2018高考数学模拟练习三(含详细解答)

2018高考数学模拟练习三（难）一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合M={x|2x-1＜1，x∈R}，N={x|log2x＜1，x∈R}，则M∩N等于（）A.[3，4）B.（2，3]C.（1，2）D.（0，1）2.设a＞0，b＞0，则“a＞b”是“lna＞lnb”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件3.“”是“”的（）A.必要且不充分条件B.充分且不必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件4.若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里任意取出1个球，设取出的白球个数为ξ，则下列概率中等于的是（）A.P（ξ=0）B.P（ξ≤2）C.P（ξ=1）D.P（ξ=2）5.复数z满足（z-3）（2-i）=5i（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面上所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.如图在一个60°的二面角的棱上有两个点A，B，线段分别AC、BD在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，且AB=AC=a，BD=2a，则CD 的长为（）A.2aB.aC.aD.a7.函数的图象大致是（）A. B. C. D.8.将三角函数向左平移个单位后，得到的函数解析式为（）A. B. C.sin2x D.cos2x9.已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A.4B.5C.6D.710.用数学归纳法证明不等式1+++…+＜n（n∈N，且n＞1）时，不等式的左边从n=k到n=k+1，需添加的式子是（）A.+++…+B.C.+D.+++…+11.已知双曲线C1：=1（a＞0，b＞0）的左顶点为M，抛物线C2：y2=-2ax的焦点为F，若在曲线C1的渐近线上存在点P使得PM⊥PF，则双曲线C1离心率的取值范围是（）A.（1，2）B.C.（1，+∞）D.12.设函数，若a，b满足不等式f（a2-2a）+f（2b-b2）≤0，则当1≤a≤4时，2a-b的最大值为（）二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知实数x，y满足不等式组，则z=的最大值是 ______ ．14.已知x5=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+a4（x+1）4+a5（x+1）5，则a4= ______ ．15.已知向量的夹角为，则= ______ ．16.已知A，B，C，D在同一个球面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB=6，，AD=8，则B，C两点间的球面距离是 ______ ．三、解答题(本大题共7小题，共84.0分)17.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若．（1）求角A的大小；（2）已知，求△ABC面积的最大值．18.如图，三棱柱ABF-DCE中，∠ABC=120°，BC=2CD，AD=AF，AF⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：BD⊥EC；（Ⅱ）若AB=1，求四棱锥B-ADEF的体积．19.某校高一年级举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值；（2）估计本次竞赛学生成绩的中位数和平均分；（3）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的面积为，椭圆C的离心率为（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数λ，使得+λ=4，求m的取值范围．21.已知函数f（x）=（ax-1）e x，a∈R，e是自然对数底数．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1）上是单调增函数，求实数a的取值范围．(选做部分）22.已知函数f（x）=|x-a|．（Ⅰ）若a=1，解不等式：f（x）≥4-|x-1|；（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为[0，2]，+=a（m＞0，n＞0），求mn的最小值．23.已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ+4sinθ，P点极坐标为，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系x O y，在平面直角坐标系中，直线l经过点P，倾斜角为．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．答案和解析【答案】1.D2.D3.A4.C5.D6.A7.D8.D9.B 10.A 11.B 12.B13.214.-515.-1016.17.解：（1）因为，所以（2c-b）cos A=acos B由正弦定理，得（2sin C-sin B）cos A=sin A sin B，整理得2sin C cos A-sin B cos A=sin A cos B所以2sin C-cos A=sin（A+B）=sin C在△ABC中，sin C≠0，所以（2）由余弦定理cos A==，a=2．∴b2+c2-20=bc≥2bc-20∴bc≤20，当且仅当b=c时取“=”．∴三角形的面积S=bcsin A≤5．∴三角形面积的最大值为518.（Ⅰ）证明：三棱柱ABF-DCE中，AF⊥平面ABCD．∴DE∥AF，ED⊥平面ABCD，∵BD⊂平面ABCD，∴ED⊥BD，又ABCD是平行四边形，∠ABC=120°，故∠BCD=60°．∵BC=2CD，故∠BDC=90°．故BD⊥CD．∵ED∩CD=D，∴BD⊥平面ECD．∵EC⊂平面ECD，∴BD⊥EC；（Ⅱ）解：由BC=2CD，可得AD=2AB，∵AB=1，∴AD=2，作BH⊥AD于H，∵AF⊥平面ABCD，∴BH⊥平面ADEF，又∠ABC=120°，∴BH=，∴．19.解：（Ⅰ）根据已知设椭圆的焦距2c，当y=c时，|MN|=|x1-x2|=，由题意得，△MNF2的面积为|MN|×|F1F2|=c|MN|=，又∵，解得b2=1，a2=4，椭圆C的标准方程为：x2+．（Ⅱ）当m=0时，则P（0，0），由椭圆的对称性得，∴m=0时，存在实数λ，使得+λ=4，当m≠0时，由+λ=4，得，∵A、B、p三点共线，∴1+λ=4，⇒λ=3⇒设A（x1，y1），B（x2，y2）由，得（k2+4）x2+2mkx+m2-4=0，由得x1=-3x23（x1+x2）2+4x1x2=0，∴，⇒m2k2+m2-k2-4=0显然m2=1不成立，∴∵k2-m2+4＞0，∴，即．解得-2＜m＜-1或1＜m＜2．综上所述，m的取值范围为（-2，-1）∪（1，2）∪{0}20.解：（Ⅰ）因为f'（x）=（ax+a-1）e x，所以当a=1时，f'（x）=xe x，令f'（x）=0，解得x=0，f x f x所以x=0时，f（x）取得极小值f（0）=-1，（Ⅱ）因为f（x）=（ax+a-1）e x，函数f（x）在区间（0，1）上是单调递增函数，所以f'（x）≥0对x∈（0，1）恒成立，又e x＞0，所以只要ax+a-1≥0对x∈（0，1）恒成立，要使ax+a-1≥0对x∈（0，1）恒成立，因为x＞0，所以对x∈（0，1]恒成立，因为函数在（0，1）上单调递减，只要，所以a的取值范围是[1，+∞）．21.解：（Ⅰ）函数f（x）=|x-a|．当a=1时，不等式为|x-1|≥4-|x-1|，即|x-1|≥2，解得：x-1≥2或x-1≤-2，即x≥3或x≤-1，∴原不等式的解集为（-∞，-1]∪[3，+∞）；（Ⅱ）f（x）≤1的解集为[0，2]，即f（x）≤1⇔|x-a|≤1⇔-1≤x-a≤1⇔a-1≤x≤a+1，∵f（x）≤1的解集为[0，2]∴．∴，∴mn≥2，（当且仅当即m=2，n=1时取等号）∴mn的最小值为2．22.解：（1）曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为x2+y2-2x-4y=0，化为标准方程为：（x-1）2+（y-2）2=5，P化为直角坐标为P（0，3），（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得，整理得：，显然有△＞0，则t1+t2=-+1，t1t2=-3，|PA|+|PB|=，所以=．…（10分）23.解：（1）由题意可知，样本容量n==50，y==0.004，x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030；（2）设本次竞赛学生成绩的中位数为m，平均分为，则[0.016+0.03+（m-70）×0.040]×10=0.5，解得m=71，=（55×0.016+65×0.030+75×0.040+85×0.010+95×0.004]×10=70.6，（3）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2．抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）．其中2名同学的分数都不在[90，100]内的情况有10种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a3，a4），（a3，a5），（a4，a5），∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率P=1-=．【解析】1. 解：集合M={x|2x-1＜1，x∈R}={x|x-1＜0}={x|x＜1}，N={x|log2x＜1，x∈R}={x|log2x＜1=log22}={x|0＜x＜2}，∴M∩N={x|0＜x＜1}=（0，1），故选：D．分别运用指数不等式和对数不等式的解法，结合指数函数和对数函数的单调性，化简集合A，B，再由交集的定义，计算即可得到所求．本题考查集合的交集运算，注意运用指数不等式和对数不等式的解法，结合指数函数和对数函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．2. 解：a＞0，b＞0，则“a＞b”⇔“lna＞lnb”．因此a＞0，b＞0，则“a＞b”是“lna＞lnb”的充要条件．故选：D．利用对数函数的单调性即可得出．本题考查了对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．3. 解：由“”，解得：x＞0，故“”是“”的必要不充分条件，故选：A．分别求出“”和是“”解，根据集合的包含关系判断即可．本题考查了充分必要条件，考查指数函数以及集合的包含关系，是一道基础题．4. 解：在甲袋内装有8个白球、4个红球，在乙袋内装有6个白球、6个红球，现从两袋内各任意取出•个球，基本事件总数为：n=C121C121，设取出的白球个数为ξ、由等可能事件概率计算公式得概率中等于是P（ξ=1）故选：C由等可能事件概率计算公式即可判断本题考查概率的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．5. 解：由（z-3）（2-i）=5i，得，∴=2-2i在复平面上所对应的点的坐标为（2，-2）在第四象限．故选：D．把已知的等式变形，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，得到其坐标得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．6. 解：∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴==0，∵＜，＞=60°，∴＜，＞=120°．∵=++，∴2=2+2+2+2+2•+2•=a2+a2+4a2+0+2×a×2a×cos120°+0=4a2．∴||=2a．故选：A．由已知可得=++，利用数量积的性质即可得出．熟练掌握向量的运算和数量积运算是解题的关键．7. 解：函数是偶函数，排除B，x=e时，y=e，即（e，e）在函数的图象上，排除A，当x=时，y=，当x=时，y=-=，，可知（，）在（）的下方，利用函数的奇偶性排除选项，特殊值的位置判断求解即可．本题考查函数的图象的判断与应用，考查转化思想以及计算能力．8. 解：将三角函数向左平移个单位后，得到的函数解析式为y=sin[2（x+）+]=cos2x，故选：D．利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9. 解：由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6=5．故选：B．由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，即可得出结论．本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算等知识，着重考查了转化与化归的数学思想．10. 解：当n=k时，左边=1+++…+，当n=k+1时，左边=1+++…+++…+，两式相减得：+…+，故选：A．分别写出n=k、n=k+1时不等式左边的表达式，然后相减即得结论．本题考查数学归纳法，注意解题方法的积累，属于中档题．11. 解：在曲线C1的渐近线上存在点P使得PM⊥PF，即以MF为直径的圆与渐近线有交点，M（-a，0），圆心，由点N到渐近线的距离小于等于半径，即3b≤c，解得．故选：B．通过垂直关系，求出圆的圆心坐标，利用圆心到直线的距离小于半径，列出关系式求解即可．本题考查双曲线的简单性质以及圆心性质的应用，考查计算能力．12. 解：函数，定义域为R，且对于任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=ln（+x）+ln（-x）=ln（x2+1-x2）=0，∴函数y=f（x）定义域R上的为奇函数；由f（a2-2a）+f（2b-b2）≤0可得f（a2-2a）≤-f（2b-b2）由函数为奇函数可得式f（a2-2a）≤f（-2b+b2）；又∵f′（x）=＜0恒成立，∴函数f（x）为R上的减函数；∴a2-2a≥-2b+b2，即a2-b2-2（a-b）≥0，整理可得，（a+b-2）（a-b）≥0，所表示的平面区域即可行域如图所示的△ABC；令Z=2a-b，则Z表示2a-b-Z=0在y轴上的截距的相反数，由图可知，当直线经过点A（1，1）时Z最小，最小值为Z=2×1-1=1，当直线经过点C（4，-2）时Z最大，最大值为2×4-（-2）=10．故选：B．判定函数f（x）是定义域R上的奇函数，且为单调减函数，把不等式f（a2-2a）+f（2b-b2）≤0化为a2-2a≥-2b+b2，即（a+b-2）（a-b）≥0，再由1≤a≤4得出不等式组，画出不等式组表示的平面区域即可行域，利用目标函数Z=2a-b，求出Z的最大值即可．本题主要考查了复合函数的单调性与奇偶性的综合应用问题，也考查了不等式表示平面区域的确定，以及用线性规划求目标函数的最值问题．13. 解：作出不等式组对应的平面区域如图则z=的几何意义为动点P到定点Q（-1，-1）的斜率，由图象可知当P位于A（0，1）时，直线AQ的斜率最大，此时z==2，故答案为：2．作出不等式组对应平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，以及直线的斜率公式是解决本题的关键．14. 解：x5=[（x+1）-1]5=（x+1）5+（x+1）4（-1）+（x+1）3（-1）2+（x+1）2（-1）3+（x+1）1（-1）4+（-1）5而x5=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，所以a4=×（-1）=-5．故答案为：-5．将x5转化[（x+1）-1]5，利用二项式定理展开，使之与f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5进行比较可得所求．本题主要考查了二项式定理的应用，解题的关键是利用x5=[（x+1）-1]5展开，是基础题目．15. 解：∵向量的夹角为，∴=2•-||2=-6-4=-10，故答案为：-10根据向量的数量积公式计算即可．本题考查了向量的数量积公式，属于基础题16. 解：如图，易得，，∴，则此球内接长方体三条棱长为AB、BC、CD（CD的对边与CD等长），从而球外接圆的直径为，R=4则BC与球心构成的大圆如图，因为△OBC为正三角形，则B，C两点间的球面距离是．故答案为：．先求BC的距离，求出∠BOC的值，然后求出B，C两点间的球面距离．本题考查球的内接体问题，考查空间想象能力，是基础题．17.（1）把条件中所给的既有角又有边的等式利用正弦定理变化成只有角的形式，整理逆用两角和的正弦公式，根据三角形内角的关系，得到结果．（2）利用余弦定理写成关于角A的表示式，整理出两个边的积的范围，表示出三角形的面积，得到面积的最大值．本题考查正弦定理和余弦定理，本题解题的关键是角和边的灵活互化，两个定理的灵活应用和两角和的公式的正用和逆用．18.（Ⅰ）证明ED⊥BD，BD⊥CD．推出BD⊥平面ECD．然后证明BD⊥EC；（Ⅱ）作BH⊥AD于H，求出高BH=，然后求解几何体的体积．本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，几何体四棱锥B-ADEF的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19.（Ⅰ）根据已知设椭圆的焦距2c，当y=c时，|MN|=|x1-x2|=，由题意得，△MNF2的面积为|MN|×|F1F2|=c|MN|=，又∵，解得a、b即可．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（0，y0），分类讨论：当m=0时，利用椭圆的对称性即可得出；m≠0时，直线AB 的方程与椭圆的方程联立得到△＞0及根与系数的关系，再利用向量相等，代入计算即可得出．本题考查椭圆的标准方程的求法，考查了椭圆的简单性质、涉及直线与椭圆相交问题，常转化为关于x的一元二次方程，利用△＞0及根与系数的关系、向量相等等基础知识与基本技能方法求解，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．20.（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数f（x）的单调区间，从而求出f（x）的极值即可；（Ⅱ）问题转化为只要ax+a-1≥0对x∈（0，1）恒成立，分离参数得到对x∈（0，1]恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．21.（Ⅰ）当a=1时，化简不等式，去绝对值即可求解．（Ⅱ）根据不等式的解集求出a的值，利用基本不等式的性质求解最小值．本题考查了函数绝对值不等式的解法，去掉绝对值是关键．同时考查了基本不等式的性质的运用．属于基础题．22.（1）利用三种方程的转化方程，即可写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）将参数方程代入曲线C的直角坐标方程，及参数的几何意义，即可得到的值．本题考查直线的参数方程和应用，考查韦达定理和运用，考查基本的运算能力，属于中档题．23.（1）由样本容量和频数频率的关系易得答案；（2）根据平均数的定义和中位数的定义即可求出．（3）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2，列举法易本题考查列举法求古典概型的概率，涉及频率分布直方图．。