统计学之统计数据的描述
统计学之数据的描述
数据的特征
任何一组计量数据都有两个重要的特征：
中心值
(典型值)
围绕中心值
(典型值)的变
动幅度
数据的标记
如果我们进行一系列的观察，得到 个数，我们可以使用简单的记号标注数据，这样对数据统计与分析大有帮助。
我们可以将数据按如下方式进行标注：
1 , 2 , 3 , … …
标准差：s = 2 =
1
σ=1
−1
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
− ҧ
2
和的特性
ҧ
平均数和标准差适合概括没有异类点、完全对称的直方图。如右图所示。
5
8
9
13
200
中位数为：9，平均数为：47
此时用平均数不能体现总
体毕业生的薪资水平，扭
曲了毕业生的平均薪资
异类点(极
端数值)
变动度的测量
变动度是描述数据偏离中心值有多远的量。
例如：调查学校7个学生的体重，恰好都是145斤，那
如果学生重量轻重不一，如下图所示。
就根本没有变动度，用直方图表示会很窄。如下图所
举例：随机调查某大学毕业生中5个人薪资水平，数据如下：
学号
B0034
A0003
B0020
D1005
C0096
薪资(K)
5
8
9
13
10
中位数为：9，平均数为：9
如果随机调查某大学毕业生中5个人薪资水平，其中C0096号同学薪资为200K，则：
学号
B0034
A0003
B0020
D1005
C0096
薪资(K)
示。
直方图将会变宽
统计学测量数据分布的测度描述
统计学测量数据分布的测度描述包括以下几种常见的描述方法：
1.平均数：也称为均值，是指一组数据中所有数值的总和除以数
据个数的结果。
平均数可以用来描述一组数据的集中趋势。
2.中位数：也称为中值，是指一组数据中所有数值按大小排序后，
位于中间的那个数值，如果数据个数为偶数，则中位数为中间两个数的平均数。
中位数可以用来描述一组数据的集中趋势。
3.众数：也称为模数，是指一组数据中出现次数最多的数值。
众
数可以用来描述一组数据的集中趋势，特别是对于呈现多峰分布的数据。
4.极差：是指一组数据中最大值与最小值的差值。
极差可以用来
描述一组数据的离散程度。
5.方差：是指一组数据中每个数值与平均数的差的平方和除以数
据个数的结果。
方差可以用来描述一组数据的离散程度。
6.标准差：是指方差的正平方根。
标准差可以用来描述一组数据
的离散程度，同时也可以用来进行数据的比较。
7.百分位数：是指一组数据中某个百分比的数值。
例如，50%的百
分位数就是中位数。
百分位数可以用来描述一组数据的分布情况，比如数据的偏态和尾重程度。
这些测度描述可以帮助我们更好地理解和分析一组数据的特征和分布情况。
统计学原理(第二章)
数据的计量和类型
一、数据的计量尺度 4.定比尺度：又称为比例尺度或是比较水平， 是对事物之间比值的一种测度，它是最高层 次的测量，可用于参数和非参数统计推断。 它是与定距尺度属于同一层次的一种计量尺 度，但其功能比定距尺度更强一些。
在日常生活中，大多数情况下使用的都是 定比尺度。例如，年龄、收入、某地区每年的 失业人数、罪犯人数等。
数值数据的描述
一、数值数据的 分组
为什么要进行数据的分组？
品质数据的描述
某电脑公司50名销售代表某季度电脑销售量按从小 到大排序如下表：
107 108 108 110 112 112 113 114 115 117 117 117 118 118 118 119 120 120 121 122 122 122 122 123 123 123 123 124 124 124 125 125 126 126 126 127 127 128 128 129 130 131 133 133 134 134 135 139 139 139
204 80.00% 105 41.17%
235 92.16% 51 20%
255 100% 20 7.84%
— 100% —
品质数据的描述
二、品质数据的 图示 1.条形图：是用宽度相同的条形的高度或长 短来表示数据变动的图形，横置的称为带形 图，纵置的称为柱形图（直方图）。
柱形图（直方图）
120 100 80 60 40 20
定类变量、定序变量、 数值型变量（离散变量、连续变量）
第二节 品质数据的描述
一、品质数据的描述 二、数据的类型品质数据的图示 三、品质数据的分布特征描述
品质数据的描述
一、品质数据的 描述 1.频数：是落在某一特定类别（或组）中的 数据的个数。把各个类别及其相应的频数全 部列出来则形成频数分布。
统计学原理数据的描述(1)
目 录 2.1 数据的收集 2.2 数据的整理 2.3 数据的描述 2.4 数据的计算机处理
1.1 统计数据的搜集
数据资料是经济管理和工商企业管理决策的基础。 数据资料是经济管理和工商企业管理决策的基础。 占有一定的资料是研究的基础。 占有一定的资料是研究的基础。 根据统计研究任务要求, 根据统计研究任务要求,采用科学的调查方式和方 法搜集资料,是保证统计质量的基本环节、 法搜集资料,是保证统计质量的基本环节、统计分 析的前提。 析的前提。 只有搞好统计调查， 只有搞好统计调查，才能保证统计工作达到对于客 观事物规律性的认识。并从而预测未来， 观事物规律性的认识。并从而预测未来，统计资料 还是制定政策的依据， 还是制定政策的依据，并据此检查和监督政策的贯 彻执行情况。 彻执行情况。
联邦储备局
预算编制办公室 商务部
二手数据的特点与注意问题
搜集容易， 搜集容易，采集成本低 作用广泛 • 分析所要研究的问题 • 提供研究问题的背景 • 帮助研究者更好地定义问题 • 寻找研究问题的思路和途径 搜集二手资料在研究中应优先考虑 数据是谁搜集的？ 数据是谁搜集的？
可信度评估
为什么目的而搜集的？ 为什么目的而搜集的？ 数据是怎样搜集的？ 数据是怎样搜集的？ 什么时候搜集的？ 什么时候搜集的？
4.调查的分类 调查的分类
调查可以从不同角度进行分类： 调查可以从不同角度进行分类： 按调查内容和性质划分， 一、按调查内容和性质划分，分为有关部门组织的专项调 市场调查和科学研究调查等。 查、市场调查和科学研究调查等。 从调查对象的范围来划分， 二、从调查对象的范围来划分，可以分为全面调查和非全 面调查。 面调查。 三、从调查是否重复来划分，可分为一次性调查和经常性 从调查是否重复来划分， 调查。 调查。 按组织方式， 四、按组织方式，可分为统计报表和专门调查 统计报表是按照统一规定的表式要求,自上而下地统一 统计报表是按照统一规定的表式要求 自上而下地统一 布置、自下而上地统一提供统计资料的组织方式。 布置、自下而上地统一提供统计资料的组织方式。 专门调查是为研究某些专门问题,由进行调查的单位专 专门调查是为研究某些专门问题 由进行调查的单位专 门组织的调查,这种调查属一次性调查 如人口普查、 这种调查属一次性调查， 门组织的调查 这种调查属一次性调查，如人口普查、劳 动力调查、科技普查等。 动力调查、科技普查等。
《统计学》数值数据的描述
第四章数值数据的描述重点：有关数值数据的性质和特征：如集中趋势、变异(离散)程度、分布形状1、集中趋势度量(MeaSureSofCentralTendency)1)均值或平均数(Mean)、算术平均数(arithmeticmean)又称为期望样本均值T=(X l+X2+∙∙→‰)/n=(∑X i)/n这是最常用的度量统计量它通过以观察值中较小数据补足较大的数据来得到平衡点易受数据的极端值的影响(如体育比赛中最高分和最低分往往被去掉)2)中位数：有序数列中处在中间位置的数值(Median)确定中位数的方法：首先，按序排列数据其次，运用定位公式：(n+l)∕2确定中间的观察值如果样本容量为奇数，中位数为中间的观察值数值如果样本容量为偶数，中位数为中间两个观察值的平均中位数与平均数相比对偏态不敏感。
不易受数据极端值的影响3)众数：数据集合中出现频数最高的数值(Mode)众数可从有序数组中观得到可能会出现没有众数或一个以上众数的情况4)值域中点=(X Ai大值+X44小值)/2(Midrange)所有观察值中最大值和最小值的平均值，应用于金融分析和气象预报对数据的极端值非常敏感5)中轴数=(Q1+Q3)/2 (Midhinge)第一四分位数和第三四分位数的平均值，中轴数不受极端值的影响四分位数的度量Q1.第一四分位数是(n+l)∕4位置上的数据(first quartile,QI)25%的数据比第一四分位数小。
Q?.第二四分位数就是中位数(secondquartile,Q2)处在2(n+l)∕4=(n+D∕2的位置上，50%的观察值比中位数小。
Qs.第三四分位数是处在3(n+l)∕4位置上的数据(thirdquartile,Q3)75%的观察值比第三四分位数小。
2、变异程度的度量MeasureofVariation1)全距X奴小值(Range)又称级差，由数据的极端值所决定。
对数组排序，很容易的找出最大值和最小值，从而计算出全距。
统计学之统计数据的描述
则必然取2，而不能取其他
离散系数
离散系数
(coefficient of variation)
1. 标准差与其相应的均值之比 2.对数据相对离散程度的测度 3.消除了数据水平高低和计量单位的影
响
4v.用 较于对不同组别数v据s 离散程xs度的比
【 例 】某管理局抽查了所属的8家企业 ，其产品销售数据如表。试比较产品销售 额与销售利润的离散程度
累积的收入百分比
绝对公平线
A B
累积的人口百分比
基尼系数
1. 20世纪初意大利经济学家基尼(G. Gini)根据
洛伦茨曲线给出了衡收入分配平均程度的指
标 基尼系数=
A
A B
2. A表示实际收入曲线与绝对平均线之间的面积 3. B表示实际收入曲线与绝对不平均线之间的面
积
A B
• 如果A=0，则基尼系数=0，表示收入绝对 平均
一般用x表示变量；用f表示频数（次数） 。
2.1.3 次数分配图
分组数据—直方图和折线图
Excel
用直方形的宽度和高度来表示次数分 布的图形。
绘制直方图时，横轴表示各组组限， 纵轴表示次数（一般标在左方）和比 率（或频率，一般标在右方）。
分组数据的图示
我一眼就看 出来了，销 售量在170～ 180之间的天 数最多!
1. 一组数据中可以自由取值的数据的个数
2. 当样本数据的个数为 n 时，若样本均值x 确定后,只有n-1个数据可以自由取值，其
中必有一个数据则不能自由取值
3.
例如，样
x3=9，则
本有
x
3个数值，即
= 5。当 x
x=1=52，确x定2=4后，，x
1
统计数据的描述
身高 人数
（CM） （人）
152
1
154
2
155
2
156
4
157
1
158
2
159
2
160 12
161
7
162
8
163
4
身高 人数
（CM） （人）
164
3
165
8
166
5
167
3
168
7
169
1
170
5
171
2
172
3
174
1
总计 83
众数旳拟定方法
某年级83名女生身高资料
身高 人数
（CM） （人）
具有某种标志体现旳 单位数所占旳成数
P N1 N
不具有某种标志体现 旳单位数所占旳成数
Q N0 N
且有P Q
N1 N
N0
N
N1 N0 N
N N
1
是非标誌总体旳均值
均 值
XP
Xf 1 N1 0 N0 N1 P
f
N
N
几何平均数(又称“对数平均数”)
1.简朴几何平均数
X G n X1 • X2 Xn n X
多种平均数
❖ 平均数是一种数值,是对一种变量旳观察值进行计 算后得到旳.
❖ 我们常读到MBA旳平均工资,平均房价,道琼斯平 均股票价格,平均谋杀率等.你都了解这些平均数 吗？
❖ 让我们来看一下下面旳句子: ❖ 当代美国旳平均人是女人,平均每个女人有2.1个
孩子,且这些女人住在平均价值为$80000旳住房 中
72法则
❖ 计算翻一番需要旳时间时，能够用72除以增长速度旳数值， 得到时期数
统计学 第2章 统计数据的描述
第2章统计数据的描述练习：2.1为评价家电行业售后服务的质量，随机抽取了由100家庭构成的一个样本。
服务质量的等级分别表示为：A.好；B.较好；C.一般；D.差；E.较差。
调查结果如下：B EC C AD C B A ED A C B C DE C E EA DBC C A ED C BB ACDE A B D D CC B C ED B C C B CD A C B C DE C E BB EC C AD C B A EB ACDE A B D D CA DBC C A ED C BC B C ED B C C B C(1) 指出上面的数据属于什么类型；(2)用Excel制作一张频数分布表；(3) 绘制一张条形图，反映评价等级的分布。
2.2某行业管理局所属40个企业2002年的产品销售收入数据如下（单位：万元）：152 124 129 116 100 103 92 95 127 104105 119 114 115 87 103 118 142 135 125117 108 105 110 107 137 120 136 117 10897 88 123 115 119 138 112 146 113 126(1)根据上面的数据进行适当的分组，编制频数分布表，并计算出累积频数和累积频率；(2)如果按规定：销售收入在125万元以上为先进企业，115万～125万元为良好企业，105万～115万元为一般企业，105万元以下为落后企业，按先进企业、良好企业、一般企业、落后企业进行分组。
2.3某百货公司连续40天的商品销售额如下（单位：万元）：41 25 29 47 38 34 30 38 43 4046 36 45 37 37 36 45 43 33 4435 28 46 34 30 37 44 26 38 4442 36 37 37 49 39 42 32 36 35根据上面的数据进行适当的分组，编制频数分布表，并绘制直方图。
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1. 将一个变量值作为一组
2.适合于变量值较少的
☺
离散变量
☺
☺
☺
组距分组
(要点)
• 将变量值的一个区间作为一组 • 适合于连续变量和变量值较多
的离散变量。 • 需要遵循“不重不漏”的原则 • 有等距分组和不等距分组
☺~ ☺ ☺~ ☺ ☺~ ☺ ☺~ ☺ ☺~ ☺
组距分组
(几个概念)
▪
分组标志是划分数据的标准或依据
分组的性质来：兼有分和合双重含义。
2、统计分组的原则 穷尽原则 互斥原则
3、统计分组方法
品质标志分组 数量标志分组
品质分组
➢ 品质标志：性别、职业、所有制等。
分组标志一经确定，组名和组数也随之 确定 品质分组所形成的数列称为品质数列
饮料品 牌
2，而不能取其他
离散系数
离散系数
(coefficient of variation)
1. 标准差与其相应的均值之比 2.对数据相对离散程度的测度 3.消除了数据水平高低和计量单位的影
响 4. 用于对不同组别数据离散程度的比较
【 例 】某管理局抽查了所属的8家企业 ，其产品销售数据如表。试比较产品销售 额与销售利润的离散程度
结论： 计算结果表明，v1<v2，说明产品销
售额的离散程度小于销售利润的离散程度
2.5 统计表与统计图
2.5.1 统计表
•把统计数据按一定的顺序排列在表格上 ，就形成了统计表。
统计表的结构
1999～2000年城镇居民家庭抽样调查资料
表头
项目
单位 1999年 2000年
列
调查户数 平均每户家庭人口
分组数据的图示
(折线图的绘制)
频 30 数 25 (天) 20
15
10
5
折线图与直方图 下的面积相等！
140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240
某电脑公司销售量分布的折线图
曲线图：用平滑曲线连接各组次数坐标点 即得分布曲线。
频数分布的类型
对称分布
2. 确定组距： (Class Width) 组距＝( 最大值 - 最小值)÷ 组数
3. 统计出各组的频数并整理成频数分布表
2.1.2 次数分配 P17
在分组的基础上，将所有单位归类并列出每 一组的次数，称为次数分布或频数分布。
次数分布数列的两个要素 1）按某标志所分的组。 2）各组所出现的单位数，即频数，亦称 次数。
不受极端值影响 数据分布偏斜程度较大时应用
• 平均数
易受极端值影响 数学性质优良 数据对称分布或接近对称分布时应用
2.3 分布离散程度的测度
一、极差 二、内距 三、方差和标准差 四、离散系数
极差
(range)
• 一组数据的最大值与最小值之差 • 离散程度的最简单测度值 • 易受极端值影响 • 未考虑数据的分布
2.2.3
四分位数
(quartile)
1.排序后处于25%和75%位置上的值
25% 25% 25% 25%
QL
QM
QU
四分位数
未分组数据：
2.2.4 均值
(mean)
1. 集中趋势的最常用的测度值
简单算术平均数(simple mean)
加权算术平均数
(weighted mean)
设一组数据为： 相应的频数为：
2. 各变量值与均值的离差平方和最小
几何平均数
(geometric mean)
1. n 个变量值乘积的 n 次方根
2. 适用于对比率数据的平均 3. 主要用于计算平均增长率
【例】一位投资者持有一种股票，1996年、 1997年、1998年和1999年收益率分别为 4.5%、2.0%、3.5%、5.4%。计算该投资者 在这四年内的平均收益率。
频 30 数 25
(天 20
)
15
10
5
直方图下的面 积之和等于1
140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240
某电脑公司销售量分布的直方图
折线图：折线图可以在直方图的基础 上，用折线将各组次数高度的坐标连 接而成，也可以用组中值与次数求坐 标点连接而成
户
40044 4222.0
标
人
3.14
3.13
题
行
平均每户就业人口
标
平均每户就业面
题
平均一就业者负担人数 平均每人全部年收入
＃可支配收入
人
1.77
1.68
数
% 元 元 元
56.43 1.77 5888.77 5854.02
53.67
字
1.86 6316.81 6279.98
资 料
平均每人消费性支出
元
一般用x表示变量；用f表示频数
（次数）。
2.1.3 次数分配图 分组数据—直方图和折线图
Excel
用直方形的宽度和高度来表示次数分 布的图形。
绘制直方图时，横轴表示各组组限， 纵轴表示次数（一般标在左方）和比 率（或频率，一般标在右方）。
分组数据的图示
我一眼就看 出来了，销 售量在170～ 180之间的天 数最多!
某管理局所属8家企业的产品销售数据
企业编号 1
产品销售额（万元）
x1 170
销售利润（万元）
x2 8.1
2
220
12.5
3
390
18.0
4
430
22.0
5
480
26.5
6
650
40.0
7
950
64.0
8
1000
69.0
v1=
309.19 536.25
=0.577
v2=
23.09 32.5215
=0.710
设有六个工人的日产量(件)依次排列为10、11、 12，13、14、15、则：
中位数位次＝（n+1）／2
＝6+1／2＝3.5
2、由分组资料计算中位数: （1）由单项数列求中位数
例10：某生产车间120名工人生产某种零件的日 产
量如下表所示，计算该车间工人日产量的中位数 。
按日产量分组（件 ） 20 22 24 26 30 32 33
2.2 集中趋势的测度
一. 众数
二. 中位数和分位数 三. 均值
四.众数、中位数和均值的比较
集中趋势
(central tendency)
1. 一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度 2. 测度集中趋势就是寻找数据水平的代表
值或中心值 3. 不同类型的数据用不同的集中趋势测度
值
2.2.1 众数
(mode)
• 如果B=0，则基尼系数=1，表示收入绝对不 平均
• 基尼系数在0 和1之间取值
• 一般认为，基尼系数若小于0.2，表明分配 平均；基尼系数在0.2至0.4之间是比较适当 的，即一个社会既有效率又没有造成极大的 分配不公；基尼系数在0.4被认为是收入分 配不公平的警戒线，超过了0.4应该采取措 施缩小这一差距。
方差和标准差
(Variance and Standard deviation)
离散程度最常用的测度值
• 反映了各变量值与均值的平均差 异
总体方差和标准差
(Population variance and Standard deviation) 未分组数据：
组距分组数据：
样本方差和标准差
(simple variance and standard deviation)
平均收益率＝103.84%-1=3.84%
众数、中位数和均值的比较
众数、中位数和均值的 关系
均值 中位数 众数 均值 = 中位数 = 众数 众数 中位数 均值
左偏分布
对称分布
右偏分布
众数、中位数和均值的特点和 应用
• 众数
不受极端值影响 具有不唯一性 数据分布偏斜程度较大时应用
• 中位数
右偏分布
左偏分布
正J型分布
反J型分布
几种常见的频数分布
U型分布
2.1.4 洛伦茨曲线与基尼 系数
洛伦茨曲线
• 20世纪初美国经济学家、统计学家洛伦茨(M.E. Lorentz)根据意大利经济学家巴雷特(V. Pareto)提出的收入分配公式绘制而成
• 描述收入和财富分配性质的曲线
• 分析该国家或地区分配的平均程度
x1 ，x2 ，… ，xn f1 ， f2 ，… ，fk
(例题分析)
(权数对均值的影响)P34
甲组： 考试成绩（x ）: 0
人数分布（f ）：1
乙组： 考试成绩（x）: 0
人数分布（f ）：8
20 100
1
8
20 100
1
1
算术平均数
(数学性质) 1.各变量值与均值的离差之和等于零
可口 可乐
旭日 升冰 茶
百事 可乐
汇源 果汁
露露
合计
人如数不同百品分(牌%比)饮料市场占有率
15
30
11
22
9
18
6
12
9
18
50
100
数量标志分组
➢ 数量标志：年龄、产量、利润等。
首先，各组数量界限的确定必须能反映事物质的 差别。
其次，应根据总体的数量特征，采用适当的分组 形式。
单变量值分组
未分组数据：
组距分组数据：
样本方差P34
自由度(degree of freedom)