正确理解开普勒第二定律
高中物理：开普勒定律的理解和运用问题
（1）第一定律：太阳系中各行星是以椭圆轨道运行的，太阳处在这些椭圆的一个焦点上。
（2）第二定律：太阳和行星的连线在相等时间内扫过相等的面积。
如图所示，行星沿着椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一个焦点上，如果时间间隔相等，即，那么面积A=面积B，由此可见，行星在远日点a的速率最小，在近日点b的速率最大。
上图中太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
即。
（3）第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，其表达式为，其中R是椭圆轨道的半长轴，T是行星绕太阳公转的周期，k是一个与行星无关的常量，但k的大小与中心天体的质量有关。
例1、冥王星原来是在九大行星之列的，可在2006年8月，国际天文学联合会大会正式通过决议，将冥王星降级，即将它从九大行星队伍中开除。
取而代之以“矮行星”的称呼来安慰它，这已经足以令冥王星十分的“郁闷”，可美国科学家的最新发现却又使冥王星很“受伤”！当时人们认为冥王星应该是矮行星中的“老大”，但加利福尼亚理工学院天文学家迈克尔·布朗等人研究报告说，另一颗矮行星厄里斯的质量大约比冥王星大27%，是目前已知最大的矮行星，关于下列说法正确的是A. 八大行星是围绕太阳运动的，而且都在同一椭圆轨道上B. 矮行星不是绕太阳而是绕其他行星运动的C. 冥王星被降级以后其轨道也发生了相应的变化D. 冥王星与厄里斯有着一个共同的轨道焦点答案：D例2、飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T，如果飞船要返回地面，可在轨道上的某一点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B点相切，如图所示，如果地球半径为，求飞船由A点到B点所需要的时间。
解析：开普勒第三定律虽然是根据行星绕太阳的运动总结出来的，但也适用于卫星、飞船绕行星的运动。
因此，飞船绕地球做圆周（半长轴和半短轴相等的特殊椭圆）运动时其轨道半径的三次方跟周期平方的比值等于飞船绕地球沿椭圆轨道运行时其半长轴的三次方跟周期平方的比值。
证明开普勒第二定律
开普勒第二定律是天文学中的一个重要定律，它是描述行星运动的规律，也是太阳系中行星间距离的基本规律。
本文将从理论和实际案例两个方面来证明开普勒第二定律的正确性。
一、理论证明开普勒第二定律是指在椭圆轨道上，行星在相同时间内扫过的面积相等。
这个定律可以用数学公式来表示：行星运动速度的平方与行星到中心的距离的立方成正比，即v^2∝r^3。
这个公式的推导过程比较复杂，但可以用牛顿万有引力定律来解释。
根据牛顿定律，两个物体间的引力与它们的质量和距离的平方成正比。
因此，行星围绕太阳运动时所受到的引力与它们的距离的平方成反比。
根据牛顿第二定律，行星的运动速度与它所受到的引力成正比。
将这两个公式结合起来，就可以得到v^2∝r^3的公式。
二、实际案例除了理论推导，开普勒第二定律也可以通过实际观测来证明。
下面我们将介绍两个实际案例。
1. 地球绕太阳运动地球绕太阳运动是最典型的例子。
根据开普勒第二定律，地球在椭圆轨道上运动时，它在相同时间内扫过的面积相等。
也就是说，地球在近日点处运动速度较快，在远日点处运动速度较慢，但是在相同时间内，它所扫过的面积是相等的。
这个定律在日食和月食中也有体现。
当月球与地球和太阳排成一条直线时，就会发生日食或月食。
这种现象的发生是由于月球绕地球的轨道是椭圆形的，所以在不同位置上，月球对太阳的遮挡程度是不同的。
2. 彗星绕太阳运动彗星是一种以太阳为中心的椭圆轨道上运动的天体。
根据开普勒第二定律，彗星在不同位置上所扫过的面积是相等的。
这个定律在哈雷彗星的运动中有很好的体现。
哈雷彗星的轨道是椭圆形的，它绕太阳运动的周期为76年左右。
每当它靠近太阳时，它的运动速度非常快，但是它所扫过的面积也非常小。
而当它远离太阳时，它的运动速度变慢，但是它所扫过的面积也会变大。
总结开普勒第二定律是描述行星运动的基本规律，它在理论和实际中都得到了证明。
通过理论推导和实际案例的介绍，我们可以看到这个定律的正确性和重要性。
开普勒第二定律推导公式
开普勒第二定律推导公式开普勒第二定律是描述行星运动的定律之一，它是根据开普勒观测到的行星运动规律而得出的。
这个定律告诉我们，行星在其椭圆轨道上的运动速度是不均匀的，它与行星离开太阳的距离有关。
下面我们来推导一下开普勒第二定律的公式。
为了方便推导，我们引入一些符号。
假设行星离太阳的距离为r，行星运动到离太阳r1处时的速度为v1，到离太阳r2处时的速度为v2。
根据开普勒第二定律，我们可以得到以下几个等式：(1) 行星在轨道上的运动速度与其离太阳的距离成反比，即v1/v2=r2/r1；(2) 行星运动的速度与其离太阳的距离的平方成反比，即v1^2/v2^2=r2^2/r1^2。
我们可以通过这两个等式来推导出开普勒第二定律的公式。
首先，我们将(1)式两边平方，得到v1^2/v2^2=(r2/r1)^2。
然后，我们将(2)式代入这个等式中，得到：(r2^2/r1^2)=(r2^2/r1^2)。
这个等式告诉我们，行星在轨道上的运动速度与其离太阳的距离的平方成正比。
换句话说，行星在轨道上的运动速度与其离太阳的距离的平方保持不变。
这就是开普勒第二定律的公式。
通过这个公式，我们可以进一步理解行星在轨道上的运动规律。
当行星离太阳较近时，它的运动速度较快；当行星离太阳较远时，它的运动速度较慢。
这是因为行星在离太阳较近的地方受到的引力较大，需要更快的速度来保持在轨道上；而在离太阳较远的地方，行星受到的引力较小，可以以较慢的速度运动。
开普勒第二定律的公式不仅适用于行星的运动，也适用于其他天体的运动。
例如，卫星绕地球的运动、月球绕地球的运动等都可以用这个公式来描述。
这个公式为我们研究天体运动提供了一个重要的工具，帮助我们更好地理解宇宙的奥秘。
总结一下，开普勒第二定律描述了行星在其椭圆轨道上的运动速度与其离太阳的距离的关系。
根据这个定律，我们可以推导出开普勒第二定律的公式，即行星在轨道上的运动速度与其离太阳的距离的平方保持不变。
开普勒第二、第三定律的物理意义
开普勒第二、第三定律的物理意义
开普勒第二定律是天体运行规律的有效奠基，它表明小天体在受到太阳引力作用时，其运动轨迹总是弧线，而不是直线或椭圆，这种弧线几乎总是椭圆。
开普勒第三定律又叫做围绕太阳运行的动力定律，它表明小天体围绕太阳的公转周期与它的质量以及公转距离成正比，即越远的行星绕太阳运行的时间越长。
其实，开普勒第二、第三定律是物理定律和抽象数学概念之间的有效衔接。
它说明空间中的运动，精确对应于抽象的定理，可以指导太阳系中行星运动。
它同时也将这种变化的运动的过程精准数学视角变成了一个可解的方程式，从而提高了我们对太阳系规律和结构的认知。
此外，开普勒第二、第三定律的物理意义也在于它让我们以更直观的手段来理解，激发更多的想象与探索。
在行星运动的图样中，我们能够看到太阳系内部系统性运动的各种迹象，可以引发一种沉醉，感叹宇宙中复杂的活动机制，鼓舞我们要竭力掌握宇宙中更多未被发现的物理不可思议。
总之，开普勒第二、第三定律是一套完整的理论体系，物理意义深远，对于我们对宇宙规律探究有着至关重要的促进作用，也引发了我们更深的科学探究，从而丰富我们的科学视野。
开普勒第二定律证明开普勒第三定律
开普勒第二定律证明开普勒第三定律开普勒第二定律证明开普勒第三定律引言：开普勒第二定律和开普勒第三定律是伟大的德国天文学家开普勒提出的三大行星运动定律之一。
开普勒第二定律描述了行星在其椭圆轨道上运动时，它们与太阳连线所扫过的面积相等的规律。
而开普勒第三定律则揭示了行星公转周期和距离太阳的平均距离之间的关系。
本文将从两个方面解释开普勒第二定律如何证明开普勒第三定律的。
一、开普勒第二定律的描述与论证1.1 开普勒第二定律概述开普勒第二定律，也称为面积速度定律，根据的是开普勒通过观测行星轨道运动得出的规律。
其主要观点是：一个行星在绕太阳公转时，它所扫过的面积在相等时间内是相等的。
这个定律展示了行星在其椭圆轨道上运动的速率是不均匀的。
1.2 开普勒第二定律与椭圆轨道之间的关系为了进一步证明开普勒第二定律，我们需要了解椭圆轨道的性质。
椭圆轨道有两个焦点，分别是太阳和行星。
根据椭圆的性质，椭圆轨道上的行星在靠近太阳的时候运动较快，在离太阳较远时运动较慢。
这使得行星在相等时间内所扫过的面积相等。
1.3 数学模型与证明利用微积分的知识，我们可以证明开普勒第二定律。
假设一个行星处于其椭圆轨道上某一位置，并以一定速率绕太阳公转。
我们将行星所在位置与太阳的连线记为r，行星的速度记为v。
开普勒指出，某一时间段dt内，行星所扫过的面积dA等于行星速度v乘以时间段dt。
即dA = 1/2*r * v * dt。
由于行星在椭圆轨道上运动，其速度v是变化的，因此需要对v进行分解为v_r和v_θ，分别表示径向速度和角速度。
这样，我们可以通过积分来计算整个轨道上行星扫过的总面积S。
利用微积分证明后，我们可以得到行星扫过的面积S与椭圆轨道的长半轴a和短半轴b之间的关系，即S = 1/2 * a * b * π。
这个结果进一步证明了开普勒第二定律的正确性。
二、开普勒第三定律的描述与论证2.1 开普勒第三定律概述开普勒第三定律，也称为周期定律，描述了行星公转周期和距离太阳平均距离之间的关系。
开普勒三大定律理解
开普勒三大定律理解开普勒三大定律是描述行星运动规律的基础定律，对于理解宇宙中天体运动的规律具有重要意义。
这三大定律分别是：开普勒第一定律、开普勒第二定律和开普勒第三定律。
下面将逐一解释这三大定律。
开普勒第一定律开普勒第一定律也被称为开普勒椭圆轨道定律。
该定律指出：每颗行星围绕太阳运行的轨道是一个椭圆。
椭圆中心处的太阳占据一个焦点位置。
这一定律揭示了行星轨道并非完全圆形，而是呈椭圆形。
这种椭圆形轨道的性质帮助我们了解了太阳系中行星之间的运动轨迹。
开普勒第二定律开普勒第二定律，也被称为面积定律，指出：行星在椭圆轨道上的运动速度会随着行星与太阳的距离变化而改变。
具体而言，当行星距离太阳较近时，其速度较快；当行星距离太阳较远时，其速度较慢。
这一定律可以用来解释为什么行星在接近太阳处运动较快，而在远离太阳处运动较慢。
开普勒第三定律开普勒第三定律，也称为调和定律，是开普勒三大定律中的最重要且最具普适性的定律。
该定律指出：行星公转周期的平方与大半径长轴的立方之比对于所有行星都是一样的。
换句话说，任何两个天体之间的公转周期平方与它们轨道长轴的立方之比是一个恒定值。
这一定律揭示了宇宙中天体间运动的规律性，不受具体天体或系统的影响。
开普勒三大定律为我们理解天体运动提供了重要的基础。
通过这些定律，我们得以认识到宇宙中的天体运动并非混乱随意，而是遵循着一定的规律和定律。
这种深刻的认识不仅有助于我们探索宇宙的奥秘，也为我们解答关于宇宙结构和演化的问题提供了重要线索。
理解开普勒三大定律不仅仅是理论上的认识，更是对宇宙中运动规律的深刻体验。
这三大定律的深入理解，将帮助我们更全面地认识宇宙，并促进我们对宇宙的探索和发现。
开普勒第二大定律
开普勒第二大定律
开普勒第二大定律，也被称为面积速率定律，是德国天文学家开普勒在天体运动研究中发现的重要规律。
这个定律表明，在椭圆轨道上运行的行星或其他天体，它们和太阳之间的连线在相等时间内扫过相等的面积。
这个定律对我们理解天体运动和行星轨道具有重要的意义。
它揭示了行星在轨道上运动时的速度不是恒定的，而是随着距离太阳的远近而变化。
当行星离太阳较近时，它们需要较短的时间来绕行一定的面积，因此它们的速度较快。
而当行星离太阳较远时，它们需要较长的时间来绕行同样的面积，因此它们的速度较慢。
这个定律的发现，不仅为后来的天体力学理论奠定了基础，也为我们了解行星运动提供了重要的线索。
通过观测行星在轨道上扫过的面积，我们可以推断出行星的运动速度以及其轨道的形状和大小。
同时，这个定律也为我们解释了一些天文现象提供了解释，比如行星在近日点处运动较快，在远日点处运动较慢，以及行星轨道上的离心率等。
在日常生活中，这个定律的应用也很广泛。
例如，我们可以通过这个定律来解释地球季节变化的原因。
地球绕太阳运动的轨道是一个椭圆，当地球离太阳较近时，太阳的辐射能量较强，导致季节变暖；而当地球离太阳较远时，太阳的辐射能量较弱，导致季节变冷。
这个定律也可以用来解释彗星的轨道和速度变化，以及其他天体运动
的规律。
开普勒第二大定律是天体运动研究中的重要发现，它揭示了行星在轨道上的速度变化规律，并为我们解释了不少天文现象。
通过深入研究和理解这个定律，我们可以更好地认识宇宙和地球的运动规律，进一步推动天文学科的发展。
开普勒三大定律感悟
开普勒三大定律感悟开普勒三大定律感悟开普勒三大定律是描述行星运动规律的基本法则，由德国天文学家约翰内斯·开普勒在16世纪末17世纪初发现并总结而成。
这三大定律的发现不仅推动了天文学的发展，也对物理学、数学等领域产生了深远的影响。
在我看来，开普勒三大定律不仅仅是一些冰冷的公式和规则，更是一种对宇宙和生命的启示和感悟。
第一定律：行星轨道为椭圆开普勒第一定律指出，行星绕太阳运动时轨道为椭圆，并非完美的圆形。
这个结论虽然早已被证实，但当时却引起了极大的反响和争议。
这个结论突破了古代希腊人关于天体运动规律的认知，也让人们开始重新审视宇宙万物。
从这个定律中我们可以看出，世界上没有完美无缺的事物。
即使是如此巨大而神秘的宇宙也有着自己独特而不完美的规律。
这启示我们应该接受事物的不完美，不要为了追求完美而过分苛求自己和他人。
同时，这个定律也告诉我们，只有当我们勇于突破传统的认知和思维模式时，才能发现新的规律和真理。
第二定律：行星在轨道上运动时速度不断变化开普勒第二定律指出，行星在轨道上运动时速度不断变化，且与其离太阳的距离成反比。
这个定律揭示了行星运动的加速度和力学原理，同时也为后来牛顿发现万有引力定律提供了重要线索。
从这个定律中我们可以看出，在宇宙中一切都是相互联系的。
行星在轨道上运动所受到的力量和加速度是由太阳产生的引力决定的。
同样，在人类社会中也是如此，每个人都是相互联系、相互影响的。
我们应该珍视彼此之间的联系和互助精神，并尽可能地为他人带来正面影响。
第三定律：行星公转周期与轨道半径平方成正比开普勒第三定律指出，行星公转周期的平方与其轨道半径的立方成正比。
这个定律揭示了行星运动规律的数学本质，同时也为后来牛顿发现万有引力定律提供了更深刻的理论基础。
从这个定律中我们可以看出，宇宙中一切都有自己独特而美妙的数学规律。
这些规律虽然看似冰冷和抽象，但却是宇宙运动和生命存在的根本。
同样，在人类社会中也有着许多美妙而深刻的数学规律，如黄金分割、斐波那契数列等等。
开普勒行星运动第二定律
开普勒行星运动第二定律开普勒行星运动第二定律，也被称为面积定律，是约翰内斯·开普勒在17世纪提出的一条描述行星运动的规律。
根据这一定律，行星在其轨道上的运动速度是变化的，即当行星离开太阳较远时速度较慢，而当行星靠近太阳时速度较快。
为了更好地理解这一定律，我们先来看一个例子。
假设有两个行星，分别处于不同的轨道上。
根据开普勒第二定律，两个行星在相同时间内扫过的面积是相等的。
也就是说，无论行星在轨道的哪个位置，它所扫过的面积都是一样的。
这个定律的表述可能有些抽象，我们可以通过一个具体的示例来帮助理解。
假设有一个行星在椭圆轨道上绕太阳运动。
当行星离开太阳较远时，它的运动速度较慢。
而当行星靠近太阳时，它的运动速度会加快。
为了验证开普勒第二定律，我们可以观察行星在不同位置上运动所扫过的面积。
我们可以将轨道分成若干个小区域，然后计算每个小区域的面积。
通过比较不同位置上所扫过的面积，我们可以得出结论：行星在离开太阳较远的位置扫过的面积较小，而在靠近太阳的位置扫过的面积较大。
这个现象可以用一个简单的例子来说明。
假设一个行星从轨道上的A点运动到B点，再从B点运动到C点。
根据开普勒第二定律，行星在AB区域所扫过的面积等于BC区域所扫过的面积。
这意味着，行星在离开太阳较远的位置速度较慢，所以在AB区域所用的时间较长；而在靠近太阳的位置速度较快，所以在BC区域所用的时间较短。
那么，为什么行星在离开太阳较远的位置速度较慢，而在靠近太阳的位置速度较快呢？这与万有引力有关。
根据万有引力定律，行星受到太阳的引力作用，而引力的大小与行星与太阳的距离有关。
当行星离开太阳较远时，引力的作用较小，所以行星的速度较慢。
而当行星靠近太阳时，引力的作用较大，所以行星的速度加快。
通过观察行星在不同位置上的运动速度和所扫过的面积，我们可以得出结论：行星离开太阳较远时速度较慢，而靠近太阳时速度较快。
这就是开普勒行星运动第二定律的内容。
总结一下，开普勒行星运动第二定律描述了行星在其轨道上的运动速度是变化的。
开普勒第二定律近日点速度大于远日点速度推导
开普勒第二定律是描述行星在椭圆轨道上运行时，行星与太阳连线在相等时间内扫过相等面积的定律。
而开普勒第二定律还有一个更深刻的数学推导，即近日点速度大于远日点速度。
我们将从简单的几何图形入手，逐步推导出这一定律。
1. 几何图形的初始认识在探讨开普勒第二定律之前，我们先来了解一下椭圆轨道。
椭圆轨道有两个焦点，其中一个焦点是太阳。
行星的轨道上离太阳最近的点称为近日点，离太阳最远的点称为远日点。
我们可以画出一条连接行星与太阳的直线，并在不同时间点测量这条直线与轨道所围成的面积。
2. 面积与时间的关系根据开普勒第二定律，我们知道在相等的时间内，行星与太阳连线所扫过的面积相等。
假设在相等的时间内，行星在近日点和远日点的位置分别为P1和P2，太阳在焦点处。
那么由于椭圆轨道的性质，我们可以发现P1点所在的扇形面积要大于P2点所在的扇形面积。
3. 近日点速度大于远日点速度的推导由于相等时间内扫过的面积相等，而P1点所在的扇形面积大于P2点所在的扇形面积，P1点对应的线速度必然大于P2点对应的线速度。
这就是开普勒第二定律中近日点速度大于远日点速度的推导过程。
4. 结语通过几何图形的分析和面积与时间的关系，我们得出了近日点速度大于远日点速度的结论。
这一定律的推导深刻而直观，可以帮助我们更好地理解行星在椭圆轨道上的运行规律。
对于我们理解开普勒定律的深度和广度也起到了重要的支持作用。
5. 个人观点从数学角度推导开普勒第二定律，不仅可以增加我们对这一定律的理解深度，也能够帮助我们在科学研究中更准确地应用这一定律。
当然，对于日常生活中对天体运动感兴趣的人来说，这一推导过程也能够增加对天文知识的兴趣和理解。
通过以上的文章撰写，我们深入理解了开普勒第二定律近日点速度大于远日点速度的推导过程，并且对此有了更深入的认识和理解。
希望这篇文章能够对您有所帮助。
开普勒第二定律，也称为面积定律，是描述行星在椭圆轨道上运行时，行星与太阳连线在相等时间内扫过相等面积的定律。
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正确理解开普勒第二定律
1. 开普勒第二定律的内容
对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
因此人们也把它叫做面积定律。
2. 由开普勒第二定律引出的推论
设行星1和行星2运行轨道的半径分别为R1和R2，当时则有
（1）行星1的线速度大于行星2的线速度，即；
（2）行星1的角速度大于行星2的角速度，即；
（3）行星1的加速度大于行星2的加速度，即；
（4）行星1的运行周期小于行星2的运行周期，即；
（5）在相同的时间内，行星1的运行路程大于行星2的运行路程，即；
（6）在相同的时间内，行星1扫过的角度大于行星2扫过的角度，即。
3. 开普勒第二定律引出的推论的证明
证明太阳系中的两颗行星（例如地球和海王星）的运动近似看作匀速圆周运动，它们的轨道半径分别为R1和R2，如图1所示。
由开普勒第二定律可知，在相同的时间内，地球与太阳的连线扫过的面积S1跟海王星与太阳扫过的面积S2相等，即S1＝S2。
图1
由面积公式，得，因为R12，所以。
由，相等的时间内θ角度大的，角速度一定大，即。
再利用，有，可得。
行星绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，可列等式，简单整理便有，可得。
进一步推得，在相同的时间内行星1的路程就大于行星2的路程，即。
再利用向心加速度公式，因为，，所以。
4. 推论的拓展
开普勒第二定律及其引出的推论，不仅适用绕太阳运转的所有行星，也适用于绕以行星为中心的卫星，还适用于单颗行星或卫星沿椭圆轨道运行的情况。
例1 两颗人造卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，周期之比TA：TB＝1：8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为（）
A. RA:RB＝4:1 vA:vB＝1:2
B. RA:RB＝4:1 vA:vB＝2:1
C. RA:RB＝1:4 vA:vB＝1:2
D. RA:RB＝1:4 vA:vB＝2:1
解析题中已知A、B两卫星的运转周期TA：TB＝1：8，由前面的推论4可知，卫星B 的轨道半径大于A卫星的轨道半径，于是把选项A和B排除；由推论1及证明可知，轨道半径大的卫星速率低，因此选项C错，选项D正确。
例2 如图2所示，一颗绕太阳运行的卫星，当该行星由a向b运行的过程中，下列说法中正确的是（）
A. 行星运行的速度增大，角速度增大，加速度增大
B. 行星运行的速度增大，角速度减小，加速度增大
C. 行星运行的速度减小，角速度增大，加速度减小
D. 行星运行的速度减小，角速度减小，加速度减小
图2
解析行星由a向b运动，由图可知，行星在b处的轨道曲率半径比a处的大，在a、b 处可以想象以太阳为圆心，以为半径的两个同心圆，再利用前面给出的推论，轨道半径大的周期大，其线速度、角速度、加速度等都小，即，故选项D正确。
配套习题
1. 把太阳系各行星的运动近似看做匀速圆周运动，则离太阳越远的行星（）
A. 周期越小
B. 线速度越小
C. 角速度越小
D. 加速度越小
2. 若人造卫星绕地球做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（）
A. 卫星的轨道半径越大，它的运行速度越大
B. 卫星的轨道半径越大，它的运行速度越小
C. 卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的向心力越大
D. 卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的向心力越小
3. 火星有两颗行星，分别是火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆。
已知火卫一的周期为7小时39分，火卫二的周期的周期性为30小时18分，则这两颗卫星相比（）
A. 火卫一距火星表面较近
B. 火卫二的角速度较大
C. 火卫一的运动速度较大
D. 火卫二的向心加速度较大
配套习题答案：
1. BCD
2. BD
3. AC。