一、基变换公式与过渡矩阵
线性代数-基变换与坐标变换
问题：在 n 维线性空间 V中，任意 n 个线性 无关的向量都可以作为 V 的一组基．对于不同的 基，同一个向量的坐标是不同的．
那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什 么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐 标如何改变呢？
设1,2 , ,n及1, 2 , , n是线性空间Vn的
1 , 2
,
,n
P
x2'.
xn
xn'
x1 x1'
即
x2
P
x2'
.
xn xn'
由 于 矩 阵P可 逆, 所 以
x1'
x1
x2'
P
1
x2 .
xn'
xn
例1 在 P[ x]3中取两个基
1 x3 2 x2 x, 3 x3 2 x2 x 1, 及 1 2 x3 x2 1, 3 2 x3 x2 x 2,
过渡矩阵 P是可逆的．
二、坐标变换公式
定理1 设Vn中的元素 ,在基1 , 2 , , n下的坐标
为
( x1 , x2 , , xn )T ,
在基1 , 2 ,
,
下的坐
n
标为
( x1', x2 ', , xn ')T ,
若两个基满足关系式
1, 2, , n 1,2, ,n P
则有坐标变换公式
x1 x1'
x1'
x1
x2
P
x2'
,
或
x2'
P
1
x2 .
xn xn'
xn'
线性代数知识点总结(中)
线性代数知识点总结（中）向量（一）向量的概念及运算1、向量的内积：（α，β）=αTβ=βTα2、长度定义：||α||=3、正交定义：（α，β）=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+…+anbn=04、正交矩阵的定义：A为n阶矩阵，AAT=E A-1=AT ATA=E|A|=±1（二）线性组合和线性表示1、线性表示的充要条件：非零列向量β可由α1，α2，…，αs线性表示(1)非齐次线性方程组（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=β有解。
(2)r（α1，α2，…，αs）=r（α1，α2，…，αs，β）（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验）2、线性表示的充分条件：（了解即可）若α1，α2，…，αs线性无关，α1，α2，…，αs，β线性相关，则β可由α1，α2，…，αs线性表示。
3、线性表示的求法：（大题第二步）设α1，α2，…，αs线性无关，β可由其线性表示。
（α1，α2，…，αs|β）初等行变换（行最简形|系数）行最简形：每行第一个非0的数为1，其余元素均为0（三）线性相关和线性无关1、线性相关注意事项：（1）α线性相关α=0（2）α1，α2线性相关α1，α2成比例2、线性相关的充要条件：向量组α1，α2，…，αs线性相关（1）有个向量可由其余向量线性表示；（2）齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0有非零解；（3）r（α1，α2，…，αs）＜s即秩小于个数特别地，n个n维列向量α1，α2，…，αn线性相关（1）r（α1，α2，…，αn）＜n（2）|α1，α2，…，αn|=0（3）（α1，α2，…，αn）不可逆3、线性相关的充分条件：（1）向量组含有零向量或成比例的向量必相关（2）部分相关，则整体相关（3）高维相关，则低维相关（4）以少表多，多必相关推论：n+1个n维向量一定线性相关4、线性无关的充要条件向量组α1，α2，…，αs线性无关（1）任意向量均不能由其余向量线性表示；（2）齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0只有零解（3）r（α1，α2，…，αs）=s特别地，n个n维向量α1，α2，…，αn线性无关r（α1，α2，…，αn）=n|α1，α2，…，αn|≠0矩阵可逆5、线性无关的充分条件：（1）整体无关，部分无关（2）低维无关，高维无关（3）正交的非零向量组线性无关（4）不同特征值的特征向量无关6、线性相关、线性无关判定（1）定义法（2）秩：若小于阶数，线性相关；若等于阶数，线性无关【补充】（1）在矩阵左边乘列满秩矩阵（秩=列数），矩阵的秩不变；在矩阵右边乘行满秩矩阵，矩阵的秩不变。
线性代数教案-向量与向量空间
线性代数教学教案第3章 向量与向量空间授课序号01 教 学 基 本 指 标教学课题 第3章 第1节 维向量及其线性运算课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 维向量的概念、向量的线性运算的性质教学难点 向量的线性运算的性质 参考教材 同济版《线性代数》作业布置 课后习题大纲要求 理解维向量的概念 教 学 基 本 内 容一． 维向量的概念1．维向量：由个数组成的有序数组称为维向量.2．称为维行向量，称为维列向量. 二．维向量的线性运算1．定义：（1）分量全为0的向量称为零向量；（2）对于，称为的负向量； （3）对于，，当且仅当时，称与相等；（4）对于，，称为与的和；（5）对于，，称为与的差； （6）对于，为实数，称为的数乘，记为.2．向量的线性运算的性质：对任意的维向量和数，有：n n n n n n n a a a ,,,21 n ),,,(21n a a a n 12⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n a a a n n ()12T n αa ,a ,,a = ()12---Tn a ,a ,,a αT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β),,2,1(n i b a i i ==αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =βT n n b a b a b a ),,,(2211+++ αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β()1122---Tn n a b ,a b ,,a b αβT n a a a ),,,(21 =αk T n ka ka ka ),,,(21 ααk n γβα，，l k ,（1）;（2）;（3）;（4）;（5）;（6）;（7）；（8）.三．例题讲解例1． 某工厂两天的产量(单位:吨)按照产品顺序用向量表示,第一天为第二天为求两天各产品的产量和.αββα+=+)()(γβαγβα++=++αα=+00-αα=αα=⋅1αα)()(kl l k =βαβαk k k +=+)((k l )αk αl α+=+1(15,20,17,8),=T α2(16,22,18,9),=T α授课序号02 教 学 基 本 指 标教学课题 第3章 第2节 向量组的线性关系 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关的定义，向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法教学难点 有关线性相关、线性无关的证明 参考教材 同济版《线性代数》作业布置 课后习题大纲要求 1．理解向量的线性组合与线性表示。
矩阵论公式定理总结
定理 2.2.1 数域 P 上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有
相同的维数。
子空间（略） 定理 2.3.2 两个向量组生成相同子空间的充要条件是它们等价。 定理 2.3.3 dim L(1 , 2 ,, r ) rank (1 , 2 ,, r ) （其中
L(1 , 2 ,, r ) 是由 1 , 2 ,, r 生成的空间）
定理 2.3.4 设 W 是数域 P 上的 n 维线性空间 V 的一个 m 维子空间，
1 , 2 ,, m 是 W 的一个基， 则这组基向量必定可扩充为线性空间 V 的
基， 即在 V 中必定可找到 n m 个向量 m1 , m 2 ,, n ， 使得 1 , 2 ,, n 是 V 的一个基。此定理通称为基的扩充定理。
行列式的降阶定理 定理 1.6.1 设 A 和 D 分别为 n 阶及 m 阶的方阵，则有
A C A D CA1B ,当A可逆时; D D A BD 1C ,当D可逆时. B
定理 1.6.2 设 A，B，C，D 皆为 n 阶方阵，且满足 AC=CA，则
A C B D AD CB
的系数矩阵
a11 a A 21 a s1 a12 a1n a22 a2 n as 2 asn
的秩 r<n,则方程组必有非有非零解。
定理 1.3.2 n 阶方阵 A 的行列式 A 0 的充要条件 rank(A)<n 定理 1.1.3 矩阵 A 的秩为 r 的充要条件是 A 中至少有一个 r 阶子式
有解的充要条件为 rank ( A) rank ( B) 。其中
a11 a21 A as1 a11 a21 B as1
基变换与坐标变换
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5 14 11 7 3 72 2 1 2 3 1 1 139 14 20 7
线性代数—3.3 向量空间
一、向量空间的概念 二、向量空间的基和维数 三、基变换与过渡矩阵
一、向量空间的概念
例1 设 V 为平面上所有起点在定点 O 的向量的集合.
集合 V 具有如下性质: (1) 若 aV, bV, 则 a + bV;
B
a2 a
(2) 若 aV, kR, 则 kaV, 称 V 为平面向量空间.
a 可唯一地表示为 a k1a1 + L + krar
称 (k1, , kr) 为向量 a 在基 a1, , ar 下的坐标.
例4 验证 a1 (1,-1,0)T, a2 (0,1,3)T, a3 (2,1,8)T 为R3 的 一个基, 并求 b1 (5,0,12)T, b2 (9,-7,8)T, b3 (3,1,11)T 在这
O a1 A
uuur uuur a OA + OB k1a1 + k2a2
设 V 中两向量 a1, a2 线性无关, 即 a1, a2 不共线, 则
V {k1a1 + k2a2 | k1,k2 R} 称 V 为由向量组 a1, a2 生成的向量空间.
例2 设 n 元方程组 Ax 0 的解集为 S, 秩 R(A) r < n.
• L(A) 为向量空间V 的子空间的充要条件是 A V . • L(B) 为 L(A) 的子空间的充要条件是向量组 B 可由组 A 线性表示. • L(A) L(B) 的充要条件是向量组 A 与组 B 等价.
例3 由 a1 (1,1,0,0)T, a2 (1,0,1,1)T 所生成的空间记为V1, 而由 b1 (2,-1,3,3)T, b2 (0,1,-1,-1)T 所生成的空间记为V2.
(-1,-4,3), (13,8,-2), (1,1,1)
线性空间基坐标及过渡矩阵
x1 x2 , e4 ) = (1 , x3 x 4
1
y1 y2 ,4 ) y3 y 4
1 1 1 x1 x 3 1 0 2 3 2 1 x3 6 1 3 x4
得
(x1 , x2 , x3 )
T
= (33,82,154)
T
解答完毕
7
例2.已知4维向量空间R4的两个基:
( )1 = (1,1,2,1), 2 = (0,2,1,2), 3 = (0,0,3,1), 4 = (0,0,0,1); (Ⅱ ) 1 = (1,1,0,0), 2 = (1,0,0,0), 3 = (0,0,2,1), 4 = (0,0,3,2)
①
五、坐标变换公式
定理1: 设n维线性空间V中的元素, 在基1, 2, · · · , n下的坐标为: (x1, x2, · · · , xn)T,
在基1, 2, · · · , n 下的坐标为: (y1, y2, · · · , yn)T,
若 (1, 2, · · · , n)=(1, 2, · · · , n)A.
则有坐标变换公式:
x1 y1 x 2 = A y2 , xn yn
y1 x1 y 2 = A 1 x 2 . 或 yn xn
6
例1.在R 中，求向量 = ( 3, 7,1) 在基
3 T
T T T ( ) ( ) ( ) 1 = 1,3,5 , 2 = 6,3,2 , 3 = 3,1,0 下的坐标。
解：令 = x11 + x2 2 + x3 3
过度矩阵的求法(数学考研)
过渡矩阵的求法1．预备知识1.1定义 设{}12,,...,n ∂∂∂和{}12,,...,n βββ是数域p 上n 维线性空间V （简称V ）的两个基，那么11112121212122221122.................................n nn n n n n nn n a a a a a a a a a βββ=∂+∂++∂⎧⎪⎪=∂+∂++∂⎪⎨⎪⎪=∂+∂++∂⎪⎩(1)这里{}12,,...,j j nj∂∂∂就是j β关于基{}12,,...,n ∂∂∂的坐标()1,2,,j n = .以这n 个坐标为例作一个n 级矩阵T=1111n n nn a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ，矩阵T 叫作由基{}12,,...,n∂∂∂到基{}12,,...,n βββ的过度矩阵.上述关系式（1）又可以写成下面形式：{}{}1212,,...,,,...,n n T βββ=∂∂∂ (2)1.2 定理1．2．1 如果向量关于基{}12,,...,n∂∂∂的坐标是()12,,...,n x x x ；关于基{}12,,...,n βββ的坐标是()12,,...,n y y y ，则有坐标变换关系式：1122n n x y x y T x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 或11221n n y x y x T y x -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3) 1．2．2 如果{}12,,...,n∂∂∂，{}12,,...,n βββ，{}12,,...,n γγγ都是V 的基，且由{}12,,...,n∂∂∂到基{}12,,...,n βββ的过度矩阵是A ，由基{}12,,...,n βββ到基{}12,,...,n γγγ的过度矩阵是B ，则由基{}12,,...,n ∂∂∂到基{}12,,...,n γγγ的过度矩阵是AB.1.2.3如果由基{}12,,...,n∂∂∂到基{}12,,...,n βββ的过度矩阵是T ，则由基{}12,,...,n βββ到基{}12,,...,n ∂∂∂的过度矩阵是1T -.2 对一般的n 维线性空间中基的过度矩阵的求法.2.1 利用定义中的关系式（1）据(1),求由基{}12,,...,n∂∂∂到基{}12,,...,n βββ的过度矩阵是T ，只要能计算出j β关于基{}12,,...,n∂∂∂的线性组合系数12,,...,j j nj a a a ()1,2,,j n = ,就可得出T 的第J 列元素，从而写出过度矩阵T.例1在n 维空间n p 中，12(1,0,...,0)(0,1,...,0)............(0,0, (1)n ξξξ=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩，是一组基。
高等代数教案 北大版 第六章
,V 中加法的定构成K 上的线性空向量组的线性相关与线性无关向量组的线性等价；极大线性无关组.,s α,又给定数域,s k ,称s s k k α+为向量组12,,,s ααα的一个4(线性表出内一个向量组,s α,设β是V 内的一个向如果存在K 内s ,s k ,使得122s s k k ααα+++,,,s α线性表出.向量组的线性相关与线性无关) 内一个向量组12,,αα,s k ,使得s s k α+=,s α线性相关；若由方程s s k α+=0s k ===则称向量组,s α线性无关.命题3 设12,,s V ααα∈,则下述两条等价:12,,s ααα线性相关；某个i α可被其余向量线性表示证明同向量空间.线性等价) 给定,r α (,s β (Ⅰ)中任一向量都能被线性表示,则称两向量组(极大线性无关部分组,s α,如果它有一个部分组,,,r i ααα满足如下条件,r i α线性无关；、原向量组中任一向量都能被,r i α线性表示,则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组.由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没于是那些命题在线性空间中依然成立一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同,,n ε和1,,n ηη是两组基2121212122221122,,.n n n nn n n nn n t t t t t t t εεεεηεεε++++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 11121212221212,)(,,,)n n n n n n nn t t t t t t tt t ηεεε⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 我们称矩阵111212122212n n n n nn t t t t t t T tt t ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪⎭,,n ε到1,,n ηη的过渡矩阵.6 设在n 维线性空间V/K 中给定一组基12,,,n εεε.T 是212,,,)(,,,).n n T ηηεεε=,n η是V/K 若12,,,n ηηη是线性空间,n η线性无关考察同构映射nK V ασ,:→,构造方程122)()(n k k ησηση+++1,2,,)n ,22)n n k k ηη++0n n k η+=,0n k ==⇒,()n σση线性无关.,()n ση构成了过渡矩阵的列向量,所以过渡矩阵可逆；若过渡矩阵可逆,则构造方程122n n k k ηηη+++=,(1,2,,)K i n =,作用,得到112()((n k k k σησηση++,120n k k k ⇒====.证毕向量的坐标变换公式；nK 中的两组基的过渡矩阵,n ε和12,,,n ηηη,又设,n ε下的),n a ,即1212(,,,)n n a a a εεε⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,,,n η下的坐标为,,)n b ,即1212,,,)n n b b b ηη⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.现在设两组基之间的过渡矩阵为T,即1212(,,,)(,,,).n n T ηηηεεε=2n a ⎪⎪⎪⎪⎭,2n Y b ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,12[(,,)]n Y T Y εεε=.122122212,),,,),(,,,).n n n n n nn a a a a a ε= 和122122212,),,,),(,,,).n n n n n nn b b b b b η=1212(,,,)(,,,).n n T ηηηεεε=的第i 个列向量分别是i η在基12,,,n εεε下的坐标.,n ε和1,,,n ηηη看作列向量分别排成矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A aa a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；111212122212n n n n nn b b b b b b B b b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, AT =,将A 和B 拼成2n n ⨯分块矩阵()|A B ,利用初等行变换将左边矩化为单位矩阵E,则右边出来的就是过渡矩阵T,示意如下:)|()|(T E B A −−−→−行初等变换.ε为W ,r1,,r r εε+的一个子空间假设即可.二、子空间的交与和定义13 设,t V α∈}22|,1,2,,t t i k k k K i t αα+++∈=称为由12,,,t ααα生成的子空间,记为12(,,,)t L ααα生成的子空间的维数等于12,,,t ααα的秩.) 设12,V V 为线性空间V/K 的子空间,定义2{V v =∈称为子空间的交； 21{V v +=+称为子空间的命题9 12V V 和1V +证明:由命题4.7,只需要证明2V 和1V +12,V V αβ∈,则1,V αβ∈,,αβ12,V V αβ+∈,于是12V V αβ+∈,12V V 关于加法封闭；2V ,k ∈12,kv V kv V ∈∈,于是12kv V V ∈,12V V 关于数乘封1,V V β∈+111222,,,V V αβαβ∃∈∈,21,αββ=2V ,则,,m V 是2m V V 和m V +均为的子空间.维数公式.1 设V 为有限维线性空间,2dim()V .,12dim()V V r =,2V 的一组基,r ε(若2V V =0,则基为空集),将此基分别扩充为12,V V 的基1212,,,,,,,r s r εεεααα-, 1212,,,,,,,r t r εεεβββ-,1212,,,,,,,,,r s r t r εαααβββ--是12V V +见12V V +中的任一向量都可1212,,,,,,,,,r s r t r εαααβββ--线性表出.事实上,V γ∀∈12γ+,其中1122,V V γγ∈∈,而111221122,r r r r s s r k k k k k k γεεεααα++-=+++++++ 211221122.r r r r t t r l l l l l l γεεεααα++-=+++++++,i j k l K ∈被121212,,,,,,,,,,,r l r t r εεεαααβββ--线性表21212,,,,,,,,,,r l r t r εεαααβββ--线性无关即2211220s r s r t r t r a a b b b ααβββ----++++++=,11221r r s r s r k a a a V εααα--+++++∈,11222t r t r b b b V βββ------∈,112212r r s r s r a a a V V εααα--++++∈,记为,r ε线性表示,设22r r h h αεε++,12211220r r t r t r h h b b b εεβββ--+++++++=,12,,,,,r t r εβββ-是2V 的一组基,所以线性无关,则12120r t r h h h b b b -========,12120r s r k k a a a -========,21212,,,,,,,,,,r s r t r εεαααβββ--线性无关12,,,t V V 都是有限为线性空间V 的子空间,则:1212)dim dim dim t t V V V V V V +++≤+++.作归纳.,m V 是V ,,1,2,,m i i V i m αα+∈=.记为2m V V ⊕⊕⊕或1mi i V =⊕.,,m V 为数域K 上的线性空间V 上的有限为子空间,则下述四m V +是直和；零向量表示法唯一；1ˆ(){0},1,2,,im V V V i m ++++=∀=；1212dim()dim dim dim m m V V V V V V +++=+++.: 1)2)⇒显然.1)⇒设1212,m m ααααβββ=+++=+++则(m α+-1,2,,m ,21m V V V +++是直和个,1i i ≤≤1ˆ(){0}im V V V ++++≠存在向1ˆ()i im V V V V ∈++++,于是存在j V ,使得1ˆi m αααα=++++.由线性空间的定义,1ˆ()iim V V V V α-∈++++,()()0m αααα+-++=+-=,与零向量的表示法唯一矛盾1ˆ(){0},1,2,,i im V V V V i m ++++=∀=.2)⇒若2)不真,则有10i m ααα=++++,1,2,,)m 且0i α∃≠.于是1ˆˆ()i m i im V V V V αα+++∈++++,成立.作归纳.由维数公式得到121212dim dim dim()dim dim V V V V V V =+-=+.11)dim(),m m m V V ---+111垐()(){0}i m i i m V V V V V V V -++++⊆++++=由归纳假设,可以得到1212dim()dim dim dim m V V V V V +++=+++3)⇒,1i i m ∀≤≤,都有1112垐())dim()dim()dim(i m i i m V V V V V V V V V ++++=+++++-++1ˆ(){0},1,2,,im V V V i m ++++=∀=.证毕.推论 设12,V V 为V 的有限维子空间,则下述四条等价: 12V V +是直和； ii)零向量的表示法唯一； iii)2{0}V V =；12dim()V V +=二、直和因子的基与直和的基设1m V V V V =⊕⊕,则,m V 的基的并集为,r ii ε是i V 的组基,则V 121{,,,}r im i i i i εεε=线性表出.又1dim dim i m V r r =+,由命题4.5,它们线性无关,于是它们是V 的一组基. 证毕. 三、补空间的定义及存在性定义 设1V 为V 则称为1V 的补空间.命题 有限维线性空间的任一非平凡子空间都有补空间证明: 设V ,r ε,将,,)n ε,则有12V V =+,且,即2V 是1V.s n AX ⨯的线性映射.上连续函数的全体,它是R 上的线性空间,sin 2,,sin ),x nx,cos).nx,AX.单线性映射(monomorphism)满线性映射(endmorphism)fα().α∈U'/kerγ.于是=,fα)('),t V α∈22()(t k k ϕαϕα+++,1122()t t k k k ϕααα+++t t k α+=则120t k k k ====,ii)成立；iii)若取组基12,,,n εεε,则,()n ϕε而im ϕ中任意向,()n ϕε线性表出12(),(),,()n εϕεϕε构成成立；⇒i)由/ker im U ϕ≅dimker dimim ϕ=即有ker ϕ=。
北京航天航空大学研究生矩阵理论试题及其解答
矩阵论试题一．设n x x x ,,,21 是欧氏空间nV 中的一组向量，),(y x 表示x 与y 的内积，令111212122212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n x x x x x x x x x x x x A x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦试证明0)det(≠A 的充要条件为向量12,,,n x x x 线性无关。
证明：若11220n n l x l x l x +++= ，则用(1,2,,)i x i n = 依次与此式作内积有：1122(,)(,)(,)0i i n n i l x x l x x l x x +++= (1,2,,)i n = 即111221112122221122(,)(,)(,)0(,)(,)(,)0(,)(,)(,)0n n n nn n n n n l x x l x x l x x l x x l x x l x x l x x l x x l x x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 此式仅有零解的充分必要条件为det()0A ≠，故12,,n x x x 线性无关的充分必要条件为det()0A ≠三．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=442101002A ，求tA e 和)(R t e A ∈。
四．设nm C A ⨯∈，试叙述A 的奇异分解指的是什么？并试求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111001A 的奇异值分解式。
解 设(0)m nr A C r ⨯∈>，H A A 的特征值为1210r r n λλλλλ+≥≥≥>===我们称1,2,,)i i n σ== 为A 的奇异值，存在m 阶酉矩阵U 和n 阶酉矩阵V ，使得000HA U V ∑⎛⎫= ⎪⎝⎭（其中12(,,,)r diag σσσ∑= ），此式称为A 的奇异值分解式。
当010111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭时，0121011011201111H A A ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，221(2)1(3)(1)012H I A A λλλλλλ---==--=--=--得123,1λλ==，对于13λ=由12(3)0Hx I A A x ⎛⎫-=⎪⎝⎭得1211011x x -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故12x x =，取111p ⎛⎫= ⎪⎝⎭；对于11λ=由12()0Hx I A A x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得1211011x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故12x x =-，取211p ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，由于2rankA =，001⎫∑=⎪⎝⎭，故取取V ⎫⎪⎪=，此时1V V =，1110100101110U AV -⎫⎪⎫⎛⎫⎪⎪⎫ ⎪⎪=∑==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎪⎪⎭，取2a U b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，使得2U 与1U 的两个列量正交，从而有00++=⎪=⎪⎩， 200a b c a b ++=⎧⎨-=⎩， 从而1,1a b c ===-故取2U ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎝，因此20U ⎫⎪⎪⎪=⎪⎪，故0H A U V ∑⎛⎫= ⎪⎝⎭。
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基变换公式
在基变换公式 ( β 1 , β 2 ,L , β n ) = (α 1 ,α 2 ,L ,α n )P 中, 矩阵 P 称为由基 α1,α2,L,αn 到基 β1, β2,L, βn的过 渡矩阵． 过渡矩阵 P是可逆的．
P153 T4
二、坐标变换公式
定理1 设Vn中的元素 α , 在基α 1 ,α 2 ,L,α n下的坐标 为
⎧ β 1 = p11α 1 + p21α 2 + L + pn1α n ⎪ β = p α + p α +L+ p α ⎪ 2 12 1 22 2 n2 n , ⎨ ⎪ LLLLLLLLLLLL ⎪ β n = p1nα 1 + p2 nα 2 + L + pnnα n ⎩
称此公式为基变换公式．
由于
又令
3 3 2 a 1 x + a 2 ( x + x ) + a 3 ( x + 1) + a 4 ( x + 1) = x 2 + 2 x + 3,
则
⎧ a 1 + a 2 = 0, ⎪ ⎪ a 3 = 1, ⎨ ⎪ a 2 + a 4 = 2, ⎪ a3 + a4 = 3 ⎩
解之可得
⎧ a 1 = 0, ⎪ = 0, ⎪a 2 ⎨ ⎪ a 3 = 1, ⎪a 4 = 2. ⎩
( β 1 , β 2 ,L, β n ) = (α 1 ,α 2 ,L,α n )P
２．坐标变换公式
⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ M ⎟ ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎝ n⎠
⎛ x1 ' ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ' ⎟ 或 P⎜ , M ⎟ ⎜ ⎜ x '⎟ ⎟ ⎝ n ⎠
⎛ x1 ' ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x ⎜ x2 ' ⎟ −1 ⎜ 2 ⎟ = P ⎜ ⎟. ⎜ M ⎟ M ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ x '⎟ ⎟ ⎜x ⎟ ⎝ n ⎠ ⎝ n⎠
⎛ x1 ' ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ x ⎜ x2 ' ⎟ −1 ⎜ 2 ⎟ ⎜ M ⎟ = P ⎜ M ⎟. ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ x '⎟ ⎜x ⎟ ⎝ n ⎠ ⎝ n⎠
由于矩阵 P可逆 , 所以
例1 在 P[ x ]3中取两个基
= x 3 + 2 x 2 − x, = x 3 − x 2 + x + 1, α1 α2 α 3 = − x 3 + 2 x 2 + x + 1, α 4 = − x 3 − x 2 + 1, 及 β 1 = 2 x 3 + x 2 + 1, 求坐标变换公式 . 解 将 β 1 , β 2 , β 3 , β 4 用α 1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 表示. 因为 (α 1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 ) = ( x 3 , x 2 , x ,1) A,
思考题
证明 x 3 , x 3 + x , x 2 + 1, x + 1是 P [ x ]3的一个基 , 并求多项式 x 2 + 2 x + 3在这个基下的坐标 .
思考题解答
证明 令
3 3 2 k 1 x + k 2 ( x + x ) + k 3 ( x + 1) + k 4 ( x + 1) = (k 1 + k 2) x 3 + k 3 x 2 + ( k 2 + k 4) x + ( k 3 + k 4) =0 ⎧ k 1 + k 2 = 0, ⎪ ⎪ k 3 = 0, ⇒ k1 = k 2 = k 3 = k 4 = 0 ⇒⎨ ⎪ k 2 + k 4 = 0, ⎪ k3 + k4 = 0 ⎩ 故 x 3 , x 3 + x , x 2 + 1, x + 1线性无关 , 是 P[ x ]3的一个基 .
⎧ β 1 = p11α 1 + p21α 2 + L + pn1α n ⎪ β = p α + p α +L+ p α ⎪ 2 12 1 22 2 n2 n ⎨ ⎪ LLLLLLLLLLLL ⎪ β n = p1nα 1 + p2 nα 2 + L + pnnα n ⎩
⎛ β 1 ⎞ ⎛ p11 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ β 2 ⎟ ⎜ p12 ⇔⎜ ⎟=⎜ M L ⎜ ⎟ ⎜ ⎜β ⎟ ⎜ p ⎝ n ⎠ ⎝ 1n
⎛ x1 ' ⎞ ⎛ x1 ' ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ x ⎜ x2 ' ⎟ ⎜ x2 ' ⎟ −1 ⎜ 2 ⎟ P⎜ ⎟, 或 ⎜ M ⎟ = P ⎜ M ⎟. M ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ x '⎟ ⎟ ⎜ x '⎟ ⎜x ⎟ ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ n⎠
⎛ x1 ⎞ ⎛ x1 ' ⎞ 证明 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ x2 ' ⎟ Qα = (α 1 ,α 2 ,L,α n )⎜ ⎟= ( β 1 , β 2 ,L, β n ) ⎜ M ⎟ M ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎜ x '⎟ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ ( β 1 , β 2 ,L, β n ) = (α 1 ,α 2 ,L,α n )P
初等行变换
~
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝
0 0 0 0 1 0 0 −1 0 1 0 0 0 0 1 1
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝
0 1 0 0
0 0 1 0
1 −1 1 ⎞ 0 0 ⎟ 0 −1 1 0 0 ⎟ = (E 0 0 1⎟ 0 0 ⎟ 1 1 − 1 1 − 1⎟ ⎠
B A)
p21 p22 L p2 n
L L L L
pn1 ⎞⎛ α 1 ⎞ ⎛ α1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ pn 2 ⎟⎜ α 2 ⎟ α T⎜ 2⎟ ⎟⎜ M ⎟ = P ⎜ M ⎟ . L ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ α ⎟ pnn ⎠⎝ n ⎠ ⎝αn ⎠
⇒ ( β 1 , β 2 ,L, β n ) = (α 1 ,α 2 ,L,α n )P
⎛ x1 ⎞ ⎛ x1' ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ x2'⎟ ∴(α1,α2 ,L,αn )⎜ ⎟ = (α1,α2 ,L,αn )P⎜ ⎟. M M ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎜ x '⎟ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠
即
⎛ x1 ⎞ ⎛ x1 ' ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ x2 ' ⎟ ⎜ M ⎟ = P⎜ M ⎟. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎜ x '⎟ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠
例2 坐标变换的几何意义 . 设 及 ⎛ 1⎞ α 1 = ⎜ ⎟, ⎝ 0⎠ ⎛ 1⎞ β 1 = ⎜ ⎟, ⎝ 1⎠ ⎛ 0⎞ α2 = ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎛ 1 ⎞ ⎟ β2=⎜ ⎝ − 1 2⎠
为线性空间 V = R 2的两个基 . 1 又设α = − α 1 + α 2 , 则α在基 α 1 ,α 2 下的坐标为 2 ⎛ x1 ⎞ ⎛ − 1 2 ⎞ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ x2⎠ ⎝ 1 ⎠
−1
所以
1 − 1 1 ⎞⎛ x 1 ⎞ ⎛ x1 ' ⎞ ⎛ 0 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 ⎟⎜ x 2 ⎟ ⎜ x 2 '⎟ ⎜ − 1 1 ⎟⎜ x 3 ⎟ . ⎜ x 3 '⎟ = ⎜ 0 0 0 1 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ' ⎟ ⎜ 1 − 1 1 − 1 ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ x4 ⎠ ⎝ ⎠⎝ x 4 ⎠
一、基变换公式与过渡矩阵
问题：在 n 维线性空间 V 中，任意 n 个线性 无关的向量都可以作为 V 的一组基．对于不同的 基，同一个向量的坐标是不同的． 那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什 么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐 标如何改变呢？
设α 1 ,α 2 ,L ,α n及β 1 , β 2 ,L , β n是线性空间 Vn的 两个基 , 且有
−β2
1 − 2
α1
o
α1 β2
三、小结
１．基变换公式
⎧ β 1 = p11α 1 + p21α 2 + L + pn1α n ⎪ β = p α + p α +L+ p α ⎪ 2 12 1 22 2 n2 n ⎨ ⎪ LLLLLLLLLLLL ⎪ β n = p1nα 1 + p2 nα 2 + L + pnnα n ⎩
1⎞ ⎟ 3⎟ ⎟, 1 ⎟ ⎟ 2⎠
用初等变换计算 B − 1 A. ⎛2 0 − 2 ⎜ ⎜1 1 1 ( B A) = ⎜ 0 2 1 ⎜ ⎜1 2 2 ⎝
1 3
1 1 − 1 − 1⎞ ⎟ 2 − 1 2 − 1⎟ 1 −1 1 1 0 ⎟ ⎟ 2 0 1 1 1 ⎟ ⎠ 1 1 0 −1 −1 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ − 1⎟ ⎠ 1 0 1
T
故 x 2 + 2 x + 3在这个基下的坐标为 (0,0,1,2) .
作业：P153 T5
β 2 = x 2 + 2 x + 2, β 3 = − 2 x 3 + x 2 + x + 2, β 4 = x 3 + 3 x 2 + x + 2,
( β 1 , β 2 , β 3 , β 4 ) = ( x 3 , x 2 , x ,1) B ,
1 − 1 − 1⎞ ⎛ 1 ⎛2 0 − 2 ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ − 1 2 − 1⎟ ⎜1 1 1 其中 A = ⎜ ⎟, B = ⎜ 0 2 1 −1 1 1 0 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎜1 2 2 1 1 1 ⎠ ⎝ ⎝ 得 ( β 1 , β 2 , β 3 , β 4 ) = (α 1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 ) A− 1 B . 故坐标变换公式为 ⎛ x1 ' ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ' ⎟ − 1 ⎜ x2 ⎟ ⎜ x ' ⎟ = B A⎜ x ⎟ . ⎜ 3 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ x '⎟ ⎜x ⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4⎠