线性代数第二版 晏瑜敏 习题答案
线性代数习题解答 [理工类] 第二版(主编：肖马成)
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习题一A 组1.计算下列二阶行列式 （1）521-12= （2）012896= （3）2222ba abbab a -= （4）11112322--=++-x x x x xx2.计算下列三阶行列式（1）132213321=1+8+27-6-6-6=18 （2）5598413111= （3）714053101-=- （4）00000=dc b a 3. 当k 取何值时，10143kk k-=0. 解：10143kk k-0)3(0)(02-----++=k k ， 得 0342=+-k k ， 所以 1=k 或 3=k 。
4.求下列排列的逆序数.解：(1) 512110)51324(=++++=τ.(2) 8142010)426315(=+++++=τ. (3) 21123456)7654321(=+++++=τ.(4) 1340423000)36715284(=+++++++=τ.5.下列各元素乘积是否是五阶行列式 ij a 中一项?如果是,该项应取什么符号? 解：(2) 不是. 因为 5145332211a a a a a 中有俩个元素在第一列. (3) 是. 对应项为534531*********)1(a a a a a ）（τ-1021)24153(+++=τ 所以该项应取负号。
6.选择i , j 使j i a a a a a 54234213成为五阶行列式 ij a 中带有负号的项解: 当 )5,1(),(=j i 时, 30102)31425(=+++=τ, 是奇排列.当 )1,5(),(=j i 时, 81232)35421(=+++=τ, 是偶排列. 所以 i = 1, j = 5.8.利用行列式性质计算下列行列式.解: (1) 111212321-2343032123121----+-+-r r r r 6243032132-=--+-r r (2) 6217213424435431014327427246-621721100044354320003274271000123c c c ++621721144354323274271103=. 62110014431002327100110323c c +-621114431232711105=31212r r r r +-+-2942111032711105--=294105⨯ (3)1111111111111111---820000200002011114,3,21-=---=+-i r r i(4)1502321353140422-----1523213531402112-----=11203840553002112234413121-----+++r r r r r r11205100046100211223424-----+-+-r r r r 7130051000461002112242------+-r r 7130120046100211)5(2-----=27120046100211)5(2743----+r r 272100641020111043---↔c c 270-=.（5）yy x x -+-+1111111111111111yyy x x x c c c c --+-+-11011010110123412yy x x r r r r --+-+-011000010124321yy x x--=00011000101012232001000010101y x yy xxr r =--+（6）dc b a c b a ba ad c b a c b a b a a dc b a c b a ba a dc b a++++++++++++++++++3610363234232cb a b a ac b a b a a c b a b a ad c b ai r r i 36103630234232004,3,21+++++++++=+-ba ab a ac b a b a ad c b ar r r r 37302000324232++++++-+-443020003a ab a ac b a b a ad c b ar r =+++++-9.用行列式性质证明:(1) 333332222211111c c b kb a c c b kb a c c b kb a ++++++=333222111c b a c b a c b a 证明: 333332222211111c c b kb a c c b kb a c c b kb a ++++++33332222111123c b kb a c b kb a c b kb a c c ++++-33322211112c b a c b a c b a c kc +-. (2) efcf bf de cd bdaeac ab---=abcdef 4证明: ef cfbf de cd bdae ac ab---d cbe c b e c b abf---的公因子提取各行111111111---abfbce 的公因子提取各列 022001113121-++a b c d e f r r r r 202011123--↔a b c d e f r r a b c d e f 4=.(3)y y x x ++++1111111111111111y x xyy x 222222++=证明:y y x x++++1111111111111111=y y x x+++++++1110111101111011111y y x +++=1111111111111111 yy x x++++111011*********y y x 0000000001111=yy x x +++++++110101101011101101y y x x y y xxy +++++++=1010011001010101000000011101112yy x x yx x xyxy+++++=101001001001100110011011022yy x x y x xxy+++=10100100100000110011011022=+++=)1(2222y y x y x xy222222y x y x xy++.10.解下列方程:(1)0913251323222321122=--xx解: 由 2243212240005132320321129132513232223211xx r r r r x x ----+-+---223140131********2xx r r ------+-222212401310332003211xx x r r x -------+22223403320013103211xx xr r ------↔)4)(32(22x x ---=得 0)4)(32(22=---x x 所以 2=x 或 2-=x .(2)0011101101110=x x x x解: 由=++++=+01110110122224,3,20111011011101xx x x x x x i r r xx x x i 0111011011111)2(xx x x +11111010101111)2(413121-------++-+-+-x x x x x x r r r xr r r x x x x x x x r r -------++10011010101111)2(43xxx x x x x xxx x x x x x r r x ------+=----+----++-10)1(0010101111)2(10)1)(1(10010101111)2()1(32xxx x x x ----⨯-+=1)1(111)2(=})1(){1)(2(22x x x x -+-+2)2)(2(x x x -+-=得 0)2)(2(2=-+x x x , 所以 021==x x ,23=x , 24-=x . 15. 用克莱姆法则解下列线性方程组:（1）⎩⎨⎧=+=+2731322121x x x x解：由系数行列式57332==D 172311==D 123122==D5111==DD x , 5122==DD x .(3) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-445222725 1243321321321x x x x x x x x x解: 由系数行列式 63871702112452181211245272524331212313=--+-+----+-+----=r r r r r r r r D=--+-+---=411437862200124454722224131211c c c c D 63 126002312545322442722521331212=---+-+-=r r r r D 18910717703112452148131124522225143312123133=--+-+---+-+----=r r r r r r r r D 得 111==DD x , 222==DD x ,333==DD x .16.判断下列齐次方程组是否有非零解: (1) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=-+-=++--=+-+0320508307934321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解:由系数行列式3211151118137931------=D 4728144022198079313413121------+-+-+r r r r r r 0472814422198=-----= (第一、二行对应元素成比例) 此齐次方程组有非零解. (2). ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++=-++=+-0302430332022432143214321421x x x x x x x x x x x x x x x解:由系数行列式315111104)1(231511122)1(31501131321022113121433132102212234232---+----=----+-+----=+r r r r r r D 0131114≠=---=此齐次方程组只有唯一的非零解.17. 若齐次线性方程组 ⎩⎨⎧=-+=+-0)2(504)3(y x y x λλ 有非零解.则λ取何值?解:由系数行列式 )2)(7(14520)2)(3(25432+-=--=---=--=λλλλλλλλD其齐次线性方程组有非零解,则 7=λ 或 2-=λ.习题二A 组1.计算下列矩阵的乘积. (1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2312521131. 解： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2312521131⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⨯⨯+-⨯⨯-+⨯⨯-+-⨯⨯+⨯⨯+-⨯=12111577251253)2(22)1(113)1()2(1231133)2(1. （2）()0111132=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---(3) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-35002103531152112401321214. 解： ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-35002103531152112401321214⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10316665350021161167923. （4）()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x 解：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x =233322222111x a x a x a +++212112)(x x a a ++313113)(x x a a ++323223)(x x a a + 2. 计算下列各矩阵:(1) 52423⎪⎪⎭⎫⎝⎛--. 解： 52423⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--22423⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=22423⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2423⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=4421⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4421⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2423⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=81267⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2423⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8423. （2）2210013112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ 解: 2210013112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡433349447(3) n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011. 解： n⎪⎪⎭⎫⎝⎛1011n⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00101001 =nn n nn n n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0010001010012)1(001010011001221+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101000n n , 其中 20010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=30010⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000010n. (4) n⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λλλ001001解： n⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λλλ001001=n⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001000100000λλλn⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010001010010001λ ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---- 222110001000101000100012)1(000100010100010001100010001n n n n nnn n n λλλ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-00002)1(000000000000002n nnn nnn n n n λλλλλλ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-nn nn nn n n n n λλλλλλ0002)1(1其中 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000001000001000102, ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000000000001000100001000103n. 5. 证明：对任意n m ⨯矩阵A ，A A T 与T AA 都是对称方阵；而当A 为n 阶对称方阵时，则对任意n 阶方阵C ，AC C T为对称方阵.证明： （1）A A T 为n 阶方阵， 又A A A A T T T =)( A A T ∴为n 阶对称方阵同理T AA 为m 阶对称方阵（2）AC C T 为n 阶方阵， A 为n 阶对称方阵 A A T =∴ 又 AC C AC C T T T =)(AC C T ∴为n 阶对称方阵6.设C B A ,,均为n 阶方阵.证明:如果CA A C AB E B +=+=, 则.E C B =-解: 由已知 E B A E E AB B =-=-)(, 则 B A E =--1)(.且 A CA C =-即 A A E C =-)(, 则 AB A E A C =-=-1)(. 得 E AB B C B =-=-.8.（3）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=122341213A 解：25=A 1011=A 521=A 531-=A712-=A 122-=A 1132=A 613-=A 823-=A 1333=A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=-1386111755102511A9. 解下列矩阵方程: (1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23123512X 解: 由 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-251335121, 得 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1161923122513231235121X . (3) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02110234101100001100001010X 解: 由 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--0110000102110234110000101001010000102110234110000101011X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=20143101201100001021341102, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=201431012X . 11. 设 B A AB A -=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2,011002100, 求.B 解: 由已知 ,2)(,2A B E A A B AB =+=+因 01622)(3≠-===+=+A A B E A B E A1)(-+E A 存在, 则 A E A B 2)(1⋅+=-由 ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−++-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=+22240420001021010120220042001110121012,3121r r r r A E A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−→−++-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----−→−+--31322211310010001216264042002210101321231332rr r r r r r所以 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⋅+=-31322211132)(1A E AB . 12.设B A ,均为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，证明： （1） 若,AB B A =+ 则E A -可逆；（2） 若O E A A =+-432 则E A -可逆，并求-1）（E A -.解: （1）由已知 E E B A AB =+--, 即E E B E A E E B E B A =--=---))((,)()(,所以 E A -可逆,且E B E A -=--1）（.（2）由已知 E E A E A A E E A AE AA 2)(2)(,222-=----=+--,,2))(2(E E A E A -=-- 所以 E A -可逆,且A E E A E A 21)2(211--=--=-）（.14.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=110210000230012A , 求 4,A A 及1-A. 解: 33111212312=⨯=---=A ,由⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7-48-7-11-2197168-56-9723-1-244，, 所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=740870000971680056974A . 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛112-13111-21231223-1-2-1-1，, 所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=31310032-3100002300121-A . 15. 用初等变换把下列矩阵化为标准形: (1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=02-112321-1A解: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=02-112321-1A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+⎪⎪⎪⎭⎫-- ⎝⎛+-+-10010001)1(1001101012-1-05-5021-133********r r r r r r r r r 16.求下列各矩阵的秩： （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=61331311405133312A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----↔3312311405136133141r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----+-+-+-152970275313018348061331243413121r r r r r r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----+-152970275313035106133124r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------+-+-6601212003510613317134232r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------→121206600351061331⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→0006600351061331 所以3)(=A R 17.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110101011A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a a a B 111211，且矩阵AB 的秩为2，求a 解：因为2)(=AB R ，所以B A AB ==0 又因为0≠A ， 所以0=B 即01=+-a 1=⇒a习题三A 组2. 设1233()2()5()αααααα-++=+，其中TTT123(2513)(101510)(4111),,,,,,,,,,,ααα===-, 求向量α.解:由已知 123325325αααααα-+-=--+, 即12312311325)325)66ααααααα=---+=+-（（,所以 ().4,3,2,143215209510352152020661T=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++-+-+=α3. 设向量组123,,ααα线性无关,而向量组 1121233132.,βααβαααβαα=+=-+=-，，试判断向量组123,,βββ的线性相关性.解:设数 321,,k k k 使得 1122330k k k βββ++= 成立，即 1122123313()()(2)0k kk ααααααα++-++-=， 1231122233()()(2)0.k k k k k k k ααα+++-+-=得线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=++02003221321k k k k k k k ，其系数行列式0.12-10011111≠= 线性方程组只有唯一解0321===k k k ，则向量组123,,βββ的线性无关.5.已知向量组 TTT123(123)(312)(23),,,,,,,,c ααα==-=问c 取何值时向量组123,,ααα线性无关或向量组123,,ααα线性相关.解:设数 321,,k k k 使得1122330k k k ααα++=成立，得线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=++023032023321321321ck k k k k k k k k ， 其系数行列式)5(732213321T--=-c c.所以 ⇔=-05c 线性方程组有非零解 ⇔向量组123,,ααα线性相关; ⇔≠-05c 线性方程组只有零解 ⇔向量组123,,ααα线性无关.6.设向量组123,,ααα线性无关,证明向量组122331,,αααααα+++也线性无关. 解：设数 321,,k k k 使得112223331()()0k k k αααααα+++++=（）成立， 得线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k ， 其系数行列式02110011101T≠=线性方程组只有唯一解0321===k k k ，所以向量组122331,,αααααα+++线性无关.7. 设向量组123,,ααα线性无关,判断向量组12233441,,,αααααααα++++线性相关性 并证明之.解：设数 4321,,,k k k k 使得 112223334441()()()0k k k k αααααααα+++++++=（） 成立 得线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+0043322141k k k k k k k k 其系数行列式0110011000111001=则线性方程组有非零解，所以向量组12233441,,,αααααααα++++线性相关 .9.若向量组m ααα ，，21线性无关,而向量β不能由m ααα ，，21线性表示,证明向量组βααα，，，m 21线性无关.证明: 反证法.设βααα，，，m 21线性相关,由定理3.1向量β可由m ααα ，，21线性表示,这与已知条件矛盾.假设不成立.所以向量组βααα，，，m 21线性无关. 10.判断题(结论对的请在括号内打“√” ,错的打“×”)(1) 若当数021====m k k k 时,有02211=+++m m k k k ααα 则向量组m ααα ，，21线性无关. ( × ).(2) 若有m 个不全为零的数m k k k ,,,21 , 使得02211≠+++m m k k k ααα 则向量组m ααα ，，21线性无关 ( × ).(3) 若向量组m ααα ，，21线性相关,则1α可由其余向量线性表示. ( × ).(4) 设向量组r I ααα,,,)(21 ;m r r II ααααα,,,,,,)(121 +.若向量组r I ααα,,,)(21 线性无关,则向量组m r r II ααααα,,,,,,)(121 +也线性无关. ( × ). (5) 若向量组βααα,,,21m ，线性无关,则向量β不能由m ααα,,,21 线性表示. ( √ ). (6) 若向量组m ααα，,,21线性无关且向量1+m α不能由m ααα,,,21 线性表示,证明向量组121,,,,+m m αααα 线性无关. ( √ ).(7) 若向量β不能由m ααα,,,21 线性表示,则向量组βααα,,,21m ，线性无关. ( × ).提示: 利用向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000,0020,0010,03024321αααα 讨论(1)—(4),(7),利用定理3.1和3.2讨论(5),(6).12.求下列向量组的秩,并求它的一个极大无关组.(1) T T T )3,3,1(,)2,2,0(,)0,1,1(321===ααα. 解: 取矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==320321101),,(321αααA ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1002201013202201013221r r r r 所以向量组的秩为3，极大无关组是321,,ααα.(2) T T T T )0,2,1,1(,)14,7,0,3(,)2,1,3,0(,)4,2,1,1(4321-===-=αααα. 解: 取矩阵),,,(4321αααα=A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0004000011013014000000011013014220011003301301420142427121031130143413121r r r r r r r r 所以向量组的秩为3，极大无关组是421,,ααα.(3) TT T T )1,2,3,4(,)1,1,0,1(,)1,4,5,2(,)1,3,2,1(4321=--==-=αααα解: 取矩阵=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1111214330524121)),,,(4321αααα ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----++-+-00020800521041212080208005210412132523104205210412132433232413121r r r r r r r r r r r r 所以向量组的秩为3，极大无关组是321,,ααα. 14.求解线性方程组.(1) .343326133053321321321321⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+--=-+=-+x x x x x x x x x x x x解： 由增广阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝-+-⎪⎪⎭⎝⎛------+-++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------+-+-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------+-↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=000110020101001201011000000100161351066006600320137835101529701834806133123351033120513613312311433126133105134232314342431214321r r r r r r r r r r r r r r r r r r r A所以 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121321x x x .(2) ⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-+=++12321323321321321x x x x x x x x x解：由增广阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+-+-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3000241031115410241031111212321321311132321r r r r r r A 得 3)(2)(=<=A r A r , 所以此方程组无解.(3) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++-=++-=--+323153423221234321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解：由增广阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----+-+-+-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=000000000017410117501730747007470074701213132311231534123212121313212413121r r r r r r r r r r A得同解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=--=443343243174751x x x x x x x x x x ;取 ,,72413k x k x == 得通解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101107450001214321k k x x x x (4) ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534432312432143214321x x x x x x x x x x x x解：由增广阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------+-+-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=59571018101402534123111124312325341253414312311112312131r r r r r r A⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----007579751076717101得同解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-+-=++=4433432431797575717176x x xx x x x xx x取 ,7,72413k x k x == 得通解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛70910751007576214321k k x x x x . 15.求下列齐次线性方程组的基础解系及全部解. （1）⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+02302022432143214321x x x x x x x x x x x x解：由系数阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎛---+⎪⎫ ⎝⎛----+-+-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=001511005301525155150212132121311122121123121r r r r r r A 得同解方程组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+==4433432315153x x xx x x x x x , 取 ,,52413k x k x ==得通解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10100013214321k k x x x x ， 基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010001321ηη，.(2) ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x解：由系数阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+-+-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=0000100102104040011215351105316311213121r r r r A 得同解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x 取 ,,2412k x k x ==得通解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10100012214321k k x x x x ，基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1010001221ηη，. (4) ⎪⎩⎪⎨⎧=---=++++=++++02202243022253215432154321x x x x x x x x x x x x x x解：由系数阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------+-+-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=326532650224312102211221222431102212243112212312121r r r r r r A⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+000053525610515452015312r r 得同解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===---=---=55443354325431535256515452x x x x x x x x x x x x x x , 取 3524135,5,5k x k x k x ===,得基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=50031,0502400562321ηηη， , 通解 332211ηηηηk k k ++=.18.已知非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+++=+-+=++12)3(13)12(12321321321λλλλλλλλx x x x x x x x x 解: 由增广阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+-+-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=22100110121231312123121λλλλλλλλλλλλλr r r r A 知: 当1=λ时, ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000100101120000100121112r r A ,32)()(<==A r A r ,方程组有无穷多解, 通解为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110011321k x x x ;当0=λ时, ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----++⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=300210020102120130002210011012002313r r r r A 则 3)(2)(=<=A r A r ,方程组无解;当1,0≠λ时, 有3)()(==A r A r ,方程组有唯一解. 19.问b a 、取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++4234321321321x bx x x bx x x x ax 有唯一解，无解，无穷多解（无穷多解时并求其解）解：（1）系数行列式1211111bb aA ==)1(-a b 当1,0≠≠a b 时方程组有唯一解（克拉默法则）（2）当0=b 时，−−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+-324113101411rr aA ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1003101411a)()(A R A R ≠ 所以线性方程组无解（3）当1=a 时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+-+-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0012010104111412131141113121b b r r r r bb A 当012=-b 时，即21=b 时 32)()(<==A R A R ，方程组有无穷多解，同解方程组为 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=++12142321x x x x令03=x 得方程组的特解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0220X 取13=x 得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=101η此时全部解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101022k 其中k 为任意常数20. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111,1111,1111111111214321ααααβ，， 将β表示成向量组4321,,,αααα的线性组合.解: 设数 4321,,,k k k k 使得 βαααα=+++44332211k k k k 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-+-=--+=+++11214321432143214321k k kk k k k k k k k k k k k k其增广阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----↔+-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------+-+-+-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=022122000202010101210022002020122001111111111111112111111111324313413121r r r r r r r r r r r r A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎛---4110210100410010450001411041010041001010101142111000101010101)21(132r r r 得41,41,41,454321-=-===k k k k , 即432141414145ααααβ--+=.21.设四元线性方程组β=AX 的系数矩阵的秩为3，321X X X ,,是其3个解向量，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=80021X ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+432132X X .求其全部解 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-123232321)(X X X 所以全部解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=123238002k ξ 其中k 为任意常数B 组1. 判断题(结论对的请在括号内打“√” ,错的打“×”)(1) 若n m >,则n 维向量组m ααα,,,21 线性相关. ( √ ) 提示:定理3.3的推论2.(2)若向量组线性相关,则它的任意一个部分组都相关. ( × ) 提示:利用上面(10)题解中的4321,,,αααα讨论.(3) 若向量组m ααα,,,21 线性相关,则它的秩小于m ,反之也对. ( √ ) 提示: 若向量组m ααα,,,21 的秩为m ,则若.(4) 向量组T T T )1,2,0,0(,)5,1,2,4(,)0,3,0,1(321===ααα的极大无关组为21,αα. ( × ) 提示: 向量组321,,ααα的秩为3.(5) 若n 阶方阵A 的行列式不等于零,则A 的列向量组线性相关. ( × ) 提示: 由n 阶方阵A 的行列式不等于零, 方阵A 的秩n =,和A 的列向量组的秩=方阵A 的秩n =, 则A 的列向量组线性相关. 2. 填空题(1) 向量组T T T )6,0,0(,)5,4,2(,)3,2,1(321===ααα的秩= 2 .解: 由()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==000100321600100321600542321,,21321r r A ααα. (2) 若21,αα都是齐次线性方程组0=AX 的解向量,则)43(21αα-A = 0 . 解: 043)43(2121=-=-ααααA A A .(3) 若向量组T T T t t )1,0,0(,)0,2,1(,)0,1,1(2321+=+==ααα线性相关,则1 . 解: 由321,,ααα线性相关,有 0,,321==αααA .即 0)1)(1()1)](1(2[1021011,,222321=+-=++-=++==t t t t t t A ααα.(4) 方程组⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00111032321x x x 的基础解系所含向量的个数= 1 . 解:由系数阵的秩是2,.(5) 方程组⎩⎨⎧=-=-004321x x x x 的基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1100,001121ηη .(6) 若线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-kkx x x x x x 2121213122的有解,则长数=k 15/4 .解: 线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-kkx x x x x x 2121213122的有解,则其系数阵的秩=增广阵的秩,有0=A所以 0154)3)(1()6(363130211331212112121=-=+---=-+--+-+--=k k k k k r r r r kkA . 3. 单项选择题(1) 向量组(I)线性相关的充分必要条件是（ B ）. (A) (I)中每个向量都可由其余向量线性表示.(B) (I)中至少有一个向量都可由其余向量线性表示. (C) (I)中只有一个向量都可由其余向量线性表示. (D) (I)中不包含零向量. 提示:定理3.2.习题四A 组10.下列矩阵是否为正交矩阵？ （1）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-61616221210313131 （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2102102131213121 解：（1）),,(321ααα=A ，其中),,(3211==i i α )(,),(j i j i ≠=0αα),,,(321=j i 所以A 为正交矩阵（2）),,(321ααα=A ，其中),,(3211=≠i i α )(,),(j i j i ≠≠0αα),,,(321=j i 所以A 不是正交矩阵11.设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶正交矩阵，证明AB B 1-也是对称矩阵证明： 由题意可知A A T =， 1-=B B T因为AB BAB BT11--=)( 所以AB B1-也是对称矩阵习题五A 组1. 设矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111131111A , 试证向量T)1,1,1(-=α为矩阵A 的属于特征值1=λ的特征向量.解：由 αα⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1111111111131111A所以向量T )1,1,1(-=α为矩阵A 的属于特征值1=λ的特征向量.3. 若0λ是矩阵A 的一个特征值, m 是正整数,试证m 0λ是矩阵m A 的一个特征值. 证明: 由0λ是矩阵A 的一个特征值,存在非零向量α,使得αλα0=A 成立,即α是矩阵A 的属于特征值0λ的特征向量.那么有αλαλαλαλαλαmm m m m m mAA AAAAm AA 02202010011)(=======-----所以m 0λ是矩阵m A 的一个特征值. 4. 若0λ是矩阵A 的一个特征值,试证（1）2020-+λλ是矩阵E A A 22-+的一个特征值; （2）若022=-+E A A ,矩阵A 的特征值只能等于-2或1.证明: 由0λ是矩阵A 的一个特征值,存在非零向量α,使得αλα0=A 成立,即α是矩阵A 的属于特征值0λ的特征向量.那么有(1) αλλααλαλαααα)2()2(02002022-+=-+=-+=-+E A A E A A 所以2020-+λλ是矩阵E A A 22-+的一个特征值. (2) 由022=-+E A A , 和 αλλα)2()2(0202-+=-+E A A , 00=α, 有02020=-+λλ, 得1200=-=λλ，,即矩阵A 的特征值只能等于-2或1. 7. 求下列矩阵的特征值与特征向量. (1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2223A 解：由 0)2)(1(4)2)(3(2223=+-=+-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+=-λλλλλλλA E 得特征值.2,121-==λλ当11=λ时,对应的特征向量应满足齐次线性方程组()0=-X A E ，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00122421x x ,其基础解系⎪⎪⎭⎫⎝⎛=211α.所以矩阵A 的属于特征值11=λ的全部特征向量为11αk , 其中1k 是任意非零常数.当22-=λ时,对应的特征向量应满足齐次线性方程组()02=--X A E ， 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00422121x x ,其基础解系⎪⎪⎭⎫⎝⎛=122α.所以矩阵A 的属于特征值22-=λ的全部特征向量为22αk , 其中2k 是任意非零常数. (2) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=4112A 解：由 0)3(1)2)(4(41122=-=+--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-λλλλλλA E 得特征值.321==λλ当321==λλ时,对应的特征向量应满足齐次线性方程组()03=-X A E , 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00111121x x ,其基础解系⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11α.所以矩阵A 的属于特征值321==λλ的全部特征向量为αk , 其中k 是任意非零常数.(3) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=311111002A 解：由 3)2(]1)3)(1)[(2(3111112-=+---=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=-λλλλλλλλA E 得特征值.2321===λλλ当.2321===λλλ时,对应的特征向量应满足齐次线性方程组()02=-X A E ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000111111000321x x x ,其基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101,01121αα.所以矩阵A 的属于特征值.2321===λλλ的全部特征向量为2211ααk k +,其中21,k k 是任意不同时为零常数.8. 设A 为3阶矩阵,满足023,0,0=-=+=-A E A E A E , 求 (1)A 的特征值; (2)A 的行列式A .解: (1) 因,0=-A E 得;11=λ因(),0)1(3=---=---=+A E A E A E 即,0=--A E 得;12-=λ因,0232232233=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-A E A E A E 即,023=-A E 得.233=λ (2)由,23,1,1321=-==λλλ和321λλλ=A ,有23-=A .9. 已知矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=x A 44174147的特征值,12,3321===λλλ求x 的值，并求矩阵A 特征向量。
线性代数（第2版）习题全解（习题一）
线性代数(第2版)习题全解(习题一)1.(1) 解 .14)4(492243=----++-=D (2) 解 .100sin 00cos 22-=---++-=θθD 2.(1)解 21010=+++=τ 偶排列 (2)解 19644221=+++++=τ 奇排列(3)解 =-+++++++=)22(420000n τ)1())1(21(2-=-+++n n n 偶排列)2(≥n(4)解 =++-++-+++=1)1()1(21 n n n τ2)]1(21[2n n n =+-+++ 排列的奇偶性与n 的奇偶性相同3. 解 为使6654431213a a a a a a j i -为六阶行列式中的一项, 应选择i 和j , 使列标构成的6阶排列6413j i 为奇排列.于是应取2,5==j i , 此时排列642153的逆序数为501220=++++=τ4. (1)解 列展开235012101331020307r r r 2r 3431---++D3223rr 35123120371)1)((+---+00361437335120614037=⨯-=-=-(2) 解 29730000300003022211r r r r r r 52211252112251122211c c c c c c 141312413121=---+++D(3) 解 =-----------÷-÷-÷-÷-÷00000)1()1(r )1(r )1(r )1(r )1(r 234123211232114321554321dc b ad c b a c c b a b b b a a a a a D D D -=-T ,于是0=D .(4)解 =---------32321212113412311200001111r r r r r r a a a a a a a a a a a a a a a D))()((321a a a a a a ---5. 计算下列n 阶行列式:(1)解 列展开n n n n nn r r r r r r D n n13210001200001132111312-------=----+132100120001)1(1 n n n n nn n 1)1(+-(2)解 =-+000302001)1(111 n D n列展开!)1(2)2()1(n n n ---(3) 解 1113122122121121r r r r r r 0001---++++n nn n n n nb a a a a b a a a a b a a a a D升阶113212112121c 1c c 1c c 1c 010010011++++---n nn nb b b b b b a a a=+∑=nn ni ii b b b a a a b a0000000121211⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∑=ni i i n b a b b b 1211(4)解 211211211211)1(121211+--+n nD D 行展开21-21--n n D D 列展开于是 =-=-=------32211n n n n n n D D D D D D 12312=-=-=D D 故 1)1(21121+=-+==+=+=-+n n D D D D n n n6.(1)解 构造5阶范德蒙行列式并利用相应的计算公式得==44444333332222211111)(x d c b a x d c b a x d c b a x d c b ax f ))()()()()((b d b c a x a d a c a b ------=----))()()((d x c x c d b x])([))()()()()((34 ++++-------x d c b a x c d b d b c a d a c a b )(*又 55445335225155)(A x A x A x xA A x f ++++列展开注意到3x 的系数D D A -=-=+5445)1(，又由)(*式直接得到3x 的系数，故))()()()()()((d c b a c d b d b c a d a c a b D +++------=(2)解 321121111r r r r r r 1)()1(111)1(r r r r r r ↔↔↔-----↔↔↔-+-++nn n n n n n n nn n n n n a a an a a a D ==--------+222)1()()1()()1(1111)1(n a a a n a a a na a an n n n n=-----++-+nn n n n n a a a na a a )()1(1111)1(1)1(∏≥>≥++=------112)1()]1()1[()1(j i n n n j a i a∏∏≥>≥+≥>≥++-=--11112)1()()()1(j i n j i n n n j i i j7．(1)证 +++++++=bz ay by ax az by ax bx az ay bx az bz ay ax D 121131c c c )2(c c c (1)a bb abzay by ax bx byax bx az bz bxaz bz ay by -÷-÷++++++++++ay by ax z ax bx az y azbz ay xa 232323c c c )2(c c c )1(a bb abzay by x byax bx z bxaz bz y b -÷-÷+++b abzy x byx zbxz yb yaxz x az y z ay x a ÷÷+3222c )2(c )1( 213233c c c c )2(↔↔+zy x y x z x zy b y x z x z yz y xa yxzx z yx y xb a )(33+ (2)证 =----++-111)1(111x x a xD D n n n n列展开=++=+---n n n n n a a xD x a xD )(121==++-- n n n a x a D x 122=++++---n n n n a x a x a D x12211n n n n a x a x a x ++++--111(3)证+ddc dc b a b a aD n012行展开0)1(21cd cdc b a bab n+-=-----+--221)12(22)1(12(2)12)1(n n n D bc adD n n 行展开按行展开按==-=--- )2(22)1(2)()(n n D bc ad D bc ad=--21)(D bc ad n n bc ad )(-8.(1)解 141312r 2r r r r r 11124121111114141------=D 34323r 7r r 3r )2(r 29370102201313014141++-÷--------206423264051102300141412==-141312)1(r r r r r r 11124122111514142++------=D 2013501864133713050180641303714142=---=----=--------------=29360102001307014121r 2r r r r r 11224121115114121141312)2(D 40293610201307=-----=-----------=38103710151113730r 2r r r r r 12124221151114241242321)3(D 20637022703-=-----故 1,3,2,1)4(4)3(3)2(2)1(1-========DD x D D x D D x D D x(2)解 =-+==+410140011)1(144100141001410142134D D =--=-21223)4(44D D D D D 20915)4154(4=--⨯⨯=----=41031417014160010c 5c 410314120144001521)1(D 2094131470116=--- =----=15110142001410054r 4r 413014200141005434)2(D 20915110141054=-- =-----=430012100441011150r 4r 430012100441051421)3(D 20943012101115-=----=---=01001441011415014c 3c 31024104141501434)4(D 2091410141514=-- 故 1,1,1,14)4(44)3(34)2(24)1(1==-======D D x D D x D D x D D x9. 解 系数行列式12r r 2)2(1111111++--++=λλλD 21cc 2)2(1022111-+-+++λλλλ=++=+-++231)2(2)2(302011λλλλλλλ)3)(2(-+λλ当2-=λ或3=λ时,0=D ,齐次线性方程组有非零解.。
线性代数课后答案解析__第二版__同济大学出版社
线性代数习题解答 同济大学出版社习题11.求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2；（3）4 1 5 3 2； （4）3 7 1 2 4 5 6； （5）1 3 … (21)n - 2 4 … (2)n ； （6）1 3 … (21)n - (2)n (22)n - … 2. 2.利用对角线法则计算下列二阶、三阶行列式：（1）3214---； （2）201141183---；（3）a b c b c a c a b ； （4）x y x y yx y x x yxy+++.3.在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号： (1)233142561465a a a a a a ；(2)334214516625a a a a a a . 4.计算下列各行列式：（1）000100020010000000n n -； （2）1234214334124321------；（3）2100121001210012； （4）0451250201720343115023013-------；（5）abac aebdcd de bfcfef---； （6）1111111111111111x x y y+-+-.5.证明:(1)11121314152122232425313241425152000000000a a a a a a a a a a a a a a a a =； （2）2222111a abb aa b b +=3()a b -；(3)111111222222b cc a a bb c c a a b b c c a a b +++++++++=1112222ab ca b c a b c ； (4)222244441111a b c d a b c d a b c d ； ()()()()()a b a c a d b c b d =-----()()-+++c d a b c d ；(5)1221100001000001n n n x x xa a a a x a -----+111n n n n x a x a x a --=++++ .6.计算下列各n 阶行列式：(1)11aa,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)111x a a a x a a a x --- ；（3）123111100100100n a a a a，230≠其中n a a a ； (4)12111111111na a a +++,120n a a a ≠ 其中；(5)111222(1)(2)()(1)(2)()12111n n n n n n a a a n a a a n a a a n ---------------；(6)det(),n ij ij D a a i j ==-其中. 7.利用拉普拉斯定理计算下列各行列式：（1）320000430000002100003200000032000054；（2）3002034040030560； (3)112110000nnn nna b a b D c d c d =.解答习题11.（1）0；（2）4；（3）6；（4）7；（5）(1)2-n n ；（6）(1)-n n . 2.（1）-14；（2）-4；（3）3333---ab a b c ；（4）332()-+x y . 3.（1）正号；（2）负号. 4.（1）(1)(2)2(1)!---n n n ；（2）900；（3）5；（4）－799；（5）4abcdef ；（6）22x y . 5.提示：（1）用行列式定义证明；（2）、（3）、（4）用行列式性质证明；（5）用数学归纳法证明.6.（1）22(1)--n aa ；（2）1[1(1)](1)--+---n x n a x a ；（3）23121()()nn i ia a a a a =-∑ ；（4）1211()(1)=+∑nn i i a a a a ；（5）1()≥>≥-∏n i j i j ；（6）12(1)(1)2----n n n . 7.（1）2；（2）2；（3）1()=-∏niii i i a db c .习题21.有6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2，4，5，6负于选手3；选手2胜选手4，5，6负于选手1，3；选手3胜选手1，2，4负于选手5，6；选手4胜选手5，6负于选手1，2，3；选手5胜选手3，6负于选手1，2，4；若胜一场得1分，负一场得零分试用矩阵表示输赢状况，并排序.2.某种物资以3个产地运往4个销地，两次调运方案分别为矩阵A 与矩阵B .且357220430123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，132021570648B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭试用矩阵表示各产地运往各销地两次的物资调运量.3.设111123111124111051A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，，求32AB A -与TA B .4.某厂研究三种生产方法，生产甲、乙、丙三种产品，每种生产方法的每种产品数量用如下矩阵表示：234123241A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭甲乙丙方法一方法二方法三 若甲、乙、丙各种产品每单位的利润分别为10元，8元，7元，试用矩阵的乘法求出以何种方法获利最多.5.设12101312A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，问（1）AB BA =吗？（2）()2222A B A AB B +=++吗？（3）()()22A B A B A B +-=-吗？6.举反例说明下列命题是错误的： （1）若2A O =，则A O =；（2）若2A A =，则A O =或A E =；（3）若AX AY =，且A O ≠，则X Y =. 7.设101A λ⎛⎫=⎪⎝⎭，求23kA A A ，，，. 8.设AB 、都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB BA =. 9.用伴随矩阵法求下列矩阵的逆阵：（1）1225⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）cos sin sin cos θθθθ-⎛⎫⎪⎝⎭； （3）121342541-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭； （4）1234012300120001⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 10.解下列矩阵方程： （1）25465321X -⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）211113210432111X -⎛⎫-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭；（3）010100143100001201001010120X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.11.设方阵A 满足225A A E O +-=，证明3A E +可逆，并求其逆矩阵.12.已知对给定方阵A ，存在正整数k ，成立kA O =，试证E A -可逆，并指出()1E A --的表达式.13.设A 为3阶方阵，12A =，求()125A A -*-. 14.设方阵A 可逆，证明其伴随矩阵A *也可逆，且()()11AA -**-=.15.设131020101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2AB E A B +=+，求B .16.设三阶矩阵A B ，满足关系：16A BA A BA -=+，且100210041007A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 求B .17.设033110123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，2AX A X =+，求X .18已知AP P =Λ，其中100100210000211001P ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-Λ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，=，求A 及5A .19.设A B ,和A B +均可逆，证明11A B --+也可逆，并求其逆矩阵.20.将矩阵2131425442622140A -⎛⎫⎪-⎪= ⎪--- ⎪-⎝⎭化为行阶梯形矩阵，并求矩阵A 的一个最高阶非零子式.21.用初等变换法求下列矩阵的逆：（1）111211120⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； （2）321315323⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；（3）3201022112320121--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭； （4）1357012300120001-⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭.22.下列矩阵的秩.：（1）1234124511012⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； （2）321312131370518---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭； （3）1001310312011457⎛⎫⎪-⎪ ⎪-⎪⎝⎭； （4）24131121023636a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.23.设A 为n 阶矩阵，且2A A =,证明()()R A R A E n +-=.24.设34432022O A O ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求84A A ，. 25.设矩阵A 和B 均可逆，求分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的逆矩阵，并利用所得结果求矩阵005200218300520⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵.解答习题21.123456110111200111311100400011500101600100⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭，选手按胜多负少排序为1 2 3 4 5 6.2.357213202043215701230648 A B⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭48924191007611⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.3.111123111 3331111242111111051111 AB A⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=-----⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭21322217204292-⎛⎫⎪=--⎪⎪-⎝⎭058123056124290051TTA B⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=---⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭002123058559124056860051290⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=---=-⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.4.1072844759A⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，方法一获利最多. （１）AB BA≠，因为34124638AB BA⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，所以AB BA≠．（２）()2222A B A AB B +≠++因为 2225A B ⎛⎫+=⎪⎝⎭()2222281425251429A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭但 2238681010162411812341527A AB B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()2222A B A AB B +≠++（３）()()22A B A B A B +-≠- 因为 22022501A B A B ⎛⎫⎛⎫+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，()()220206250109A B A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而 223810284113417A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()()22A B A B A B +-≠-6.（1）取1111A O ⎛⎫=≠ ⎪--⎝⎭，而2A O =； （2）取1000A ⎛⎫=⎪⎝⎭，有A O A E ≠≠，，而2A A =； （3）取101010000001A X Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，有X Y ≠，而AX AY =.7. 21010101121A AA λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；3210101021131A A A λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；由此推出 ()10231kA k k λ⎛⎫==⎪⎝⎭，，下面利用数学归纳法证明这个结论． 当12k k ==，时，结论显然成立． 假设1k -时结论成立，即有 ()11011k Ak λ-⎛⎫=⎪-⎝⎭则对于k 时，有 ()11010101111kk A A A k k λλλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故结论成立． 8. 证明 由已知：T A A = TB B =充分性：由AB BA =，得T TAB B A =，所以()TAB AB =即 AB 是对称矩阵. 必要性：由()TAB AB =得，T T B A AB =所以BA AB =.9. (1) 公式法：1225A ⎛⎫= ⎪⎝⎭1A =112112225,2(1),2(1),1A A A A ==⨯-=⨯-=112112225221AA A A A *-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 11A A A -*= 故 15221A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭初等行变换法：()12102501AE ⎛⎫=⎪⎝⎭21212100121r r -⎛⎫−−−→ ⎪-⎝⎭12210520121r r --⎛⎫−−−→ ⎪-⎝⎭所以 15221A--⎛⎫= ⎪-⎝⎭． (2) 10A =≠ 故1A -存在11211222cos sin sin cos A A A A θθθθ===-=从而 1c o s s i n s i n c o s A θθθθ-⎛⎫=⎪-⎝⎭(3) 公式法;2A =, 故1A -存在 112131420A A A =-== 而 1222321361A A A =-==- 13233332142A A A =-==-故 11A A A -*=2101313221671-⎛⎫⎪ ⎪=-- ⎪⎪--⎝⎭初等行变换法：()121100342010541001AE -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ 2131351211000213100146501r r r r ---⎛⎫ ⎪−−−→-- ⎪ ⎪--⎝⎭3271211000213100011671r r --⎛⎫ ⎪−−−→-- ⎪ ⎪--⎝⎭2313120157102013610011671r r r r +---⎛⎫ ⎪−−−→-- ⎪ ⎪--⎝⎭3210021002013610011671r r +-⎛⎫ ⎪−−−→-- ⎪ ⎪--⎝⎭2122101001310103220011671r --⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→-- ⎪- ⎪-⎝⎭所以 12101313221671A --⎛⎫⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭．（４）由对角矩阵的性质知 12110101n a a A a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 10. (1) 125461321X --⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭35461221--⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭22308-⎛⎫= ⎪⎝⎭(2) 1211113210432111X --⎛⎫-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭10111312324323330⎛⎫-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭22182533-⎛⎫⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭ (3) 11143120120111X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭243110111011212-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭66101301212⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11104⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭11. 由22A A E O --=得22A A E -= 两端同时取行列式: 22A A -=即 2A A E -=,故 0A ≠ 所以A 可逆,而22A E A +=2220A E A A +==≠ 故2A E +也可逆.由22A A E O --=得()2A A E E -=所以 11()2A A A E A E ---=，则11()2AA E -=- 又由22A A E O --=(2)3(2)4A E A A E E +-+=-(2)(3)4A E A E E +-=-所以 11(2)(2)(3)4(2)A E A E A E A E --++-=-+则 11(2)(3)4A E E A -+=-. 12.()11k E A E A A ---=+++ .13. 因为11AA A-*=，所以 ()1111111255522A A A A A A A -*-----=-=- ()31112288216A A A ---=-=-=-=-⨯=-.14. 由11AA A-*=，得1A A A *-=， 所以 当A 可逆时，有110nn A A A A-*-==≠，从而A *也可逆.因为1A A A *-=，所以()11A AA --*=又()()1111A A A A A**---==，所以()()()11111A AA AA A A -**--*--===15. 由2AB E A B +=+得()2A E B A E -=-即()()()A E B A E A E -=-+因为 0011010100A E -==-≠，所以()A E -可逆，则 201030102B A E ⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭.16.600020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.17.033123110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭18. 因为AP P =Λ，所以1A P P -=Λ；又 1P =-， 1100210411P --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，55115⎛⎫⎪Λ ⎪ ⎪⎝⎭= 所以 1100110021012102115411A P P ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=Λ=-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭100200611⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭5100200611A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭.19. 因为()1111A B A E CA B B B A ----+=+=+，由()()1A B A B E -++=得()()()()111111AB A A B B A B A B B ------++=++=则()()1111A B A A B B B B E ----++==所以11A B --+可逆，其逆为()1A B A B -+.20. 213241221312131425400124262001221400011r r r r r r A -+---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=−−−→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 32344221312131001200120000000100010000r r r r r r B -↔+--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪−−−→−−−→= ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 的秩为3，其一个3阶非零子式为13112001--，对应于A 的3阶非零子式为131254262----. 故2131001200010000-⎛⎫⎪- ⎪⎪⎪⎝⎭即为矩阵A 的行阶梯形矩阵，矩阵A 的一个最高阶非零子式为131254262----. 21.(1)111222111444513444⎛⎫- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭,(2)72363211211022⎛⎫- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，(3)11240101113621610--⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭，(4)131120012100120001--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 22.(1)2,(2)3，(3)4，(4)当4a =-时，秩为2；当4a ≠-时，秩为3.24.34432022O A O ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，令13443A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 22022A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 则12A O A OA ⎛⎫=⎪⎝⎭故8182A O A O A ⎛⎫=⎪⎝⎭8182A O OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭8888816121210A A A A A ===444414426450052022O A O A OA O ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭25. nn s ns s A O E O C B OE ⨯⎛⎫⎪⎝⎭ 111n nA r ns ns s EO A O C B OE --⨯⎛⎫−−−→ ⎪⎝⎭()2111r Cr nns n ns EOA O OB C A E ---⨯⎛⎫−−−−−→ ⎪-⎝⎭左乘 ()121111s s B r nns n nsA O EO B C A B O E -----⨯⎛⎫−−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭左乘 11111s s n s n nA O A OBC A B C B -----⨯⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭利用这个结果取103021121412A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，则由11111ss n s n n A O A O B C A B C B -----⨯⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭得 112040111113212A B --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，，114021201241111312113512224B CA ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，则 1124080111212262424A B --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，故 110002400012001212001213012482412143526-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪=⎪ ⎪--⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭习题31.设α＝(1，1，0，-1)T ，β＝(-2，1，0，0)T ，γ＝(-1，-2，0，1)T ，求35αβγ-+．2.设34αβ+＝(2，1，1，2)T 23αβ+＝(-1，2，3，1)T求,αβ．3.解向量方程325X αβ-=其中，α＝(3，5，7，9)T ，β＝(-1，5，2，0)T ．4.判断向量β能否由其余向量线性表示？若能，写出表示式.（1）β＝(0，10，8，7)T ，1α＝(-1，2，3，9)T ，2α＝(1，3，1，0)T ，3α＝(1，8，5，-2)T .（2）β＝(1，2，1，1)T ，1α＝(1，1，1，1)T ，2α＝(1，1，-1，-1)T ，3α＝(1，-1，1，-1)T ，4α＝(1，-1，-1，1)T ．5.设1α＝(1＋k ，1，1，1)T ，2α＝(1，1＋k ，1，1)T ，3α＝(1，1，1＋k ，1)T ，β＝(1，3，2，1)T ，试问k 取何值时，β可由123,,ααα线性表示？并写出表示式．6.设1α＝(1，0，2，3)T ，2α＝(1，1，3，5)T ，3α＝(1，-1，a +2，1)T ，4α＝(1，2，4，a ＋8)T ，β＝(1，1，b ＋3，5)T ，试问当,a b 为何值时．（1）β不能由1234,,,αααα线性表示；（2）β能由1234,,,αααα线性表示，且表示法唯一，并写出该表示式； （3）β能由1234,,,αααα线性表示，且表示法不唯一，并写出两个表示式．7．设向量β可由向量组12,,,m ααα 线性表示，但不能由121,,,m ααα- 线性表示，则向量组12,,,m ααα 与向量组121,,,,m αααβ- 等价．8.判断下列向量组是否线性相关？（1）1α＝(2，2，7，-1)T ，2α＝(3，-1，2，4)T ，3α＝(1，1，3，1)T .（2）1α＝(1，4，2，7)T ，2α＝(3，2，4，5)T ，3α＝(1，-1，2，2)T ，4α＝(1，4，2，7)T ．9．问k 取何值时下列向量组线性相关？线性无关？1α＝(k ，2，1)T ，2α＝(2，k ，0)T ，3α＝(1，-1，1)T10．设向量组123,,ααα线性无关，112323βααα=--，21232βααα=++，3123βααα=-+，讨论向量组123,,βββ的线性相关性．11．已知向量组12,,,m ααα 线性无关，设112βαα=+，223βαα=+，…，11m m m βαα--=+，1m m βαα=+，讨论向量组12,,,m βββ 的线性相关性．12．设向量组12,,,m ααα 不含零向量，且αk (k =2，3，…，m)不能由121,,,k ααα- 线性表示，则向量组12,,,m ααα 线性无关．13．求下列向量组的秩及一个极大线性无关组，并用极大线性无关组线性表示其余向量．（1）1α＝(2，1，3，-1)T ，2α＝(3，-1，2，0)T ，3α＝(1，3，4，-2)T ，4α＝(4，-3，1，1)T .（2）1α＝(1，2，3，-1)T ，2α＝(3，2，1，-1)T ，3α＝(2，3，1，1)T ，4α＝(2，2，2，-1)T ，5α＝(5，5，2，0)T ．（3）1α＝(1，2，-1，1)T ，2α＝(2，0，k ，0)T ，3α＝(0，-4，5，-2)T ，4α＝(2，2，2，-1)．（4）1α＝(1，0，1，2)T ，2α＝(0，1，1，2)T ，3α＝(-1，1，0，k )T ，4α＝(1，2，k ，6)T ，5α＝(1，1，2，4)T ．14．设12{,,,}m R ααα =12{,,,}t R βββ ，且12,,,m ααα 可由12,,,t βββ 线性表示，则向量组12,,,m ααα 与向量组12,,,t βββ 等价．15．设有两个向量组1α＝(1，2，-1，3)T ，2α＝(2，5，a ，8)T ，3α＝(-1，0，3，1)T ；1β＝(1，a ，2a -5，7)T ，2β＝(3，3＋a ，3，11)T ，3β＝(0，1，6，2)T ，若1β可由123,,ααα线性表示，试判断这两个向量组是否等价？16．已知向量组1β＝(0，1，-1)T ，2β＝(a ，3，1)T ，3β＝(b ，1，0)T 与向量组1α＝(1，2，-3)T ，2α＝(2，1，-1)T ，3α＝(3，0，1)T 具有相同的秩，且3β可由123,,ααα线性表示，求,a b ．17．判断下列集合是否是向量空间？为什么？若是向量空间，求出其维数及一个基． （1）V 1＝{(x 1，x 2，…，x n )T ∈R n |a 1x 1+a 2x 2 + … +a n x n ＝0}，其中a i （i = 1，2，…，n ）为R 中固定的数．（2）V 2＝{(x 1，x 2，…，x n )T ∈R n |a 1x 1+a 2x 2 + … +a n x n ＝1}，其中a i （i = 1，2，…，n ）为R 中固定的数．18．设123,,n R ααα∈．证明，若1122330k k k ααα++=且k 1k 2 ≠ 0，则L(α1，α3)＝L(α2，α3)．19．求下列向量生成子空间的维数与一个基．（1）1α＝(-1，3，4，7)T ，2α＝(2，1，-1，0)T ，3α＝(1，2，1，3)T ，4α＝(-4，1，5，6)T .（2）1α＝(2，1，3，-1)T ，2α＝(1，-1，3，-1)T ，3α＝(4，5，3，-1)T ，4α＝(1，5，3，-1)T ．20．设1α＝(1，0，-1)T ，2α＝(2，1，1)T ，3α＝(1，1，1)T ；1β＝(3，1，4)T ，2β＝(5，2，1)T ，3β＝(1，1，-6)T ．（1）证明123,,ααα与123,,βββ都是R 3的基； （2）求由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵；（3）求坐标变换公式；（4）求α＝(8，3，0)分别在基123,,ααα与基123,,βββ下的坐标．21．设α＝(1，0，-1，0，1)T ，β＝(0，1，0，2，0)T ． （1）求αβ与的内积 [αβ，]； （2）求αβ与的长度||α||，||β||； （3）求αβ与的夹角θ．22．用施密特正交化方法将下列向量组标准正交化．（1）1α＝(1，1，1，1)T ，2α＝(3，3，-1，-1)T ，3α＝(-2，0，6，8)T ； （2）1α＝(1，1，1，0)T ，2α＝(1，0，1，0)T ，3α＝(-1，2，3，0)T ． 23．求与向量1α＝(1，0，-1，2)T ，2α＝(0，1，1，0)T 都正交的向量． 24．判别下列矩阵是否为正交矩阵？并说明理由．（1）1100221100221111222211112222⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭，（2）11133311022211666⎛⎫⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭25．设,n R αβ∈，A 是n 阶正交矩阵，证明：（1）[,A A αβ]＝[,αβ]； （2）||A α||＝||α||；（3）A α与A β的夹角等于α与β的夹角． 26．证明，若12,,,n ααα 是R n 的一组标准正交基，A 是n 阶正交矩阵，则12,,,n A A A ααα 也是R n 的一组标准正交基．解答习题31．(0，-8，0，2)T2．α＝(10，-6，-10，2)T ，β＝(-7，4，7，-1)T 3．X ＝12(14，-10，11，27)T 4．（1）能，β＝α1＋α3．（2）能，β＝14(5α1＋α 2 - α3 - α4) 5．k ＝3，β＝13(2α2＋α3) 6．（1）1,0a b =-≠，（2）12311,(2(1))1a b a b b a βααα≠-=-+++++ （3）2131,0.2a b βαβαα=-===-或8．（1）线性无关．（2）线性相关．9．k ＝3或k ＝-2时线性相关；k ≠3且k ≠ -2时线性无关． 10．线性无关．11．m 是奇数时线性无关，m 是偶数时线性相关．13．（1）秩＝2；α1，α2是极大线性无关组；α3＝2α1-α2，α4＝-α1＋2α2． （2）秩＝3；α1，α2，α3是极大线性无关组；α4＝121122αα+，α5＝α2＋α3． （3）k ≠3时：秩＝4．k ＝3时：秩＝3；α1，α2，α4是极大线性无关组；α3＝-2α1＋α2．（4）k ≠ 0且k ≠ 3时：秩＝4；α1，α2，α3，α4是极大线性无关组；α5＝α1＋α2． k ＝3时：秩＝3；α1，α2，α3是极大线性无关组；α4＝α1＋2α2，α5＝α1＋α2． k ＝0时：秩＝3；α1，α2，α4是极大线性无关组；α3＝-α1＋α2，α5＝α1＋α2． 15．a ＝4，β1，β2，β3可由α1，α2，α3线性表示，但β1，β2，β3与α1，α2，α3不等价． 16．a ＝20，b = 5．17．（1）V 1是向量空间．当a i = 0 (i = 1，2，…，n)时：V 1＝R n ；dimV 1 = n ；坐标单位向量ε1，ε2，…，εn 是V 1的基．当a i = 0 (i = 1，2，…，n)不全零时：dimV 1 = n -1；不妨设a 1≠0，则e 1 = (-a 2，a 1，0，…，0)T ，e 2 = (-a 3，0，a 1，…，0)，…，e n -1 = (-a n ，0，…，a 1)是V 1的基．（2）V 2不是向量空间．19．（1）dimL(α1，α2，α3，α4) = 2；基是α1，α2． （2）dimL(α1，α2，α3，α4) = 3；基是α1，α2，α4．20．（2）317527408-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭；（3）112233317527408x y x y x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（4）3，2，1与11145,,444--． 21．（1）0；（2）3,5；（3）2π．22．（1）123111(1,1,1,1),(2,2,2,2),(11,1,1)242T TT e e e ==--=--，． （2）123111(1,1,1,0),(1,2,1,0),(1,0,1,0)362T T T e e e ==-=-． 23．(-4，-2，2，3)．24．（1）是正交矩阵；（2）是正交矩阵．习题41. 用消元法解下列线性方程组：(1)123412341234 2 0,3 630,51050;x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩ (4)23y z 4,2y 4z 5,38y 2z 13,4 y 9z 6;x x x x ++=⎧⎪-+=-⎪⎨+-=⎪⎪-+=-⎩2.三个工厂分别有3吨、2吨和1吨的产品要送到两个仓库储藏，两个仓库各储藏产品4吨和2吨，用ij x 表示从第i 个工厂送到第j 个仓库的产品数(1,2,3;1,2i j ==)，试列出ij x 所满足的关系式，并求解由此得到的线性方程组.3.写出一个以x 1222341001c c -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（12,c c ∈ ）为全部解的齐次线性方程组.4.确定,a b 的值使下列齐次线性方程组有非零解，并在有非零解时，求其全部解：(1)1231231232 30,3470, 20;x x x x x x x x ax -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩ (2)123123123 0,0, 20.ax x x x bx x x bx x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩5.λ取何值时，下列非齐次线性方程组有唯一解、无解或有无限多个解？并在有无限多个解时求解：(1)1231232123 1, , ;x x x x x x x x x λλλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩ (2)123123123(2) 2 21, 2(5) 42, 2 4(5) 1.x x x x x x x x x λλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩6.设A 是实矩阵，证明()()T R A A R A =.7.求下列齐次线性方程组的基础解系：(1)123412341234 81020,24 5 0,38 620;x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪++-=⎨⎪++-=⎩ (2)123412341234232 0,35420,87630;x x x x x x x x x x x x --+=⎧⎪++-=⎨⎪++-=⎩8．设12,αα是某个齐次线性方程组的基础解系，证明：1212,2αααα+-也是该线性方程组的基础解系.9．设A 是n 阶方阵，0Ax =只有零解，求证：对任意的正整数k ，0kA x =也只有 零解.10．设A 22139528-⎛⎫=⎪-⎝⎭，求一个42⨯矩阵B ，使AB =0，且R (B )2=.11．求一个齐次线性方程组，使它的基础解系由下列向量组成：1ξ0123⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2ξ3210⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 12．求下列非齐次线性方程组的通解：(1)1212341234 5,2 21,53220;x x x x x x x x x x +=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩ (2)123412341234 52311,536 1,242 6.x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪++-=-⎨⎪+++=-⎩13．证明：线性方程组121232343454515,,,,x x a x x a x x a x x a x x a -=-=-=-=-=.有解的充分必要条件是123450a a a a a ++++=.14.设四元非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵A 的秩为2，已知它的三个解向量为1η,2η,3η，其中1η4321⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2η1351⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,3η2632-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求该方程组的通解.15.设矩阵A 121201101t t t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，齐次线性方程组0Ax =的基础解系含有两个线性无关的解向量，试求方程组0Ax =的全部解.16.设A 21120131,11λμ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b 010⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，η1111⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，如果η是方程组Ax b =的一个解，试求方程组Ax b =的全部解.17.设η*是非齐次线性方程组Ax b =的一个解，1ξ,2ξ,…,n r ξ-是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：(1)η*,1ξ,2ξ,…,n r ξ-线性无关；(2) η*,η*＋1ξ,…,η*＋n r ξ-线性无关.18.若1η,2η,…,s η为非齐次线性方程组Ax b =的s 个解，12,,,s k k k 为常数，且121s k k k +++= ，证明：1k 1η＋2k 2η＋…＋s k s η也是非齐次线性方程组Ax b =的解. 19.设非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵A 的秩为r ，1η,2η,…,1n r η-+是它的1n r -+个线性无关的解，试证：它的任一解可表示为x ＝1k 1η＋2k 2η＋…＋1n r k -+1n r η-+，其中1211n r k k k -++++= .20.用克拉默（Cramer ）法则解下列方程组：(1)1234123412341234 5, 2 42,23 52,3 2110;x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩ (2)12342345123234345 0,0,23 2, 23 2,23 2.x x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎪⎪++=⎨⎪++=-⎪⎪++=⎩21.判断齐次线性方程组12312312322 0,240,5820;x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ 是否仅有零解.22.问,λμ取何值时，齐次线性方程组123123123 0,0, 20;x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 有非零解?23.问λ取何值时，齐次线性方程组123123123(1) 2 40,2(3) 0, (1)0;x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解？24.证明：平面上三条不同的直线0,0,0ax by c bx cy a cx ay b ++=++=++=相交于一点的充分必要条件是 0a b c ++=.解答习题41．（1）11221121234222110,(,)00001x c c x c c c c c x x c -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ . （2）212121210x c y c c z c ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（c ∈ ）.2．ij x （1,2,3;1,2i j ==）所满足的关系式为：111221223132112131122232 3,2,1,4, x x x x x x x x x x x x +=+=+=++=++=1112212231322,6;x x x x x x ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪+++++=⎪⎩ 11121212211122213123221111221122100101101001x c c x c c x c c c x c x c x c ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（12,c c ∈ ）. 3．134234220,340.x x x x x x -+=⎧⎨+-=⎩4．（1）123111x c x c c x c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（c ∈ ）.（2）当0b =或10a -=时，即0b =或1a =时，齐次线性方程组有非零解.当1a =时，有1231001x c x c x c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（c ∈ ）.当0b =时，有1231(1)11x c x a c c a x c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（c ∈ ）.5．（1）当1,2λ≠-时，非齐次线性方程组有唯一解；当2λ=-时，非齐次线性方程组无解；当1λ=时，非齐次线性方程组有无限多个解，有1122112321111010001x c c x c c c x c ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（12,c c ∈ ）. （2）当1λ≠且10λ≠时，非齐次线性方程组有唯一解； 当10λ=时，非齐次线性方程组无解；当1λ=时，非齐次线性方程组有无数多个解，有112211232122122010001x c c x c c c x c -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（12,c c ∈ ）.7．（1）1ξ43410-⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,2ξ01401⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， （2）1ξ11971901⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,2ξ219141910⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.10．115118008B -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭11．12312420,230.x x x x x x -+=⎧⎨-+=⎩12．（1）x 111161,01702c -⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（c ∈ ）.（2）x 1291172211,72001010c c ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-=++ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（12,c c ∈ ）.14．x 1131221()(),c c ηηηηη=+-+-（12,c c ∈ ）.15．x 121011,1001c c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（12,c c ∈ ）.16．λμ=，当12λ=，非齐次线性方程组有无限多个解，x 1211122311,100001c c ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（12,c c ∈ ）. 当12λ≠，非齐次线性方程组有无限多个解，有x 011122,112201c -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（c ∈ ）.20．（1）12341231x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， （2）1234511111x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.21．齐次线性方程组仅有零解.22．当0μ=或1λ=时，齐次线性方程组有非零解. 23．当0,23λ=或时，齐次线性方程组有非零解.习题51.求下列矩阵的特征值和特征向量.（1）3151⎛⎫ ⎪-⎝⎭；（2）200202311-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；（3）122212221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，（4）1111111111111111⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭. 2.证明下列各题：（1）设A 是幂等矩阵（即满足2A A =），则A 的特征值只能0是或1；. （2）设A 是正交矩阵，则A 的实特征值的绝对值为1.3.已知3阶矩阵A 的特征值为1,0,2-，计算行列式2A A E -+.4.已知3阶矩阵A 的特征值为1,2,3-，计算行列式*|32|A A E ++.5.设,A B 都是n 阶方阵，且A 可逆，证明AB 与BA 相似．6.判断矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=201335212A 可否对角化，若能的话，将它化为标准形.7.设矩阵20022311A a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与10002000b -⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭相似，求,a b ；并求一个可逆矩阵P ，使1P AP -=Λ.8.设20131405A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，问a 为何值时，矩阵A 可对角化?9.试求一个正交的相似变换矩阵，将下列实对称矩阵化为对角矩阵：（1）120222023-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭；（2）400031013⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；（3）222254245-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭；（4）0111101111011110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭. 10.将矩阵102012220A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭用两种方法对角化：（1）求一个可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵；（2）求一个正交矩阵T ，使1T AT -为对角矩阵.11.设3阶矩阵A 的特征值为1232,1,2λλλ=-==；对应的特征向量依次为1231101,1,1101ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求矩阵A .12.设3阶实对称矩阵A 的特征值1231,0,1λλλ=-==；属于12,λλ的特征向量依次为12221,221ξξ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求一个正交矩阵T ，使1T AT -为对角矩阵.13.设3阶实对称矩阵A 的特征值1231,1λλλ=-==；属于特征值11λ=-的特征向量为1011ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵A .14.设120020211⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪---⎝⎭A ，求100A . 15.在某国，每年有比例为p 的农村居民移居城镇，有比例为q 的城镇居民移居农村.假设该国总人数不变，且上述人口迁移的规律也不变.把n 年后农村人口和城镇人口占总人数的比例依次记为n x 和n y (1)n n x y +=．（1）求11n n x y ++⎛⎫⎪⎝⎭与n n x y ⎛⎫⎪⎝⎭的关系式并写成矩阵形式：11++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n n x x A y y ； （2）设目前农村人口与城镇人口相等，即001212x y ⎛⎫ ⎪⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，求n n x y ⎛⎫⎪⎝⎭．解答习题51.（1）1212112,4;,15λλξξ⎛⎫⎛⎫=-=== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（2）1231230011,2,2;(,,)210111λλλξξξ-⎛⎫ ⎪=-==-=- ⎪ ⎪⎝⎭；（3）1231231011,5;(,,)011111λλλξξξ⎛⎫ ⎪==-== ⎪ ⎪--⎝⎭； （4）12341234111111002,2;(,,,)10101001λλλλξξξξ-⎛⎫ ⎪⎪=-==== ⎪ ⎪⎝⎭. 3.9. 4.－25.6.A 不可对角化.7.100110,2;210,21112---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭a b P P AP .8.3=a .9.（1）12213332122,13335212333-⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭T T AT ； （2）10102110,422411022-⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎪⎝⎭T T AT ；（3）12251153511452,115351052033-⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭T T AT ；（4）111112261211111122612,1211026123310212-⎛⎫-⎪ ⎪⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭T T AT . 10.（1）11223221,02123-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭P P AP ；（2）11223333221,03333212333-⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭T T AT . 11.233453442--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A .12.12213331122,03331212333-⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭T T AT . 13.100001010⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A .14.101100100100122002050(12)13⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭A. 15.（1）1111++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n x x p q y y p q ；（2）2()(1)12()2()(1)⎛⎫⎛⎫+---= ⎪⎪++---⎝⎭⎝⎭n n n n x q p q p q y p q p q p p q .习题61．证明：123000000a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与23100000a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭合同. 2．写出下列二次型的矩阵表示: （1）121323422f x x x x x x =-++；（2）2224424f x xy y xz z yz =+++++；（3）22221234121314232424264f x x x x x x x x x x x x x x =+++-+-+-.3．设A 是一个n 阶对称矩阵.如果对任一个n 维列向量x ，都有0Tx Ax =，试证0A =. 4．用拉格朗日配方法化下列二次型为标准形. （1）123422x x x x -；（2）22121213222x x x x x x ++-.*5．用初等变换法化下列二次型为标准形.（1）12132346x x x x x x -+；（2）222123232334x x x x x +++.6．用正交变换法化下列二次型为标准形.（1）22212312132325228x x x x x x x x x +++++；（2）121314232434 222222x x x x x x x x x x x x +--++. 7．求一个正交变换把二次曲面的方程22234545101x xy y xz z yz ++-+-=化成标准方程.8．化下列二次型为规范形.（1）22212312133524x x x x x x x +++-；（2）22212312232422x x x x x x x +++-.9．证明：秩等于r 的对称矩阵可以表成r 个秩等于1的对称矩阵之和. 10．判别下列二次型是否正定：（1）2221231231223(,,)2342f x x x x x x x x x x =+-++；（2）2222123412341213142434(,,,)3919242612f x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++-++--.11．t 满足什么条件时，下列二次型是正定的：（1）222123123121323(,,)5224f x x x x x x tx x x x x x =+++-+； （2）2221231231223(,,)2322f x x x x x x tx x x x =++-+.12．试证：如果A 是正定矩阵，那么A 的主子式全大于零. 13．试证：如果A 是正定矩阵，那么 （1）(0)kA k >是正定矩阵； （2）1A -是正定矩阵.14．试证：如果,A B 是同阶正定矩阵，那么A B +也是正定矩阵.*15．试证：实二次型12(,,,)n f x x x 是半正定的充分必要条件是12(,,,)n f x x x 的正惯性指数等于它的秩.*16．试证：实二次型12(,,,)T n f x x x x Ax = 是半正定的充分必要条件是A 的特征值全大于或等于零.解答习题62．（1）112323021(,,)201110x f x x x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(2)121(,,)242121x f x y z y z ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(3)1212343411211132(,,,)23101201x x f x x x x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭．4．(1)1132133244242222222222222222x y yx y yx y yx y y⎧=+⎪⎪⎪=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎪⎪=-+⎪⎩，22221234f y y y y=+--；(2)112322323x y y yx yx y y=+-⎧⎪=⎨⎪=-+⎩，222123f y y y=--．5．(1)112321233233626526x y y yx y y yx y y⎧=--⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪=+⎪⎩，222123f y y y=+-；(2)1122332311221122x yx y yx y y⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪=-⎪⎩，22212325f y y y=++．6．(1)11232233323x y y yx y yx y=-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩，2221235f y y y=+-；(2)1124212431344134111222111222111222111222x y y yx y y yx y y yx y y y⎧=++⎪⎪⎪=-+-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎪⎪=+-⎪⎩，222212343f y y y y=-+++．7．4133212133221213322x u v y u v w z u v w ⎧=+⎪⎪⎪=-++⎨⎪⎪=-+⎪⎩，222111u v +=．8．(1)112322323522122x y y y x y x y y ⎧=-+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-+⎪⎩，222123f y y y =-+； (2)112322333111222222212x y y y x y y x y ⎧=--⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩222123f y y y =++． 10．(1)负定；(2)正定． 11．(1)0.80t -<<；(2)151533t -<<．。
线性代数第二版（上海交大）习题答案1
1. （1）()17263540123219τ=+++++＝,为奇排列. （2）()9854673218763222131τ=+++++++＝，为奇排列. （3）()()()()121215311212n n n n n n τ++-=+-+++= ， 当42n k =-或43n k =-时，为奇排列； 当41n k =-或4n k =时，为偶排列. 2.()()21211n n n n a a a a a a C ττ-+= ，()()21112n n n n n a a a C s s τ--=-=-∴ . 3. （1）()127435689002111005τ+++++++= ＝，8,3i j ∴==时为偶排列;（2）()132564897010200205τ+++++++= ＝，6,3i j ∴==时为偶排列.4.含23a 的所有项为()()1324112332441a a a a τ-、()()1342112334421a a a a τ-、()()2314122331441a a a a τ-、()()2341122334411a a a a τ-、()()4312142331421a a a a τ-、()()4321142332411a a a a τ-，()()()()()()13241,13422,23142,23413,43125,43216ττττττ====== ， 23112332441223344114233142,,a a a a a a a a a a a a a ∴所有包含并带负号的项为---.5．证明 ()()121212121n n ni i i i i i n i i i D a a a τ=-∑()()()()()121212121n nni i i i i ni i i i a a a τ=----∑()()()1212121211n n n ni i i i i ni i i i a a a τ=--∑()1nD =-，当n 为奇数时，,20,0D D D D =-==.6．（1）2512371459274612----- ()()212313134142512152215223714173402162592729570113146121642012r r r c c r r r r r r ---+→-----↔+-→--+-→---()3232343442415221522152220113011301139021600300030012000330003r r r r r r r r r r r ---+-→↔+→=----+→-. （2）1200340000130051--()()121346115283451D -==--=- .（3）222111x xy xz xyy yz xzyzz +++ ()()()()()()222222222222222222111111D x y z x y z x y z x z y x y z y z x =+++++-+-+-+2221x y z +++＝.（4）xy x y yx yx x yxy+++()()()3333332D xy x y x y x y x y =+-+--=-+.（5）0000x y z xz y y z x z y x ()12341010********010x y z x y z x y z x yz x z yx y z z y z y c c c c c x y z y z x x y z z x z x z y x x y zy xy x +++++++→=++++++()()()()()2123134141101010x y zr r r x z yy z x z y y zr r r x y z x y z z x y x z z x y x zy x x yzr r r y x x yz+-→------+-→++=++---------+-→--- ()12123200z x yy z c c c x y z z x yx y z x z c c c x y z z---+→++-----+→--- ()()()101101y z x y z z x y x y z x z z-=++------ ()()()()()21232310101100y z r r r x y z z x y x y z x y r r r y x z-+-→++-----+-→-- ()()()()444222222222x y z z x y x y z y x z x y z x y x z y z =++------=++---. （6）1111111111111111x x y y +-+-()()()14124234311110011111001111100111111111x x yr r r x x yr r r y y y r r r y y++-→--+-→++-→--000000000001110110x yyx yy x y y x y x y xy yy y y--=--=---- ()2222200011111xyyx yxy xy xy xy x y xy x y x x -=+=+=-+=--.7．（1）122222222232222n()()12121122210002222122222222010012232001000203,4,,22200020002i i n r r r r r r i n nn n --+-→+-→=-=--()22!n =--.（2）1231234111321221n n n n n n n n n n ------设此行列式的值为D , 将第2,3,,n 列均加于第一列, 则第一列的所有元素均为()112312n n n ++++=+ ，将此公因式提出, 因此有 121125411431321)1(21-+=n nn n D，再令第n 行减去第1n -行, 第1n -行减去第2n -行, …, 第2行减去第1行, 可得()()11231111110111111111110111122111110111111111n n n n n n n n n n D n n nn -----++==----()123111111111111121111111111n n n n n c c c c c n -----+++++→---()()()1210000000100000001112,3,,12210000000100000n i i n n n n n c c c n n n n i n n n n -------+→++=--=------()()()()()()()()32112212211111122n n n n n n n n n n n n n ---+---++=---=-.（3）123103121230n n n ------11231231030262!120322,3,,1230000i innn nr r r n n n i nn-+→=--=---. （4）0000000000000000x y x y x x y yx将行列式按第一列展开得nn n n n y x y x y x y y x y x y x x D 11)1(0000000)1(0000000++-+=-+= . 8. （1）11001010001x y zx y z =()()()2222221234111100100110100010001001xy zx y z x y z x c x c y c z c c x y z y z---+-+-+-→=---=2220x y z ∴++=,0x y z ===.（2）2222134526032113212x x ---=--+--22132222131223452625463211123132121232x x c c x x ------↔---+--+----()()212223134342224141223122320900090010052005200510001r r r x x r r r r r r x x r r r x --+-→--+-→-+→-----+→- ()()225910x x =---=31x x ∴=±=±或.9. （1）()11111111222222222333333331a b x a x b c a b c a b x a x b c x a b c a b xa xbc a b c ++++=-++证明 第二列乘以()x -加到第一列得()()()()21111111122222222222333333331111x aa xbc a a x b c D x aa xbc x a a x b c a a x b c x aa xbc -++=-+=-++-+ ()()11122122223331a b c c x c c x a b c a b c +-→-， 得证.（2）12111000100010nn k k k n na a x a x a x a x-=---=-∑.证明 用数学归纳法证明. 当2n =时, 212212121k k k a D a x a a x a x-=-==+=∑, 命题成立.假设对于()1n -阶行列式命题成立, 即 1111n n k n k k D a x ----==∑,则n D 按最后一行展开, 有111000001000001000(1)0001001n n nn xx D a xD x x+----=-+--11111(1)(1)n n n n k n k k a x a x -+---==--+∑11n n k n k k a a x --==+∑1nn k k k a x -==∑，因此, 对于n 阶行列式命题成立.（3）cos 100012cos 100012cos 00cos 0002cos 1012cos n αααααα=.证明 用数学归纳法证明.当1n =时, 1cos D α=, 命题成立. 假设对于1n -阶行列式命题成立, 即 1cos(1)n D n α-=-, ， 则n D 按最后一列展开, 有11cos 100012cos 100012cos 00(1)2cos 0002cos 101n n n n D D ααααα+--=-+22cos cos(1)n n D αα-=--[]12cos cos(2)cos(2)2n n n ααα=+--- cos n α=，因此, 对于n 阶行列式命题成立.(4)121211111111(1)111nn i ina a a a a a a =++=++∑证明 法一11212121323131414111111111000011100001110000011100000001n n n na a a a r r r a a a r r r D a r r r a a a a a -+-+-→-+-→=--→+--+提取公因子123211211111111110000101000100000100010100001n n n n na a a a a a a a a a ---+----- 12321121121111111101000000100000000000001000001nk kn n n n n na a a a a a c c c c a a a a =---++++→∑1211(1)nn i ia a a a ==+∑. 法二122112133223243431100001000111100011110001111000100001n n n n n n a a a a c c c a a a c c c D a c c c a a a a a ---+-→-+-→=--→+--+按最后一列展开（由下往上）121(1)()n n a a a a -+ 12233422000000000000000000000000000n n na a a a a a a a a --------122331100000000000000n n na a a a a a a a ----+---22334110000000000000n n na a a a a a a a -----+--1211232123123(1)()n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a -----=+++++1211(1)nn i ia a a a ==+∑. (5)()()12311231123111123112311n n n n nn n n ij j i j i i n nn nx a a a a a x a a a a a x a a a x a x a a a a x a a a a a x ---==--⎛⎫=-+ ⎪ ⎪-⎝⎭∑∏ . 证明 法一12311231123112311231n n n n n n n n n n n x a a a a a x a a a a a x a a D a a a x a a a a a x -----=1231112221211333134141111110000000000n n n n n nx a a a a a x x a r r r a x x a r r r r r r a x x a a x x a ------→---→-→----()()()3112112233111122110001010010010101n n n n n nn n a a a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ---------------提取公因子()()()12122111211122101000000001001ni n n i i i n n n nn n n a a a a x a x a x a x a c c c c x a x a x a -=--+----+++→---∑()()111nn ij j i j i i a x a x a ==⎛⎫=-+ ⎪ ⎪-⎝⎭∑∏. 法二12311231123112311231n n n n n n n n n n nx a a a a a x a a a a a x a a D a a a x a a a a a x -----=121232343c c c c c c c c c -→-→-→ 1122223333111231000000000000n n n n n nx a a x x a a x x a x a a x a a a a x ----------按最后一行展开（由右往左）11222211()()()()n n n n n x x a x a x a x a -------- 1122223333122000000000000000000n n n n nx a a x x a a x x a a x a a x -----------11222233332111100000000000000n n n n n n n x a a x x a a x x a a a x x a a x ----------+----()22223313344111110000000100000n n n n n n na x x a a x x a a x a a x x a a x +---------+----1122221111222211()()()()()()()()()n n n n n n n n n n n x a x a x a x a x a a x a x a x a x a --------=-----+----12222112113311()()()()()()()()n n n n n n n n n n n n a x a x a x a x a a x a x a x a x a --------+----+----+ 111223322()()()()()n n n n n n a x a x a x a x a x a ----+-----()()111nn ij j i j i i a x a x a ==⎛⎫=-+ ⎪ ⎪-⎝⎭∑∏. 10.解：由范德蒙德行列式性质得21211112111111()1n n n n n n x x x a a a P x a a a ------=12111111211111n n n n n n x a a a x a a a ------=()()()1231121222212311111n n n n n n n a a a a x a x a x a a a a a ----------＝，121,,,n a a a - 互不相同,∴由范德蒙德行列式性质得12312221123111110n n n n n n a a a a a a a a ------≠，故()P x 是x 的1n -次多项式，方程()0P x =的所有根为121,,,n x a x a x a -=== . 11. （1）方程组的系数行列式504211217041201111D -==-≠， 所以方程组有唯一解.又130421121711200111D -==-，253421121741201011D ==，350321111741101101D -==，450431121741211110D -==-， 故可得解为111D x D ==，221D x D ==-，331D x D ==-，441Dx D==. （2）方程组的系数行列式2151130627002121476D ---==≠--，所以方程组有唯一解.又1815193068152120476D ---==---，22851190610805121076D --==----，3218113962702521406D --==--，4215813092702151470D --==---，故可得解为113D x D ==，224D x D ==-，331D x D ==-，441Dx D==. （3）方程组的系数行列式3200013200630013200013200013D ==≠，所以方程组有唯一解.又1120000320031013200013200013D ==，2310001020015003200013200013D ==-，332100130007010200003200013D ==，432010132003013000010200003D ==-，532001132001013200013000010D ==，故可得解为113163D x D ==，22521D x D ==-，3319D x D ==，44121D x D ==-，55163D x D ==. 12.设平面方程为ax by cz d ++=，则由题意知233a b c da b c d a b c d ++=⎧⎪+-=⎨⎪--=⎩， 方程组的系数行列式111231160311D =-=-≠--，所以方程组有唯一解.又11131811d D dd d=-=---，21121231dD d d d=-=--，31123631dD d d d==--，故可得解为12D d a D ==，28D db D ==，338D dc D == ，代入平面方程得438x y z ++=. 13. 证明充分性：若0a b c ++=，则把c a b =--带入方程组000ax by c bx cy a cx ay b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（1） 可得1x y ==即三条直线相交于一点()1,1；必要性：若三条不同直线（1）相交于一点，则三个平面000ax by cz bx cy az cx ay bz ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（2） 相交于非零点，而由克莱姆法则，方程组（2）有非零解的必要条件是其行列式为零，又()()()()22212a bcb c a a b c a b b c c a c a b ⎡⎤=-++-+-+-⎣⎦， 所以，a b c ==或0a b c ++=，由题意a b c ==不满足， 故0a b c ++=.14.令()32f x ax bx cx d =+++，由()10f -=，()14f =，()23f =，()316f =知048423279316a b c d a b c d a b c d a b c d -+-+=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ 方程组的系数行列式11111111480842127931D --==≠， 所以方程组有唯一解.又10111411196342116931D -==，2101114112408321271631D --==-，31101114108431279161D -==，4111011143368423279316D --==，故可得解为12D a D ==，25D b D ==-，30D c D ==，47Dd D==， 即()32257f x x x =-+.。
线性代数第二章习题部分答案(
第二章向量组的线性相关性§2-1 §2-2 维向量，线性相关与线性无关（一）一、填空题1. 设3 α1−α +2 α2+α =5 α3+α , 其中α1=(2,5,1,3)T,α2=(10,1,5,10)T, α3=(4,1,−1,1)T, 则α= (1,2,3,4)T .2. 设α1=(1,1,1)T, α2=(2,1,1)T,α3=(0,2,4)T,则线性组合α1−3α2+α3= (−5,0,2)T .3. 设矩阵A= ，设βi为矩阵A的第i个列向量，则2β1+β2−β3= (−2,8,−2)T .二、试确定下列向量组的线性相关性1. α1=(2,1,0)T, α2=(1,2,1)T, α3=(1,1,1)T解：设k1α1+k2α2+k3α3=0,则k1 210 +k2 121 +k3 111 = 000即2k1+k2+k3=0k1+2k2+k3=0k2+k3=0k1+2k2+k3=0−3k2−k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=0k2+k3=0k3=0 k1=k2=k3=0，线性无关。
2. α1=(1,−1,2)T, α2=(0,0,0)T, α3=(1,4,3)T线性相关三、设有向量组α1=(1,1,0)T, α2=(1,3,−1)T, α3=(5,−3,t)T，问t取何值时该向量组线性相关。
解：设k1α1+k2α2+k3α3=0,则k1 110 +k2 13−1 +k3 5−3t =0即k1+k2+5k3=0k1+3k2−3k3=0−k2+tk3=0k1+k2+5k3=0k2−4k3=0−k2+tk3=0k1+k2+5k3=0k1+3k2−3k3=0(t−4)k3=0所以，t=4, 线性相关; t≠4, 线性无关四、设a1,a2线性无关，a1+b,a2+b线性相关，求向量b用a1,a2线性表示的表示式。
解：因为a1+b,a2+b线性相关，所以存在不全为零的k1，k2，使得k1(a1+b)+k2(a2+b)=0, 即(k1+k2)b=−k1a1−k2a2.又因为a1,a2线性无关，所以k1+k2≠0，于是，b=−k1k1+k2a1−k2k1+k2a2.五、已知向量组α1,α2,⋯,α2n，令β1=α1+α2,β2=α2+α3,⋯,β2n=α2n+α1，求证向量组β1,β2,⋯,β2n线性相关。
线性代数(第二版)答案
5 3 2 1
6 6 1 3
⎞−1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
x1 x2 x3 x4
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
=
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
7. 首先将系数矩阵化为规范阶梯矩阵，
A
=
⎛ ⎜ ⎝
2 1
1 1
−1 −1
1 0
−3⎞
1
⎟ ⎠
→
⎛ ⎜ ⎝
1 0
0 1
0 −1
1 −1
−4 5
⎞ ⎟ ⎠
=
B
选 x3, x4 , x5 为 自 由 未 知 量 ， 分 别 取 x3 = 1, x4 = 0, x5 = 0 ， x3 = 0, x4 = 1, x5 = 0 和
( ) ( ) ( ) ( ) 8.设
aij
,
2×2
bij
属于该集合，则
2×2
aij
+k
2×2
bij
也属于该集合，即该集合是 M 2×2 的子空
2×2
间；设
ε11
=
⎛ ⎜ ⎝
1 0
0⎞ −1⎟⎠
， ε12
=
⎛0
⎜ ⎝
0
1⎞ −1⎟⎠
，
ε 21
=
⎛ ⎜ ⎝
0 1
0⎞ −1⎠⎟
，则若有
k1ε11
+
k2ε12
为一组基. 10.因为 k1k3 ≠ 0 ，即 k1 ≠ 0 ， k3 ≠ 0 ，于是由
k1α1 + k2α2 + k3α3 = O
(1)
可得
α1
=
−
k2 k1
α2
线性代数及其应用习题解答
《线性代数及其应用 (第二版)》 习题解答
郑 波 (E-mail: zhbo31415926@)
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习题一解答
1. 3(A + C ) = 2(B − C ) =⇒ C = 1 5 1 5 1 (2B − 3A), 即 5 3 2 4 2 3 6 6 4 8 6 9 18 2 − 3 = 1 − 5 1 −3 5 −1 3 5 2 −6 10 −3 9 15 0 −5 −10 0 −1 −2 = . 5 −15 −5 1 −3 −1
2 2 2 2 (A + B )(A − + BA − AB − B = A − B . B ) = A
1 −1 2 1 ,B = , 则 (2) 设 A = 2 0 0 3 4 −2 2 −2 ̸= BA = AB = 4 2 6 0 (A + B )2 = 3 0 2 9 0
3 1 0 3 3 1 0 (2) 0 3 1 = 0 3 1 0 3 1 0 0 0 3 0 0 3 0 0 3 0 27 27 9 = 0 27 27 . 0 0 27 4 1 −1 2 1 2 1 1 0 − 3 + (3) 2 0 0 3 1 3 0 2 −3 −5 . = 1 9 3 1 0 3
2 1 0 1 0 0 1 1 = 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 2 0 0 0 1
1 0 0 0 M = 0 1 0 1 0 1 0 0 于是 0 1 M + M 2 = M (E + M ) = 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 = 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1
线性代数简明教程-第二版-答案
1 2 3 1 (1) A 2 4 6 2
1 2 3 1
r2 2r1
r3 r1
1 2 3 1 0 0 0 0
0 0 0 0
3 1 4 2 2
(2) B
1 1 1
0 2 4
1 1 13 3 3
0
4 0
1 0 1 1 0
r2 r1
3
1 1
1 2 4
0 0 0 1
（3）
1 a1 方法一 1
1
1 1 a2
1
1 1 1 an
1 a1 1 1 ri r1 a1 a2 0
a1 0 an
1 1 a1
a1a2 an 1
1
11
a2
an
10
01
n
c1
i2
ci
1 1 1 1
a1 a2
an
a1a2 an
0
0
11
a2
an
10
01
5、已知两个线性变换
x2
x1 2 y1 y3 2 y1 3y2
2 y3
x3 4 y1 y2 5 y3
y1 3z1 z2 y2 2z1 z3
,
y3 z2 3z3
求从 z1, z2 , z3 到 x1, x2 , x3 的 线性变换
分析：X AY ,Y BZ ,
~r3
4r2
0
r4
3r2
0 0
1 0 0
2 1 0 0 0 1
1 2
1 1
3 0
0 1
1 0
4 2
1 2 3 2 1 0 0 0
~r4 2r3
0
0 0
1 0 0