基本不等式课件.ppt
合集下载
2.2.1 基本不等式 课件(28张)
【定向训练】
已知a,b,c都是非负实数,试比较 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2 与 2 (a+b+c)的大小. 【解析】因为a2+b2≥2ab,
所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2,
所以 a2＋b2(a+b2 ),
2
同理 b2＋c2(b +c2),
2
c(2c＋+aa2), 2
xyz
【证明】因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,
所以 1－1＝1－x＝ y＋z 2 yz ，①
x
x
x
x
1－1＝1－y＝x＋z 2 xz ，②
y
yy
y
1－1＝1－z＝x＋y 2 xy ，③
z
zz
z
又x,y,z为互不相等的正数,由①×②×③,
得 ( 1－1)( 1－1)( 1－1>) 8.
【定向训练】
已知a,b,c为正数,
求证: b＋c－a＋c＋a－b＋a＋b－c 3.
a
b
c
课堂素养达标
1.下列不等式中,正确的是
()
A.a+ 16 ≥8
B.a2+b2≥4ab
a
C. ab a＋b
2
D.
x
2＋
3 x2
2
3
【解析】选D.若a<0,则a+ 16 ≥8不成立,故A错;若a=1,b=1,a2+b2<4ab,故B错,
x
C.当x≥2时,x+ 1 的最小值为2
x
D.当0<x≤2时,x-
1
基本不等式又叫均值不等式精品PPT课件
x
y
y 2x 3 x y 3 2 2
当且仅当
y 2 x 即: y 2 x 时取“=”号 x y
1 x 2 2 2 y 2 2
即此时
y 2x 而 2 x y 1
ymin 3 2 2
正解二： 2x y 1
A、40 B、10
Ｄ）
C、4 D、2
１、应用均值不等式须注意以下三点：
（１）各项或各因式为正 （２）和或积为定值 （３）各项或各因式能取得相等的值，必要时作适当变形， 以满足上述前提，即“一正二定三等” ２、二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积 式”转 化为“和式”的放缩功能； 创设应用均值不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常 用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立；
综上所述：当 x 0时，y min 2 当x 0时，y max 2
2 引例2：已知x 1, 求y x 的最小值 x 1 解法一： x 1 2 x x 1
2 y x 2 x 1
积不是 定值
解法二：
x 1, x 1 0 2 当且仅当x 时，y有最小值 x 1 此时x 2 x 2 0, 解得x 2, x 1(舍去) 2 2 4 2 1
1 xy 即 2 2 xy 2 2 1
错因：
过程中两次运用了
1 1 1 2 2 2 2 4 2 x y xy
1 1 即 的最小值为 4 x y
均值不等式中取“=”
号过渡，而这两次取
2
“=”号的条件是不同的，
故结果错。
1 1 正解一： 2x y 2x y x y
看谁最快
《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件(第一课时基本不等式)
1．下列不等式中，正确的是( )
A．a＋4a≥4
B．a2＋b2≥4ab
C． ab≥a＋2 b
D．x2＋x32≥2 3
解析：选 D.a＜0，则 a＋4a≥4 不成立，故 A 错；a＝1，b＝1，
a2＋b2＜4ab，故 B 错，a＝4，b＝16，则 ab＜a＋2 b，故 C 错；
由基本不等式可知 D 项正确．
2.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
第二章 一元二次函数、方程和不等式
考点
学习目标
基本不等式
理解基本不等式的内容及 导出过程
利用基本不等式 能够运用基本不等式求函
求最值
数或代数式的最值
核心素养 逻辑推理 数学运算
第二章 一元二次函数、方程和不等式
问题导学 预习教材 P44－P46，并思考以下问题： 1．基本不等式的内容是什么？ 2．基本不等式成立的条件是什么？ 3．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
■名师点拨 利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的 原则，即： ①一正：符合基本不等式a＋2 b≥ ab成立的前提条件，a＞0，b ＞0； ②二定：化不等式的一边为定值； ③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立． 以上三点缺一不可．
第二章 一元二次函数、方程和不等式
所以 y＝x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2
≥2 （x－2）·x－4 2＋2＝6，
当且仅当 x－2＝x－4 2， 即 x＝4 时，等号成立．
所以 y＝x＋x－4 2的最小值为 6.
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
(2)因为 0<x<12， 所以 1－2x>0， 所以 y＝12x(1－2x)＝14×2x×(1－2x)≤142x＋12－2x2＝14×14＝ 116， 当且仅当 2x＝1－2x， 即当 x＝14时，ymax＝116.
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
基本不等式课件(公开课)
(2)若a 0,b 0, 那么 ab a b 2
（当且仅当a=b时，取“=”号）
2.注意公式的正向、逆向使用的条件以及“=”
成立的条件.
3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
课本第100页习题3.4A第1﹑2题。
３.S与S′有什么关系？
形的角度 D
G
F
C
A
HE
B
当直角三角形变为等腰直角三角形时，正方形 EFGH缩为一个点，这时有正方形的面积等于四个 等腰直角三角形的面积和.
数的角度
当a=b时，a2+b2=2ab
5.当a,b为任意实数时， a2 b2 2a b
还成立吗？
结论1：一般地,对于任意实数a、b，我们有
变式1：x
1
有最小值吗？
x
变式2：
x2
2
1
最小值是2吗？
x2 2
变式3：若x>1，求 x 1 的1最小值.
变式4：若x>1，求 x 的1最小x 值1能直接用均值不等式
吗？
x 1
课堂小结
1.本节课主要学习了基本不等式的证明与 初步应用.
(1)若a,b∈R，那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
3.4.1基本不等式
这是2002年在北京召开的第24届国际数学家 大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦 图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车， 代表中国人民热情好客。
D
a2 b2
b
G
F
A
aH E
B
探究１：
1.正方形ABCD的
面积S=＿a＿2＿＿＿b 2
C
２.四个直角三角形的
面积和S′=＿2＿ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
2.注意公式的正向、逆向使用的条件以及“=”
成立的条件.
3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
课本第100页习题3.4A第1﹑2题。
３.S与S′有什么关系？
形的角度 D
G
F
C
A
HE
B
当直角三角形变为等腰直角三角形时，正方形 EFGH缩为一个点，这时有正方形的面积等于四个 等腰直角三角形的面积和.
数的角度
当a=b时，a2+b2=2ab
5.当a,b为任意实数时， a2 b2 2a b
还成立吗？
结论1：一般地,对于任意实数a、b，我们有
变式1：x
1
有最小值吗？
x
变式2：
x2
2
1
最小值是2吗？
x2 2
变式3：若x>1，求 x 1 的1最小值.
变式4：若x>1，求 x 的1最小x 值1能直接用均值不等式
吗？
x 1
课堂小结
1.本节课主要学习了基本不等式的证明与 初步应用.
(1)若a,b∈R，那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
3.4.1基本不等式
这是2002年在北京召开的第24届国际数学家 大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦 图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车， 代表中国人民热情好客。
D
a2 b2
b
G
F
A
aH E
B
探究１：
1.正方形ABCD的
面积S=＿a＿2＿＿＿b 2
C
２.四个直角三角形的
面积和S′=＿2＿ab
高中数学精品课件：第一章 基本不等式
(2)若 x<23，则 f(x)＝3x＋1＋3x－9 2有
A.最大值0
√C.最大值－3
B.最小值9 D.最小值－3
∵x<23，∴3x－2<0， f(x)＝3x－2＋3x－9 2＋3 ＝－2－3x＋2－93x＋3 ≤－2 2－3x·2－93x＋3＝－3. 当且仅当 2－3x＝2－93x，即 x＝－13时取“＝”.
教材改编题
1.已知 x>2，则 x＋x－1 2的最小值是
A.1
B.2
C.2 2
√D.4
∵x>2， ∴x＋x－1 2＝x－2＋x－1 2＋2≥2 x－2x－1 2＋2＝4， 当且仅当 x－2＝x－1 2，即 x＝3 时，等号成立.
2.(多选)若a，b∈R，则下列不等式成立的是
A.ba＋ab≥2
√B.ab≤a2＋2 b2
第一章
§1.4 基本不等式
考试要求
1.了解基本不等式的推导过程. 2.会用基本不等式解决简单的最值问题. 3.理解基本不等式在实际问题中的应用.
知识梳理
1.基本不等式： ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件： a>0，b>0 . (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时，等号成立.
a＋b (3)其中 2 叫做正数a，b的算术平均数， ab 叫做正数a，b的几何 平均数.
方法一 9－xy＝x＋3y≥2 3xy， ∴9－xy≥2 3xy， 令 xy＝t， ∴t>0， ∴9－t2≥2 3t， 即 t2＋2 3t－9≤0， 解得 0<t≤ 3，
∴ xy≤ 3，∴xy≤3， 当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，∴xy的最大值为3.
方法二 ∵x＝91－＋3yy， ∴x·y＝91－＋3yy·y＝9y1－＋3yy2
高中数学基本不等式 PPT课件 图文
2. 一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙 的矩形菜园，墙长18 m，问这个矩形的长 、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大 面积是多少？
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是什么样 子的。 她说， 姐，你 知道苏 明玉吗 ？就是 《都挺 好》电 视剧里 的女老 大，我 就喜欢 她样子 的工作 ，有挑 战有成 就感， 有钱有 权，生 活自由 ，如果 给我那 样的工 作，我 会投入 我全部 的热情 。 听她说完，我尴尬的笑了笑。 其实每一个人都向往这样的成功，但这 姑娘却 本末倒 置了， 并不是 有了钱 有了权 有了成 就以后 才全力 以赴的 工作， 而是全 力以赴 工作， 投入了 自己的 全部以 后，才 有了地 位名望 钱财。 你要先投入，才会有收获，当你真正投 入做一 件事后 ，会明 白两件 事：首 先你会 明白， 把一件 事认认 真真做 好，所 获得的 收益远 大于同 时做很 多事； 你会明白，有人风风火火做各种事仍未 有回报 ，是因 为他们 从未投 入过。 从“做 了”到 “做” ，正如 “知道 ”到“ 懂得” 的距离 。 3 之前
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是什么样 子的。 她说， 姐，你 知道苏 明玉吗 ？就是 《都挺 好》电 视剧里 的女老 大，我 就喜欢 她样子 的工作 ，有挑 战有成 就感， 有钱有 权，生 活自由 ，如果 给我那 样的工 作，我 会投入 我全部 的热情 。 听她说完，我尴尬的笑了笑。 其实每一个人都向往这样的成功，但这 姑娘却 本末倒 置了， 并不是 有了钱 有了权 有了成 就以后 才全力 以赴的 工作， 而是全 力以赴 工作， 投入了 自己的 全部以 后，才 有了地 位名望 钱财。 你要先投入，才会有收获，当你真正投 入做一 件事后 ，会明 白两件 事：首 先你会 明白， 把一件 事认认 真真做 好，所 获得的 收益远 大于同 时做很 多事； 你会明白，有人风风火火做各种事仍未 有回报 ，是因 为他们 从未投 入过。 从“做 了”到 “做” ，正如 “知道 ”到“ 懂得” 的距离 。 3 之前
第三节 基本不等式 (高中数学精品课件PPT)
返回
设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为
a＋b 2
，几何平均
数为 ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均
数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x＞0，y＞0，则
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是
2 p(简记：积定和最小)．
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是
返回
考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
返回
考点一 利用基本不等式求最值[全析考法过关]
返回
(一) 拼凑法——利用基本不等式求最值
[例1] (1)已知0＜x＜1，则x(4－3x)取得最大值时x的值
2 为____3____．
[解析]
x(4－3x)＝
1 3
·(3x)(4－3x)≤
1 3
A．80
B．77
C．81
D．82
( C)
返回
2．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是
(B )
A．a＜b＜ ab＜a＋2 b
B．a＜ ab＜a＋2 b＜b
C．a＜ ab＜b＜a＋2 b
D. ab＜a＜a＋2 b＜b
解析：因为0＜a＜b，所以a－ ab＝ a( a－ b)＜0，
故a＜ ab；b－a＋2 b＝b－2 a＞0，故b＞a＋2 b；由基本不等式
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)ba＋ab≥2(a，b同号)；
(3)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)；(4)a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)；
(5)a2＋abb≤ ab≤a＋2 b≤
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
思路2：将函数式变形为 y ( x 1 ) 2 x
合理配凑 创设情境
求解过程
解 由 x < 0，可得 x 0, 1 0.
各项为正
2 x
所以 x 1 ≥ 2 ( x) ( 1 )
2 x
2x
2.
易错！
从而 y x 1 ( x 1 )≤ 2.
x1
x1
≥ 2 ( x 1) 2 1 2 2 1. x1
当且仅当 x 1 2 ， x1
即 x 2 1时等号成立．
所以函数的最小值为2 2 1．
拓展延伸
延伸 2 求函数 y x 2 ( x ≥ 1)的最小值． x1
解 将函数式变形为
y x 2 =( x 1) 2 - 1
x1
x1
当且仅当 x 2 ，即 x=1 时等号成立． x1
此时 ymin 2
2 2 2. 1 1
结论错误
拓展延伸
延伸 1 求函数 y x 2 ( x 1)的最小值． x1
思路2： 将函数式变形为
积为定值！
y x Байду номын сангаас =( x 1) 2 - 1.
解 因为 x＜54，所以 5－4x＞0，则 f(x)＝4x －2＋4x1－5＝－(5－4x＋5－14x)＋3≤－2＋3
＝1.当且仅当 5－4x＝5－14x，即 x＝1 时，等
号成立．故 f(x)＝4x－2＋4x1－5的最大值为 1.
(3)已知函数 f(x)＝4x＋ax(x＞0，a＞0)在 x＝3 时 取得最小值，求 a 的值．
应用前提：
一正：即所求最值得各项必须是正值
二定:即含变量的各项的和或者积必须是常数
三相等:具备不等式等号成立的条件，使函数 取得最大值或者最小值
经典例题
例 1 求函数 y x 1 ( x 0)的最值． 2x
思路分析 例 1 求函数 y x 1 ( x 0)的最值． 2x
若ab＞０，则
b a≥2 ab
(当且仅当a=b时取“=”)．
两个重要结论：
已知 x＞0，y＞0，则
(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y时，x＋y 有最 小 值是 2 p (简记：积定和最小)． (2)如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有
s2
最大 值是 4 (简记：和定积最大)．
解：∵f(x)＝4x＋ax≥2 4x·ax＝4 a， 当且仅当 4x＝ax，即 4x2＝a 时 f(x)取得最小值． 又∵x＝3，∴a＝4×32＝36.
(4)设 0＜x＜52，则函数 y＝4x(5－2x)的最大值为______．
解：因为 0＜x＜52，所以 5－2x＞0， 所以 y＝4x(5－2x)＝2×2x(5－2x) ≤22x＋25－2x2＝225，当且仅当 2x＝5－2x，即 x＝54时等号 成立，故函数 y＝4x(5－2x)的最大值为225.
(1) 已知 a＞0，b＞0，且 4a＋b＝1， 求 ab 的最大值
解 (1) ∵a＞0，b＞0,4a＋b＝1， ∴1＝4a＋b≥2 4ab＝4 ab， 当且仅当 4a＝b＝12，即 a＝18，b＝12时，等号 成立． ∴ ab≤14，∴ab≤116.所以 ab 的最大值为116.
(2)已知 x＜54，求 f(x)＝4x－2＋4x1－5的最大值；
若取不到等号，可利用函数的单调性求解．
思路分析
函数 f ( x) ax b (a 0,b 0)的单调性为： x
在区间(, b ]和[ b ,)上单调递增， y aa
在区间[ b ,0)和(0, b ]上单调递减．
b a
ob
a
x
a
a
求解过程
解 先利用函数单调性定义证明 y x 2 ( x ≥ 1)在[1,)上单调递增（略）． x1 所以当 x=1时，ymin 2.
2x
2 x
当且仅当 x 1 ,即 x 2 ( x 0)时等号成立．
2x
2
所以函数的最大值为 2, 无最小值．
拓展延伸
延伸 1 求函数 y x 2 ( x 1)的最小值． x1
思路１：由 x 0, 2 0， x1
并非定值, 此法错误！
所以 x 2 ≥ 2 x 2 .
利用基本不等式求函数的最值
默写：基本不等式
基本不等式
若 a≥0,b≥0,则 ab ≤ a b（当且仅当 a=b 时取“=”）． 2
重要结论 若a∈R, b∈R，则 ab ≤ ( a b )2 (当且仅当a=b时取“=”).
2 若a∈R, b∈R，则 a2 b2 ≥ 2ab (当且仅当a=b时取“=”)．
回顾反思
利用基本不等式求函数的最值问题时需注意: (1) “一正、二定、三相等”这三者缺一不可. (2) 注重等价变形，合理“配项、凑项”, 正确
使用均值不等式. (3) 若使用基本不等式，但等号不能取到，则
可考虑利用函数的单调性求解.
变式训练：
(1)已知 a＞0，b＞0，且 4a＋b＝1，求 ab 的最大值； (2)已知 x＜54，求 f(x)＝4x－2＋4x1－5的最大值； (3)已知函数 f(x)＝4x＋ax(x＞0，a＞0)在 x＝3 时取得最小值， 求 a 的值． (4)设 0＜x＜52，则函数 y＝4x(5－2x)的最大值为______． (5)设 x＞－1，则函数 y＝x＋x5＋x1＋2的最小值为________．
x1
x1
≥ 2 ( x 1) 2 1 2 2 1. x1
当且仅当 x 1 2 ,即 x 2 1时等号成立． x1
等号取不到！
在定义域中吗？
思路分析
求函数 f ( x) ax b (a 0,b 0, x D)的最值， x
一般可用基本不等式求解，但必须保证取到等号．
思路1： 由基本不等式，可得
知识模糊
y x 1 ≥ 2 x 1 2. 审题不清
2x
2x
当且仅当x 1 ,即x2 1 等号成立.
2x
2
又x 0,所以x 2 时,等号成立. 2
所以函数的最小值为 2, 无最大值．
缺少运用基本不等式的条件——a,b为正实数．
思路分析
例 1 求函数 y x 1 ( x 0)的最值． 2x
合理配凑 创设情境
求解过程
解 由 x < 0，可得 x 0, 1 0.
各项为正
2 x
所以 x 1 ≥ 2 ( x) ( 1 )
2 x
2x
2.
易错！
从而 y x 1 ( x 1 )≤ 2.
x1
x1
≥ 2 ( x 1) 2 1 2 2 1. x1
当且仅当 x 1 2 ， x1
即 x 2 1时等号成立．
所以函数的最小值为2 2 1．
拓展延伸
延伸 2 求函数 y x 2 ( x ≥ 1)的最小值． x1
解 将函数式变形为
y x 2 =( x 1) 2 - 1
x1
x1
当且仅当 x 2 ，即 x=1 时等号成立． x1
此时 ymin 2
2 2 2. 1 1
结论错误
拓展延伸
延伸 1 求函数 y x 2 ( x 1)的最小值． x1
思路2： 将函数式变形为
积为定值！
y x Байду номын сангаас =( x 1) 2 - 1.
解 因为 x＜54，所以 5－4x＞0，则 f(x)＝4x －2＋4x1－5＝－(5－4x＋5－14x)＋3≤－2＋3
＝1.当且仅当 5－4x＝5－14x，即 x＝1 时，等
号成立．故 f(x)＝4x－2＋4x1－5的最大值为 1.
(3)已知函数 f(x)＝4x＋ax(x＞0，a＞0)在 x＝3 时 取得最小值，求 a 的值．
应用前提：
一正：即所求最值得各项必须是正值
二定:即含变量的各项的和或者积必须是常数
三相等:具备不等式等号成立的条件，使函数 取得最大值或者最小值
经典例题
例 1 求函数 y x 1 ( x 0)的最值． 2x
思路分析 例 1 求函数 y x 1 ( x 0)的最值． 2x
若ab＞０，则
b a≥2 ab
(当且仅当a=b时取“=”)．
两个重要结论：
已知 x＞0，y＞0，则
(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y时，x＋y 有最 小 值是 2 p (简记：积定和最小)． (2)如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有
s2
最大 值是 4 (简记：和定积最大)．
解：∵f(x)＝4x＋ax≥2 4x·ax＝4 a， 当且仅当 4x＝ax，即 4x2＝a 时 f(x)取得最小值． 又∵x＝3，∴a＝4×32＝36.
(4)设 0＜x＜52，则函数 y＝4x(5－2x)的最大值为______．
解：因为 0＜x＜52，所以 5－2x＞0， 所以 y＝4x(5－2x)＝2×2x(5－2x) ≤22x＋25－2x2＝225，当且仅当 2x＝5－2x，即 x＝54时等号 成立，故函数 y＝4x(5－2x)的最大值为225.
(1) 已知 a＞0，b＞0，且 4a＋b＝1， 求 ab 的最大值
解 (1) ∵a＞0，b＞0,4a＋b＝1， ∴1＝4a＋b≥2 4ab＝4 ab， 当且仅当 4a＝b＝12，即 a＝18，b＝12时，等号 成立． ∴ ab≤14，∴ab≤116.所以 ab 的最大值为116.
(2)已知 x＜54，求 f(x)＝4x－2＋4x1－5的最大值；
若取不到等号，可利用函数的单调性求解．
思路分析
函数 f ( x) ax b (a 0,b 0)的单调性为： x
在区间(, b ]和[ b ,)上单调递增， y aa
在区间[ b ,0)和(0, b ]上单调递减．
b a
ob
a
x
a
a
求解过程
解 先利用函数单调性定义证明 y x 2 ( x ≥ 1)在[1,)上单调递增（略）． x1 所以当 x=1时，ymin 2.
2x
2 x
当且仅当 x 1 ,即 x 2 ( x 0)时等号成立．
2x
2
所以函数的最大值为 2, 无最小值．
拓展延伸
延伸 1 求函数 y x 2 ( x 1)的最小值． x1
思路１：由 x 0, 2 0， x1
并非定值, 此法错误！
所以 x 2 ≥ 2 x 2 .
利用基本不等式求函数的最值
默写：基本不等式
基本不等式
若 a≥0,b≥0,则 ab ≤ a b（当且仅当 a=b 时取“=”）． 2
重要结论 若a∈R, b∈R，则 ab ≤ ( a b )2 (当且仅当a=b时取“=”).
2 若a∈R, b∈R，则 a2 b2 ≥ 2ab (当且仅当a=b时取“=”)．
回顾反思
利用基本不等式求函数的最值问题时需注意: (1) “一正、二定、三相等”这三者缺一不可. (2) 注重等价变形，合理“配项、凑项”, 正确
使用均值不等式. (3) 若使用基本不等式，但等号不能取到，则
可考虑利用函数的单调性求解.
变式训练：
(1)已知 a＞0，b＞0，且 4a＋b＝1，求 ab 的最大值； (2)已知 x＜54，求 f(x)＝4x－2＋4x1－5的最大值； (3)已知函数 f(x)＝4x＋ax(x＞0，a＞0)在 x＝3 时取得最小值， 求 a 的值． (4)设 0＜x＜52，则函数 y＝4x(5－2x)的最大值为______． (5)设 x＞－1，则函数 y＝x＋x5＋x1＋2的最小值为________．
x1
x1
≥ 2 ( x 1) 2 1 2 2 1. x1
当且仅当 x 1 2 ,即 x 2 1时等号成立． x1
等号取不到！
在定义域中吗？
思路分析
求函数 f ( x) ax b (a 0,b 0, x D)的最值， x
一般可用基本不等式求解，但必须保证取到等号．
思路1： 由基本不等式，可得
知识模糊
y x 1 ≥ 2 x 1 2. 审题不清
2x
2x
当且仅当x 1 ,即x2 1 等号成立.
2x
2
又x 0,所以x 2 时,等号成立. 2
所以函数的最小值为 2, 无最大值．
缺少运用基本不等式的条件——a,b为正实数．
思路分析
例 1 求函数 y x 1 ( x 0)的最值． 2x