第8章 正弦量与相量
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【第8章】 相量法
实轴 +1
复数在复平面上可 以用向量表示。
0
a1
2. 复数的四种表示形式
⑴ 表达式 ① 代数形式 A= a1+ ja2 +j a2 A
② 极坐标形式
③ 三角函数式 ④ 指数形式
0 模 幅角 A a cos j + j a sin j
A aj
a φ
a1 +1
A ae jj
（由欧拉公式e jφ = cos φ + jsin φ得到） ⑵ 四种表达式关系
I e jy i I y I m m m i
复振幅与正弦量的一一对应关系： 复振幅的模是正弦量的最大值 复振幅的幅角为正弦量的初相位
jy i I Ie Iy i 复有效值
复有效值与正弦量的一一对应关系： 复有效值的模是正弦量的有效值 复有效值的幅角为正弦量的初相位
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
φ =0，同相； i i1
0 i2
φ = (180o) ，反相； i i1 i2
wt
0 i i1
wt
φ = /2，正交；
i2
wt 因为规定了： |φ| (180°)。 0 所以，我们说i1 领先 i2 /2, 而不说i2落后i1 3 /2
注：我们此处比较的是两个电流的相位差，那么，我们是 否可以比较一个电压和一个电流的相位差？在今后的分析 中可以利用电压和电流的相位差来判断电路的性质。
线圈从中性面开始转过了ωt 时，导线切割磁 力线的速度是ωr SIN ωt
可见：交流电是电流的大小和方向都随时间做周期 性变化的电流。
交流电有许多优点: •交流电可以用变压器升高或降低电压， •交流电可以驱动结构简单，运行可靠的交流 感应电动机，交流电是廉价的动力或能量来源。
复数在复平面上可 以用向量表示。
0
a1
2. 复数的四种表示形式
⑴ 表达式 ① 代数形式 A= a1+ ja2 +j a2 A
② 极坐标形式
③ 三角函数式 ④ 指数形式
0 模 幅角 A a cos j + j a sin j
A aj
a φ
a1 +1
A ae jj
（由欧拉公式e jφ = cos φ + jsin φ得到） ⑵ 四种表达式关系
I e jy i I y I m m m i
复振幅与正弦量的一一对应关系： 复振幅的模是正弦量的最大值 复振幅的幅角为正弦量的初相位
jy i I Ie Iy i 复有效值
复有效值与正弦量的一一对应关系： 复有效值的模是正弦量的有效值 复有效值的幅角为正弦量的初相位
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
φ =0，同相； i i1
0 i2
φ = (180o) ，反相； i i1 i2
wt
0 i i1
wt
φ = /2，正交；
i2
wt 因为规定了： |φ| (180°)。 0 所以，我们说i1 领先 i2 /2, 而不说i2落后i1 3 /2
注：我们此处比较的是两个电流的相位差，那么，我们是 否可以比较一个电压和一个电流的相位差？在今后的分析 中可以利用电压和电流的相位差来判断电路的性质。
线圈从中性面开始转过了ωt 时，导线切割磁 力线的速度是ωr SIN ωt
可见：交流电是电流的大小和方向都随时间做周期 性变化的电流。
交流电有许多优点: •交流电可以用变压器升高或降低电压， •交流电可以驱动结构简单，运行可靠的交流 感应电动机，交流电是廉价的动力或能量来源。
相量和正弦量的关系
相量和正弦量的关系相量和正弦量在物理学和工程学中有着密切的关系。
相量是指具有大小和方向的物理量，而正弦量是指以正弦函数形式变化的物理量。
本文将探讨相量和正弦量之间的关系及其在物理学和工程学中的应用。
我们来了解相量的概念。
相量是指具有大小和方向的物理量。
例如，位移、速度、加速度等都属于相量。
相量可以用箭头表示，箭头的长度表示大小，箭头的方向表示方向。
相量的加法是通过将相量的箭头相连形成一个新的相量。
相量的减法是通过将相量的箭头反向相连形成一个新的相量。
相量的大小可以用数值表示，而方向可以用角度或方向余弦表示。
正弦量是指以正弦函数形式变化的物理量。
正弦函数是一种周期性的函数，可以用来描述周期性变化的物理量。
正弦函数的图像是一个波形，具有上升和下降的周期性变化。
正弦函数的周期是2π，振幅决定了波形的高度。
相量和正弦量之间的关系在很多物理学和工程学问题中都有应用。
例如，在交流电路中，电流和电压都是正弦量。
通过分析电流和电压的相位差，我们可以确定电路中的电抗和电感。
在机械振动中，位移和速度也是正弦量。
通过分析振动系统的相位差，我们可以确定系统的共振频率和阻尼比。
在物理学中，相量和正弦量的运算可以通过复数来表示。
复数是由实部和虚部组成的数，可以表示相量的大小和方向。
通过对复数进行运算，可以实现相量的加法、减法和乘法。
在工程学中，相量和正弦量的运算可以通过欧拉公式来表示。
欧拉公式将正弦函数和余弦函数与复指数函数联系起来，使得相量的运算更加方便。
欧拉公式可以表示为e^(jωt) = cos(ωt) + jsin(ωt)，其中e是自然对数的底，j是虚数单位，ω是角频率，t是时间。
在实际应用中，相量和正弦量的关系可以通过傅里叶级数展开来分析。
傅里叶级数可以将任意周期函数表示为多个正弦函数和余弦函数的叠加。
通过傅里叶级数展开，我们可以将复杂的周期性变化分解为多个简单的正弦量。
相量和正弦量在物理学和工程学中有着重要的应用。
正弦量和相量的相互转化
正弦量和相量的相互转化正弦量和相量是物理学中常用的两个概念，它们之间存在着密切的关系。
正弦量是指一个周期性变化的物理量，可以用正弦函数来描述；而相量则是指表示一个物理量的大小和方向的有向线段。
本文将从正弦量和相量的定义、性质以及相互转化的方法等方面进行介绍，以帮助读者更好地理解和应用这两个概念。
一、正弦量的定义和性质正弦量是指一个物理量随时间变化的规律呈现出周期性的特征。
在数学上，正弦量可以用正弦函数来表示，即y=A*sin(ωt+φ)，其中A 表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示相位。
正弦函数的图像是一条连续的曲线，呈现出周期性的波动。
正弦量具有以下性质：1. 周期性：正弦函数的图像在一个周期内重复出现，周期为2π/ω，即振动的时间间隔。
2. 振幅：振幅A表示正弦函数图像的最大值，即波峰或波谷的高度。
3. 相位：相位φ表示正弦函数图像在时间轴上的水平偏移量，可以用来描述波形的起始位置。
4. 频率：频率f是周期的倒数，即f=1/T，表示单位时间内振动的次数。
5. 相位差：两个正弦量之间的相位差指的是它们图像上波峰或波谷之间的时间差，也可以用来描述波形的相对位置。
二、相量的定义和性质相量是指表示一个物理量的大小和方向的有向线段。
在物理学中，我们常用箭头来表示一个相量，箭头的长度表示物理量的大小，箭头的方向表示物理量的方向。
相量在数学上可以用坐标来表示，即(x, y, z)，其中x、y、z分别表示相量在三个坐标轴上的分量。
相量具有以下性质：1. 大小：相量的大小等于其分量的矢量和的模，即|A|=√(x²+y²+z²)。
2. 方向：相量的方向由其分量的方向决定，可以用一个角度或者一个方向余弦来表示。
3. 加法：相量的加法遵循平行四边形法则，即将两个相量的起点连接起来，然后从起点到终点的有向线段表示它们的矢量和。
4. 减法：相量的减法可以通过将减去的相量取负再进行加法运算来实现。
正弦量与相量法的基本概念
L
di dt
+
Ri
=
us
当激励uS为正弦量时,方程的特解是与uS同频率的正弦量。
设 i(t) = Im cos(t + i ) = Re( Ime jt ) uS (t) = U Sm cost = Re(U Sme jt )
代入微分方程得：
L
d
•
[Re(I m
e jt )]+
•
R Re(I m
e jt )
N
线性
1
2
N
线性
非
线性
不适用 ③ 相量法可以用来求强迫响应是正弦量的任意常系数线
性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。
18
例 1 如有两个同频率的正弦电压分别为
u1(t) = 2220cos t (V) u2(t) = 2220cos(t 120 ) (V)
求 u1+u2 和 u1u2。
•
T=2π
=2π／T
频率：f
f =1／T
=2πf
频率的单位：HZ，赫兹
其它常用单位：
1KHZ=103HZ
1MHZ=106HZ
1GHZ=109HZ
我国工业用电的频率为50HZ。在工程实际中，常以频率的大小 作为区分电路的标志，如高频电路，低频电路等。
2
正弦电压与电流
3
初相角的单位为弧度(rad)或度(°)。通常在-π≤ φu或φi)≤π的 主值范围内取值。
F1·F2=Fej ej
F逆时针旋转一个角度 ，模不变
ej 称为旋转因子。
j
e2
= cos
+
j sin
=+j
第八章 相量法
2
t φ
2、 φ<0；即ψ1<ψ2，则u1滞后 2φ角。 、 滞后u 角 ； ψ u u =u +u u2 φ 3、 φ=0； 3、 φ=0；即ψ1=ψ2， ψ 同相。 则u1与u2同相。 u u1 u2 t Um= Um1+Um2 u1 t =Um1cos(ωt+ψ1)+ Um2cos(ωt+ψ2) ψ ψ =Umcos(ωt+ψ) ψ Um× m1+Um2 =U ψ ≠ ψ1+ ψ2 4、 φ=±π；即ψ1=ψ2 ±π ， 、 ± ； ψ 反相。 则u1与u2反相。 u u u1
例 1： I R 4V
–j 1 jωL ωC
10V 7V U=？ ？ 方法一： 方法一：相量图法 UL 10V 3V 7V UC U 4V UR I U=5V
解：串联电路电流 相同，而R、L、C上电 相同， 、 、 上电 压的相位不同。所以， 压的相位不同。所以， 不能直接用有效值相加。 不能直接用有效值相加。 方法二： 方法二：相量法 设： I =I 0º 则：UR = 4 0º V UC= 7 –90º V
相量形式电路图 I U 相量图
相量关系既反映了u、 相量关系既反映了 、i 的有效 值关系又反映了相位的关系。 值关系又反映了相位的关系。
若： = 2 Icos(ωt+ψi ) i i L di i u=L dt = – 2 IωLsin(ωt+ψi ) 则： t u = 2 IωLsin(ωt+ψi +90º) 比较u 的表达式 的表达式： 比较 、i的表达式： = 2 Ucos(ωt+ψu ) ψ ①u、i 同频率 、 ② ψu= ψi +90º 电感上电压相位超前电流相位 。 电感上电压相位超前电流相位90º。 U 感抗 = ωL =XL 有效值关系： ③有效值关系： U=IωL I 直流： 直流：ω=0, XL=0, 电路短路 感抗与ω成正比 成正比,ω↑ 感抗与 成正比 ↑,XL↑ 高频交流： →∞,电路断路 高频交流： XL→∞ 电路断路 相量关系： ④相量关系： I jωL U U =jωL=jX I 相量图 U L I 相量形式电路图
t φ
2、 φ<0；即ψ1<ψ2，则u1滞后 2φ角。 、 滞后u 角 ； ψ u u =u +u u2 φ 3、 φ=0； 3、 φ=0；即ψ1=ψ2， ψ 同相。 则u1与u2同相。 u u1 u2 t Um= Um1+Um2 u1 t =Um1cos(ωt+ψ1)+ Um2cos(ωt+ψ2) ψ ψ =Umcos(ωt+ψ) ψ Um× m1+Um2 =U ψ ≠ ψ1+ ψ2 4、 φ=±π；即ψ1=ψ2 ±π ， 、 ± ； ψ 反相。 则u1与u2反相。 u u u1
例 1： I R 4V
–j 1 jωL ωC
10V 7V U=？ ？ 方法一： 方法一：相量图法 UL 10V 3V 7V UC U 4V UR I U=5V
解：串联电路电流 相同，而R、L、C上电 相同， 、 、 上电 压的相位不同。所以， 压的相位不同。所以， 不能直接用有效值相加。 不能直接用有效值相加。 方法二： 方法二：相量法 设： I =I 0º 则：UR = 4 0º V UC= 7 –90º V
相量形式电路图 I U 相量图
相量关系既反映了u、 相量关系既反映了 、i 的有效 值关系又反映了相位的关系。 值关系又反映了相位的关系。
若： = 2 Icos(ωt+ψi ) i i L di i u=L dt = – 2 IωLsin(ωt+ψi ) 则： t u = 2 IωLsin(ωt+ψi +90º) 比较u 的表达式 的表达式： 比较 、i的表达式： = 2 Ucos(ωt+ψu ) ψ ①u、i 同频率 、 ② ψu= ψi +90º 电感上电压相位超前电流相位 。 电感上电压相位超前电流相位90º。 U 感抗 = ωL =XL 有效值关系： ③有效值关系： U=IωL I 直流： 直流：ω=0, XL=0, 电路短路 感抗与ω成正比 成正比,ω↑ 感抗与 成正比 ↑,XL↑ 高频交流： →∞,电路断路 高频交流： XL→∞ 电路断路 相量关系： ④相量关系： I jωL U U =jωL=jX I 相量图 U L I 相量形式电路图
电路分析基础第五版第8章
u (t) R U m e e j( t[ )] RU m e e je j[ t]
令 Um Umej, 则
u(t)RU em e[jt]RU em [t]
由此通过数学方法，把一个实数范围内的正弦
时间函数与一个复数范围的复指数函数一一对应 起来。该复指数函数包含了正弦量的三要素。
如图5-2（a）、（b）、（c）、（d）分别表 示两个正弦量同相、超前、正交、反相。
三、正弦电流、电压的有效值
1、有效值
周期量的有效值定义为：一个周期量和一个直 流量，分别作用于同一电阻，如果经过一个周 期的时间产生相等的热量，则这个周期量的有 效值等于这个直流量的大小。电流、电压有效 值用大写字母I、U表示。
同理： U1 2U m0.70 U m 7 U m 2 U 通常所说的正弦电压、电流的值均指有效值。
有效值可作为正弦量“三要素”之一。
§8-3 相量法的基础
相量法就是用复数来表示正弦量，使描述正弦电 路的微分(积分)方程转化为代数形式的方程，而这 些方程在形式上与电阻电路的方程相类似，从而 使正弦激励下的电路的分析和计算大大简化。
其中
UmUmej Um
是一个与时间无关的复值常数，其模为该正弦电
压的振幅，辐角为该正弦电压的的初相，它包含 了该正弦电压“三要素”中的两项。
如果给定角频率，则
UmUmej Um
可以完全地确定一个正弦电压，称之为相量。
2、相量定义：相量就是一个能够表示正弦时间函 数的复数。
(1)电压相量：幅值相量
压源为 us(t)U sm co ts(s)V ，求开关闭合后电容电
压uC(t)。 微分方程：
RC ddC utuCUsm cost(s)
电工学第8章正弦量与相量
除法：模相除，角相减。
例1.
547 10 25 ?
5 47 10 25 ( 3 . 41 j 3 . 657 ) ( 9 . 063 j 4 . 226 ) 解
12.47 j 0.569 12.48 2.61
例2.
解
(17 j9) (4 j6) 220 35 ? 20 j5 19.24 27.9 7.21156.3 原式 180.2 j126.2 20.6214.04 180.2 j126.2 6.72870.16
故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
3. 正弦量的相量表示
构造一个复函数
无物理意义
j( wt Y )
A(t ) 2Ie
2Icos(wt Y ) j 2Isin( wt Ψ )
对A(t)取实部：
是一个正弦量 有物理意义
Re[A(t )] 2Icos( w t Ψ ) i(t)
例
100 50
i
已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s， （1）写出i(t)表达式； （2）求最大值发生的时间t1
t
t1
解 i ( t ) 100 cos(103 t y )
0
t 0 50 100 cosy
由于最大值发生在计时起点右侧
i ( t ) 100 cos(103 t
A | A | e
j
A | A | e j
| A | (cos j sin ) a jb
A | A | e j | A |
两种表示法的关系：
复数也是矢量 直角坐标表示 极坐标表示
例1.
547 10 25 ?
5 47 10 25 ( 3 . 41 j 3 . 657 ) ( 9 . 063 j 4 . 226 ) 解
12.47 j 0.569 12.48 2.61
例2.
解
(17 j9) (4 j6) 220 35 ? 20 j5 19.24 27.9 7.21156.3 原式 180.2 j126.2 20.6214.04 180.2 j126.2 6.72870.16
故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
3. 正弦量的相量表示
构造一个复函数
无物理意义
j( wt Y )
A(t ) 2Ie
2Icos(wt Y ) j 2Isin( wt Ψ )
对A(t)取实部：
是一个正弦量 有物理意义
Re[A(t )] 2Icos( w t Ψ ) i(t)
例
100 50
i
已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s， （1）写出i(t)表达式； （2）求最大值发生的时间t1
t
t1
解 i ( t ) 100 cos(103 t y )
0
t 0 50 100 cosy
由于最大值发生在计时起点右侧
i ( t ) 100 cos(103 t
A | A | e
j
A | A | e j
| A | (cos j sin ) a jb
A | A | e j | A |
两种表示法的关系：
复数也是矢量 直角坐标表示 极坐标表示
第08章 相量法
α= π
2 , e
j
复
数
Im
ɺ + jI
π
2 =+j
ɺ I
π
2
= cos
j−
π
2
+ j sin
0
Re
ɺ − jI
α =−
π
2
π
2
, e
= cos(− ) + j sin(− ) = − j 2 2
π
π
ɺ −I
2>、反向因子-1 、反向因子
α = ±π , e j ±π = cos(±π ) + j sin(±π ) = −1
def
T
0
有效值也称均方根值 有效值也称均方根值(root-meen-square，简 也称均方根值 ， 记为 rms。) 。
8. 1 正弦量的基本概念
电流有效值的物理意义： 电流有效值的物理意义： 周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期 内吸收的 ，在一周期T 电能，等于一直流电流I 流过R 在时间T 电能，等于一直流电流 流过 , 在时间 内吸收的电 的有效值。 能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。 i(t) 如图： 如图： T 2
m
8. 2
一、复数A表示形式 复数 表示形式
复
数
Im b A
在平面上， 在平面上，由O指向Ａ的有向 指向 线段（向量）， ），表示复数 线段（向量），表示复数Ａ。 1、直角坐标表示 、 代数形式： 代数形式：
O Im b
a A |A|
Re
Ａ=a+jb
Re[Ａ]=a Im[Ａ]=b
1 j = =−j j j⋅ j
8. 1 正弦量的基本概念
2 , e
j
复
数
Im
ɺ + jI
π
2 =+j
ɺ I
π
2
= cos
j−
π
2
+ j sin
0
Re
ɺ − jI
α =−
π
2
π
2
, e
= cos(− ) + j sin(− ) = − j 2 2
π
π
ɺ −I
2>、反向因子-1 、反向因子
α = ±π , e j ±π = cos(±π ) + j sin(±π ) = −1
def
T
0
有效值也称均方根值 有效值也称均方根值(root-meen-square，简 也称均方根值 ， 记为 rms。) 。
8. 1 正弦量的基本概念
电流有效值的物理意义： 电流有效值的物理意义： 周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期 内吸收的 ，在一周期T 电能，等于一直流电流I 流过R 在时间T 电能，等于一直流电流 流过 , 在时间 内吸收的电 的有效值。 能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。 i(t) 如图： 如图： T 2
m
8. 2
一、复数A表示形式 复数 表示形式
复
数
Im b A
在平面上， 在平面上，由O指向Ａ的有向 指向 线段（向量）， ），表示复数 线段（向量），表示复数Ａ。 1、直角坐标表示 、 代数形式： 代数形式：
O Im b
a A |A|
Re
Ａ=a+jb
Re[Ａ]=a Im[Ａ]=b
1 j = =−j j j⋅ j
8. 1 正弦量的基本概念
电路原理课件 第8章 相量法
三. 相位差 ：
两个同频率正弦量相位角之差。
i(t) 0
Im um
设 u(t)=Umcos(w t+ u)
2
i(t)=Imcos(w t+ i)
0
wt
则 相位差j : j = (w t+ u)- (w t+ i)
u- i
同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差。 不同频率的两个正弦量之间的相位差不再是一个常数，而是 随时间变动。
j u与i正交; j u与i反相;
2
§8 - 3相量法的基础
1. 正弦量的相量表示
复函数 F F ej(wt)
没有物理意义
F cos(wt ) j F sin(wt Ψ )
若对F取实部：
Re[F] F cos(ωt Ψ ) 是一个正弦量，有物理意义。
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的 复指数函数：
F e j
4、极坐标形式：
F F ej
=|F|
二 复数运算
(1)加减运算——代数形式
+j F2
若 F1=a1+jb1
F2=a2+jb2 O
则 F1±F2= (a1±a2) +j (b1±b2)
F= F1 +F1
F1 +1
+j
O - F2
F2 F1
F= F1 - F2 +1
(2) 乘除运算——指数形式或极坐标形式
⑶∫i2dt。
解： ⑴设 i i1 i2 2I cos(wt i ), 其相量为 I=I/Ψi
I I1 I2 10/600A+22/-1500A=（5+j8.66）A+（-19.05-j11）A
第8章( 8.1-8.3) 相量及相量分析法
例
i(t)
+ u(t) -
R
已知： u( t ) U m sin(wt y u ) 解: L
求：稳态解 i(t)
1. 经典法: 一阶常系数 di(t ) Ri (t ) L U m sin(wt y u ) 线性微分方程 dt 自由分量(齐次方程通解)： A e-(R/L) t
全解：
第8章 相量及相量分析法 8.1-8.3 重点：
复数及其运算 相位差
相量和相量图 正弦量的相量表示
电路元件VCR 的相量形式
电路定律的相量形式
8 .1 .1 正弦量的基本概念 正弦交流电路
如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按 正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向 也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。
u (t ) 2U cos(wt y ) U Uy
例1. 已知
解： I 10030o A
o
i 141.4 cos(314t 30 ) A u 311.1cos(3 14t 60o )V
试用相量表示 i, u 。
U 220 60o V
14
例2. 已知 I 5015o A, f 50Hz . 试写出电流的瞬时值表达式。
y
Re
a
Re
A a jb
A A e jy | A | y
11
2. 复数运算
(1)加减运算——直角坐标
(2) 乘除运算——极坐标 3. 旋转因子
A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
A1 A2 A1 A2 y 1 y 2
复数 e jy = cos y + jsin y = 1∠y A e jy A逆时针旋转一个角度y ，模不变
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几种不同值时的旋转因子
Im
e
j
2
jI
0
I
,
2
cos
2
j sin
2
2
Re
jI
j
I
, e 2
j
cos( ) j sin( ) j 2 2
, e j cos( ) j sin( ) 1
备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值 指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按 最大值考虑。 （2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一 般为有效值。
i , Im , I
（3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
8.2 正弦量的相量表示
1. 问题的提出：
电路方程是微分方程： +i
1 频率f 周期T
周期T ：重复变化一次所需的时间。 单位：s(秒)
频率f ：每秒重复变化的次数。
单位：Hz(赫兹)
周期T 、频率f 与角频率ω 交流电的角频率ω就是角位移与所用的时间 之比，它表示了交流电每秒所经过的电角度。交 流电变化一周，就相当于变化了２π弧度。角频 率的单位是弧度／秒，它与周期、频率的关系为
A1 A2 A1 e j1 A2 e j 2 A1 A2 e j (1 2 )
A1 | A1 | θ 1 | A1 | e jθ 1 | A1 | j( θ 1θ 2 ) e jθ 2 A2 | A2 | θ 2 | A2 | e | A2 | | A1 | θ 1 θ 2 | A2 |
除法：模相除，角相减。
例1.
547 10 25 ?
547 10 25 (3.41 j 3.657) (9.063 j 4.226) 解
12.47 j 0.569 12.48 2.61
例2.
解
(17 j9) (4 j6) 220 35 ? 20 j5 19.24 27.9 7.21156.3 原式 180.2 j126.2 20.6214.04 180.2 j126.2 6.72870.16
0
j 3 4 ( 2) 5 4 0 j 2 5 4 3 4
i2 (t ) 10 cos(100t 1050 )
j 300 (1050 ) 1350
w1 w 2
不能比较相位差
i2 (t ) 3 cos(100t 1500 )
k 1 k
n
2. 解决的思路
可以将正弦量用一个矢量来进行图示，即用矢量的模 表示正弦量的幅值，而用矢量与横轴的夹角表示正弦量的 相位角，如图所示。
Im (wt i )
显然，随着时间的连续变化，这个矢量将会逆时针旋转。 将这个旋转矢量与 正弦量对应起来
Im
i( A)
(wt i )
Im
当 10 t1 3 有最大值
3
3
y 3 y
3
) t1＝
3
10
3
＝1.047ms
3. 同频率正弦量的相位差 (phase difference)。
设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i) 则 相位差 ：j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i 等于初相位之差
w 2 f 2 T
单位： rad/s ，弧度 / 秒
i Im O T 2 twt
(3) 初相位(initial phase angle) y 反映正弦量的计时起点， 常用角度表示。
y/w y
同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。 i
一般规定：|y | 。 0
t
y =0 y =－/2
180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5 225.536
(3) 旋转因子： 复数
Im
A• ej
A Re
ej =cos
+jsin =1∠
0
A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模不变。
故把 ej 称为旋转因子。
w =2 / T 2 f
正弦电流电路
激励和响应均为正弦量的电路 （正弦稳态电路）称为正弦电路 或交流电路。
研究正弦电路的意义： （1）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重 要的地位。 优点： 1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分 运算后仍是同频率的正弦函数 2）正弦信号容易产生、传送和使用。
u, i u i 0 j= /2：
u, i
u
0
u, i u
iw t
wt
i 0
u 领先 i /2, 不说 u 落后 i 3/2； i 落后 u /2, 不说 i 领先 u 3/2。
wt
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
例
计算下列两正弦量的相位差。 解
(1) i1 ( t ) 10 cos(100 t 3 4) i2 ( t ) 10 cos(100 t 2)
1 U T
def
T
0
u ( t )dt
2
1 I T
T
0
I cos ( w t Ψ ) dt
2 m 2
T 0
T
0
cos ( w t Ψ ) dt
2
1 cos 2(w t Ψ ) 1 dt t 2 2
T 0
1 T 2
1 2 T Im I Im 0.707 I m T 2 2
( 2) i1 ( t ) 10 cos(100 t 300 ) i2 ( t ) 10 sin(100 t 150 ) ( 3) u1 ( t ) 10 cos(100 t 300 ) u2 ( t ) 10 cos(200 t 450 ) (4) i1 ( t ) 5 cos(100 t 30 )
6 2
当正弦曲线上的一点沿着的正 方向向前运动时，左边对应的 矢量将会逆时针旋转。
wt (rad )
向量图
波形图
角频率： w 有效值：
u, i i1 I1
i1
0
w
i2
i2 I2
i1+i2 i3 i3 w
I3 wt
初相位： 1
2
3
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只 要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此，
观察下面两个复数：
Im b
A |A|
A=|A|ej =|A|
0 旋转因子 Im
a Re ejωt 1 ωt 0
ejω t
构造一个新 的复数矢量
Re
Ae
jwt
Ae e
j
jwt
Ae
j (wt )
根据欧拉公式
无物理意义
j jwt
Ae
jwt
Ae e
Ae
j (wt )
Im 2I
i ( t ) I m cos(w t Ψ ) 2 I cos(w t Ψ )
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
U
1 2
Um
或
U m 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V； U=380V， Um537V。
注 （1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设
R
C L
u
_
d uC duC LC RC uC u( t ) dt dt
2
两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算。
i1 2 I1 t y 2 )
若干个正弦量叠加
i (t ) 0
k 1 k
n
u (t ) 0
Im A2
图解法
(1)加减运算——采用代数形式 若 则
A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
A1
0 Re
(2) 乘除运算——采用极坐标形式
若 则:
A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2
A1 A2 1 2
乘法：模相乘，角相加。
求 u1 (t ) u2 (t )=?
0
用复矢量表示为
u1 (t )=100cos(wt 60 )
u2 (t )=200cos(wt 30 )
物 理 意 义
周期电流、电压有效值(effective value)定义
直流I
R
交流i
R
W RI T
2
W Ri ( t )dt
T 2 0
电流有效 值定义为
1 T 2 I i (t )dt 0 T
def
有效值也称均方根值 (root-meen-square)
同样，可定义电压有效值：
正弦电流、电压的有效值 设 i(t)=Imcos(w t+ )
j 300 (1500 ) 1200
i2 ( t ) 3 cos(100 t 30 )
0
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符 号，且在主值范围比较。
4. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其 平均效果工程上采用有效值来表示。
A | A | e j | A |
两种表示法的关系：
复数也是矢量 直角坐标表示 极坐标表示