第二章 飞行器运动方程
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第二章 飞行器运动方程(2)
d ( V ) T V0 dt V
0
cos( 0 T ) Q0 SM 0
0
C D M
0
2C D 0 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0 S V / m
C D T0 sin( 0 T ) Q0 S G cos 0 / mV0 T T
V s
T S
2 K V TV1 S 1 TV S2 2V TV s 1
2 2 P
2 P TP S 1 TS2S2 2S TSS 1
纵向运动的传递函数
s s q s -K T1 S 1 T2S2 2 T S 1 -K
Xv X 0 X v v Zv Z 1 0 q ( M v M Z v ) ( M M Z ) ( M q M ) 0 q 0 0 1 0 0 X T Z e 0 e ( M e M Z e M T T 0 0
0 dH
线性化处理步骤二
d ( V ) T m dt V Q0 S C D 0 cos( 0 T ) a M
0 0
2C D 0 Q0 S V V0
C D T0 sin( 0 T ) Q0 S G cos 0 T T T H cos( 0 T ) T 0
飞行控制系统
第二章 飞行器运动方程 (二、飞机的纵向运动）
§2、飞机的纵向运动
一、纵向运动方程式
飞行动力学飞机方程
xydm Ixy
表示惯性积
依据假设 Ixy=Izy=0 ，H 的各分量
H
x
H y
pI x qI y
rI xz
代入
dH dt
1H
dH dt
H
H x dt
pI x rI xz
dH y dt
qI y
dH z dt
rI z pI xz
由于
i jk
H p q r i(qH z rH y ) j(rH x pH z ) k ( pH y qH x )
1.地轴系与机体轴系间的方向余弦表
o
xg
x
cos cos
y
cos sin sin- sincos
z
cos sin cos+sinsin-
yg sincos sin sin sin+cos cos sin sin cos-cos sin
zg -sin cos sin cos cos
表中，oxyz为机体轴系， oxgygzg为地轴系
—动坐标系对惯性系的总角速度向量
—表示叉积，向量积
1H —沿动量矩 H 的单位向量
dV , dH dt dt
—对动坐标系的相对导数
1.力方程
F
m
dV dt
dV dt
1V
dV dt
V
V 和 用机体坐标系上的分量（u,v,w；p,q,r）表示
V iu jv kw, ip jq kr
三个力方程 三个力矩方程 飞机六自由 度动力学
线性方程 增量方程
m
d u dt
( X u
)0 u
( X
)0
( X
)0
m
飞机运动微分方程2
2.2.9.2 推力在体轴系上的分量
xb
安装角τ
发动机 推力T zb
对称面
发动机推力矢量T一般位于飞机对称面 内，其方向与体轴系xb轴构成安装角τ 。 故其在体轴系上投影分量如下：
⎧Tx ⎫ ⎧ TCτ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨Ty ⎬ = ⎨ 0 ⎬ ⎪T ⎪ ⎪− TS ⎪ τ⎭ ⎩ z ⎭b ⎩
滚转角φ
机 体 坐 标 系
L bg
⎡ Cθ Cψ ⎢ x y z = L bg (φ )L bg (θ )L bg (ψ ) = ⎢ Sθ Sφ Cψ − Cφ Sψ ⎢ Sθ Cφ Cψ + Sφ Sψ ⎣
Cθ Sψ Sθ Sφ Sψ + Cφ Cψ Sθ Cφ Sψ − Sφ Cψ
− Sθ ⎤ ⎥ Sφ Cθ ⎥ Cφ Cθ ⎥ ⎦
2.2.10 机体坐标系下刚性飞机动力学/运动方 程总结与讨论
机体系速度分量与地面坐标系速度分量运动学变换关系 (3个方程)
⎧u ⎫ ⎧ xC ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ yC ⎬ = LTbg (ψ , θ , φ )⎨ v ⎬ ⎨ ⎪ w⎪ ⎪z ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ C⎭
A = − D i a + C ja − L k a
空气动力在机体坐标 系上的投影表达: 对称面 za(升力L) VC
α
xb
β
xa (阻力D)
A = Ax i b + Ay jb + Az k b
气动坐标系 (Oxayaza)
ya (侧力C) 总变换矩阵 机体坐标系 Lba = L y (α ) Lz (− β ) (Oxbybzb)
Cθ Sψ Sθ Sφ Sψ + Cφ Cψ Sθ Cφ Sψ − Sφ Cψ − Sθ ⎤ ⎥ Sφ Cθ ⎥ Cφ Cθ ⎥ ⎦
《飞行控制系统》第二章 飞行器运动方程(1+2+3)
一、动力学方程
动力学方程——以动力学为基础， 描述力与力矩平衡关系的方程，亦即 为考虑在体轴系下运动参数与力、力 矩的方程。（由于体轴系为动坐标系， 所以建方程时既要考虑相对运动，又 要考虑绝对运动。
一、动力学方程式
动力学方程式是描述飞机所受力、力矩与飞机运 动参数间关系的方程，显然包括两组方程：
dLx dt
pI x
rIxz
dLy dt
qI y
dLz
dt
rIz
pIxz
i jk
L p q r i qLz rLy j rLx pLz k pLy qLx
Lx Ly Lz
（2）、角运动方程式
将合力矩沿机体坐标系分解
q c5 pr c6 ( p2 r2 ) c7M
r (c8 p c2r)q c4L c9 N
式中 ci 定义参见书P55
飞机动力学方程式
取机体座标系作为动座标系 力矩的平衡方程式：
L M
pI x qI r
rI xz pr(I x
qr(I z Iz)
Ir (p
)
2
pqI xz r 2 )I xz
N rI z pI xz pq(I r I x ) prI xz
力平衡方程式：
F
m
dv dt
Fx
Fy
Fz
X
Y
Z
(u wq vr)m (v ur wp)m (w vp up)m
绕 oz 轴转 得到 x1 y1z g
第二章_飞行器运动方程(3)
飞行控制系统
第二章 飞行器运动方程 (三）飞机的横侧向运动
§3、飞机的横侧运动
横侧运动
横侧运动包括横滚，偏航，侧移（侧偏）三个 自由度的运动；操纵机构是副翼 δa ，方向舵δr
选用坐标系： 选用坐标系：选机体轴系 运动参量： 运动参量：
滚转角速率 p，偏航角速率 r， 侧滑角
β
，滚转角
φ
基准运动的运动参量特点：
po =γo =φo =ψo = βo = 0
Y = Lo = No = 0 o
产生侧力的因素
重力G 重力G的投影 当飞机俯仰 角 θ ≠ 0 ，而滚转 角 φ = 0 时，重力G 时，重力G 在Y轴上的投影为0； 轴上的投影为0 而当飞机俯仰 角 ，而滚转 角 θ ≠ 0 时，重力 G在φ轴上的投影为 Y ≠0
a
[
]
飞机侧力小扰动方程式： 飞机侧力小扰动方程式：
t
u =V cosα cos β 0 v =V sin β 0
由 ∑F = m(v +ur −wp) w=V sin α cos β & 0 Y 得到 m(d∆v +V0∆r) = ∆Ya +Gcosθ sin φ
dt β d∆ m 0( V +∆ ) = ∆ a +Gcosθ sin φ r Y dt
飞机向右滚转时，右翼产生一个向下的速 飞机向右滚转时， 度微小增量 ∆V，左翼产生相应的向上的微小 速度增量∆V 于是右翼迎角增加 ∆ ，左翼 。 α 减小 ∆ 。由于迎角增加，右翼升力增加 α 由于迎角增加， 左翼升力减小 L− ∆L。这个升力差产 L+ ∆L 生一个绕ox轴的滚转力矩 轴的滚转力矩。 生一个绕ox轴的滚转力矩。由于这个力矩的 方向始终与p的方向相反，是阻止p增加的， 方向始终与p的方向相反，是阻止p增加的， 因而叫阻尼力矩。 因而叫阻尼力矩。
第二章 飞行器运动方程 (三）飞机的横侧向运动
§3、飞机的横侧运动
横侧运动
横侧运动包括横滚，偏航，侧移（侧偏）三个 自由度的运动；操纵机构是副翼 δa ，方向舵δr
选用坐标系： 选用坐标系：选机体轴系 运动参量： 运动参量：
滚转角速率 p，偏航角速率 r， 侧滑角
β
，滚转角
φ
基准运动的运动参量特点：
po =γo =φo =ψo = βo = 0
Y = Lo = No = 0 o
产生侧力的因素
重力G 重力G的投影 当飞机俯仰 角 θ ≠ 0 ，而滚转 角 φ = 0 时，重力G 时，重力G 在Y轴上的投影为0； 轴上的投影为0 而当飞机俯仰 角 ，而滚转 角 θ ≠ 0 时，重力 G在φ轴上的投影为 Y ≠0
a
[
]
飞机侧力小扰动方程式： 飞机侧力小扰动方程式：
t
u =V cosα cos β 0 v =V sin β 0
由 ∑F = m(v +ur −wp) w=V sin α cos β & 0 Y 得到 m(d∆v +V0∆r) = ∆Ya +Gcosθ sin φ
dt β d∆ m 0( V +∆ ) = ∆ a +Gcosθ sin φ r Y dt
飞机向右滚转时，右翼产生一个向下的速 飞机向右滚转时， 度微小增量 ∆V，左翼产生相应的向上的微小 速度增量∆V 于是右翼迎角增加 ∆ ，左翼 。 α 减小 ∆ 。由于迎角增加，右翼升力增加 α 由于迎角增加， 左翼升力减小 L− ∆L。这个升力差产 L+ ∆L 生一个绕ox轴的滚转力矩 轴的滚转力矩。 生一个绕ox轴的滚转力矩。由于这个力矩的 方向始终与p的方向相反，是阻止p增加的， 方向始终与p的方向相反，是阻止p增加的， 因而叫阻尼力矩。 因而叫阻尼力矩。
第二章-3 飞行动力学-飞机的横侧运动+飞机方程
四、气动导数变化对横侧动力学特性的影响
1.滚转阻尼模态 时间常数与飞机横滚阻尼气动导数Clp成反比 Clp大，滚转阻尼特性好；过大，副翼操纵滚转困难，飞机进 入盘旋太慢，影响盘旋机动性能； 超音速飞机一般都是小展弦比机翼，Clp小，滚转阻尼特性不 好，因此有必要加人工阻尼。 2.荷兰滚模态 航向静稳定性越大，荷兰滚模态固有频率越高； Cl太大，会降低荷兰滚阻尼。 3.螺旋模态
重力 倾斜 产生 的侧 力
横侧向方程
偏航角不产生力或力矩，仅为几何关系
写成p算子形式
式中各大导数：
二、横侧向扰动运动与三种模态
纵向运动时的同一飞机，以M=0.9.高度h=11000m作定常平飞， 各参数及气动导数如下(对稳定轴系》:
代入方程
扰动运动 控制输入为0：a=r=0
拉氏变换后得代数方程:
三、空速、高度变化对横侧动力学的影响
1.荷兰滚模态
荷兰滚模态的简化特征方程 由于 ，荷兰滚模态的固有频率为：
与空速成正比
阻尼比： 2.滚转阻尼模态
都正比于
滚转阻尼模态传递函数的时间常数为： TL与V0成反比。
3.螺旋模态 螺旋模态小实根的近似表示式
由于 远远大于其他项，所以 螺旋模态时间常数与飞行速度成正比
特征多项式：
特征根：
扰动运动的解
一对共挽复根代表振荡运动模态 大负根代表滚转快速阻尼模态 小根(可正可负)代表缓慢螺旋运动的模态 飞机横侧扰动运动由此三种典型模态线性叠加而成
经拉氏反变换，（设0=1）得
都受振荡模 态影响
1.滚转阻尼模态
飞机受扰后的滚转运动，受到机翼产生的较大阻尼力矩的阻 止而很快结束。这是由于大展弦比机翼的滚转阻尼导数Clp大， 而转动惯量Ix较小所致。对应一个大的负实根。
飞行器质心运动方程
内容绪论1.1 作用在飞机上的外力1.3 常用坐标系及其转换1.4 飞机质心运动方程小结本章作业1.1；1.2；1.3；1.4；1.5；1.7；1.8；1.9绪论飞行动力学=飞行性能+飞行品质研究飞机的飞行性能和飞行轨迹特性时，可将飞机视为一可控的质点来处理。
可控：是指飞机的飞行轨迹是可以人为改变的，而轨迹的改变取决于作用于飞机上的外力的改变。
绪论质点运动：通过偏转操纵机构，使飞机的合力矩为零；研究飞机的飞行轨迹和飞行性能时可以把飞机视为质点运动。
力矩平衡作为运动的约束条件。
质点系运动：合力矩不为零。
研究飞机飞行品质时将其视为质点系运动。
1.1.1 升阻特性1.1.2 发动机推力TJ G 从飞行性能的角度，假设操纵面偏转可使力矩平衡，但将其最大平衡能力作为约束。
实际还常忽略操纵面偏转对力平衡的影响。
外力一般不通过质心，它将引起绕质心转动的力矩L J GD JG W JJ G T J G 'L J G 1.1作用在飞机上的外力1.1作用在飞机上的外力在常规飞行性能问题中，假设飞行无侧滑，视侧力为零升力系数阻力系数侧力系数2L L V SC ρ=2D D V SC ρ=2CC V S C ρ=升力和阻力系数主要取决于马赫数、雷诺数、迎角、侧滑角以及飞机的外形马赫数的物理含义？雷诺数的物理含义？迎角的定义?侧滑角的定义?9马赫数：指空气的压缩性效应；低速空气流场不相互影响，高速时则前后相互影响。
9雷诺数:指飞机的尺寸效应；即飞机的尺寸大小会影响飞机的气动特性，一般飞机在真实大气中飞行时，其雷诺数在1000万以上。
这就是研究飞机气动特性时，要建立大尺寸风洞和进行飞行试验研究的原因。
DO1. 升力特性（1）定义升力是飞机上的空气动力的合力在飞机纵向对称平面上垂直于飞行速度方向的分力。
向上为正。
飞机的最大的升力系数约1.2—1.5；采用增升装置后，飞机的最大的升力系数约2.2—3.0。
1. 升力特性0)L L L C αδαα−+升力线斜率,与翼型、机翼平面形状、M 数有关,即~M ,λ, χ零升迎角，取决于机翼有效弯度和M 数,即~M ,f升力部件有翼－身组合体和平尾。
01_飞机的一般运动方程
0 1 L qh 0 cos s 0 sin s
0 sin s cos s
coscos Ltq sin cos sin
sin cos 0
cos sin sin sin cos
2015/10/7 5
无人驾驶飞机：无人飞机和微型无人飞机
最大尺寸微型飞行器
英国的“Sender”无人机
微型飞行器和小尺寸无人机的尺寸对比
2015/10/7 6
“黑寡妇”微型飞机
“微星”微型飞机
2015/10/7
7
特殊航空器：微型扑翼和旋翼飞机
加州理工大学的“微型蝙蝠” 微型扑翼飞机
美国加州大学：扑翼机（翼展 200mm，总重11.5克，微型电 机驱动
10
三、飞机的主要组成部分及其功能
2015/10/7
11
机翼 ：产生升力 ，机翼上一般有用于横向操 纵的副翼和扰流片；机翼前后缘部分还设有各 种形式的襟翼，增加升力 尾翼：水平尾翼和垂直尾翼；V型尾翼；水平尾 翼一般有水平安定面和升降舵组成；垂直尾翼 一般有垂直安定面和方向舵组成；超音速飞行 时通常采用全动水平尾翼（差动）；鸭翼 机身：容纳人员、货物或其他载重和设备；要 求流线；飞翼式飞机取消机身。 起落架：起飞降落（机轮、滑撬、浮桶）
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17
半机体坐标系Oxbybzb ：O在质心, Oxb沿飞 行速度矢量 V 在飞机对称平面投影方向， Oyb在对称平面内，垂直于Oxb向上（因而与 Oyq重合），Ozb垂直于飞机对称平面（与轴 Ozt重合）。
2015/10/7
18
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图2-2
19
航迹坐标系 Oxhyhzh ： O 在质心， Oxh与 Oxq一 致，Oyh在包含飞行速度矢量V的铅垂面内， 指向上， Ozh 垂直于 Oxhyh（因而使水平的）， 指向右。
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2 2 绕x轴的转动惯量： ( y z ) m I x 2 2 绕y轴的转动惯量： (x z ) m I y
绕z轴的转动惯量： (x y ) m I z
2 2
惯性积：
xy m I yz m I xz m I
xy yz xz
I yx I zy I zx Nhomakorabea
直，向右为正。绕地轴系oyg轴。
：为沿 oz g轴的向量，向下为正。 ：在水平面内与 ox 轴在水平面上的投影相垂
：沿ox轴向量，向前为正。绕机体轴ox
p、q、r为飞机绕机体三轴的角速度。 当 0, 0时，没有一个角速度分量是水 平或垂直的。
, 向机体三轴投影的话，只有 , 把
由于飞机具有一个几何和质量的对称面，根据各自由度之间 的耦合强弱程度，可将六个自由度的运动分成对称平面内和非对称 平面内的运动
（1）纵向运动（对称平面内运动）： 速度的增减 质心的升降 绕ｙ轴的俯仰角运动
（２）横侧向运动（非对称平面内运动）：
质心的侧向移动 绕ｚ轴的偏航角运动
绕ｘ轴的滚转角运动
由假设飞机质量不变的刚体，惯性矩和惯性积为常量
Lx x rI xz pI t Ly y qI t Lz z z pI xz rI t
dL L 动量矩公式 1L Ω L dt t 第二项： i j k
2 I x ( I x I y ) I xz I 1 2 c7 , c8 , c9 x , I x I z I xz . Iy
在操纵舵面锁定的条件下，建立了外合力及外合力矩作用下的飞 机动力学方程组。
Fx vr wq g sin u m
Fy ur wp g cos sin v 力方程组 m Fz w uq vp g cos cos m
(c1r c2 p)q c3 L c4 N p 2 2 c5 pr c6 ( p r ) c7 M 力矩方程组 q (c8 p c2 r )q c4 L c9 N r
[( y 2 z 2 ) p xyq xzr ] m L [( x 2 z 2 )q yzr xyp] m [( x 2 y 2 )r xzp yzq ] m p ( y 2 z 2 ) m q xy m r xz m q ( x 2 z 2 ) m r yz m p xy m r ( x 2 y 2 ) p xz q yz m m m
由于飞机有Oxz对称平面 I xy I yx I yz I zy 0;I xz I zx 0
所以动量矩L在动坐标系内分量可以表示为：
Lx pI x rI xz Ly qI y L rI pI z z xz
以上假设适用于：飞行速度不高（Ma<3）,大气层内飞行 的飞行器
2）飞行器运动的自由度
刚体飞机的六自由度描述：
（1）质心的位移（线运动）： 飞行器的质心沿着地面坐标系的三个轴向的位移 飞行速度的增减运动、升降运动和侧移运动
（２）质心的转动（角运动）：
飞行器的绕机体坐标系三个轴的转动 俯仰角运动、偏航角运动和滚转角运动
第二项表示为（牵连加速度）
i
j
k
Ω V p q r i ( wq vr ) j (ur wp ) k (vp uq ) u v w
则有加速度在动坐标系（机体系）分解如下
dV wq vr ) j (v ur wp) k ( w vp uq ) i (u dt
５）运动学方程组
运动学方程式是描写飞机相对地轴系下的位置 及状态角的，也包括两种方程：
角位置运动学方程式
、 的关系 给出p、q、r与 、
线位置运动学方程
给出地轴系与体轴系间线速度关系 。
X
Yg
Xg
p O q r
Y
Z Zg
姿态角变化率的方位图
由图可知：
的全部，p,q,r都包含 的投影分量。 p包含 , 与p,q,r的关系。 0 求 , 为简单起见，先令 加上可得： 再将
0 0 cos 0 sin 0 p 1 q 0 cos sin 0 1 0 0 r 0 sin cos sin 0 cos 0
δ6
zt2
摆动发动机
x
z δ8
４）动力学方程组
选坐标系—机体系 飞机六自由度运动包括飞机绕三轴的转动（状态变化），
及飞机三个线位置的变化，所以在建立六自由度方程时，应
选机体坐标系。（好处是转动惯量便于计算和分析，缺点是
要考虑牵连运动）
动力学方程式是描述飞机所受力、力矩与飞机运动参 数间关系的方程，显然包括两组方程。
dL M dt
选择质心为动坐标系（机体坐标系）的原点，则在动坐 标系内表示的动量矩
L dL m (r V ) m
式中，r为单元质量 m对原点的向径，V为质点系的速度向量
将关系式 r ix jy kz， ip jq kr, 和 V r 带入动量矩表达式
dL L 动量矩公式 1L Ω L dt t 第一项：
Ly Lx Lz L 1L i j k t t t t
由此得到下列关系式
Lx x pI x rI xz rI xz pI t Ly y qI y qI t Lz z rI z pI xz pI xz rI t
注:合外力包括 气动力、推力、重力
将空气动力 系）内分解为 有：
R
和发动机推力向动坐标系（机体坐标
（Fx , Fy , Fz ) ，再利用重力在动坐标系的分解
外力改变飞行状态（速度）
Fx vr wq g sin u m
Fy ur wp g cos sin v m Fz w uq vp g cos cos m
合外力
F
向动坐标系（机体坐标系）分解
dV F m dt iX jY kZ
dV 代入 dt
X：切向力；Y： 侧向力；Z：法向力。
wq vr ) X m(u Y m(v ur wp ) vp uq ) Z m( w
在质量m为常量，且地面坐标系为惯性系的假设下：
力平衡方程式：
（理论依据―牛顿第二定律）
dV F ma m dt
力矩的平衡方程式：
（理论依据―动量矩定理）
dL M dt
假设动坐标系相对惯性坐标系的速度为Ｖ，总角速度向量为
dV V 1V Ω V dt t
用动坐标系表示绝对参数变化
dL L 1L Ω L dt t
1V 沿飞行速度V的单位向量,1L 为沿动量矩L的单位向量
V L 和 表示在动坐标系内的相对导数 t t
dV dL , 表示对惯性坐标系的绝对导数 dt dt V 是牵连加速度 表示向量叉积
将Ｖ和
在动坐标系（机体坐标系）中分解
V iu jv kw
Ω L p Lx
q Ly
r i (qLz rLy ) j (rLx pLz ) k ( pLy qLx ) Lz
则有动量矩导数在动坐标系（机体系）分解如下
dL L 1L Ω L dt t x rI xz qr ( I z I y ) pqI xz ) i ( pI y pr ( I x I z ) ( p 2 r 2 ) I xz ) j (qI z pI xz pq ( I y I x ) qrI xz ) k ( rI
i, j, k动坐标系x、y、z轴单位向量
Ω ip jq kr
用机体系表示绝对参数变化时
dV V 1V Ω V dt t
绝对参数变化 相对导数
牵连运动
第一项表示为（相对加速度）
V u v w jv kw 1V i j k iu t t t t
地地导弹控制系统的主要任务是修正轨迹
小扰动线性化方程与冻结系数法 飞机与导弹的操纵面 水平转弯／侧滑转弯（ＳＴＴ）、倾斜转弯（ＢＴＴ） 利用升力和侧力控制导弹的飞行轨迹 利用推力矢量控制
燃气舵 摆动发动机 摆动喷管
y δ7 zt3
δ2 δ 3 xj2 o δ1 δ5 zt1 zt4 xj1 δ4
外力矩向动坐标系（机体坐标系）进行分解
M iL jM kN
由动量矩定理
dL M dt
回忆飞行器外力矩（气动力矩和推力 矩，重力不参与力矩分解）在机体坐 标系中的分解：俯仰、滚转、偏航； 回忆静稳定性的概念。
得到在动坐标系中飞行器在外合力矩作用下的角运动方程
整理得到
x rI xz qr ( I z I y ) pqI xz L pI 2 2 y pr ( I x I z ) ( p r ) I xz M qI z pI xz pq ( I y I x ) qrI xz N rI
３）飞机和导弹的运动特点
飞机和在大气层中飞行的导弹有很多共性，关于飞机