2023年上海高考数学满分复习攻略第07讲 三角函数图像与性质(解析版)

第07讲 三角函数图像与性质

【考点梳理】

一、 三角函数的图象与性质

1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭

⎪

⎫3π2，－1，

(2π，0).

(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭

⎪⎫3π2，0，(2π，1).

2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )

函数

y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x

图象

定义域 R R

{x |x ∈R ，且 x ≠k π＋π2

}

值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数

偶函数

奇函数

递增区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π] ⎝ ⎛⎭

⎪⎫k π－π2，k π＋π2

递减区间

⎣⎢⎡⎦

⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π] 无

对称中心

(k π，0)

⎝ ⎛⎭

⎪⎫k π＋π2，0

⎝ ⎛⎭

⎪⎫k π2，0

对称轴方程 x ＝k π＋π2

x ＝k π 无

二、 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质

1.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.

x －

φ

ω

－

φω＋π2ω

π－φ

ω

3π2ω－φω 2π－φ

ω

ωx ＋φ 0 π2

π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)

A

－A

2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念

y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时

振幅 周期 频率 相位 初相

A T ＝

2π

ω f ＝1T ＝ω

2π

ωx ＋φ φ

3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径

4.三角函数应用

(1)用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象：简谐振动(单摆、弹簧等)，声波(音叉发出的纯音)，交变电流.

(2)三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 中的待定系数.

(3)把实际问题翻译为函数f (x )的性质，得出函数性质后，再把函数性质翻译为实际问题的答案.

【解题方法和技巧】

1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式.

2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t (或y ＝cos t )的性质.

3.数形结合是本节的重要数学思想.

4.五点法作图及图象变换问题

(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；

(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化. 5.由图象确定函数解析式

解决由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定A ，ω，φ的问题时，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点.

【考点剖析】

【考点1】正切函数

一、单选题

1．（2021·上海·闵行中学高三期中）下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（ ） A ．sin y x = B ．tan y x =

C ．e x y =

D ．32y x x =+

【答案】D

【分析】根据基本初等函数的单调性以及单调性的性质、函数奇偶性的定义逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.

【详解】对于A ：sin y x =为奇函数，在定义域上有增有减，不是增函数，故选项A 不正确；

对于B ：tan y x =为奇函数，在πππ,π22k k ⎛⎫

-++ ⎪⎝⎭

()k ∈Z 上单调递增，但在定义域上不是增函数，故选项B

不正确；

对于C ：e x y =既不是奇函数也不是偶函数，故选项C 不正确；

对于D ：()()()33

22f x x x x x f x -=--=-+=-，所以32y x x =+是奇函数，因为3y x =和2y x =都是R 上的

增函数，所以32y x x =+在定义域上是增函数，故选项D 正确； 故选：D.

2．（2021·上海市进才中学高三期中）下列函数中，值域为()0,∞+的是（ ） A ．4x y =

B ．3

2y x =

C ．tan y x =

D ．cos y x =【答案】A 【分析】逐一进行验证，可判断结果. 【详解】对A ，函数4x y =的值域为()0,∞+；

对B ，函数3

2y x =的值域为[)0,+∞； 对C ，函数tan y x =的值域为R ； 对D ，函数cos y x =的值域为[]1,1- 故选：A

3．（2022·上海·高三专题练习）在平面直角坐标系中，角θ（32

π

πθ<<

）的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过函数()2x f x =-与12()log ()g x x =--的交点，角(0,)4

π

α∈，则（ ）

A ．1cot()θα-<+<

B ．1tan()θα-<+<

C ．1cos()θα-<+<

D ．1sin()θα-<+<【答案】D

【分析】首先函数特征判断函数()f x 和()g x 互为反函数，所以可判断54

πθ=，再计算53,42ππθα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，

再判断函数值的范围，判断选项.

【详解】因为122

()2()log ()log (),x

f x

g x x x =-=--=-互为反函数，其交点在y x =上，

又32ππθ<<

，所以54πθ=，而0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

，所以53,42ππθα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，

所以()()tan()1,,cot()0,1,sin()1,θαθαθα⎛+∈+∞+∈+∈- ⎝⎭

. 故选:D.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质与三角函数的综合应用，本题的关键是判断函数()f x 和()g x 互为反函数，从而确定角θ的大小. 二、填空题

4．（2022·上海·高三专题练习）若函数()y f x =在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x 都有()()()12121n n x x x f x f x f x f n n ++⋅⋅⋅+⎛⎫

++⋅⋅⋅+≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，若函数()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，则

在△ABC 中，sin sin sin A B C ++的最大值是______.【分析】根据题设凸函数的性质可得1(sin sin sin )sin(

)33

A B C

A B C ++++≤即可求最大值，注意等号成立条件.

【详解】由题设知：1(sin sin sin )sin()sin 333A B C A B C π++++≤==

∴sin sin sin A B C ++≤

3A B C π===时等号成立.

5．（2022·上海·高三专题练习）函数π

tan 2

y x =的最小正周期为___________. 【答案】2

【分析】根据正切函数的周期性进行求解即可.

【详解】解：πtan 2

y x =的周期为π

2

π2T ==，

故答案为：2

6．（2022·上海·高三专题练习）已知函数tan 6y x πω⎛

⎫ ⎪⎝+⎭=的图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭

对称，且1ω≤，则实数ω的

值为___________. 【答案】1

2

-或1

【分析】根据正切函数的性质，代入点,03π⎛⎫

⎪⎝⎭

，求解参数ω的值.

【详解】∵函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于点,03π⎛⎫

⎪⎝⎭

对称，且1ω≤，

∴3

6

k π

π

ωπ⨯

+

=，k ∈Z ，或3

6

2

k π

π

π

ωπ⨯

+

=+

，k ∈Z

则令0k =，可得实数1

2ω=-或1ω=，

故答案为：1

2

-或1.

【考点2】三角函数图像与性质

一、单选题

1．（2022·上海市实验学校模拟预测）已知以4为周期的函数(

)(](]1,1cos ,1,32x f x x

x π⎧∈-⎪

=⎨-∈⎪

⎩，其中0m >.若方程()3

x

f x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ） A

．8)3 B

． C ．48(,)33

D

．4

(3

【答案】B

【分析】作出函数()f x 和3x y =

的图象，要想使方程()3x

f x =恰有5个实数解，则需直线3

x y =处在函数()

f x 在(3,4)内的曲线切线和()8f 之间．

【详解】解：作出函数()f x 和()3

x

y g x ==的图象如图：

若方程()3

x f x =

恰有5个实数解， 则直线3

x

y =

处在函数()f x 在(3,4)内的曲线切线和()8f 之间． 函数()f x 是周期为4的周期函数， ∴()()80f f m ==，此时8()3

g x =．

()61f =，()()626g f =>，

∴此时两个函数不相交．

当(3x ∈，5]时，4(1x -∈-，1]，

2()(4)1(4)f x f x m x ∴=-=--(3x ∈，5]．

由21(4)3

x m x --，得22222(91)721350m x m x m +-+=， 则由0∆=，得22222(72)4(91)1350m m m --+⨯=， 整理得213515

819

m =

=，解得15m = 当(7x ∈，9]时，8(1x -∈-，1]，2()(8)1(8)f x f x m x ∴=-=--(7x ∈，9]． 即22

21(8)y x m --=，将3

x y =代入整理得22

2(8)19x x m -+=，

即22

1

(1)166309x x m

+

-+=， 由判别式22

1

164(1)6309m ∆=-+

⨯<得7m <

∴要使方程()3

x f x =

恰有5个实数解，则15

73m <<， 即m 的取值范围为15,73⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭

，

故选：B ．

2．（2021·上海·模拟预测）函数()()sin2cos f x x x θ=-+在()0,2π上的零点个数记为()g θ，若π02

θ≤≤，则()g θ的最大值与最小值之和为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10

【答案】A

【分析】函数()()sin2cos f x x x θ=-+在()0,2π上的零点个数即为函数sin 2y θ=与()cos y x θ=+的交点个数，()cos y x θ=+是由cos y x =向左平移θ个单位得到的， 可得当0θ=时，()g θ最大；当π

2

θ=

时，()g θ最小，即可求解. 【详解】令()()sin 2cos 0f x x x θ=-+=，解得()sin 2cos x x θ=+，

()f x 的零点个数可看成sin 2y θ=与()cos y x θ=+的交点个数，

()cos y x θ=+是由cos y x =向左平移θ个单位得到的，

因为π

02

θ≤≤

，所以当0θ=时，交点个数最多，由sin 2cos x x =， 即2sin cos cos x x x =，所以cos 0x =或1

sin 2

x =， 解得：1π2x =

，23π2x =，3π6

x =，45π

6x =， 所以()()max 04g g θ==，

当π2θ=

时，交点个数最少，πsin 2cos sin 2x x x ⎛

⎫=+=- ⎪⎝

⎭，

即2sin cos sin x x x =-，所以1

cos 2

x =-或sin 0x =，

解得：5πx =，62π3x =

，74π3

x =， 所以()min π32g g θ⎛⎫

== ⎪⎝⎭

，

故()g θ的最大值与最小值之和为437+=，

故选：A.

3．（2022·上海·模拟预测）已知函数()sin cos f x a x b x =-（a 、b 为常数0a ≠，x ∈R ）在π

4

x =处取得最小值，则函数3π

(

)4

f x -是（ ） A ．偶函数，且图象关于点(π,0)对称 B ．偶函数，且图象关于点3π

(

,0)2

对称 C ．奇函数，且图象关于点3π

(,0)2

对称 D ．奇函数，且图象关于点(π,0)对称

【答案】D

【分析】由题意先求出()f x 的最简形式，再根据三角函数性质对选项逐一判断 【详解】22()sin cos )f x a x b x a b x ϕ=-++，若()f x 在4

x π

=

处取得最小值，

则πsin()14ϕ+=-，ϕ5π2π,Z 4k k =

+∈，225π

())4f x a b x =++，2222)3π3π(

)445π

)4

f b x a x x a b --++=+-， 可得函数3π

()4

f x -是奇函数，且图象关于点(π,0)对称． 故选：D

4．（2021·上海市七宝中学模拟预测）函数()()30,0y x ωϕωϕπ=+><<为奇函数，A 、B 分别为函数图象上相邻的最高点与最低点，且AB 4=，则该函数的一条对称轴为（ ） A ．1x = B ．2x =

C ．2

x π=

D ．2

x π

=

【答案】A

【分析】由函数()f x 的基本性质可求得ϕ、ω的值，再利用正弦型函数的对称性可求得该函数的对称轴方程，即可得出合适的选项.

【详解】因为函数()()0,0y x ωϕωϕπ+><<为奇函数，且0ϕπ<<，则2

ϕπ=

，

所以，2y x x πωω⎛

⎫+= ⎪⎝

⎭，

因为A 、B 分别为函数图象上相邻的最高点与最低点，且AB 4=，

则(2

2

16AB πω⎛⎫

=+= ⎪⎝⎭

，因为0>ω，可得2πω=，则()2x f x π=，

由

()Z 2

2

x

k k ππ

π=+

∈，可得()21Z x k k =+∈，

所以，该函数的一条对称轴为直线1x =. 故选：A.

5．（2021·上海市建平中学高三期中）设函数()sin cos f x a x x =+（a 为常数），则“0a =”是“()f x 为偶函数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件

【答案】C

【分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断. 【详解】解：当0a = 时，()sin cos cos f x x x x a =+=, 所以()f x 为偶函数； 当()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，

∴()sin()cos()sin +cos a f x x x a x x -=-+-=-，即sin cos sin +cos x x x x a a +=- ，得sin 0a x =对任意的x 恒成立，从而0a =.

从而“0a =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件. 故选：C.

6．（2020·上海·高三专题练习）已知函数tan y x ω=在,22

ππ

⎛⎫

- ⎪⎝

⎭

内是严格减函数，则ω的取值范围是（ ）

A ．01ω<

B ．10ω-<

C ．1ω

D ．1ω-

【答案】B

【分析】根据正切函数的图象与性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为函数tan y x ω=存在减区间，则0ω<

由,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭

，可得,22x ωπωπω⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，

由题意函数tan y x ω=在,22ππ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

内是严格减函数，

可得0ω<且满足22

2

2ωππωππ⎧≥-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得10ω-<.

故选：B.

7．（2022·上海·高三专题练习）已知()tan f x x =，x ∈Z ，则下列说法中正确的是（ ） A ．函数()f x 不为奇函数 B ．函数()f x 存在反函数 C ．函数()f x 具有周期性 D ．函数()f x 的值域为R

【答案】B

【解析】根据()tan f x x =，x ∈Z 图象与性质，逐一分析选项，即可得答案.

【详解】对于A ：()f x 的定义域关于原点对称，且()tan()tan ()f x x x f x -=-=-=-，x ∈Z ，故()f x 为奇函数，故A 错误；

对于B ：()tan y f x x ==，x ∈Z 在定义域内一一对应，所以arctan =x y ，即()f x 的反函数为arctan y x =，故B 正确；

对于C ：因为()tan f x x =，x ∈Z ，故()f x 图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以()f x 不具有周期性，故C 错误；

对于D ：因为()tan f x x =，x ∈Z ，所以()f x 图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以()f x 的值域为一些点构成的集合，不是R ，故D 错误.故选：B

8．（2022·上海浦东新·二模）将函数()sin2f x x =的图像向左平移

4

π

个单位后，得到函数()g x 的图像，设,,A B C 为以上两个函数图像不共线的三个交点，则ABC 的面积不可能为（ ）

A

． B

C

D

【答案】D

【分析】先求得()g x 的解析式，在同一坐标系内作出()()f x g x 、图像，不妨取x 轴正半轴第一个交点为A ，第二个交点为B ，分别求得当C 位于不同位置时，ABC 的面积，根据规律，分析即可得答案.

【详解】由题意得()sin 2sin 2cos 242g x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛

⎫=+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，

在同一坐标系内作出()()f x g x 、图像，如下图所示

令sin 2cos2x x =，解得,8

2

k x k Z π

π

=

+

∈， 不妨取x 轴正半轴第一个交点为A ，第二个交点为B ， 所以252,,88A B ππ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭

若C 点位于192,82C π⎛ ⎝⎭时，ABC 的面积192

2288S ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，故C 正确 当C 点位于2132,8C π⎛ ⎝⎭

时，ABC 的面积113522288S ππ⎛⎫

=⨯- ⎪

⎝⎭

， 当C 点位于31728C π⎛ ⎝⎭

时，ABC 的面积11722288S πππ⎛⎫

=⨯- ⎪⎝⎭，故B 正确， 因为312AC AC =，此时3ABC △为1ABC 面积的2倍， 以此类推，当C 位于不同位置时，ABC 2

的整数倍，故A 正确，D 错误， 故选：D

二、填空题9．（2021·上海崇明·一模）设函数()5sin 0,2f x x m x π⎛⎫

⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝

⎭的零点为123,,x x x ，若123,,x x x 成

等比数列，则m =_______. 2

【分析】将函数()5sin 0,2f x x m x π⎛⎫

⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝

⎭的零点转化为sin ,y x y m ==的交点横坐标，结合函数图像，列

方程求出零点，进而可得m 的值. 【详解】令sin 0x m -=，得sin x m =

则函数()5sin 0,2f x x m x π⎛⎫

⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝

⎭的零点

即为sin ,y x y m ==的交点横坐标，如图：

由图可知12232

13

23x x x x x x x ππ+=⎧⎪

+=⎨⎪=⎩，

解得123143494x x x πππ⎧

=⎪⎪

⎪

=⎨⎪

⎪=⎪⎩

2sin

4

m π

∴==

2

10．（2021·上海·曹杨二中高三期中）设0>ω.若函数sin y x ω=在区间[],2ππ上恰有两个零点，则ω的取值范围是___________. 【答案】1ω=或

322ω≤<或5

22

ω<<. 【分析】由sin 0x ω=得,x k ωπ=则满足2,Z k k ωω≤≤∈的k 恰有两解，即求.【详解】由sin 0x ω=得,x k ωπ=即,Z k x k π

ω

=

∈，

∵函数sin y x ω=在区间[],2ππ上恰有两个零点， ∴2,Z k k π

ππω

≤

≤∈，即满足2,Z k k ωω≤≤∈的k 恰有两解，

又0>ω，所以k 取1,2或2,3或3,4，

当k 取1,2时，01ω<≤且223ω≤<，即1ω=； 当k 取2,3时，12ω<≤且324ω≤<，即3

22

ω≤<，

当k 取3,4时，23ω<≤且425ω≤<，即522

ω<<， 所以ω的取值范围是1ω=或

322ω≤<或522

ω<<. 故答案为：1ω=或322ω≤<或5

22

ω<<.

11．（2022·上海·高三专题练习）设函数()cos20y x x =≥和函数()cos100y x x =≥的图象的公共点的横坐标从小到大依次为1x ，2x ，…，n x ，若()34tan cos x x α-=，则sin 2α=___________.

【答案】3

5

【分析】利用余弦方程，解出x 的值，然后得到3π4x =

，4π

3

x =，代入()34tan cos x x α-=，利用正切的两角差公式求出tan α的值，然后再利用二倍角公式以及“1”的代换，结合“弦化切”的方法，求解即可. 【详解】因为()cos2cos100x x x =≥，

则有1022πx x k =+或1022πx x n +=，k ，n ∈N ， 解得1π4x k =

或π

6

n x =，k ，n ∈N ， 又函数()cos20y x x =≥和函数()cos100y x x =≥的图象的公共点的横坐标从小到大依次为1x ，2x ，…，n x ， 所以0x =，π6，π4，π3，π2，2π

3

，…，

故3π4x =

，4π3

x =， 所以()34tan cos x x α-=，即ππtan cos 43α⎛⎫

-= ⎪⎝⎭

，

则

1tan 11tan 2αα-=+，解得1

tan 3

α=， 故2222sin cos 2tan 3

sin 22sin cos sin cos tan 15

ααααααααα==

==++.故答案为：

35. 12．（2022·上海·模拟预测）给定曲线族()()2

4sin 2cos 68sin cos 10x y θθθθ-+-++=，θ为参数，则这些曲

线在直线2y x =上所截得的弦长的最大值是_____

【答案】【分析】联立求得交点的横坐标，利用弦长公式得到弦长，根据三角函数的有界性得到不等关系，求出

82x -≤≤，从而求出弦长最大值.

【详解】联立方程()()24sin 2cos 68sin cos 102x y y x θθθθ⎧-+-++=⎨=⎩，

解得：0x =或8sin cos 1

2sin cos 3

x θθθθ++=

-+，

所以弦长12d x =-=，由8sin cos 1

,2sin cos 3

x θθθθ++=

-+得：(28)sin (1)cos 13x x x θθ--+=-，由辅助

)13,x θϕ+=-

13x ∴-26160x x +-≤，

解得：82x -≤≤，所以8,x d ≤=≤

即弦长的最大值是85 故答案为：85

13．（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）已知0>ω，()()2sin 0f x x x πωω⎛

⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，()2,0A ，()2,1B ，

()1,1C ，()1,2D ，()0,2E ，O 位坐标原点，()y f x =图像上的点都在折线OABCDEO 所围成的区域（包括

边界）内，则ω的最小值为___________. 【答案】

56

π

【分析】由函数图象在折线OABCDEO ，围成区域内，要使得ω最小，即周期最大，因此点(1,1)C 在函数图象上，代入求解即可得．

【详解】要使得ω最小，即周期最大，因此点(1,1)C 在函数图象上，所以2sin 1ω=，1sin 2

ω=， 又最大值是2，最高点在线段AD 上，因此点(1,1)C 在函数的递减区间上，所以56

πω=． 故答案为：

56

π．14．（2022·上海·复旦附中模拟预测）如果存在正整数ω和实数ϕ使得函数()()2

cos =+f x x ωϕ（ω，ϕ为常数）的图像如图所示（图像经过点()1,0），那么ω的值为______．

【答案】2

【分析】函数式降幂化为余弦的一次式，由(1)0f =得2

k π

ωϕπ+=+，再由图象得周期T 满足4

23T <<，得

出

32

4

π

π

ω<<

，结合*ω∈N ，可得ω的值． 【详解】2

1cos(22)

()cos ()2

x f x x ωϕωϕ++=+=

，

由图象可得1cos(22)(1)02f ωϕ++=

=，222k ωϕππ+=+，2

k π

ωϕπ+=+①，

3142

T

T ⎧>⎪⎨

⎪<⎩，4

23T <<，42232πω<<，324ππω<<②． *ω∈N ，所以2ω=．

故答案为：2．

15．（2022·上海交大附中高三开学考试）在数列{}n a 中，11a =，n S 为{}n a 的前n 项和，关于x 的方程21cos 10n n x a x a +-++=有唯一解，若不等式()291n

n n S ka +≥-，对任意的*N n ∈恒成立，则实数k 的取值范

围为______ 【答案】297,4⎡

⎤-⎢⎥⎣

⎦

【分析】设()2

1cos 1n n f x x a x a +=-++，分析可得()1010n n f a a +=+-=，求得n a n =，()12

n n n S +=

，对n

分奇数和偶数两种情况讨论，结合参变量分离法可求得实数k 的取值范围.

【详解】设函数()2

1cos 1n n f x x a x a +=-++，该函数的定义域为R ，

因为()()()()2

211cos 1cos 1n n n n f x x a x a x a x a f x ++-=---++=-++=，则函数()f x 为偶函数，因为方程

()0f x =有唯一解，则()1010n n f a a +=+-=，

所以，11n n a a +-=且11a =，故数列{}n a 是以1为公差和首项的等差数列， 故11n a n n =+-=，()12

n n n S +=，由题意可得()291n

n n kn ++≥-.

若n 为奇数，则91k n n -≤+

+，因为9117n n ++≥=，当且仅当3n =时，等号成立， 所以，7k -≤，可得7k ≥-； 若n 为偶数，则91k n n ≤+

+，令9

1n b n n

=++，则2152b =，4294b =，

当4n ≥时，()()299991821122222n n b b n n n n n n n n +-=++

+---=+-=-+++,()()

2218

02n n n n +-=>+， 且数列{}n b 中的偶数项从4b 开始单调递增，因为42b b <，此时29

4

k ≤. 综上所述，2974

k -≤≤

. 故答案为：297,4⎡

⎤-⎢⎥⎣

⎦.

16．（2022·上海市光明中学模拟预测）设角数列{}n α的通项为()

*21N n n n k

π

αϕ=-+∈，，其中k 为常数且02πϕ⎛⎫

∈ ⎪⎝

⎭

，．若存在整数[]340k ∈，，使{}n α的前k 项中存在()i j i j αα≠，满足cos cos i j αα=，则ϕ的最大值

为__________． 【答案】

1939

π

【分析】由cos cos i j αα=确定i j αα，之间的关系，结合,i j 的范围求ϕ的最大值. 【详解】因为cos cos i j αα=，不妨设1,Z i j k i j ≤<≤∈，， 所以)=2(Z j i t t ααπ∈-或)=2(Z j i t t ααπ∈+， 所以()

()22112j i t k k ππϕϕπ-+---=或()()22112j i t k k

ππϕϕπ-++-+=， 所以j i tk -=或()

2j i t k

π

ϕπ+-+=

因为1i j k ≤<≤，Z t ∈，所以j i tk -≠， 所以()

2j i t k

π

ϕπ+-+=，

因为1i j k ≤<≤，所以1223i j k ≤+-≤-所以1232i j k k k +-≤≤-，又02πϕ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

，，Z t ∈ 所以12t ≤≤ 所以()

22j i t j i t k k π

ϕππ+-⎛

⎫=-+-=- ⎪⎝⎭，又02πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

， 若1t =，k 为偶数时，

要使ϕ最大，则2i j +-最小，又02πϕ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

，，所以122i j k +->，2Z i j +-∈

所以当1212i j k +-=+时ϕ取最大值，最大值为2111912240k k k ϕπππ+⎛⎫⎛⎫

=-=-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

若1t =，k 为奇数时，

要使ϕ最大，则2i j +-最小，又02πϕ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

，，所以122i j k +->，2Z i j +-∈

所以当11222i j k +-=+时ϕ取最大值，ϕ最大值为11119122239k k k ϕπππ+⎛⎫⎛⎫

=-=-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

， 同理可得

若2t =，k 为偶数时，则ϕ的最大值为32111922240k k k ϕπππ+⎛⎫⎛⎫

=-=-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

若2t =，k 为奇数时，则ϕ的最大值为311119222239k k k ϕπππ+⎛⎫⎛⎫

=-=-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

又

19193940

ππ

≥， 所以ϕ的最大值为1939

π

， 故答案为：

1939

π

. 三、解答题

17．（2021·上海市七宝中学模拟预测）已知函数()1sin 2212g x x x =+，函数()f x 与函数()g x 的图

象关于原点对称. (1)求()y f x =的解析式；

(2)求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间.

【答案】(1)()sin 213f x x π⎛

⎫=+- ⎪⎝

⎭

(2)单调递增区间是0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

【分析】（1）设点(),x y 是函数()y f x =的图象上任意一点，所以，点(),x y --在()y g x =的图象上，将点

(),x y --的坐标代入函数()y g x =的解析式，可得出函数()y f x =的解析式；（2）化简函数解析式为

()sin 213f x x π⎛

⎫=+- ⎪⎝

⎭，利用正弦型函数的单调性可求得函数()f x 在R 上的单调递增区间A ，将区间A 与

区间[]0,π取交集可得结果.

(1)解：设点(),x y 是函数()y f x =的图象上任意一点， 由题意可知，点(),x y --在()y g x =的图象上，

于是有()()1sin 2212y x x -=--+，

所以，()1πsin 221sin 2123f x x x x ⎛

⎫=-=+- ⎪⎝

⎭. (2)解：由（1）可知，()sin 213f x x π⎛

⎫=+- ⎪⎝

⎭，[]0,x π∈，

记[0,]D π=，由()222Z 2

3

2

k x k k π

π

π

ππ-

≤+

≤+

∈，解得()5Z 12

12

k x k k ππππ-≤≤+∈，

记()5,Z 1212A k k k ππππ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦，则70,,1212A D πππ⎡⎤⎡⎤

=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

， 于是，函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间是0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

.

18．（2022·上海市实验学校模拟预测）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似

满足函数关系：ππ

()10sin 1212

f t t t =-，[0,24)t ∈. (1)求实验室这一天的最大温差；

(2)若要求实验室温度不高于11C ︒，则在哪段时间实验室需要降温？ 【答案】(1)4C ︒

(2)在10时至18时实验室需要降温

【分析】（1）先把解析式化简，得到()102sin()123f t t ππ

=-+，利用三角函数的性质求出()f t 在[0,24)上取

得最大值12，取得最小值8，即可求得；（2）依题意列不等式()11f t >，直接解得. (1)

因为1()10sin )102sin()12212123

f t t t t ππππ

=-+=-+， 又024t ≤<，所以731233

t ππππ

≤+<，1sin()1123ππ-≤+≤t ，

当2t =时，sin()112

3

t ππ+=；当14t =时，sin()112

3

t ππ

+=-；

于是()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.

故实验室这一天最高温度为12C ︒，最低温度为8C ︒，最大温差为4C ︒

(2)依题意，当()11f t >时实验室需要降温.由（1）得()102sin()123

f t t ππ

=-+，

所以102sin()11123

t ππ

-+>，即1sin()1232t ππ+<-，

又024t ≤<，因此

71161236

t ππππ

<+<，即1018t <<， 故在10时至18时实验室需要降温.

19．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）已知平面向量()()(

)

sin π2,1,3,cos2a x b x =-=，函数()f x a b =⋅．

(1)写出函数f （x ）的单调递减区间；

(2)设π()lim (02π)πn

n n

n g x x x ∞→+=<<+，求函数()y f x =与()y g x =图象的所有交点坐标．

【答案】(1)减区间为π2ππ,π,Z 63k k k ⎡

⎤++∈⎢⎥⎣⎦；

(2)π17π23π,1,,0,,031212⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合辅助角公式、正弦型函数的单调性进行求解即可；

（2）根据极限的运算性质，结合特殊角的正弦值进行求解即可. (1)()π

3sin(π2)cos 22cos 22sin(2)6

f x a b x x x x x =⋅=-+=+=+，

当ππ3π

2π22π(Z)262k x k k +

≤+≤+∈时，函数单调递减， 解得：π2π

ππ(Z)63

k x k k +

≤+≤+∈， 因此函数f （x ）的单调递减区间为π2ππ,π,Z 63k k k ⎡

⎤++∈⎢⎥⎣

⎦；

(2)当0πx <<时，π1

()lim lim 1

π1()

π

n n n n n n

g x x x ∞∞→+→+===++，

即()ππ5ππ2sin(2)126663f x x x x =+=⇒+=

⇒=，所以交点的坐标为π,13⎛⎫

⎪⎝⎭

； 当πx =时，π1

()lim

ππ2

n n n n g x ∞

→+==

+，即()π12sin(2π)62f x =+=，方程无实根； 当π2πx <<时，

1

()lim

1()

π

n n g x x ∞→+==+，

即()ππ

2sin(2)023π66

f x x x =+=⇒+=，或π24π6x +=，

解得17π12x =或23π12x =，即交点坐标为17π23π,0,,01212⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上所述：交点坐标为π17π23π,1,,0,,031212⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 20．（2022·上海交大附中模拟预测）已知函数()()1cos 2f x x g x f x ωϕ⎛

⎫==+ ⎪⎝

⎭，，其中[]0,2πϕ∈

(1)若12

ω=

且直线π

2x =是()g x 的一条对称轴，求()g x 的递减区间和周期；

(2)若21π3ωϕ==

，，求函数()()()h x f x g x =-在π0,2⎛⎫

⎪⎝⎭

上的最小值； 【答案】(1)3ππ4π,4π,22k k k Z ⎡⎤

-++∈⎢⎥⎣⎦

；4π，(2)14-

【分析】（1）根据题设中的对称轴可得π

2π,2k k Z ϕ=-∈，根据其范围可求其值，再根据公式和整体法可

求周期及减区间.

（2）利用三角变换和整体法可求函数的最小值.

(1)可知1

1()cos 2

2g x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，

因为直线π

2x =是()g x 图象的一条对称轴，故1π1π,222

k k Z ϕ⨯+=∈，

解得π2π,2k k Z ϕ=-∈，而[]0,2πϕ∈，故3π2ϕ=，则1

3()cos π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，

则周期2π

4πT ω

=

=，

再令13π[2π,π2π],24x k k k Z +∈+∈，则3ππ4π,4π,22x k k k Z ⎡⎤

∈-++∈⎢⎥⎣⎦

，

故()g x 的递减区间为3ππ4π,4π,22k k k Z ⎡⎤

-++∈⎢⎥⎣⎦.

(2)可知π()cos 3g x x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭

ππ()cos()cos cos cos 3 3h x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2

11cos cos cos cos 22x x x x x x ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭

11cos 2222x x +=⋅1π1sin 2264x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故ππ5π2,666x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，

则在ππ262x -=即π

3x =取()h x 最小值，其最小值为111244

-+=-.

【考点3】三角函数综合应用

一、填空题

1．（2022·上海闵行·二模）若函数cos y x x =+的图像向右平移ϕ个单位后是一个奇函数的图像，则正数ϕ的最小值为___________；

【答案】π6

【分析】先用辅助角公式得到πcos 2sin 6y x x x ⎛

⎫=+=+ ⎪⎝

⎭，求出平移后的解析式，根据奇偶性得到16k <，

从而当0k =时，求出ϕ的最小值.

【详解】πcos 2sin 6y x x x ⎛

⎫=+=+ ⎪⎝

⎭，向右平移ϕ个单位后解析式为()π2sin 6f x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，

则要想使得()π2sin 6f x x ϕ⎛

⎫=-+ ⎪⎝

⎭为奇函数，只需ππ,6k k Z ϕ-+=∈，

解得：π

π,6

k k Z ϕ=

-∈， 因为0ϕ>，所以

ππ>06

k -，k Z ∈，解得：1

6k <，k Z ∈，

当0k =时，正数ϕ取得最小值，所以π6

ϕ=

. 故答案为：π

6

2．（2020·上海·高三专题练习）方程2cot 1x =的解集是_________．

【答案】,4x x k k Z π

π⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭

【分析】化简得到cot 1x =±，分别计算cot 1x =和cot 1x =-得到答案. 【详解】2cot 1x =，则cot 1x =±， 当cot 1x =时，4

x k π

π=+，k Z ∈；当cot 1x =-时，4

x k π

π=-

，k Z ∈；

故4

x k π

π=±

，k Z ∈.

故答案为：,4x x k k Z π

π⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭

.

【点睛】本题考查了解三角方程，意在考查学生的计算能力，漏解是容易发生的错误. 3．（2021·上海·南洋中学高三阶段练习）将函数()sin 2y x ϕ=+的图象向左平移4

π

个单位后得到得到函数图象关于点4,03π⎛⎫

⎪⎝⎭

成中心对称，那么ϕ的最小值为__________．