全等三角形ASA
三角形全等的判定ASA-AAS及尺规作图五种基本作
以上内容是基于给定的大纲和指令进行的扩 展，但请注意，由于缺乏具体细节和背景信 息，某些描述可能不够精确或全面。如有需 要，请进一步补充和修正。
04
asa-aas在实际问题中的 应用
在几何证明题中的应用
在几何证明题中，asa-aas判定定理常常用于证明两个三角形全等。通过比较两 个三角形的两边和夹角，如果满足条件，则两个三角形全等，从而可以得出其他 相关结论。
asa-aas的发展方向
拓展适用范围
实际应用研究
研究如何将ASA-AAS判定应用于更广 泛的情况，例如处理只有一边和两个 角的情况或者只有两边和夹角的情况。
研究如何将ASA-AAS判定应用于解决 实际问题，例如几何证明、建筑设计、 工程测量等领域。
引入其他判定方法
研究如何将其他三角形全等判定方法 （如SAS、SSS、HL等）与ASA-AAS 判定相结合，以拓展其应用范围。
经过一点做已知直线的垂线
总结词
垂线的作法
详细描述
在给定的直线上选择一个点，然后使 用圆规在该点上画圆，与直线相交于 两点。连接这两点即可得到经过该点 的垂线。
作已知角的角平分线
总结词
角平分线的作法
详细描述
在给定的角内，使用圆规以角的顶点为圆心画圆，与角的两 边相交于两点。连接这两点即可得到该角的角平分线。
Hale Waihona Puke VS应用在尺规作图中，可以利用asa-aas判定三 角形全等来确定未知点的位置。例如，已 知一个三角形的两个角和一边，可以通过 asa-aas判定另一个三角形与之全等，从 而确定未知点的位置。
利用asa-aas解决实际问题
• 实例：在建筑设计中，常常需要确定某一点的位置使得该点到 两个已知点的角度相等。通过asa-aas判定定理，可以确定未知 点的位置，从而满足建筑设计的需求。
三角形全等的判定(ASA、AAS)
∴△ABC≌△DEF（ASA） 边”或“AAS”）
几何语言 A
D
B
CE
F
在△ABC与△DEF中
∠A= ∠D ∠B= ∠E BC= EF
∴△ABC≌△DEF（AAS）
跟踪练习： 已知如图， ∠1＝∠2， ∠C＝∠D 求证：AD＝AC.
证明：在△ABD和△ABC中
∠1＝∠2
∠D＝∠C
D
∵ B∠C2=＝C∠B1（公共边 ）
∠BC2=＝∠1CB
B1
D
4
O 2C
∴△ABC≌△DCB（ ASAA）S
2、请在下列空格中填上适当的 条件，使△ABC≌△DEF。
在△ABC和△DEF中
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D
∠AAB==∠DDE
∵ ∠BABACB=C=∠BEDD=FEE∠F
∠ABBACC=C==∠BDED=FE∠F
分别为B、D，∠1=∠2，求证：AB=AD
证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC
∴∠B＝∠D＝90°
在△ABC和△ADC中
A
∠1＝∠2
12
∠B＝∠D
AC＝AC
∴△ABC≌△ADC（AAS） B
D
∴AB＝AD
C
练习2. 已知如图，点B,F,C,E在一条直线上，
BF=CE,AB∥DE,AC∥DF.求证：
AB=DE,AC=DF
AB＝AB
∴△ABD≌△ABC（AAS） 1
∴AD＝AC
A 2B
C
变式1：已知如图，
∠1＝∠2，∠ABD＝∠ABC
求证：AD＝AC.
证明：在△ABD和△ABC中
D
∠1＝∠2 AB＝AB ∠ABD＝∠ABC
全等三角形的判定(ASA)
判定定理 3：有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)
在△ABC 和△DEF 中 ∠A=∠D （已知 ） AB=DE（已知 ） ∠B=∠E（已知 ） ∴ △ABC≌△DEF（ASA）
经典例题： 1、 在⊿ABC 中， AD 与 BE 相交于点 H， AD=BD， 高 且 求证： ⊿BHD≌⊿ACD，
求证： （1） △ABC ≌△ADC ； （2） BO DO ．
B 1 2 3 4
A
O D
C
5、如图， D 是 AB 上一点， DF 交 AC 于点 E ， AE EC ， CF ∥ AB ． 求证： AD CF ．
A D B E F
C
6、(2009 年武汉市)如图，已知点 E，C 在线 BF 线段上，已知：
BE CF，AB ∥ DE，ACB F ．求证： △ABC ≌△DEF ．
A
D
B
E
C
F
7、已知：如图，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB。求证：AB=DC。
A
D
1 B
2 C
A
H B D
E
C
2、如图：在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，过点 C 在△ABC 外作直线 MN， AM⊥MN 于 M，BN⊥MN 于 N。 （1）求证：MN=AM+BN。
M C N
A
B
3、已知:如图,AB=AC,AE 平分∠BAC.求证:∠DBE=∠DCE．
4、如图，四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于 O 点， 1 2 ， 3 4 ．
第五讲 ASA全等三角形的判定
A B C A ’B ’C ’A BC A ’B ’C ’第四讲 全等三角形的判定（三）（一）知识要点1、三角形全等的判定三、四：ASA 及AAS两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）。
书写格式：、在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∵⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠''''B B B A AB A A ∴△ABC ≌△A ’B ’C ’（ASA ） 知识延伸：“ASA ”中的“S ”必须是两个“A ”所夹的边。
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）。
书写格式：在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠''''C A AC B B A A ∴△ABC ≌△A ’B ’C ’（AAS ） 知识延伸：“AAS ”可以看成是“ASA ”的推论。
规律方法小结：由“角边角”及“角角边”可知两角及一边对应相等的两个三角形全等。
无论这个一边是“对边”还是“夹边”，只要对应相等即可。
(二)例题讲解：例1.如图所示，D 在AB 上，E 在AC 上，AB=AC, ∠B=∠C. 求证：AD=AE例2.如图，AB ⊥BC, AD ⊥DC, ∠1=∠2. 求证：AB=AD练习：如图所示,点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，AB ∥DF ，AC ∥DE ，AC =DE ，FC 与BE 相等吗？请说明理由.A B C D A ’B ’C ’D ’ 例3．已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ，求证：BE =CD ．例4：如图，已知△ABC ≌△A ’B ’C ’，AD ，A ’D ’分别是△ABC 和△A ’B ’C ’的边BC 和B ’C ’上的高。
求证：AD=A ’D ’例5．如图，点E 在AC 上，∠1=∠2，∠3=∠4.试证明BE= DE.（三）练习1．如图，已知AB= DC ，AD =BC ，E ，F 是DB 上的两点，且BE=DF.若∠AEB=100º，∠ADB= 30º．则∠BCF= 。
全等三角形的证明AAS、ASA教案
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了全等三角形的AAS和ASA证明方法的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些证明方法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《全等三角形的证明AAS、ASA》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要证明两个三角形完全相同的情况？”（如制作等腰三角形的桌面）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索全等三角形证明的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解全等三角形的AAS和ASA证明方法的基本概念。AAS是指已知两个角和其中一个角的对应边相等，ASA是指已知两个角和它们之间的夹边相等。这两种方法是几何中证明三角形全等的重要手段，广泛应用于解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何运用AAS和ASA方法证明两个三角形全等，以及它们在实际中的应用。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“全等三角形证明在生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
全等三角形的判定(ASA)
04 边角边(sas)判定定理
定理内容
两个三角形中，如果两边和它们之间的夹角分别相等，则 这两个三角形全等。
用数学符号表示为：如果$Delta ABC cong Delta DEF$， 且$AB = DE, BC = EF, angle B = angle E$，则$angle A = angle D$。
三角形全等在几何证明中的应用
证明线段相等
通过构造两个全等的三角形 ，利用全等三角形的对应边 相等，证明两条线段相等。
证明角度相等
利用全等三角形的对应 角相等，证明两个角度
相等。
证明垂直关系
通过证明两个三角形全等， 利用全等三角形的对应角为 直角，证明两条线段垂直。
证明平行关系
通过证明两个三角形全等， 利用全等三角形的对应边平
第六步，根据第三步和第五步的 结论，可得 $AC = A'C'$。
第七步，由全等三角形的判定条 件，有 $triangle ABC cong triangle A'B'C'$。
定理应用
01
在几何证明中，角边角(asa)判定 定理常用于证明两个三角形全等 ，从而可以进一步推导出其他几 何性质和结论。
定理证明
其次，根据已知条件$AB = AB$和$AC = AC$，利用 SSS判定定理可得$triangle ABC cong triangle ACD$。
首先，由已知条件可知，$angle A = angle A$和 $angle B = angle B$，所以$angle C = angle C$ （三角形的内角和性质）。
全等三角形判定一ASA,SAS基础知识讲解
全等三角形的判定一（ASA SAS （基础）【学习目标】1理解和掌握全等三角形判定方法1 “角边角”，判定方法2——“边角边”；能运用它们判定两个三角形全等.2.能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.【要点梳理】【全等三角形判定二，知识点讲解】要点一、全等三角形判定1―― “角边角”全等三角形判定1―― “角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ ASA）.要点诠释：如图，如果/ A=Z A', AB= A'B'，/ B=Z B'，则△A'B'C'.要点二、全等三角形判定2―― “边角边”1.全等三角形判定2―― “边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“ SAS）要点诠释：如图，如果AB = A'B'，/ A=Z A' , AC = A'C',则厶ABC^A A'B'C'.注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2.有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ ABC W^ABD中, AB= AB AC= AD / B=Z B,但△ ABC 与厶ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1 -------- “角边角【高清课堂：379110全等三角形判定二，例5】01、（优质试题？渝中区模拟）如图，已知AQBC相交于点QOB=O D / ABD M CDB【思路点拨】由0B=0,得出/ OBD h ODB进而得出，/ ABO h CDO 再利用ASA证明即可.【答案与解析】解：T OB=O,:丄 OBD h ODBvZ ABD h CDB:丄 ABO Z CDO在厶AOB^ COD中f ZAB0=ZCD0\ OB^OD ,[Z AOB=Z COD•••△AOB2A COD( ASA.【总结升华】此题考查全等三角形的判定，关键是得出Z ABO Z CDO 举一反三：【变式】如图，AB// CD AF// DE BE= CF.求证：AB= CD.【答案】证明：v AB// CD •••/ B=Z C.v AF// DE,「・Z AFB=Z DEC.又v BE= CF,「. B日EF= CF+ EF,即卩BF= CE.在厶ABF^ DCE中,B - . C* BF =CENAFB =NDEC•••△ABF^A DCE（ ASA••• AB= CD （全等三角形对应边相等）.类型二、全等三角形的判定2―― “边角边”02、（优质试题？泉州）如图，△ ABC>△ CDE均为等腰直角三角形，/ ACB= / DCE=90° 点 E 在AB 上.求证：△ CDACEB.【思路点拨】根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD, BC=AC，再利用全等三角形的判定证明即可.【答案与解析】证明：•/△ ABC、△ CDE均为等腰直角三角形，/ ACB= / DCE=90 °•CE=CD, BC=AC,•/ ACB -Z ACE= / DCE -Z ACE ,•/ ECB=Z DCA ,BC=AC[■ -： -■ •:,EC=DC03、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A 、B 、D【答案】AE = CD 并且AE1 CD证明：延长AE 交CD 于 F ，•••△ ABC ffi^ DBE 是等腰直角三A B D 【总结升华】本题考查了全等三角形的判定，熟记等腰直角三角形的 性质是解题的关键，同时注意证明角等的方法之一：利用等式的性质, 等量加等量，还是等量三点共线，AB= CB EB= DB / ABG=Z EBD= 90 ° ），连接AE CD 试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结 ••• AB= BC BD= BE在厶 ABE ffiA CBD 中AB = BCABE 二 CBD =90BE 二 BD• △ ABE^A CBD （ SAS• AE = CD / 1 = Z 2又T/ 1 + / 3= 90°，/ 3=Z 4 （对顶角相等）• /2+/4= 90°，即/ AFC= 90°• AE! CD。
三角形全等的判定ASA
边角边相等（SAS）
如果两个三角形的两边长度相等，且 这两边所夹的角也相等，则这两个三 角形全等。
三角形全等的应用
解决几何问题
通过三角形全等关系，可以证明 线段相等、角相等、垂直关系等 ，从而解决各种几何问题。
制作精确图形
在几何作图或设计领域，三角形 全等关系可以用来制作精确的图 形或模型。
02
与平行线判定定理的联系
在三角形全等的判定中，常常需要利用平行线的性质来证明 两个三角形全等。例如，在ASA全等判定定理中，需要证明 两角及夹角的边相等，而夹角的边是通过平行线性质推导出 来的。
与勾股定理的联系
勾股定理是三角形全等判定中的重要工具。在证明两个直 等于斜边的平方。
02
全等关系具有传递性，即如果三 角形ABC与三角形DEF全等，那 么三角形DEF也与三角形ABC全 等。
三角形全等的条件
边边边相等（SSS）
角边角相等（ASA）
如果两个三角形的三边长度分别相等 ，则这两个三角形全等。
如果两个三角形有两个角分别相等， 且这两个角所夹的边也相等，则这两 个三角形全等。
ssa全等判定方法
总结词
两边及其夹角对应相等的两个三角形 全等。
详细描述
根据SSA全等判定定理，如果两个三 角形有两边长度相等且这两边所夹的 角相等，则这两个三角形全等。这个 定理在解决几何问题时非常有用。
aas全等判定方法
总结词
两角及其夹边对应相等的两个三角形 全等。
详细描述
根据ASA全等判定定理，如果两个三 角形有两个角相等且这两个角所夹的 边也相等，则这两个三角形全等。这 个定理是三角形全等判定的重要依据 之一。
asa全等定理的应用
总结词：广泛实用
全等三角形判定二(ASA,AAS)
12.2 全等三角形判定二（ASA ，AAS ）全等三角形判定——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.注意：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .题型1：用ASA 判定三角形全等1.已知：如图，E ，F 在AC 上，AD ∥CB 且AD ＝CB ，∠D＝∠B．求证：AE ＝CF ．【答案与解析】证明：∵AD ∥CB∴∠A ＝∠C在△ADF 与△CBE 中A C AD CBD B Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴△ADF ≌△CBE （ASA ）∴AF ＝CE ，AF ＋EF ＝CE ＋EF故得：AE ＝CF【总结】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的【变式1-1】如图，已知AB=AC，∠B=∠C，求证：△ABE≌△ACD．【答案】证明：在△ABE和△ACD中，∵∠A=∠AAB=AC∠B=∠C，∴△ABE≌△ACD（ASA）．【解析】【分析】利用ASA证明△ABE和△ACD全等即可．【变式1-2】如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠AED．求证：△ABC≌△AED．【答案】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC,∴∠BAC=∠EAD,在△ABC与△AED中，∠BAC=∠EADAB=AE∠B=∠AED∴△ABC≌△AED(ASA)【解析】【分析】由∠1=∠2，证明∠BAC=∠EAD,再结合：AB=AE，∠B=∠AED，利用角边角公理可得结论．全等三角形判定——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）题型2：用AAS 判定三角形全等2.已知：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ．求证：AD ＝AC ．【思路点拨】要证AC ＝AD ，就是证含有这两个线段的三角形△BAC ≌△EAD.【答案与解析】证明：∵AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠BAE ＝90°∴∠CAD ＋∠DAB ＝∠BAE ＋∠DAB ，即∠BAC ＝∠EAD在△BAC 和△EAD 中BAC EAD B ECB=DE Ð=ÐìïÐ=Ðíïî∴△BAC ≌△EAD （AAS ）∴AC ＝AD【总结】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．【变式2-1】如图，在△ABC 和△CDE 中，点B 、D 、C 在同一直线上，已知∠ACB=∠E ，AC=CE ，AB ∥DE ，求证：△ABC ≌△CDE ．【答案】证明：∵AB ∥DE ，∴∠B =∠EDC ，在△ABC 和△CDE 中，∠B =∠EDC ∠ACB =∠E AC =CE，∴△ABC≌△CDE (AAS )．【解析】【分析】利用“AAS”证明△ABC≌△CDE 即可。
三角形全等的判定(AAS、ASA)课件
A
∠F=180o - ∠D -∠E
C
又∵ ∠A=∠D， ∠B=∠E
∴ ∠C=∠F
B
D
在△ABC和△DEF中
∠B=∠E BC=EF ∠C=∠
必须是两角夹的一边才可以证明的两个三角形全等吗？ 你发现了什么？
A
结论：
有两个角和 其中一个角的对边 对应 相等的两个三角形全等。
三角形全等的判定
角边角（ASA）、角角边（AAS）
合作探究一：阅读课本P39探究4说出你的结论：
先任意画一个△ABC，再画一个△A'B'C'
使得A'B'=AB， ∠A' = ∠A ，∠B' = ∠B；E D
C
C'
A
B
A'
B'
画法： 1、画A'B'=AB 2、画∠A'= ∠A;再画∠B'= ∠B
A'D、B'E交于点C'
全等？ 1. 注意格式
2.字母对应
三角形全等判定方法3： 三角形全等判定方法4：
在ΔABC和ΔDEF中 ∠B=∠E
∵ BC= EF ∠C=∠F
在ΔABC和ΔDEF中 ∠B=∠E
∵ ∠C=∠F AC=DF
∴ΔABC≌DEF（ASA） A
∴ΔABC≌DEF （AAS） D
B
C
E
F
课堂小结
判断三角形全等的两个定理，它们分别是： （1）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 （ASA）
解：△AOC≌△BOD，理由如下：
∵点O是AB的中点