数学讲义：对数的近似值与应用
《对数的概念》 讲义
《对数的概念》讲义一、什么是对数在数学中，对数是一个非常重要的概念。
如果 a 的 x 次方等于 N （a>0，且 a 不等于 1），那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x ＝logₐN。
为了更直观地理解对数，我们可以想象这样一个场景：假如有一个细胞，它每过一小时就会分裂为原来的 2 倍。
经过了若干小时后，细胞的数量达到了 128 个。
那么我们想知道到底经过了多少小时，这时候就可以用到对数的概念。
在这个例子中，因为 2 的 7 次方等于 128，所以我们就说以 2 为底128 的对数是 7，记作 log₂128 ＝ 7。
二、对数的历史对数的发明是数学史上的一个重大事件。
在 16 世纪和 17 世纪，天文学家和数学家们在进行大量复杂计算时遇到了很大的困难。
当时的计算主要依靠手工，而且很多数据的计算非常繁琐和耗时。
为了减轻这种计算负担，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数。
纳皮尔的对数概念极大地简化了计算，使得原本复杂的乘法运算可以转化为相对简单的加法运算。
这一发明在当时的科学研究和工程计算中发挥了巨大的作用，大大提高了计算效率。
1、对数的基本性质logₐ(a) ＝ 1 （因为 a 的 1 次方等于 a）logₐ(1) ＝ 0 （因为 a 的 0 次方等于 1）2、对数的运算性质logₐ(M×N) ＝logₐM ＋logₐNlogₐ(M ／ N) ＝logₐM logₐNlogₐ(Mⁿ) ＝n logₐM这些性质在解决对数相关的问题时非常有用，可以帮助我们简化计算和推导。
例如，如果要计算 log₂(8×16)，根据性质可以转化为 log₂8 ＋log₂16，即 3 ＋ 4 ＝ 7。
四、常用对数和自然对数在实际应用中，有两种常见的对数：常用对数和自然对数。
常用对数是以 10 为底的对数，记作 lgN。
在科学计算和工程中，常用对数经常被使用。
自然对数是以无理数 e（约等于 271828）为底的对数，记作 lnN。
《对数的运算性质》 讲义
《对数的运算性质》讲义一、对数的定义在数学中，如果\（a^x ＝ N\）（＼（a ＞ 0\），且\（a ≠ 1\）），那么数\（x\）叫做以\（a\）为底\（N\）的对数，记作\（x ＝ log_aN\）。
其中，＼（a\）叫做对数的底数，＼（N\）叫做真数。
例如，因为\（2^3 ＝ 8\），所以\（log_2 8 ＝ 3\）。
二、对数的运算性质1、积的对数＼（log_a （MN) ＝ log_a M ＋ log_a N\）（＼（M ＞ 0\），＼（N ＞ 0\））为了理解这个性质，我们可以假设\（log_a M ＝ p\），＼（log_a N ＝ q\），则\（a^p ＝ M\），＼（a^q ＝ N\）。
那么\（MN ＝ a^p × a^q ＝ a^｛p ＋ q}＼）所以\（log_a （MN) ＝ p ＋ q ＝ log_a M ＋ log_a N\）例如，＼（log_2 4×8 ＝ log_2 4 ＋ log_2 8 ＝ 2 ＋ 3 ＝ 5\）2、商的对数＼（log_a ＼frac{M}｛N} ＝ log_a M log_a N\）（＼（M ＞ 0\），＼（N ＞ 0\））同样假设\（log_a M ＝ p\），＼（log_a N ＝ q\），则\（M ＝a^p\），＼（N ＝ a^q\）那么\（＼frac{M}｛N} ＝＼frac{a^p}｛a^q} ＝ a^｛p q}＼）所以\（log_a ＼frac{M}｛N} ＝ p q ＝ log_a M log_a N\）比如，＼（log_3 ＼frac{27}｛9} ＝ log_3 27 log_3 9 ＝ 3 2 ＝ 1\）3、幂的对数＼（log_a M^n ＝ n log_a M\）（＼（M ＞ 0\））设\（log_a M ＝ p\），则\（M ＝ a^p\）那么\（M^n ＝（a^p)＾n ＝ a^｛pn}＼）所以\（log_a M^n ＝ pn ＝ n log_a M\）例如，＼（log_5 25^2 ＝ 2 log_5 25 ＝ 2×2 ＝ 4\）三、对数运算性质的应用1、化简计算例 1：计算\（log_2 8 ＋ log_2 16\）＼＼begin{align}log_2 8 ＋ log_2 16&＝log_2 （8×16)＼＼＆＝log_2 128\＼＆＝7＼end{align}＼例 2：计算\（log_3 27 log_3 9\）＼＼begin{align}log_3 27 log_3 9&＝log_3 ＼frac{27}｛9}＼＼＆＝log_3 3\＼＆＝1＼end{align}＼2、求解方程例 3：解方程\（log_2 （x ＋ 1) ＋ log_2 （x 1) ＝ 3\）＼＼begin{align}log_2 （x ＋ 1)（x 1)＆＝3\＼（x ＋ 1)（x 1)＆＝2^3\＼x^2 1 ＆＝ 8\＼x^2 ＆＝ 9\＼x ＆＝ ±3＼end{align}＼但因为对数中的真数必须大于\（0\），所以\（x ＝ 3\）3、证明等式例 4：证明\（log_a ＼frac{M}｛N} ＝ log_a M log_a N\）设\（log_a M ＝ p\），＼（log_a N ＝ q\）则\（M ＝ a^p\），＼（N ＝ a^q\）＼＼begin{align}log_a ＼frac{M}｛N}＆＝log_a ＼frac{a^p}｛a^q}＼＼＆＝log_a a^｛p q}＼＼＆＝p q\＼＆＝log_a M log_a N＼end{align}＼四、对数运算性质的注意事项1、对数的底数\（a\）必须大于\（0\）且不等于\（1\）。
对数知识点总结讲解
对数知识点总结讲解一、对数的定义1. 对数的含义对数是一种数学工具，用来描述一个数与另一个数的幂之间的关系。
例如，如果一个数a 的x次方等于另一个数b，那么x就是以a为底，b为真数的对数，记作loga(b)。
2. 对数的性质对数具有以下几个基本性质：（1）对数的底数不能是0或1；（2）对数的真数不能是负数；（3）以a为底，b为真数的对数等于以10为底，b/a的对数的值乘以以10为底，a的对数的值。
3. 对数的公式表示对数的公式表示为：loga(b) = x，其中a为对数的底数，b为对数的真数，x为对数的值。
对数的值x可以是正数、负数、零。
二、对数的性质1. 对数的运算规则（1）乘法法则：loga(bc) = loga(b) + loga(c)（2）除法法则：loga(b/c) = loga(b) - loga(c)（3）幂法则：loga(b^c) = c*loga(b)（4）换底公式：loga(b) = logc(b)/logc(a)2. 对数的性质（1）loga(1) = 0；（2）loga(a) = 1；（3）a^loga(b) = b；（4）loga(a^x) = x。
三、对数的常用公式1. 对数的常用公式1（1）loga(b) = 1/logb(a)（2）loga(b) = ln(b)/ln(a)（3）loga(b) = logc(b)/logc(a)2. 对数的常用公式2（1）loga(b) + loga(c) = loga(bc)（2）loga(b) - loga(c) = loga(b/c)（3）loga(b^c) = c*loga(b)3. 对数的常用公式3（1）换底公式：loga(b) = logc(b)/logc(a)（2）对数的乘方化简：a^loga(b) = b（3）对数的乘方化简：loga(a^x) = x四、对数的应用1. 对数在数学中的应用（1）对数在指数函数的求导中的应用；（2）对数在对数函数的积分中的应用；（3）对数在数学建模中的应用。
高中数学《对数》课件
高中数学《对数》课件对数是高中数学中的一个重要概念，也是实际应用中经常遇到的一种数学工具。
本文将对数的概念、运算法则、应用等方面进行详细的讲解和分析，帮助学生更好地理解和掌握对数知识。
首先，我们来了解一下对数的定义。
对数是一个函数，其定义域为正实数，值域为实数。
给定一个正实数a，都有一个唯一的实数x，使得a的x次方等于正实数e。
这个实数x就是以a为底数的e的对数，记作log a(e)。
其中，a称为底数，e是一个固定不变的常量，称为自然对数的底数。
接下来，我们来看一下对数的运算法则。
对数的运算法则包括加减法、乘除法、幂运算等。
具体地，如果有两个正实数a和b，那么log a(b)加上log a(c)等于log a(bc)，即对数的加法可以转化为乘法；log a(b)减去log a(c)等于log a(b/c)，即对数的减法可以转化为除法；log a(b)乘以log a(c)等于log a(bc)，即对数的乘法可以转化为乘方；log a(b)除以log a(c)等于log a(b/c)，即对数的除法可以转化为指数。
除了运算法则，对数在实际应用中也有广泛的应用。
例如，在物理学中，声波的传播速度可以用对数来表示；在化学中，溶液的酸碱度可以用对数来表示；在生物学中，细菌的生长速度可以用对数来表示。
此外，在金融、经济等领域，对数也经常被用来进行数据分析。
最后，我们来看一下对数在解题中的应用。
对于一些比较复杂的数学问题，通过对数进行转换和变形，可以使问题变得更加简单和易于解决。
例如，对于一些高次幂的乘法或除法，可以通过对数转换成为加减法或指数运算，从而简化计算过程。
总之，对数是高中数学中的一个重要概念，也是实际应用中经常遇到的一种数学工具。
通过对数的定义、运算法则、应用等方面的讲解和分析，可以帮助学生更好地理解和掌握对数知识，为以后的学习和工作打下坚实的基础。
《数列》高中数学课件《数列》高中数学课件一、背景介绍数列是数学中的一个重要概念，它指的是按照一定规律排列的一列数。
数学中的对数理解和运用
数学中的对数理解和运用
对数理解:
在数学中，对数是对求幂的逆运算，正如除法是乘法的逆运算，反之亦然。
这意味着一个数字的对数是必须产生另一个固定数字（基数）的指数。
在简单的情况下，乘数中的对数计数因子。
更一般来说，乘幂允许将任何正实数提高到任何实数，总是产生正的结果，因此可以对于b不等于1的任何两个正实数b和x计算对数。
如果a的x次方等于N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N 的对数（logarithm），记作x=logaN。
其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。
对数的运用：
对数在数学内外有许多应用。
这些事件中的一些与尺度不变性的概念有关。
例如，鹦鹉螺的壳的每个室是下一个的大致副本，由常数因子缩放。
这引起了对数螺旋。
Benford关于领先数字分配的定律也可以通过尺度不变性来解释。
对数也与自相似性相关。
例如，对数算法出现在算法分析中，通过将算法分解为两个类似的较小问题并修补其解决方案来解决问题。
自相似几何形状的尺寸，即其部分类似于整体图像的形状也基于对数。
对数刻度对于量化与其绝对差异相反的值的相对变化是有用的。
此外，由于对数函数log(x)对于大的x而言增长非常缓慢，所以使用对数标度来压缩大规模科学数据。
对数也出现在许
多科学公式中，例如Tsiolkovsky火箭方程，Fenske方程或能斯特方程。
《对数的概念》 讲义
《对数的概念》讲义一、引入在数学的世界里，我们常常会遇到各种各样的数和运算。
其中，有一种非常重要的数学概念，那就是对数。
想象一下，你正在计算一个数的乘方，比如 2 的 3 次方等于 8。
但如果反过来，已知结果是 8，要找出是 2 的几次方得到 8 呢？这时候，对数就派上用场了。
二、什么是对数对数，简单来说，就是在一个等式中，表示要得到某个数，需要对另一个固定的数（底数）进行多少次乘方运算。
如果 a 的 b 次幂等于 N（a＞0，且a≠1），那么数 b 叫做以 a 为底N 的对数，记作 b ＝logₐN。
例如，因为 2³＝ 8，所以 3 就是以 2 为底 8 的对数，记作 log₂8 ＝3。
再比如，因为 10²＝ 100，所以 2 就是以 10 为底 100 的对数，记作log₁₀100 ＝ 2。
这里，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
三、对数的性质1、零和负数没有对数。
因为对数是指数运算的逆运算，而任何数的任何次幂都不可能是零或负数。
2、 1 的对数是 0。
因为 a⁰＝ 1（a＞0，且a≠1），所以logₐ1 ＝ 0。
3、底数的对数是 1。
即logₐa ＝ 1。
四、对数的运算1、对数的加法logₐ(MN) ＝logₐM ＋logₐN例如，log₂(4×8) ＝ log₂4 ＋ log₂8 ＝ 2 ＋ 3 ＝ 52、对数的减法logₐ(M ／ N) ＝logₐM logₐN比如，log₃(9 ／ 3) ＝ log₃9 log₃3 ＝ 2 1 ＝ 13、对数的乘方logₐ(Mⁿ) ＝n logₐM例如，log₅(25²) ＝ 2 log₅25 ＝ 4五、常用对数和自然对数1、常用对数以 10 为底的对数叫做常用对数，简记为 lg。
例如，lg100 ＝ 2。
2、自然对数以无理数 e（约等于 271828）为底的对数叫做自然对数，简记为 ln。
例如，ln e ＝ 1，ln e²＝ 2。
《对数的实际应》课件
对数的换底公式是log_b N = log_a N / log_a b。这个公式可以用于将不同底数的对数统一到一个公共的底数下 ，以便进行比较和计算。在实际应用中，常用的底数有10、自然对数的底数e（约等于2.71828）和10的平方根 （约等于3.162277）。
02
对数的运算
对数的乘法与除法
对数的加法与减法
总结词
对数的加法与减法是解决实际问题中常用的对数运算。
详细描述
对数的加法可以通过log(a+b) = log(a) + log(1+b/a)进行计算，对数的减法可以通过log(a/b) = log(a) - log(b)进行计算。这些运算在金融、统计学和物理学等领域有广泛的应用，例如计算平均值 、中位数和标准差等统计量。
大小。
03
化学和生物学中的pH值
pH值是衡量溶液酸碱度的指标，它使用对数标度来表示。通过使用对
数，可以更方便地描述和比较不同溶液的酸碱度。
金融领域中的应用
风险评估和投资组合管理
在金融领域中，对数常被用于风险评估和投资组合管理。例如，在评估股票或其他资产的 波动性时，可以使用对数来描述资产价格的变化趋势。此外，对数也常用于计算投资组合 的加权收益率。
对数的基本性质
总结词
对数具有一些基本的性质，这些性质在对数的计算和应用中 非常重要。
详细描述
对数的基本性质包括对数的运算法则，如对数的乘法法则、 除法法则、指数法则等。此外，对数还具有一些重要的恒等 式，如log_a 1=0、log_a a=1等。
对数的换底公式
总结词
对数的换底公式是一种重要的公式，它允许我们改变对数的底数。
利用对数解决实际问题的方法与步骤
对数的概念-说课及讲课课件
目
CONTENCT
录
• 引言 • 对数概念引入 • 对数运算规则 • 对数函数及其性质 • 对数在实际问题中应用 • 总结与拓展
01
引言
说课目的和背景
阐述对数概念的重要性
对数在数学、物理、工程等领域都有广泛应用，掌握对数概念对 于学生后续学习和职业发展具有重要意义。
分析学生学情
详细推导了换底公式，并介绍了其在解决对数问题中的应用，如将不同
底数的对数数在实际问题中的应用案例
列举了一些对数在实际问题中的应用案例，如计算复利、解决音程问题
等，并分析了对数在这些问题中的重要作用。
THANK YOU
感谢聆听
在数据处理中，对数可以用于数据的标准化和归一化。通 过对数变换，可以将不同量级的数据转换到相同的数量级 上，从而方便地进行比较和分析。此外，对数还可以用于 数据的可视化和降维处理。
06
总结与拓展
本次课内容总结
对数的定义和性质
回顾了对数的定义，包括底数、真数、对数值等概 念，以及对数的基本性质，如对数的运算法则、换 底公式等。
80%
不足之处与改进方向
部分学生表示在运用对数解决实 际问题时还存在一定困难，需要 加强对实际问题的分析和解决能 力。
拓展延伸：自然对数和换底公式
01
自然对数的定义和性质
介绍了自然对数的定义，即以常数e为底数的对数，以及自然对数的基
本性质，如自然对数的运算法则、自然对数与指数的关系等。
02
换底公式的推导与应用
指数运算性质
指数运算具有一系列重要的性质，如 乘法法则、除法法则、幂的乘方法则 和幂的加减法则。这些性质在解决复 杂数学问题时非常有用。
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对数的近似值与应用
一般来说，我们可以利用(工程用)计算机求出任何一个对数值，但计算机只提供计算以10为底的对数log ，因此还需利用换底公式才可求出任意对数值。
举
例来说，当我们欲求出7log 3的值时，由于7log 3=3
log 7
log ，因此只要依序按下log 7
÷ log 3 =，即可得到7log 3的值。
除了使用计算机，我们也可利用“常用对数表”得到以10为底的对数近似值，如下表或见课本附录一，表中最左一行之直栏中的二位数字10, 11, 12,…, 99分别代表1.0, 1.1, 1.2,…, 1.9，最上方横栏中数字0, 1, 2,…, 9分别代表第二位小数，表尾差之横栏中数字1, 2,…, 9分别代表第三位小数，而表中每一个四码数字是代表介于0至1间的一个小数，只是省去了小数点，例如：0414, 1761分别代表0.0414, 0.1761。
举例来说，要查27.3log 的值，先在左边直栏找到32(划一横线)，接着在最上方横栏中找到7的位置(划一直线)，两线的交会处即是27.3log 的近似值0.5145。
若要查278.3log 的值，可将27.3log 的值0.5145加上表尾差之值(5145+11=5156)，可得278.3log 的近似值0.5156。
换你查查看： =34.2log ， =345.2log 。
我们也可以由已知的对数値，反查真数的値。
例如： 1959.0log =a ，=a 。
3630.0log =b ，=b 。
利用上页的常用对数表，只能查到1到10间小数不超过三位的数之对数値，至于小数超过三位的其他数(例:2984.3log )，便无法查得。
此时我们可以利用线性的内插法来估算这些数的数值。
线性内插法的原理是利用在平滑曲线上取足够小的一段时，取出的图形与线段很接近，再利用相似形对应边成比例的概念，去推算所需数值的近似值。
而对数函数图形即为一平滑曲线，因此我们可以利用线性内插法求对数函数的近似值，观念如下：
图中ADE ABC ∆∆~，因此 121
121y y y y x x x x BC
DE AC AE --'=
--⇒=y '⇒= 。
当1x 和2x 很接近时，DE PE ≈ ，因此可用y '来估计y ，也就是y y '≈= 。
将上次运算简化如下：
例题1
(1)已知log 7.45＝0.8722，log 7.46＝0.8727，求log 7.454之近似值．
(2)已知log x ＝0.4722，且log 2.96＝0.4713，log 2.97＝0.4728，求x 之近似值．
例题2
已知9222.036.8log =，利用对数的性质求83600log 及00836.0log 的値。
由于常用对数表中只能查到1到10间小数的对数值，若真数不在此范围内，便可仿照例题2的方法求其对数值，一般做法如下：
求对数A log ()0>A 的近似值时，都先将真数A 化为 10n A a =⨯， 其中1≤ a ＜10，而n 是一个整数（正整数、零或负整数），当一个正数A 表 示成a ⨯10 n 时， 我们说这是A 的科学记号表示法， 例如： 490000 ＝ ； 0.000234 ＝ ； ● 3.14 ＝
1
21121y y y y x x x x --=--()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⋅-+=⇒121121x x x x y y y y
当A 的科学记号表示法是n a 10⨯时，10n A a =⨯，其中1≤ a ＜10，n 是整数， 此时 ()n a a a A n n +=+=⨯=log 10log log 10log log 其中 1log 010log log 1log <≤⇒<≤a a
因此任意一个正数A 的对数值A log 皆可写成一个整数n 与一个小于1的非负小数log a 的和，即log log A n a =+，我们称此整数n 为A log 的“首数”，而log a 为A log 的“尾数”。
例如：
1log 3.5216x =，则1log x 的首数为 ，尾数为 。
2log 3.5216x =-，则1log x 的首数为 ，尾数为 。
例题3
(1)已知log x ＝ 4.7835， 求x log 的首、尾数及x 的近似值． (2)已知log x ＝ －2.7073，求x log 的首、尾数及x 的近似值．
练习3
已知log x ＝ －3.2408， 求x log 的首、尾数并利用对数表求x 的近似值．
Ans: 首数=-4, 尾数=0.7592, 410744.5-⨯=x
例题4
现在我们来讨论正数A 与其对数的首数及尾数的关系：
例题5
(1)2 99 是几位数？最高位数字是多少？末位数字为何？ (2)2 999 是几位数？（log 2 ＝ 0.3010）
练习5
3 20 是几位数？（ log 3 ＝ 0.4771 ） Ans: 10位数 例题6
将(2
3
)100以十进制小数表示时， 在小数点后第几位才出现不是0 的数 字？又此数字为何？（log 2 ＝ 0.3010， log3＝0.4771）
练习6
(0.9) 1000 在小数点后第几位才出现不是0 的数字？ Ans: 第46位数 例题7
已知log2＝0.301﹐log3＝0.4771﹐试问2106＋366为几位数？最高位数字为何？ 练习7
已知log2＝0.301﹐log3＝0.4771﹐log7＝0.8451. 若将27
12＋1713表为小数时﹐ 则小数点之后第 8 位才不是零.
例题8 [活用园地题型一]
设10＜x ＜100 ﹐ 又log x 与log 1
x
尾数相同﹐ 求x ＝？ 练习8
设A ＞0，log A 的首数为3，若log 5
A
之尾数为log A 的尾数之两倍，则A ＝ 2000 .
例题9 [活用园地题型三]
(1)设n S ＝1＋35＋(35)2＋……＋(35
)1n -﹐ 若lim n n S →∞
＝S ﹐则S ＝______ .
(2)承上题﹐ 若|n S －S |＜103-﹐ 则n 之最小值为______. (log2＝0.301﹐log3＝0.4771) 练习9
无穷等比级数11
1()2
n n ∞
∑－＝之和为S ﹐ 其前n 项之和为n S ﹐ 则使S －n S ＜105-的最
小自然数n 之值＝ 18 .
利息问题：
◆单利计息：=(1+)⨯⨯本利和本金期利率期數
[每期的本金皆为一开始存入的金额，不因期数改变]
例：甲银行计息方式为年利率5%，每年单利计息一次，若阿棋现存入10000 元，则t 年后可领回多少元？
一年后：当次利息=500%510000=⨯；
本利和=()%5110000%5100001000050010000+⨯=⨯+=+
10500=
二年后：当次利息=500%510000=⨯；
本利和=()%510000%511000050010500⨯++⨯=+ ()110002%5110000=⨯+⨯= 三年后：当次利息=500%510000=⨯；
本利和=()%5100002%511000050011000⨯+⨯+⨯=+ ()115003%5110000=⨯+⨯= M
t 年后：当次利息=500%510000=⨯；
本利和=()()()t t ⨯+⨯=⨯+-⨯+⨯%5110000%5100001%5110000 ❖复利计息：=(1+)⨯期數本利和本金期利率
[本期本金+利息=下期新本金]
例：甲银行计息方式为年利率5%，每年复利计息一次，若阿棋现存入10000 元，则t 年后可领回多少元？
一年后：当次利息=500%510000=⨯；
本利和=()%5110000%5100001000050010000+⨯=⨯+=+ 10500=
二年后：当次利息=()525%5%5110000%510500=⨯+⨯=⨯；
本利和=()()%5%5110000%511000052510500⨯+⨯++⨯=+
()11025%51100002
=+⨯=
三年后：当次利息()%5%51100002
⨯+⨯=；
本利和()()%5%5110000%51100002
2
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()25.11576%51100003
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M
t 年后：当次利息()%5%51100001
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本利和()()%5%5110000%51100001
1
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例题
买政府公债100 万元， 六年期满可得本利和1,126,162 元， 若利息是逐 年复利计算， 则年利率为何？。