初三数学培优资料
1_《勤学早》九数大培优全一册(学用)117-202
如图,过双 曲 线 上 任 意 一 点 P 作x 轴,y 轴 的 垂 线 段PM ,PN,则 所 得 的 矩 形 PMON 的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|,即 在 反 比 例 函 数y=
k x
(k≠0)的 图
象上
任
取
一
点
向
两
坐
标
轴
作
垂
线
段
,则
两
垂
线
段
与
两
坐
标
轴
所
围
成 的 矩 形 的 面 积 等 于|k|,且 这 个 面 积 的 值 与 取 点 的 位 置 无 关 .
(2)若 A,B 两点在一次函数y=-4 3x+b 位于第一象限的图象上(如图所示),分别过 A,B 两点作x 轴
的垂线,垂足分别为点 C,D,连接 OA,OB,且S△OAB =8,求a 的值;
(3)在(2)的条件下,如果3m=-4x+24,3n=3x2,求使得 m>n 的x 的取值范围.
解:(1)∵A,B 是反比例函数y=xk (k>0)图象上的两点,∴a≠0,当a>0 时,点 A,B 在 第 一 象
【板块一】 反比例函数的定义和解析式
方法技巧
根据定义解题 1.定义:一般地,形如y=xk (k 为常数,k≠0)的函数,叫做反比例函数,其中x 是自变量,y 是函数.自变 量x 的取值范围是不等于0的一切实数; 2.解析式:y=xk (k≠0)或xy=k(k≠0)或y=kx-1(k≠0).
▶题型一 根据定义判断反比例函数
特别地,S△PMO =S△PNO =1 2|k|.
【例5】 如图,平行于x 轴的直线AB 与 双 曲 线y=kx1 和y=kx2 (k1>k2)在 第一象限内交于 A,B 两点,若S△OAB =2,求k1-k2的值.
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初三数学培优资料 第一讲：一元二次方程的根一、内容提要1. 一元二次方程ax 2+bx4-c=0(a^0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的. 求根公式是：-型.(b 2-4ac^0)2a2 •根的判别式① 实系数方程ax 2+bx4-c=0(a^0)有实数根的充分必要条件是：b 2-4ac^0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a#0)有有理数根的判定是：b 2-4ac 是完全平方式O 方程有有理数根. ③ 整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根O p 2-4q 是整数的平方数.3. 设X|, X2是ax 2+bx+c=O 的两个实数根，那么① axj 24-bXj+c=0 (aHO, b 2—4ac^0), ax2?+bx2+c=O (aHO, b 2—4ac^0)；c —b+y]b 2-4ac—b —^lb 2-4ac /亠 12 、 ② Xi= --------------------- ,X2= ---------------------- (aHO, b 2—4ac^O)；2a2a二、例题 例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+l.求证：两个方程x 2+x+b=0与x2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.例2.己知首项系数不相等的两个方程：(a-1 )x 2-(a 2+2)x+(a 2+2a)=0 和(b- l)x 2-(b 2+2)x+(b 2+2b)=0 中a,b 为正整数)有一个公共根.求a, b 的值.例3.已知：m, n 是不相等的实数，方程x 2+mx+n=0的两根差与方程y 2+ny+m=0的两根差相等. 求：m+n 的值. 例4.若a, b, c 都是奇数，则二次方程ax 2+bx+c=0(a^0)没有有理数根.③韦达定理：X]+X2=——, aXiX 2=— (aHO, b 2—4ac^0). a4. 方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=O (a#0)有一个整数根x 】的必要条件是:X 】是C 的因数.特殊的例子有：C=0<=> x )=0 ,a+b+c=0o X]=l , a —b+c=O <=> X|=— 1 ・例5.求证：对于任意一个矩形A,总存在一个矩形B,使得矩形B与矩形A的周长比和面积比都等于k (k$l).例6. k取什么整数值时，下列方程有两个整数解？①(k2-l) x2-6(3k-l)x+72=0 ；②kx2+(k2-2)x-(k+2)=0.三、练习1.写出下列方程的整数解：①5x2— V3 x=0的一个整数根是______ .②3x2+( V2 — 3)x —的一个整数根是______ .③x2+( 75+1)x4-75=0的一个整数根是________ •2.方程(1-m) x2-x-l=0有两个不相等的实数根，那么整数ni的最大值是_________________ .3.已知方程X2—(2m— l)x—4m+2=0的两个实数根的平方和等于5,则m= __________.4.若x Hy，且满足等式x2+2x —5=0和y2+2y—5=0.那么丄—= _____________ .(提示：x, y是方程z2+5z—兀y5=0的两个根.)5.如果方程x2+px+q=0的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p, q应满足的关系是：_________________6.若方程ax2+bx+c=0 +• a>0, b>0, c<0.那么两实数根的符号必是 _________________ .7.如果方程mx2—2(m+2)x+m+5=0没有实数根，那么方程(m—5) x2—2mx+m=0实数根的个数是( ).(A)2 (B) 1 ( C) 0 (D)不能确定& 当a, b 为何值时，方程X2+2( 1 +a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0 有实数根？9.两个方程x2+kx — 1 =0和x—k=0有一个相同的实数根，则这个根是( )(A)2 (B) -2 (C) 1 (D) -110.已知：方程x2+ax+b=0与x?+bx+a=0仅有一个公共根，那么a, b应满足的关系是：___________________11.已知：方程x2+bx+l=0与x'—x—b=0有一个公共根为m,求：m, b的值.12.已知：方程x2+ax+b=0的两个实数根各加上1,就是方程x2-a2x+ab=0的两个实数根.试求a, b的值或取值范围.13.已知：方程ax2+bx+c=0(a^0)的两根和等于s〕，两根的平方和等于S2,两根的立方和等于S3. 求证:as3+bs2+cs i=0.14.求证：方程X2—2(m+l)x+2(m—1)=0的两个实数根，不能同时为负.(可用反证法)15.己知：a, b是方程x2+mx+p=0的两个实数根；c, d是方程x2+nx+q=0的两个实数根. 求证：(a—c)(b_c)(a_d)(b_d)=(p_q)2.16.__________________________________________________________________________________ 如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5,两实数根的积是2,那么这个方程是：_________________________17.如果方程(x-1) (x2-2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m的収值范围是( )3 3 3(A) OWmWl (B) m2—(C) —<mWl (D) —WmWl4 4 418.方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0 (k是整数)的两个实数根为ci , B且0VaVl,1<3<2,那么k的取值范围是()(A) 3<k<4 (B)-2<k<-l (C) 3<k<4 或-2<k<-1 (D)无解第二讲：未知数比方程个数多的方程组解法、内容提要1、在一般情况下，解方程或方程组，未知数的个数总是与方程的个数相同的，但也有一些方程或方程组, 所含的未知数的个数多于方程的个数，包括在列方程解应用题时，引入的辅助未知数.2、解这类方程或方程组，一般有两种情况：一是依题意只求其特殊解，如整数解，或儿个未知数的和（积）等，无需求出所有的解；二是在实数范围内，可运用其性质，增加方程或不等式的个数.例如，利用取值范围，非负数的性质等. 二、例题解析：例1.在实数范围内，解下列方程或方程组：例2.—个自然数除以4余1,除以5余2,除以11余4,求适合条件的最小自然数.例3.有甲，乙，丙三种货物.若购买甲3件，乙7件，丙1件共需3.15元；若购买甲4件，乙10件，丙1 件共需4.20元.问购买甲、乙、丙各1件共需儿元？例4.甲、乙两车分别从A 、B 两站同时岀发，相向而行，当甲车走完全程的一半时，乙车距A 站24公里; 当乙车走完全程的一半时，甲车距B 站15公里.求A 、B 两站的距离.三、巩固练习：1. 甲，乙，丙，丁，戊做一件工程，甲，乙，丙合作需7.5小时，甲，丙戊合作需5小时，甲，丙，丁合作 需6小时，乙，丁，戊合作需4小时.问五人合作需儿小时？2. 服装厂向百货商店购买甲、乙两种布，共付42.9元，售货员收款时发现甲、乙两种布单价对调了，退给丿 方1.6元，厂方把这1.6元又买了甲、乙两种布各1尺.问服装厂共买布儿尺？3. 两只船分别从河的两岸同时对开，速度保持不变，第一次相遇时，距河的一岸700米，继续前进到达对岸 后立② x 2+xy+y 2—3x —3y+3=0 ；x+ y + z = 22xy- z 1 - 4即返回，第二次相遇时，距河的另一岸400米，求河的宽.4.游泳运动员自闽江逆流而上，在解放大桥把水壶丢失，继续前游20分钟才发现，于是返回追寻，在闽江大桥处追到，已知两桥相距1000米，求水流的速度.5.已知长方形的长和宽均为整数，且周长的数值与面积的数值相等.问这长方形的长和宽各是多少?6.有一队士兵，若排成3列纵队，则最后一行只有1人；若排成5列纵队，则最后一行只有7.人；排成7 列纵队，则最后一行只有6人.问这队士兵最少是几人？7.求下列方程的实数解：①J1 - 2兀 +-1 +1 + 3 y = 0②5x2+6xy+2y2— 14x — 8y+10=0③(x2+l)(y2+4)=8xy④\lx + y —1| +』3x-2y + 5 = 08.—件工程，如果甲单独完成所需的时间是乙，丙合做，完成这件工程所需时间的a倍；如果乙单独完成所需的吋I'可是甲，丙合做，完成这件工程所需吋间的b倍.（英中b>a>l）,那么丙单独完成所需的吋间是甲，乙合做，完成这件工程所需时间的多少倍？9.甲，乙两车从东站，丙，丁两车从西站，同时相向而行.甲车行120公里遇丙车，再行20公里遇丁车；乙车在离西站126公里处遇丙车，在中途遇丁车.求东西两站的距离.10.三辆车A, B, C从甲到乙.B比C迟开5分钟，岀发后20分钟追上C； A比B迟开10分钟，出发后50 分钟追上C.求A出发后追上B的时间.11.学生若干人住宿，如果每间4人，有20人没房住；如果每间8人，则有一间不满也不空.求学生人数.12.—只船从甲码头顺水航行到乙码头用5小时，由乙码头逆水航行到甲码头需7小时。
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一、补成三角形1.补成三角形 例1.如图1，已知E 为梯形ABCD 的腰CD 的中点；证明：△ABE 的面积等于梯形ABCD 面积的一半。
2.补成等腰三角形例2 如图2.已知∠A ＝90°，AB ＝AC ，∠1＝∠2，CE ⊥BD ，求证：BD＝2CE3.补成直角三角形例3.如图3，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＋∠C ＝90°，F 、G 分别是AD 、BC 的中点，若BC ＝18，AD ＝8，求FG 的长。
4.补成等边三角形例4.图4，△ABC 是等边三角形，延长BC 至D ，延长BA 至E ，使AE ＝BD ，连结CE 、ED 。
证明：EC ＝ED二、补成特殊的四边形1.补成平行四边形例5.如图5，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、CD 、AC 、BD的中点，并且E 、F 、G 、H 不在同一条直线上，求证：EF 和GH 互相平分。
2.补成矩形例6.如图6，四边形ABCD 中，∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝200m ，CD ＝100m ，求AD 、BC 的长。
图图63.补成菱形例7.如图7，凸五边形ABCDE 中，∠A=∠B ＝120°，EA ＝AB ＝BC ＝2，CD ＝DE ＝4，求其面积4.补成正方形例8.如图8，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠BAC ＝45°，BD ＝3，DC ＝2。
求△ABC 的面积。
5.补成梯形例9．如图9，已知： G 是△ABC 中BC 边上的中线的中点，L 是△ABC 外的一条直线，自A 、B 、C 、G 向L 作垂线，垂足分别为A 1、B 1、C 1、G 1。
求证：GG 1＝41(2AA 1＋BB 1＋CC 1)。
图7图8图9。
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一、解答题1．如图所示，圆O 是ABC 的外接圆，BAC ∠与ABC ∠的平分线相交于点I ，延长AI 交圆O 于点D ，连结BD DC 、．（1）求证：BD DC DI ==；（2）若圆O 的半径为10cm ，120BAC ∠=︒，求BDC 的面积．2．如图，已知D，E 分别为△ABC 的边AB，BC 上两点，点A，C，E 在⊙D 上，点B，D 在⊙E 上．F 为弧BD 上一点，连接FE 并延长交AC 的延长线于点N ，交AB 于点M，，1）若∠EBD 为α，请将∠CAD 用含α的代数式表示；，2）若EM=MB ，请说明当∠CAD 为多少度时，直线EF 为⊙D 的切线；，3）在（2）的条件下，若3MN MF的值．3．四边形ABCD 为平行四边形，AC 为对角线，∠BAC ＝60°，CE 、BF 分别∠ACB 、∠ABC 的角平分线，CE 、BF 相交于G ；（1）求∠CGF 的度数；（2）求证：BE+CF ＝BC ；（3）若BE ：CF ＝1：2，EG ＝7ABCD 的面积．5．已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCO是顶点坐标分别为A，3，0，，B，3，4，，C，0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，，5），点P是直线AC上的一动点．，1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；，2）当点P沿直线AC移动时，过点D，P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC 相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；，3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R，R，0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E，F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形长为AC2DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．4．我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60°的凸四边形叫做“准筝形”．如图1，四边形ABCD中，若AB=AD，∠A=60°，则四边形ABCD是“准筝形”，，1）如图2，CH是△ABC的高线，∠A=45°，∠ABC=120°，AB=2．求CH，，2）在（1）条件下，设D是△ABC所在平面内一点，当四边形ABCD是“准筝形”时，请直接写出四边形ABCD的面积；，3）如图3，四边形ABCD中，BC=2，CD=4，AC=6，∠BCD=120°，且AD=BD，试判断四边形ABCD是不是“准筝形”，并说明理由．参考答案1．（1）证明见解析（2）【解析】（1）证明：AI 平分BAC ∠BAD DAC BD DC ∴∠=∠∴=， BI 平分ABC ABI CBI ∠∴∠=∠，BAD DAC DBC DAC ∠=∠∠=∠，BAD DBC ∴∠=∠，又DBI DBC CBI DIB ABI BAD ∠=∠+∠∠=∠+∠，DBI DIB BDI ∴∠=∠∴，为等腰三角形BD ID BD DC DI ∴=∴==，（2）解：当120BAC ∠=︒时，ABC 为钝角三角形，∴圆心O 在ABC 外，连结OB OD OC 、、，2120DOC BOD BAD ∴∠=∠=∠=︒，60DBC DCB ∴∠=∠=︒，∴BDC 为正三角形．又知10cm OB =，2sin 602102BD OB ∴=︒=⨯⨯=224BDC S ∴==答：BDC 的面积为2．（1）根据角平分线的性质、圆周角定理、三角形的外角定理即得结论；（2）连结OB OD OC 、、，证得BDC 为正三角形，先根据三角函数求得BD 的长，在根据等边三角形的面积公式即可求出结果．2．（1）3902α-；（2）45°；（3） 【解析】分析：，1）根据同圆的半径相等和等边对等角得：∠EDB=∠EBD=α，∠CAD=∠ACD，∠DCE=∠DEC=2α，再根据三角形内角和定理可得结论；，2）设∠MBE=x ，同理得：∠EMB=∠MBE=x ，根据切线的性质知：∠DEF=90°，所以∠CED+∠MEB=90°，同理根据三角形内角和定理可得∠CAD=45°，，3）由（2）得：∠CAD=45°；根据（1）的结论计算∠MBE=30°，证明△CDE 是等边三角形，得求，根据三角形内角和及等腰三角形的判定得：详解：（1）连接CD，DE，在⊙E 中，∵ED=EB，∴∠EDB=∠EBD=α，∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2α，在⊙D 中，∵DC=DE=AD，∴∠CAD=∠ACD，∠DCE=∠DEC=2α，△ACB 中，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°， ∴∠CAD=018032α-=03902α-， ，2）设∠MBE=x，∵EM=MB，∴∠EMB=∠MBE=x，当EF 为⊙D 的切线时，∠DEF=90°，∴∠CED+∠MEB=90°，∴∠CED=∠DCE=90°，x，△ACB 中，同理得，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°，∴2∠CAD=180°，90∴=90∴，∴∠CAD=45°，，3）由（2）得：∠CAD=45°，由（1）得：∠CAD=018032MBE -∠， ∴∠MBE=30°，∴∠CED=2∠MBE=60°，∵CD=DE，∴△CDE 是等边三角形，∴Rt △DEM 中，∠∴△ACB 中，∠NCB=45°+30°=75°，△CNE 中，∠CEN=∠BEF=30°，∴∠CNE=75°，∴∠CNE=∠NCB=75°，∴∴MNMF =NE EM MF +点睛：本题考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质、等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会利用三角形角之间的关系确定边的关系，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．3．（1）60°；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）由角平分线的性质和三角形内角和定理可求解；（2）在BC 边上截取CN ＝CF ，连接GN ，由“SAS”可证△CGN ≌△CG ，可得∠CGN ＝∠CGF ＝60°，可得∠BGN ＝∠BGE ，由“ASA”可证△BGN ≌△BGE ，可得BE ＝BN ，可得结论；（3）设BE ＝a ，CF ＝2a ，AE ＝c ，AF ＝b ，由相似三角形的性质列出方程组，求出7854a c b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，通过证明△ABF ∽△GEB ，可得EG BG BE AF AB BF==，可求c 的值，可得AB ，AC ，BC 的值，即可求平行四边形ABCD 的面积．【详解】解：（1）∵∠BAC ＝60°，∴∠ABC+∠ACB ＝120°，∵CE 、BF 分别∠ACB 、∠ABC 的角平分线，∴∠GBC+∠GCB ＝12×120°＝60°， ∴∠BGC ＝120°，∴∠CGF ＝60°；故答案为：60°.（2）在BC 边上截取CN ＝CF ，连接GN ，如图所示：在△CGN 和△CGF 中，CN CF NCG FCG CG CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CGN ≌△CGF （SAS ），∴∠CGN ＝∠CGF ，GF ＝GN∵∠BGC ＝120°，∠CGF ＝60°，∴∠BGN ＝60°，∠EGF ＝120°，∴∠BGE ＝360°﹣120°﹣120°﹣60°＝60°，∴∠BGN ＝∠BGE ，在△BGN 和△BGE 中，BGN BGE BG BGGBN GBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△BGN ≌△BGE （ASA ），∴BE ＝BN ，EG ＝GN∴EG ＝GN ＝GF∵BC ＝BN+CN ＝BE+CF ，∴BE+CF ＝BC ；（3）如图，延长CE ，DA 交于点H ，延长BF 交AD 于点P ，过点B 作BM ⊥AC 于M ，∵BE ：CF ＝1：2，∴设BE ＝a ，CF ＝2a ，由（2）可知BC ＝BE+CF ＝a+2a ＝3a ，∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC∴∠H ＝∠BCE ，∠APB ＝∠FBC ，∵CE 、BF 分别∠ACB 、∠ABC 的角平分线∴∠ACE ＝∠BCE ，∠ABF ＝∠CBF∴∠H ＝∠ACE ，∠APB ＝∠ABF∴AH ＝AC ，AP ＝AB ，设AE ＝c ，AF ＝b ，∴AB ＝c+a ，AC ＝b+2a ，∵AH ∥BC∴△AHE∽△BCE∴AH BC AE BE=∴3 AC a AE a=∴b+2a＝3c①∵AH∥BC∴△APF∽△CBF∴32 AP BC a AF CF a==∴32 ABb=∴c+a＝32b②由①②组成方程组2332b a cc a b+=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：7854a cb c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴AB＝158c，AC＝3c，由（2）可知FG＝EG＝∵∠EGB＝∠BAC＝60°，∠ABF＝∠GBE，∴△ABF∽△GEB，∴EG BG BEAF AB BF==781548cBGBG GF c c==+∴BG＝c＝8∴a＝7，b＝10∴AB＝15，AC＝24，BC＝21，∵∠BAC＝60°，BM⊥AC∴AM ＝12AB ＝152，BM ＝2，∴S ▱ABCD ＝2S △ABC ＝2×12×2×24＝故答案为：【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判断与性质，相似三角形的判断与性质. 属于四边形综合题，利用相似三角形的性质列出方程组是解决本题的关键.4．（1）y=143x，5；（2）若△DOM 与△CBA 相似，则点M 的坐标为（154，0）或（203，0，，，3，√22914【解析】试题分析：（1）只需先求出AC 中点P 的坐标，然后用待定系数法即可求出直线DP 的解析式．（2）由于，DOM 与，ABC 相似，对应关系不确定，可分两种情况进行讨论，利用三角形相似求出OM 的长，即可求出点M 的坐标．（3）易证S △PED =S △PFD ．从而有S 四边形DEPF =2S △PED =DE ．由，DEP=90°得DE 2=DP 2﹣PE 2=DP 2﹣．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP，AC 时，DP 最短，此时DE 也最短，对应的四边形DEPF 的面积最小．借助于三角形相似，即可求出DP，AC 时DP 的值，就可求出四边形DEPF 面积的最小值．解：（1）过点P 作PH，OA ，交OC 于点H ，如图1所示．，PH，OA ，，，CHP，，COA．，==．，点P是AC中点，，CP=CA．，HP=OA，CH=CO．，A（3，0）、C（0，4），，OA=3，OC=4．，HP=，CH=2．，OH=2．，PH，OA，，COA=90°，，，CHP=，COA=90°．，点P的坐标为（，2）．设直线DP的解析式为y=kx+b，，D（0，﹣5），P（，2）在直线DP上，，，，直线DP的解析式为y=x﹣5．（2），若，DOM，，ABC，图2（1）所示，，，DOM，，ABC，，=．，点B坐标为（3，4），点D的坐标为（0．﹣5），，BC=3，AB=4，OD=5．，=．，OM=．，点M在x轴的正半轴上，，点M的坐标为（，0），若，DOM，，CBA，如图2（2）所示，，，DOM，，CBA，，=．，BC=3，AB=4，OD=5，，=．，OM=．，点M在x轴的正半轴上，，点M的坐标为（，0）．综上所述：若，DOM与，CBA相似，则点M的坐标为（，0）或（，0）．（3），OA=3，OC=4，，AOC=90°，，AC=5．，PE=PF=AC=．，DE、DF都与，P相切，，DE=DF，，DEP=，DFP=90°．，S△PED=S△PFD．，S四边形DEPF=2S△PED=2×PE•DE=PE•DE=DE．，，DEP=90°，，DE2=DP2﹣PE2．=DP2﹣．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP，AC时，DP最短，此时DE取到最小值，四边形DEPF的面积最小．，DP，AC，，，DPC=90°．，，AOC=，DPC．，，OCA=，PCD，，AOC=，DPC，，，AOC，，DPC．，=．，AO=3，AC=5，DC=4﹣（﹣5）=9，，=．，DP=．，DE2=DP2﹣=（）2﹣=．，DE=，，S四边形DEPF=DE=．，四边形DEPF面积的最小值为．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、用待定系数法求直线的解析式、切线长定理、勾股定理、垂线段最短等知识，考查了分类讨论的思想．将求DE的最小值转化为求DP的最小值是解决第3小题的关键．另外，要注意“，DOM与，ABC相似”与“，DOM，，ABC“之间的区别．5．（1）见解析；（2）2【解析】【分析】（1）连接OB，由OP⊥OA，得∠A+∠APO＝90°；由CP＝CB，得∠CBP＝∠CPB；再由OA＝OB，得∠A＝∠OBA，而∠CPB＝∠APO，整理变形可得∠OBC＝90°，即BC是⊙O 的切线；（2）设BC＝x，则PC＝x，在Rt△OBC中，由勾股定理可得关于x的方程52+x2＝（x+3）2，解方程即可求出CB的长；（3）作CD⊥BP于D，由PC＝PB，得PD＝BD＝12PB，易证△AOP∽△PCD，则由1210 9S S =，可得209AOPPCDSS=，即22209OACD=，由此可求CD的长，再在Rt△BCD中，按照正切定义求出tan∠CBP即可.【详解】（1）证明：连接OB，如图，∵OP⊥OA，∴∠AOP＝90°，∴∠A+∠APO＝90°，∵CP＝CB，∴∠CBP＝∠CPB，而∠CPB＝∠APO，∴∠APO＝∠CBP，∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∴∠OBC＝∠CBP+∠OBA＝∠APO+∠A＝90°，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：设BC＝x，则PC＝x，在Rt△OBC中，OB＝OA＝5，OC＝CP+OP＝x+3，∵OB2+BC2＝OC2，∴52+x2＝（x+3）2，解得x ＝83， 即BC 的长为83； （3）解：如图，作CD ⊥BP 于D ，∵PC ＝PB ，∴PD ＝BD ＝12PB， ∵∠PDC ＝∠AOP ＝90°，∠APO ＝∠CPD ，∴△AOP ∽△PCD ， ∵12109S S =， ∴209AOP PCD S S =， ∴22209OA CD =， ∵OA ＝4，∴CD＝5， ∴tan ∠CBP ＝CD BD ＝2．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理、锐角三角函数和圆中的计算问题，对于（1），连接OB ，证明OB ⊥BC 是判定圆的切线的常用方法；对于（2），关键是根据勾股定理列出方程；而对于（3），解题的关键是作CD ⊥BP 于D，综合利用等腰三角形的性质、相似三角形的判定及性质、锐角三角函数的有关知识去分析求解.6．（1）证明见解析；（2）52 BE=【解析】试题分析：（1）连接OA，OB，由圆周角定理得出∠AOB=2，ACB=90°，由等腰直角三角形的性质得出∠OAB=，OBA=45°，求出∠OAE=，OAB+，BAE=90°,即可得出结论；，2，过点A作AF⊥CD于点F,由AB=AD，得到∠ACD=∠ACB=45°，在Rt△AFC中可求得AF，3，在Rt△AFD中求得DF，1，所以AB，AD，，CD= CF+DF=4，再证明△ABE∽△CDA，得出BE AB DA CD=，即可求出BE的长度；试题解析：，1）证明：连结OA，OB，∵∠ACB=45°，∴∠AOB=2∠ACB= 90°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=45°，∵∠BAE=45°，∴∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°，∴OA⊥AE，∵点A在⊙O上，∴AE是⊙O的切线．，2）解：过点A作AF⊥CD于点F，则∠AFC=∠AFD=90°，∵AB=AD，∴AB=AD∴∠ACD=∠ACB=45°，在Rt△AFC中，∵AC=∠ACF=45°，∴AF=CF=AC ·sin ∠ACF =3，∵在Rt △AFD 中， tan ∠ADC=3AF DF =， ∴DF =1，∴AB AD ==且CD = CF +DF =4，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠ABE =∠CDA ，∵∠BAE =∠DCA ，∴△ABE ∽△CDA ， ∴BE AB DA CD =，= ∴52BE =，7．，1，252524π+，，2）证明见解析；（3，354， 【解析】【分析】（1）连接OD ，由AB 是直径知，ACB =90°，结合CD 平分，ACB 知，ABD =，ACD =45°，从而知，AOD =90°，根据曲边三角形的面积=S 扇形AOD +S △BOD 可得答案；，2）由，AOD =90°，即OD ，AB ，根据DE ，AB 可得OD ，DE ，即可得证；，3）勾股定理求得BC =8，作AF ，DE 知四边形AODF 是正方形，即可得DF =5，由，EAF =90°，，CAB =，ABC 知tan，EAF =tan，CBA ，即EF AC AF BC=，求得EF 的长即可得． 【详解】解：（1）如图，连接OD ，，AB 是直径，且AB =10，，，ACB=90°，AO=BO=DO=5，，CD平分，ACB，，，ABD=，ACD=12，ACB=45°，，，AOD=90°，则曲边三角形的面积是S扇形AOD+S△BOD=2905360π⨯+12×5×5=252524π+，故答案为252524π+，，2）由（1）知，AOD=90°，即OD，AB，，DE，AB，，OD，DE，，DE是，O的切线；，3，，AB=10，AC=6，，BC过点A作AF，DE于点F，则四边形AODF是正方形，，AF=OD=FD=5，，，EAF=90°，，CAB=，ABC，，tan，EAF=tan，CBA，，EF ACAF BC=，即658EF=，，EF=154，，DE=DF+EF=154+5=354，8．（1）（5，0）；（2）y＝﹣5x+4；（3）①﹣1≤b≤24≤t．【解析】【分析】（1）根据“l变换点”的定义，分别画出图形，即可解决问题；（2）根据“l变换点”的定义，得到对称点的坐标，根据待定系数法即可得到结论；（3）①根据“l变换点”的定义，画出图形，求出b的最大值以及最小值即可解决问题；②如图6中，设点E 关于y 轴的对称点为E 1，E 1关于直线y=的对称点为E′，易知当点N 在⊙E 上运动时，点N′在⊙E′上运动，由此可见当⊙E′与y 轴相切或相交时满足条件，想办法求出点E′的坐标即可解决问题．【详解】解：（1）如图1，点P （1，0）关于y 轴的对称点（﹣1，0），再关于直线x ＝2的对称点P 1（5，0）；（2）点Q (2，1)关于y 轴的对称点(﹣2，1)，设过点(﹣2，1)和(3，2)的直线的解析式为y=kx+b ，2132k b k b -+=⎧⎨+=⎩， 解得k=﹣15，b=75， ∴y ＝﹣15x +75， ，点(﹣2，1)和(3，2)关于直线l 对称，，直线l 过点(﹣2，1)和(3，2)连线的中点且与直线y ＝15x +75垂直， ，点(﹣2，1)和(3，2)连线的中点为(12，32)， ，设直线l 的解析式为y ＝﹣5x +n ， ，32＝﹣5×12+n ， 解得：n ＝4，，直线l 的解析式为：y ＝﹣5x +4；（3），如图4中，由题意b＝12M1M′，由此可知，当M1M′的值最大时，可得b的最大值，，直线OM′的解析式为y＝3x，∴tan∠M′OD＝3，，MM′O＝，M′OD＝30°，，OM＝2，易知，OM，OM′时，MM′的值最大，最大值为4，，b的最大值为2，如图5中，易知当点M在x轴的正半轴上时，可得b的最小值，最小值为﹣1，综上所述，满足条件的b取值范围为﹣1≤b≤2；，设E（t，0），如图6中，设点E关于y轴的对称点为E1，E1关于直线y+1的对称点为E′，易知当点N在，E上运动时，点N′在，E′上运动，由此可见当，E′与y轴相切或相交时满足条件．连接E 1E ′交直线y+1于K ，易知直线E 1E ′的解析式为y，由1y y x ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，解得14x y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ，K(4t -，14+)， ，KE 1＝KE ′，，E， 当，E ′与y 轴相切时，＝2，解得t4， 综上所述，满足条件的t4≤t．【点睛】本题考查圆综合题、一次函数的应用、二元一次方程组的应用、轴对称变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图形，寻找特殊位置解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．9．四边形ABCD）四边形ABCD 是“准筝形”．理由见解析.【解析】整体分析：（1），设BH=x，分别在，AHC 和，BHC 中得到HC 与x 和AH 之间的关系；（2，因为“准筝形”的形状不确定，所以需要分类讨论，①AB=AD=2，∠BAD=60°，作CG 垂直BD 的延长线于点G ，AK ⊥BD 于K ，证△CBG ≌△CBH，求GC，AK 的长，分别求出S △ABD =S △CBD 即可；②BC=CD=2，∠BCD=60°，用与，相似的方法求解；，AD=CD，∠ADC=60°，作DM ⊥AC 于M，分别求S △ABC ，S △ADC ，，3，延长BC 至点E ，使CE=CD=4，连结DE，用SSS 证△ACD ≌△BED ，得到△ABD 是等边三角形.解：（1）如图2，1，设BH=x，∵∠ABC=120°，CH 是△ABC 的高线，∴∠BCH=30°，∴又∵∠A=45°，∴HA=HC，∵AB=2，解得：∴，2）在（1）条件下，四边形ABCD 的面积是：①如图2，2，AB=AD=2，∠BAD=60°，作CG 垂直BD 的延长线于点G ，则BD=2， 易得：∠CBG=60°=∠CBH，在△CBG 和△CBH 中，∵∠CGB=∠CHB，∠CBG=∠CBH ，CB=CB，∴△CBG ≌△CBH，AAS，，∴作AK ⊥BD 于K ，则易得：∴S △ABD =12△CBD =12∴S 四边形ABCD②如图∠BCD=60°，作CG 垂直BD 的延长线于点G ，则易得：∴S △BCD =12△ABD =12∴S 四边形ABCD③如图∠ADC=60°，作DM ⊥AC 于M，易得：32∴S △ABC =12S △ADC =1232∴S 四边形ABCD，3）四边形ABCD 是“准筝形”，理由：如图3，延长BC 至点E ，使CE=CD=4，连结DE，∵∠BCD=120°，∴∠DCE=60°，∴△DCE 是等边三角形，∴ED=CD=4，∠CDE=60°，∵BC=2，CE=CD=4，AC=6，∴AC=EB，在△ACD和△BED中，∵AD=BD，AC=EB，CD=ED，∴△ACD≌△BED，SSS，，∴∠ADC=∠BDE，∴∠ADB=∠CDE=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB=AD，∠BAD=60°，∴四边形ABCD是“准筝形”，。
初三数学培优教材(培训学校专用)
2016年初二升初三暑期培优教材（数学）第一讲 一元二次方程【学习目标】1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。
2、了解一元二次方程的解或近似解。
3、增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。
【知识要点】1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
（1）定义解释：①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并且未知数的最高次数是2。
这三个条件必须同时满足，缺一不可。
（2）02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。
（3）在02=++c bx ax （0a ≠）中，a ，b ，c 通常表示已知数。
2、一元二次方程的解：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值为0，x 的值即是一元二次方程02=++c bx ax 的解。
3、一元二次方程解的估算：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值无限接近0时，x的值即可看做一元二次方程02=++c bx ax 的解。
【经典例题】例1、下列方程中，是一元二次方程的是 ①042=-y y ； ②0322=--x x ； ③312=x ； ④bx ax =2；⑤x x 322+=； ⑥043=+-x x ； ⑦22=t ； ⑧0332=-+xx x ；⑨22=-x x ；⑩)0(2≠=a bx ax 例2、（1）关于x 的方程(m －4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程.（2）如果方程ax 2+5=(x+2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a__________.（3）关于x 的方程135)32(12=+-++x x m m m 是一元二次方程吗?为什么？例3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。
九数大培优全一册(学用)
九年级数学大培优第二十六章反比例函数第19讲反比例函数知识导航1.反比例函数的定义和解析式;2.反比例函数的图象和性质;3.反比例函数与方程及不等式;4.反比例函数与神奇的几何性质;5.反比例函数与直线y=a或x=a;6.反比例函数与全等相似;7.反比例函数与图形变换;8.反比例函数与定值及最值.ʌ板块一ɔ反比例函数的定义和解析式方法技巧根据定义解题1.定义:一般地,形如y=k x(k为常数,kʂ0)的函数,叫做反比例函数,其中x是自变量,y是函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数;2.解析式:y=k x(kʂ0)或x y=k(kʂ0)或y=k x-1(kʂ0).▶题型一根据定义判断反比例函数ʌ例1ɔ下列函数:①y=x2;②y=2x;③y=-2x;④y=12x;⑤y=1x+2;⑥y=1x-2;⑦x y=2;⑧y= 2x-1,⑨y=2x2.其中y是x的反比例函数的有(填序号).▶题型二根据定义确定k值或解析式ʌ例2ɔ(1)反比例函数y=-32x,化为y=k x的形式,相应的k=;(2)函数y=k x中,当x=2时,y=3,则函数的解析式为.362▶题型三根据定义确定待定系数的值ʌ例3ɔ(1)如果函数y=x2m+1是关于x的反比例函数,则m的值为;(2)若函数y=(m+2)x m2-5(m为常数)是关于x的反比例函数,求m的值及函数的解析式.针对练习11.下列函数中,为反比例函数的是()A.y=x3B.y=13xC.y=1x-3D.y=1x22.反比例函数y=-32x化为y=k x的形式后,相应的k= 32.3.若关于x的函数y=(m2-4)x m2-m-7是反比例函数,求m的值.ʌ板块二ɔ反比例函数的图象和性质方法技巧抓住反比例函数的性质并结合图象解题一般地,对于反比例函数y=kx(kʂ0),由函数图象,并结合解析式,我们可以发现:1.图象分布当k>0时,x,y(同号或异号),函数图象为第象限的两支曲线;当k<0时,x,y(同号或异号),函数图象为第象限的两支曲线.因此反比例函数的图象也叫做双曲线.2.对称性若点(a,b)在反比例函数的图象上,则点,,也在此图象上,故反比例函数的图象关于直线,对称,关于点00成中心对称.3.增减性当k>0时,在每一个象限内,y随x的增大而;当k<0时,在每一个象限内,y随x的增大而.▶题型一反比例函数的增减性ʌ例1ɔ在反比例函数y=1-8m x的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若x1<0<x2,y1>y2,则m的取值范围是()A.m>18B.m<18C.mȡ18D.mɤ1818ʌ例2ɔ已知反比例函数y=-6x.(1)画出这个反比例的图象;(2)当-6ɤx<-2时,y的取值范围是;(3)当|y|ȡ3时,x的取值范围是.九年级数学 大培优▶题型二 反比例函数的图象的对称性ʌ例3ɔ 如图,直线y =a x (a ʂ0)与双曲线y =k x(k ʂ0)交于A ,B 两点,试说明A ,B 两点关于原点对称.▶题型三 反比例函数的图象与系数的关系ʌ例4ɔ 如图,反比例函数①y =k 1x ,②y =k 2x ,③y =k 3x ,④y =k 4x的部分图象如图所示,则k 1,k 2,k 3,k 4的大小关系是.▶题型四 反比例函数中k 的几何意义如图,过双曲线上任意一点P 作x 轴,y 轴的垂线段P M ,P N ,则所得的矩形P M O N 的面积S =P M ㊃P N =|y |㊃|x |=|x y|=|k |,即在反比例函数y =k x(k ʂ0)的图象上任取一点向两坐标轴作垂线段,则两垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积等于|k |,且这个面积的值与取点的位置无关.特别地,S әP M O =S әP N O =12|k |.ʌ例5ɔ 如图,平行于x 轴的直线A B 与双曲线y =k 1x 和y =k 2x(k 1>k 2)在第一象限内交于A ,B 两点,若S әO A B =2,求k 1-k 2的值.1212ʌ例6ɔ 如图,直线y =-12x 与双曲线y =k x(k <0)交于A ,B 两点,且点A 的横坐标为-4.(1)求k 的值;(2)过原点的另一直线交双曲线y =k x(k <0)于P ,Q 两点,点P 在第二象限.若A ,B ,P ,Q 四点组成的四边形面积为24,求点P 的坐标.148128针对练习21.对于反比例函数y =3x ,下列说法正确的是( )A.图象经过点(1,-3)B .图象在第二㊁四象限C .y 随x 的增大而减小 D.x <0时,y 随x 增大而减小2.在同一平面直角坐标系内画出函数y =k x +1和函数y =k x(k ʂ0)的图象大致是( )3.反比例函数y =a 2-a +1x(a 为常数)的图象上有三个点(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y3),其中x 1<x 2<0<x 3,则y 1,y 2,y3的大小关系是 y 2<y 1<y 3 .4.如图,点A 是反比例函数y =k x(x <0)的图象上一点,过点A 作A B ʅx 轴于点B ,点P 是y 轴负半轴上一点,әA B P 的面积为1,求k 的值.12|5.点A (a ,y 1),B (2a ,y2)是反比例函数y =k x(k >0)的图象上的两点.(1)比较y 1与y 2的大小关系;(2)若A ,B 两点在一次函数y =-43x +b 位于第一象限的图象上(如图所示),分别过A ,B 两点作x 轴的垂线,垂足分别为点C ,D ,连接O A ,O B ,且S әO A B =8,求a 的值;(3)在(2)的条件下,如果3m =-4x +24,3n =32x,求使得m >n 的x 的取值范围.k xk x k a k 2a43x 43a 8343a 83a 1243a 83a 43x 323x43x 323x九年级数学 大培优ʌ板块三ɔ 反比例函数与方程㊁不等式方法技巧根据直线与双曲线的交点并结合图象解题▶题型一 反比例函数与方程ʌ例1ɔ 如图,直线y =-x +5与双曲线y =4x 交于A ,B 两点.(1)求A ,B两点的坐标;(2)将直线A B 向左平移n 个单位长度,若平移后的直线A B 与双曲线有唯一公共点,求n 的值.4ʌ例2ɔ 直线y =2x +4与反比例函数y =6x的图象交于A ,B 两点,直线y =m (m >0)与直线A B 相交于点M ,与反比例函数的图象相交于N ,若MN =4,求m 的值.426x6642426m 43▶题型二 反比例函数与不等式ʌ例3ɔ 如图,一次函数y =-x +4与反比例函数y =m x (m >0,x >0)的图象交于A ,B 两点,与x 轴,y轴分别相交于C ,D 两点.如果点A 的横坐标为1,利用函数图象求关于x 的不等式4-x <m x的解集.33▶题型三 反比例函数与数形结合比较大小ʌ例4ɔ 如图,直线y =2x +4与反比例函数y =k x 的图象相交于A (-3,a )和B 两点.(1)求A ,B 两点的坐标;(2)直接写出不等式k xɤ2x +4的解集.ʌ例5ɔ 如图,双曲线y =k x (k >0)与直线y =-12x +4相交于A ,B 两点.(1)当k =6时,求点A ,B 的坐标;(2)在双曲线y =k x (k >0)的同一支上有三点C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),P (x 1+x 22,y0),请你借助图象,直接写出y 0与y 1+y 22的大小关系;(3)点M (x 1,y 1),N (x 2,y2)是双曲线y =6x (x >0)上任意两点,s =y 1+y 22,t =12x 1+x 2,试比较s 与t 的大小.备用图1221221221221221212212ʌ例6ɔ 当1ɤx ɤ4时,直线y =-2x +b 与双曲线y =4x 只有一个公共点,则b 的取值范围是 4269 .44=42-4242九年级数学 大培优针对练习31.如图,在平面直角坐标系中,直线A B :y 1=x +m 与双曲线C :y2=k x 相交于A (2,5),B 两点.(1)求点B 的坐标;(1)当y 1>y2时,x 的取值范围是;(2)当x <2时,y2的取值范围是.2.如图,一次函数y 1=x +1的图象与反比例函数y 2=k x (k 为常数,且k ʂ0)的图象都经过点A (m ,2).(1)求点A 的坐标及反比例函数的表达式;(2)结合图象直接写出当x >0时,比较y 1和y 2的大小;(3)直接写出不等式4x -2ɤx +1的解集.23.如图,一次函数y 1=x +5的图象与反比例函数y 2=k x 的图象交于A ,B 两点.当x >1时,y 1>y2;当0<x <1时,y 1<y2.(1)直接写出反比例函数y 2的解析式;6(2)过点D (t ,0)(t >0)作x 轴的垂线,分别交双曲线y 2=k x和直线y 1=x +5于P ,Q 两点.若P Q=备用图3P D 时,求t 的值.666ʌ板块四ɔ 反比例函数与神奇的几何性质方法技巧根据反比例函数k 的意义,结合全等㊁相似或参数思想㊁根系关系,可得出反比例函数一些重要几何性质,在解题中可运用这些重要性质,从而大大提高解题效率.性质一 如图,直线A B :y =m x +n 交x 轴于点A ,交y 于点B ,交双曲线k x于C ,D 两点.求证:A C =B D.图1图2k xn m n mC MD F D N CE ʑB C B D A D A C C D B D =C D A C性质应用ʌ例1ɔ 如图,直线y =x +6交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,交双曲线y =k x于点C ,D ,若C D =2(A C +B D ),则k 的值为.16O 16性质二 如图1,A ,B 为双曲线y =k x上任意两点,A C ʅy 轴于点C ,B D ʅx 轴于点D ,直线AC ,BD 交于点E .求证:①A B ʊC D ; ②A C A E =B D B E.图112|A E C E B E D E A C A E B DB E九年级数学 大培优变式1:如图2,A C ʅx 轴于点C ,B D ʅy 轴于点D ,A C ,B D 交于点E .求证:①A B ʊCD ; ②A C AE =B D B E.图2变式2:如图3,A ,B 为双曲线y =k x 上任意两点,A C ʅy 轴于点C ,B D ʅx 轴于点D ,直线AC ,B D交于图3点E .求证:①A B ʊC D ; ②A C A E =B D B E.ʌ例2ɔ 如图,双曲线y =k x经过矩形O A B C 边A B 的中点F ,交B C于点E ,且四边形O E B F 的面积为2,则k =.12ʌ例3ɔ 如图,点P 为双曲线y =8x(x >0)上一点,P A ʅx 轴于点A ,P Bʅy 轴于点B ,P A ,P B 分别交双曲线y =k x (x >0)于C ,D 两点,若S әP C D =1,则k =.888128a k 88216性质三 如图,直线A B 与双曲线y =k x只有唯一公共点A ,且A B 与y 轴不平行,A B 交x 轴于点B ,连接O A .求证:O A =A B.k a222性质四 如图,直线y =m x 交双曲线y =k x于A ,B 两点,点P 为双曲线上一点,直线P A ,P B 分别交x轴于M ,N 两点.求证:P M =P N .ʌ例4ɔ (2018十堰中考)如图,直线y =-x 与反比例函数y =k x的图象交于A ,B 两点,过点B 作B Dʊx 轴,交y 轴于点D ,直线A D 交反比例函数y =k x 的图象于另一点C ,求C B C A的值.212212121313针对练习41.如图,点A ,B 分别是双曲线y =4x 和y =2x第一象限分支上的点,且A B ʊy 轴,B C ʅy 轴于点C ,则A B ㊃B C = 2 .2.如图,直线y =-3x +b 与y 轴交于点A ,与双曲线y =k x在第一象限交于B ,C 两点,且A B ㊃A C =4,则k = 3 .2332334333九年级数学 大培优3.如图,әO A C 的顶点A 在双曲线y =9x上,点C 在x 轴上,O A 交双曲线y=1x 于点B ,直线A C 与双曲线y =9x只有唯一公共点,且A C 与y 轴不平行,则S әA B C =.992339a2x 181212391323234.如图1,直线y =-2x +6交x 轴于点B ,交y 轴于点A ,直线A B 与双曲线y =k x(k <0)交于C ,D 两点,C E ʅx 轴于点E ,D F ʅx 轴于点F .(1)若k =-8,求C D 的长;(2)求C E -D F 的值;(3)如图2,P 是双曲线y =k x (k <0)上第二象限上一动点,P G ʅx 轴于G ,交双曲线y =k 2x(k <0)于M ,PH ʅy 轴于H ,交y =k 2x(k <0)于N ,请直接写出MN 的最小值为(用含k 的式子表示).图1 图2552212ʌ板块五ɔ 反比例函数与直线x =a 或y =a方法技巧此类问题一般可用a 表示相关点的坐标,从而表示出相关线段长,将几何问题坐标化.解题时注意情况不明时需分类讨论.ʌ例1ɔ 如图,在平面直角坐标系x O y 中,直线y =2x +n 与x 轴,y 轴分别交于点A ,B ,与双曲线y =4x在第一象限内交于点C (1,m ),过x 轴正半轴上的点D (a ,0)作平行于y 轴的直线l ,分别与直线和双曲线y =4x 交于点P ,Q ,且点P 不与点Q 重合.(1)求m 和n 的值;(2)当a >1,P Q =2Q D 时,求әA P Q 的面积;(3)连接C Q ,当C P =C Q 时,求a 的值.44412,4a 4a针对练习51.如图,直线l :y =32x +3与双曲线y =k x 在第一象限内交于点A (a ,6).(1)求双曲线的解析式;(2)直线x =t (t >0且t ʂ2)分别交直线l ,双曲线y =k x 于C ,D 两点,连接A D ,若A C =A D ,请直接写出t 的值.323221232123213412362134362134362ʌ板块六ɔ 反比例函数与全等及勾股定理方法技巧利用全等㊁相似将线段关系转化为坐标关系,实现 几何问题坐标化 .▶题型一 反比例函数与全等ʌ例1ɔ 如图,点A 是双曲线y =8x在第一象限上的一动点,连接A O 并延长交另一分支于点B ,以A B为斜边作等腰R t әA B C ,随着点A 的运动,点C 的位置也不断地变化,但始终在一函数图象上运动,则这个函数的解析式为 8 .ʌ例2ɔ (2018原创题)如图,点A (2,4),B 均为双曲线y =k x 在第一象限上的点,且øA O B =45ʎ,求点B 的坐标.13881326263九年级数学 大培优▶题型二 反比例函数与勾股定理ʌ例3ɔ 如图,矩形A B C O 的顶点B (10,8),点A ,C 在坐标轴上,E 是B C 边上一点,将әA B E 沿A E折叠,点B 刚好与O C 边上的点D 重合,过点E 的反比例函数y =k x(k >0)的图象与边A B 交于点F ,求点F的坐标.154154针对练习61.如图,A (2,3)是双曲线y =k x(x >0)上的一点,P 为x 轴正半轴上一点,将点A 绕点P 顺时针旋转90ʎ,恰好落在双曲线上的另一点B ,求点P的坐标.2.如图,已知点A (2,2),P (0,a )是y 轴上一点,连接P A ,将线段P A 绕点P 逆时针旋转90ʎ得线段P A ᶄ,若线段P A ᶄ与反比例函数y =-3x(x <0)的图象有公共点,求a 的取值范围.333.如图,直线y =3x -3交坐标轴于A ,B 两点,将әA O B 沿A B 翻折得到әA C B ,点D 在A C 的延长线上,且C D =4A C ,反比例函数y =k x的图象经过点D ,求k 的值.ʌ板块七ɔ 反比例函数与图形变换方法技巧图形变换的本质是点的变换,解题的关键是根据变换规律,将变换后的关键点的坐标表示出来,再根据条件建立关系式.ʌ例1ɔ 平面直角坐标系中,点A (-2,0),B (0,3),点P 为第二象限内一点.(1)如图,将线段A B 绕点P 旋转180ʎ得线段C D ,点A 与点C 对应,试画出图形;(2)若(1)中得到的点C ,D 恰好在同一个反比例函数y =k x的图象上,求直线B C 的解析式;(3)若点Q (m ,n )为第四象限的一点,将线段A B 绕点Q 顺时针旋转90ʎ得到线段E F ,其中点A 与点E 对应,若点E ,F 恰好在同一个反比例函数的图象上,直接写出m ,n 之间的关系式为 m =-5n .备用图3232九年级数学 大培优ʌ例2ɔ 已知点A (a ,m )在双曲线y =8x 上且m <0,过点A 作x 轴的垂线,垂足为点B .(1)如图1,当a =-2时,P (t ,0)是x 轴上的动点,将点B 绕点P 顺时针旋转90ʎ至点C .①若t =1,直接写出点C 的坐标;②若双曲线y =8x经过点C ,求t 的值;(2)如图2,将图1中的双曲线y =8x(x >0)沿y 轴折叠得到双曲线y =-8x (x <0),将线段O A 绕点O 旋转,点A 刚好落在双曲线y =-8x(x <0)上的点D (d ,n )处,求m 和n 的数量关系.8828x 针对练习71.在平面直角坐标系中,点A (a ,0)为x 轴上一动点,点M 的坐标为(1,-1),点N 的坐标为(3,-4),连接AM ,MN ,点N 关于直线AM 的对称点为点N ᶄ.(1)若a =2,在图1中画出线段MN 关于直线AM 的对称图形MN ᶄ(保留作图痕迹),直接写出点N ᶄ的坐标为 21;(2)若a >0,连接A N ,A N ᶄ,当点A 运动到øN ᶄA N =90ʎ时,点N ᶄ恰好在双曲线y =k x上(如图2),求k 的值;(3)点A 在x 轴上运动,若øN ᶄMN =90ʎ,此时a 的值为 465.65731-71x 4(6ʌ板块八ɔ 反比例函数与定值㊁最值方法技巧通过采取解析法求定值,建立二次函数模型求最值.▶题型一 反比例函数与定值ʌ例1ɔ 如图,点C (6,1),D (1,6)在双曲线y =6x的图象上.点T 在双曲线第一象限上(不同于C ,D ),直线T C ,T D分别交y 轴于E ,F ,则O F -O E 的值是 5 .6666166▶题型二 反比例函数与最值ʌ例2ɔ 如图,双曲线y =2x的第一象限的分支上一动点P ,点A (-2,-2),B (2,2),则P A -P B 的值为4 .22222222ʌ例3ɔ 如图,在平面直角坐标系中,直线A B :y 1=x +m 与双曲线C :y2=k x 相交于A ,B 两点,其中点A (2,5),A C ʅy 轴于点C .(1)求直线与双曲线的解析式;(2)直接写出x <2时,反比例函数值y 2的取值范围;(3)点E 为点B 下方直线A B 上一动点,直线E F ʅA B ,分别与直线A B ,双曲线C 及y 轴交于E ,F ,G 三点,求E F ㊃F G 的最大值.10101052325232253222253232494324946712494九年级数学 大培优针对练习81.如图,若直线y =-x +m 与反比例函数y =4x(x >0)的图象相交于两个不同点E ,F (点E 在点F 的左边),与y 轴相交于点M .(1)m的取值范围为;(2)求M E ㊃M F 的值.44224=2x 22.如图,已知反比例函数y =k x 和一次函数y =32x +6的图象有一个交点为P (-2,m ).(1)求反比例函数解析式;(2)若过点P 的直线l 与反比例函数y =k x的图象只有一个交点,求直线l 的解析式;(3)点Q 是双曲线在第四象限这一分支上的动点,过点Q 作直线,使其与双曲线y =k x只有一个公共点,且与x 轴,y 轴分别交于点C ,D ,直线y =32x +6与x 轴,y 轴分别交于点A ,B ,求四边形A BCD 面积的最小值.32663232x 3266666t 6t 66262121212t 12A 121242第20讲实际问题与反比例函数知识导航1.根据实际问题列反比例函数关系式或确定函数图象;2.反比例函数的应用.ʌ板块一ɔ根据实际问题列反比例函数关系式或确定函数图象方法技巧解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系,然后利用待定系数法求出它们的关系式.▶题型一坐标与距离ʌ例1ɔ某闭合电路中,电源的电压为定值,电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例.下图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象,则用电阻R表示电流I的函数解析式为()A.I=2RB.I=3RC.I=6RD.I=-6Rʌ例2ɔ某小学部课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为1m2的矩形学具进行展示.设矩形的宽为x m,长为y m.那么这些同学所制作的矩形长y(m)与宽x(m)之间的函数关系的图象大致是()A.针对练习11.如果等腰三角形的底边长为x,底边上的高为y,则它的面积为定值S时,x与y的函数关系为()A.y=S xB.y=S2xC.y=2S xD.y=x2S2.在照明系统模拟控制电路实验中,研究人员发现光敏电阻值R(单位:Ω)与光照度E(单位:l x)之间成反比例函数关系,部分数据如下表所示:光照度E/l x0.511.522.53光敏电阻阻值R/Ω603020151210则光敏电阻值R与光照度E的函数表达式为R=30E.九年级数学 大培优ʌ板块二ɔ 反比例函数的应用方法技巧1.根据题意,建立反比例函数模型解题;2.正确认识图象,找到关键的点,运用好数形结合的思想.ʌ例1ɔ 实验数据显示,一般成人喝半斤低度白酒后,1.5小时内其血液中酒精含量y (毫克/百毫升)与时间x (时)的关系可近似地用二次函数y =-200x 2+400x 刻画;1.5小时后(包括1.5小时)y 与x 可近似地用反比例函数y =k x(k >0)刻画(如图所示).(1)根据上述数学模型计算:①喝酒后几小时血液中的酒精含量达到最大值?最大值为多少?②当x =5时,y =45,求k 的值.(2)按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于酒后驾驶 ,不能驾车上路.参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上20:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早上7:00能否驾车去上班?请说明理由.22522511ʌ例2ɔ 某校园艺社计划利用已有的一堵长为10m 的墙,用篱笆围一个面积为12m 2的矩形园子.(1)如图,设矩形园子的相邻两边长分别为x (m ),y (m ).①求y 关于x 的函数表达式;②当y ȡ4m 时,求x 的取值范围;(2)小凯说篱笆的长可以为9.5m ,洋洋说篱笆的长可以为10.5m.你认为他们俩的说法对吗为什么?1265651212x针对练习21.当温度不变时,某气球内的气压p (k P a )与气体体积V (m 3)的函数关系如图所示,已知当气球内的气压p >120k P a 时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积V 应( )A.不大于45m 3B .大于45m 3C .不小于45m 3 D.小于45m 32.为预防流感盛行,对教室进行 薰药消毒 .已知药物在燃烧及释放过程中,室内空气中每立方米含药量y (毫克)与燃烧时间x (分钟)之间的关系如图所示(即图中线段O A 和双曲线在A 点及其右侧的部分),根据图象所示信息,解答下列问题:(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式及自变量的取值范围;(2)据测定,当空气中每立方米的含药量低于2毫克时,对人体无毒害作用,那么从消毒开始,至少在多长时间内,师生不能进入教室?23150231503.(2018㊃乐山)某蔬菜生产基地的气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后,大棚内的温度y (ħ)与时间x (h )之间的函数关系,其中线段A B ,B C 表示恒温系统开启阶段,双曲线的一部分C D 表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题:(1)求这天的温度y 与时间x (0ɤx ɤ24)的函数关系式;(2)求恒温系统设定的恒定温度;(3)若大棚内的温度低于10ħ时,蔬菜会受到伤害.问这天内,恒温系统最多可以关闭多少小时,才能使蔬菜避免受到伤害200200九年级数学 大培优第二十七章 相似第21讲 相似三角形的判定知识导航1.相似多边形;2.平行线分线段成比例定理;3.相似三角形的判定方法.ʌ板块一ɔ 平行线分线段成比例定理方法技巧1.在利用平行线分线段成比例定理时,注意对应线段的位置;2.由平行线+中点得线段中点,利用中位线解题.▶题型一 运用平行线分线段成比例定理探究线段关系ʌ例1ɔ 如图,已知直线A B ʊC D ʊE F ,A F 与B E 交于点G ,且A G =2,G D =1,D F =5,求B C C E的值.A D FBC C E 35ʌ例2ɔ 如图,P 是▱A B C D 的边B C 的延长线上任意一点,A P 分别交B D 和C D 于点M 和N .求证:AM 2=MN ㊃MP .AM MN B M DMAM MN M P AM▶题型二 平行线等分线段定理证线段中点ʌ例3ɔ 如图,在正方形A B C D 中,点E 在对角线B D 上,连接A E ,D F ʅB D ,且D F =B E ,F B 与A C交于点M .求证:D E =2C M .针对练习11.如图,直线l 1,l 2,l 3分别交直线l 4于A ,B ,C 三点,交直线l 5于点D ,E ,F ,且l 1ʊl 2ʊl 3,已知D E ʒD F =3ʒ8,A C =24.(1)求B C的长;(2)当A D =4,C F =20时,求B E 的长.3815258522.如图,A B 是☉O 的直径,C D 是弦,A E ʅC D ,B F ʅC D ,垂足分别为点E ,F .(1)求证:D E =C F ;(2)若B F =1,A E =2,E F =4,求A B 的长.223.如图,在正方形A B C D 中,点E 在D A 的延长线上,A E =A B ,点F 在C D 上,M 为A F 的中点,过点M 作MN ʅM C 交B E 于点N .求证:MN =M C .九年级数学 大培优ʌ板块二ɔ 作平行线构造X 型相似方法技巧1.作平行线是构造三角形相似的基本方法,利用平行线对比例式进行转化.2.通常引入参数求比值或计算线段的长.▶题型一 延长平行线段构X 型相似ʌ例1ɔ 如图,▱A B C D 中,A B =2,A D =3,øA B C =60ʎ,A E ʅB C ,垂足为点E .F 为C D 的中点,D E与B F 相交于点P .(1)求E P D P 的值;(2)求B P 的长.1213ʑMN =32213131414B 132▶题型二 作平行线构X 型相似,证线段关系ʌ例2ɔ 如图,在әA B C 中,A B =A C ,D 为B C 上一点,点E ,F 在A D 上,A E =E F =12B E ,øB E D =øB A C .(1)求证:A E =F C ;(2)求证:B D =2C D .1212▶题型三 作平行线构X 型相似,求比值ʌ例3ɔ 如图,øC A B =90ʎ,A C =A B ,D 是A C 的中点,A F ʅB C 分别交B D ,B C 于点E ,F .A G ʅD B交B C 于点G .求D E A G的值.121▶题型四 利用角平分线+平行线构X 型相似ʌ例4ɔ 如图,在әA B C 中,A B =A C =5,B C =6,øA B C 的平分线交A C 于点D ,C E ʅB C 交B D 的延长线于点E ,求B D D E的值.265661148114011181183针对练习21.如图,在▱A B C D 中,M 为A B 的中点,DM ,D B 与A C 分别相交于点P ,Q .(1)求A P P Q的值;(2)若D B ʅB C ,B C =5,P Q =1.求P M 的长.121322D B 2+B C 221122121213DM 2162.如图,在әA B C 中,D 是B C 的中点,点F 在A C 上,F C =2A F ,B F 交A D 于点E .(1)求证:A E =E D ;(2)若A B =A D ,求B F A C的值.1212B F B M 23B F A C 233.如图,A D 为әA B C 的角平分线,点E 在A B 边上,C E 交A D 于点F ,C F =C D ,若A F =3F D ,E F =3,求C D 的长.34九年级数学 大培优ʌ板块三ɔ 作平行线构造A 型相似方法技巧1.求部分线段与整体线段的比的问题,往往构A 型相似求解;2.过线段端点或分点作平行线构双A (X )图或A X 型图;3.三条平行线构成X 型㊁A 型图中隐藏关系式:1a +1b =1c;4.等腰三角形中作腰的平行线构造新的等腰三角形.▶题型一 直接或间接作平行线构造A 型图求比值.ʌ例1ɔ 如图,在әA B C 中,点E 为线段B C 的中点,点D 在线段A C 上,B D 交A E 于点F .若B F =3F D ,求A F A E的值.12B 141212▶题型二 直接或间接作平行线构造A 型图转化比.ʌ例2ɔ 如图,在әA C B 中,点D 为边A C 的中点,点E 为B D 上任意一点,延长C E 交A B 于点M ,延长A E 交B C 于点N ,连接MN .求证:MN ʊA C .B NB C ▶题型三 直接或间接作平行线构造双A 型解题ʌ例3ɔ 如图,在R t әA B C 中,øA C B =90ʎ,C D ʅA B ,垂足为点D ,M 是C D 的中点,E F ʅA B ,垂足为点F .若E F =4,C E =3.2,求A E 的长.4432▶题型四1a+1b=1c型问题ʌ例4ɔ如图,A BʊC D,B D与A C交于点G,过点G作A B的平行线分别交B C,A D于点H,E.(1)求证:1A B+1C D=1G H;(2)过点H作H FʅA D,垂足为点F,若F G=2,A B=3,求C D的长.1111 A B 1C D1G H121 3112针对练习31.如图,点D是әA B C的边C B的延长线上一点,点F在A C上,D F交A B于点E,若B D=B E,C D=4A E,A C=5,求A F的长.152.如图,四边形A B C D中,A DʊB C,A FʊC D交B C于点F,E是A B上一点,A E=A D,E C交A F于点M.求证:C M㊃B F=A B㊃M E.3.如图,在әA B C中,点P是A B上一点,A P=4,B P=6,点M是P C的中点,øA C P=øP B M.(1)求A C 的长;(2)过点A作A DʊP C交B C的延长线于点D,B M的延长线交A D于点N.若N D=33,øC A D=30ʎ,求C D的长.1243336323F2+F D227九年级数学 大培优ʌ板块四ɔ 边边边法证明三角形相似方法技巧网格中或非网格中可计算出三边或算出三对对应边的比值,常用三边对应成比例证三角形相似.▶题型一 网格中的相似三角形ʌ例1ɔ 已知әA B C 中,A B =25,A C =45,B C =6.如图,是由100个边长为1的小正方形组成的10ˑ10的正方形网格.设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形.请在网格中画一个与әA B C 相似且对应边的比最大的格点三角形,并加以证明.0204102,1021022102100272+122329210111111102▶题型二 非网格相似三角形ʌ例2ɔ 已知正方形A B C D ,点E ,F 分别在边A D ,C D 上,且A E =E D ,C F =3D F .(1)求证:әA B E ʐәE B F ;(2)连接A C 与B E ,B F 分别相交于点M ,N ,求证:B C B N =AM MN.52AMMN 针对练习41.如图,是由81个边长为1的小正方形组成的9ˑ9的正方形网格.设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形.(1)请你计算出әA B C各边的长;(2)请在网格中画一个与әA B C 相似且与әA B C 三边对应垂直的对应边比值最大的格点三角形,并加以证明(A ,B ,C 的对应点分别为A 1,B 1,C 1).2256262=623262351111112.如图,在四边形A B C D 中,点E 在B D 上,且A B A E =B C E D =A C A D.B C =4,øB A E =30ʎ,求C D 的最小值.12ʌ板块五ɔ 边角边法证三角形相似方法技巧1.旋转型㊁子母型图常运用两边对应成比例,其夹角相等证相似;2.求形如a +n mb 的最值,常通过构 边角边 相似去求解.▶题型一 旋转型相似ʌ例1ɔ 如图1,在R t әA B C 中,øC =90ʎ,A B =15,B C =9,点P ,Q 分别在边B C ,A C 上,C P =3x ,C Q=4x (0<x <3),把әP C Q 绕点P 旋转,得到әP D E ,点C ,Q 的对应点分别为点D ,E .(1)如图1,若点D 落在线段P Q 上,且A D 平分øC A B ,求x 的值;(2)如图2,当点E 落在边A B 上且Q E ʊC B 时,求C D 的长.图1 图212412693535185▶题型二 将a 2=b c 型问题转化为 子母型 相似问题.ʌ例2ɔ 如图,在әP E F 中,P E =P F ,O 为E F 的中点,G 为P F 上一点,øP E G =27ʎ,N 为O G 的中点,P N ʅE G ,垂足为点M ,若øM O N =18ʎ,N G 2=NM ㊃N P .求øF 的度数.九年级数学大培优针对练习51.如图,P是正方形A B C D边B C上一点,点M在边C D上,B M与A P交于点Q,B P2=P Q㊃P A.(1)求证:C M=B P;(2)若P为B C中点,求øP Q C的度数.2.如图,在正方形A B C D中,点E,F分别在边B C,C D上,连接A F交B D于点H,E C=2DH.(1)求证:øE A F=45ʎ;(2)求证:AH=E H.23.如图,在等腰直角三角形A B C中,A C=B C,点E在边B C上,以A E为边作正方形A E MN,E M交A B于点F.(1)求证:B MʅA B;(2)若C E=2B E,求A E E F的值.2222221415E F A E15ʌ板块六ɔ 角角判定法证三角形相似方法技巧1.共角的两个三角形优先考虑用角角判定法证三角形相似;2.用反A 型相似证明a b =c d 型等式;3.善于发现或构造一线三等角型相似;4.共角且一对角互补的两个不相似三角形,构造等腰三角形转化为相似三角形.▶题型一 用角角判定法证明三角形相似ʌ例1ɔ 如图,D 是әA B C 边B C 的中点,点M 在A B 上,øA C M =øB .(1)求证:A C 2=AM ㊃A B ;(2)点O 在A D 边上,且A O =2O D ,过点O 作E F ʊM C ,分别交A B ,A C 于点E ,F ,若A E =6,E M =1,求A F ㊃A C 的值.▶题型二 构造等角,运用角角法证相似求边长ʌ例2ɔ 如图,点D 在A B 上,A B =3B D =12,点E 在B C 的延长线上,D E =2A C ,øA C B +øB D E =180ʎ,øB =60ʎ,求A C 的长.12123221213131▶题型三 一线三等角问题ʌ例3ɔ 如图,在әA B P 中,A P =A B ,O 为A B 上一点,O A =2,O B =1,A Q ʊB P ,且øQ O P =øB ,求A Q ㊃B P 的值.A Q O E232313x Q F O B1九年级数学 大培优针对练习61.如图,A B =A C ,øB A C =90ʎ,D 为边A B 上任意一点,A E ʊB C ,øC D E =45ʎ,求证:C D D E=2.222.如图,әA B C 中,A B =A C =15,B C =24,D ,E 分别是B C ,A B 上的点,øA D E =øB ,当әB D E 为直角三角形时,求B D 的长.1215125421162142143.如图,点E ,F 分别在线段A C ,B C 上,øF E C =øB ,øA C B =60ʎ,C H 平分øA C B 交E F 于点H .(1)求证:B C A C =E H H F;(2)若E C =43,H C =5,求B C A C的值.E H H F E M F N1212B C A C E C F C B C A C E H H F 12E 2312F =3x =3M -3x MH HN E M F N ,15-3x 23x03-1073C 754.如图,正方形A B C D 中,B C =4,对角线A C ,B D 交于点O ,P 是O B 的中点,N 在线段C D 上(不与C ,D 两点重合),P M ʅP N 交B C 于点M .求B M +13DN 的值.1213P E P D 1313D 12B 13ʌ板块七ɔ 作垂线构造三角形相似方法技巧作垂线构造直角三角形相似转化比或用比例式列方程求边.▶题型一 利用对顶角相等,作垂线构造直角三角形相似ʌ例1ɔ 如图,B D 为әA B C 的高,点E 在A B 边上,øB E C =60ʎ,B E =2C D ,C E 与B D 相交于点F .求B FF C的值.32333▶题型二 利用同角或等角的补角相等,作垂线构造直角三角形相似ʌ例2ɔ 如图,在R t әA B C 中,øB A C =90ʎ,A D ʅB C ,垂足为点D ,点O 是A C 边中点,连接B O 交A D 于点F ,O E ʅOB 交BC 边于点E .若A C A B =n ,求O F O E的值.▶题型三 利用角平分线作垂线构造直角三角形相似ʌ例3ɔ 如图,在әA B C 中,øB A C =60ʎ,A B =6,A C =4,A D 平分øB A C 交B C 于点D .求B D 的长.121233233323535322657▶题型四 面积问题作高构造直角三角形相似ʌ例4ɔ 如图,在әA B C 中,øC =45ʎ,点D ,E ,F 分别在边B C ,A C ,A B 上,A B =B D =2A E ,连接E F交A D 于点G ,øA G F =45ʎ,若A D =4,F G =32,求әA F G 的面积.1234九年级数学 大培优针对练习71.如图,在әA B C 中,øA C B =90ʎ,点E 在A C 上,A C =2B C =4C E .C D ʅB E 交B E 于点F ,交A B 于点D .求B D A D的值.12122.如图,在R t әA B C 中,øA B C =90ʎ,A B =6,D 为A C 的中点,过点A 作A E ʊB C ,连接B E ,øE B D=øC B D ,B D =5,求B E 的长.2452543.如图,B ,C ,E 三点在一条直线上,әA B C 与әD C E 均为等边三角形,D B 与A C ,A E 分别相交于点H ,F ,连接F C .(1)求证:әAH B ʐәF H C ;(2)若B F =2F E ,求B C C E的值.M N B C E C32324.如图,在四边形A B C D 中,øA B C =øA D C =90ʎ,A B =A D =2B C =2C D ,E 为C D 上一点,B F ʅA E交A D 于点F .求B F A E的值.12535383858545ʌ板块八ɔ用相似法证明线段相等方法技巧1.证明a=b的方法技巧之一:若a c=b c,则a=b;2.证明a=b的方法技巧之二:若a c=b d,c=d,则a=b.▶题型一双A双X并排型ʌ例1ɔ如图,D,E分别是әA B C的边A B,A C上的点,D EʊB C,D C交B E于点O,直线A O分别交D E,B C于点M,N.求证:B N=N C.▶题型二普通型相似ʌ例2ɔ如图,D为R tәA C B斜边A B的中点,点M在A C上,点N在B C的延长线上,øMDN=90ʎ.(1)求证:øC A B=øMN D.(2)如图2,分别过点M,N作直线A B的垂线,垂足分别为点G,H.求证:A G=DH.针对练习81.如图,在等边әA B C中,点E在C A的延长线上,点D在B C的延长线上,A E=C D,延长D A交B E 于点F.(1)求证:øE A F=øA B E;(2)过点E作E GʊF C交A D于点G.求证:E F=A G.。
九年级数学培优材料8
九年级数学培优材料（8）-----元月调考题型预测一、选择题1、 二次根式有意义的条件例1．要使式子2-a 在实数范围内有意义，字母a 的取值必须满足（ ） A ．a ≥2 B.a ≤2 C ．a ≠2 D ．a ≠0 2、 圆的基本性质例1．车轮要做成圆形，实际上就是根据圆的特征 A ．同弧所对的圆周角相等 B ．直径是圆中最大的弦C ．圆上各点到圆心的距离相等D ．圆是中心对称图形3、 一元二次方程二次项、一次项的系数例1. 将一元二次方程x 2+3=x 化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）A 、0、3B 、0、1C 、1、3D 、 1、-1 4、 简单概率例1．从布袋中取出一个红球得到概率为0，这句话得含义是( ） A 、布袋中红球很少 B 、布袋中没有球C 、布袋中没有红球D 、布袋中的球全是红球 5、 二次根式的化简例1．下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A.21 B.313 C.51 D.8 6、 坐标系中点的对称例1．在平面直角坐标系中，点A(l ，3)关于原点D 对称的点A ′的坐标为（ ） A ．（-1,3) B ．（1,-3) C.(3,1) D ．（-1,-3) 7、 根的判别式例1．方程2730x x --=的根的情况为( )A ．有两个不等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．有一个实数根 D.没有实数根 8、 一元二次方程的应用例1．2010年11月27日，第16届亚运会在广州沙岛胜利闭幕，中国代表团疯狂夺金再创新高，以199枚金牌继续蝉联金牌榜首位．上两届亚会中国所获金牌数分别是：2006年第15届多哈亚运会165枚，2002年第14届釜山亚运会150枚．若设第14届到第16届亚运会中国所获金牌数平均每届增长的百分率为x ，根据以上信息可列出的正确的方程为（ ） A ．()19911502=+x B ．()15011992=-xC ．()21651199x += D ．()1991165=+xAE9、根与系数的关系例1．若21,xx是一元二次方程0322=-+xx的两个根，则21xx+的值是（）A．2 B．－2 C．3 D．－310、隐圆计算例1. 如图，铁路MN与公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，在点A处有一栋居民楼，AO=200米，如果火车行驶时，周围200米之内会受到噪音影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向行驶时，如果火车的行驶速度为20米/秒，居民楼受到噪音影响的时间为( )A. B. C.50秒 D.20秒二、填空题11、二次根式的计算例1.计算：248÷6=____12、一元二次方程的应用例1．为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n=____．13、圆中的角度计算或线段计算例1．如图，在⊙O中，半径OA⊥弦BC，∠AOB=50°，则圆周角∠ADC=_____14、正多边形与圆例1．如图，正八边形ABCDEFGH的半径为215、扇形圆心角，弧的计算例1．将一个底面半径为5cm,母线长为12cm圆心角是_________。
初三上数学培优资料六
重庆大东方（烛光假日）学校初三上数学培优资料六二次函数1一、知识点1．二次函数2ax y =（0≠a ）的图象及性质：当0>a 时，抛物线开口 ，当0a <时，抛物线开 ，对称轴是 ；其顶点是 ，当0a >时，顶点是最 点；当0a <时，顶点是最 点；a 越小，抛物线开口 .2．二次函数2y ax c =+的图象及性质：将2y ax =的图象向上(0)c >或向下(0)c <平移c 个单位，即可得到2y ax c =+的图象.（1）其顶点是 ；当0a >时，y 有最 值= ；当0a <时，y 有最 值= ；（2）形状、对称轴、开口方向与抛物线2y ax =相同.3．2()y a x h =-的图象及性质：将2y ax =的图象向左(0)h <或向右(0)h >平移h 个单位，即可得到2()y a x h =-的图象.（1）其顶点是 ，对称轴是直线 ，当0a >时，y 有最 值= .（2）形状、开口方向与抛物线2y ax =相同.4．函数图象与对称轴的交点是图象的顶点.二、典型例题：例1．已知：232(1)m m y m x--=+是二次函数，求m .例2．已知抛物线212y x bx c =++与y 轴相匀于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为(2,0)，点C 的坐标为(0,1).（1）求抛物线的解析式；（2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ？x 轴于点D ，连结DC ，当？DCE 的面积最大时，求点D 的坐标.提高练习一、填空题1．函数2y x =的图像开口向 ，对称轴是 ，顶点是 ，顶点是图像最 点，表示函数在这点取得最 值，图像在y 轴的右边，y 随x 的增大而 .它与函数2y x =的图像的开口方向 ，对称轴 ，顶点 .2．在二次函数25y x =、213y x =-、22y x =的图象中，开口最大的是 . 3．将二次函数23y x =-的图象向 平移 个单位，就得到二次函数232y x =-的图象，抛物线232y x =--的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，顶点是最 点，所以函数有最 值是 .当0x <时，y 随x 的增大而 .4．抛物线241y x =-与y 轴的交点坐标是 ，与x 轴的交点坐标是 .5．抛物线23(2)y x =-的顶点坐标是 ，开口方向 ，对称轴是 ，当2x >时，y 随x 的增大而 ，它可由抛物线23y x =向 平移 个单位得到.6．抛物线224y x x =+与x 轴的交点坐标分别是 .7．抛物线2y x =上三点(2,)a -、(1,)b -，(3,)c ，则a 、b 、c 的大小关系是 .8．二次函数223y x x =--与x 轴两交点之间的距离为 .9．抛物线23y x =-+的开口 ，当x 时，其y 随x 的增大而增大.10．已知点(,8)a 在抛物线2y ax =上，则a = 。
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初三数学第7次培优 姓名： 班级：
1. 菱形ABCD 中，F 是对角线AC 的中点，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，G 为线段AB 上一点，连接GF 并延长交直线BC 于点H.
（1）当∠CAE=30°时，且CE=3，求菱形的面积；
（2）当∠BGF+∠BCF=180°，AE=BE 时
①求∠BFG 的大小；
②求证：GF BF )12(+=
2.如图,在Rt △ABC 中,∠ABC=90º，AC 的垂直平分线分别与AC ，BC 及AB 的延长线相较于点D ，E ，F ，且BF=BC ，⊙O 是△BEF 的外接圆，∠EBF 的平分线交EF 于点G ，交⊙O 于点H ，连接BD ，FH.
(1)求证：△ABC ≌△EBF ；
(2)试判断BD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
(3)若AB=1，求HG·HB 的值
3.已知：如图，在△ABC 中，10==BC AB ，以AB 为直径作⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，连接DE 和BD ，过点E 作AB EF ⊥，垂足为F ，交BD 于点P ．
（1）求证：DE AD =；
（2）求证：BD BP BE ⋅=2；
（3）若2=CE ，求CD 的长．
4.定义：用函数的最值来判定参数的取值范围，这种方法称为“最值判定法”
例如：当21≤≤-x 时，0≤+a x 恒成立，求a 的取值范围。
可令y=x+a ，因为y 随x 的增大而增大，所以当x 取最大值2时，对应的y 取最大值2+a ，由02≤+a ，得2-≤a 。
（1）①对于反比例函数x y 2-=，当1-y ,)0(0≤>≤<时a a x 恒成立，求a 的取值范围。
②当2≥x 时，32≤--b x 恒成立，求b 的最小值。
（2）若当11≤≤-x 时，不等式x ax x ≤-+-32恒成立，求实数a 的取值范围。
（3）若当11≤≤-x 时，二次函数y=3)1(2--+-x a x 有最大值a ，求实数a 的值。
5.如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，A 点坐标（1，0），B 点坐标为（3，0），与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线的解析式（用含a 的代数式表示）及其对称轴；
（2）抛物线的对称轴交线段BC 于点E,点D 为抛物线对称轴上一点．若a=1，且△ECD 与△ABC 相似，求点D 的坐标；
（3）a=2时，直线y=2x+m 与直线BC 交于点P ，与抛物线交于点M 、N ，若以点P 为圆心、
MN 2
1为半径的圆恰与x 轴相切，求m 的值。