圆锥曲线的经典求法-设而不求
圆锥曲线的常用方法_王莫梅
课题：解圆锥曲线问题常用方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k by a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k by a x例1、F 是椭圆13422=+y x 的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，上一动点。
（1）PF PA +的最小值为 （2）PF PA 2+的最小值为分析：PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径F P '或准线作出来考虑问题。
解：（1）4-5设另一焦点为F '，则F '(-1,0)连A F ',P F '542)(22-='-≥-'-='-+=+F A a PA F P a F P a PA PF PA当P 是F 'A 的延长线与椭圆的交点时, PF PA +取得最小值为4-5。
圆锥曲线解题技巧和方法综合全
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：〔1〕中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法〔点差法〕：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式〔当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论〕，消去四个参数。
如：〔1〕)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
〔2〕)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)则有02020=-k by a x 〔3〕y 2=2p*〔p>0〕与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(*0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A 〔2，1〕的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
〔2〕焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(*,y)为椭圆x a y b 22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
〔1〕求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；〔2〕求|||PF PF 1323+的最值。
〔3〕直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的根本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()()〔1〕求证：直线与抛物线总有两个不同交点〔2〕设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
圆锥曲线问题中的“设而不求”和“用点差法解圆锥曲线的中点弦问题”
圆锥曲线问题中的“设而不求”设而不求是解析几何中一种常用的重要方法和技巧，它能使问题简化。
但如何使用这种方法，在使用中应注意哪些问题，却经常困扰着同学们。
在此笔者愿跟大家谈谈对上述问题的看法与认识。
一、 哪些问题适合“设而不求”一般说来，解题中涉及不到但又不具体求出的中间量（称为相关量）可采取“设而不求，整体思想”。
具体体现在：①与弦的中点有关的问题；②定值与定点问题；③对称性问题。
中点坐标公式、斜率公式和根与系数的关系是“设而不求，整体思想”的马前卒。
1、与弦中点有关的问题例1、 已知ABC ∆是椭圆1162022=+y x 的一个内接三角形，且)4,0(A ，若ABC ∆的重心恰为椭圆的右焦点，求BC 边所在直线的方程。
解：易求得椭圆的右焦点为)0,2(2F ，令),(),,(2211y x C y x B ，由重心公式，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=3403022121y y x x ， 即⎩⎨⎧-=+=+462121y y x x 。
∴BC 的中点)2,3(-D ，又B 、C 在椭圆上，∴116202121=+y x ，116202222=+yx ，两式相减，得0162021222122=-+-y y x x ， ∴5421222122-=--x x y y ，即5412121212-=++⋅--x x y y x x y y 。
∴561212=--=x x y y k BC 。
由点斜式，BC 边所在直线的方程为)3(562-=+x y ，即02856=--y x 。
点评：与弦中点有关的问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在的直线斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化。
同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量之间的关系灵活转化，往往能事半功倍。
2、定点问题例2、 设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴，证明直线AC 经过原点O 。
高中数学技巧方法突破-例谈“设而不求”的解题策略
例谈“设而不求”的解题策略设而不求是整体处理变量的策略，是通过设点的坐标等形式，充分利用这些点的坐标之间的等量关系和限制条件，整体或小范围地整体处理，不必解出所设点的具体坐标而使问题获得解决的方法. 一、应用“根与系数的关系”设而不求，讨论直线与圆锥曲线的位置关系例1.已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ）A ．16B ．14C ．12D ．10【解析】由题意可得两条直线的斜率一定存在且不为0，分别假设为k 和k1， 故而可得)1(:1-=x k y l ， 联立0)42(,4),1(22222=++-⇒⎩⎨⎧=-=k x k x k x y x k y ， 假设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，故而根据韦达定理可得222214242k k k x x +=+=+， 此时22144kp x x AB +=++=，同理可得244k DE +=， 故而,168844822=+≥++=+kk DE AB 当且仅当1144222±=⇒=⇒=k k kk 时取等号,故选A. 【点拨】直线(曲线）与圆锥曲线相交问题一般先联立⎩⎨⎧Cl 消去y ，整理得方程ax 2+bx +c =0，a ≠0，Δ>0，设出交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由韦达定理x 1+x 2=a b -，x 1x 2=ac的系数关系,将已知条件坐标化，求出参数或通过整体消参求值.【变式训练1】在平面直角坐标系xoy 中，双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右支与焦点为的抛物线)0(22>=p py x 交于A,B 两点，若OF BF AF 4=+，则该双曲线的渐近线方程为 .【解析】如图，设A(x 1，y 1)，B( x 2，y 2 )，|AF |+|BF |=4|OF |，所以,,2222121p y y p py p y =+=+++ 由⎪⎩⎪⎨⎧==-,2,122222py x bya x 联立得0222222=+-b a y pb y a ， 因为，所以22a b ,21,12,222222221±===∴==+a b a b p a pb y y所以双曲线的渐近线方程为x y 22±=.例2.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为12，左右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线 l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于 A ，B 两点，与以F 1F 2 为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534 ，求直线l 的方程．解析：(1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题设，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5，由d ＜1得|m |＜52.(*)∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=,134,2122y x m x y 得x 2－mx ＋m 2－3＝0， 由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫－122[m 2－4(m 2－3)]＝ 1524－m 2. 由|AB ||CD |＝534得 4－m 25－4m 2＝1，解得m ＝±33，满足(*)．∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.【点拨】涉及弦长问题，一般利用根与系数的关系，应用设而不求法计算弦长，斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝ 1＋k 2|x 2－x 1|或|P 1P 2|＝1＋1k 2|y 2－y 1|，其中求|x 2－x 1|与|y 2－y 1|时通常使用韦达定理作如下变形：|x 2－x 1|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，|y 2－y 1|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 二.应用“点差法”设而不求线段中点或直线斜率例3.(1)(2020·江西九校联考)已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________________．(2)(2020·开封模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为______________．【解析】(1)法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y －1＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，消去y ，得(2k 2＋1)x 2－4k (k －1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0， ∴x 1＋x 2＝4k (k －1)2k 2＋1，又∵x 1＋x 2＝2，∴4k (k －1)2k 2＋1＝2，解得k ＝－12.故此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1①，x 224＋y 222＝1②，①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. ∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 213＝1，①x 22－y 223＝1， ②x 1＋x 2＝2x 0， ③y 1＋y 2＝2y 0， ④由②－①得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝13(y 2－y 1)(y 2＋y 1)，显然x 1≠x 2.∴y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝3，即k MN ·y 0x 0＝3，∵M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，∴k MN ＝－1， ∴y 0＝－3x 0.又∵y 0＝x 0＋m ，∴P ⎝⎛⎭⎫－m 4，3m 4，代入抛物线方程得916m 2＝18·⎝⎛⎭⎫－m 4，解得m ＝0或－8，经检验都符合． 【点拨】处理中点弦问题多用点差法，一般先设出直线l 与圆锥曲线C 的两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将A,B代入曲线方程，通过作差，构造出x 1+ x 2，y 1 +y 2，x 1－x 2，y 1－y 2，从而建立中点坐标和斜率的关系．注意：此法不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，故有时要用判别式加以检验．【变式训练3】已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为C (0,4)，离心率e =55，直线l 交椭圆于M 、N 两点．（1）若直线l 的方程为y=x －4，求弦|MN |的长；（2）如果ΔBMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 的方程．【解析】（1）由已知b =4，且55=a c ，即5122=a c ，∴51222=-a b a ，解得a 2=20， ∴椭圆方程为1162022=+y x ；由4x 2+5y 2=80与y=x －4联立， 消去y 得9x 2－40x =0，∴x =0或940，∴所求弦长9240||2||21=-=x x MN .（2）如图椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)，设线段MN 的中点为Q(x 0，y 0)， 由三角形重心的性质知FQ BF 2=，又B(0,4)， ∴(2,－4)=2(x 0－2,y 0)，∴得x 0=3， y 0=－2，求得Q 的坐标为(3，－2)；设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，则x 1+x 2=6，y 1+y 2=－4，且116202121=+y x ，116202222=+y x ， 以上两式相减得016))((20))((21212121=+-++-y y y y x x x x ，∴56)46(545421212121=-⨯-=++-=--=y y x x x x y y k MN ，∴直线MN 的方程为)3(562-=+x y ，即6x －5y －28=0． 三.设而不求讨论参数的取值范围例4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，且过点⎝⎛⎭⎫1，22，右焦点为F 2.设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB 的中点M 的横坐标为－12，线段AB 的中垂线交椭圆C 于P ，Q 两点．(1)求椭圆C 的方程； (2)求2F P ·2F Q 的取值范围．【解析】(1)因为焦距为2，所以a 2－b 2＝1. 因为椭圆C 过点⎝⎛⎭⎫1，22，所以1a 2＋12b 2＝1.故a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知，当直线AB 垂直于x 轴时， 直线AB 方程为x ＝－12，此时P (－ 2 ，0)，Q (2，0)，又F 2(1,0)，得2F P ·2F Q ＝－1.当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)，M ⎝⎛⎭⎫－12，m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 2＝2m .由⎩⎨⎧x 212＋y 21＝1，x222＋y 22＝1，得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝0，则－1＋4mk ＝0，故k ＝14m .此时，直线PQ 斜率为k 1＝－4m ， PQ 的直线方程为y －m ＝－4m ⎝⎛⎭⎫x ＋12. 即y ＝－4mx －m .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－4mx －m ，x 22＋y 2＝1整理得(32m 2＋1)x 2＋16m 2x ＋2m 2－2＝0. 设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，所以x 3＋x 4＝－16m 232m 2＋1，x 3x 4＝2m 2－232m 2＋1.于是2F P ·2F Q ＝(x 3－1)(x 4－1)＋y 3y 4 ＝x 3x 4－(x 3＋x 4)＋1＋(4mx 3＋m )(4mx 4＋m ) ＝(4m 2－1)(x 3＋x 4)＋(16m 2＋1)x 3x 4＋m 2＋1＝(4m 2－1)(－16m 2)32m 2＋1＋(1＋16m 2)(2m 2－2)32m 2＋1＋m 2＋1＝19m 2－132m 2＋1.由于M ⎝⎛⎭⎫－12，m 在椭圆的内部，故0<m 2<78. 令t ＝32m 2＋1,1<t <29，则2F P ·2F Q ＝1932－5132t. 又1<t <29，所以－1<2F P ·2F Q <125232.综上，2F P ·2F Q 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－1，125232. 【点拨】在较为复杂的解几运算中经常要设参消参，而在消参过程中，注重变量之间的关系，仔细分析这些变量之间的结构特征，运用整体处理策略，可以有效的简化运算。
设而不求在圆锥曲线中的应用
·解题研究·十‘7擞·7(2008年第9期．高中版)19“设而不求’’在圆锥曲线中的应用748300甘肃省漳县一中汪克明直线与圆锥曲线的关系问题，既是高考考查的重点，也是高中数学的难点．利用解析法解答时，往往因求交点而带来复杂的运算．本文通过例析介绍“设而不求”法在解决以下常见的六类问题中的运用．1相交弦问题例1过点A(2，1)的直线与双曲线工2一}=1交于P。
，P：两点，求弦P。
P：的中点P的轨迹方程．解设弦的两个端点P．(工．，Y．)，P：(x：，Y：)，中点P(工，Y)则(1)当直线P．P：的斜率存在时，《：羞作差可耻鬻了2x 又．．．J|}：是’．．．丝：皇，化简得2石2—4石一，+Y=0．(2)当直线P。
P：的斜率k不存在时，中点(2，0)也满足上方程．综上可知P点的轨迹方程是h2一缸一广+y=o．2定值、定点问题例2已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在z 轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线f：Y=kx+m与椭圆C相交于A，曰两点(A，B不是左右顶点)，且以A B为直径的圆过椭圆c的右顶点．求证：直线f过定点，并求出该定点的坐标．解(1)易得椭圆的标准方程为争+争=1．r，，2kx+m，‘2’设A‘茗l’yI’’丑‘茗2’儿’’由i孚+{；_：1，得(3+4k2)茗2+8m kx+4(m2—3)=0，．·．△=64m2’2k一16(3+4k2)(m2—3)>0，8m k4f m2—3、z-+X2。
一3—+—4k2·茗-。
聋22—乌_驴Y l Y2=(缸l+m)(缸2+m)=k2石I菇2+，以(石l+菇2)+，n2：i(里二垒壁23+4矗2’．‘以A B为直径的圆过椭圆的右顶点D(2，0)。
．～∥‰一1，即是盎一l，．‘．Y t Y2+茗I x2—2(茗I+髫2)+4=0，即紫+譬≯+黑悱o．化简得7而2+16m k+4k2=0．解得m I=一2k，m2=一了2k，且满足3+4k=一m2>0．当m=一2后时，f：Y=k(石一2)，直线过定点(2，0)，与已知矛盾；当时m：一孳时，直线方程为y：后(茗一了2)，直线过定点(÷，0)．综上可知，直线z过定点，定点坐标为(鲁，o)．3方程问题例3已知抛物线C：y2=4x，0为坐标原点，动直线f：Y=屉(z+1)与c交于A、B两个不同的点．(1)求k的取值范围；(2)求满足O M=O A+∞的点肘的轨迹方程．解(1)易得的取值范围，k∈(一1，0)U(0，1)，(2)设M(石，，，)，则(石，)，)三(石。
圆锥曲线的经典求法-设而不求
圆锥曲线设而不求法典型试题在求解直线与圆锥曲线订交问题，特别是波及到订交弦问题 , 最值问题 , 定值问题的时候，采纳“设点代入” ( 即“设而不求”)法能够防止求交点坐标所带来的繁琐计算，同时还要与韦达定理 , 中点公式联合起来 , 使得对问题的办理变得简单而自然 , 因此在做圆锥曲线题时注意多加训练与累积 .1.往常状况下假如只有一条直线，设斜率相对简单想一些，或许多条直线可是直线斜率之间存在垂直，互为相反数之类也能够设斜率需要注意的是设斜率的时候需要考虑：（1）斜率能否存在（2）直线与曲线一定有交点也就是鉴别式一定大于等于0这类设斜率最后利用韦达定理来计算而且最后消参法，思路清楚，计算量大，特别需要认真，可是大多也是能够消去高次项，故不要怕勇敢计算，最后必定能获得所需要的结果。
2.设点比较难思虑在于参数多，计算起来简单信心不足，可是在关于定点定值问题上，只需按题目要求计算，将相应的参数互带，，而后把点的坐标带入曲线方程最后必然能约分，消去参数。
这类方法灵巧性强，思虑难度大，可是计算简单。
例1 ：已知双曲线x 2-y 2/2=1 ，过点M(1,1) 作直线L，使L 与已知双曲线交于Q1、 Q 2两点，且点 M 是线段 Q1 Q2的中点，问：这样的直线能否存在？若存在，求出 L 的方程；若不存在，说明原因。
解：假定存在知足题意的直线L，设 Q1(X 1,Y 1) ，Q2(X 2 ,Y2 )代人已知双曲线的方程，得x 12 2①，x2 2/2 =1 ②- y1 /2 =12-y 2②- ①，得 (x 2-x 1 )(x 2+x1)-(y 2-y 1)(y 2+y1) /2=0 。
当 x 1=x 2时，直线 L 的方程为 x=1 ，此时 L 与双曲线只有一个交点 (1,0) 不知足题意；当 x 1≠2时，有 2 1 2 1)=2( 2 1 2 1)=2.x ( y -y )/( x -x x +x )/( y +y故直线 L 的方程为 y-1=2(x-1)查验：由 y-1=2(x-1)，x2-y2/2=1，得2x2-4x+3=0,其鉴别式⊿=-8 ﹤0 ，此时 L 与双曲线无交点。
设而不求，巧妙解答定点定值问题
)
，
所以
k BC
=
4k1
3
-
k2 1
，从 而 直 线
BC
的方程为
y-
-
6k1
k2 1
+
1
=
3
4k1
-
k2 1
(x
-
3k2
1
3k12 ) +1
，
化简得
y=
3
4k1
-
k2 1
(x
+
3 2
)
．
所以直线
BC
恒过一定点，该定点为
(-
3 2
, 0)
．
在解答本题时，首先根据题意设出 B、C 方程组求得 B、C 的
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的坐标．
解：(1) |MN| = 4（过程略）；
(2)由题易知 A(-3,0) ，设 B(x1,y1),C(x2,y2) ，则直线
AB 方程为 y = k1(x + 3) ，
由
ìy = k1(x + 3) , íîx2 + y2 = 9,
思路探寻
设而不求，巧妙解答定点定值问题
曹兴阳 胡翠英
定点定值问题主要考查圆锥曲线的标准方程及 其 性 质 、直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置 关 系 以 及 消 元 的 方
令
ìy = 0, íîx2 + y2
-
6x
+
1
=
0,
解得x = 3 ± 2
2 .所以圆C'总
法，属于一类综合性较强的问题，其运算量一般都比 经过定点坐标为(3 ± 2 2 ,0).
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K 参数、角参数）7、代入法中的顺序8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题（3）直线与圆锥曲线位置关系问题（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程（6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
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圆锥曲线设而不求法典型试题在求解直线与圆锥曲线相交问题，特别是涉及到相交弦问题,最值问题,定值问题的时候，采用“设点代入”(即“设而不求”)法可以避免求交点坐标所带来的繁琐计算，同时还要与韦达定理,中点公式结合起来,使得对问题的处理变得简单而自然,因而在做圆锥曲线题时注意多加训练与积累.1.通常情况下如果只有一条直线，设斜率相对容易想一些，或者多条直线但是直线斜率之间存在垂直，互为相反数之类也可以设斜率需要注意的是设斜率的时候需要考虑：（1）斜率是否存在（2）直线与曲线必须有交点也就是判别式必须大于等于0 这种设斜率最后利用韦达定理来计算并且最终消参法，思路清晰，计算量大，特别需要仔细，但是大多也是可以消去高次项，故不要怕大胆计算，最终一定能得到所需要的结果。
2.设点比较难思考在于参数多，计算起来容易信心不足，但是在对于定点定值问题上，只要按题目要求计算，将相应的参数互带，，然后把点的坐标带入曲线方程最终必定能约分，消去参数。
这种方法灵活性强，思考难度大，但是计算简单。
例1：已知双曲线x2-y2/2=1，过点M(1,1)作直线L，使L与已知双曲线交于Q1、Q2两点，且点M是线段Q1Q2的中点，问：这样的直线是否存在？若存在，求出L的方程；若不存在，说明理由。
解：假设存在满足题意的直线L，设Q1(X1,Y1)，Q2(X2,Y2)代人已知双曲线的方程，得x12-y12/2=1 ①， x22-y22/2=1 ②②-①，得(x2-x1)(x2+x1)-(y2-y1)(y2+y1)/2=0。
当x1=x2时，直线L的方程为x=1，此时L与双曲线只有一个交点(1,0)不满足题意；当x1≠x2时，有(y2-y1)/(x2-x1)=2(x2+x1)/(y2+y1)=2.故直线L的方程为y-1=2(x-1)检验：由y-1=2(x-1)，x2-y2/2=1，得2x2-4x+3=0,其判别式⊿=-8 ﹤0，此时L与双曲线无交点。
综上，不存在满足题意的直线1、设1F 、2F 分别是椭圆22154x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ⋅的最大值和最小值； （Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.2、已知平面上一定点C （4，0）和一定直线P x l ,1:=为该平面上一动点，作l PQ ⊥，垂足为Q ，且0)2)(2(=-+→--→--→--→--PQ PC PQ PC .（1）问点P 在什么曲线上？并求出该曲线的方程；（2）设直线1:+=kx y l 与（1）中的曲线交于不同的两点A 、B ，是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过点D （0，－2）？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由.3、已知椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C 2的方程；（Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6<⋅（其中O 为原点），求k 的取值范围.4、已知圆M P N y x M 为圆点定点),0,5(,36)5(:22=++上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上，且满足0,2=⋅=.（I ）求点G 的轨迹C 的方程；（II ）过点（2，0）作直线l ，与曲线C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，设,+= 是否存在这样的直线l ，使四边形OASB 的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由.练习5,已知，椭圆C以过点A（1，32），两个焦点为（－1，0）（1，0）。
（1）求椭圆C的方程；（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。
练习6,已知直线220x y-+=经过椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S和椭圆C上位于x轴上方的动点，直线，,AS BS与直线10 :3 l x=分别交于,M N两点（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值；练习7．已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标原点,向量OA u u u r ,OB uuu r 满足OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r.设圆C 的方程为 221212()()0x y x x x y y y +-+-+=(I) 证明线段AB 是圆C 的直径;(II)当圆C 的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为255时，求p 的值答案：练习11、解：（Ⅰ）易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴===设P （x ，y ），则1),1(),1(2221-+=--⋅---=⋅y x y x y x PF3511544222+=--+x x x ]5,5[-∈x Θ，0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF ⋅有最小值3；当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ⋅有最大值4（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k 直线l 的方程为)5(-=x k y由方程组2222221(54)5012520054(5)x y k x k x k y k x ⎧+=⎪+-+-=⎨⎪=-⎩，得依题意220(1680)055k k ∆=->-<<，得 当5555<<-k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ， 则45252,4550222102221+=+=+=+k k x x x k k x x.4520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k kk k k x k y又|F 2C|=|F 2D|122-=⋅⇔⊥⇔R F k k l R F12042045251)4520(0222222-=-=+-+--⋅=⋅∴k k k k k kk k k RF ∴20k 2=20k 2－4，而20k 2=20k 2－4不成立， 所以不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|综上所述，不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|2、解：（1）设P 的坐标为),(y x ，由0)2()2(=-⋅+得0||4||22=-（2分） ∴（,0)1(4)4222=--+-x y x （4分）化简得.112422=-y x ∴P 点在双曲线上，其方程为.112422=-y x （6分） （2）设A 、B 点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1124122y x kx y 得,0132)3(22=---kx x k （7分）221221313,32kx x k k x x --=-=+∴，（8分） ∵AB 与双曲线交于两点，∴△>0，即,0)13)(3(4422>---k k 解得.213213<<-k （9分）∵若以AB 为直径的圆过D （0，－2），则AD ⊥BD ，∴1-=⋅BD AD k k ， 即1222211-=+⋅+x y x y ，（10分） ∴12121212(2)(2)0(3)(3)0,y y x x kx kx x x +++=⇒+++=∴)12.(09323)313)(1(09)(3)1(22221212分=+-⋅+--+⇒=++++kkk k k x x k x x k 解得)213,213(414,872-∈±=∴=k k ，故满足题意的k 值存在，且k 值为414±.3解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12222=-by a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由故C 2的方程为.1322=-y x （II ）将.0428)41(1422222=+++=++=kx x k y x kx y 得代入 由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆k k k即 .412>k ①0926)31(1322222=---=-+=kx x k y x kx y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得.131.0)1(36)31(36)26(,0312222222<≠⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+-=∆≠-k k k k k k 且即)2)(2(,66319,3126),,(),,(22+++=+<+<⋅--=⋅-=+B A B A B A B A B A B A BA B A B B A A kx kx x x y y x x y y x x k x x k k x x y x B y x A 而得由则设.1373231262319)1(2)(2)1(222222-+=+-⋅+--⋅+=++++=k k k k k k k x x k x x k B A B A.0131315,613732222>--<-+k k k k 即于是解此不等式得.31151322<>k k 或 ③ 由①、②、③得 .11513314122<<<<k k 或 故k 的取值范围为)1,1513()33,21()21,33()1513,1(Y Y Y ----4、解：（1）⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋅=02Q 为PN 的中点且GQ ⊥PN⇒GQ 为PN 的中垂线⇒|PG|=|GN|∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G 点的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，其长半轴长3=a ，半焦距5=c ，∴短半轴长b=2，∴点G 的轨迹方程是14922=+y x ………5分（2）因为OB OA OS +=，所以四边形OASB 为平行四边形 若存在l 使得|OS |=|AB |，则四边形OASB 为矩形0=⋅∴OB OA若l 的斜率不存在，直线l 的方程为x =2，由⎪⎩⎪⎨⎧±==⎪⎩⎪⎨⎧=+=3522149222y x y x x 得 0,0916=⋅>=⋅∴OB OA OB OA 与矛盾，故l 的斜率存在. ………7分设l 的方程为),(),,(),2(2211y x B y x A x k y -=0)1(3636)49(149)2(222222=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y 由49)1(36,493622212221+-=+=+∴k k x x k k x x ①)]2()][2([2121--=x k x k y y4920]4)(2[2221212+-=++-=k k x x x x k ② ……………9分把①、②代入2302121±==+k y y x x 得∴存在直线06230623:=-+=--y x y x l 或使得四边形OASB 的对角线相等.练习3（Ⅰ）解 由题意，c ＝1,可设椭圆方程为2222114x y b b+=+。