^(1/A)。
将b表示为a^B，那么就有b = (x^(1/A))^B = x^(B/A)。
深入了解对数函数的性质及计算方法
对数函数与其他函 数的关系
对数函数和幂函数在形式上的关系：对数函数和幂函数在形式上具有密切的联系，可以通过对数函数的性质和幂 函数的性质相互推导。
对数函数和幂函数的图像关系：对数函数和幂函数的图像在坐标系中呈现出不同的形状和趋势，可以通过观察图 像了解它们之间的关系。
对数函数和幂函数的运算关系：对数函数和幂函数在运算上也有一定的关系，例如对数函数的运算可以利用幂函 数进行推导，反之亦然。
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注意事项：换底公式在使用时需要注意a和b的取值范围，以及底数c的要求
乘法法则：log(a*b) = log(a) + log(b) 除法法则：log(a/b) = log(a) - log(b) 指数法则：log(a^n) = n*log(a) 换底公式：log(b) = log(a)/log(b)
计算方法：对数函数的计算方法包括换底公式、对数的四则运算、对数的性质等。
应用：对数函数在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，如计算复利、求解方程、信号处理等。
定义：log_b(a) = log_c(a) / log_c(b)，其中a > 0，b > 0，c > 1 应用：换底公式可以将对数转换为任意底数形式，方便计算和转换 证明：利用对数的定义和性质，通过推导证明换底公式
互转换。
对数函数的应用
金融计算：对数可以帮助计算复利、折现等金融问题。 信号处理：在通信和音频处理中，对数函数常被用来转换信号的幅度。 物理学：在声学、光学和热力学等领域，对数函数被用来描述一些物理现象。 生物学：在生态学和生物统计学中，对数生长和几何级数增长等概念经常用到对数函数。
对数函数在金融建模中的应用， 如复利计算和风险评估
对数函数问题涉及到的常用公式或结论及其训练
对数函数问题涉及到的常用公式或结论及其训练对数函数是数学中重要的函数之一，涉及到许多常用公式和结论。
下面是一些常见的公式和结论，以及相应的训练方法。
1. 对数的定义对数函数以常数为底数，将正实数映射到实数的函数。
对数的定义如下：如果 a^x = b，那么 x = log_a(b)其中，a 是底数，x 是指数，b 是真数。
2. 对数的性质对数函数具有以下一些重要的性质：2.1 对数的乘法法则log_a(b * c) = log_a(b) + log_a(c)2.2 对数的除法法则log_a(b / c) = log_a(b) - log_a(c)2.3 对数的幂法则log_a(b^c) = c * log_a(b)这些性质在解决各种对数函数问题时非常有用。
3. 常用对数函数常见的对数函数有自然对数函数和常用对数函数。
3.1 自然对数函数自然对数函数以自然常数 e 为底数，表示为 ln(x)。
自然对数函数的导数和积分都具有简单的性质，常用于求解微积分和概率统计相关的问题。
3.2 常用对数函数常用对数函数以底数 10 为底，表示为 log(x)。
常用对数函数在计算实际问题中常用于简化计算和表示数据的数量级。
4. 训练方法为了熟练掌握对数函数的常用公式和结论，可以采取以下训练方法：- 反复阅读并理解对数函数的相关定义、性质和特点。
- 对不同类型的对数函数问题进行分类，分别分析其特点和解题思路。
- 多做对数函数的计算题和应用题，尝试灵活运用公式和结论。
- 与他人讨论对数函数问题，相互交流和研究。
通过持续的研究和实践，逐渐掌握对数函数的常用公式和结论，并能熟练运用于实际问题的解决中。
以上是对数函数问题涉及到的常用公式或结论及其训练的简要介绍。
希望对你的学习有所帮助！。
对数运算法则公式证明
对数运算法则公式证明好的，以下是为您生成的关于“对数运算法则公式证明”的文章：咱们从小学一路学到高中，数学里的各种公式那可真是让人又爱又恨。
今天就来聊聊对数运算法则公式的证明，这玩意儿可有点意思！先来说说对数的定义。
如果 a 的 x 次方等于 N（a＞0，且a≠1），那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作x = logₐN。
就拿 log₂8 来说吧，因为 2 的 3 次方等于 8，所以 log₂8 就等于 3。
那对数运算法则都有啥呢？比如说，logₐ(MN) = logₐM + logₐN。
咱们来证明一下这个法则。
假设logₐM = x，logₐN = y，那意味着 a 的 x 次方等于 M，a 的 y 次方等于 N。
所以 M = a^x，N = a^y。
那 MN 就等于 a^x × a^y = a^(x + y)。
这样一来，logₐ(MN) = x + y，可不就是logₐM + logₐN 嘛！再看看这个法则，有一次我给学生们讲这个的时候，有个特别调皮的小家伙突然说：“老师，这也太抽象啦，能不能来点实际的？”我想了想，就给他举了个例子。
我说：“假如你有 2 个箱子，每个箱子里分别有 4 个苹果和 8 个橘子。
那总共有多少个水果呀？”小家伙眨眨眼说：“那就是 4 + 8 = 12 个呗。
”我接着说：“对呀，那如果咱们把 2 的 log₂4 次方和 2 的 log₂8 次方相乘，就相当于 2 的（log₂4 + log₂8）次方。
而 2 的 log₂4 次方就是 4，2 的 log₂8 次方就是 8，相乘就是 32，也就是 2 的 5 次方。
而log₂4 是 2，log₂8 是 3，2 + 3 正好是 5，这不就证明了咱们的法则嘛！”那咱们再看看另一个法则，l ogₐ(M / N) = logₐM - logₐN。
同样假设logₐM = x，logₐN = y，所以 M = a^x，N = a^y。
高中数学的归纳数学证明中常用的方法与技巧总结
高中数学的归纳数学证明中常用的方法与技巧总结归纳法是数学中一种常用的证明方法，它通过已知结论的成立推出未知结论的成立。
在高中数学中，归纳法被广泛应用于证明数列、等式、不等式等各种数学问题。
本文将总结高中数学中归纳数学证明常用的方法与技巧。
1. 引入归纳假设在使用归纳法证明一个陈述时，我们首先需要假定该陈述对某个特定的整数 n 成立，即引入归纳假设。
通常情况下，我们假设结论对 n=k 成立，其中 k 表示任意一个大于等于 1 的整数。
2. 验证初始条件在使用归纳法证明时，我们需要首先验证结论在 n=1 时的成立性，即初始条件。
只有在初始条件成立的情况下，我们才能通过归纳递推来证明结论对所有大于等于 1 的整数都成立。
3. 运用归纳假设在得出归纳假设之后，我们需要运用它来推导 n=k+1 时的结论。
通过将归纳假设中的 n 替换为 k+1，我们可以得到新的陈述。
然后，我们需要利用已知条件或数学性质，对新的陈述进行推导和变形，最终得出结论。
4. 总结归纳证明的步骤针对不同题型和问题，归纳证明的步骤并不相同。
在实际操作中，我们需要总结归纳证明的基本步骤，并根据实际情况进行灵活运用。
一般来说，我们可以将归纳证明分为以下几个步骤：（1）建立命题：明确需要证明的结论是什么，可以通过转述题目或给出一个等式、不等式来建立命题。
（2）验证初始条件：通过计算、代入或利用已知条件，验证结论在 n=1 时的成立性。
（3）引入归纳假设：根据题目给出的信息或已知条件，引入归纳假设，即假设结论对某个特定的整数 n 成立。
（4）归纳递推：利用归纳假设和已知条件，对 n=k+1 的结论进行推导和变形。
（5）总结归纳证明：通过归纳递推，不断将结论从 n=1 推导到n=k+1，最终得出结论对所有大于等于 1 的整数都成立。
5. 使用数学归纳法证明数列数列是高中数学中常见的问题之一，而使用数学归纳法证明数列的性质是一种常用的方法。
在证明数列性质时，我们通常可以按照以下步骤进行：（1）建立命题：明确需要证明的数列性质是什么，可以通过给出数列的递推公式或性质来建立命题。
对数函数的性质与计算方法
对数函数的性质与计算方法随着科技的进步和计算机的普及，数学在各个领域的应用也变得越来越广泛。
对数函数作为数学中的一种重要函数，在实际问题的建模和解决过程中起到了关键的作用。
本文将讨论对数函数的性质以及计算方法，旨在帮助读者更好地理解和应用对数函数。
一、对数函数的定义与基本性质对数函数是指满足以下条件的函数：对于任意的正数a和大于1的实数x，存在唯一的实数y，使得a的y次方等于x，即y = logₐ(x)。
其中，a被称为对数函数的底数。
对数函数的基本性质如下：1. 对数函数的定义域为正实数集（x > 0），值域为实数集。
2. 当底数a>1时，对数函数是递增的；当0<a<1时，对数函数是递减的。
3. 对数函数存在反函数，即幂函数。
即logₐ(x)的反函数为a的x次方函数。
4. 特殊情况下，底数为e（自然对数）时的对数函数称为自然对数函数，记作ln(x)。
二、对数函数的计算方法对数函数的计算方法主要包括对数的换底公式、对数的运算法则以及特殊常用对数的计算。
1. 换底公式对于任意底数a、b和正实数x，换底公式表达为：logₐ(x) = log_b(x) / log_b(a)利用换底公式，可以将对数函数的底数转化为常见的底数，从而简化计算过程。
2. 对数的运算法则（1）对数的乘法法则：logₐ(x·y) = logₐ(x) + logₐ(y)（2）对数的除法法则：logₐ(x/y) = logₐ(x) - logₐ(y)（3）对数的幂法法则：logₐ(x^m) = m·logₐ(x)（4）对数的换底法则（已在前文提及）通过运用对数的运算法则，可以对对数函数进行合并、拆分和化简，使得计算更加灵活和高效。
3. 特殊常用对数的计算（1）10为底的常用对数：log₁₀(x)常用记作log(x)，表示10的几次方等于x。
在计算过程中，可以直接利用计算器或者查表得到对应的数值。
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边分法近似计算对数肖云霄四川省邻水中学1.背景：我们知道在高中数学教材必修一函数一章曾介绍过：）的等价代换”。
＞且（＝，则＝“若0a 1a log xb a b a x ≠即通过引入一个新的符号将指数位臵上的变量X 表示出来2.问题：随后在进行对对数函数性质深入的研究中，我们了解了它的一系列如定义域、值域、单调性等可以反馈对数函数图像具体性质的数学特点。
由单调性，我们知道了lg3大于lg2，但我们并不知道lg3≈？，lg2≈？因此，引入对数符号虽然可以很好地解决指数上变量的表示问题，但对于对数函数的实数值却犹如一座遥远的冰山，可望而不可即。
那么是否可以找到一种简便的计算方法来近似估算对数函数的实数值呢？f （x ）＝lnx ，那么有f ΄（x ）＝，f ΄΄（x ）＝。
因为f ΄΄（x ）＜0，所以f （x ）严格上凸，为凸函数。
由琴生不等式≥可得。
该不等式则很好地反映了函数图像上任意两点函数值的平均和中点函数值的大小关系。
那么我们在解决对数函数实数值的问题是否可以受琴声不等式的启发，从而利用两点函数值的平均来近似逼近中点函数值大小呢？6.证明：我们先研究x ∈N*时出现的情况。
首先我们对该想法进行误差分析：设在函数lnx 上任意两点的坐标分别为A （x1，lnx1），Bx 12x 1-2lnx lnx 2x x ln 2121+≥+）（＝＞0，ϕ（x ）严格下凸，为凹函数。
所以ϕ（x ）在x＞1的图像为：由上图，我们可以很直观的看到当x ＝1.36时ϕ（x ）就表现出急剧下滑的趋势，而当x ＝2左右时ϕ（x ）几乎下降到极限值1附近，而我们知道所研究的ϕ（x ）（x ＞1）仅仅是真数的一部分，但当x 已如此接近于定义域端点1时，ϕ（x ）就已趋近于1了，何况ϕ（x ）还要根式后才是完整的真数。
换言之，）（x ϕ将在x 极小时（相对于定义域起始端点）就已趋于1。
这个结果很好，表明此时真数将在x 很小时就已趋于1，因而g （x ）＝将在x 极小时就已趋近于0！而g （x ）表示的就是用直线上两点函数值的平均代替lnx 上的中点函数值的误差，即此时用所表现出的误差g （x ）将在x 极小时就已趋近于0了，所以在精度一定时，对于lnx 用两点的平均值是完全等价于中点函数值的，并且随着x 的取值增大误差将会无限接近于0！因而在误差较小范围内，这完全和我们[]321x 1-x 2x 6））（（++）））（（（1x 1-x 11ln ++1x x 1x x 21+-＝，＝最开始所设想的lnx 上的线性回归模型刚好吻合。
下面我用图像便于大家更加直观理解：由图像大家可以大致清晰地看到在（即x2＝x1+2）的前提下，两点的中点值随着x 的增大会无限贴近lnx 上的中点值。
即此时我们所建立的直线模型很好地契合进了lnx ，于是我们称它为lnx 的线性回归。
论证到这里我们先小结一下已推理出的结论，便于推广至一般形式。
小结：因为lnx 的增长极其缓慢，所以可建立lnx 的线性回归模型，即在精度一定范围内，可以利用直线上两点的中点函数值的平均来代1x x 1x x 21+-＝，＝替lnx上中点的函数值，称为“边分法”。
7.关于边分法思想的两点说明：①转化：利用边分法，可以将lnx（x ∈N*）上的函数值转化为直线上两点的中点函数值，从而将无法触及的“冰山”变为可攀登的高山。
具体说：（1）如若所求点是合数，则可以将其表示为多个质因子相乘，从而将合数拆分为了质数。
（其理论依据为：正整数的因式分解可将正整数表示为一连串的质因子相乘，质因子如重复可以指数表示。
根据算术基本定理，任何正整数皆有独一无二的质因子分解式。
只有一个质因子的正整数为质数）。
（2）如若该数为质数则利用对数函数的线性回归模型，即用边分法将该数向左右两边各拓展一个单位长度后，相邻两数则回到了偶数上，则再次重复（1）步骤。
（其理论依据为，若有一个数为质数，则其必为奇数；如果一个数为奇数，则其相邻两数必为偶数。
）②化归：将质数转化，将合数化归。
由于合数是有多个质因子组合而成，那么可以通过将合数无限下分，直至其完全化归为多个基数相加（基数指真数为10以内较小质数的对数，如ln2，ln3等），也可以进一步再将基数转化为只剩ln2，而ln2＝0.69314718056，根据精度要求取舍位数（如保留一位小数就取ln2＝0.7，保留两位小数就取ln2＝0.693）。
简言之，运用边分法可以将真数上的质数转化为相邻偶数，将偶数化归为多个基数，通过计算基数的和从而代近似逼近原函数的值。
其数学表达形式为（lnx＝aln2＋bln3＋cln5＋……＝Yln2）8.关于使用边分法近似计算对数函数实数值的两点注意：（1）由于本身我们采用的是用直线上两点的中点函数值的平均来近似代替lnx 上中点的函数值，所以用边分法算出的实数值若刚好整除，则就原封不动地保留该值，而不必再次四舍五入估算。
因为边分法本身定义为估算，若得出的实数值又再次估算，那么就有可能扩大误差（类似物理学上游标卡尺的使用原则）。
如计算ln7的实数值：95.129.321.147.023ln2ln3ln228ln ln6ln7＝＝＝+⨯≈+++≈，而由计算器算出ln7＝1.94591≈1.95.所以用边分法计算出的实数值结果若整除则直接保留。
若结果并不整除，那么就根据四舍五入波动最小原理进行合理选取位数。
（2）为什么我要定义真数为10以内较小质数的对数作为对数函数的基数？因为由上图可知误差g （x ）在x ＝2时，g （2）等于1.33，但并不完全等于1，只是说很接近，如若对于精度要求很高，具体说是要求在两位小数即以上时，必须至少要记忆多组基数相应保留位数的值。
如果对于精度要求不高，如高考中遇到了涉及对数函数和实数比较大小的问题，则只需一位即可，那么根据四舍五入的保留原则，在x ＞1的前提下，边分法是完全适用于计算对数函数实数值的，且这时只需记忆ln2＝0.7即可。
如计算ln3，由边分法可得，ln3≈22ln 322ln 2ln22ln42ln ＝＝++，带入ln2＝0.7，根据四舍五入保留一位小数的原则可得ln3≈1.1，而由计算器算出ln3＝1.09861228866≈1.1.所以凭借边分法在只记忆ln2＝0.7为前提下就可以自己推出所有基数的值（ln3＝1.1，ln5＝1.6等等）再比如计算ln177，由边分法可得，由计算器算得ln177＝5.2。
但如若我们在时就代入基数中的ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6。
就可以得到ln177＝5.2，此结果与计算器算得的ln177在保留一位小数的前提下完全吻合。
所以从这个例子我们可以看出若知道多组基数值后不仅可以简便运算还可以大大缩小误差，进而达到真正意义上的逼近！9.反思：为什么边分法可以较为准确地逼近对数函数的实数值？为什么经历过多次转化与化归后所求出的实数值依然贴近真实值？深思后，我想这与对数函数性质完全吻合。
下面我从四个方面来说明这个问题：（1）定义：若有两个实数相乘，通过引入一个新的数学符号即取对数，那么就可以将数的相乘转化为数的相加。
由相乘变相加，从定义上简化了计算量。
（2）运算法则：我们知道在误差分析学中，数的相乘除比数的相加减带来的误差会更大，因为相乘时误差是相互依赖影响的，误差会跟其余数相乘，以致误差被扩大；而数的相加中误差是独立的，仅是误差+误差，不会与其余实数相互影响。
所以对数的运算法则把数的相乘变相加，从运算的本质上减少了误差。
（3）函数图像：我们知道对数函数的二阶导数为2x1-，其大小在x 14.5327.0235322ln 23587ln3ln552ln 37225ln 2ln 3ln 211ln 2ln 33ln ln225ln 2ln 2ln 52290ln 88ln 212ln 10ln 2ln 5289ln 2ln 11ln 2ln 42892ln 112ln 2178ln 176ln 177ln 4＝＝＝＋＋＋＝）（）（＝⨯≈≈++++++++++++++≈+⨯+⨯+≈83ln 75ln 52ln 37++＞1内变化极其小，比如x ＝2到x ＝3，△x ＝1，但△f ΄΄（x ）＝365≈0.139.所以对数函数的增长极其缓慢，在一定程度内，函数上某三个相邻整数点相连便可近似地看作为一条直线。
（4）计算方法：因为边分法的本质是用两边函数值的平均来近似逼近中点函数值。
由于有平均存在，所以误差的和再除以2后，边分法近似逼近造成的误差又再次缩小了。
10.应用：（1）直接比较大小。
例1：（2017•新课标Ⅰ）设x 、y 、z 为正数，且2x =3y =5z ，则（ ）A ．2x ＜3y ＜5zB ．5z ＜2x ＜3yC ．3y ＜5z ＜2xD ．3y ＜2x ＜5z例2：试比较的大小和5.17.132--。
解：因为两数均大于0，所以同时取e 的自然对数ln ，原式便可等价于比较-1.7ln2和-1.5ln3，带入ln2＝0.7，ln3＝1.1可得到-11.9＞-16.5。
所以5.17.132--＞。
经计算器检验，结果正确。
例3：分析：在这种高次幂的指数函数中，如果我们还是运用原有的高中数学理论而且在无法用计算器的前提下是很难确定大小关系的。
而对于ZX Y M Z M Y M X Z Y X M M M MM M M Z 52332.05ln 35.02ln 37.03ln 6.15ln 1.13ln 7.02ln 5ln 515ln 3ln 313ln ln2212ln 5ln ln log 53ln ln log 32ln ln log 2.log log log 532535355332532Y X 53＜＜＝＞＝＞带入，迅速可得到＝，＝，＝将＝，＝，＝＝＝，＝＝，＝＝＝，＝，＝，＝＝＝∵∴≈∴∴的大小关系与试比较21304753,2高次幂，取对数是最好的方法，因为对数可以将数的次幂转化为数的相乘，这种方法在天文学计算中更为常用。
因为三数均大于0，所以可对三数取e 的自然对数，原命题便等价于比较47ln2，30ln3与21ln5的大小关系，带入ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6可得47ln2＝32.9，30ln3＝33.0,21×ln5＝33.6.所以473021235＞＞。
经计算器直接检验：521＝4.79×1014，330＝2.06×1014 247＝1.41×1014，所以结果正确。
（2）判断涉及对数函数导数的正负号。
即通过具体算出对数函数的实数值并参与实数运算从而判断某点导数是大于0还是小于0，或则用于缩小零点区间。