高三数学立体几何的难点突破3常见的补形法
高考数学立体几何专项突破方法
立体几何专项突破立体几何是高考中必考的，它是2+1模式，里面涉及到了22分，会有一道大题，两道选择或者一道选择一道填空。
具体有以下五大部分：一、空间几何体的三视图、表面积与体积这一部分主要是在选择填空以及文数大题的第二问，主要考的点有空间几何体的结构特征、空间几何体的三视图与直观图以及柱体、椎体、台体、球的表面积。
如2019年全国二卷中的第16题，是给了一个南北朝时期的印信，它是一个半正多面体。
让你去求解这个印信有多少面以及它的棱长是多少。
第一问不难，就是在考空间几何体的结构特征，而这个多面体是对称的数时不漏不重就可以。
第二问就需要想象它装在了一个正方体的箱子里，然后画出它的正视图，棱长很容易求解。
这里比较困难的是没有立体图形，需要你自己根据题目去构造、去想象。
这里就需要我们平时在练习的时候多去动手画一些棱锥体，对于一些性质比较好的棱锥（直棱柱、正棱锥...）我们可以放在正方体、长方体里去构造。
还有熟悉球的画法及性质。
二、空间角问题。
对于空间角的问题，首先一定要对线线角、线面角、二面角的定义非常熟悉，任意给你一个立体图形一定能找出这三个角。
线线角主要是空间中异面直线所成角，则需要把两条直线放在同一个平面，主要的方法有平移法：一条不动平移另一条或者两条都平移（例如2017年全国二卷的第10题）。
平移完在计算边时主要两种方法勾股定理和余弦定理。
线面角和二面角都可以转化成线线角，这由它们的定义就可知。
这两个内容主要在大题中出现，由法向量问题可求得。
三、空间中的平行问题平行问题主要涉及线线平行和面面平行。
其中它们的判定定理和性质熟记。
那么解决线面平行的关键是什呢？没有错就是做辅助线，记住以下几条：（1）有了中点找中点，两点一连中位线；（2）直接用中位线找不到所需要的平行线，就需要构造平行四边形，例如2017年全国2卷第19题；（3）平行线分线段成比例（可以简单理解为相似）;（4）直线所在向量与平面的法向量垂直（向量的点积等于0）。
高中数学立体图形解题技巧
高中数学立体图形解题技巧在高中数学中，立体图形是一个重要的考点。
解题时，我们需要掌握一些技巧和方法，以便更好地理解和解决问题。
本文将介绍一些高中数学立体图形解题的技巧和方法，帮助学生和家长更好地应对这一考点。
一、理解立体图形的基本概念在解题之前，我们首先要了解立体图形的基本概念。
立体图形是由点、线、面组成的，具有三维形态的图形。
常见的立体图形包括长方体、正方体、圆柱体、圆锥体和球体等。
我们需要熟悉这些图形的特点和性质，以便在解题过程中能够准确地应用。
例如，假设题目给出一个长方体，我们需要知道长方体的六个面都是矩形，有八个顶点和十二条边。
这些基本概念的理解是解题的基础。
二、利用立体图形的特点解题在解题过程中，我们可以利用立体图形的特点来简化问题。
例如，当我们遇到一个立方体的体积问题时，可以利用立方体的对称性质来简化计算。
假设题目给出一个边长为a的正方体，要求其体积。
我们知道正方体的六个面都是正方形，因此可以利用对称性质，将正方体分为两个相等的部分。
然后，计算一个部分的体积，再乘以2即可得到整个正方体的体积。
三、应用平行面的性质解题在解决与平行面有关的问题时，我们可以利用平行面的性质来简化计算。
例如，当我们遇到一个长方体的表面积问题时，可以利用平行面的性质来简化计算。
假设题目给出一个长方体，要求其表面积。
我们知道长方体的六个面都是矩形，其中相对的两个面是相等的。
因此，我们可以计算一个矩形的面积，再乘以2，再加上另外两个相等矩形的面积，即可得到整个长方体的表面积。
四、利用相似三角形解题在解决与立体图形相似的问题时，我们可以利用相似三角形的性质来简化计算。
例如，当我们遇到一个圆锥体的体积问题时，可以利用相似三角形的性质来简化计算。
假设题目给出一个底面半径为R，高为h的圆锥体，要求其体积。
我们可以利用相似三角形的性质，将圆锥体分为两个相似的部分。
然后，计算一个部分的体积，再乘以2即可得到整个圆锥体的体积。
高中立体几何学习记忆口诀印
高中立体几何学习记忆口诀印高中立体几何学习记忆口诀学好立几并不难，空间观念最关键点线面体是一家，共筑立几百花圆点在线面用属于，线在面内用包含四个公理是基础，推证演算巧周旋空间之中两直线，平行相交和异面线线平行同方向，等角定理进空间判断线和面平行，面中找条平行性已知线和面平行，过线作面找交线要证面和面平行，面中找出两交线线面平行若成立，面面平行不用看已知面与面平行，线面平行是必然若与三面都相交，则得两条平行线判断线和面垂直，线垂面中两交线两线垂直同一面，相互平行共伸展两面垂直同一线，一面平行另一面要让面和面垂直，面过另面一垂线面面垂直成直角，线面垂直记心间立体几何高必考平行垂直体积要记牢中点题目一只眼中位线我们要去找中点找到是关键平行四边形要连接对角线垂直定理记心间圆上直角要出现体积公式最重要转化方法要去看体积转化最简便顶点底面要交换侧面积全面积不一样全面积别忘了上下要加上三视图的原型最难找看到它们就不会了全国卷高考还得考怎么办怎么办算了玩笑归玩笑大学还要考俯视图最重要原型的底面已明了九字真言要记清拉拉拽拽就得分啦球的题目真无聊我们真的真的要放弃啦怎么办怎么办还是别算了算了就没有分啦球的题目不要怕球心找到就行啦球心球心在哪上在外接圆的圆心的高线上《集合与函数》内容子交并补集，还有幂指对函数。
性质奇偶与增减，观察图象最明显。
复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。
指数与对数函数，两者互为反函数。
底数非１的正数，１两边增减变故。
函数定义域好求。
分母不能等于０，偶次方根须非负，零和负数无对数；正切函数角不直，余切函数角不平；其余函数实数集，多种情况求交集。
两个互为反函数，单调性质都相同；图象互为轴对称，Ｙ＝Ｘ是对称轴；求解非常有规律，反解换元定义域；反函数的定义域，原来函数的值域。
幂函数性质易记，指数化既约分数；函数性质看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数；图象第一象限内，函数增减看正负。
高中数学立体几何考点的解题技巧
高中数学立体几何考点的解题技巧高中数学立体几何考点的解题技巧高中数学中立体几何题目是高考数学核心考点，从近几年全国及自主命题各省市高考试题分析，随着课程改革实施范围的扩大，立体几何考题侧重考查同学们的空间概念、逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力。
高考立体几何试题在选择、填空题中侧重立体几何中的概念型、空间想象型、简单计算型问题，而解答题侧重立体几何中的逻辑推理型问题，主要考查线线关系、线面关系和面面关系，及空间角、面积与体积的计算，其解题方法一般都有两种或两种以上，并且一般都能用空间向量来求解。
下面小编为大家整理了高中数学立体几何考点的解题技巧，希望能帮到大家！1、平行、垂直位置关系的论证的策略：（1）由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。
（2）利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。
（3）三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑。
2、空间角的计算方法与技巧：主要步骤：一作、二证、三算；若用向量，那就是一证、二算。
（1）两条异面直线所成的角①平移法：②补形法：③向量法：（2）直线和平面所成的角①作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算。
②用公式计算。
（3）二面角①平面角的作法：（i）定义法；（ii）三垂线定理及其逆定理法；（iii）垂面法。
②平面角的计算法：（i）找到平面角，然后在三角形中计算（解三角形）或用向量计算；（ii）射影面积法；（iii）向量夹角公式。
3、空间距离的计算方法与技巧：（1）求点到直线的距离：经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。
（2）求两条异面直线间距离：一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长。
在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为线面距离求解（这种情况高考不做要求）。
（3）求点到平面的距离：一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算；也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离；有时直接利用已知点求距离比较困难时，我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”。
巧借“补形”思维，妙解立体几何问题
ʏ孙海鹰利用 补形 思维这一桥梁,可以使数学的思维方法更加活跃㊁简捷,应用起来更加灵活㊁多样,能有效培养同学们思维的灵活性㊁独创性㊂利用 补形 思维可以把空间立体几何中的一些不规则形体㊁不熟悉形体㊁残缺形体补成相应的规则形体㊁熟悉形体㊁完整形体等,对解决问题起到化繁为简㊁一目了然的作用,使得数学思维更加灵活,数学知识结构更加完整㊁充实,数学思想方法更加完美㊂一㊁还原补形法例1为了给数学家帕西奥利的‘神圣的比例“画插图,列奥纳多㊃达㊃芬奇绘制了一些多面体,图1所示的多面体就是其中之一㊂它是由一个正方体沿着各棱的中点截去八个三棱锥后剩下的部分,这个多面体的各棱长均为2,则该多面体外接球的体积为()㊂图1A.16πB.8πC.16π3D.32π3分析:对于此类空间立体几何中的不规则形体 多面体,直接处理起来有较大的难度,可借助空间几何体的还原补形法,把该多面体进行还原补形为正方体,结合补形前后对应图形中相关元素的位置关系与变化情况,进行合理分析与运算㊂解:结合图1,把该多面体进行还原补形为正方体,如图2所示㊂图2由所给多面体的棱长为2,可得正方体的棱长为22,那么正方体的中心即为多面体的外接球的球心,所以球心到多面体顶点的距离为(2)2+(2)2=2,即多面体外接球的半径R=2㊂故该多面体外接球的体积V=43πR3=32π3㊂应选D㊂还原是回归问题本质的一种逻辑推理方式㊂在解决一些空间几何体问题中,合理回归,完整地进行还原与补形是解题的关键㊂在处理空间几何体的还原补形时,要注意回归的简单几何体与 补 上去的小几何体之间要素的联系与图形之间的变化,正确构建相互之间的关系,不要出现添加或遗漏㊂二㊁联系补形法例2已知正三棱锥P-A B C,点P,A, B,C都在半径为3的球面上,若P A,P B, P C两两相互垂直,则球心到截面A B C的距离为㊂分析:此类不同空间几何体间(正三棱锥与球)的联系问题,需要进行合理补形,将正三棱锥与球这两种不同的空间几何体联系在一起,使得问题的处理直观易懂,从而便于分析与计算㊂解:由于正三棱锥的侧棱P A,P B,P C5知识结构与拓展高一数学2023年4月Copyright©博看网. All Rights Reserved.两两互相垂直,故以P A ,P B ,P C 为棱补成正方体,如图3所示㊂图3球心O 为正方体的体对角线P D 的中点,且P O =3,则正方体的棱长为2㊂设点P 到平面A B C 的距离为h ㊂根据正三棱锥的体积,借助等体积法得13ˑ34ˑ(22)2㊃h =13ˑ12ˑ2ˑ2ˑ2,解得h =233,所以所求球心到截面AB C 的距离为3-233=33㊂寻找联系是构建不同数学元素之间的桥梁㊂在空间立体几何问题中,抓住不同空间几何体之间的联系,合理补形(如三条侧棱两两互相垂直,可补形为正方体或长方体),使得问题更加直观易求㊂三㊁对称补形法 图4例3 如图4所示,在斜截圆柱中,已知圆柱的底面直径为40c m ,母线最短与最长的分别为50c m ,80c m ,则该斜截圆柱的体积V =㊂分析:此类空间几何体中的残缺形体,属于不太规则的空间几何体,直接求解无从下手,可借助空间几何体的几何特征进行合理的对称补形,将题设条件中的斜截圆柱按斜截面吻合对接,补全为一个完整的圆柱,再利用圆柱的体积公式求解㊂解:将题设条件中的斜截圆柱按斜截面吻合对接,补全为一个完整的圆柱(即斜截圆柱进行翻转对接)㊂由题意知所求体积V =12ˑ(πˑ202)ˑ(50+80)=26000π(c m 3)㊂对称是数学中的一种重要关系,也是充分展示数学美的一种表现形式㊂在解决空间几何体问题时,对于一些特殊的残缺形体,要善于发现图形中的对称关系与几何特征,借助相同图形之间的对称补形法进行化归与转化,对空间想象能力的提升很有帮助㊂编者的话: 补形 思维解决立体几何问题,是整体思想的一种具体体现,可将不规则的㊁陌生的㊁复杂的几何体补成规则的㊁熟悉的㊁简单的几何体(如常见的长方体㊁正方体㊁平行六面体㊁圆柱等),在所补成的空间几何体中研究原几何体的有关元素的位置关系㊁空间角或空间距离的计算等,从而实现问题的顺利解决㊂这类问题,能全面考查数学基础知识㊁基本技能㊁基本思想㊁基本活动经验这 四基 的落实情况,以及发现问题㊁提出问题㊁分析问题和解决问题能力的培养与提升㊂若三棱锥P -A B C 中最长的棱P A =2,且各面均为直角三角形,则此三棱锥外接球的体积是㊂图5提示:根据题意,可把该三棱锥补成长方体,如图5所示,则该三棱锥的外接球即为该长方体的外接球㊂易得外接球的半径R =12P A =1,所以该三棱锥外接球的体积V =43ˑπˑ13=43π㊂作者单位:江苏省江阴中等专业学校高新区校区(责任编辑 郭正华)6知识结构与拓展 高一数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
解决高中数学中的立体几何问题的技巧与方法
解决高中数学中的立体几何问题的技巧与方法高中数学中的立体几何问题是学习者常常遇到的难点之一。
掌握解决这类问题的技巧和方法，有助于提升学习效率和解题能力。
本文将介绍一些解决高中数学中的立体几何问题的技巧与方法，帮助学习者更好地理解和应对这个领域的挑战。
一、画图准确在解决立体几何问题时，准确的图形是解题的基础。
因此，学习者需要养成细心观察和准确描绘图形的习惯。
画图时，应注意每一个线段、角度和形状的相对关系。
可以使用直尺、圆规等工具帮助画出准确的图形，避免出现不必要的错误。
二、理解立体几何基本概念在解决立体几何问题时，理解立体几何的基本概念非常重要。
这些基本概念包括平行、垂直、对称、相似、全等等。
学习者应该熟悉并理解这些概念的几何定义和性质，以便在解题过程中能够准确地运用它们。
三、运用立体几何定理和定律高中数学中有许多立体几何的定理和定律，学习者需要熟悉并灵活运用。
例如，平行线与截线定理可以用来确定平行线与平面的关系；空间中两条垂直平分线的交点在该线段的中点等。
运用这些定理和定律，可以简化解题过程，提高解题效率。
四、利用立体几何等距原理利用立体几何等距原理是解决数学中立体几何问题的重要方法。
该原理指出，如果两个几何体的形状和大小完全相同，则它们的性质和关系也相同。
在解题过程中，如果能够找到两个或多个形状完全相同的几何体，就可以将问题转化为更简单的几何关系，从而更容易解决问题。
五、建立几何模型为了更好地理解和解决立体几何问题，学习者可以尝试建立几何模型。
几何模型能够帮助学习者形象地展示和观察问题，从而更容易找出解题的思路和方法。
通过动手实践建立几何模型，能够增加对立体几何性质和关系的直观认识，提高解题的准确性和效率。
六、多思考、多练习解决立体几何问题需要思维的灵活性和逻辑推理能力。
学习者应该养成多思考、多练习的习惯，通过大量的练习来提高解题的技巧和速度。
在解题过程中，遇到困难或者不理解的地方，可以请教老师或者同学，进行思路的交流和互动，有助于拓宽解题思路和提高解题能力。
高考数学复习点拨 掌握三法,学好立体几何
掌握三法，学好立体几何一题多解是培养同学们创新思维能力的一条有效途径．而要实现一题多解，必须能多角度分析思考，探求多种解题方法．在立体几何学习中，笔者认为向量法、坐标法、综合法是解决立体几何问题的三种方法．向量法是指根据空间向量的根本定理，运用向量的几何意义及向量数量积的概念，解决立体几何问题的方法．坐标法是指根据空间向量的根本定理，通过建立空间直角坐标系，设出点的坐标，来解决立体几何问题的方法．综合法是以逻辑推理作为工具，利用立体几何的知识，运用空间观念，解决立体几何问题的方法．下面两例用上述三种方法解决如下．例1 如图1，在正方体1111ABCD A B C D -中0，E F ，分别为1BB DC ，的中点． 〔1〕求AE 与1D F 所成的角；〔2〕证明：AE ⊥平面11D A F ；分析1：在正方体中，过一顶点的三条边两两垂直，故可建立坐标系，用坐标法解决．解法1〔坐标法〕设正方体棱长为1，建立如图1所示的空间直角坐标系D xyz -．那么111(100)(101)1100(001)22A A E F D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，． 111110101(100)22AE D F D A ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，∴． 〔1〕111011(1)022AE D F =⨯+⨯+⨯-=∵·． 1AE D F ∴·，即1AE D F ⊥． ① AE ∴与1D F 所成的角为90°．〔2〕又110AED A =∵·，11AE D A ⊥∴，即11AE D A ⊥． ② 由①，②得AE ⊥平面11D AF ．分析2：在正方体中，过一顶点的三条边不共面，以此三边为一组基向量，用向量法解决．解法2〔向量法〕设正方体棱长为1，那么由题意及正方体的性质知：110DCDD DA DC DA DD ===···，22111DC DD ==，． （1） 又112AE AB BE DC DD =+=+，11112D F DF DD DC DD =-=-． 1111122AE DF DC DD DC DD ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴·2211113110022422DC DD DCDD =--=--=． 11AE D F AE D F ⊥⇒⊥∴，即AE 与1D F 所成的角为90°．〔2〕又MF ⊥平面11A ABB ，FM AE ⊥∴．AE ⊥∴平面1A MFD ，即AE ⊥平面11A D F ．例2 直三棱柱111ABC A B C -中，190136ACB CB CA AA ∠====，，，°，M 是1CC 的中点，求证：1BA AM ⊥．解法1：建立如图2所示的直角坐标系C xyz -， 那么16(300)(010)00(306)2A B M A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，． 16(316)(30)2BA AM =-=-，，，，，∴． 163(3)(1)0602BA AM =⨯-+-⨯+⨯=∴·， 1BA AM ⊥∴，即1BA AM ⊥． 解法2：111BA BA AA CA CB CC =+=-+，112AM CM CA CC CA =-=-， 221111111111()02222BA AM CA CB CC CC CA CC CA CA CB CC CB CC CA ⎛⎫=-+-=-+--= ⎪⎝⎭·····． 1BA AM ⊥∴，即1BA AM ⊥．解法3：如图2，连结1A C ，在1A AC Rt △与ACM Rt △中，12A A AC AC CM==∵，1A AC ACM Rt Rt ∴△∽△． 1AC AM ⊥∴． 又11111BC CC A A BC AC BC AM BC CC AM CC A A ⊥⊥⎫⎫⇒⇒⊥⎬⎬⊥⊂⎭⎭平面平面∵． 1111AM CA B BA AM BA CA B ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭平面平面∴． 解法4：如图3，延长1CC 到N ，使1MN AA =，连接1A N BN ，得平行四边形1NMAA ，那么1A N BN ，得平行四边形1NMAA ，那么1A N AM∥． 在ACM Rt △中，22292AM AC CM =+=． 同理可求22129102A B BN ==，． 在1BA N △中，22211BN A B A N =+∵，190NA B ∠=∴°，即11BA A N ⊥，1BA AM ⊥∴．从例1、例2还知道，向量法要比坐标法更具一般性，当然运用向量法比运用坐标法更难一点．但是解题中，如果能依据空间向理的根本定理，确定一组基向量，严格地将空间的任一向量都用这一组基向量来线性表示，始终如一地这样练习，我们就能获得向量法解题的一般规律，减少盲目性，增强自觉性，有意识、有目的地训练，就一定能提高解题能力． 当然，向量法和坐标法都有赖于综合法，有赖于立体几何的根底知识、根本定理、法那么的运用，有赖于空间想象能力的培养．综合法对于立体几何中平行与垂直关系的证明，对于空间想象力的锻炼与培养，都是不可缺少的，在教学中笔者坚信：在立体几何学习中，以综合法为根底、以向量法为主导、以坐标法为中心，一定能取得良好的效果．。
解决高考数学中的立体几何难题的方法
解决高考数学中的立体几何难题的方法数学作为高考科目之一，立体几何问题一直以来都是令考生头疼的难题。
立体几何问题需要考生在空间思维和几何知识的基础上进行分析和推理，因此对于很多学生来说，解决立体几何难题仍然是一项艰巨的任务。
本文将介绍几种解决高考数学中立体几何难题的方法，帮助考生提高解题能力。
一、理论知识的掌握在解决立体几何难题之前，首先要掌握必要的理论知识。
考生要熟悉立体几何的基本概念，如点、线、面和体等，了解它们的相互关系和性质。
此外，还需要掌握立体几何的重要定理和公式，如欧拉公式、平行面定理等。
只有掌握了这些理论知识，才能够在解题过程中准确地运用。
二、几何图形的绘制在解决立体几何难题时，绘制几何图形是十分重要的一步。
通过绘制几何图形，可以帮助考生更直观地理解问题，并能够通过观察图形找到解题的突破口。
绘制几何图形时，应尽量保持图形的准确性和美观性，避免出现模糊或错误的情况。
此外，可以使用不同颜色的画笔或标记来标注特定的点、线或面，以便于后续的分析和推理。
三、几何性质的灵活运用解决立体几何难题，考生需要能够熟练地运用几何性质。
在解题过程中，可以通过观察图形找到一些已知的几何性质，并利用它们进行推理。
例如，如果在一个立方体中已知一条棱的长度，那么可以根据立方体的性质算出其他棱的长度。
此外，还可以利用几何性质巧妙地得出一些等式或者比例关系，从而解决问题。
四、问题拆解与归纳解决立体几何难题需要考生善于发现问题的规律和共性。
在遇到较复杂的问题时，可以尝试将问题拆解为若干个简单的子问题进行解决，然后将得到的结论进行归纳总结。
通过反复的分析与归纳，可以帮助考生培养出发现问题本质的能力，并准确地找到解决问题的方法。
五、多做题与思考掌握立体几何的方法和技巧需要不断的实践和思考。
考生可以多做各种类型的立体几何题目，通过反复练习，掌握解题的技巧和思路。
同时，还应该尝试思考一些有一定难度的立体几何问题，通过自主思考和解答，提高自己的解题能力和创新思维。
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高 h = 2 ，∴ VA – = BCD V = A – BEC VC – = ABE 1 h S△ABE 1 2 1 AB BE sin = 1 .
3
3
2
32
B E
法 2：如图，把四面体 ABCD补成三棱柱 ABE– FCD，则面 ABE∥面 CDF，AB∥CF，
A
D
= 5 2，联立以上三式并解之得： a = 4 ， b = 2 ，c = 3. 故 VS – = ABC V 长方体 – 4 VS –
= ABD abc – 4
11
1
abc abc = 8.
32
3
【变式 1】四面体补成长方体求体积
E B
已知四面体 SABC的三组对棱相等，依次为 2 5 、 13 、5，则四面体的体积为
1. 14 . 【解析】 将三棱锥 V ABC 中补成如图所示的长方体，则三棱锥的 V ABC 的外接球即如
图所示的长方体的外接球，球的直径等于长方体的对角线的长
14 ，∴三棱锥外接球的表面积为
4 r 2 14 .
【变式 2】利用三侧棱两两垂直的三棱锥补成长方体求四面体的体积
如图所示，在四面体 ABCD 中， AB , BC , BD 两两垂直，且
V V V 故 = S – ABC
– 4 长方体
S – ABD
= abc – 4
1
1 abc
1 abc = 8.
32
3
【变式 2】四面体补成正方体等积法求点到面的距离
已知正三棱锥 P－ ABC，点 P， A， B，C 都在半径为
3的球面上，若 PA，PB， PC两两相互垂直，则球
心到截面 ABC的距离为 ________．
几种常见的补形法
A 1 四面体的补形法
【例 1】 在四面体 ABCD中，设 AB= 1 ， CD= 3 ，直线 AB与 CD的距离为
B
2，夹角为 ，则四面体的体积等于 ______．
3
E
【解析】 法 1：如图，将四面体 ABCD补成四棱锥 A – BDC，E
且 BE∥ CD， BE= CD，则∠ ABE= 或 2 ， BE= 3 ， CD∥面 ABE，∴ CD与 AB 33
．
1.8 【解析】 如图 , 把四面体 S – ABC补形为长方体 ADBE– GSHC,
设长方体的长、宽、高分别为 a、 b、 c，则有 a2 + b2 = (2 5 ) 2 ，
b2 + c2 = (
13
)
2
，
c
2
+
a2 = 5
2
，联立以上三式并解之得：
a = 4 ， b = 2 ， c = 3.
2
1 又 P 到平面 ABC的距离为 h，则 ×
3 ×(2
2)
2·
h＝
1 ×
1 ×
2×
2×
2.
∴
2 h＝
3 .
34
32
3
【评注】 如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体
; 如果三棱锥的三条侧
棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．
A
1
1
3
1
体积的 V , 平行六面体 = S底 · h = 1 3 sin
2
，故四面体的体积为
.
3
2
3
2
2
C
【评注】 三棱锥补成四棱锥、三棱柱或正方体可以简化求体积，本题将两异
面的直线段构成的四面体用三种不同的补形探究出
. 结论：在四面体 ABCD中，设
AB= a， CD= b，直线 AB与 CD的距离为 h，夹角为 θ ，则四面体的体积为 V
余弦定理求得 x
4.
1
8
V四面体 ABCD = 6
2
2
4= . 3
3. 对棱相等的三棱锥补成长方体
【例 3】已知四面体 SABC的三组对棱相等，依次为 2 5 、 13 、 5，则四面
G
C
体的体积为 .
S
H
【解析】 如图 , 把四面体 S – ABC补形为长方体 ADBE– GSH,C设长方体的
长、宽、高分别为 a、 b、 c，则有 a2 + b2 = (2 5 ) 2， b2 + c2 = ( 13 ) 2， c2 + a2
= 1 abh sin . 6
2. 三侧棱两两垂直的三棱锥补形成长方体
【例 2】已知正三棱锥 P－ ABC，点 P，A，B，C都在半径为 3的球面上，若 PA，PB，
D C
A F
B D
PC两两相互垂直，则正三棱锥 P－ ABC球心到截面 ABC的距离为 ________．
【解析】 正三棱锥补成正方体如图， 可知球心 O为体对角线 PD的中点， 且 PO＝ 3，
R2
a2＋ b2＋ c2 l 2
＝
＝ ( l 为长方体的体对角线长 ) ．
4
4
【变式 1】利用四个面为直角三角形的三棱锥补成长方体求外接球
的面积
V
在 三 棱 锥 V A B C中 ， VA 底 面 ABC ， ABC 90 ， 若
A
B
C
1
VA 1, AB 2, BC 3 ，则三棱锥外接球的表面积为 _______．
且 CF = 1，则 AB与 CD的距离就是平面 ABE与平面 FCD的距离，即三棱柱的高 h = 2， C
2
且∠ DCF= 或 .
33
D
1
∴ V 柱 = S△FCD · h =
பைடு நூலகம்
CD CF sin
3 2，
2
3
2
故四面体的体积为
1 V柱
1
.
3
2
法 3：如图，把四面体 ABCD补成平行六面体，则四面体的体积是平行六面体
AB BC 2 ， E 是 AC 的中点，异面直线 AD 与 BE 所成角的
D
Q
余弦值为 10 ，则四面体 ABCD 的体积 . 10
G
H
B A
2. 8 【解析】 依题意把 AB , BC, BD 视为长方体一角的三条
E
3
C
F
棱，将四面体 ABCD 补成长方体 CFAB GHQD . 如图，连结
GF , BF ，则 GFB 就是异面直线 AD 与 BE 所成角，设 BD x , 则 BG2 GF 2 x2 4, BF 2 8 ，由