第一章勾股定理(1213)随堂练习(含答案)
北师版数学 八年级上册 第1章 勾股定理 1.1.1 勾股定理 同步练习(包含
北师版八年级上册第1章勾股定理1.1.1 勾股定理同步检测一．选择题（共10小题，3*10=30）1．在△ABC 中，∠A ＝90°，则下列式子不成立的是( )A ．BC 2＝AB 2＋AC 2 B ．AB 2＝AC 2＋BC 2C ．AB 2＝BC 2－AC 2D ．AC 2＝BC 2－AB 22. 直角三角形的两直角边长分别为5，12，则斜边上的高为( )A ．6B ．8C.1813D.60133．若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的可能值有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如果直角三角形两直角边长分别为4，5，那么以斜边为边长的正方形的面积为( )A ．41B ．1C ．9D ．以上答案都不对5. 如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少要飞行( )A ．8米B ．10米C ．12米D ．14米6. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线．已知AB ＝5，AD ＝3，则BC 的长为( )A ．5B ．6C ．8D ．107．如图，点E 在正方形ABCD 内，满足∠AEB ＝90°，AE ＝6，BE ＝8，则阴影部分的面积是( )A．48 B．60C．76 D．808．如图，阴影部分的面积为（）A．3 B．9C．81 D．1009．一直角三角形的三边是三个连续的正整数，则此直角三角形的周长为（）A．6 B．8C．10 D．1210．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DBC＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝12，则CD为（）A．5 B．13C．17 D．18第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共6小题，3*8=24）11．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则勾与股的和是____．12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，则BC＝____．13．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.当∠C＝90°，b＝4 m，c＝5 m时，a＝_______．14．如图，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形，已知其中两个正方形的面积，则正方形A的面积是____，B的面积是________．15. 在“寻找滨河最美，拒绝不文明行为”系列活动中，细心的董明同学发现：学校有一块长方形花圃，如图，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了____步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草．16．有一根高为16 m的电线杆在点A处断裂，电线杆顶部点C落到离电线杆底部B点8 m的地方，则电线杆的断裂处点A离地面有____________m.17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为________．18. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，最大正方形的边长为2 cm，则正方形A，B，C，D的面积和是____ cm2.三．解答题（共7小题，46分）19. （6分）如图，在△ABD中，∠D＝90°，点C是BD上一点，已知CB＝9，AB＝17，AC＝10，求AD的长．20. （6分）如图，在△ABC中，CDLAB于D，AC=20,BC= 15,DB=9，求AB的长.21．（6分）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70 km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街道上直向行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A正前方30 m 的B处，过了2 s后，测得小汽车到达点C处与车速检测仪A间距离为50 m，这辆小汽车超速了吗？(参考数据：1 m/s＝3.6 km/h)22．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AB＝5 cm，BC＝3 cm，求BD的长．23. （6分）如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AD＝13，BC⊥AB，对角线AC⊥CD，求四边形ABCD的面积．24．（6分）在一棵树的10 m高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20 m的池塘，而另一只爬向树顶后直扑池塘(运动路线看作直线)，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？25. （8分）如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在边BC上的点F处，折痕为AE.已知AB= 8cm,BC=10cm,求EC的长.参考答案：1-5 BDBAB 6-10 CCCDB11. 1712. 413. 3m14. 20，25615. 416. 617.3 218. 419.解：设CD长为x.在Rt△ACD中，AD2＝102－x2. 在Rt△ABD中，AD2＝172－(x＋9)2.∴102－x2＝172－(x＋9)2，解得x＝6，∴所以AD2＝64，AD＝820.解：∵CDLAB于D，AC=20,BC=15,DB=9,∴在Rt△BCD中,CD2=BC2-DB2=152-92=144.在Rt△ACD中，AD2=AC2- CD2=202-144=256,∴AD=16,∴AB=AD+DB=16+9 =25.21.解：由题意得AB＝30 m，AC＝50 m．由勾股定理得BC2＝AC2－AB2＝502－302＝402.于是BC＝40 m．此时小汽车的速度为40÷2＝20(m/s)．∵20 m/s＝72 km/h＞70 km/h，∴这辆小汽车超速了22.解：由勾股定理可以得到AB2＝AC2＋BC2，∴AC＝4，由S△ABC＝12AC·BC＝12AB·CD，即12×4×3＝12×5×CD ， ∴CD ＝125， ∴BD 2＝BC 2－CD 2＝8125， ∴BD ＝95(cm) 23. 解：在Rt △ABC 中，∵AC 2＝AB 2＋BC 2＝32＋42＝25，∴AC ＝5，在Rt △ACD 中，∵CD 2＝AD 2－AC 2＝132－52＝144，∴CD ＝12，∵S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD＝12AB ·BC ＋12AC ·CD ＝12×3×4＋12×5×12 ＝3624. 解：如图，点B 为树顶，D 处有两只猴子，则AD ＝10 m ，C 为池塘，则AC ＝20 m ． 设BD 的长为x m ，则树的高度为(10＋x)m.∵AC ＋AD ＝BD ＋BC ，∴BC ＝20＋10－x ＝30－x.在△ACB 中，∠A ＝90°，∴AC 2＋AB 2＝BC 2，即202＋(10＋x)2＝(30－x)2，解得x ＝5.即树高为15 m25. 解：∵ABCD 是长方形，∴∠B=∠C=90°.由折叠的性质易得AF= E AD=BC=10cm,DE=EF.设EC=xcm ， 则DE=(8-x)cm ，EF=(8-x)cm.在Rt △ABF 中，BF 2=AF 2-AB 2=36，∴BF=6cm, ∴FC=BC-BF=4cm.在Rt △CEF 中，由勾股定理得CE 2+FC 2=EF 2，即x 2+42=（8-x ）2，解得x=3.∴EC 的长为3cm.。
勾股定理练习题(含答案)
勾股定理练习题(含答案)1.下列说法正确的是：C.若a、b、c是Rt△ABC的三边，A=90°，则a+b=c。
2.根据勾股定理，应该选B.a+b>c。
3.根据勾股定理，斜边长为√（k-1）²+（2k）²，即√（5k²-4）。
4.根据(a-b)(a+b-c)=0，可得a=b或a+b=c，所以它的形状为等腰三角形或直角三角形。
5.设另一直角边为x，则根据勾股定理得x²+9²=(x+1)²，解得x=40/9，周长为9+40/9+41/9=120/9=40/3，选C。
6.根据勾股定理得BC=√（13²-12²）=5，所以周长为15+13+5=33，选D。
7.根据勾股定理和中线长度公式得周长为2d+2√(d²-S)，选C。
8.根据勾股定理得OP的长度为√(3²+4²)=5，选C。
9.根据勾股定理和海伦公式得BC=√(26²-24²/25)=17，选A。
10.根据(a-6)+b-8+c-10²=0，可得a+b+c=24，所以它的形状为等边三角形。
11.根据勾股定理和面积公式得面积为(8*15)/2=60，选D。
12.根据等腰三角形的性质，顶角的平分线与底边中线重合，所以答案为底边中线，即6.5.13.根据勾股定理得斜边长为√200=10√2，选D。
14.根据三角形边长比的性质，10:8:6无法构成三角形，所以不是三角形。
15.一个三角形的三边比为5:12:13，周长为60，则其面积为多少？16.在直角三角形ABC中，斜边AB=4，则AB+BC+AC=多少？17.如图，已知直角三角形ABC中，∠C=90°，BA=15，AC=12，以直角边BC为直径作半圆，则该半圆的面积为多少？18.若三角形三个内角的比为1:2:3，最短边长为1cm，最长边长为2cm，则该三角形三个角度数分别为多少？另外一边的平方是多少？19.长方形的一边长为3cm，面积为12cm²，则其一条对角线长为多少？20.如图，一个高为4m、宽为3m的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求该木条的长度。
北师大版八年级数学上册 第一章 勾股定理 单元练习题 含答案
第1章勾股定理一．选择题（共12小题）1．下列为勾股数的是（）A．2，3，4 B．，，C．6，7，8 D．5，12，132．已知a，b，c是△ABC的三边，且满足（a﹣b）（a2﹣b2﹣c2）＝0，则△ABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形3．在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于（）A．10 B．8 C．6或10 D．8或104．已知x、y为正数，且|x2﹣4|+（y2﹣3）2＝0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A．5 B．25 C．7 D．155．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3C．a2＝c2﹣b2D．a：b：c＝3：4：66．下列各组线段中的三个长度：①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a，4a，5a （a＞0）；⑤m2﹣n2，2mn，m2+n2（m，n为正整数，且m＞n）其中可以构成直角三角形的有（）A．5组B．4组C．3组D．2组7．△ABC中，AB＝7，BC＝24，AC＝25．在△ABC内有一点P到各边的距离相等，则这个距离为（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（）A．4 B．6 C．8 D．109．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．6410．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和是（）A．18cm2 B．36cm2C．72cm2D．108cm211．如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）A．13cm B．12cm C．10cm D．8cm12．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，已知一条到达底部的直吸管在罐内部分的长度为a，若直吸管在罐外部分还剩余3，则吸管的总长度b（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A．12≤b≤13 B．12≤b≤15 C．13≤b≤16 D．15≤b≤16 二．填空题（共6小题）13．如图，BD为△ABC的中线，AB＝10，AD＝6，BD＝8，△ABC的周长是．14．直角三角形两条边的长度分别为3cm，4cm，那么第三条边的长度是cm．15．如图，点A、B、C分别是正方体展开图的小正方形的顶点，则∠BAC的大小为．16．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为．17．已知△ABC的三边长为a、b、c，满足a+b＝10，ab＝18，c＝8，则此三角形为三角形．三．解答题（共10小题）18．如图为一个广告牌支架的示意图，其中AB＝13m，AD＝12m，BD＝5m，AC＝15m，求图中△ABC的周长和面积．19．如图，一根竹子高10米，折断后竹子顶端C落在竹子底端A的4米处，折断处B离地面的高度AB是多少？20．如图，在△ABD中，∠D＝90°，C是BD上一点，已知BC＝9，AB＝17，AC＝10，求AD 的长．21．已知：如图，四边形ABCD，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC．求四边形ABCD 的面积．22．长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，连接BE．（1）求AD的长；（2）求AE的长．24．如图，一个放置在地面上的长方体，长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B与点C 的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？25．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？26．（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程．（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？参考答案一．选择题（共12小题）1．【解答】解：A、22+32≠42，不能构成勾股数，故错误；B、（）2+（）2≠（）2，不能构成勾股数，故错误；C、62+72≠82，不能构成勾股数，故错误；D、52+122＝132，能构成勾股数，故正确．故选：D．2．【解答】解：∵（a﹣b）（a2﹣b2﹣c2）＝0，∴a﹣b＝0，或a2﹣b2﹣c2＝0，即a＝b或a2＝b2+c2，∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．故选：D．3．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，如图1所示，AB＝10，AC＝2，AD＝6，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得：BD＝＝8，CD＝＝2，此时BC＝BD+CD＝8+2＝10；如图2所示，AB＝10，AC＝2，AD＝6，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得：BD＝＝8，CD＝＝2，此时BC＝BD﹣CD＝8﹣2＝6，则BC的长为6或10．故选：C．4．【解答】解：依题意得：x2﹣4＝0，y2﹣3＝0，∴x＝2，y＝，斜边长＝＝，所以正方形的面积＝（）2＝7．故选：C．5．【解答】解：A、∠A+∠B＝∠C，又∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形；B、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形；C、由a2＝c2﹣b2，得a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．故选：D．6．【解答】解：①中有92+122＝152；②中有72+242＝252；③（32）2+（42）2≠（52）2；④中有（3a）2+（4a）2＝（5a）2；⑤中有（m2﹣n2）2+（2mn）2＝（m2+n2）2，所以可以构成4组直角三角形．故选：B．7．【解答】解：∵△ABC中，AB＝7，BC＝24，AC＝25，∴AB2+BC2＝72+242＝252＝AC2，∴∠ABC＝90°，连接AP，BP，CP．设PE＝PF＝PG＝xS△ABC＝×AB×CB＝84，S△ABC＝AB×x+AC×x+BC×x＝（AB+BC+AC）•x＝×56x＝28x，则28x＝84，x＝3．故选：C．8．【解答】解：由题意得：大正方形的面积是9，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，即a2+b2＝9，a﹣b＝1，解得a＝，b＝，则ab＝4．解法2，4个三角形的面积和为9﹣1＝8；每个三角形的面积为2；则ab＝2；所以ab＝4故选：A．9．【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225，∴即PQ2＝225，∵正方形PRGF的面积为289，∴PR2＝289，又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2＝PQ2+QR2，∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，则正方形QMNR的面积为64．故选：D．10．【解答】解：由图可得，A与B的面积的和是E的面积；C与D的面积的和是F的面积；而E，F的面积的和是G的面积．即A、B、C、D、E、F、G的面积之和为3个G的面积．∵G的面积是62＝36cm2，∴A、B、C、D、E、F、G的面积之和为36×3＝108cm2．故选：D．11．【解答】解：如下图所示：∵长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．∴PA＝4+2+4+2＝12（cm），QA＝5cm，∴PQ＝＝13cm．故选：A．12．【解答】解：如图，连接BO，AO，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分a最短，此时a就是圆柱形的高，即a＝12；当吸管底部在A点时吸管在罐内部分a最长，即线段AB的长，在Rt△ABO中，AB＝＝＝13，故此时a＝13，所以12≤a≤13，则吸管的总长度b（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是：15≤b≤16．故选：D．二．填空题（共6小题）13．【解答】解：∵AB＝10，AD＝6，BD＝8，∴AB2＝AD2+BD2＝100，∴△ABD是直角三角形且AD⊥BD．又BD为△ABC的中线，∴AB＝BC＝10，AD＝CD＝6．∴，△ABC的周长＝AB+BC+AD＝2AB+2AD＝20+12＝32．故答案是：32．14．【解答】解：当这个直角三角形的两直角边分别为3cm，4cm时，则该三角形的斜边的长为：＝5（cm）．当这个直角三角形的一条直角边为3cm，斜边为4cm时，则该三角形的另一条直角边的长为：＝（cm）．故答案为：5或．15．【解答】解：连接BC．根据勾股定理可以得到：AB＝BC＝，AC＝2，∵（）2+（）2＝（2）2，即AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠BAC＝45°．故答案为：45°．16．【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，∴D′F＝BF，设D′F＝x，则AF＝8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，解之得：x＝3，∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，∴S△AFC＝•AF•BC＝10．故答案为：10．17．【解答】解：∵a+b＝10，ab＝18，c＝8，∴（a+b）2﹣2ab＝100﹣36＝64，c2＝64，∴a2+b2＝c2，∴此三角形是直角三角形．故答案为：直角．三．解答题（共10小题）18．【解答】解：在△ABD中，∵AB＝13m，AD＝12m，BD＝5m，∴AB2＝AD2+BD2，∴AD⊥BC，在Rt△ADC中，∵AD＝12m，AC＝15m，∴DC＝＝9（m），∴△ABC的周长为42m，△ABC的面积为84m2．19．【解答】解：设竹子折断处离地面x米，则斜边为（10﹣x）米，根据勾股定理得：x2+42＝（10﹣x）2解得：x＝4.2．答：折断处离地面的高度是4.2米．20．【解答】解：设CD＝x，则BD＝BC+CD＝9+x．在△ACD中，∵∠D＝90°，∴AD2＝AC2﹣CD2，在△ABD中，∵∠D＝90°，∴AD2＝AB2﹣BD2，∴AC2﹣CD2＝AB2﹣BD2，即102﹣x2＝172﹣（9+x）2，解得x＝6，∴AD2＝102﹣62＝64，∴AD＝8．故AD的长为8．21．【解答】解：连接AC．∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，∴AC＝，在△ACD中，AC2+CD2＝5+4＝9＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S四边形ABCD＝AB•BC+AC•CD，＝×1×2+××2，＝1+．故四边形ABCD的面积为1+．22．【解答】解：设DE＝xcm，则BE＝DE＝x，AE＝AB﹣BE＝10﹣x，△ADE中，DE2＝AE2+AD2，即x2＝（10﹣x）2+16．∴x＝（cm）．23．【解答】解：（1）如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB＝10，∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD＝5．（2）∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE，设EC＝x，则AE＝BE＝8﹣x，故62+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝，∴AE＝8﹣＝．24．【解答】解：如图所示，根据勾股定理得，AB＝＝25cm．答：需要爬行的最短距离是25cm．25．【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得：x2＝202+[（2+3）×3]2＝252，解得：x＝25．答：蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是25dm．26．【解答】解：（1）由题意得：该长方体中能放入木棒的最大长度是：（cm）．（2）分三种情况可得：AG＝cm＞AG＝cm ＞AG＝cm，所以最短路程为cm；（3）∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12cm，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝13（Cm）．。
第一章 勾股定理(1.2-1.3) 随堂练习(含答案)
- 1 -B643第一章 勾股定理(1.2-1.3)随堂训练一、认真填一填 —— 要相信自己．1. 如果△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，满足222a b c +=，则这个三角形是_____三角形，其中斜边为______.2．一个三角形的三边之比为5∶12∶13，且周长为60cm ，则它的面积是__________.3．在布置新年联欢会的会场时,小虎准备把同学们做的拉花用上,•他搬来了一架高为2.5米的梯子,要想把拉花挂在高2.4米的墙上,•小虎应把梯子的底端放在距离墙________米处. 4．如图1，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ，•A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是_________BAC图1 图2 图35．如图2，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则AC 边上的高的平方是 。
二、细心选一选 —— 要认真考虑．6．以下面每组中的三条线段为边的三角形中，是直角三角形的是（ ）A ．5cm ，12cm ，13cmB ．5cm ，8cm ，11cmC ．5cm ，13cm ，11cmD ．8cm ，13cm ，11cm 7．三角形的三边长a 、b 、c 满足22()2a b c ab +-=，则此三角形是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形8．小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m 远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水平刚好相齐,河水的深度为( ). A.2.5cm B.2m C.2.25m D.3m9．如图3是一块长、宽、高分别是6cm ，4cm 和3cm 的长方体木块.一只蚂蚁要从长方体木块的- 2 -一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长的平方是 （ ）A ．97B ．109C ．81D ．85 三、精心做一做 —— 要注意审题．10. 如图，三个村庄A 、B 、C 之间的距离分别为AB =5km ,BC =12km ,AC =13km .要从B 修一条公路BD 直达AC .已知公路的造价为26000元/km ，求修这条公路的最低造价是多少？11. 如图，已知四边形ABCD 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，CD =12，AD =13，求四边形ABCD的面积.(提示,连结AC) 12．如图，在中，D 是BC 边上的点，已知，，，，求DC 的长．13．如图,长方体的长BE=15cm,宽AB=10cm,高AD=20cm,点M 在CH 上,且CM=5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点M,需要爬行的最短距离是多少?BB12 5- 3 -参考答案1．直角，c ； 2．1202cm ；3．0.7；4． 25dm. 提示：把这个台阶问题转化这直角三角形问题，即直角边为20dm 、15dm （为什么是15呢，原来每级台阶宽与高为3dm 、2dm ，于是三级台阶展成平面即为15dm ）的直角三角形斜边长为25dm. 5．956．A ； 7．A ； 8．B ； 9．D ；10．解：这三个村庄围成的三角形,根据常见勾股数知道,这是一个直角三角形,于是△ABC 的面积＝12×5×12＝30，△ABC 的面积＝12×13×BD ∴BD ＝3013，∴修这条公路的最低造价是3013×26000＝60000（元）11．解：连接AC ，在Rt △ABC 中，AC 2=AB 2＋BC 2=32＋42=25， ∴ AC =5. 在△ACD 中，∵ AC 2＋CD 2=25＋122=169， 而 AB 2=132=169，∴ AC 2＋CD 2=AB 2，∴ ∠ACD =90°． 故S 四边形ABCD =S △ABC ＋S △ACD =21AB ·BC ＋21AC ·CD =21×3×4＋21×5×12=6＋30=36. 12. 解：在中，由可知又由常见的勾股数组知,在中,由勾股定理知DC=9.13．分两种情况比较最短距离：第一种是，先爬到DC 棱的中点，再到M ，此时转换到一个平面内，所走的路程是直角边为10cm 、25cm 的直角三角形的斜边的长；第二种是，先抓到BC 棱的中点，再到M ，此时转换到一个平面人，所走的路程是直角边为15cm ，20cm 的直角三角形的斜边的长；由勾股定理比较这两个斜边的平方知，第二种短些，此时最短距离为25cm ．。
北师大版八年级上册数学第一章 勾股定理含答案【参考答案】
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=5，BC=3，那么AC等于（）A. B.3 C.4 D.52、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q。
若QH=2PE，PQ=15，则CR的长为（)A.14B.15C.8D.63、如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD 于F，则PE+PF等于（）A. B. C. D.4、直角三角形的两条直角边长分别为4和6，那么斜边长是（）A.2B.2C.52D.5、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，在图中找出若干个图形，使得它们的面积之和恰好等于最大正方形①的面积．下列方案中，错误的是( )A. B. C. D.6、⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3 cm，则⊙O的直径为（）A.4 cmB.5 cmC.8 cmD.10 cm7、⊙o的半径是13，弦AB∥CD，AB=24，CD=10，则AB与CD的距离是（）A.7B.17C.7或17D.48、如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE=5，BF=3，则CD的长是（）A.7B.8C.9D.109、若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长的平方为（）A.169B.169或119C.169或225D.22510、如图所示，在矩形ABCD中，AD=8，DC=4，将△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF（点,A,B,E在同一直线上），连接CF，则CF=( )A.10B.12C.D.11、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）A. B. C. D.12、如图，在边长为2的正方形中，点为对角线上一动点，于点，于点，连接，则的最小值为（）A.1B.C.D.13、如图，在△ABC中， AB＝3，AC＝2．当∠B最大时，BC的长是（）A.1B.5C.D.14、以下列各数为边长，不能组成直角三角形的是（）A.3，4，5B.4，5，6C.5，12，13D.6，8，1015、如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④S四边＝6＋3 ．其中正确的结论有（）形AOBO′A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(共10题，共计30分)16、如果一个直角二角形的两条直角边的长分别是5和12，那么这个直角三角形斜边长是________。
八年级上册数学第一章勾股定理同步练习(含答案)
第一章勾股定理1.1 探索勾股定理第1课时认识勾股定理1．若△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）若a=6，c=10，则b= ；（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= .2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 .3．直角三角形两直角边长分别为5 cm，12 cm，则斜边上的高为 .4．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则面积为（）.A．30 cm2B．130 cm2C．120 cm2D．60 cm25．轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9 km，由于遇到冰山，只好又向南航行4 km，再向西航行6 km，再折向北航行2 km，最后又向西航行9 km，到达目的地B，求AB两地间的距离.6．一棵9 m高的树被风折断，树顶落在离树根3 m之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？7．折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8 cm，BC=10 cm，求EC的长.参考答案：1．（1）13；（2）8；（3）6，8．2．2.5m．C F60cm．3．134．D．5．25km．6．4．7．3 cm．1.1 探索勾股定理第2课时验证勾股定理1.在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52.（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？2.下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？ ②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？ ③图中（1）（2）的面积之和是多少？④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？ 由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？参考答案1.（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：AC =4，BC =3,S 正方形ABED =S 正方形FCGH －4S Rt △ABC =(3+4)2－4×21×3×4=72－24=25 即AB 2=25，又AC =4，BC =3， AC 2+BC 2=42+32=25 ∴AB 2=AC 2+BC 2（2）如图（图见题干中图）S 正方形ABED =S 正方形KLCJ －4S Rt △ABC =(4+7)2－4×21×4×7=121－56=65=42+722.①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a 为边长的正方形，（2）是以b 为边长的正方形，（3）的四条边长都是c ，且每个角都是直角，所以（3）是以c 为边长的正方形.②图中（1）的面积为a 2,(2)的面积为b 2,(3)的面积为c 2. ③图中（1）（2）面积之和为a 2+b 2.④图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积.因为图乙、图丙都是以a +b 为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a +b )2减去四个Rt △ABC 的面积.由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.1.2 一定是直角三角形吗1.如图在∆ABC 中, BAC = 90, AD BC 于D , 则图中互余的角有 A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对2.如果直角三角形的两边的长分别为3、4，则斜边长为3.已知：四边形ABCD 中，BD 、AC 相交于O ，且BD 垂直AC ，求证：AB CD AD BC 2222+=+。
北师大版八年级数学上册--第一章1.3勾股定理的应用—同步练习(含答案)
10、195 米 2 【思路分析】 设长方形的长为 xm,则根据勾股定理得 x2＝362+152＝ 1521=392,所以 x＝39. 所以这个鱼塘的面积为 39×５＝195 米 2.
三、 11． 450 米 12．设 BD =x，则有：（ 10+x）2+402=（50-x）2，解得 x=15 米 13、解：在直角三角形 ADE中，由勾股定理，得 DE2=AD2+AE2． 在直角三角形 BEC中，由勾股定理，得 EC2=BE2+BC2． 因为 DE=EC，因此 DE2=EC2，所以 AD2+AE2=BE2+BC2． 所以 152+AE2=（ 25－AE）2+102，解得 AE=10（km）
）
A. 正东方向
B. 正南方向
C. 正西方向
D. 正北方向
7.如图，正方形小方格边长为 1,则网格中的△ ABC是 （ ）
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 以上答案都不对
二、填空题 8. 一透明的圆柱状玻璃杯， 底面半径为 10cm,高为 15cm,一根吸管斜放于杯中， 吸管露出杯口外 5cm, 则吸管长为 ________cm. 9.轮船在大海中航行，它从 A 点出发，向正北方向航行 20 千米，遇到冰山后，又折向正东方向航行 15 千米，此时轮船与 A 点的距离为 ______. 10、如图，某农户有一块直角三角形地，两直角边长分别为 15 米和 36 米，靠近这块地 的斜边有一个长方形养鱼塘，已知鱼塘宽 5 米，则这个鱼塘的面积是 _____.
北师大版八年级上册数学第一章 勾股定理 含答案
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知锐角三角形的两边长分别3、4，则第三边长x的取值范围是（）A.1＜x＜7B.1＜x＜5C. ＜x＜5D.1＜x＜2、如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是，堤高BC=10m，则坡面AB的长度是（）A.15mB.C.20mD.3、如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,点B落在点B'处,则重叠部分的面积为( )A.12B.10C.8D.64、下列各组线段能构成直角三角形的一组是( )A.20 30，40，B.5，12，13C.5，9，12D.3，4，65、如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，点E在边AD上，点G在边BC上，点F、H在对角线BD上，若四边形EFGH是正方形，则AE的长是（）A.5B.C.D.6、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC= ，若AD=4，CD=2，则BD的长为（）A.6B.C.5D.7、如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S 2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6．其中S1=16，S2=45，S5=11，S6=14，则S3+S4=（）A.86B.64C.54D.488、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，边AC落在数轴上，点A表示的数是1，点C表示的数是3。
以点A为圆心、AB长为半径画弧交数轴负半轴于点B1，则点B1所表示的数是A.-2B.-2C.1-2D.2 -19、直角三角形两条边长分别是6和8，则连接两条直角边中点的线段长是（）A.3B.5C.4或5D.5或310、如图，将边长为4的正△ABC沿EF折叠，使A点落在边BC上G点，且BG=1，CF=( ）A. B. C. D.11、如图，在中，，为上一点，连接，将沿翻折，点恰好落在上的点处，连.若，，则的长度为（）A. B. C. D.12、如图，在矩形OABC中，0A=8，OC=4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E，则点D的坐标是( )A.(4，8)B.(5，8)C.( ，)D.( ，)13、直角三角形中，两直角边长分别是9和12，则斜边上的中线是（）A.30B.15C.D.14、如图，在中，，，为的平分线，将沿直线翻折得，则的长为（）A.4B.5C.6D.715、如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，点E是BC上一点，且AE=AD，过点D 作DF⊥AE于F.则tan∠CDF的值为（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、的三边分别是6,8,10，则这个三角形的最大内角的度数是________.17、如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，⊙O的半径长为6cm，PO=10cm，则△PDE的周长是________cm．18、已知直角三角形两直角边长分别是5cm、12cm，其斜边上的高是________．19、将面积为2π的半圆与两个正方形拼接成如图所示的图形，则这两个正方形面积的和为________.20、已知两线段长分别为6cm，10cm，则当第三条线段长为________ cm时，这三条线段能组成直角三角形．21、如图，是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高度BC为2.6米，斜坡AB的坡比为1：2.4，现把图中的货物继续向前平移，当货物顶点D与C重合时，仍可把货物放平装进货厢，则货物的高度BD不能超过________米.22、如图，在5×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，设经过图中格点A，C，B三点的圆弧与BD交于E，则图中阴影部分的面积为________.（结果保留）23、如图，某风景区的沿湖公路AB=3千米，BC=4千米，CD=12千米，AD=13千米，其中AB⊥BC，图中阴影是草地，其余是水面。
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B
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3
第一章 勾股定理(1.2-1.3)随堂训练
一、认真填一填 —— 要相信自己．
1. 如果△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，满足2
2
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a b c +=，则这个三角形是_____三角形，其中斜边为______.
2．一个三角形的三边之比为5∶12∶13，且周长为60cm ，则它的面积是__________.
3．在布置新年联欢会的会场时,小虎准备把同学们做的拉花用上,•他搬来了一架高为2.5米的梯子,要想把拉花挂在高2.4米的墙上,•小虎应把梯子的底端放在距离墙________米处. 4．如图1，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ，•A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是_________
B
A
C
图1 图2 图3
5．如图2，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则AC 边上的高的平方是 。
二、细心选一选 —— 要认真考虑．
6．以下面每组中的三条线段为边的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A ．5cm ，12cm ，13cm
B ．5cm ，8cm ，11cm
C ．5cm ，13cm ，11cm
D ．8cm ，13cm ，11cm 7．三角形的三边长a 、b 、c 满足2
2
()2a b c ab +-=，则此三角形是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形
8．小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m 远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水平刚好相齐,河水的深度为( ). A.2.5cm B.2m C.2.25m D.3m
9．如图3是一块长、宽、高分别是6cm ，4cm 和3cm 的长方体木块.一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长的平方是 （ ）
A ．97
B ．109
C ．81
D ．85
三、精心做一做 —— 要注意审题．
10. 如图，三个村庄A 、B 、C 之间的距离分别为AB =5km ,BC =12km ,AC =13km .要从B 修一条公路BD 直达AC .已知公路的造价为26000元/km ，求修这条公路的最低造价是多少？
11. 如图，已知四边形ABCD 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，CD =12，AD =13，求四边形ABCD
的面积.(提示,连结AC) 12．如图，在
中，D 是BC 边上的点，已知
，
，
，
，
求DC 的长．
13．如图,长方体的长BE=15cm,宽AB=10cm,高AD=20cm,点M 在CH 上,且CM=5cm,一只蚂蚁
如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点M,需要爬行的最短距离是多少?
参考答案
1．直角，c ； 2．1202
cm ；3．0.7；
4． 25dm. 提示：把这个台阶问题转化这直角三角形问题，即直角边为20dm 、15dm （为什么是15呢，原来每级台阶宽与高为3dm 、2dm ，于是三级台阶展成平面即为15dm ）的直角三角形斜边长为25dm.
E
B
M
D
C
H
C
F
B
12 5
C 13
D A
5．
95
6．A ； 7．A ； 8．B ； 9．D ；
10．解：这三个村庄围成的三角形,根据常见勾股数知道,这是一个直角三角形,于是△ABC 的面
积＝
12×5×12＝30，△ABC 的面积＝1
2
×13×BD ∴BD ＝3013，∴修这条公路的最低造价是30
13
×26000＝60000（元）
11．解：连接AC ，在Rt △ABC 中，
AC 2=AB 2＋BC 2=32＋42=25， ∴ AC =5. 在△ACD 中，∵ AC 2＋CD 2=25＋122=169， 而 AB 2=132=169，
∴ AC 2＋CD 2=AB 2，∴ ∠ACD =90°． 故S 四边形ABCD =S △ABC ＋S △ACD =21AB ·BC ＋21AC ·CD =21×3×4＋2
1
×5×12=6＋30=36. 12. 解：在
中，由
可知
又由常见的勾股数组知,
在
中,由勾股定理知DC=9.
13．分两种情况比较最短距离：
第一种是，先爬到DC 棱的中点，再到M ，此时转换到一个平面内，所走的路程是直角边为10cm 、25cm 的直角三角形的斜边的长；
第二种是，先抓到BC 棱的中点，再到M ，此时转换到一个平面人，所走的路程是直角边为15cm ，20cm 的直角三角形的斜边的长；
由勾股定理比较这两个斜边的平方知，第二种短些，此时最短距离为25cm ．。