一元一次方程根与系数的关系(韦达定理)

一元一次方程根与系数的关系（韦达定理）

1. 一元一次方程的根与系数的关系（韦达定理）

韦达定理：对于一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b c

x x x x a a

+=-

= 说明：（1）定理成立的条件0∆≥ （2）注意公式重12b

x x a

+=-的负号与b 的符号的区别 2. 韦达定理的重要推论：

推论1：如果方程2

0x px q ++=的两个实数根是12,x x ，那么1212,x x p x x q +=-= 推论2：以两个实数12,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是方程：

()212120x x x x x x -++=

3. 利用根与系数关系，可知一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有如下重要结论

1．若两互为相反数，则1

20,0b

x x b a

+=-== 2.若两根互为倒数，则12120,0,1b c

x x b x x a a

+=-====，得到a c = 3 若有一根是0，则12

00c

x x c a

===， 4.若有一根为1，则

0a b c ++= 5. 若有一根为-1，则0a b c -+=

根系关系的三大用处 （1）计算对称式的值

例 若12,x x 是方程2

220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：

(1) 2

2

12x x +；

(2)

12

11x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．

：

【课堂练习】

1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22

的值为_________

2．已知x 1，x 2是方程2x 2

－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，

（x 1－x 2）2

＝

3．已知方程2x 2

－3x+k=0的两根之差为212

，则k= ;

4．若方程x 2

+(a 2

－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;

5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2

=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;

6． 设x 1,x 2是方程2x 2

－6x+3=0的两个根，求下列各式的值： (1)x 12x 2+x 1x 22

(2) 1x 1 －1x 2

7．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

2221

x 1x 1

+

（3）定性判断字母系数的取值范围 【典型例题】

例1 已知关于x 的方程2

2

1(1)104

x k x k -++

+=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．

例2 已知12,x x 是一元二次方程2

4410kx kx k -++=的两个实数根．

(1) 是否存在实数k ，使12123

(2)(2)2

x x x x --=-

成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．

(2) 求使

12

21

2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．

A 组

1．一元二次方程2

(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )

A ．2k >

B ．2,1k k <≠且

C ．2k <

D ．2,1k k >≠且

2．若12,x x 是方程2

2630x x -+=的两个根，则

12

11

x x +的值为( ) A ．2

B ．2-

C ．

12

D ．

92

3．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程2

2

(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于( )A ．3- B ．5 C ．53-或 D ．53-或 4．若t 是一元二次方程2

0 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式2

4b ac ∆=-和完全平方式2

(2)M at b =+的关系是( )A ．M ∆= B ．M ∆> C ．M ∆< D ．大小关系不能确

定

5．若实数a b ≠，且,a b 满足2

2

850,850a a b b -+=-+=，则代数式11

11

b a a b --+

--的值为(

)A ．20-

B ．2

C ．220-或

D ．220或

6．如果方程2

()()()0b c x c a x a b -+-+-=的两根相等，则,,a b c 之间的关系是 ______ 7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2

2870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．

8．若方程2

2(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．

9．设12,x x 是方程2

0x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程2

0x qx p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ．

10．已知实数,,a b c 满足2

6,9a b c ab =-=-，则a = _____ ，b = _____ ，c = _____ ． 11．对于二次三项式2

1036x x -+，小明得出如下结论：无论x 取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．

12．若0n >，关于x 的方程2

1(2)04x m n x mn --+=有两个相等的的正实数根，求m n

的值．