4.4 共同本征函数
本征函数
本征函数
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在数学中，函数空间上定义的线性算子A的本征函数就是对该空间中任意一个非零函数f进行变换仍然是函数f或者其矢量倍数的函数。
更加精确的描述就是
其中λ是标量，它是对应的本征值。
另外本征值微分的解受到边界条件的限制。
当考虑限制条件的时候，只有特定的本征值（）对应于的解（每个对应于一个本征值）。
分析的最有效的方法就是检查其本征矢量是否存在。
例如，是微分算子
的本征函数，对于任意的，有对应的本征值。
如果在这个系统上加上限制条件，如在空间中某两个物理位置，那么只有特定的才能满足这个限制条件，这样对应的离散本征值为. 本征函数在物理学的很多分支中都起着重要作用，其中一个重要的例子就是量子
的解的形式为
其中是本征值为的算子的本征函数。
只有特定的与本征函数相关的本征值满足薛定谔方程这样的事实引出了量子力学的自然基础以及元素周期表，每个定义了一个允许存在系统能量状态。
这个方程成功地解释了氢原子的谱特性被认为是20世纪物理学的一项巨大成就。
根据哈密顿算子的特性，可以知道它的本征函数是正交函数。
但是对于其它算子的本征函数可能并不是这样，如上面提及的。
正交函数
（）有以下特性
其中，在这种情况下集合是线性无关的。
共同本征函数解读
§4.3 共同本征函数 1、测不准关系的严格证明在算符Aˆ的本征态中测量力学量A ，可以得到确定值，并不出现涨落。
如果测量B ，则不一定能得到确定值。
例如，由于粒子的波粒二象性，其位置与动量不能够同时完全确定，而其不确定度由下式确定≥∆⋅∆p x对于比较普遍的情况，设有Aˆ，B ˆ两个力学量，令A A A -=∆ˆˆ，B B B -=∆ˆˆ， （注意在经典力学中A A A -=∆）因为Aˆ，B ˆ是厄米算符，所以A ˆ∆，B ˆ∆也是厄米算符。
考虑积分⎰≥∆-∆=0d |)ˆˆ(|)(2τψξξB i AI ，ξ为实数，积分区间取为整个空间。
展开上式，有⎰⎰⎰⎰∆∆+∆∆-∆∆-∆∆=∆-∆∆-∆=τψψτψψψψξτψψξτψψξψψξξd )ˆ(ˆd ]ˆ)ˆ()ˆ(ˆ[d ˆ(ˆ(d ]ˆˆ[ˆˆ()(****2**BB B A A B i A A B i A B i A I ）（）（）（）））（）（）因为Aˆ∆，B ˆ∆均是厄米算符，所以有 ⎰⎰⎰∆+∆∆-∆∆-∆=τψψτψψξτψψξξd ˆd )ˆˆˆˆ(d )ˆ()(2**2*2）（B A B B A i A I （利用了厄米性）而A B B A A A B B B B A A A B B Aˆˆˆˆ)ˆ)(ˆ()ˆ)(ˆ(ˆˆˆˆ-=-----=∆∆-∆∆ 对⎰⎰⎰∆+∆∆-∆∆-∆=τψψτψψξτψψξξd ˆd )ˆˆˆˆ(d )ˆ()(2**2*2）（B A B B A i A I ，则 0ˆ)ˆˆˆˆ()ˆ()(222≥∆+--∆=）（B A B B A i A I ξξξ令K i A B B Aˆˆˆˆˆ=-，则 0ˆˆ)ˆ(222≥∆++∆）（B K A ξξ这是有关实参数的一元二次方程。
其有解的条件可由判别式给出，即4)ˆ()ˆ(222K B A ≥∆∆，简记为2||ˆˆK B A≥∆⋅∆，或|]ˆˆ[|21ˆˆB A B A ，≥∆⋅∆ 这就是测不准关系。
量子力学讲义4-2(最新版)
ψ = ∑Cnϕn + ∫ Cλϕλ dλ
n
(36)
2
< A >= ∑ f n Cn + ∫ fλ Cλ d λ
2 n
(37)
∑C
n
2 n
+ ∫ Cλ d λ = 1
2
(38)
而封闭性关系此时可表为
* * ϕn (r )ϕn (r ' ) + ∫ ϕλ (r ' )ϕλ (r )d λ = δ (r − r ' ) ∑ n
*
(27) (28)
对完备系 {ϕn (r )} 有
ψ (r ) = ∑Cnϕn = ∑< ϕn ,ψ > ϕn
n n
* = ∑[∫ϕn (r ' )ψ (r ' )dr ' ]ϕn (r ) n ' * = ∫ dr ψ (r ' )[∑ϕn (r ' )ϕn (r )] n ' = ∫ dr ψ (r ' )δ (r − r ' )
λ 2 即 lˆ 2 的本征值, 需由本征方程确定, 其中
(17)
代入 Y (θ,ϕ) = Θ(θ )ψ (ϕ) , 方程左右乘 可得
2
sin 2 θ (− ), Θψ
sinθ d dΘ 1 dψ 2 2 ≡ µ (18) (sinθ ) + λ sin θ = − 2 dθ Θ dθ ψ dϕ
其中左边仅与 θ 有关,右方仅与 ϕ有关, 故 2 恒等于一常数 µ ,从而可分离成两个方程:
就可得出
1 ˆ ˆ ( ∆ A) ⋅ ( ∆ B ) ≥ [ A, B ] 2
2 2
(9)
(10)
4.3共同本征函数解读
2
0 0
ˆ2Y ( , ) l (l 1)2Y ( , ) L lm lm
ˆ Y ( , ) mY ( , ) L z lm lm
l 0,1,2,3,, 称角量子数 , m 0,1,2,,l , 磁量子数 .
球谐函数具体表达式见P375，L2有2l+1重简并。
例1、三维粒子，动量三个分量（Px、Py、Pz) 构成一个力学量完全集； 例2、三维无限深势阱，能量E三个动能分量 2 2 2 p p p 构成一个力学量完全集。 y x z
( 2m 2m 2m , , )
三个量子数n1, n2, n3就完全确定一个 可能的状态。
2、量子力学的关于测量的一个基本假定2：
0
这是连带勒让德（Legendre）方程 只有当λ＝l(l+1), l=0,1,2,…时，方程才有 有限解（见附录P370，A4），其解为连 带勒让德多项式： m
Pl (cos ),
m l
得（L2,LZ）共同本征函数为：
m im 称球谐函数 Ylm ( , ) Nlm (1)m P (cos ) e l
4.3.2
已知：
(L2,Lz)的共同本征函数，球谐函数
ˆ L z i
2 1 1 ˆ2 2 [ L (sin ) ] 2 2 sin sin
ˆ ( ) m ( ) L z m m 1 im e 本征函数： m 2
ˆ2Y ( , ) 2Y ( , ) L lm lm
L2的本征函数与本征值 ？
[L2,Lz]=0, （p89(17)式），故有共同本 征函数。设为Y（θ,φ）＝Θ(θ)Φm(φ) ∵Y（θ,φ）满足LZ本征方程， Θ(θ)＝？
12角动量算符共同完备本征函数系力学量完全集.
分离变量
() 其中， 1 2
eim 。
由求解过程可知，为使 Y(,) 在区间 [0, ] 内有限，必须 l (1 l ) l 0 , 1 , 2 ,
方程的解
m m i m Y ( , ) ( 1 ) N P ( c o s ) e m 0 , 1 , 2 , l l m l m l
ˆy y ˆx) i iy ix (x p p Lˆ z x y
ˆ Lz i
2．对易关系
ˆ, ˆ] ˆ [ L i L L
ˆ , [ L i ]
2 1 1 2 ˆ L Y ( ,) s i n Y ( ,) Y ( ,) 2 2 s i n s i n 2 2
Y ( , ) ( ) ( )
§3-4 角动量算符
一、角动量算符
粒子在中心力场中运动，角动量是表征体系转动性质的重要物 理量。为了区别后面要引入的自旋角动量，将其称为轨道角动量。 1．轨道角动量算符的定义
ˆ rp ˆ L
ˆ yp L ˆ z zp ˆy x ˆ ˆ x xp ˆz L y zp ˆ ˆ ˆ L z xp y yp x
二、力学量完全集
2
ˆ 的本征值简并，仅由量子数 无法唯一地确定其本征态。 算符 L l ˆ L 要唯一地确定其本征态，必须启用另一个与之对易的算符 。这样 z 的两个相互对易的线性厄米算符可以有完备的共同本征函数系，能 唯一地确定体系的状态。 将其推广之，如果有N个相互对易的力学量算符能唯一 地确定体系的状态，就将这N个力学量称为力学量完全集， 或者完整力学数量组。
简并情况下两个对易算符的共同本征函数系的简单求解方法
简并情况下两个对易算符的共同本征函数
系的简单求解方法
简单求解两个对易算符的共同本征函数系是数学中一个重要的应用问题，也是量子力学和理论物理学中的一个重要研究课题。
本文将介绍两个对易算符的共同本征函数系的简单求解方法。
首先，要求解两个对易算符的共同本征函数系，需要先搞清楚每个易算符的本征函数是什么。
本征函数是一个线性无关的函数，它的变量不会受到线性变换的影响，而且它的值是这个函数的常数。
因此，在求解两个对易算符的共同本征函数系之前，需要先求解每个易算符的本征函数。
其次，要简单求解两个对易算符的共同本征函数系，需要采用变分法。
变分法可以将复杂的解析问题转换为简单的数值问题，从而使问题变得更容易求解。
需要注意的是，在采用变分法求解两个对易算符的共同本征函数系时，需要考虑到每个易算符的本征函数的变化率，以及其他相关变量的变化率。
最后，要求解两个对易算符的共同本征函数系，还可以采用矩阵方法。
矩阵方法是一种基于矩阵的技术，它可以将复杂的解析问题转换为简单的数值问题。
在采用矩阵方法求解两个对易算符的共同本征函数系时，需要构造一个矩阵，该矩阵包含了各个易算符的本征函数，以及其他相关变量。
总而言之，两个对易算符的共同本征函数系的简单求解方法主要有变分法和矩阵方法，在求解这一问题之前还需要先求解每个易算符的本征函数。
不管采用哪种方法，都需要考虑到各个变量的变化率，以便得到准确的结果。
本征态和本征函数
本征态和本征函数本征态是指物理系统的一种特殊形态，其特性与真空中的粒子自由态类似，可以认为是自由态的外延。
例如，在电子结构中，本征态是一个确定态，它可以用本征函数来描述。
在原子物理学和低温物理学领域，本征态应用广泛，如描述核星系统、原子或分子结构以及低温量子物质等。
一般来说，本征态是一种被称为稳定态的特殊物理状态，是物理系统在某种输入条件下，在某个时间段内不变的特殊态。
这可以用熵的增长量来理解，由于熵的增大会使物理状态更加稳定，所以本征态的特定形态是熵的最小增量对应的最稳定的物理状态。
此外，本征态是由粒子的振动决定的，而这些振动可以用本征函数来描述。
本征函数又可以称为自由态函数，是描述系统自由态波函数的函数。
自由态波函数可以用两种方式表示：一是矩阵表示法，将本征态的局部空间的坐标的表示的矩阵表示为矩阵，然后求出波函数的解；二是积分方程表示法，由局部空间的坐标表示的波方程结合积分表示法求解出的波函数。
本征函数用于描述本征态的特性，它可以反映系统本征态的能量分布、粒子分布和粒子概率密度，也可以用来表示本征态与其他状态间的作用力。
本征函数可以用多种类型来描述，如简谐态函数、坐标本征函数和功率本征函数等，而这些本征函数也可以用来解释本征态之间的互作用，从而使得研究本征态的特性变得更加明确。
本征态和本征函数在电子结构和原子物理学领域发挥着重要作用，使得我们可以更加准确的描述物质的属性。
本征态的准确性会影响物质的性质，本征函数则可以更具体的描述物质的粒子分布、能量分布以及粒子概率密度的特性。
此外，在低温物理领域，本征态也可以用来解释量子玻色效应，以及可以解释量子物质等现象。
总之，本征态及其对应的本征函数是物理系统稳定态特性的重要表示，在电子结构、原子物理和低温物理等领域应用广泛，发挥着重要作用。
本征态的概念源于熵的增量，利用本征函数可以描述不同本征态间的交互作用，也可以描述本征态的特性。
本征态及其本征函数研究，除了可以加深对物理系统的理解外，还可以探索新的现象，为探索物理宇宙的规律和提高科学技术服务。
本征函数的特点
本征函数是数学中重要的概念，其性质受到许多知名的数学家的探讨和研究，其性质复杂且晦涩，部分概念深奥，普通人很难理解。
本征函数具有多种形式，而每种形式都有其特性。
一般来说，本征函数可以分为两类，一类是量子力学中的本征函数（Wavefunction），另一类是分析学中的本征函数（eigenfunction）。
量子力学中的本征函数是描述一个粒子（原子）系统性质的函数，可以分为无量纲和有量纲两类。
其中，无量纲本征函数是描述该粒子单次实验的结果的函数，它无穷地定义为几何的凹凸函数；有量纲的本征函数则是描述该粒子的行为概率在某一状态下的函数。
分析学中的本征函数形式更多，其性质也更丰富。
一般来说，本征函数可以把复杂的函数简单化，有利于理解该函数的性质；其偶对称性也使其具有多样性，如果利用本征函数可以轻松描述和解决相关的问题，而不用深入研究其中的概念和数学推理。
此外，它也可以用来求解复杂的方程，可以用来刻画变量之间的关系，使得一些数学问题能够得到更好的理解和解决。
本征函数在数学中扮演了一个重要角色，它可以为我们理解复杂数学问题和函数提供帮助，也可以为人们解决现实中复杂问题提供思路，是一种高效的研究方式。
在学习及运用数学知识时，本征函数为我们提供了依据。
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不确定关系,又称做不确定性原理,是微观粒子运 动的基本规律,是微观粒子波粒二象性和波函数统计 解释导致的必然结果。从这个关系我们可以看出 ,它 根本不涉及测量,只要有波函数的统计解释和力学量 的平均值公式,就可以导出不确定原理。
ˆ B ˆ 最小测不准状态：A 2
最小波包状态：广泛应用于理论物理各个领域， 包括量子光学、统计物理、量子场论、超导 理论等方面的相干态理论，其相干态就是最 小测不准态。
| m | l
由Legendre多项式的正交关系
2 (l m )! Pl ( ) P ( )d ll ' 2l 1 (l m )! 1
70
m l , l 1, ,1,0,1, l 1,l
( 2l 1个)
20
可以定义归一化的θ部分的波函数 （为实数）
70 4
其有解的条件可由判别式给出，即
|K | ˆ ˆ 简记为 A B 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 或 A B | [ A， B ] | 2 这就是测不准关系。 比如
K 2 2 ˆ ˆ ( A) ( B ) 4
2
因为
则有
70
ˆ x ] i [ x， p
ˆx x p 2
* 2 ˆ） （ B d
2 ˆ ) 2 i ( A ˆB ˆ) ˆB ˆA ˆ） 则 I ( ) 2 ( A （ B 0
令
ˆB ˆ iK ˆB ˆA ˆ A
则
2 2 2 ˆ ˆ ˆ ( A) K （ B） 0
这 是 有 关 实 参 数 的 一 元 二 次 方 程
ˆ ，B ˆ两个力学量 设有A 令 ˆA ˆ A ， B ˆB ˆB A
（ 注 意 ： 在 经 典 力 学 中 A A A ） ˆ ，B ˆ ， B ˆ 是厄米算符，所以 A ˆ 也是 因为 A
厄米算符。
考虑积分
2 ˆ ˆ I ( ) | ( A i B ) | d 0 为 实 参 数
m
( 2l 1)( l m )! m im Pl (cos ) e 4 (l m )!
上式就是所谓的球谐函数，满足本征值方程
ˆ2Y l (l 1)2Y L lm lm ˆ LzYlm mYlm l 0 ,1, 2 , m l , l 1, , l 1, l 其正交关系为
70 8
测不准关系的应用 利用测不准关系估算一维线性谐振子的零点能 E0
1 解：谐振子的能量 En n 2
n ( x) N n e
2
2
x2
H n ( x)
2 ˆ p 1 ˆ H 2 x 2 2 2
平均能量： E H
1 2 1 p 2 x 2 2 2
2
d sin Y
0 0
* lm
( , )Yl 'm ' ( , )d ll ' mm '
22
70
由上述本征值方程可以看出：
2 ˆ ˆ 的本征值都是量子化的。 L和L z
其中l称为轨道量子数，m 称为磁量子数。
2 ˆ 对于给定的 l， L 的本征值是一定的，但
70
详见《量子力学》，尹鸿钧，中国科技大学出版社 6
对易关系对测不准关系的意义：
若两个力学量 A 和 B 不对易，则 一般来说， A， B 不能同时为 0 。
如果一个完全确定（ A 0） , 则另一个完全 不确定（ B ） 即 A 和 B 不能同时测定 , 或者说它们不能有共 同的本征态。
这是缔合勒让德方程。
70 19
在 | | 1区域中，微分方程有两 个正则奇点
1，其余的均为常点。可 以证明，当
l ( l 1)
l 0 ,1, 2 ,
时，方程的有界解是一个多项式，称之为 Legendre（勒让德）多项式，用下式表示：
Pl ( )
m
1 m m l'
70
积分区间取为整个空间。展开上式，有
2
* * ˆ i B ˆ ） ˆ） ˆ） I ( ) ( A [ （ A i（ B ]d
* ˆ ） ˆ ） ˆ )* ˆ ） 2 ( A ( A d i （ [ B ( A * ˆ （ ˆ ） ˆ ） ˆ )* d ( A ) B ]d （ B ( B
即平面波函数
具体表示为
70
(r ) p p x ( x ) p y ( y ) p z ( z )
13
(r ) p p x ( x ) p y ( y ) p z ( z )
1 e 3/ 2 ( 2) i p r 1 e 3/ 2 ( 2)
70 7
但当 A 和 B 不对易时， A B 0的特殊情况 是存在的。
ˆ ，L ˆ 同 时 有 确 定 值 0。 如 在 Y 00 ( , )态 中 ， L x y
反过来说，若两个力学量A和B对易，则 可以找到状态使得A，B 同时为 0 。这样 ˆ，B ˆ的共同本征态。这实际上 的状态称为A 就是我们介绍不确定关系的最重要的原因。
P 0
x
2
2 x n ( x)dx 0
70
2 2 ˆ P ( P P ) P 2 2 2 ( x) ( x x ) x 2 h 2 2 ( P ) ( x) 4
2 h P2 x2 4
10
1 2 2 E x 2 2 8 x dE 0 d x2 h2
2 ˆ 2 ˆ ˆ 考虑到， [ L , Lz ] 0, L 的本征函数可以同时 ˆ 的本征态，即取其交集 也取为 L z
70 ห้องสมุดไป่ตู้6
ˆz i L
1 i m m ( ) e , 2
( m 0 , 1, 2 , )
2 2 ˆ ˆ 此时，由于 m ( )也是的 L 本征函数， L
本征函数是不确定的， 因为 m l , l 1, , l 1, l 共 有 2 l 1度 简 并 。 2 ˆ ˆ 的本征值来区分这 Y 就是用与 L 对易的 L
lm z
些本征态。
70 23
讨论:
2 ˆ 与L ˆ （1）L 有共同的本征函数系 Ylm ( , ) z
i ( xp x yp y zp z )
70
相应的本征值为 p ( p x , p y , p z ) 例2 坐 标 r ( x , y , z )的 共 同 本 征 态 , 即 函 数 x 0 y 0 z 0 ( r ) ( x x 0 ) ( y y 0 ) ( z z 0 )
同时具有确定值？
ˆ 和B ˆ 能否有共同本征态？ ˆ, B （4）若 [ A ˆ ] =常数， A ˆ 能否有共同本征态？ ˆ 和L （5）角动量分量 L y x
70 12
例1
ˆx, p ˆy, p ˆ z）的共同 讨论动量的三个分量（ p 本征态。
ˆ ， p ˆ ] 0，所有（ p ˆ x， p ˆ y， p ˆ z）可以 由于 [ p 有共同本征态
ˆ ， B ˆ均是厄米算符，所以有 因 为 A
ˆ ) 2 d i * ( A ˆ B ˆ ) d ˆ B ˆ A I ( ) 2 * ( A
2 ˆ （ B） d *
（利用了厄米性）
3
70
ˆ B ˆ ˆ B ˆ A 而 A ˆ A )( B ˆ A) A ˆB ˆ ˆ B ) (B ˆ B )( A ˆB ˆA (A 所以得： 2 * 2 * ˆ ˆ B ˆ ) d ˆ B ˆ A I ( ) ( A) d i ( A
z
共同本征态。
70 15
2 ˆ ˆ 的共同本征函数，球谐函数 2、 L ， L z
采用球坐标
2 1 1 ˆ2 2 [ L (sin ) ] 2 2 sin sin ˆ2 2 L z (sin ) sin sin 2
§4.4 共同本征函数
1、不确定关系的严格证明
ˆ 的本征态中测量力学量A，可以得到 在算符 A 确定值，并不出现涨落。如果测量 B，则不一定 能得到确定值。
例如，由于粒子的波粒 二象性，其位置与动量 不能够同时完全确定， 而其不确定度由下式确 定
x p / 2
70 1
对于比较普遍的情况：
* ˆ ( x)dx P n ( x) P n
70
d i n ( x) n ( x)dx dx
9
d i ( x) n ( x) i n ( x) n ( x)dx dx P
n
x
2
h 2
Emin
1 h E0 2
（零点能）
故所谓零点能即为测不准关系要求的最小能量， 零点能在旧量子理论是没有的。
70
11
思考题： （1）若两个厄米算符有共同本征态，它们是否就彼
此对易？ （2）若两个厄米算符不对易，是否一定就没有共同 本征态？ （3）若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都
lm ( ) ( 1)
m
( 2l 1)( l m )! m Pl (cos ) 2(l m )!
并满足归一化关系
0
lm
l 'm sin d ll '
ˆ2 , L ˆ ) 的正交归一的共同本征函数为 这 样 ，( L z
70 21