固体物理学：第五章 第四节 输运现象
孙会元教授主编的固体物理基础第五章固体的输运现象课件5.1 玻尔兹曼方程
dt, k k dt, k k dt; t) d f ( x vx dt, y vy dt, z vz dt; kx k x y y z z
也就是这部分电子是漂移过来的，所以： f f f f f f f vx v y vz kx ky kz x y z k k k t 漂 x y z
f f f f f f f 推导： vx v y vz kx ky kz x y z k k k t 漂 x y z
利用多元函数的泰勒展开,且只取到dt的线性项
f ( x x, y y， ) f ( x, y， ) ( x y } f ( x, y ) x y
dt, k k dt, k k dt; t ) 右 f ( x vx dt, y vy dt, z vz dt; kx k x y y z z
f ( x, y, z; k x , k y , k z ; t ) {v xdt v ydt v zdt x y z kx dt k y dt k z dt } f (x , y , z ; k x , k y , k z ;t ) kx k y kz
与位置 r 有关系，通常是由
温度梯度
r 变化
化学势变化
电子分布函数f 与波矢 k 有关系，也就是与
f 变化
能量有关系，从费米分布函数的表达式就可以 理解。 电子分布函数f 与时间t有关系，是因为外力的 作用使得波矢依赖于时间，即： 在外电场E 和磁场 B 中,电子的运动规律是： dk F e(E v B) dt
[理学]输运现象
![[理学]输运现象](https://img.taocdn.com/s3/m/d5bf93ce551810a6f52486d3.png)
§3-1
黏性现象的宏观规律
当系统各部分的宏观物理性质如流速、温 度或密度不均匀时，系统就处于非平衡态。在 不受外界干预时，系统总要从非平衡态自发地 向平衡态过渡，这种过渡为输运过程。
一、层流与牛顿黏性定律 在流动过程中，相邻质点的轨迹彼此稍 有差别，不同流体质点的轨迹不相互混杂， 这样的流动为层流。层流发生在流速较小时.
互扩散是发生在混合气体中，自扩散是互扩散的一 种特例。它是一种使发生互扩散的两种气体分子的差异 尽量变小，使它们相互扩散的速率趋于相等的互扩散过 程。例如同位素之间的互扩散。
二、菲克定律
d dM D dtA dz
dt时间内通过面积 为A的气体质量
（3.11）
二、菲克定律
d dM D dtA dz 一维粒子流密度 JN（单位时间内在单位
截面上扩散的粒子数）与粒子数密度梯度
dn 成正比。 dz D为扩散系数，单位为 m2s-1 。负号表示粒 子向粒子数密度减少的方向扩散。若在与扩散方 向垂直的流体截面上 粒子流密度JN 处处相等。
dn JN D dz
量密度梯度的关系
dM d D A dt dz
(3-11)
上式表示单位时间内气体扩散的总质量与质
流体作层流时，通过任一平行流速的截面 两侧的相邻两层流体上作用有一对阻止它们相 对滑动的切向作用力与反作用力，使流动快的 一层流体减速，这种力为黏性力（内摩擦力）
z
u0 B
df´
dA df u=u(z)
C
u=0
x
对于面积为 dA 的相邻流体层来说，作用在上一层流 体的阻力 df´必等于作用于下一层流体 df 的加速力。
工程物理学中的输运现象和热力学平衡
工程物理学中的输运现象和热力学平衡工程物理学是应用物理学的一个分支，它是以物理学原理为基础，研究各种物质在现实工程中的应用问题。
其中，输运现象和热力学平衡是工程物理学中非常重要的概念。
一、输运现象输运现象指的是物质在空间中的传输过程，通常包括扩散、迁移和传热等现象。
在工程中，我们经常需要处理涉及到物质输运现象的问题。
例如，在材料科学与工程领域中，研究材料的扩散性质，发展新的材料和制造方法；又例如，在环境科学与工程领域中，研究污染物在水和大气中的传输与转化过程，制定相应的污染控制政策。
扩散是一种随机的过程，它通常被描述为物质在单位时间和单位面积上发生的传输量。
在物理学中，扩散常常被描述为浓度梯度的驱动下的物质输运过程。
扩散系数不但取决于物质的本身性质，同时也取决于环境因素，如温度、湿度等等。
对于液态系统中的扩散过程，我们通常使用弗克定律来描述；而对于气体系统中的扩散过程，我们通常使用菲克定律来描述。
此外，有些情况下，扩散会被其它输运过程所支配，如对流、电迁移或热迁移等。
另一种输运现象是迁移，它指的是特定物质在介质中的运动。
与扩散不同，迁移通常与化学反应直接相关。
例如，在自然界中腐殖质迁移对环境恢复和土壤肥力很重要，而在核污染等重大环境事件中，放射性物质的迁移也成为近些年来研究的热点之一。
传热则是指热量从高温区传向低温区的过程。
传热常常被描述为热传导、辐射和对流的综合效应。
其中，热传导是指热量通过物质内部的传导作用传输；而辐射则是指热能通过电磁波辐射传输；对流则是指通过流体本身的运动将热量从一处传到另一处。
二、热力学平衡热力学平衡是物质系统所处的一种状态，表现为系统各部分的物理量不再改变，系统处于一定的稳定状态。
它是热力学第二定律的基础之一。
在工程物理学中，我们常常研究物质系统的热力学平衡，以优化系统的效率和稳定性。
物质系统的平衡状态通常需要满足一些平衡条件。
例如在液体-气体界面上，表面张力要满足传播角度的最小化，才能使体系达到表面平衡状态。
福州大学固体物理第五章
2
2
εK
k
(k x k y k z )
2m
2m
这就是色散关系，能量随波矢的变化是抛物线函数。
对于一个三维晶体，需要的量子数为：
(1)波矢k（三个分量kx、ky、kz）
(2)自旋量子数 ms 1
2
给定了 k 就确定了能级，k 代表同能级上自旋相反的
一对电子轨道。
在波矢空间自由电子的等能面是一个球面
2 2
εk
(k x k y2 k z2 )
2m
在波矢空间是一球面方程，不同能量的等能面是一
系列同心球面。
➢费米能级和费米面：
在T=0K时,电子的能级与轨道填充时有两个原则:
① 先填能量低的能级
② 服从泡利原理
在T=0K时，由N个电子组成的自由电子系
2
1
3
相应的费米能：
2
kF
2
EF
(3 2 n) 2 / 3
2me
2m
2
也是由电子气的密度唯一地决定。
费米速度：
k F
vF
(3 2 n)1/ 3
m
m
也唯一决定于电子气密度，电子气的密度越大，
F .VF .k F
都越大。
思考： 晶体膨胀时，费米能级如何变化？
如一些典型金属的费米面参数：
面，即E到E+dE之间的体积，可以转化为半径k
到k+dk的两个球面之间的体积。转化公式：
k 2mE /
在波矢空间，波矢为k的球的球体体积为：4/3πk3，
每个k值占的体积为(2π/L)3，每个k又对应自旋相反的一
对电子，则：
4.输运过程
3 润湿与不润湿现象的应 用 拿钢笔蘸墨水写字 用焊药将金属表面的氧化层洗干净 不润湿的材料做成不透水的雨衣和帐篷 润湿与不润湿现象在采矿工业 上有一个重要应用—— 浮选法 A —送进矿浆的管子 B —滴下“捕收剂” 油药的容器 C —用螺旋桨打入空 气的装置 D — 有用矿石和无用 矿石分开的地方
输运过程与相变 §1 气体中的输运过程 一 迁移现象的宏观解释 1 粘滞现象 定义：相邻两层流体因流速不同有相对运动 时，沿接触面互施切向力（粘滞力）的现象
负号表示流动动量 沿Z的负方向传递，即 表明流动动量总是朝着 流速减小的方向传递
d dk fdt dSdt dZ
f AB
z u B mu B B f
3 一个处于真空中的容器中装有一种具有级低挥 发性的并能完全润湿玻璃的油.其表面张力系数为 α,若在油中插入一根半径为r的玻璃毛细管,求在管 中油上升的高度的1/3处的油中的压强
{
PA PO r PB PO R
h ( ) g R r
PB PA gh
f l
f f f l ( )
=6.0×10-3N
f l
A R
R
E —含有金矿的泡沫
4 毛细现象 ①液体润湿管壁的情形
2 p A p0 R
p B p A gh
2 p0 gh R p B pC p 0
r为毛细管的半径
B点与A点的高度差 为h
2 gh R
r R cos
θ为接触角
2 cos gh r 2 cos h gr
则球形凸液面内液体的压强为
2 p内 p0 R
孙会元教授主编的固体物理基础第五章固体的输运现象课件5.4 热导率和热电势
1 取n=0,略去高次项得： 0 Q( ) vk dS F 3 12π
1 0 vk dS F 3 12π
与上一节得到的立方体的电导率： 1 e2 3 4π
2 vx 1 2 2 e 0 sF vk dSF e 12π3 sF vk dSF 比较得：
所以，0可通过的测量来获得。
进一步可以得到 1和 2
1 2 2 1 π (kBT ) 0 ( ) 3
1 2 2 π (k BT )2 0 ( ) 3
n
2 π2 f0 2 Q Q( ) d Q( ) (kBT ) ( 2 ) 6
f0
1 e( ) / kBT 1
f 0 e( ) / kBT 1 2 2 ( ) / kBT T kB T e 1 e( ) / kBT 1 2 ( ) / kBT kBT T e 1
对于 1 来说,相应的Q为：
1 n 其中：Q( ) v ( ) dS 3 k k 12π
1 Q( ) ( ) vk dS F ( ) 0 ( ) 3 12π
( ) Q( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( )0 ( ) 2 0 ( ) ( ) 0 ( ) Q( ) 0
f 0 1 n ( ) 其中： n v dSd 3 k k 12π
对于金属来说，我们在第一章已经讨论
f 0 ( ) 过， 函数的特点具有类似于函数的性质，
仅在 附近 kBT 的范围内才有显著的值，且是
第四章燃烧中的输运现象
第四章 燃烧中的输运现象燃烧过程是物理与化学相互作用的过程。
其中质量、动量以及能量交换起着十分重要的作用。
质量、动量以及能量交换取决于燃烧过程中的浓度梯度、速度梯度以及温度梯度，服从费克（Fick ）扩散定律、牛顿（Newton ）粘性定律以及傅立叶（Fourier ）热传导定律[1]。
在本书附录F 中对这三个定律、特别是对费克扩散定律及多组分扩散系数计算方法做了详细介绍。
§4-1 定 义对燃烧过程进行定量处理要求了解一些基本概念和定义，本节将对这些概念和定义进行描述。
化学反应是碰撞分子间原子的交换或重组。
在化学反应过程中，例如以下反应O H CN OH HCN 2+→+，原子（与燃烧相关的原子主要有N O H C 及,,）是守恒的，即它们不会创造也不会消失。
另一方面，分子（例如，O H CN OH HCN 2,,,）不是守恒的。
反应物的分子式重新组合生成燃烧产物分子，同时释放热量。
与化学工程不同，在燃烧工程中主要对反应热感兴趣。
原子和分子可以很方便地用物质的数量或者摩尔数（单位为mol ）计数。
1摩尔化合物含有2310023.6×个粒子（原子，分子等）。
相应地，阿佛加德罗常数12310023.6−×=mol N A 。
在多种物质的混合物中物质i 的摩尔分数i x 指的是物质i 的摩尔数i n 在混合物总摩尔数∑=i n n 中所占的比例(n n x i i =)。
质量m 是物质的一个基本特性（国际单位制中单位为kg ）。
质量分数Y i 指的是物质i 的质量i m 在混合物总质量∑=i m m 中所占的比例(m m Y i i =)。
物质i 的摩尔质量（又称分子量）i M （单位为mol g ）是1mol 该种物质的质量。
例如，碳原子，氢分子，氧分子及甲烷分子的摩尔质量分别为：mol g M C 12=，mol g M H 22=，mol g M O 322=，mol g M CH 164=。
热学 (4 第四章 气体内的输运过程)
内摩擦系数。
C 小镜 B A
旋转黏度计
17
18
19
二、热传导现象的宏观规律 热传导 (heat conduction)
当系统内各部分的温度不均匀时，就有热量从 温度较高的地方传递到温度较低的地方，由于温差 而产生的热量传递现象。
傅立叶定律
dN
1
N0ex/ dx
13
§5-2 输运过程的宏观规律
一、黏性现象的宏观规律
当气体各层流速不同时，通过任一平行于流速的截面，相 邻两部分气体将沿平行于截面方向互施作用力，结果使得 流动慢的气层加速，使流动快的气层减速。这种相互作用 力称为内摩檫力，也叫做粘滞力。这种现象称为内摩檫现 象，也叫做黏性现象。
5）、采用不同近似程度的各种推导方法的实质是
相同的。
31
理性气体内部压强的微观解释
从微观的角度看来, 理想气体内部的压强 实质上是由于垂直于截面方向的热运动 动量交换引起的
1 n dSdt
2m
6
dK 1 n dSdt2m
6
p dK 2 n(1 m 2 )
dSdt 3 2
32
二、热传导现象的微观解释
并且单位体积中各有 n 的分子沿 + z, - z
方向运动。
6
27
这样,在dt 时间内,从 dS一侧跑到另一侧 的分子数为
dN 1 n v dt dS 6
z
z0
z0
z0
u u0
pz
dS
pz
x
u0
（2）假设分子越过 dS 面之前都是在离 dS 面距离
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
它不是k的对称函数。
假定外场并不影响能带结构v(k)=-v(-k)，那么
此时样品中有电流流过。 晶体中，除了点阵周期势对电子的散射之外，没有另 外的碰撞机制，那么整个分布函数将在k空间无休止 地漂移。导致布洛赫振荡。 电阻的来源一定时晶体中存在非周期因素，包括
第五章 金属电子论
§5.4 输运现象
如果系统中存在温度、浓度、电势等强度量的不均 匀性，那么将导致能量、粒子束、电荷数等广延量 的流动，这就是输运现象。
晶体某个方向存在温度梯度、浓度梯度，电势梯度， 则输运过程中的热流通量、粒子流通量、电流通量 有如下关系：
这就是所谓的热导、扩散和电导现象，其系数分别是热导 系数，扩散系数和热导系数，它们取决于晶体的内禀性质。
漂
碰
1. 漂移
f(k,r,t)看做相空间(k,r)中的流体密度，那么 分别是k坐标和r坐标的漂移速度分量，根据流体 力学中的连续性方程，有
漂
因为
漂
漂移描述了两次碰撞间的纯动力学行为， 并不导致不可逆因素。
2. 碰撞 碰撞对应于不可逆过程，它迫使系统趋于平衡分布。 由于声子或杂志的散射，粒子可以从k态跃迁至k’态. 假定θ(k’,k)和θ(k,k’)分别是单位时间有k到k’和由k’到k 得散射概率。假定散射过程中电子的自旋不变，那么 在单位时间从k态散射到所有自旋相同的k’的净减概 率为
V(k)是电子的群速度，f(k)是k空间的分布函数。
如果分布函数f(k)不受电场影响，则维持平衡态下的 分布函数：
由E(k)=E(-k)得到 分布函数是关于k对称的。
另外，
得到
它是关于k反对称的，因此，有5.4.2可知：
即在平衡态下，电流是0。
实际上，在外场E的作用下，程意味着输运过程是一个扩散过程，能量、离 子和电荷不是简单地从样品一段直接到达另一端，而是受 到频繁地碰撞，否则无论样品多长，通量都将不依赖于温 度、浓度和电势梯度，而仅仅依赖于样品两端的温度、浓 度和电势差。
一、非平衡态分布函数
自由电子模型下的漂移速度理论出发，讨论了电导问 题，这是一个非常简单的理论。严格地应该考虑到晶 体的能带结构以及电子按照能量的分布，电导公式：
假定τ是每个小区域的驰豫时间，T是整个系统的驰 豫时间，我们关心的时间尺度是
一般分布函数除了是k的函数外，也是空间坐标r，时 间t的函数，写为f(k,r,t)，它表示一个系统中的粒 子t时刻在（k,r)六维空间中的分布概率。 考虑分布函数f(k,r,t)随时间的变化，一方面系统位 置空间的不均匀性和外场的作用导致分布函数的漂移， 另一方面，碰撞也可以导致分布函数的变化，这两方 面要分开处理：
1. 晶格振动引起的声子对电子的无规散射，它是 温度的函数。
2. 晶体中的缺陷和杂质对电子的无规散射。
电导过程中，一方面，电子的外场下被加速，使得系统偏离平 衡位置。另一方面，散射使电子失去在外场中获得的定向运动。 这种不可逆的因素产生两种效应，一是能量耗散，二是使得系 统趋于平衡。
在恒定电场下，漂移和碰撞的共同作用使得系统处于一种定态， 假定碰撞的平均驰豫时间是τ，那么分布函数偏离平衡态： 得到一个非平衡态的定态分布函数。
是k’态未被占据的概率
从所有k’态散射到k态的净增概率为：
两部分的差就是碰撞导致的分布函数的变化
碰
把5.4.14和5.4.17代入5.4.11：
这就是描述分布函数随时间变化的波尔兹曼方程。
对于定态问题：
得到定态波尔兹曼方程
在5.4.18和5.4.19中
分别是温度梯度和化学势梯度。 考虑到纯粹的电导到问题，不存在温度梯度和化学势 梯度，而F=-eE，则有
二、波尔兹曼方程
一旦确定非平衡态分布函数f(k)，就可以计算电流 密度。波尔兹曼方程就是考虑分布函数在漂移和碰 撞作用下的变化规律而建立的，它是处理一切输运 问题的出发点。
我们讨论的是近平衡态的情况，即系统中每个宏观 小，微观大的区域达到平衡态，但整个系统处于非 平衡态。这种局域平衡的假设，是处理非平衡态问 题的基础。