高中数学知识点调研检测题9
2019-2020学年高二数学九月调研测试试题(含解析)
2019-2020学年高二数学九月调研测试试题（含解析）一、选择题：1.已知集合，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题首先可以根据题意明确集合与集合所包含的元素，然后根据交集的定义即可得出结果。
【详解】因为集合，集合，所以，故选C。
【点睛】本题考查了交集的相关性质，交集是取两个集合中共同包含的元素，考查推理能力，是简单题。
2.不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题首先可通过因式分解将不等式转化为，然后通过计算即可得出结果。
【详解】不等式，即，即或，解得，故选A。
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，能否熟练使用一元二次不等式的解法是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题。
3.设为数列的前项和，若，，则A. 31B. 63C. 105D. 127【答案】B【解析】【分析】本题首先根据可判断出数列是公比为的等比数列，然后根据计算得出，最后根据等比数列前项和公式即可得出结果。
【详解】因为，所以，所以，，数列是公比为的等比数列，因为，所以，，所以，故选B。
【点睛】本题考查等比数列的相关性质，考查等比数列的定义以及等比数列的前项和公式，考查计算能力以及推理能力，是中档题。
4.已知向量的夹角为，且，，则A. 3B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题首先可根据向量计算出向量的模长，然后通过向量的数量积公式以及向量计算的相关性质对进行化简，得出，即可得出结果。
【详解】因为，所以，所以，故，故选C。
【点睛】本题考查向量的计算、向量的模长公式以及向量的数量积公式，若向量的夹角为，则向量的数量积，考查计算能力，是简单题。
5.已知，，，则的大小关系为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用利用等中间值区分各个数值的大小。
【详解】；；。
故。
故选A。
【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待。
6.求值：4cos 50°－tan 40°＝( )A. B. C. D. 2－1【答案】C【分析】原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．【详解】4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°======．故选：C．【点睛】本题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．7.在中，，，角的角平分线，则（）A. B. C. D.【答案】D【分析】本题首先可根据正弦定理以及、、计算出，然后根据是角的角平分线计算得出以及，最后利用正弦定理即可得出结果。
山东省青岛市2024届高三上学期期初调研检测数学试题(含解析)
山东省青岛市2024届高三上学期期初调研检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________五、解答题(1)求证：⊥AE平面1A BC；AA C的夹角的余弦值(2)求平面AEF与平面1A，19．已知O为坐标原点，(1,0)参考答案：设O 为底面正方形ABCD 的中心，所以PO ⊥对于A 选项：由棱锥体积公式13V Sh =可知，只需求出棱锥的高已知底面正方形ABCD 的边长为4且侧棱PA 理有22211144222AO AC AB BC ==+=⨯+()()22224222h PO PA AO ==-=-=设点E 为外接球球心，()(2262R -+对于D 选项：由以上分析注意到一方面有设F 为AB 中点，所以股定理可得PF =12PAB S PF AB =⋅⋅V S S S ++16．237 6【分析】根据椭圆的性质以及离心率即可求解空的坐标运算即可求解空2.)50+= 17．(1)30A=︒(2)31 4 +【分析】（1）利用正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式等知识化简已知条件，由此求得则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()10,0,2A ()1,0,1AE =u u u r，()2,2,0AF = ，1AA = 设平面AEF 的法向量为(11,,n x y z =110n AE x z ⎧⋅=+=⎪设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线PQ 3y kx =-与2214y x -=联立得：(由()22365240k k ∆=+->且4-由韦达定理得1226413k x x k x x ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=，。
高三数学9月学情调研考试试题含解析 试题
2021届高三数学9月学情调研考试试题〔含解析〕参考公式：柱体的体积公式：V=Sh ，其中S 为为柱体的底面积，h 为柱体的高. 球的体积公式：343V R π=，其中R 为球体的半径. 一、填空题：(请将答案写在答题卡相应位置．)()f x 的定义域是【答案】[1,)+∞ 【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足101x x -≥∴≥，因此定义域为[1,)+∞ 考点：函数定义域z 满足(2)1z i i -=+〔i 是虚数单位〕，那么复数z 的模是________．【解析】 【详解】(2)1z i i -=+，11323,i iz i i i++∴=+==-z =.3.某算法的流程图如下图，那么物出的n 的值是_______．【答案】4 【解析】 【分析】循环代入n p 、的值，直到10p >时输出p 的值.【详解】第一次循环：2,5n p ==；第二次循环：3,10n p ==；第三次循环，4,17n p ==，此时满足10p >可退出循环得：4n =.【点睛】此题考察程序框图循环构造中的判断问题，难度较易.程序框图问题主要是两种处理方法：〔1〕逐步列举，将退出循环前的情况依次列举；〔2〕根据循环构造中的特殊形式简化运算.4.某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如下图，其中成绩分组区间是：[40，50〕，［50，60)，［60，70)，［70，80〕，［80，90〕，［90，100〕，那么图中x 的值是_______【解析】 【分析】根据频率和为1来计算x 的值.【详解】因为(0.00630.010.054)101x ⨯+++⨯=，所以0.018x =. 【点睛】此题考察频率分布直方图中频率总和为1这一知识点，难度较易.5.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自选择其中一个参加，且每位同学参加各个兴趣小组的可能性一样，那么这两位同学参加了不同的兴趣小组的概率为______ 【答案】23【解析】 【分析】甲、乙参加了不同的兴趣小组的可能数与可能的情况总数的比值即为对应概率.【详解】甲、乙参加了不同的兴趣小组的情况有23A =6种，总的可能情况有339⨯=种，那么概率62=93P =. 【点睛】此题考察古典概型的概率计算，难度较易.古典概型的概率计算公式为：P =待求事件包含的基本事件个数可能出现的事件总数.cm ，高为4 cm 的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球(不计损耗〕，那么该钢球的半径为_______cm 【答案】3 【解析】 【分析】根据熔化前后的体积不变求解钢球的半径即可.【详解】圆柱体积：=94=36V ππ⨯⨯圆柱，球的体积：34=3V r π球，所以34363r ππ=，解得3r =.【点睛】圆柱的体积公式：2V r h π=；球的体积公式：343V r π=. xoy 中，假设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形，那么该双曲线的离心率为______．【解析】 【分析】根据准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形得到渐近线的斜率，然后再计算离心率的值.【详解】由题意可知其中一条渐近线倾斜角为：30︒，所以tan 303b a =︒=，那么3c e a ===. 【点睛】此题考察双曲线的离心率计算，难度较易.求解离心率的时候假如涉及到几何图形，可借助几何图形的特点去分析问题.()2sin()(0)6f x x πωω=->的最小正周期为π，那么当[0,]2x π∈时，()f x 的值域为_______． 【答案】［－1，2］ 【解析】 【分析】先根据最小正周期求出ω的值，再利用给定区间分析函数()f x 的最值. 【详解】因为2||T ππω==，所以2ω=，那么()2sin(2)6f x x π=-； 又[0,]2x π∈ ，所以5(2)[,]666x πππ-∈-， 那么max ()2sin22f x π==，min ()2sin()16f x π=-=-. 所以()f x 的值域为：[1,2]-.【点睛】此题考察三角函数的周期以及值域，难度较易.对于求解()sin()f x A x ωϕ=+在给定区间D 上的值域：先分析x D ∈时，x ωϕ+的范围，再根据sin y x =的单调性求解()f x 的值域.α满足tan 〔α＋4π〕＝3tanα＋1，那么tan 2α的值是_____． 【答案】34【解析】 【分析】先计算tan α的值，再利用二倍角公式计算2tan α的值.【详解】由题意可知：1tan 3tan 11tan ααα+=+-，那么1tan 3α=或者tan 0α=〔舍，α为锐角〕，那么22122tan 33tan 211tan 41()3ααα⨯===--. 【点睛】常用的二倍角公式：2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，sin 22sin cos ααα=，22tan tan21tan ααα=-.()1||xf x x =+，那么不等式(3)(2)0f x f x -+>的解集为____． 【答案】〔1，＋∞〕 【解析】 【分析】先分析()f x 奇偶性，再分析()f x 单调性，然后将不等式转化为自变量间的关系，计算出解集.【详解】()f x 的定义域为R ，关于原点对称且()()1||xf x f x x -=-=-+，所以()f x 是奇函数；又因为0x >时1()111x f x x x ==-++是增函数，所以()f x 在R 上是增函数； 因为(3)(2)0f x f x -+>，所以(3)(2)f x f x ->-且(2)(2)f x f x -=-，那么有32x x ->-，故1x >，即(1,)x ∈+∞.【点睛】解关于函数值的不等式，一般可先考虑函数的奇偶性〔注意定义域〕和单调性，将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系，然后求解出对应解集.11.等差数列｛n a ｝的前n 项和记为n S ，147a a a ++＝99，258a a a ++＝93，假设存在正整数k ，使得对任意n *N ∈，都有n k S S ≤恒成立，那么k 的值是_______． 【答案】20 【解析】 【分析】先根据条件求解出n S 的表达式，然后分析n S 取最大值时对应n 的值即为k 的值. 【详解】因为1474399a a a a ++==，所以433a =；因为2585393a a a a ++==，所以531a =；那么5431332d a a =-=-=-，14339a a d =-=， 所以221(1)40(20)4002n n n S a n d n n n -=+=-+=--+，那么20n =时，n S 有最大值，即20k =.【点睛】〔1〕等差数列性质：假设2m n p q c +=+=，那么2m n p q c a a a a a +=+=； 〔2〕等差数列{}n a 中，假设10,0a d ><，那么n S 有最大值；假设10,0a d <>，那么n S 有最小值.△ABC 中，点P 是边AB 的中点，CA ＝4，CP ∠ACB ＝23π，那么CP CA 的值是______． 【答案】6【解析】 【分析】现根据中点对应的向量关系求解出CB 的长度，然后再将CP CA 化简到可利用||||CA CB 、直接进展计算即可.【详解】如下图，1()2CP CA CB =+，那么22211()||||4344CP CA CB CB CB =+=-+=，所以||2CB =；又2111()||8(2)6222CP CA CA CB CA CA CB CA =+=+=+-=. 【点睛】几何图形中的向量问题，一定要先分析图形找到其中的数量关系；其次就是对待求式子的分析，将其变为可以用量直接进展计算的形式.解决这类问题，这里还有另一种常用的方法：坐标法，已坐标的方式去考虑各个量之间关系.xoy 中，圆M:22()(2)4x a y a -+-=，圆N ：22(2)(1)4x y -++=，假设圆M 上存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆N 有公一共点，那么实数a 的取值范围为________． 【答案】［－2，2］ 【解析】 【分析】可将问题转化为圆M 的半径增加1后与圆N 有交点，然后利用圆心距计算即可. 【详解】根据题意可知：圆22()(2)9x a y a -+-=与圆22(2)(1)4x y -++=有交点，那22(2)(21)5a a -++≤，得24a ≤，即[2,2]a ∈-.【点睛】解答有关圆的问题的时候，要学会将所给的条件转化成更容易处理的条件，比方针对一些“存在〞“恒成立〞问题，一般只需要根据条件找到临界条件即可进展计算求解.32()31f x x x =-+，2211,0()1,04x x g x x x x ⎧-+⎪=⎨--≤⎪⎩＞.假设函数[]()y g f x a =-有6个零点〔互不一样〕，那么实数a 的取值范围为______． 【答案】〔34，2〕 【解析】 【分析】分别画出()f x 、()g x 的图象，采用换元法令()f x t =，考虑()g t a =中t 的取值可使()f x t =有6个解时对应的a 的取值范围. 【详解】作出()f x 、()g x 图象如下：因为()g x a =至多有两解，()f x t =至多有三解，那么()g x a =有两解时()f x t =有6解； 且(0)1f =，(2)3f =-，所以()f x t =有三解时(3,1)t ∈-； 当3t =-时，3(3)4a g =-=，当1t =时，(1)2a g ==， 故3(,2)4a ∈时，[]()y g f x a =-有6个零点.【点睛】涉及到分段函数的零点问题时，一定记得使用数形结合思想；函数零点或者者方成根问题中，出现了复合函数，换元法也是很常规的手段，此时就需要结合多个函数图象来分析问题. 二、解答题。
高中数学-武汉市2023-2024学年九月调考-解析版
2023~2024学年度武汉市部分学校高三年级九月调研考试数学试卷1.已知集合{}2280A x x x =--<，{2,1,0,1,2}B =--，则A B = （）A.{2,1,0,1,2}--B.{1,0,1,2}-C.{1,0,1}-D.{2,1,0,1}--【答案】B 2.复数2i2iz -=+，则z z -=（）A.65-B.65C.8i5- D.8i 5【答案】C3.两个单位向量1e 与2e 满足120e e ⋅= ，则向量12e - 与2e的夹角为（）A.30︒ B.60︒C.120︒D.150︒【答案】D4.要得到函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可以将函数()sin 212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A.向左平移π4个单位B.向左平移π8个单位C.向右平移π4个单位 D.向右平移π8个单位【答案】B5.某玻璃制品厂需要生产一种如图1所示的玻璃杯，该玻璃杯造型可以近似看成是一个圆柱挖去一个圆台得到，其近似模型的直观图如图2所示（图中数据单位为cm ），则该玻璃杯所用玻璃的体积（单位：3cm ）为（）A.43π6B.47π6C.516π D.55π6【答案】A【详解】该玻璃杯所用玻璃的体积为222313343ππ(6π[()11]423226⨯⨯-⨯⨯+⨯+⨯=.故选：A 6.某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购人污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N （mg/L ）与时间t （h ）的关系为0ektN N -=，其中0N 为初始污染物的数量，k 为常数．若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6小时共能过滤掉污染物的（）A.49%B.51%C.65.7%D.72.9%【答案】C【详解】依题意，前2个小时过滤后剩余污染物数量为070%N ，于是20070%e kN N -=，解得2e 0.7k -=，因此前6小时过滤后剩余污染物数量为62330000e (e )0.70.343kk N N N N N --===⨯=，所以前6小时共能过滤掉污染物的000.34365.7%N N N -=.故选：C7.过双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左焦点F 作222x y a +=的一条切线，设切点为T ，该切线与双曲线E 在第一象限交于点A ，若3FA FT =，则双曲线E 的离心率为（）A.B.C.2D.2【答案】C【详解】令双曲线E 的右焦点为F '，半焦距为c ，取线段AT 中点M ，连接,,OT AF F M ''，因为FA 切圆222x y a +=于T ，则OT FA ⊥，有||FT b ==，因为3FA FT =，则有||||||AM MT FT b ===，||||232AF AF a b a '=-=-，而O 为FF '的中点，于是//F M OT '，即F M AF '⊥，||2||2F M OT a '==，在Rt AF M ' 中，222(2)(32)a b b a +=-，整理得32b a =，所以双曲线E的离心率132c e a ===.故选：C 8.已知,,,A B C D2AB =，90ACB ∠=︒，30ADB ∠=︒，则平面CAB 与平面DAB 的夹角的余弦值为（）A.624B.12C.13D.33【答案】B【详解】设球心为O ，分别取ABC ，ABD △的外接圆圆心为,E F ，连接,,OE EF OF ，∵90ACB ∠=︒，∴点E 为AB 中点，则1EA EB ==，由F 为ABD △外心，故FA FB =，则FE AB ⊥，由题意可得OE ⊥平面ABC ，故平面CAB 与平面DAB 的夹角，即为OEF ∠的余角.在ABD △中，2AB =，30ADB ∠=︒，则由正弦定理可得222sin 30FA FB FD ====︒，由球O 1OF ==，2OE ==,由OF ⊥平面DAB ，EF ⊂平面DAB ，可得OF EF ⊥，则Rt OEF △中，1sin 2OF OEF OE ∠==,即30OEF ∠=︒，故平面CAB 与平面DAB 的夹角为60︒，故其余弦值为12.故选:B.9.四个实数1-，2，x ，y 按照一定顺序可以构成等比数列，则xy 的可能取值有（）A.18-B.2-C.16-D.32-【答案】ABD【详解】因为等比数列所有奇数项符号相同，所有偶数项符号也相同，当1,2-对应等比数列的第一项与第二项时，则第三，四项分别为4,8-，此时32xy =-，当1,2-对应等比数列的第一项与第四项时，此时2xy =-，当1,2-对应等比数列的第三项与第四项时，则第一，二项分别为11,42-，此时18xy =-，当1,2-对应等比数列的第三项与第二项时，此时2xy =-，当1,2-对应等比数列的第二项与第三项时，此时2xy =-，当1,2-对应等比数列的第二项与第一项时，则第三，四项分别为11,24-，此时18xy =-，当1,2-对应等比数列的第四项与第三项时，则第一，二项分别为8,4-，此时32xy =-，当1,2-对应等比数列的第四项与第一项时，此时2xy =-，故选：ABD10.直线y kx k =-过抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点且与该抛物线交于M ，N 两点，设O 为坐标原点，则下列说法中正确的是（）A.1p =B.抛物线E 的准线方程是=1x -C.以MN 为直径的圆与定直线相切D.MON ∠的大小为定值【答案】BC【详解】对于A 中，由直线y kx k =-，可化为(1)y k x =-，可得直线MN 过定点(1,0)，因为抛物线2:2E y px =的焦点F 在直线MN 上，可得12p=，则2p =，所以A 错误；对于B 中，由抛物线2:4E y x =的准线方程为=1x -，所以B 正确；对于C 中，过,M N 点作准线的垂线，垂足分别为11,M N ，MN 的中点为D 点，过D 点作准线的垂线，垂足为1D ，可得1112MN MM NN DD =+=，故以MN 为直径的圆与准线相切，所以C 正确；对于D 中，设()()1122,,,M x y N x y ，联立方程组24y kx ky x =-⎧⎨=⎩，整理得()2222420k x k x k-++=，0k ≠，()224242416160k k k ∆=+-=+>，可得121=x x，则1212124y y x x ===-，则4OM ON k k ⋅=-，但MON ∠的大小不是定值，设,MOx NOx αβ∠=∠=，而tan ,tan OM ON k k αβ=-=，则tan tan 4OM ON k k αβ-=⋅=-，则tan tan 4αβ=，而()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 3MON αβαβαβαβ++∠=+==--，并不是定值，所以D错误.故选：BC.11.已知实数a ，b 满足e ln 3a a b b ==，则（）A.ln a b =B.eab = C.e 1b a -<- D.e 14a b +<+<【答案】AD【详解】由题意可得0,1a b >>，则由e ln 3a a b b ==，得ln e ln e 3a b a b =⋅=.对于A：设()()e0xf x x x =>，()()1e x f x x '=+，则在区间()0,∞+上，()0f x ¢>，()f x 为增函数，所以由题意可得()()ln f a f b =，所以ln a b =，故A 正确；对于B：由ln a b =，得ln 3ab b b ==,故B 错误；对于C：由A 可知()e xf x x =在区间()0,∞+上为增函数，且e 3a a =，则()()()12f f a f <<，即12a <<,则2e e b <<,由ln a b =,得ln b a b b -=-,令()2ln ,e e h x x x x =-<<,则()1110x h x x x='-=->,所以()h x 在()2e,e 上单调递增,所以()()e e 1h x h >=-,所以ln e 1b a b b -=->-,故C 错误；对于D：又e a a b a +=+,令()e ,1xg x x x =+>,则()1e 0xg x '=+>,所以()g x 在()1,+∞上单调递增,所以()()11e g x g >=+，所以e 1e a a b a +=+>+,又3e aa b a a a +=+=+，且12a <<,令()3,12t a a a a=+<<，根据对勾函数的性质可得()t a在(上单调递减，在)2上单调递增，且()()714,22t t ==，所以4a b +<，综上可得e 14a b +<+<，故D 正确；故选:AD.12.若函数()cos 2cos f x x x k =-+存在连续四个相邻且依次能构成等差数列的零点，则实数k 的可能取值有（）A.2- B.98C.0D.12【答案】ACD【详解】由()0f x =，得2219cos 2cos 2cos cos 12(cos )48k x x x x x =-+=-++=--+，令219()2(cos )48g x x =--+，显然函数()g x 是偶函数，是周期为2π的周期函数，而1cos 1x -≤≤，则当1cos 4x =时，max 9()8g x =，当cos 1x =-时，min ()2g x =-，因此928k -≤≤，当2k =-时，cos 1,(21)π,Z x x n n =-=-∈，于是函数()f x 的所有零点从小到大排成一列构成公差为2π的等差数列，A 正确；当98k =时，1cos 4x =，显然此方程在余弦函数cos y x =的周期长的区间内只有两个根，取(2π,2π)x ∈-，则方程1cos 4x =在(2π,2π)-内有4个根1234,,,x x x x ，显然有12343πππ3π2π,0,2π2222x x x x -<<--<<<<<<，于是21π2πx x <-<，320πx x <-<，即有2132x x x x -≠-，则1234,,,x x x x 不成等差数列，由周期性知，当98k =时，函数()f x 不存在连接4个零点依次构成等差数列，B 错误；当0k =时，cos 1=或1cos 2x =-，取函数()f x 的4个连续零点为2π4π0,,,2π33，显然2π4π0,,,2π33成等差数列，C 正确；当12k =时，15cos 4x =或15cos 4x =，令(π,π)x ∈-，则函数()f x 在(π,π)-内有4个零点1234,,,t t t t ，并满足1234πππ0π22t t t t -<<-<<<<<<，且14231515cos cos ,cos cos 44t t t t +====，显然14230t t t t +=+=，22323311cos()cos 22cos 12()144t t t t +--==-=-=，4343431515cos()cos cos sin sin 44t t t t t t +-=+=111444+=⋅+，显然320πt t <-<，430πt t <-<，因此3243t t t t -=-，所以1234,,,t t t t 成等差数列，D 正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.5(1)(12)x x +-的展开式中含3x 项的系数为________．【答案】40-14.圆心在直线10x y +-=上且与直线210x y --=相切于点(1,1)的圆的方程是________．【答案】22(1)(2)5x y ++-=【详解】依题意，过切点(1,1)的圆的半径所在直线方程为11(1)2y x -=--，即230x y +-=，由10230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得12x y =-⎧⎨=⎩，因此所求圆的圆心为(1,2)-，半径r =，所以所求圆的方程为22(1)(2)5x y ++-=.故答案为：22(1)(2)5x y ++-=15.若函数()(21)f x x lnx ax =+-是(0,)+∞上的增函数，则实数a 的最大值为________．【答案】42ln2-【详解】()(21)f x x lnx ax =+-的定义域为()0,∞+，若()f x 在()0,∞+上单调递增，则()22ln 01f x x a x x '+=+-≥恒成立，即1ln 2a x x≤++2设()12ln 2h x x x =++，则()222121x h x x x x -'=-=，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，函数()h x 在10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减;1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x '>，函数()h x 在1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()min 112ln 442ln222h x h ⎛⎫==+=-⎪⎝⎭，所以42ln2a ≤-，故实数a 的最大值为42ln2-.16.甲，乙，丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中，投掷n 次骰子后（*n ∈N ），记球在甲手中的概率为n p ，则3p =________；n p =________．【答案】①.1124②.114929nn p ⎛⎫=-⋅-+⎪⎝⎭【详解】由题意，当投掷3次骰子后，球在甲手中，共有4中情况：①：甲→甲→甲→甲，其概率为11112228⨯⨯=②：甲→甲→乙→甲，其概率为111122312⨯⨯=③：甲→乙→甲→甲，其概率为111123212⨯⨯=④：甲→乙→丙→甲，其概率为12112326⨯⨯=所以投掷3次后，球在甲手中的概率为311111181212624p =+++=.设投掷n 次后，球仍在乙手中的概率为n q ，所以当2n ≥时，()1111111111123262n n n n n n p p q p q q -----=++--=-+，()1111111112222n n n n n q p p q q ----=+--=-+，所以1111323n n q q -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，111113236q -=-=，所以数列13n q ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以16为首项，12-为公比的等比数列，所以11111111,362623n n n n q q --⎛⎫⎛⎫-=⋅-=⋅-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1142929nn p n ⎛⎫=-⋅-+≥ ⎪⎝⎭，112p =符合该式，所以114929nn p ⎛⎫=-⋅-+ ⎪⎝⎭.故答案为：1124；114929nn p ⎛⎫=-⋅-+ ⎪⎝⎭.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，有()2(2)1n n S n a =+-．（1）证明：数列11n a n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【小问1详解】依题意，N n *∈，()()112(2)1,2(3)1n n n n S n a S n a ++=+-=+-，两式相减得：112(3)(2)1n n n a n a n a ++=+-+-，即1(1)(2)1n n n a n a ++=++，整理得1121(1)(2)n n a a n n n n +=+++++，即1112112n n a a n n n n +=+-++++，因此11121n n a a n n +++=++，所以数列11n a n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是常数列.【小问2详解】当1n =时，()1112312a S a ==-，解得13a =，由（1）得：1112111n a a n ++==++，于是21n a n =+，则111111()(21)(23)22123n n a a n n n n +==-++++，所以1111111111())235572123232369n n T n n n n =-+-++-=-=++++ .18.设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos 2a B c b =-．（1）求角A ；（2）若7a =，且ABC的内切圆半径r =，求ABC 的面积S ．【答案】（1）π3；（2）.【小问1详解】由正弦定理得：2sin cos 2sin sin A B C B =-，即()2sin cos 2sin sin A B A B B =+-，即2sin cos 2sin cos 2cos sin sin A B A B A B B =+-，即2cos sin sin A B B =.因为()0,πB ∈，所以sin 0B ≠，所以1cos 2A =.因为()0,πA ∈，所以π3A =.【小问2详解】ABC 面积()11sin 22S bc A a b c r ==++，代入7a =，r =和π3A =，整理得：()214bc b c =++①，由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，得：2249b c bc +-=，即()2349b c bc +-=②，①②联立可得：2143492bc bc -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得：40bc =或0bc =（舍去），所以113sin 40222S bc A ==⨯⨯=.19.近期世界地震、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险知识越来越引起人们的重视．某校为考察学生对紧急避险知识的掌握情况，从全校学生中选取200名学生进行紧急避险知识测试，其中男生110名，女生90名．所有学生的测试成绩都在区间[50,100]范围内，由测试成绩数据作出如图所示的频率分布直方图．（1）若从频率分布直方图中估计出样本的平均数与中位数相等，求图中m 的值；（2）规定测试成绩不低于80分为优秀，已知共有45名男生成绩优秀，完成下面的列联表，并根据小概率值0.05α=的独立性检验，能否推断男生和女生的测试成绩优秀率有差异？【小问1详解】依题意，频率分布直方图中左起第一个小矩形的高为：10.040.0250.010.02510m m ----=-，样本平均数的估计值为：10[(0.025)55650.04750.025850.0195]74.5100m m m ⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+，显然数据落在区间[80,100]的频率为0.250.10.35+=，落在[70,100]的频率为0.40.350.75+=，因此样本中位数在区间(70,80)内，其估计值为；0.050.025701076.250.04-+⨯=，则74.510076.25m +=，解得0.0175m =，所以0.0175m =.【小问2详解】总的成绩优秀人数为：20010(0.0250.01)70⨯⨯+=，得到列联表为：性别测试成绩合计优秀不优秀男生4565110女生256590合计70130200零假设0H ：男生和女生的测试成绩优秀率没有差异，于是2χ的观测值为22200(45652565)26003.752 3.8411109070130693χ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以根据小概率值0.05α=的独立性检验，无法推断0H 不成立，即认为男生和女生的测试成绩优秀率没有差异.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 满足AB CB ==，AD CD ==，90ABC ︒∠=，棱PD 上的点E 满足2PE DE =．（1）证明：直线CE ∥平面PAB ；（2）若PB =PD =，且PA PC =，求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．解：由题意得：连接BD ，过C 做CF AB ∥，交BD 于T 点，如图所示：AB CB ==AD CD ==BD DB =ABD BCD∴≅又90ABC ︒∠= 45ABD CBD ︒∴∠=∠=90ABC BCF ︒∠=∠= 2BT ∴==∴在BCD △中，2222cos cos 4522BC BD CD CBD BD BC ︒+-∠===⋅解得：3BD =2PE DE = 13TD DF DE BD AD DP ∴===EF AP ∴∥EF ⊂ 平面CEF ，AP ⊄平面CEF ，EF AP ∥,CF ⊂平面CEF ，AB ⊄平面CEF ，CF AB∥∴AP ∥平面CEF ，AB ∥平面CEF ,又AP AB 、相交于点A ∴平面CEF ∥平面ABDCE ⊂ 平面CEF ∴直线CE ∥平面PAB【小问2详解】连接AC 交BD 于O 点,在POB 和POD 中，由cos cos POB POD ∠=-∠可得22222222PO BO PB PO DO PD PO BO PO DO +-+-=⋅⋅，即22154824PO PO PO PO+-+-=解得：2PO =，满足222PO BO PB +=，所以PO BD⊥又PA PC = PO AC ∴⊥又有AC 交BD 于O 点，所以PO ⊥平面ABCD ，满足PO ，CO ，DO 两两垂直故以O 为原点，OC ，OD ，OP 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系则(0,0,2)P ，(0,1,0)B -，(1,0,0)C ，42(0,,)33P 于是有(0,1,2)BP = ，(1,0,2)CP =- 设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z = ，由020200CP n y z x z BP n ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩取(2,2,1)n =- 又42(1,,33CE =-故所求角的正弦值为429cos ,29n CE CE n n CE⋅<>==⋅所以直线CE 与平面PBC所成角的正弦值为29.21.椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左顶点为A ，右顶点为B ，满足||4AB =，且椭圆E的离心率为2．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知点1,2T t ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 的内部，直线AT 和直线BT 分别与椭圆E 交于另外的点C 和点D ，若CDT 的面积为117，求t 的值．【小问1详解】椭圆E 的标准方程为2214x y +=；【小问2详解】设()(),,,C C D D C x y D x y ，点()2,0A -,直线AT 的方程为()11222y x t =⋅++,即()222x t y =+-.与椭圆方程联立得:()()2245220t t y t y ++-+=,解得:()22245C t y t t +=++.点()2,0B ,直线BT 的方程为()222x t y =-+.与椭圆方程联立得:()()2245220t t y t y -++-=,解得:()22245D t y t t --=-+.三角形面积比1sin 21sin 2CDT ABT CT DT CTD CT DT S S AT BT AT BT ATB ⋅⋅∠==⋅⋅⋅∠△△()()11222121110022C D C D y y y y --=⋅=----.又因为114122ABT S =⨯⨯=△,所以()()2121CDT C D S y y =--△224848114545t t t t t t +-+⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪++-+⎝⎭⎝⎭()()222223516t t t -=+-，由题意,()()222223117516t t t -=+-,整理得42680t t -+=,解得:22t =或24t =.又由点T 在椭圆内部,故22t =,即t =.22.已知函数()()2e x f x x mx n =++．（1）若0m n ==，求()f x 的单调区间；（2）若2m a b =++，22n a b =++，且()f x 有两个极值点，分别为1x 和()212x x x <，求()()2121e e x x f x f x --的最小值．【小问1详解】0m n ==时，()2e x f x x =，()()()22e 2e x x f x x x x x '=+=+，令()0f x '=，可得2x =-或0x =，当<2x -或0x >时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增；当20x -<<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减.所以()f x 在(),2-∞-和()0,∞+上单调递增，在()2,0-上单调递减.【小问2详解】()()22e x f x x m x m n '⎡⎤=++++⎣⎦，令()0f x '=，可得()220x m x m n ++++=.由题意可得，12,x x 是关于x 的方程()220x m x m n ++++=的两个实根，所以()12122,x x m x x m n +=-+=+.由()21120x m x m n ++++=，有()2112x m x m n =-+--，所以()()()1111121e 2e x x f x x x m m n x =--=++.将122m x x =---代入上式，得()()1112e 2x x x f x -+=，同理可得()()2221e 2x x x f x -+=.所以()()()()21212121122122e e e e e e x x x x x x x x x x f x f x -+----+=-()()212121212e 2e 1x x x x x x x x ----+-+=--①.令()210x x t t -=>，①式化为()()2e 2e 1t t t t -++--，设()()()()2e 20e 1tt t t g t t -++=->-，即()()()e 120e 1t t t g t t +=-+>-，则()()22e 2e 1e 1t t t t g t --'=--，记()()2e 2e 10t t h t t t =-->，则()()2e e 1t t h t t '=--.记()()e 10t t t t ϕ=-->，则()e 10tt ϕ='->，所以()t ϕ在()0,∞+上单调递增，所以()()00t ϕϕ>=，所以()0h t '>，()h t 在()0,∞+上单调递增，所以()()00h t h >=.所以()0g t '<，()g t 在()0,∞+上单调递减.又()()2222211212444t x x x x x x m n =-=+-=-+()()2222424a b a b =++-+++2233244a b ab a b =--+++()2232434a b a b b =-++-+222816433333b a b +⎛⎫=---++ ⎪⎝⎭()22816481443333b b b ≤-++=--+≤，当且仅当203b a +-=且10b -=，即1a b ==时，2t 取到最大值4，即t 的最大值为2.因为()g t 在()0,∞+上单调递减，所以()()2min 42e 1g t g -==-.所以()()2121e e x x f x f x --的最小值为24e 1--.。
山东青岛2024-2025学年高三上学期期初调研检测数学试题(解析版)
2024年高三年级期初调研检测数学试题2024.09本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合(){}ln 4Ax y x ==−，{}1,2,3,4,5B =，则A B = （ ）A. {5}B. {1,2,3}C. {1,2,3,4}D. {1,2,3,4,5}【答案】B 【解析】【分析】根据对数中真数大于0解出集合A ，再利用交集含义即可得到答案. 【详解】(){}{}ln 44A x y x x x ==−=<，则{1,2,3}A B ∩=. 故选：B.2. 已知复数z 满足()12i 43i z +=+，则z 的虚部为（ ） A. 1 B. 1−C. iD. i −【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法的计算公式得2i z =−，再根据共轭复数和复数虚部的概念即可. 【详解】()()()()43i 12i 43i105i2i 12i12i 12i 5z +−+−====−++−， 则2i z =+，则其虚部为1.故选：A.3. 已知命题p ：R α∀∈，sin cos 44ππαα −=+，则p ¬为（ ） A. R α∀∈，sin cos 44ππαα−≠+B. R α∃∈，sin cos 44ππαα−≠+C. R α∀∉，sin cos 44ππαα−=+D. R α∃∉，sin cos 44ππαα −=+【答案】B 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定，否定结论，全称变特称即可.【详解】根据全称量词命题的否定，否定结论，全称变特称,则p ¬为“R α∃∈，sin cos 44ππαα−≠+”. 故选：B.4. 等差数列{aa nn }的首项为1−，公差不为0，若236,,a a a 成等比数列，则{aa nn }的前6项和为（ ）A. 1−B. 3C. 24−D. 24【答案】D 【解析】2=d ，后根据等差数列求和公式计算即可.【详解】236,,a a a 成等比数列,则2326a a a =⋅，即21112()(5)()a d a d a d +=+⋅+， 11a =−代入.得到212)1)15)(((d d d −+−+−+⋅=，0d ≠，解得2=d .则{}n a 的前6项和6656(1)2242S ×=×−+×=. 故选：D.5. 在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x 轴对称．若1cos 3α=−，则()cos αβ−=（ ）A.19B. 79−C. 1D.79【答案】B 【解析】【分析】运用角的终边对称性，得到正弦余弦值之间的关系，再用两角差的余弦值计算即可. 【详解】角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x 轴对称. 则1cos cos 3αβ==−，sin sin αβ=−，且228sin 1cos 9αα=−=，28sin sin sin 9αβα⋅=−=−， 故()187cos cos cos sin sin 999αβαβαβ−=⋅+⋅=−=−. 故选：B6. 两个粒子A ，B 从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为(1,2)A S = ，(4,3)B S =．粒子B 相对粒子A 的位移为S ，则S 在A S上的投影向量为（ ）A.B.C. (1,2)D. (2,1)【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得(3,1)B A S S S=-=，结合向量的数量积的公式和投影向量的公式，准确计算，即可求解.【详解】由向量(1,2)A S =，(4,3)B S = ，可得粒子B 相对粒子A 的位移为(3,1)B A S S S =-=， 可得13215A S S =××=⋅+， 所以S在A S上的投影向量为(1,2)(1,2)A A AAS S S S S ⋅⋅== .故选：C.7. 设()()2,01,0x a x f x x a x x +≤= ++>，若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（ ） A. []1,0− B. []1,2−C. []2,1−−D. []2,0−【答案】A 【解析】【分析】根据分段函数的最值，结合二次函数和基本不等式,二次不等式求解.【详解】由于()()2,01,0x a x f x x a x x +≤ = ++>，则当0x =，()20f a =.由于()0f 是()f x 的最小值，则(,0]−∞为减区间，即有0a ≤.则21,0a x a x x≤++>恒成立.由12x x +≥=，当且仅当1x =取最值.则 22a a ≤+，解得12a −≤≤。
2021年高二上学期9月学情调研数学试题 含答案
2021年高二上学期9月学情调研数学试题 含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填在答题纸的相应的横线上．1．圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝13的圆心坐标是________．答案 (2，－3)2．函数f （x ）＝ln x ＋的定义域为（0,1]3．过点A (1,2)且与原点距离最大的直线方程为________．答案 x ＋2y －5＝04．已知，sin=55，则sin2＝－455．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为________．解析 由题意得C 上各点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的距离减去半径，即|1－1＋4|2－2＝ 2. 6．已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为 . 考查指数函数的单调性。
，函数在R 上递减。
由得：m<n7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝23，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝________. 解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－23. 8．已知两圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝r 2和(x －2)2＋(y ＋2)2＝R 2相交于P ，Q 两点，若点P 的坐标为(1,2)，则点Q 的坐标为________．解析 两圆圆心连线的直线方程为x ＋y ＝0，①，则公共弦所在的直线方程为x －y ＋1＝0，②，联立①②解得⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，所以Q 点坐标为(－2，－1)．答案 (－2，－1) 9．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( ) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 10．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是__12______．11. 已知函数f （x ）＝，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是（0,1）12．若不等式(m 2－1)x 2－2(m －1)x ＋3＞0对一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（－∞，－2）∪，f(x)＋n≤3都成立，求实数n 的最大值． 解：(1)由不等式f(x)>0即3x 2＋bx ＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)知－2和0是方程3x 2＋bx ＋c ＝0的两个根， 则 ⎩⎪⎨⎪⎧ f 0＝0，f －2＝0解得：⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝6，c ＝0， ∴ f(x)＝3x 2＋6x ；(2)函数g(x)＝f(x)＋mx －2在(2，＋∞)上为单调增函数，则在函数g(x)＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 62－2－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 62中 对称轴x=－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 6≤2， 因此m≥－18；(3) f(x)＋n≤3即n≤－3x 2－6x ＋3，令y ＝－3x 2－6x ＋3对于任意的x ∈，f(x)＋n≤3都成立而x ∈时，函数y ＝－3x 2－6x ＋3的最小值为－21，∴ n≤－21，实数n 的最大值为－21.20．（本小题16分如图，已知位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点(0,1)且被x 轴分成的两段圆弧长之比为1∶2，过点H (0，t )的直线l 与圆C 相交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆恰好经过坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)当t ＝1时，求出直线l 的方程；(3)求直线OM 的斜率k 的取值范围．解 (1)因为位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点(0,1)，所以圆心C 在直线y ＝1上． 设圆C 与x 轴的交点分别为A 、B .由圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为2∶1，得∠ACB ＝2π3. 所以CA ＝CB ＝2.圆心C 的坐标为(－2,1)，所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.(2)当t ＝1时，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝mx ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝mx ＋1，x ＋22＋y －12＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4m 2＋1，y ＝m 2－4m ＋1m 2＋1.不妨令M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 2＋1，m 2－4m ＋1m 2＋1，N (0,1)． 因为以MN 为直径的圆恰好经过O (0,0)， 所以OM →·ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 2＋1，m 2－4m ＋1m 2＋1·(0,1)＝m 2－4m ＋1m 2＋1＝0，解得m ＝2± 3. 所以所求直线l 方程为y ＝(2＋3)x ＋1或y ＝(2－3)x ＋1.(3)设直线MO 的方程为y ＝kx . 由题意，知|－2k －1|1＋k2≤2，解得k ≤34. 同理，得－1k ≤34，解得k ≤－43或k ＞0. 由(2)知，k ＝0也满足题意．所以k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34.38862 97CE 韎D124490 5FAA 循24128 5E40 幀28508 6F5C 潜30379 76AB 皫 22342 5746 坆33335 8237 舷 40117 9CB5 鲵20556 504C 偌32611 7F63 罣。
高三数学下学期第九次调研试题 理含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学下学期第九次调研试题理〔含解析〕一、选择题〔本大题包括12小题，每一小题5分，一共60分．〕1.集合{|0A x x =<<，12|log 2B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，那么A B =〔〕A.RB.{|0x x <<C.{}|0x x >D.1|4x x ⎧<<⎨⎩【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合A ，B ，再求AB .【详解】因为{|0A x x =<<，121|log 2|4Bx x x x ⎧⎫⎧⎫=<=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，所以{}|0A B x x ⋃=>.应选：C【点睛】此题主要考察集合的根本运算，属于根底题. 2.复数5iz i=+上的虚部为〔〕 A.526B.526i C.526-D.526i -【答案】A 【解析】 【分析】 化简得到152626zi =+计算虚部得到答案.【详解】()515262626i i z i -==+，所以5i z i =+的虚部为526. 应选：A【点睛】此题考察了复数虚部的计算，属于简单题.3.某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进展测量〔单位：厘米〕，左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为1.160.5ˆ37yx =-，以下结论中不正确的为〔〕 A.15名志愿者身高的极差小于臂展的极差 B.15名志愿者身高和臂展成正相关关系， C.D.身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米， 【答案】D 【解析】 【分析】根据散点图和回归方程的表达式，得到两个变量的关系，A 根据散点图可求得两个量的极差，进而得到结果；B ，根据回归方程可判断正相关；C 将190代入回归方程可得到的是估计值，不是准确值，故不正确；D ，根据回归方程x 的系数可得到增量为厘米，但是回归方程上的点并不都是准确的样本点，故不正确. 【详解】A ，身高极差大约为25，臂展极差大于等于30，故正确；B ，很明显根据散点图像以及回归直线得到，身高矮臂展就会短一些，身高高一些，臂展就长一些，故正确；C ，身高为190厘米，代入回归方程可得到臂展估计值等于厘米，但是不是准确值，故正确；D ，身高相差10厘米的两人臂展的估计值相差厘米，但并不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点,故说法不正确. 故答案为D.【点睛】此题考察回归分析，考察线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y 之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的,线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值. 4.函数()||()af x x a R x=-∈的图象不可能是()A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】变成分段函数后分段求导，通过对a 分类讨论，得到函数的单调性，根据单调性结合四个选项可得答案.【详解】,0(),0a x x xf x a x x x ⎧->⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩,∴221,0()1,0a x x f x a x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪-+<⎩'⎪.(1)当0a =时,,0(),0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩,图象为A;(2)当0a >时,210ax+>,∴()f x 在(0,)+∞上单调递增, 令210ax -+=得x a =- ∴当x a <,210ax-+<,当0x <<时,210ax -+>,∴()f x 在(,-∞上单调递减,在(上单调递增,图象为D;(3)当0a <时,210ax-+<,∴()f x 在(,0)-∞上单调递减,令210ax +=得x =∴当x >时,210ax +>,当0x <<时,210ax+<,∴()f x 在上单调递减,在)+∞上单调递增,图象为B;应选：C.【点睛】此题考察了分段函数的图像的识别，考察了分类讨论思想，考察了利用导数研究函数的单调性，属于中档题.5.某几何体的三视图如下列图，该几何体外表上的点P 与点Q 在正视图与侧视图上的对应点分别为A ，B ，那么在该几何体外表上，从点P 到点Q 的途径中，最短途径的长度为〔〕C.【答案】C 【解析】 【分析】画出几何体的图形，然后PQ 的途径有正面和右面以及正面和上面两种途径，分别计算出结果，得出答案. 【详解】由题，几何体如下列图〔1〕前面和右面组成一面此时=〔2〕前面和上面再一个平面此时=【点睛】此题考察了几何体的三视图以及相关的计算，解题的关键是PQ 的途径有两种情况，属于较易题. 6.设m ，n 为正数，且2m n +=，那么1312n m n ++++的最小值为〔〕 A.32B.53 C.74D.95【答案】D 【解析】 【分析】根据2m n +=，化简135112(1)(2)n m n m n ++=++++⋅+，根据均值不等式，即可求得答案； 【详解】当2m n +=时，21225(1)(2)24m n m n +++⎛⎫+⋅+≤=⎪⎝⎭，当且仅当12m n +=+时，即3122m n ==，取等号， ∴139125n m n ++≥++. 应选：D【点睛】此题主要考察了根据均值不等式求最值，解题关键是灵敏使用均值不等式，注意要验证等号的是否成立，考察了分析才能和计算才能，属于中档题.7.我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术〞，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，那么ABC ∆的面积S =根据此公式，假设()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，那么ABC ∆的面积为〔〕B. D.【答案】A【分析】 根据()cos 3cos 0a Bbc A ++=，利用正弦定理边化为角得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，整理为()sin 13cos 0C A +=，根据sin 0C ≠，得1cos 3A =-，再由余弦定理得3bc =，又2222a b c --=，代入公式=S . 【详解】由()cos 3cos 0a B b c A ++=得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，即()sin3sin cos 0A B C A ++=，即()sin 13cos 0C A +=，因为sin 0C ≠，所以1cos 3A =-， 由余弦定理22222cos 23ab c bc A bc --=-==，所以3bc =，由ABC ∆的面积公式得S ===应选：A【点睛】此题主要考察正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考察了运算求解的才能，属于中档题. 8.执行如下列图的程序框图，那么输出的值是a 〔〕 A.3- B.13C.12-D.2【答案】D 【解析】 【分析】由题知，该程序是利用循环构造计算，输出变量a 的值，可发现周期为4，即可得到2020i=，2a =，2021i =，此时输出2a =.【详解】1i=，3a =-.2i =，12a =-.3i =，13a =. 4i =，2a =.5i =，3a =-.可发现周期4，2020i =，2a =，2021i =.此时输出2a =.应选：D【点睛】此题主要考察程序框图中的循环构造和条件构造，周期是4是解决此题的关键，属于简单题. 9.设01a b <<<，b x a =，a y b =，log b z a =，那么〔〕 A.x y z <<B.y x z << C.z x y << D.z y x <<【答案】A 【解析】 【分析】根据条件01a b <<<，令11,32ab ==，代入,x y 中并取一样的正指数，可得,x y 的范围并可比较,x y 的大小；由对数函数的图像与性质可判断z 的范围，进而比较,,x y z 的大小. 【详解】因为01a b <<< 令11,32ab == 那么1213b x a ⎛⎫=⎪⎝⎭=将式子变形可得61321113327⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，6123111224⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为111274<< 所以x y <由对数函数的图像与性质可知112211log log 132>=综上可得x y z <<应选：A.【点睛】此题考察了指数式与对数式大小比较，指数幂的运算性质应用，对数函数图像与性质应用，属于根底题.10.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一点，假设圆()()22001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公一共点，那么双曲线的离心率取值范围是〔〕． A.(]1,2 B.(]1,4C.[)2,+∞D.[)4,+∞【答案】B 【解析】 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得那么直线bx ay 2a0-+=与直线bx ay 0-=的间隔d ，根据圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公一共点，可得d 1≥，解得即可．【详解】由题意，双曲线2222x y C :1(a 0,b 0)a b-=>>的一条渐近线方程为by x a=，即bx ay 0-=，∵()00Px ,y 是直线bx ay 4a 0-+=上任意一点，那么直线bx ay 4a 0-+=与直线bx ay 0-=的间隔4a d c==， ∵圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公一共点，那么d 1≥，∴41a c ≥，即4ce a=≤，又1e > 故e 的取值范围为(]1,4，应选：B ．【点睛】此题主要考察了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的间隔公式，其中解答中根据圆与双曲线C 的右支没有公一共点得出d 1≥是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．11.直线y a =与函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象的相邻两个交点的间隔为2π，假设()f x 在()(),0m m m ->上是增函数，那么m 的取值范围是〔〕A.(0,]4πB.(0,]2πC.3(0,]4π D.3(0,]2π 【答案】B 【解析】 【分析】 根据直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的间隔为一个周期，得到12ω=，那么()1tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后求得其单调增区间，再根据()f x 在()(),0m m m ->上是增函数，由(,)m m -是增区间的子集求解.【详解】因为直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的间隔为一个周期，所以12ω=，()1tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由12242k x k πππππ-<+<+，得322()22k x k k ππππ-<<+∈Z ， 所以()f x 在3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，由3(,),22m m ππ⎛⎫-⊆-⎪⎝⎭， 解得02m π<≤.应选：B【点睛】此题主要考察正切函数的图象和性质，还考察了运算求解的才能，属于中档题12.函数()()22x f x x x e =-，假设方程()f x a =有3个不同的实根()123123,,x x x x x x <<，那么22ax -的取值范围是〔〕A.1[,0)e-B.⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C.⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D.(【答案】A 【解析】 【分析】利用导数法，明确()f x 在(,-∞，)+∞上是增函数，在(上是减函数，结合()f x的图象，得20x <<，构造函数()()2222222===--x f x a g x x e x x ，再利用导数法求其取值范围. 【详解】由()()22x f x x x e =-得()()22x f x x e '=-，所以()f x 在(,-∞，)+∞上是增函数，在(上是减函数，结合()f x 的图象可得20x <<，又()2222222x f x a x e x x ==--，设()(0)x g x xe x =<，那么()()1xg x x e'=+，所以()gx 在()1-上是减函数，在()1,0-上是增函数，由()11g e-=-，(g =()00g =，可得22a x -的取值范围是1[,0)e- 应选：A【点睛】此题主要考察导数在函数中的综合应用，还考察了转化化归的思想和运算求解问题的才能，属于难题.二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．〕13.717x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第2项为_______．【答案】5x - 【解析】 【分析】由二项式定理的通项公式求解即可【详解】由题展开式的第2项为116571C x x 7x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭故答案为5x -【点睛】此题考察二项式定理，熟记公式，准确计算是关键，是根底题.14.ABC ∆中，3AB =，5AC =，7BC=，假设点D 满足1132AD AB AC =+，那么DB DC ⋅=__________．【答案】12- 【解析】 【分析】根据1132AD AB AC =+，以,AB AC为一组基底，由2222()2BC AC AB AC AB AB AC=-=+-⋅，得到152AB AC ⋅=-，再由2111()()3223⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭DB DC AB AD AC AD AB AC AC AB 求解.【详解】因为2222()2BCAC AB AC AB AB AC =-=+-⋅又因为3AB =，5AC =，7BC =所以152AB AC ⋅=-， 所以2111()()3223DB DCAB AD AC AD AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22211251521294244AB AC AB AC --+⋅=---=-. 故答案为：-12【点睛】此题主要考察平面向量根本定理和向量的线性运算，还考察了运算求解的才能，属于中档题. 15.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设2418a a +=，17459S =，那么(){}31nna -的前n 项和n T =______．【答案】()()9,229(1),212n nn k k Z T n n k k Z ⎧=∈⎪⎪=⎨+⎪-=+∈⎪⎩【解析】 【分析】由等差数列的通项公式以及前n 项和公式代入可求得n a ，再由分组求和即可求解. 【详解】因为{}n a 是等数差数列，17994591745927S a a =⇒=⇒=，而2418a a +=，所以1918272418a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得3d =，13a =，那么3(1)33n a n n +-⨯==，n *∈N ； 数列{}3n a 构成首项为9，公差为9的等差数列；假设n 为偶数，那么991827369(1)92nn T n n =-+-++--+=， 假设n 为奇数，那么T 91827369(2)9(1)9n n n n =-+-++--+--故()()9,229(1),212n nn k k Z T n n k k Z ⎧=∈⎪⎪=⎨+⎪-=+∈⎪⎩.故答案为：()()9,229(1),212n nn k k Z T n n k k Z ⎧=∈⎪⎪=⎨+⎪-=+∈⎪⎩【点睛】此题主要考察等差数列的通项公式以及分组求和，需熟记公式，属于根底题. 16.三棱锥D ABC -的所有顶点都在球O 的外表上，AD ⊥平面ABC，AC =1BC =，cos ACB ACB ∠=∠，2AD =，那么球O 的外表积为__________．【答案】8π 【解析】分析：根据三棱锥的构造特征，求得三棱锥外接球半径，由球外表积公式即可求得外表积．详解：由cos ACBACB ∠=∠，根据同角三角函数关系式得22sin cos 1ACB ACB ∠+∠=，解得1sin 2ACB ∠=所以6Cπ=，因为AC =1BC =，由余弦定理2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅代入得31212AB =+-= 所以△ABC 为等腰三角形，且120B=，由正弦定理得△ABC 外接圆半径R为2sin120R =，解得1R =设△ABC 外心为'O ，'OO h =，过'O 作'O M AD ⊥那么在'O OA ∆中2221h R +=在'O MD ∆中()22221h R -+=解得R=所以外接球面积为22448SR πππ===点睛：此题综合考察了空间几何体外接球半径的求法，通过建立空间模型，利用勾股定理求得半径；结合球的外表积求值，对空间想象才能要求高，综合性强，属于难题．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明或者演算步骤．〕()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.〔Ⅰ〕求()f x 的单调区间；〔Ⅱ〕在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,假设0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.【答案】〔Ⅰ〕单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦〔Ⅱ〕ABC ∆面积的最大值为24+ 【解析】试题分析：〔Ⅰ〕首先利用二倍角公式化简函数()f x 的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间；〔Ⅱ〕首先由02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭结合〔Ⅰ〕的结果，确定角A 的值，然后结合余弦定理求出三角形ABC ∆面积的最大值. 试题解析：解：〔Ⅰ〕由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=- 由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦〔Ⅱ〕由1sin 0,22A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭得1sin 2A =由题意知A 为锐角，所以cos 2A =由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-可得：2212b c bc =+≥即：2bc≤+当且仅当b c =时等号成立.因此1sin 2bc A ≤所以ABC ∆ 考点：1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、根本不等式.18.如图，在三棱锥P -ABC 中，2====，AC AB BC PA 顶点P 在平面ABC 上的射影为ABC 的外接圆圆心. 〔1〕证明：平面PAC⊥平面ABC ；〔2〕假设点M 在棱PA 上，||||=λAM AP ，且二面角P -BC -M 的余弦值为33，试求λ的值.【答案】〔1〕证明见解析〔2〕12λ= 【解析】 【分析】 〔1〕设AC 的中点为O ，连接PO ，易知点O 为ABC 的外接圆圆心，从而PO ⊥平面ABC ，即可证明平面PAC ⊥平面ABC ；〔2〕以OC ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如下列图的空间直角坐标系，求出平面MBC 与平面PBC 的法向量，代入公式即可建立λ的方程，解之即可. 【详解】〔1〕证明：如图，设AC 的中点为O ，连接PO ，由题意，得222BC AB AC +=，那么ABC 为直角三角形，点O 为ABC 的外接圆圆心．又点P 在平面ABC 上的射影为ABC 的外接圆圆心， 所以PO ⊥平面ABC ，又PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC ．〔2〕解：由〔1〕可知PO ⊥平面ABC ，所以PO OB ⊥，PO OC ⊥，OB AC ⊥，于是以OC ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如下列图的空间直角坐标系，那么(000)O ，，，(100)C ，，，(010)B ，，，(100)A -，，，(001)P ，，， 设[01](101)(10)AM AP AP M λλλλ=∈=-，，，，，，，，，(110)BC =-，，，(101)PC =-，，，(20).MC λλ=--，，设平面MBC 的法向量为111()m x y z =，，，那么·0·0m BC m MC ⎧=⎨=⎩，，得11110(2)0x y x z λλ-=⎧⎨--=⎩，，令11x =，得11y =，12z λλ-=，即211mλλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，，．设平面PBC 的法向量为222()n x y z =，，，由·0·0n BC n PC ⎧=⎨=⎩，，得222200x y x z -=⎧⎨-=⎩，，令1x =，得1y =，1z =，即(111)n =，，，解得1110222⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，，λM 即M 为PA 的中点． 【点睛】此题考察平面与平面垂直的断定，二面角的平面角的求法，考察空间想象才能以及计算才能． 19.某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案(a)规定每日底薪50元，快递业务每完成一单提成3元；方案(b)规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开场，每完成一单提成5元，该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35〕，[35，45)，[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]七组，整理得到如下列图的频率分布直方图.〔1〕随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率； 〔2〕从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案〔a 〕的概率为13，选择方案〔b 〕的概率为23．假设甲、乙、丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘，三人选择日工资方案互相HY ，求至少有两名骑手选择方案(a)的概率；〔3〕假设仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由．〔同组中的每个数据用该组区间的中点值代替〕 【答案】(Ⅰ)0.4(Ⅱ)727〔Ⅲ〕见解析 【解析】【分析】(Ⅰ)先设事件A 为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单〞，由频率分布直方图，即可求出结果；(Ⅱ)先设事件B 为“甲、乙、丙三名骑手中至少有两名骑手选择方案〔1〕〞，设事件i C 为“甲乙丙三名骑手中恰有()0,1,2,3ii =人选择方案〔1〕〞，根据题意可得()()()23P B P C P C =+，进而可求出结果；〔Ⅲ〕先设骑手每日完成快递业务量为X件，得到方案〔1〕的日工资()*1503Y X X N =+∈，方案〔2〕的日工资()*2*100,44,100544,44,X X N Y X X X N ⎧≤∈⎪=⎨+->∈⎪⎩，再由题中条件分别得到1Y 与2Y 的期望，比较大小即可得出结果. 【详解】(Ⅰ)设事件A 为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单〞依题意，连锁店的人均日快递业务量不少于65单的频率分别为：0.20.150.05，，因为0.20.150.050.4++= 所以()PA 估计为0.4.(Ⅱ)设事件B 为“甲、乙、丙三名骑手中至少有两名骑手选择方案〔1〕〞 设事件i C 为“甲乙丙三名骑手中恰有()0,1,2,3ii =人选择方案〔1〕〞，那么()()()213232333121617333272727P B P C P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以三名骑手中至少有两名骑手选择方案〔1〕的概率为727〔Ⅲ〕设骑手每日完成快递业务量为X件方案〔1〕的日工资()*1503Y X X N =+∈，方案〔2〕的日工资()*2*100,44,100544,44,X X N Y X X X N ⎧≤∈⎪=⎨+->∈⎪⎩所以随机变量1Y 的分布列为11400.051700.052000.22300.32600.22900.153200.05EY =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯236=；同理随机变量2Y 的分布列为因为12EY EY >，所以建议骑手应选择方案〔1〕【点睛】此题主要考察频率分布直方图、离散型随机变量的分布列与期望等，熟记概念，会分析频率分布直方图即可，属于常考题型.20.如图，椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F，过抛物线2C ：24x by =焦点F 的直线交抛物线于,M N 两点，当7||4MF =时，M 点在x 轴上的射影为1F ，连接,)NO MO 并延长分别交1C 于,A B 两点，连接AB ，OMN ∆与OAB ∆的面积分别记为OMN S ∆，OAB S ∆，设λ=OMNOABS S ∆∆. 〔1〕求椭圆1C 和抛物线2C 的方程； 〔2〕求λ的取值范围.【答案】〔I 〕2214x y +=，24x y =；〔II 〕[)2,+∞． 【解析】试题分析：〔Ⅰ〕由题意得得7,4Mc b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，根据点M 在抛物线上得2744c b b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又由c a =得223c b =，可得277b b =，解得1b =，从而得2c a ==，可得曲线方程．〔Ⅱ〕设ON k m =，'OMk m =，分析可得1'4m m =-，先设出直线ON 的方程为y mx =(0)m >，由24y mx x y =⎧⎨=⎩，解得4N x m =，从而可求得4ON =，同理可得,,OM OA OB,故可将=OMN OAB ON OMS S OA OBλ∆∆⋅=⋅化为m 的代数式，用根本不等式求解可得结果．试题解析：〔Ⅰ〕由抛物线定义可得7,4Mc b ⎛⎫--⎪⎝⎭， ∵点M 在抛物线24xby =上，∴2744cb b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即2274c b b =-①又由c a =223c b = 将上式代入①，得277b b =解得1,b =∴c=2a ∴=，所以曲线1C 的方程为2214x y +=，曲线2C 的方程为24x y =．〔Ⅱ〕设直线MN 的方程为1y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y 整理得2440x kx --=， 设11,)Mx y （，()2,2N x y .那么124x x =-，设ONk m =，'OM k m =，那么21122111'164y y mm x x x x =⋅==-， 所以1'4m m=-，② 设直线ON 的方程为y mx =(0)m >，由24y mx x y =⎧⎨=⎩，解得4N x m =，所以4N ON ==，由②可知，用14m-代替m ，可得M OM ==由2214y mxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得A x =，所以A OA ==用14m-代替m，可得B OB ==所以=OMN OABON OM S S OA OB λ∆∆⋅==⋅ 1222m m=+≥，当且仅当1m =时等号成立． 所以λ的取值范围为[)2,+∞.点睛：解决圆锥曲线的最值与范围问题时，假设题目的条件和结论能表达一种明确的函数关系，那么可首先建立目的函数，再求这个函数的最值．常从以下几个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； ②利用隐含或者的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ③利用根本不等式求出参数的取值范围； ④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 21.函数()21x f x x ae =--.〔1〕假设()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，务实数a 的取值范围；〔2〕在〔1〕的条件下，求证：124x x ee a+>. 【答案】〔1〕20,e ⎛⎫⎪⎝⎭；〔2〕详见解析.【解析】【分析】〔1〕由()21x f x x ae =--得()2x f x x ae '=-，根据()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，那么()f x '有两个不同的零点，即方程2x x a e =有两个不同的实根，转化为直线y a =与2xx y e =的图象有两个不同的交点求解.〔2〕由〔1〕知20a e <<，设12x x <，那么1201x x <<<，由121222x x x ae x ae ⎧=⎨=⎩得()()12122x x x x a e e -=-，()12122x x x x a e e -=-，要证124x x ee a +>，将()12122x x x x a e e-=-代入整理为()()121212121x xx x x x e e ---+>-，再令12(0)x xt t -=<，转化为()2101t t e t e --<+，再构造函数()21()(0)1t t e g t t t e -=-<+，研究其最大值即可.【详解】〔1〕由()21x f x x ae =--得()2x f x x ae '=-，()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，那么()f x '有两个不同的零点，即方程2x xae=有两个不同的实根， 即直线y a =与2xx y e=的图象有两个不同的交点， 设()2x xgx e =，那么()()21xx g x e -'=， (),1x ∈-∞时()0g x '>，()g x 单调递增，且()g x 的取值范围是2,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭； ()1,x ∈+∞时()0g x '<，()g x 单调递减，且()g x 的取值范围是20,e ⎛⎫⎪⎝⎭，所以当20ae <<时，直线y a =与2x x y e=的图象有两个不同的交点，()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，故实数a 的取值范围是20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 〔2〕由〔1〕知20a e<<，设12x x <，那么1201x x <<<， 由121222x x x ae x ae⎧=⎨=⎩得()()12122xx x x a e e -=-，()12122x x x x a e e -=-所以要证124x x ee a+>，只需证()124x xa e e +>， 即证()()1212122x x x x x x e e e e -+>-，即证()()121212121x x x x x x e e ---+>-，设12(0)x x t t -=<，即证()121t t t e e +>-，即证()2101tt e t e --<+，设()21()(0)1t t e g t t t e -=-<+，那么21()01t t e g t e '⎛⎫-=> ⎪+⎝⎭， 所以()gt 在(),0-∞是增函数，()()00g t g <=，所以()2101t t e t e --<+，从而有124x x ee a+>. 【点睛】此题主要考察导数与函数的极值，导数法证明不等式，还考察了转化化归的思想和运算求解的才能，属于难题.选考题：一共10分.请考生在第22、23两题中任选一题答题.假设多做，那么按所做的第一题计分. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩〔θ为参数〕，直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩t 为参数〕，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 〔Ⅰ〕求曲线C 以及直线l 的极坐标方程；〔Ⅱ〕假设()0,1A ，直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ，N ，求11+AM AN的值.【答案】〔Ⅰ〕4cos ρθ=sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；〔Ⅱ〕【解析】 【分析】〔1〕消去参数t 可得l 的普通方程，利用平方关系消去参数θ可得曲线C 的直角坐标方程，把ρ2＝x 2+y 2，y＝ρsinθ代入，可得曲线C 以及直线l 的极坐标方程．．〔II 〕把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，利用直线参数的几何意义求得结果． 【详解】〔Ⅰ〕依题意，曲线C ：()2224x y -+=，故2240x y x +-=，即24cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=；直线l ：1y x =-，即10x y +-=，即cos sin 10ρθρθ+-=，sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；〔Ⅱ〕将直线l的参数方程212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2240x y x +-=中，化简可得210t ++=，设M ，N 所对应的参数分别为1t ，2t ，那么12t t +=-，121t t =，故11AM AN AM AN AM AN++== 【点睛】此题考察了极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，考察了直线参数的意义，考察了计算才能，属于中档题． 选修4-5：不等式选讲23.选修4-5：不等式选讲 函数() 1.f x x =+〔Ⅰ〕解不等式()32f x x >-+；〔Ⅱ〕0,0ab >>，且2a b +=()f x x -≤【答案】〔Ⅰ〕()(),30,-∞-⋃+∞；〔Ⅱ〕见解析. 【解析】 【分析】 〔Ⅰ〕整理()32f x x >-+得：123x x +++>，由绝对值的几何意义即可解不等式．〔Ⅱ〕将问题转化成()maxf x x -≤⎡⎤⎣⎦()max 1fx x -=⎡⎤⎣⎦，转化成证明1≤利用根本不等式即可证明结论，问题得解．【详解】〔Ⅰ〕()32f x x >-+，即123x x +++>，由绝对值的几何意义得：(,3)(0,)x ∈-∞-⋃+∞； 〔Ⅱ〕()[]11,1f x x x x -=+-∈-，要证()f x x -≤1≤22a b a b +==+≥1,4ab ≤【点睛】此题主要考察了绝对值的几何意义，还考察了转化思想及根本不等式的应用，考察计算才能，属于中档题．。
湖北省孝感高级中学高三数学9月调研考试 理
数学（理）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.）1. 已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若=INM ∅，则M N =（ ） A ．MB ．NC ．ID ．∅2. 命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A ．若一个数是负数，则它的平方不是正数 B ．若一个数的平方是正数，则它是负数 C ．若一个数不是负数，则它的平方不是正数 D ．若一个数的平方不是正数，则它不是负数3．函数()22x f x x =-在区间[]1,4-内的零点个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．34．“1a =”是“函数()lg()f x ax =在()0,+∞上单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．如图，当直线:l y x t =+从虚线位置开始，沿图中箭头方向平行匀速移动时，正方形ABCO 位于直线l 下方（图中阴影部分）的面积记为S ，则S t 与的函数图象大致是（ ）A B C D6．设函数()()()()()()()24,2,,g x x x g x g x x x R f x g x x x g x ⎧++<⎪=-∈=⎨-≥⎪⎩，则()f x 的值域是（ ） A ．()9,01,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦B ．[)0,+∞C ．9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．()9,02,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦7．给出下列说法：①函数y x=是幂函数；②若8x y +≠，则2x ≠或6y ≠；③命题：“矩形对角线相等”的否定是“矩形对角线不相等”；④若函数()f x 的定义域是[]1,1-，则函数()2y f x =的定义域是[]0,1.其中正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．设定义在区间(),b b -上的函数()1lg 12ax f x x+=-是奇函数(),,2a b R a ∈≠-且，则ba 的取值范围是（ ）A．(B．(C．( D．(9．已知()f x 为R 上的可导函数，且对x R ∀∈，均有()()f x f x '>，则有（ ） A ．()()()()2013201320130,20130e f f f e f -<< B ．()()()()2013201320130,20130e f f f e f -<> C ．()()()()2013201320130,20130e f f f e f ->< D ．()()()()2013201320130,20130e f f f e f ->>10．设A 是自然数集的一个非空子集，对于k A ∈,如果2k A ∉A ,那么k 是A 的一个“酷元”，给定{}2lg(36)S x N y x =∈=-，设集合M 由集合S 中的两个元素构成，且集合M 中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M 有（ ） A ．3个 B ．4个C ．5个D ．6个二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. ）11. 已知0,0a b >>，若不等式212ma b a b+≥+总能成立，则m 的最大值是＿＿＿. 12. 已知函数()f x 对于任意x R ∈都有()()2f x f x =-，()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，且当[]1,1x ∈-时，()3f x x =，则()2013f =＿＿＿.13. 已知ABC ∆的三边,,a b c 满足2222a b c ++=，53410a b c ++=，则该三角形最大内角的余弦值为＿＿＿＿.14. 已知,x y 满足203010y x x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则264x y x +--的取值范围是＿＿＿＿.15. 2012年7月2日，美国费米国家加速器实验室宣布，接近发现“上帝粒子”的存在，再次把人们的目光聚集在微观世界.按万有引力定律，两质点间的吸引力122m m F kr =，k 为常数，12,m m 分别为两质点的质量，r 为两质点间的距离，若两质点起始距离为a ，质点1m 沿直线移动至离质点2m 的距离为b 处，则吸引力所做的功()b a >为＿＿＿＿.三、解答题（本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16．设p ：关于x 的不等式1xa >的解集是{}0x x <；:21q x x a +->不等式的解集为R .若p q ∨为真，p q ∧为假，求a 的取值范围.17．用数学归纳法证明贝努利（Bernoulli ）不等式：如果x 是实数，且1,0x x >-≠，n 为大于1的自然数，那么有()11nx nx +>+.18．已知二次函数()2(,,)f x ax bx c a b c R =++∈满足：对任意实数x ，都有()f x x ≥，且当()1,3x ∈时，有()()2128f x x ≤+恒成立. （1）证明：()22f =；（2）若()20f -=，求()f x 的表达式； （3）在（2）的条件下，设()()[),0,2mg x f x x x =-∈+∞，若()g x 的图象上的点都位于直线14y =的上方，求实数m 的取值范围.19．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益. 现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.（1）若建立函数()y f x =模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数()f x 模型的基本要求，并分析函数2150xy =+是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若该公司采用模型函数1032x ay x -=+作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a 的值.20．已知函数()()()33*2f x x m x m N =+-∈.（1）若12,(0,)x x m ∈，证明：()()121222x x f x f x f +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭；（2）对于任意的2,,,23m a b c m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，问以()()(),,f a f b f c 的值为边长的三条线段是否可构成三角形？并说明理由.21．设函数()ln 1f x x px（1）求函数()f x 的极值点；（2）若对任意的x ＞0，恒有0)(≤x f ，求p 的取值范围；（3）证明：).2,()1(212ln 33ln 22ln 2222222≥∈+--<+++n N n n n n nn 孝感高中2013届高三年级9月调考 数学（理）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.）1．A 2．B 3．D 4．A 5．B 6．D 7．C 8．A 9．C 10．C二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. ） 11．912．113．014．17[1,]7- 15．1211()km m b a-三、解答题（本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16．解：对于命题p ：根据指数函数单调性，可知命题P 为真时，实数a 的取值集合为{}01P a a =<< （2分） 对于命题q ：设()2f x x x a =+-，则由题意可知()1f x >恒成立. （3分）22,2()22,2x a x af x x x a a x a-≥⎧=+-=⎨<⎩ （4分）∴函数()2f x x x a =+-在R 上的最小值为2a . （6分） 从而由21a >得：12a >即命题q 为真时实数a 的取值集合为12Q a a ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭（7分）由P q ∨为真，P q ∧为假知P 和q 有且仅有一个为真 （9分） 若P 真q 假，则102a <≤（10分） 若P 假q 真，则1a ≥ （11分）所以a 的取值范围为[)10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦. （12分）17．证明：（1）当2n =时，0x ≠得22(1)1212x x x x +=++>+，不等式成立. （2分） （2）假设当(2)n k k =≥时不等式成立，即有(1)1k x kx +>+. （4分） 当1n k =+时，1(1)(1)(1)k k x x x ++=++ （6分）(1)(1)x kx >++ （8分）21x kx kx =+++ （9分）1(1).k x >++ （10分）所以当1n k =+时不等式成立. （11分）由（1）（2）可知，贝努力不等式成立. （12分） 18．解：（1）由条件知(2)422f a b c =++≥恒成立， （2分）又212(1,3),(2)42(22)28x f a b c =∈∴=++≤⨯+=恒成立，(2)2f ∴= （4分）（2）4221,421,,14.4202a b c a c b b c a a b c ++=⎧∴+==∴==-⎨-+=⎩ （5分）又()f x x ≥恒成立，即2(1)0ax b x c +-+≥恒成立.210,(1)4(14)02a a a ∴>∆=---≤， （7分） 解得：111,,822a b c ===2111().822f x x x ∴=++（8分）（3）由题意知21111()()82224m g x x x =+-+>在[0,)+∞上恒成立.即2()4(1)20h x x m x =+-+>在[0,)+∞上恒成立. （9分） ①由0∆<，即2[4(1)]80m --<，解得：11m <<； （10分）②由02(1)0,:1(0)20m m h ∆≥⎧⎪⎪--≤≤⎨⎪=>⎪⎩解得（11分）综合①②，得(,1m ∈-∞. （12分） 19．解：（I ）设奖励函数模型为()y f x =，按公司对函数模型的基本要求，函数()y f x =满足：当[10,1000]∈时①()f x 在定义域[10,1000]上是增函数（1分） ②()9f x ≤恒成立；（2分） ③()5xf x ≤恒成立.（3分）对于函数模型() 2.150xf x =+ 当x [10,1000]∈时，()f x 是增函数，（4分）max 100020()(1000)2291503f x f ==+=+< 所以()9f x ≤恒成立. （5分）但10x =时，110(10)2155f =+>，即()5xf x ≤不恒成立， （6分） 故该函数模型不符合公司要求.（7分）（II ）对于函数模型103320(),()1022x a a f x f x x x -+==-++即， 当203200,3a a +>>-即时递增； （9分）为要()9f x ≤对x [10,1000]∈恒成立，即982(1000)9,3181000,3f a a ≤+≥≥； （10分）为要()5xf x ≤对x [10,1000]∈恒成立， 即2103,4815025x a x x x a x -≤-+≥+恒成立， 所以1925a ≥. （12分）综上所述， 9823a ≥，所以满足条件的最小的正整数a 的值为328 . 20．解：（1）由题知333333121212121212()()2()()(),2()22()2().222x x x x x xf x f x x x m x m x f m ++++=++-+-=⨯+- 而33321212121232()()().24x x x x x x x x ++-=+- （2分） 又233312121212123,(0,),()()0,2222()42x x x x m x x x x x x +∈∴+-≥∴+≥⋅， （3分） 同理3333121212()()2()2()22m x m x x xm x m x m -+-+-+-≥=-，（5分） 故得1212()()2()2x x f x f x f ++≥.（6分）（2）以(),(),()f a f b f c 的值为边长的三条线段可以构成三角形. 事实上，因为33()2()f x x m x =+-，所以2222()63()363.f x x m x x mx m '=--=+-（7分）显然当2,23m x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '>，即()f x 在2[,]23m m 上是增函数，在2m x =处取得最小值338m ，在23m x =处取最大值31727m . （9分）不妨设a b c ≤≤，则33317()()()827m f a f b f c m ≤≤≤≤（11分）而3333317()()2(),8427f a f b m m m f c +≥⋅=>≥因此以(),(),()f a f b f c 的值为边长的三条线段可以构成三角形.（13分）21、 解：（1）),0()(,1ln )(+∞∴+-=的定义域为x f px x x f ，x pxp x x f -=-='11)( …………2分当),0()(,0)(0+∞>'≤在时，x f x f p 上无极值点 …………3分当p>0时，令x x f x f px x f 随、，)()(),,0(10)('+∞∈=∴='的变化情况如下表： x(0，1p) 1p1(,)p+∞ '()f x + 0 － ()f x↗极大值↘（4分）从上表可以看出：当p >0 时， ()f x 有唯一的极大值点1x p=（5分） （2）当p >0时在1x p =处取得极大值11ln f p p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此极大值也是最大值，（7分） 要使()0f x ≤恒成立，只需11ln 0f p p ⎛⎫=≤⎪⎝⎭， ∴1p （8分）∴p 的取值范围为[)1,+∞ （9分）（3）令p =1，由（2）知，2,1ln ,01ln ≥∈-≤∴≤+-n N n x x x x ， ∴1ln 22-≤n n ， （10分）∴22222111ln n n n n n -=-≤ （11分）∴)11()311()211(ln 33ln 22ln 222222222n n n -++-+-≤+++ )13121()1(222nn +++--= （12分） ))1(1431321()1(+++⨯+⨯--<n n n （13分）)11141313121()1(+-++-+---=n n n)1(212)1121()1(2+--=+---=n n n n n （14分）∴结论成立。
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1.A ．y ＝x ＋1x
B ．y ＝3x ＋3－x
C ．y ＝lg x ＋1lg x (0＜x ＜1)
D ．y ＝sin x ＋1sin x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0＜x ＜π2 2．(2009年福州检测)若实数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝1，则xy ＋yz ＋zx 的取值范围是( )
A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，12 3．(2008年江西卷)若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2
C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12
4．(2010年厦门月考)已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
5．某工厂第一年底的产量为P ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则有( )
A ．x ≥a ＋b 2
B ．x ＝a ＋b 2
C ．x ≤a ＋b 2
D ．x >a ＋b 2
6．(2009年佛山一中月考)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则x ·y 的最大值为________．
7．若x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1，则x 1＋y 2的最大值是________．
8．若a 、b ∈R ＋，且满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是__________，a ＋b 的取值范围是__________．
9．已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1.
求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.
(文科)
10．(2010年聊城统测)某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f (n )表示前n 年的纯利润总和，(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)．
(1)该厂从第几年开始盈利？
(2)若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方案：①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案更合算？
(理科)
10．设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm 2，画面的宽与高的比为λ(λ<1)，画面的上下各留8 cm 的空白，左右各留5 cm 的空白，问怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如
果λ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤23，34，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？
参考答案
1．B 2.B 3.A 4.B 5.C 6.116 7.324 8.[9，＋∞) [6，＋
∞)
9．证明：∵a ＋b ＋c ＝1，
∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c
＝b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＋3
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫c b ＋b c ＋3. ∵a >0，b >0，c >0，
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫c b ＋b c ＋3≥9. 10．解析：由题意知f (n )＝50n －⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12n ＋n (n －1)2×4－72. ＝－2n 2＋40n －72
(1)由f (n )>0，即－2n 2＋40n －72>0，解得2<n <18.
由n ∈N *知，从经三年开始盈利．
(2)方案①：年平均纯利润f (n )n ＝40－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫n ＋36n ≤16， 当且仅当n ＝6时等号成立．
故方案①共获利6×16＋48＝144(万元)，此时n ＝6.
方案②：f (n )＝－2(n －10)2＋128.
当n ＝10，f (n )max ＝128.
故方案②共获利128＋16＝144(万元)
比较两种方案，获利都是144万元，但由于第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案更合算．
10．解析：设画面的高为x cm ，宽为λx cm ，则λx 2＝4840，设纸张面积为S ，则有
S ＝(x ＋16)(λx ＋10)
＝λx 2＋(16λ＋10)x ＋160
＝5000＋4410⎝
⎛⎭⎪⎫8λ＋5λ≥6760， 当且仅当8λ＝
5λ时，即λ＝58时，S 取最小值，此时， 高x ＝4840λ＝88 cm ，宽λx ＝5
8×88＝55 cm.
如果λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34，则上述等号不能成立．现证函数S (λ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34上单调递增．设23≤λ1<λ2≤34，
则S (λ1)－S (λ2)＝4410⎝ ⎛⎭
⎪⎫8λ1＋5λ1－8λ2－5λ2 ＝4410()λ1－λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫8－5λ1λ2，因为λ1λ2≥23>58⇒8－5λ1λ2
>0，又λ1－λ2<0，所以S (λ1)－S (λ2)<0，故S (λ)在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤23，34上单调递增，因此对λ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤23，34， 当λ＝23时，S (λ)取得最小值．。