山大2017春季班期末考试 线性代数二(答案)

线性代数二

一．单选题.

1. 若)541()1(l k N -55

443211a a a a a l k 是五阶行列式ij a 的一项，则k 、l 的值及该项符号为（ A ）． （A ）2=k ，3=l ，符号为负； (B) 2=k ，3=l 符号为正；

(C) 3=k ，2=l ，符号为负； (D) 1=k ，2=l ，符号为正．

2. 下列行列式（ A ）的值必为零．

(A) n 阶行列式中，零元素个数多于n n -2个；

(B) n 阶行列式中，零元素个数小于n n -2个；

(C) n 阶行列式中，零元素个数多于n 个；

(D) n 阶行列式中，零元素的个数小于n 个．

3. 设A ，B 均为n 阶方阵，若()()2

2B A B A B A -=-+，则必有（ D ）． （A ）I A =； (B)O B =； (C)B A =； (D)BA

AB =． 4. 设A 与B 均为n n ⨯矩阵，则必有（ C ）．

（A ）B A B A +=+；（B ）BA AB =；（C ）BA AB =；（D ）()111

---+=+B A B A ． 5. 如果向量β可由向量组s ααα,....,,21线性表出，则（ D ）

(A) 存在一组不全为零的数s k k k ,....,,21，使等式

s s k k k αααβ+++=....2211成立 (B) 存在一组全为零的数s k k k ,....,,21，使等式

s s k k k α

ααβ+++=....2211成立 (C) 对β的线性表示式不唯一 (D) 向量组s αααβ,....,,,21线性相关

6. 齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充要条件是（ C ）

(A)系数矩阵A 的任意两个列向量线性相关

(B) 系数矩阵A 的任意两个列向量线性无关

(C )必有一列向量是其余向量的线性组合

(D)任一列向量都是其余向量的线性组合

7. 设n 阶矩阵A 的一个特征值为λ，则(λA －1)2＋I 必有特征值（ C ）

(a)λ2+1 (b)λ2-1 (c)2 (d)-2

8. 已知 ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=00000

123a A 与对角矩阵相似，则a ＝（ A ） (a) 0 ; (b) －1 ; (c) 1 ; (d) 2

9. 设A ，B ，C 均为n 阶方阵，下面（ D ）不是运算律．

（A ）()A B C C B A ++=++)( ； （B ）BC

AC C B A +=+)(； （C ）)()(BC A C AB =； （D ）B

AC C AB )()(=． 10. 下列矩阵（ B ）不是初等矩阵．

(A)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100

；（B ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010000001

；（C ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000

20

001

；（D ）⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-100210001

．

二．计算题或证明题（

1. 已知矩阵A ，求A 10。其中⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=210

1A

参考答案：

10101010122A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭

2. 设A 为可逆矩阵，λ是它的一个特征值，证明：λ≠0且λ-1是A -1的一个特征值。 参考答案：

3. 当a 取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．

⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++2

23

32`1321321ax x x x ax x a x x ax

参考答案：

当1,2a ≠-时有唯一解：12313

3

,,222a x x x a a a --

-=-==+++

当1a =时，有无穷多解：112

2132

2x k k x

k x k =---⎧⎪=⎨⎪=⎩

当2a =-时，无解。

4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示．

⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛

=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=2001,1211,1111,43214321αααα

参考答案：

极大无关组为：234,,a a a ，且1234a a a a =++

5. 若A 是对称矩阵，T 是正交矩阵，证明AT T 1-是对称矩

阵．