八年级--专题十三 分类讨论解几何题
八年级数学几何题分类讨论
八年级数学几何题分类讨论八年级数学几何题主要涉及以下几个方面的分类讨论：一、点、线、面的性质1.点：讨论点的坐标、距离、中点等问题。
2.直线：讨论直线的斜率、截距、垂直平分线等问题。
3.平面：讨论平面的法向量、点到平面的距离、平面之间的位置关系等问题。
二、直线与角1.直线：讨论直线的位置关系、平行、相交、异面等问题。
2.角：讨论角的大小、角度、三角形的角度和、角的平分线等问题。
三、三角形1.分类：根据边长、角度、形状等特点进行分类讨论。
2.性质：讨论三角形的性质，如稳定性、等腰三角形、等边三角形等的性质。
3.判定方法：讨论判定三角形全等、相似的方法，如SSS、SAS、ASA等。
4.实际问题：利用三角形解决实际问题，如测量、建筑等领域的应用。
四、平行四边形1.性质：讨论平行四边形的性质，如对角线、中点、平行四边形面积等问题。
2.判定方法：讨论判定平行四边形的方法，如矩形、菱形、正方形的判定方法。
3.实际问题：利用平行四边形解决实际问题，如测量、设计等领域的应用。
五、矩形、菱形和正方形1.性质：讨论矩形、菱形和正方形的性质，如对角线、中点、面积、周长等问题。
2.判定方法：讨论判定矩形、菱形和正方形的方法，如对角线相等、菱形对角线垂直等方法。
3.实际问题：利用矩形、菱形和正方形解决实际问题，如测量、设计、建筑等领域的应用。
在解决几何题时，关键是要熟悉各种图形的性质和判定方法，掌握分类讨论的思想，同时要注意将理论知识与实际问题相结合，提高解决问题的能力。
初二分类讨论练习题
初二分类讨论练习题分类讨论是数学中常用的解题方法之一，通过将问题分解为若干个同类子问题来解决整体问题。
在初二数学学习中，分类思维的训练对于培养学生的逻辑思维和分析问题的能力是十分重要的。
本文将给出一些初二分类讨论的练习题，帮助学生加深对该解题方法的理解和运用。
一、排列组合类练习题1. 一个三位数，各位数字均不相同，且都是奇数，有多少个？解析：首先，百位数有5个选择（1、3、5、7、9），十位数有4个选择（0除外），个位数有3个选择，所以总共的不同三位奇数有15个。
2. 一桶里共有红球、蓝球、黄球各若干个，其中红球至少有两个，蓝球至少有三个，黄球至少有四个。
问这桶球中至少有几个球？解析：设红球个数为x，蓝球个数为y，黄球个数为z，根据题意，可列出不等式组如下：x >= 2y >= 3z >= 4求解这个不等式组，我们可以得到最少球的个数为2+3+4=9个。
二、几何形状类练习题1. 如图所示，已知矩形ABCD的长为6cm，宽为4cm，将其四个角各剪去一个相同的小正方形，则所得图形的面积为多少？解析：设每个小正方形的边长为x cm，根据题意，可列出如下方程：(6-2x)(4-2x) = 24将方程化简并解方程，得到x=1，故每个小正方形的边长为1cm，所得图形的面积为24-4=20平方厘米。
2. 如图所示，正三角形ABC的边长为8cm，点P在边BC上，且AP的长度为5cm，则三角形ABP的面积为多少？解析：根据正三角形的性质，角APB也是一个等边三角形，所以三角形ABP的面积为1/2 * 5 * 4 = 10平方厘米。
三、代数方程类练习题1. 一个数的九倍减去这个数的四倍等于24，求这个数是多少？解析：设这个数为x，根据题意，可列出方程9x - 4x = 24解方程得到x = 4，所以这个数是4。
2. 一个三位数能被3整除，且百位、十位、个位数字之和为15，求这个三位数是多少？解析：首先，百位数字至少为1，因为3个位数的情况下最小值为102。
部编数学八年级上册专题13一线三等角模型证全等(解析版)含答案
专题13一线三等角模型证全等1．如图，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，试回答下列问题：（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当AB∥MN时，∠2＝ 45 度；（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AM⊥MN于M，BN⊥MN与N，若AM＝6，BN＝2，求MN．（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN 与MN之间有什么关系？请说明理由．【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝90°，∴∠B＝∠A＝45°，∵AB∥MB，∴∠2＝∠B＝45°，故答案为45；（2）∵AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，∴∠AMC＝90°，∠BNC＝90°．∴∠1+∠CAM＝90°，又∵∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠CAM，同理：∠1＝∠CBN，在△AMC和△CNB中，，∴△AMC≌△CNB（ASA），∴AM＝CN，MC＝BN，∴MN＝MC+CN＝AM+BN＝2+6＝8；（3）MN＝BN﹣AM，理由：同（2）的方法得，△AMC≌△CNB（ASA），∴AM＝CN，MC＝BN，∴MN＝MC﹣CN＝BN﹣AM．2．【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90o，点D为AB中点，则△AED∽ △BDF ；②如图2，△ABC为正三角形，BD＝CF，∠EDF＝60°，则△BDE≌ △CFD ；③如图3，正方形ABCD的顶点B在直线l上，分别过点A、C作AE⊥l于E，CF⊥l于F．若AE＝1，CF＝2，则EF的长为 3 ．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（1，），则点C的坐标为 （﹣，1） ．【模型变式】（3）如图5所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于D，DE＝4cm，AD＝6cm，求BE的长．【解答】解：（1）①如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∵点D是AB的中点，∴AD＝BD，∵∠EDB＝∠A+∠AED＝∠EDF+∠FDB，∴∠AED＝∠EDB，∴△AED∽△BDF，故答案为△BDF；②∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵∠EDC＝∠B+∠BED＝∠EDF+∠FDC，∴∠BED＝∠FDC，又∵BD＝CF，∴△BDE≌△CFD（AAS），故答案为：△CFD；③∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵AE⊥EF，CF⊥EF，∴∠AEB＝∠CFB＝90°＝∠ABC，∴∠ABE+∠BAE＝90°＝∠ABE+∠CBF，∴∠BAE＝∠CBF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF＝1，BE＝CF＝2，∴EF＝3，故答案为：3；（2）如图④，过点A作AF⊥x轴于F，过点C作CE⊥x轴于E，∵点A的坐标为（1，），∴AF＝，OF＝1，∵四边形ABCO是正方形，∴AO＝OC，∠AOC＝90°，∵AF⊥EF，CE⊥EF，∴∠AFO＝∠CEO＝90°＝∠AOC，∴∠AOF+∠FAO＝90°＝∠AOF+∠COE，∴∠COE＝∠FAO，∴△AOF≌△OCE（SAS），∴CE＝OF＝1，OE＝AF＝，∴点C坐标为：（﹣，1），故答案为：（﹣，1）；（3）如图⑤，∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠DCA+∠BCE＝90°，∠DCA+∠DAC＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，又∵AC＝BC，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CE＝AD＝6cm，CD＝BE，∴BE＝CD＝CE﹣DE＝6﹣4＝2cm．3．直线l经过点A，△ABC在直线l上方，AB＝AC．（1）如图1，∠BAC＝90°，过点B，C作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：△ABD≌△CAE；（2）如图2，D，A，E三点在直线l上，若∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝α（α为任意锐角或钝角），猜想线段DE、BD、CE有何数量关系？并给出证明；（3）如图3，∠BAC＝90°过点B作直线l上的垂线，垂足为F，点D是BF延长线上的一个动点，连结AD，作∠DAE＝90°，使得AE＝AD，连结DE，CE．直线l与CE交于点G．求证：G是CE的中点．【解答】（1）证明：∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∴∠ABD+∠DAB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAE+∠DAB＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）解：猜想：DE＝BD+CE，∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠ABD+∠DAB＝180°﹣∠BDA＝180°﹣α，∠CAE+∠DAB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，DA＝EC，∴DE＝AE+DA＝BD+CE；（3）证明：分别过点C、E作CM⊥l，EN⊥l，由（1）可知△ABF≌△CAM，△ADF≌△EAN，∴AF＝CM，AF＝EN，∴CM＝EN，∵CM⊥l，EN⊥l，∴∠CMG＝∠ENG＝90°，在△CMG与△ENG中，，∴△CMG≌△ENG（AAS），∴CG＝EG，∴G为CE的中点．4．已知：在△ABC中，AB＝AC，直线l过点A．（1）如图1，∠BAC＝90°，分别过点B，C作直线l的垂线段BD，CE，垂足分别为D，E．①依题意补全图1；②用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系，并证明．（2）如图2，当∠BAC≠90°时，设∠BAC＝α（0°＜α＜180°），作∠CEA＝∠BDA＝α，点D，E在直线l上，直接用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系为 DE＝BD+CE ．【解答】解：（1）①依题意补全图形如图1所示．②用等式表示DE，BD，CE之间的数量关系为DE＝BD+CE．证明：∵CE⊥l，BD⊥l，∴∠CEA＝∠ADB＝90°．∴∠ECA+∠CAE＝90°．∵∠BAC＝90°，直线l过点A，∴∠CAE+∠BAD＝180°﹣∠BAC＝90°．∴∠ECA＝∠BAD．又∵AC＝AB，∴△CEA≌△ADB（AAS），∴CE＝AD，AE＝BD．∴DE＝AE+AD＝BD+CE．（2）用等式表示DE，BD，CE之间的数量关系为DE＝BD+CE，理由如下：∵∠BAE是△ABD的一个外角，∴∠BAE＝∠ADB+∠ABD，∵∠BDA＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE．故答案为：DE＝BD+CE．5．如图，CD∥AB，CD＝CB，点E在BC上，∠D＝∠ACB．（1）求证：CE＝AB．（2）若∠A＝125°，则∠BED的度数是 55° ．【解答】证明：（1）∵CD∥AB，∴∠B＝∠DCE，在△DEC与△CAB中，，∴△DEC≌△CAB（ASA），∴CE＝AB；解：（2）∵△DEC≌△CAB，∴∠CED＝∠A＝125°，∴∠BED＝180°﹣125°＝55°，故答案为：55°．6．直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C．（1）当AC＝BC时，如图①，分别过点A，B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．试说明AD＝CE；（2）当AC＝8，BC＝6时，如图②，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M，N到达相应的终点时停止运动，过点M 作MD⊥l于点D，过点N作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒．①CM＝ 8﹣t ，当N在F→C路径上时，CN＝ 6﹣3t ；（用含t的代数式表示）②当△MDC与△CEN全等时，求t的值．【解答】解：（1）△ACD与△CBE全等．理由如下：∵AD⊥直线l，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD＝CE；（2）①由题意得，AM＝t，FN＝3t，则CM＝8﹣t，由折叠的性质可知，CF＝CB＝6，∴CN＝6﹣3t．故答案为：8﹣t；6﹣3t；②由折叠的性质可知，∠BCE＝∠FCE，∵∠MCD+∠CMD＝90°，∠MCD+∠BCE＝90°，∴∠NCE＝∠CMD，∴当CM＝CN时，△MDC与△CEN全等，当点N沿F→C路径运动时，8﹣t＝6﹣3t，解得，t＝﹣1（不合题意），当点N沿C→B路径运动时，8﹣t＝3t﹣6，解得，t＝3.5，当点N沿B→C路径运动时，由题意得，8﹣t＝18﹣3t，解得，t＝5，当点N沿C→F路径运动时，由题意得，8﹣t＝3t﹣18，解得，t＝6.5，综上所述，当t＝3.5秒或5秒或6.5秒时，△MDC与△CEN全等．7．点A的坐标为（4，0），点B为y轴负半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．（1）如图一，若点B坐标为（0，﹣3），连接AC、OD．①求证：AC＝OD；②求D点坐标．（2）如图二，连接CD，与y轴交于点E，试求BE长度．【解答】（1）①证明：∵△OBC和△ABD是等腰直角三角形，∴OB＝CB，BD＝AB，∠ABD＝∠OBC＝90°，∴∠ABD+ABO＝∠OBC+∠A∠O，∴∠OBD＝∠CBA，∴△OBD≌△CBA（SAS），∴AC＝OD；②如图一、∵A（4，0），B（0，﹣3），∴OA＝4，OB＝3，过点D作DF⊥y轴于F，∴∠BOA＝∠DFB＝90°，∴∠ABO+∠OAB＝90°，∵∠ABD＝90°，∴∠ABO+∠FBD＝90°，∴∠OAB＝∠FBD，∵AB＝BD，∴△AOB≌△BFD（AAS），∴DF＝OB＝3，BF＝OA＝4，∴OF＝OB+BF＝7，∴D（3，﹣7）；（2）如图二、过点D作DF⊥y轴于F，则∠DFB＝90°＝∠CBF，同（1）②的方法得，△AOB≌△BFD（AAS），∴DF＝OB，BF＝OA＝4，∵OB＝BC，∴BC＝DF，∵∠DEF＝∠CEB，∴△DEF≌△CEB（AAS），∴BE＝EF，∴BF＝BE+EF＝2BE＝4，∴BE＝2．8．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，垂足分别为E，F．（1）如图所示，当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE+BF．（2）当直线l绕点C旋转到图（b）的位置时，猜想EF、AE、BF之间的关系，并证明．（3）当直线l绕点C旋转到图（c）的位置时，猜想EF、AE、BF之间的关系，直接写出结论．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ECA+∠FCB＝90°，又∵AE⊥l，BF⊥l，∴∠AEF＝∠BFC＝90°，∴∠ECA+∠EAC＝90°，∴∠FCB＝∠EAC，在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF，CE＝BF，∵EF＝EC+CF，∴EF＝AE+BF；（2）解：EF＝AE﹣BF，理由如下：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠FCB＝90°，又∵AE⊥l，BF⊥l，∴∠AEF＝∠BFC＝90°，∴∠CAE+∠ACE＝90°，∴∠CAE＝∠FCB，又∵AC＝BC，∴△ACE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF，CE＝BF，∴EF＝CF﹣CE＝AE﹣BF；（3）解：EF＝BF﹣AE，理由如下：∵∠AEC＝∠CFB＝90°，∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠CAE＝∠ACE+∠BCF＝90°，∴∠CAE＝∠BCF，∵AC＝BC，∴△CAE≌△BCF（AAS），∴CE＝BF，AE＝CF，∴EF＝CE﹣CF＝BF﹣AE，即EF＝BF﹣AE．9．如图，已知l1∥l2，射线MN分别和直线l1，l2交于A、B，射线ME分别和直线l1，l2交于C、D，点P在A、B间运动（P与A、B两点不重合）（1）如图①，如果∠PDB＝50°，∠PCA＝20°，∠CPD＝ 70° ．若∠PDB＝α，∠PCA＝β，∠CPD＝γ，请直接写出α，β，γ之间的数量关系 γ＝α+β ．（2）如图②，若MN⊥l1于点A，BD＝2，AB＝6，AC＝4，当AP为多少时，△ACP≌△BPD，请判断此时PC与PD的数量与位置关系，并说明理由．（3）请用尺规作图作出∠BDC的角平分线DP，其中P为角平分线与AB的交点，若此时点P为线段AB的中点，请你在备用图中再画出合适的辅助线以能展现你的做题思路，并直接写出线段AC、BD、CD的数量关系，不用再说明理由．【解答】解：（1）过点P作PQ∥l1，交ME于点Q，如图①，∵l1∥l2，PQ∥l1，∴PQ∥l2，∴∠BDP＝∠DPQ＝50°，∵PQ∥l1，∴∠QPC＝∠PCA＝20°，∴∠DPC＝∠DPQ+∠CPQ＝70°，∵∠PDB＝α，∠PCA＝β，∠CPD＝γ，同理可得：∠CPD＝∠PDB+∠PCA，∴γ＝α+β，故答案为：70°．γ＝α+β．（2）CP＝PD，CP⊥PD．理由如下：如图②，若△ACP≌△BPD，则AP＝BD＝2，∠CPA＝∠PDB，CP＝PD，∵MN⊥l1，∴∠DBM＝90°，∴∠DPB+∠PDB＝90°，∴∠CPA+∠BPD＝90°，∴∠CPD＝90°，∴CP⊥PD．（3）CD＝CA+BD．理由如下：以点D为圆心，以任意长度为半径画弧，交l1，ME于F、H，分别以H、F为圆心，以大于EF 的长为半径画弧，相交于Q、T两点，连接DQ，即为∠CDF的角平分线，设DQ交AB于P，交l1于G，如图③，在△DPB和△GPA中，，∴△DPB≌△GPA（AAS），∴BD＝AG，∵DG是∠CDF的角平分线，∴∠CDG＝∠FDG，∵l1∥l2，∴∠FDG＝∠CGD，∴∠CDG＝∠CGD，∴CD＝CG，∵CG＝CA+AG＝CA+BD，∴CD＝CA+BD．10．已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为 BD＝AE ，CE与AD的数量关系为 CE＝AD ；（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD，∴∠CAE＝∠ABD，∵∠BDA＝∠AEC，BA＝CA，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，故答案为：BD＝AE，CE＝AD；（2）DE＝BD+CE，由（1）同理可得△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，∴DE＝BD+CE；（3）存在，当△DAB≌△ECA时，∴AD＝CE＝2cm，BD＝AE＝7cm，∴t＝1，此时x＝2；当△DAB≌△EAC时，∴AD＝AE＝4.5cm，DB＝EC＝7cm，∴t＝，x＝7÷＝，综上：t＝1，x＝2或t＝，x＝．11．已知Rt△ABC和Rt△ADE，AB＝AC，AD＝AE．连接BD、CE，过点A作AH⊥CE于点H，反向延长线段AH交BD于点F．（1）如图1，当AB＝AD时①请直接写出BF与DF的数量关系：BF ＝ DF（填“＞”、“＜”、“＝”）②求证：CE＝2AF（2）如图2，当AB≠AD时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，AB＝AD，∴AC＝AE，∵AH⊥CE，∴∠CAH＝∠EAH，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠CAH+∠BAF＝90°，∠EAH+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠DAF，在△BAF和△DAF中，，∴△BAF≌△DAF（SAS），∴BF＝DF，故答案为：＝；②∵AC＝AE，AH⊥CE，∴CH＝EH＝CE，∴CE＝2CH，∵∠BAC＝∠AHC＝90°，∴∠BAF+∠CAH＝90°，∠ACH+∠CAH＝90°，∴∠BAF＝∠ACH，∵△BAF≌△DAF，∴∠AFB＝∠AFD＝90°，∴∠AFB＝∠CHA，在△AFB和△CHA中，，∴△AFB≌△CHA（AAS），∴AF＝CH，∴CE＝2AF；（2）成立，证明如下：作BM⊥AF于点M，作DN⊥AF交AF的延长线于点N，∴∠BMA＝∠N＝90°，∴∠BAM+∠ABM＝90°，∠DAN+∠ADN＝90°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAM+∠CAH＝90°，∠DAN+∠EAH＝90°，∴∠ABM＝∠CAH，∠ADN＝∠EAH，∵AH⊥CE，∴∠AMB＝∠CHA＝∠N＝∠EHA＝90°，在△AMB和△CHA中，，∴△AMB≌△CHA（AAS），∴MB＝AH，同理可证△AND≌△EHA（AAS），∴DN＝AH，∴BM＝DN，在△BMF和△DNF中，，∴△BMF≌△DNF（AAS），∴BF＝DF，MF＝NF，∴AM＝AF﹣MF，AN＝AF+NF＝AF+MF，∴AM+AN＝AF﹣MF+AF+MF＝2AF，∵△AMB≌△CHA，△AND≌△EHA，∴AM＝CH，AN＝EH，∴CH+EH＝AM+AN＝2AF，∵CE＝CH+EH，∴CH＝2AF，即BF＝DF，CE＝2AF．12．从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法．例如，我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．（1）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，垂足为M，且MN＝DM．设OM＝a，请你利用基本活动经验直接写出点N的坐标 （2+a，a） （用含a的代数式表示）；（2）基本经验有利有弊，当基本经验有利于新问题解决的时候，这是基本经验的正迁移；当基本经验所形成的思维定势局限了新问题的思考，让新问题解决不出来的时候，这是基本经验的负迁移．例如，如果（1）的条件去掉“且MN＝DM”，加上“交∠CBE的平分线与点N”，如图2，求证：MD＝MN．如何突破这种定势，获得问题的解决，请你写出你的证明过程．（3）如图3，请你继续探索：连接DN交BC于点F，连接FM，下列两个结论：①FM的长度不变；②MN平分∠FMB，请你指出正确的结论，并给出证明．【解答】（1）解：如图1中，作NE⊥OB于E，∵∠DMN＝90°，∴∠DMO+∠NME＝90°，∠NME+∠MNE＝90°，∴∠DMO＝∠MNE，在△DMO和△MNE中，，∴△DMO≌△MNE，∴ME＝DO＝2，NE＝OM＝a，∴OE＝OM+ME＝2+a，∴点N坐标（2+a，a），故答案为N（2+a，a）．（2）证明：如图2中，在OD上取OH＝OM，连接HM，∵OD＝OB，OH＝OM，∴HD＝MB，∠OHM＝∠OMH，∴∠DHM＝180°﹣45°＝135°，∵NB平分∠CBE，∴∠NBE＝45°，∴∠NBM＝180°﹣45°＝135°，∴∠DHM＝∠NBM，∵∠DMN＝90°，∴∠DMO+∠NMB＝90°，∵∠HDM+∠DMO＝90°，∴∠HDM＝∠NMB，在△DHM和△MBN中，，∴△DHM≌△MBN（ASA），∴DM＝MN．（3）结论：MN平分∠FMB成立．证明：如图3中，在BO延长线上取OA＝CF，在△AOD和△FCD中，∴△DOA≌△DCF，∴AD＝DF，∠ADO＝∠CDF，∵∠MDN＝45°，∴∠CDF+∠ODM＝45°，∴∠ADO+∠ODM＝45°，∴∠ADM＝∠FDM，在△DMA和△DMF中，，∴△DMA≌△DMF，∴∠DFM＝∠DAM＝∠DFC，过M作MP⊥DN于P，则∠FMP＝∠CDF，由（2）可知∠NMF+∠FMP＝∠PMN＝45°，∵∠NMB＝∠MDO，∠MDO+∠CDF＝45°，∴∠NMB＝∠NMF，即MN平分∠FMB．（在旋转过程中，FM＝AM，显然AM的长度是变化的，故FM的长度是变化的或取两个特殊位置，比较AM的值即可发现结论）．。
2021——2022冀教版初二上学期第十三章 三角形全等几何模型-“手拉手”模型(知识讲解)
专题13.3 三角形全等几何模型-“手拉手”模型（知识讲解）图一图二图三图四图五图六图七手拉手模型的定义：定义：有两个顶角相等而且有公共顶点的等腰三角形开成的图形。
特别说明：其中图一、图二为两个基本图形----等腰三角形，图二至图七为手拉手的基本模型，（左手拉左手，右手拉右手）3、如右图：手拉手模型的重要结论：结论1：∆ABC≅∆A/B/C/（SAS）BC=B/C/(左手拉左手等于右手拉右手)结论2：∠BOB=∠BAB（利用三角形全等及顶角相等的等腰三角形底角相等）结论3：AO平分∠B O C/（利用三角形全等面积相等，再利用角平分线性质定理证明）典型例题讲练：在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型” 兴趣小组进行了如下操究：（1）如图1、两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，△BAC=△DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB 全等的三角形是，此线BD和CE的数量关系是（2）如图2、两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，△BAC=△DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由：（3）如图3，已知△ABC、请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的数量关系及△PBC+△PCB的度数、举一反三变式1：如图，AC△BC，DC△EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F．（1）求证：AE＝BD；（2）求△AFD的度数．例题2．已如：如图1，B，C，D三点在一条直线上，△ABC和△ECD均为等边三角形，连接BE，AD交于点F，BE交AC于点M，AD交CE于点N．（1）以下结论正确的有；△AD=BE△△EFD=60° △MC=NC△△AMB=△END（2）探究：将图1中的△ECD绕点C顺时针旋转一个角度（旋转角小于60°），如图2所示．△问：（1）中的正确结论哪些还成立？若成立，请说明理由；△连接FC，如图3所示，求证：FC平分△BFD举一反三∆中，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，变式：如图，在ABC∠的度数为（）连接AE，BD交于点O，则AOBA．100︒B．120︒C．130︒D．150︒例题3．（阅读材料）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若△BAC=△DAE，AB=AC，AD=AE，则△ABD△△ACE．（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．（深入探究）（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：△BD=EC；△△BOC=60°；△△AOE=60°；△EO=CO，其中正确的有．(将所有正确的序号填在横线上)．（延伸应用）（3）如图3，AB=BC，△ABC=△BDC=60°，试探究△A与△C的数量关系．举一反三变式：如图，C 为线段AE 上一动点(不与点,A E 重合)，在AE 同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形,CDE AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下结论：①AD BE =；①//PQ AE ；①60AOB ∠=︒；①CPQ 是等边三角形，恒成立的是______．。
几何中的分类讨论题
几何中的分类讨论题1、有一三角铁片ABC，已知最长边BC=12cm，高AD=8cm，要把他加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，且矩形的长是宽的2倍。
问：加工成的铁片的面积为多少平方厘米？2、如图所示，现有一边长为12cm的正方形纸片，E为正方形的边AD上一点，AE=10cm，现欲从正方形纸片上剪下等腰三角形AEP（要求该等腰三角形的另一顶点P也在正方形的一边上）3、正在修建的冬奥会的体育馆外有一块边长为6和8的直角三角形空地需要绿化,从三角形的直角顶点出发作射线,将△ABC分成面积相等的三个三角形,以便种上三种不同的花草,请你帮助画出图案,并计算出每块面积.4、为了美化校园，决定把两种花栽种到一块等腰三角形的花圃中，要求一腰上的中线把两种花分开，并把三角形的周长分成9m和15m两部分，求花圃的面积。
5、王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米（水渠的宽不计）请你计算这块等腰三角形菜地的面积。
6、在劳技课上，老师请同学们在一张长为17cn，宽为16cm的长方形纸板上剪下一个腰长为10cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）请你帮助同学们计算剪下的等腰三角形的面积。
7、红光中学有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测到∠A=30°，AC=40米，BC=25米，请你求出这块花圃的面积。
8、美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一块边长10米的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。
9、已知四边形ABCD，AD∥BC，AB=CD，AC与BD相交于O，AD=7，BD=10，∠BOC=120°，画出图形并求四边形面积。
10、一条东西走向的高速公路上有两个加油站A、B，在A的北偏东45度方向还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30千米，B、C间的距离是60千米，想到经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P与加油站A的距离（结果可保留根号）。
八年级数学上册 第13章 全等三角形 微卷专训3 四种常见的几何关系的探究试题 冀教版(2021学
2０１7秋八年级数学上册第13章全等三角形微卷专训3 四种常见的几何关系的探究试题(新版）冀教版编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2０１7秋八年级数学上册第13章全等三角形微卷专训3 四种常见的几何关系的探究试题(新版)冀教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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专训3 四种常见的几何关系的探究名师点金：全等三角形的性质和判定是初中数学的重点内容，也是学习其他几何知识的基础,三角形全等的判定和性质是证明线段相等、角相等的重要依据，并由此获得直线之间的垂直(平行)关系,线段(面积)的和、差、倍、分关系.位置关系１．如图,已知BＥ⊥AC,CF⊥ＡB，ＢM=AC，ＣN＝AB。
求证：ＡM⊥AN.(第1题)相等关系2.【中考·珠海】已知△ABC，AB=AＣ，将△ABC沿ＢC方向平移得到△DEF．（1）如图①,连接BD,AＦ，则BＤ_＿_____＿AF。
(填“＞”“＜”或“=")(2）如图②，M为AB边上一点,过M作BC的平行线ＭN分别交边A C，ＤE,ＤF于点G，H,N,连接BＨ，GF。
求证:BH＝GＦ。
（第2题)和差关系3．如图，∠BCA=α，CA＝ＣB，Ｃ，E,F分别是直线CD上的三点,且∠BEC＝∠CFＡ=α，请提出对ＥF，BE,AF三条线段之间数量关系的合理猜想,并证明．(第3题)不等关系4.【中考·贵阳】（１)阅读理解:如图①,在△AＢC中,若AB＝１0，ＡC=6，求BＣ边上的中线ＡD的取值范围.解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DＥ=AD，再连接BE（或将△ＡCD绕着点D逆时针旋转１80°得到△EBＤ）,把AB，AC，2AＤ集中在△ＡBE中.利用三角形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是____＿_______＿____＿_＿＿＿_＿＿___＿_＿_＿＿___＿_____＿__＿________＿__＿__________＿＿_；(2)问题解决:如图②,在△AＢＣ中，D是BC边上的中点,DE⊥DF于点D,ＤＥ交AB于点E,DＦ交AC于点F,连接EF,求证BＥ+CF＞EＦ;（3）问题拓展:如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD, ∠BＣD=140°,以C为顶点作一个70°角,角的两边分别交AB,AD于E，F两点，连接EF,探索线段ＢE，DＦ,EF之间的数量关系，并加以证明．【导学号：42282025】(第４题）答案1．证明：如图，∵BE⊥AC，CF⊥AB,∴∠1+∠BAC=9０°,∠2＋∠ＢAC=90°.∴∠1=∠2。
华东师大版八年级数学上册第13章全等三角形等腰三角形中的分类讨论专题测试题及答案
华东师大版八年级数学上册第13章全等三角形等腰三角形中的分类讨论专题测试题一、腰或底边不确定时需讨论1．等腰三角形两边长为3 cm和5 cm，则它的周长是()A．11 cm B．13 cmC．11 cm或13 cm D．以上答案都不正确2．已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足＋(2a＋3b－13)2＝0，则此等腰三角形的周长为() A．7或8 B．6或10C．6或7 D．7或10二、顶角或底角不确定时需讨论3．等腰三角形一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角可能为()A．50°B．65°C．80°D．50°或80°4．等腰三角形的一个外角为100°，则这个等腰三角形的顶角的度数为________________．5．已知△ABC中，∠A＝40°，则当∠B＝_________________时，△ABC是等腰三角形．三、三角形形状不确定时需讨论6．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是() A．30°B．60°C．150°D．30°或150°7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为____________．8．△ABC的高AD，BE所在的直线交于点M，若BM＝AC，求∠ABC的度数．四、由题目条件的不确定性引起的分类讨论9．在等腰△ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为()A．7 B．11 C．7或11 D．7或1010．已知O为等边△ABD的边BD的中点，AB＝4，E，F分别为射线AB，DA上一动点，且∠EOF＝120°，若AF＝1，求BE的长．11．已知点P为线段CB上方一点，CA⊥CB，PA⊥PB，且PA＝PB，PM⊥BC于M，若CA＝1，PM＝4.求CB的长．答案：1. C2. A3. D4. 80°或20°5. 70°或100°或40°6. D7. 63°或27°8. 两种情况考虑：当∠ABC为锐角时，如图1所示，∵AD⊥DB，BE⊥AC，∴∠MDB＝∠AEM＝90°，∵∠AME＝∠BMD，∴∠CAD＝∠MBD，在△BMD 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BDM ＝∠ADC ＝90°∠DBM ＝∠DAC ，BM ＝AC∴△BMD ≌△ACD(A .A .S .)，∴AD ＝BD ，即△ABD 为等腰直角三角形，∴∠ABC ＝45°当∠ABC 为钝角时，如图2所示，∵BD ⊥AM ，BE ⊥AC ，∴∠BDM ＝∠BEC ＝90°，∵∠DBM ＝∠EBC ，∴∠M ＝∠C ，在△BMD 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BDM ＝∠ADC ＝90°∠M ＝∠C ，BM ＝AC∴△BMD ≌△ACD(A .A .S .)，∴AD ＝BD ，即△ABD 为等腰直角三角形，∴∠ABD ＝45°，则∠ABC ＝135° .∴综上所述，∠ABC ＝45°或135°9. C10. 当F 在线段DA 的延长线上，如图1，作OM ∥AB 交AD 于M ，∵O 为等边△ABD 的边BD 的中点，∴OB ＝2，∠D ＝∠ABD ＝60°，∴△ODM 为等边三角形，∴OM ＝MD ＝2，∠OMD ＝60°，∴FM ＝FA ＋AM ＝3，∠FMO ＝∠BOM ＝120°，∵∠EOF ＝120°，∴∠BOE ＝∠FOM ，而∠EBO ＝180°－∠ABD ＝120°，∴△OMF ≌△OBE ，∴BE ＝MF ＝3；当F 点在线段AD 上，如图2，同理可证明△OMF ≌△OBE ，则BE ＝MF ＝AM －AF ＝2－1＝1.∴综上所述，BE ＝3或111. 此题分以下两种情况：①如图1，过P 作PN ⊥CA 于N ，∵PA ⊥PB ，∴∠APB ＝90°，∵∠NPM ＝90°，∴∠NPA ＝∠BPM ，在△PMB 和△PNA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠N ＝∠BMP ∠NPA ＝∠BPM PA ＝PB，∴△PMB ≌△PNA ，∴PM ＝PN ＝4＝CM ，BM ＝AN ＝3，∴BC ＝7；②如图2，过P 作PN ⊥CA 于N ，∵PA ⊥PB ，∴∠APB ＝90°，∵∠NPM ＝90°，∴∠NPA ＝∠BPM ，在△PMB 和△PNA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠N ＝∠BMP ∠NPA ＝∠BPM PA ＝PB，∴△PMB ≌△PNA ，∴PM ＝PN ＝4＝CM ，BM ＝AN ＝5，可得BC ＝9.综上所述，CB ＝7或9。
2021——2022冀教版初二上学期第十三章 三角形全等几何模型-斜边上的中线(专项练习)
专题13.5 三角形全等几何模型-斜边上的中线（专项练习）通过斜边上的中线达到线段、角、面积等等的变换，此模型在几何证明中占据相当重要的地位，在压轴题里常常有此类题的身影，因为通过此模型的学习，对初学三角形全等的学生来讲，是十分必要的，对提升学生几何综合能力是相当重要。
本专题汇编了一些斜边上中线的常考题，供师生选择使用。
知识储备：0=∆∠∆∆如图一，在ABC 中，C 90，则边AB 叫ABC 的斜边，AC 、BC 是ABC 的直角边。
图一0=∆∠∆如图二，在ABC 中，C 90，CO 为ABC 斜边上的中线，则 OA=OB=OC 或AB=2OC ，即直角三角形斜边上的中线等于斜边一半。
图二一、填空题1．一副三角板如图摆放，点F 是45角三角板ABC 的斜边的中点，4AC =.当30角三角DEF 的直角顶点绕着点F 旋转时，直角边DF EF ，分别与,AC BC 相交于点.M N ，则CMFN 的面积为____________．二、解答题2．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，AC a =，点E 为边AC 上任意一点，点D 为AB 的中点，过点D 作DF DE ⊥交BC 于点F ．求证：CE CF +为定值．3．已知：在ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，点D 是AB 的中点，点E 是AB 边上一点．（1）直线BF 垂直于CE 于点F ，交CD 于点G （如图1），求证：AE=CG ；（2）直线AH 垂直于CE ，垂足为H ，交CD 的延长线于点M （如图2），求证：BCE CAM ≌．4．如图在Rt ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，O 为BC 的中点．（1）写出点O 到ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的大小关系．（2）如果点M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动，移动中保持AN BM =，请判断OMN 的形状，并证明你的结论．（3）当点M 、N 分别在AB 、AC 上运动时，四边形AMON 的面积是否发生变化？说明理由．5．已知：三角形ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 边的中点，（1）如图∠，E ，F 分别是AB ，AC 上的点，且BE ＝AF ，求证：∠DEF 为等腰直角三角形．（2）如图∠，若E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，仍有BE ＝AF ，其他条件不变，那么，∠DEF 是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．6．已知：如图，等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，D 为BC 中点，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且满足EA CF =．连接AD ．求证：DE DF =．7．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，点D 为斜边AB 的中点，90EDF ∠=︒，DEF 的顶点E ，F 分别在边AC ，BC 上，求EC CF +的长．8．如图，在ABC 中，,90CA CB ACB =∠=︒，O 为AB 的中点，D ，E 分别在,AC BC上，且OD OE ⊥．求证：CE CD AC +=．9．如图，在ABC 中，90,,ACB AC BC D ︒∠==是AB 的中点，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且AE CF =．求证：,DE DF DE DF =⊥．10．∠ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，CD=BD ，∠1=∠2，求证：CM∠AD 。
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P63--66
例1.
点D是∠ABC平分线上一点，E、F分别在AB、BC上，且DE ＝DF，试判断∠BED与∠BFD的关系，并说明理由。
M 1.∠BED = ∠BFD
N M
N
2.∠BED = ∠BFD=900 3.∠BED +∠BFD =1800
P65-14. 如图,已知△ABC是等边三角形,求作一点P,使得
△PAB,△PBC,△PCA都是等腰三角形,
A
B
C
1.分别过等边三角形边AB、BC做它们的垂直平分线, 两者相交于一点P1。 这点即为所求作的点P1.
2.分别以点A、B、C为圆心，以等边三角形的边长为半径作圆，各圆两两相 交于点P2，P3，P4，各圆分别与它们的垂直平分线相交于点P5，P6，P7， P8，P9，P10。
过点P作PH⊥MN于H，
∵MN∥AB， ∴∠NMC=∠B=60°，则∠PMH=30°，
∴
则
∴MH=PM·cos30°= 在Rt△PNH中， ∴△PMN的周长=PM+PN+MN=
②当点N在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但
△MNC恒为等边三角形，
当PM=PN时，如图（3）
作PR⊥MN于R，则MR=NR，
∴∠PNM+∠MNC=180°，
因此点P与F重合，△PMC为直角三角形，
∴MC=PM·tan30°=1，
此时，x=EP=GM=6-1-1=4，
综上所述，当x=2或4或
时，△PMN为等腰三
角形。
这点即为所求作的点P
共有10个P点： P1， P2，P3，P4， 16 已知：正方形ABCD。求作：点P，使⊿PAB, ⊿PBC, ⊿PAD,
⊿PCD都是等腰三角形。
A
D
B
C
1.连结对角线AC、BD得交点P1，P1即为所求。 2.分别以点A、B、C、D为圆心，以正方形的边长为半径作圆，各圆两两相 交于点P2，P3，P4， P5，P6，P7，P8，P9。这点即为所求作的点P
解：（1）如图（1），过点E作EG⊥BC于点G. ∵E为AB的中点，
∴
在Rt⊿EBG中，∠B=60°， ∴∠BEG=30°，
∴
即点E到BC的距离为
。
（2）①当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变，
∵PM⊥EF，EG⊥EF，
∴PM∥EG，
∵EF∥BC，
∴EP=GM，PM=EG=
，
同理，MN=AB=4，如图（2），
类似①，
，
∴MN=2MR=3，
∵△MNC是等边三角形，
∴MC=MN=3，
此时，x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2，
当MP=MN时，如图（4），
这时MC=MN=MP= ，
此时．x=EP=GM=6-1- =5- ，
当NP=NM时，如图（5），∠NPM=∠PMN=30°，
则∠PNM=120°，又∠MNC=60°，
共有9个P点： P1， P2，P3，P4， P5，P6，P7，P8，P9。
• 如图（1）所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过 点E作EF∥BC交CD于点F，AB=4，BC=6，∠B=60°。
• （1）求点E到BC的距离；
• （2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M 作MN∥AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x。 ①当点N在线段AD上时（如图（2）），△PMN的形状是否发生改 变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由； ②当点N在线段DC上时（如图（3）），是否存在点P，使△PMN为 等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在， 请说明理由。