广义非线性强度理论体系
非线性物理概论
非线性物理概论引言非线性物理是研究非线性动力学现象的分支学科，其研究对象包括各种物理系统，如流体力学、光学、电磁学和力学等。
非线性物理的研究涉及到复杂的数学工具和方法，用以描述和解释这些系统的行为。
本文将介绍非线性物理的基本概念和主要研究内容，从而帮助读者对该领域有更全面的了解。
一、非线性动力学非线性动力学是非线性物理的核心内容，它涉及到描述和研究非线性系统行为的数学模型和方法。
在非线性动力学中，系统的演化是通过非线性方程来描述的，通常需要借助计算机模拟等方法来研究系统的演化行为。
非线性动力学的一个重要概念是混沌现象。
混沌现象指的是在一些非线性系统中，微小扰动可能导致系统演化轨迹的完全改变，而且这种改变是随机的。
混沌现象在自然界和人类生活中都有广泛的应用和影响。
二、非线性光学非线性光学是非线性物理的一个重要分支领域，主要研究介质对光的非线性响应和光的非线性效应。
非线性光学现象包括光的自聚焦、光的非线性散射和非线性吸收等。
在非线性光学中，光传播过程中通过介质的非线性响应导致了光的非线性效应，这些效应在激光技术、光通信和光信息处理等领域有广泛的应用。
三、非线性流体力学非线性流体力学研究复杂流体系统中非线性效应的性质和行为。
在非线性流体力学中，流体的运动是由非线性流体方程描述的，其中包含了非线性项。
非线性流体力学通过对流体力学方程进行数学分析和数值模拟，研究流体运动的稳定性、湍流现象和流体动力学行为。
非线性流体力学在石油工程、大气科学和环境工程等领域有重要的应用。
四、非线性电磁学非线性电磁学研究材料中的非线性电磁响应和电磁场的非线性效应。
在非线性电磁学中，电磁场的行为由非线性电磁方程描述，其中包含了非线性项。
非线性电磁学对于设计和开发新型电磁材料和器件具有重要意义，也在光电通信、雷达系统和无线电频谱分析等领域有广泛应用。
五、总结非线性物理作为一门跨学科的研究领域，涉及到多个物理学分支和数学工具的应用。
非线性光学理论及应用
非线性光学理论及应用光学是研究光线的传播、反射、折射和干涉等现象的科学。
而非线性光学则是在介质中，当光强足够强时，光可以与介质的原子或分子发生相互作用，使光的传播和性质发生非线性变化的现象。
非线性光学理论的建立和发展，为我们认识和研究光的本质提供了新的途径和工具。
一、非线性光学的基本理论非线性光学是在麦克斯韦方程组的基础上进行研究的。
（1）非线性极化非线性光学的基本性质是介质的非线性极化，即介质在高光强下的电介质常数不再是一定的常数，而是与电场强度的高次幂相关的非线性函数。
假设光由强度为E的电场驱动，在非线性介质中传播，描述光束传播的方程为非线性波动方程：▽^2E-1/c^2∂^2E/∂t^2=(4π/c^2)∂^2PNL/∂t^2其中，PNL表示非线性极化，并可表达为PNL=χ(2)EE+χ(3)EEE+χ(4)EEEE+...其中，χ(n)为非线性极化系数，其中n表示相应于n次光强的非线性极化。
当光强小，电介质常数不再是非线性函数，介质具有线性特性。
（2）非线性效应非线性光学效应包括三个方面：非线性极化、非线性色散和自相位调制。
非线性极化是非线性光学效应的主要表现形式，包括二次和三次非线性极化。
其中二次非线性极化是倍频和混频实现的基础，三次非线性极化是各种非线性光学效应的基础，包括自相位调制、和谐共振等。
（3）非线性光学效应的数学描述非线性光学效应的数学描述可以通过复数形式进行分析，即将电场分为实部和虚部，每个信号都可以表示为一个频率ω和一个空间轴的函数，即E=E0exp(iωt-ikz)其中，E0为振幅，ω为角频率，k为波矢量，z为传播距离。
振幅E0可以分为实部和虚部表示：E0=Aexp(iΦ)其中，A和Φ分别是幅度和相位，可以看作是非线性光学效应的输出信号。
二、非线性光学的应用非线性光学应用广泛，包括在光通信、光储存、光信息处理、光测量等领域。
下面介绍一些典型的应用。
（1）倍频和混频倍频是通过二次非线性极化实现的，原理是将一个频率为ω的激光束通过非线性晶体，将其升频到2ω，可以被应用于全固态激光器。
材料力学的非线性行为分析
材料力学的非线性行为分析材料力学是研究材料在外力作用下的变形和破坏行为的科学，非线性行为是指材料在受力作用时呈现出的非线性特性，即力与应变不成比例关系。
在许多工程和科学领域中，对材料力学的非线性行为进行准确和全面的分析具有重要意义。
本文将着重讨论非线性行为的基本概念、常见的非线性模型以及分析方法。
一、非线性行为的基本概念在材料力学中，强度、刚度、屈服点等参数通常被用来描述材料的特性。
然而，当外力增大到一定程度时，材料的性质将不再呈现线性关系，这时就出现了非线性行为。
非线性行为主要包括弹性-塑性行为、接触-分离行为以及材料的损伤和断裂等。
二、非线性模型的选择1. 弹塑性模型弹塑性模型是描述材料弹性和塑性变形的常用模型。
其中，最经典的是von Mises屈服准则，常用于金属的塑性变形分析。
2. 黏弹性模型黏弹性模型主要用于描述粘弹性材料的非线性行为，包括粘性和弹性两个部分。
常见的黏弹性模型有Kelvin模型和Maxwell模型。
3. 损伤模型损伤模型用于描述材料在加载过程中的损伤积累和破坏行为。
常用的损伤模型有弹塑性损伤模型、粘弹性损伤模型以及断裂力学模型等。
三、非线性行为的分析方法1. 实验测试实验测试是分析材料非线性行为最直接的方法之一。
通过应力-应变测试、拉伸试验等，可以获得材料在不同应力下的应变，进而建立非线性模型。
2. 数值计算数值计算是通过数学方法对材料力学进行模拟和计算的重要手段。
常用的数值计算方法有有限元法、边界元法、网格法等。
通过设定材料的非线性模型及边界条件，可以得到材料的应力分布和变形情况。
非线性分析的结果可用于工程设计、材料选用以及破坏预测等方面。
但是在进行非线性分析时，需要注意模型的参数选择、模型的适用性以及计算误差等因素。
总之，非线性行为是材料力学中重要的研究内容，对于理解材料的变形和破坏行为具有重要意义。
通过选择合适的非线性模型和分析方法，我们可以准确地描述和预测材料的非线性行为，为工程实践和科学研究提供有力支持。
非线性力学的概念
非线性力学的概念非线性力学是研究非线性系统的力学性质和运动规律的学科。
与线性力学不同，非线性力学研究的对象是那些无法通过简单的线性关系来描述其行为的系统。
这些系统往往包含了复杂的相互作用、非线性方程以及混沌现象等因素，使得其运动规律不再遵循简单的力学定律。
在非线性力学中，最基本的概念是非线性系统。
非线性系统指的是系统的输出与输入之间不满足线性关系的系统。
线性关系是指输入与输出之间的比例关系保持不变，而非线性关系则是指输入与输出之间的比例关系随着输入的变化而产生变化。
非线性力学的研究内容主要包括以下几个方面：1. 力学系统的非线性行为：非线性力学研究各种力学系统的非线性行为，如弹性体的非线性变形、非线性振动、非线性波动等。
在这些系统中，材料的力学性质与应力和应变之间的关系通常不满足线性弹性模型，需要引入非线性的力学模型来描述。
2. 非线性振动与稳定性：非线性力学研究的另一个重要方面是振动与稳定性。
在非线性振动中，系统的振幅和频率不再是简单的线性关系，而是随着振幅或频率的增加而发生变化。
非线性力学研究不同类型的非线性振动现象，如共振、自激振动、混合振动等，并研究这些振动现象的起因和机制。
3. 混沌动力学：混沌动力学是非线性力学的重要分支，研究的是那些对初值条件极其敏感、呈现不可预测性的系统。
这些系统的运动规律是非周期的、非周期吸引子的、具有随机性的，常常表现出混乱、不可预测的行为。
混沌动力学广泛应用于气象学、天体力学、生物学等领域。
4. 力学系统的比例不变性和尺度效应：在非线性力学研究中，比例不变性和尺度效应是重要的概念。
比例不变性是指系统在满足某种条件下，其运动规律不随系统规模的变化而变化。
尺度效应是指系统的物理性质随着尺度的变化而发生变化，如颗粒材料的颗粒尺度效应、微纳结构材料的微纳尺度效应等。
非线性力学的研究具有重要的理论和应用价值。
首先，非线性力学的研究可以揭示自然界中普遍存在的非线性现象和复杂性规律，加深人们对力学世界的认识。
理论力学中的材料非线性如何建模？
理论力学中的材料非线性如何建模？在理论力学的研究领域中，材料非线性问题一直是一个具有挑战性的课题。
材料非线性指的是材料的应力应变关系不再是简单的线性关系，而是呈现出复杂的非线性特性。
这种非线性特性在许多工程和科学领域中都有着重要的影响，如航空航天、机械工程、土木工程等。
因此，如何准确地对材料非线性进行建模，成为了研究人员关注的焦点。
要理解材料非线性的建模，首先需要清楚材料非线性的类型。
常见的材料非线性包括弹塑性非线性、粘弹性非线性和超弹性非线性等。
弹塑性非线性是指材料在受力超过一定限度后，会产生永久性的变形，即塑性变形。
在弹塑性阶段，材料的应力应变关系不再是线性的，而是随着应变的增加，应力的增长逐渐减缓。
粘弹性非线性则考虑了材料的时间依赖性，即材料的力学性能会随着加载时间的变化而变化。
超弹性非线性常见于橡胶等高分子材料，其应变能函数具有复杂的形式。
在建模过程中，选择合适的本构模型是至关重要的一步。
本构模型是描述材料应力应变关系的数学表达式。
对于弹塑性非线性，常用的本构模型有经典的 J2 流动理论、DruckerPrager 模型等。
J2 流动理论基于 von Mises 屈服准则，能够较好地描述金属材料的弹塑性行为。
DruckerPrager 模型则适用于岩土类材料。
对于粘弹性非线性，常见的本构模型有 Maxwell 模型、Kelvin 模型和广义 Maxwell 模型等。
这些模型通过不同的元件组合来模拟材料的粘弹性特性。
超弹性非线性通常采用多项式形式或基于应变能密度函数的模型，如 NeoHookean 模型、MooneyRivlin 模型等。
确定了本构模型后，还需要考虑数值方法来求解相应的控制方程。
有限元法是目前应用最为广泛的数值方法之一。
在有限元分析中，将物体离散为有限个单元，通过节点连接起来。
对于每个单元，根据本构模型建立单元刚度矩阵，然后组装得到整体刚度矩阵。
通过求解整体平衡方程，可以得到物体的位移和应力分布。
讲课版 SFG概要
G
F
高英 2009210331
报告内容
非线性光学简介
和频震动光谱简介
和频震动光谱的诞生
和频震动光谱的基本原理
5ห้องสมุดไป่ตู้
和频震动光谱的性质及应用
什么是SFG
SFG 是英文和频振动光谱（sum frequency generation spectrometer）的字头缩写。顾名 思义就是观测两束激光在和物质相互作用时产 生的和频信号的一种光谱学测量技术。
nonlinearoptics图为中国科学院福建物质结构研究所研制的非线性光学晶体三硼酸锂被美国评为1989年度国际激光与光电子技术领域十大产品之一弱光在介质中符合叠加原理线性光学强光在介质中不符合叠加原理非线性光学对各向同性介质极化强度介质的电极化率当电场强度e不太大时弱光当电场强度e很大时强光三次阶非线性极化率可以证明各次极化率间有如下关系
→1.064m → 0.532m 绿光 频
不可见 易获高功率 可见
用途广
倍
由二极管泵浦的Nd:YAG激光器产生的二倍频激光（532nm）装置 （采用自调Q、腔内倍频技术，清华大学物理系研制） 10
二. 混频效应
设输入两束光 ，角频率为 1 、 2 总场强 E = E10 cos 1 t + E20 cos 2 t 则二次项： （2）E2 = （2）（E10 cos1t + E20 cos2t）2 = （2）E102 /2（1+cos21t）+ +（2）E202 /2（1+cos22t）+ +（2）E10 E20 cos(1+2)t + cos(1-2)t
(1)—— 线性极化率
非线性光学的理论基础
非线性光学的理论基础非线性光学（Nonlinear Optics）是研究光在非线性介质中的传播和相互作用的科学。
相对于线性光学而言，非线性光学永远都是需要考虑的，因为非线性光学效应中产生的二次谐波、三次谐波等高次谐波能够被广泛应用于各种实际的光学系统中。
非线性光学是由电场强度引起的，因此电场强度与电子、离子密度和极化程度有关。
传统的线性光学理论是建立在电场强度小的假定之上，因此可以忽略介质的非线性性质。
而非线性光学理论需要考虑电场强度大的情况，其是建立在相对论物理和量子力学理论基础之上的，并且有时需要数值模拟得到更精确的结果。
非线性光学中最重要的一个概念是极化率，它是介质的响应函数，表示单位电场强度下单位体积（或长度）内极化密度的增量。
在线性光学中，介质的极化率是常数，而在非线性光学中，极化率则会随着电场强度的变化而变化。
如果考虑二次非线性光学效应，则极化率是二阶张量，反映了各种各样的对称性和不对称性。
非线性光学过程的强度非常大，往往需要考虑空间分散和时间反应的影响。
这些效应都归结为Maxwell方程的非线性形式，通常称为非线性Maxwell方程。
非线性Maxwell方程是非线性光学的核心方程，其解是非线性光学效应的理论预测。
非线性光学效应具有丰富的物理现象，它们可以分为光学非线性效应和击穿效应两类。
在光学非线性效应中，最常见的是二次和三次非线性效应。
二次非线性效应包括二次谐波产生、光学混频、光学克尔效应等；而三次非线性效应则包括自聚焦、自相位调节、自作用、散射等。
击穿效应则是指能级结构发生改变而引起强电场的效应，产生的现象有光致击穿、电致击穿、阈值击穿等。
非线性光学的理论基础不仅仅依赖于Maxwell方程和极化率的性质，还与量子力学的一些基本原则有关。
对于非线性光学效应的研究，量子力学的一个最重要的概念是相干态（Coherent states）。
相干态是量子态的一种，它是由一个连续的波函数表示的，可以看成是经典光学中平面波的量子版本。
非线性建筑的理论基础
非线性建筑将更加注重与智能技术的结合，如智能材料、传感器和自 动化控制系统等，实现建筑的自适应、自调节功能。
面临的挑战与机遇
技术挑战
非线性建筑的设计和施工需要更高的技术水平和更复杂的计算分析，对建筑师和工程师提出了更 高的要求。
经济挑战
非线性建筑往往需要更高的投资成本和更长的建设周期，需要在经济效益和社会效益之间取得平 衡。
特殊部位和节点设计，提高建筑的适应性和耐久性。
生物仿生技术
03
借鉴自然界生物体的形态、结构和功能，设计具有优异性能的
非线性建筑，推动建筑设计的创新和发展。
Part
06
非线性建筑的未来发展
发展趋势预测
形态多样化
非线性建筑将打破传统建筑的规则形态，呈现出更加多样化、自由 化的建筑造型。
结构创新
随着计算机技术和材料科学的进步，非线性建筑的结构设计将实现 更大胆的创新，如复杂的曲面结构、自支撑结构等。
形态多样性：非线性建 筑在形态上追求多样性 和变化性，通过曲线、 曲面、不规则形体等手 法打破传统建筑的呆板 形象。
动态性：非线性建筑强 调建筑的动态性，通过 灵活的空间组织和可变 的结构体系，使建筑能 够适应不同的使用需求 和外部环境变化。
复杂性：非线性建筑在 设计和建造过程中涉及 大量的复杂因素，如复 杂的几何形态、复杂的 结构分析、复杂的施工 技术等。
培养专业人才
加强对非线性建筑设计、施工和 管理等方面人才的培养和引进， 打造高素质的专业团队。
加强政策引导
政府可以出台相关政策，鼓励和 支持非线性建筑的创新和发展， 同时加强监管和规范市场秩序。
THANKS
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流动空间
拓扑学中的流动空间概念为非线性建筑设计提供了新的视角。流动空间强调空间的连续性和动态性，非线性建筑通过 创造流动空间，打破传统建筑的静态和封闭性，实现建筑与环境的互动和交融。
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−
2I1 I3 ) (I1I2
−
9I3 )
−1
=
Mf
pr
(8)
式(8)为一新理论，该理论在π平面上的破坏曲线与 SMP 准则形状形同，子午面上的破坏曲
线为平行于静水压力轴的直线，如图 5(b)、图 6(b)所示。
3) n = 1，α = 1 ，σ 0 = 0
I12 − 3I 2 = M f p
(9)
3) n = 0
α
I12 − 3I 2 + 3
(I1I 2
2(1 −α )I1
− I3 ) (I1I2
−
9I3 )
−1
=
Mf
pr
(13)
式(13)为一新理论，该理论在π平面上的破坏曲线介于 SMP 准则和 Mises 准则之间，子午面
上的破坏曲线为平行于静水压力轴的直线。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4) n = 1， σ 0 = 0
在平面应力条件下，广义强度理论在( σ1 , σ2 )平面上的破坏线如图 3 所示， σ 0 、 n 为某
确定值，当 M f 较小时如图 3(a)所示，不同程度中主应力效应(α 不同)的材料，中主应力效 应均表现出区间性，即 σ1 随 σ2 的增大先增大后减小。当 M f 较大时如图 3(a)所示，σ1 随 σ2 的
式(9)为 Drucker-Prager 准则，如图 5(c)、图 6(c)所示。
4) n = 1，α = 0 ，σ 0 = 0
3
(I1I 2
−
2I1 I3) (I1I2
−
9I 3 )
−1
=
Mf
p
(10)
式(10)为 SMP 准则，如图 5(d)、图 6(d)所示。
3.1.2 双参数强度理论
1) n = 1，α = 1
(6)
强度参数 σ0 描述破坏曲线与 p 轴的交点，反映了材料的三向拉伸强度，即内聚力效应；M f
描述材料在参考应力 pr 处破坏曲线上点的割线斜率，即破坏应力比，反映了材料的摩擦特
性； n 描述破坏曲线的弯曲程度，反映了静水压力对材料强度的影响规律。
2.3 广义非线性屈服准则
广义强度理论作为屈服准则时，对于某一类特定材料的具体参数其表现如图 2 所示。图 2(a)表明：在同一π平面上，当偏应力较低时材料表现为低应力诱导各向异性，屈服曲线接 近于圆；当偏应力较高时材料表现为高应力诱导各向异性，屈服曲线相应地由圆过渡为曲边 三角形。图 2(b)表明：在不同π平面上，当静水压力较低时破坏曲线为曲边三角形；当静水 压力较高时破坏线趋近于圆。
2. 广义非线性强度理论
广义强度理论认为，材料的破坏受主应力空间中八面体面上的应力状态所控制，即其上
的静水压力和广义剪应力的函数达到某一值时，材料开始破坏。其的数学描述为[14]：
α I12 − 3I 2 +
2(1−α )I1
= Mf p
(1)
3 (I1I2 − I3) (I1I2 − 9I3) −1
1 本课题得到国家自然科学基金资助(10272010)资助。 -1-
域，第一，利用变换应力方法[7-9]可将广义强度理论方便地用于弹塑性本构模型，笔者已将 其成功用于剑桥模型[14]、砂土应力路径本构模型[15-16]；第二，广义强度理论可以合理地描 述各类材料(如混凝土、岩石、砂土、粘土等)的非线性强度特性，笔者已将其成功用于岩石 材料[17]；第三，广义强度理论在三维主应力空间中的破坏面处处光滑，存在连续的偏导数， 在数值计算中，用于弹塑性本构模型可以得到很好的收敛性。本文着重介绍广义强度理论形 成的非线性强度理论体系。
p
(b)子午面上的破坏曲线
图 4 广义非线性强度理论体系
Fig 4 System of Generalized Non-linear Strength Theory
-4-
n=0 Mises Tresca
p
3. 广义非线性强度理论体系
广义强度理论不是一个单一的强度理论，而是一个理论体系，是一系列连续变化的强度 理论，在π平面上涵盖了从下限 SMP 准则到上限 Mises 准则范围内的所有区域；在子午面上 为幂函数形式，通过四个相互独立的材料强度参数的变化实现统一。
I
2 1
− 3I 2
= Mf p
(11)
-5-
式(11)为不过坐标原点的 Drucker-Prager 准则。 2) n = 1，α = 0
2I1
= Mf p
(12)
3 (I1I2 − I3 ) (I1I2 − 9I3) −1
式(12)为扩展的 SMP 准则。
Fig 3 GNST under plane-stress state
SMP
Mises
M−C
Tresca
bd = 0 α =0
双剪统一强度理论
bd = 0,α d = 1
广义强度理论
α =1
q∗
n=1
(a)π平面上的破坏曲线
q∗
0< n<1
q∗
Mf 1
σ0
SMP M−C
n =1
Mf
1
n=0
σ0
p
Pr
增大增加很小，基本表现为 σ1 随 σ2 的增大而减小；当α 较大时，基本表现为 σ1 随 σ2 的增大 而增大。
σ1
σ1
⎧1 α = ⎪⎪⎪⎨00..575
⎪⎪0.25 ⎪⎩0
⎧1 α = ⎪⎪⎪⎨00..575
⎪⎪0.25 ⎪⎩0
0
σ2
0
σ2
(a)
(b)
图 3 平面应力状态下的广义非线性强度理论
σ1
σ1
p = const
p
σ2
σ3
σ2
σ3
(a)同一π平面上的屈服线
(b)不同π平面上的破坏线
图 2 广义非线性屈服准则
Fig 2 Yield criterion of generalized non-linearization
-3-
2.4 平面应力条件下的广义非线性强度理论
各种单一强度理论只适用于某一类特定材料，在实际使用中非常不便，也难于选择。俞 茂宏教授多年来致力于统一强度理论的研究，于 1991 年在日本京都会议上发表了双剪统一 强度理论，并在 1994 年做了进一步论述[10]。双剪统一强度理论用两个分段线性表达式统一 描述不同材料的强度特性，包含了现有的和可能有的各种线性单一强度理论，形成了一个线 性强度理论体系。各国学者对非线性统一强度理论也进行了不同的尝试[11-13]，至今还没有一 个像双剪统一强度理论那样得到公认。笔者基于摩擦材料的试验规律并在前人研究成果的基 础上，提出了广义非线性强度理论(简称广义强度理论)[14]，它用一个表达式统一描述材料在 π平面及子午面上的非线性强度特性，共有 4 个强度参数，均具有明确的物理意义，当其为 不同值时，使得广义强度理论在主应力空间的π平面上的破坏函数为介于SMP准则和Mises 准则之间的光滑曲线，反映了材料的中主应力效应；子午面上的破坏函数为幂函数曲线，反 映了材料的静水压力效应。广义强度理论使非线性强度理论得到了统一，与双剪统一强度理 论相对应，形成了非线性强度理论体系，使非线性强度理论从适用于某一类特定材料的单一 非线性强度理论发展到适用于各类不同材料的广义强度理论。广义强度理论可应用于各个领
广义强度理论在π平面上的破坏曲线如图 1(a)所示，其内边界为 SMP 曲边三角形，外边
界为 Mises 圆，通过强度参数α 反映，数学表达式为：
qα∗ = α
I12 − 3I 2 + 3
2(1− α)I1 (I1I2 − I3 ) (I1I2 − 9I3 ) −1
(4)
当α = 0 时为内边界 SMP 准则；当α = 1 时为外边界 Mises 准则，可见，强度参数α 描述了π
广义非线性强度理论体系1
路德春，姚仰平，邹 博
北京航空航天大学土木工程系, 100083
E-mail： dechun@
摘 要： 广义非线性强度理论用一个表达式统一描述各种材料在π平面上及子午面上的非 线性强度特性，形成了一个全新的非线性强度理论系统，使非线性强度理论从适用于某一类 特定材料的单一非线性强度理论发展到可以适用于众多不同材料的广义非线性强度理论，完 善了强度理论体系。广义非线性强度理论包含了一系列现有的和可能有的单一非线性强度理 论，如 Mises 准则、SMP 准则等。利用混凝土、岩石强度试验结果证明了广义非线性强度理 论适用于各种材料的优越性。 关键词：摩擦材料；非线性；广义强度理论；双剪统一强度理论；中主应力；静水压力
3.1 广义非线性强度理论的特例
广义强度理论体系包含了一系列的单一强度理论，通过四个参数的变化实现。
3.1.1 单参数强度理论
1) n = 0 ，α = 1