2023年上海高考数学满分复习攻略第07讲 三角函数图像与性质(解析版)
2023高考数学一轮复习辅导：三角函数
2023高考数学一轮复习辅导：三角函数1500字三角函数是数学中非常重要的一个概念，它在几何、物理等多个领域都有广泛的应用。
下面我将为大家总结一下2023高考数学一轮复习的三角函数知识点。
一、基本概念1. 常用三角函数：正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)。
2. 基本关系：在单位圆上，设点P(x,y)是角θ的终边与单位圆的交点，则x=cos(θ)，y=sin(θ)。
二、三角函数的性质1. 奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，cos(-x)=cos(x)，tan(-x)=-tan(x)。
2. 周期性：sin(x+2π)=sin(x)，cos(x+2π)=cos(x)，tan(x+π)=tan(x)。
3. 互余关系：- sin(x)与cos(x)互为余角。
- tan(x)与cot(x)互为余角。
三、三角函数的基本关系1. 和差公式：- sin(x±y)=sin(x)cos(y)±cos(x)sin(y)。
- cos(x±y)=cos(x)cos(y)∓sin(x)sin(y)。
- tan(x±y)= (tan(x)±tan(y))/(1∓tan(x)tan(y))。
2. 积化和差公式：- sin2x=(1-cos2x)/2。
- cos2x=(1+cos2x)/2。
- tan2x=(1-cos2x)/(1+cos2x)。
3. 半角公式：- sin(x/2)=±√((1-cosx)/2)。
- cos(x/2)=±√((1+cosx)/2)。
- tan(x/2)=±√((1-cosx)/(1+cosx))。
四、三角函数的图像与性质1. 正弦函数sin(x)：- 定义域：(-∞,∞)。
- 值域：[-1,1]。
- 奇函数，周期为2π。
- 在[0,2π]上的图像是一个完整的波形，过原点和(π/2, 1)。
沪教版2022届高考数学一轮复习讲义专题07：三角函数的图像与性质复习与检测(含答案)
学习目标1.正弦函数、余弦函数的定义域、值域、最大值和最小值、周期性、奇偶性、单调性。
2.正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。
3.正弦函数、余弦函数和正切函数的图像。
知识梳理重点1求给定区间D 上的值域（最值）先根据x 的范围D 求出x 的范围E ，再结合sin yx 的图像即得sin()x 的范围，最后配合A,B 求出值域（最值）。
重点2求单调区间（借助复合函数的单调性）将x整体代入原始sin yx 的对应单调区间解出x重点3特殊角的三角函数值重点4求最小正周期：只取公式T=2与其他无关【有绝对值的周期减小2倍】重点5求定义域：先根据y 的范围求出sin()x的范围，再结合sin y x 的图像即得x的范围，化简即α 02sinα 010 -1cosα 10 -1 0 1tanα 0 1不存在 0 不存在 04π3π2ππ23ππ212223232221333可得x 的取值范围。
例题分析例1．函数2()1cos e 1x f x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【详解】函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，因为2e 12e 1()1cos cos cos e 1e 1e 1x x x xx f x x x x ⎛⎫⎛⎫-++⎛⎫=+⋅=⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 并且()()00e 1e e 1e ()cos cos cos e 1e e 1e x x xxx xf x x x x f x --+++-=⋅-=⋅=⋅=----， 所以函数()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A C ，； 当0f x时，即e 1cos 0e 1x x x +⋅=-，此时只能是cos 0x =，而cos 0x =的根是2x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，可排除D . 故选:B例2．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭图象相邻两个对称中心之间的距离为4π，将函数()y f x =的图象所左平移12π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ）A ．关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称C ．关于直线3x π=对称D ．关于直线3x π=-对称【答案】C 【详解】由函数()y f x =图象相邻两个对称中心之间的距离为4π. 可知其周期为2π， 所以24Tπω==， 所以()()sin 4f x x ϕ=+， 将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位后，得到函数()sin f x =4sin 4123x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象. 因为得到的图象关于y 轴对称， 所以()32k k ππϕπ+=+∈Z ，即()6k k πϕπ=+∈Z ，又2πϕ<，所以6π=ϕ， 所以()sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 令()462x k k πππ+=+∈Z ，解得()124k x k ππ=+∈Z . 当1k =时，得()f x 的图象关于直线3x π=.故选：C .跟踪练习1．为了得函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3π单位C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移3π个单位2．已知函数())0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭，1,02A ⎛⎫⎪⎝⎭为其图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是（ ） A ．32,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．132,2,22k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ C ．34,4,22k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．134,4,22k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦3．已知函数()()π4sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭图象的一条对称轴方程为2πx =，点7π,02⎛⎫⎪⎝⎭是与直线2πx =相邻的一个对称中心，将()f x 图象上各点的纵坐标不变.横坐标伸长为原来的43倍得到函数()g x 的图象，则()g x 在2π,4π3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A ．B ．-C ．2-D ．4-4．已知函数()1π1πsin cos 3333f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，现有下列四个结论：①函数()f x 的一个周期为3π2； ①函数()f x 在ππ,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； ①直线5π4x =-是函数()f x 图象的一条对称轴；①函数()f x 的值域为⎡⎣.所有正确结论的序号是（ ） A ．①①①B ．①①C ．①①①D ．①①5．函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则36524x f π+⎛⎫⎪⎝⎭在闭区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值依次为（ ）A ．2B ．2-C ．，0D ．0，26．函数())1cos cos 2f x xx x =--，则下列结论正确的有（ ）①函数()f x 的最大值为1； ①函数()f x 的对称轴方程为5,212k x k Z ππ=+∈； ①函数()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调； ①()sin2g x x =，将()g x 图像向右平移12π单位，再向下平移1个单位可得到()f x 的图像 A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①7．已知α，λ是实常数，sin cos()()cos()sin x x f x x xλαα-=+.（1）当1λ=，3πα=时，求函数的最小正周期、单调递增区间和最大值；（2）是否存在λ，使得()f x 是与α有关的常数函数（即()f x 的值与x 的取值无关）？若存在，求出所有满足条件的λ，若不存在，说明理由.8．已知()sin(),0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭函数的最小值为3-，且()f x 图象相邻的最高点与最低点的横坐标之差为2π，又()f x 的图象经过点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（1）求函数()f x 的解析式； （2）若方程()0f x k -＝在110,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有且仅有两个不同根，求k 的取值范围． 9．已知函数()cos sin sin 3f x x x x π⎡⎤⎛⎫=⋅-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． （1）求()y f x =图象的对称轴； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()y f x =的值域． 10．已知函数()π4sin cos 16f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． （1）求()f x 图象的对称中心； （2）若π2π,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()()g x f x m =-有两个零点，求m 的取值范围．参考答案1．A 【详解】设sin 2y x =的图象沿横轴所在直线平移ϕ个单位后得到sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象. ①函数sin 2y x =平移ϕ个单位后得到函数，sin 2()y x ϕ=+，即sin(22)y x ϕ=+， ①223k πϕπ=+，即()6k k Z πϕπ=+∈，取0k =，6π=ϕ. 故选：A. 2．D 【详解】 因为1,02A ⎛⎫⎪⎝⎭为图象()f x 的对称中心，所以1+π()2k k Z ωϕ=∈,因为B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，且 4BC =，所以222,2()44,.22TT T ππω+=∴===, 因此(),,4224k k Z ππππϕπϕϕ=-∈-<<∴=-，要求()f x 的单调增区间，则有[2,2]()2224x k k k Z ππππππ-∈-++∈，得x ∈134,22[4]k k -+，k Z ∈.故选：D. 3．B 【详解】 由题意知，7π2π42T =-，即6πT =，所以2π16π3ω==， 因为7π02f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以17sin π032ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， 所以17ππ32k ϕ⨯+=，k ∈Z ，即7ππ6k ϕ=-+，k ∈Z ，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=-，所以()1π4sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将()f x 图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的43倍得到的函数()1π4sin 46g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当2π,4π3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，1ππ5π,4636x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当1ππ463x -=-时，即2π3x =-时，()min g x =-. 故选：B. 4．C 【详解】3π1ππ1ππsin cos 2323323f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1π1πcos sin 3333x x f x ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以①正确；因为()π02f f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以①不正确； 令1π33t x =-，当π0,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即5ππ,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， πsin cos 4y t t t ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，由①知3π2是函数()f x 的一个周期，所以()f x ⎡∈⎣，5π3π3πsin cos 444f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①①正确.故选：C 5．A 【详解】 由图可知323518342424244ππππ=-==T ，则T π=，所以22T πω==又因为524x π=时取最大值，则522242ππϕπ⨯+=+k ，又||2ϕπ<，所以12πϕ= 又33sin 218812πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f A 所以2A = 则3653653652sin 22sin 22cos32424122412πππππ+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=⨯+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x x x f x 由于,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得33,24ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x ，故当0x =时，36524x f π+⎛⎫⎪⎝⎭最大值为2，当4x π=时，36524x f π+⎛⎫⎪⎝⎭最小值为 故选：A 6．B 【详解】())211cos cos cos cos 22f x xx x x x x =--=--1cos 21sin 2sin 212226x x x π+⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ ①由1sin 216πx ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，可得sin 216x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的最大值为0， 所以函数函数()f x 的最大值为0，所以①不正确. ①由()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭可得其对称轴满足：2,62x k k Z πππ-=+∈即1,23x k k Z ππ=+∈，所以①不正确. ①()f x 的增区间满足：222,262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈即,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈当0k =时，可得()f x 在63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以①正确.① 将()g x 图像向右平移12π单位,可得sin 2sin 2126y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图像. 再向下平移1个单位可得到sin 216y x π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭()f x 的图像，所以①正确. 所以①①正确. 故选：B7．（1）T π=；,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；最大值74；（2）存在，1-.【详解】解：由题意得2()sin cos()cos()f x x x x λαα=-+-2sin (cos cos sin sin )(cos cos sin sin )x x x x x λαααα=--+22222sin cos cos sin sin x x x λαα=-+2222(sin )sin cos cos x x λαα=+-221cos 21cos 2(sin )cos 22x x λαα-+=+- 221sin cos cos 222x λλαα++-=-+，（1）当1λ=，3πα=时，221sin cos 333()cos 2cos 224f x x x ππ+-=-+=-+，所以函数的最小正周期为π，由222,k x k k Z πππ≤≤+∈，得,2πππ≤≤+∈k x k k Z ，所以()f x 的单调递增区间为,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；当cos21x =-时，()f x 取得最大值为74， （2）由（1）可知221sin cos ()cos 222f x x λλαα++-=-+，显然当102λ+-=，即1λ=-时，()f x 的值与x 的取值无关，所以存在1λ=-，使得()f x 是与α有关的常数函数，221sin cos ()cos 222f x x λλαα++-=-+，考查计算能力，属于中档题8．（1）1()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）3(3,0],32k ⎡⎫∈-⋃⎪⎢⎣⎭. 【详解】 解：（1）由题意得：3A =，22T π=，则4T π=，即21T 2πω==， 所以1()3sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又()f x 的图象经过点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则33sin 2ϕ=， 由||2ϕπ<得6π=ϕ，所以1()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； （2）由题意得，()0f x k -=在110,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有且仅有两个解12,x x ， 即函数()y f x =与y k =在110,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且仅有两个交点， 由110,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得，1,2266x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 则1()3sin [3,3]26f x x π⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭， 设126t x π=+，则函数为3sin y t =，且,26t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 即函数3sin y t =与y k =在,26t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且仅有两个交点， 画出函数3sin y t =在,26t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象由图可知，k 的取值范围为：3(3,0],32k ⎡⎫∈-⋃⎪⎢⎣⎭，9．（1）5()122k x k Z ππ=+∈；（2）⎡⎢⎣⎦． 【详解】（1）1()cos sin sin 22f x x x x x ⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭21sin cos 2x x x =1sin 22444x x =--1sin 2234x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 由2()32x k k Z πππ-=+∈，得()y f x =图象对称轴：5()122k x k Z ππ=+∈； （2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，()f x 对2,332x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦递增，对22,323x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦递减，所以sin 213x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，1sin 223x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，故函数由()y f x =的值域为⎡⎢⎣⎦． 10．（1）点ππ,0212k ⎛⎫-⎪⎝⎭()k ∈Z ；（2）[)1,2-． 【详解】解：（1）()π14sin cos 14sin sin 12cos2622f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．令π2π6x k +=()k ∈Z ，得ππ212k x =-()k ∈Z ，所以()f x 图象的对称中心为点ππ,0212k ⎛⎫- ⎪⎝⎭()k ∈Z ． （2）()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以()()g x f x m =-在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．因为()()g x f x m =-在π2π,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有两个零点， 所以π0,6π0,62π0,3g g g ⎧⎛⎫-≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫>⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，得12m -≤<，所以m 的取值范围是[)1,2-．。
【高考冲刺30天】高考数学三轮专名师讲义：第7讲-三角函数的图象与性质(含答案)
| φ|< π 2
的一条对称轴为
x＝π12，则 φ ＝________．
答案：
π 4
π
π
π
π
解析：由已知可得 3× 12＋ φ ＝kπ ＋ 2 ， k∈ Z，即 φ ＝ kπ ＋ 4 ， k∈ Z. 因为 | φ |< 2 ，
所以
φ＝
π 4
.
4.
若 f(x)
＝2sin ω x(0< ω <1) 在区间
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角 α 、β ，它们的终边分别与 2 25
单位圆相交于 A、B 两点，已知 A、B 的横坐标分别为 10 、 5 . 求： (1) tan( α＋ β ) 的值； (2) α ＋ 2β 的值．
解：由题意得
2
25
π
cos α ＝ 10 ，cos β＝ 5 ，α 、及其简单的性质 ( 周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等
)．
3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易．这几年的高考加
强了对三角函数定义、图象和性质的考查．在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊
方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等．
1. 函数 y ＝2sin 2 x －π4 － 1 是最小正周期为 ________的 ________( 填“奇”或“偶” ) 函
题型二 三角函数定义及应用问题
例 1 设函数 f( θ ) ＝ 3sin θ ＋ cos θ ，其中角 θ 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴
非负半轴重合，终边经过点 P(x ， y) ，且 0≤ θ ≤ π .
(1)
若点 P 的坐标是
第4节 第1课时 三角函数的图象与性质--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第四节三角函数的图象与性质1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是(0，0)(π，0)(2π，0)．(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是(0，1)(π，－1)(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质|π1．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．2．三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．(1)若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )；若y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )．(2)若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z )；若y ＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )．(3)若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )．3．对于y ＝tan x π－π2，k πk ∈Z )上都是增函数．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y ＝sin x 在第一、第四象限单调递增．()(2)正切函数y ＝tan x 在定义域上是增函数．()(3)由sin π6，知2π3是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．()(4)余弦曲线的对称轴是y 轴．()(5)函数y ＝cos|x |和y ＝cos x 周期相同．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2．小题热身(1)若函数y ＝2sin2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则()A ．T ＝π，A ＝1B ．T ＝2π，A ＝1C ．T ＝π，A ＝2D ．T ＝2π，A ＝2答案A 解析T ＝2π2π，A ＝2－1＝1.故选A.(2)(人教B 必修第三册7.3.4例1改编)函数y ＝3tan x ________．答案|x ≠k π2＋π8，k ∈解析要使函数有意义，则2x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，即x ≠k π2＋π8，k ∈Z ，所以函数的定义域|x ≠k π2＋π8，k ∈(3)(人教A 必修第一册5.4.2练习T3改编)函数y ＝4sin x 在[－π，π]上的单调递减区间是________．答案－π，－π2和π2，π(4)(人教A 必修第一册习题5.4T4改编)函数y ＝3－2cos ________，此时x＝________．答案53π4＋2k π(k ∈Z )解析函数y ＝3－2cos3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π，k ∈Z ，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．第1课时三角函数的单调性与最值考点探究——提素养考点一三角函数的定义域例1函数f (x )＝sin x ＋116－x 2的定义域为________．答案(－4，－π]∪[0，π]解析因为f (x )＝sin x ＋116－x 2，x ≥0，－x 2>0，解得k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z ，4<x <4.对于2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z ，当k ＝0时，0≤x ≤π；当k ＝1时，2π≤x ≤3π；当k ＝－1时，－2π≤x ≤－π；当k ＝－2时，－4π≤x ≤－3π，所以－4<x ≤－π或0≤x ≤π，即f (x )的定义域为(－4，－π]∪[0，π]．【通性通法】求三角函数的定义域，实际上是构造简单的三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象，对于有限集、无限集求交集可借助数轴．【巩固迁移】1．函数f (x )＝ln (cos x )的定义域为()A π－π2，k πk ∈ZB ．(k π，k π＋π)，k ∈ZC k π－π2，2k πk ∈ZD ．(2k π，2k π＋π)，k ∈Z 答案C解析由题意知cos x ＞0，∴2k π－π2＜x ＜2k π＋π2，k ∈Z ，∴函数f (x )的定义域为k π－π2，2k πk ∈Z .故选C.考点二三角函数的单调性(多考向探究)考向1求三角函数的单调区间例2函数f (x )＝sin 2x [0，π]上的单调递减区间为________．答案0，5π12和11π12，π解析f (x )＝2x sin －x x 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故函数f (x )的单调递减区间为k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．令A ＝k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ，B ＝[0，π]，∴A ∩B ＝0，5π12∪11π12，π，∴f (x )在[0，π]上的单调递减区间为0，5π12和11π12，π.【通性通法】已知三角函数解析式求单调区间的方法代换法将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角，利用复合函数的单调性列不等式求解图象法画出三角函数的图象，结合图象求函数的单调区间【巩固迁移】2．(2022·北京高考)已知函数f (x )＝cos 2x －sin 2x ，则()A ．f (x )－π2，－B ．f (x )－π4，C ．f (x )D ．f (x )答案C解析因为f (x )＝cos 2x －sin 2x ＝cos2x .对于A ，当－π2<x <－π6时，－π<2x <－π3，则f (x )在－π2，，A 错误；对于B ，当－π4<x <π12时，－π2<2x <π6，则f (x )－π4，不单调，B 错误；对于C ，当0<x <π3时，0<2x <2π3，则f (x )，C 正确；对于D ，当π4<x <7π12时，π2x <7π6，则f (x )，D 错误．故选C.考向2已知三角函数的单调性求参数例3已知ω＞0，函数f (x )＝sinω的取值范围是()A ．(0，2]B ，12C ．12，34D ．12，54答案D解析解法一(子集法)：由2kπ＋π2≤ωx＋π4≤2kπ＋3π2，k∈Z，得2kπω＋π4ω≤x≤2kπω＋5π4ω，k∈Z，因为f(x)＝sin，＋π4ω≤π2，k∈Z，＋5π4ω≥π，k∈Z，解得≥4k＋12，k∈Z，≤2k＋54，k∈Z.因为k∈Z，ω＞0，所以k＝0，所以12≤ω≤54.故选D.解法二(反子集法)：∵x ωx＋π4∈＋π4，πω∵f(x)，∴＋π4≥π2＋2kπ，k∈Z，＋π4≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得≥4k＋12，k∈Z，≤2k＋54，k∈Z.又ω＞0，k∈Z，∴k＝0，此时12≤ω≤54.故选D.【通性通法】已知单调区间求参数的三种方法子集法求出原函数的相应单调区间，由已知区间是该区间的子集，列不等式(组)求解反子集法由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解周期性法由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14个周期列不等式(组)求解注意：“函数f(x)在区间M上单调”与“函数f(x)的单调区间为N”两者的含义不同，M是N的子集．【巩固迁移】3．若函数f(x)＝2在区间π2，a上单调，则实数a的最大值是________．答案7π5解析解法一：令2kπ＋π2≤x＋π10≤2kπ＋3π2，k∈Z，即2kπ＋2π5≤x≤2kπ＋7π5，k∈Z，所以函数f (x )在区间2π5，7π5上单调递减，所以实数a 的最大值是7π5.解法二：因为π2≤x ≤a ，所以π2＋π10≤x ＋π10≤a ＋π10，又f (x )在区间π2，a 上单调，所以π2＋π10<a＋π10≤3π2，即π2<a ≤7π5，所以实数a 的最大值是7π5.4．(2024·河北石家庄二中模拟)已知函数y ＝3tan ωx ＋1－π3，则ω的取值范围是________．答案－32，解析∵函数y ＝3tan ωx ＋1－π3，，∴ω<0，所求函数可化为y ＝－3tan(－ωx )＋1，∴－ω－π2且－ω×π4≤π2，∴ω≥－32，又ω<0，∴－32≤ω<0.考点三三角函数的最值(值域)例4(1)(2023·辽宁沈阳模拟)函数f (x )＝2cos x －cos2x 的最小值为()A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1答案B解析因为f (x )＝2cos x －cos2x ，所以f (x )＝－2cos 2x ＋2cos x ＋1，令t ＝cos x ，t ∈[－1，1]，所以函数f (x )＝2cos x －cos2x 等价于y ＝－2t 2＋2t ＋1，t ∈[－1，1]，又y ＝－2t 2＋2t ＋1＝－＋32，t ∈[－1，1]，当t ＝－1时，y min ＝－3，即函数f (x )＝2cos x －cos2x 的最小值为－3.(2)(2024·福建龙岩质检)函数y ＝sin x －cos ________．答案[－3，3]解析∵y ＝sin x －sin x －32·cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin 函数y＝sin x －cos [－3，3]．【通性通法】求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型类型一形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)类型二形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)类型三形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t的二次函数求值域(最值)【巩固迁移】5．函数y ＝2sin x cos x ＋2sin x －2cos x ＋2的最大值为()A ．52B ．3C ．72D ．4答案C解析设t ＝2sin x －2cos x ＝[－2，2]，则2sin x cos x ＝1－t 22，则原函数可化为y＝1－t 22＋t ＋2＝－t 22＋t ＋3＝－12(t －1)2＋72，t ∈[－2，2]，所以当t ＝1时，函数取得最大值72.6．(2024·江苏常州模拟)函数y ＝1＋tan x1－tan x ，x －π2，________．答案(－1，1)解析因为y ＝1＋tan x1－tan x，x －π2，所以tan x ∈(－∞，0)，令t ＝tan x ，则t ∈(－∞，0)，所以y ＝1＋t 1－t ＝－1＋－2t －1，因为t ∈(－∞，0)，所以t －1∈(－∞，－1)，1t －1∈(－1，0)，－2t －1∈(0，2)，－1＋－2t －1∈(－1，1)，即y ∈(－1，1)．课时作业一、单项选择题1．函数y ＝|cos x |的一个单调递增区间是()A ．－π2，π2B ．[0，π]C ．π，3π2D ．3π2，2π答案D解析将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)，由图象可知选D.2．函数y ＝ln (3－2x －x 2)＋2sin x －1的定义域是()A ．π6，B 1，π6C 3，π6D ．π6，5π6答案A解析由题知－2x －x 2>0，x －1≥0.由3－2x －x 2>0，解得－3<x <1，由2sin x －1≥0，解得π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z .当k ＝0时，3<x <1，x ≤5π6，解得π6≤x <1；当k ＝1时，区间(－3，1)k ＝－1时，区间(－3，1)－11π6，．所以函数的定义域是π6，故选A.3．已知函数f (x )＝a ＝b ＝c ＝a ，b ，c 的大小关系是()A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．b ＞a ＞c答案A解析a ＝2cos 13π42，b ＝2cos π3，c ＝2cos 5π12，因为y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，又13π42＜π3＜5π12，所以a ＞b ＞c .故选A.4．函数f (x )＝tan ()A k －12，4k k ∈ZB k －32，4k k ∈ZC k －32，2k k ∈ZD k －12，2k k ∈Z答案C解析令－π2＋k π<π2x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，解得－32＋2k <x <2k ＋12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调k －32，2k k ∈Z .故选C.5．已知函数f (x )＝x 1的定义域为[0，m ]，值域为[－2，7]，则m 的最大值是()A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6答案C解析由函数f (x )＝x 1的值域为[－2，7]，可得x ∈－12，1，由x ∈[0，m ]可得2x －π6∈－π6，2m －π6，所以π2≤2m －π6≤7π6，解得π3≤m ≤2π3，所以m 的最大值是2π3.故选C.6．函数f (x )＝cos2x ＋2sin x ，x ∈[0，π]的最大值为()A ．12B ．1C ．32D ．2答案C解析f (x )＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－x ＋32，因为x ∈[0，π]，所以sin x ∈[0，1]，所以当sin x ＝12时，f (x )取得最大值，为32.故选C.7．函数f (x )＝x －12，则下列表述正确的是()A ．f (x )－π3，－B ．f (x )C ．f (x )－π6，D ．f (x )答案D解析f (x )＝x －12，由2x ＋π6∈－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，解得x ∈－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，x ∈－π3，π6，所以函数f (x )在－π3，π6上单调递增，－π3，π6，故选D.8．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cosωx (ω>0)ω的取值范围为()A ．(2，4)B ．2，72C ．73，269D ．73，4答案C解析f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝当x，ωx ＋π3∈，ωπ3＋该区间上有零点，故ωπ3＋π3>π⇒ω>2，又xf (x )单调，则T ＝2πω≥ω≤4，即ω∈(2，4]，≤7π3，＋π3≤10π3⇒≤ωπ2＋π3，＋π3≤5π2⇒ω∈73，269.故选C.二、多项选择题9．已知函数f (x )＝12sin x x ∈[m ，n ](m ＜n )时，f (x )∈－12，14，则n －m 的值可能为()A ．5π12B ．π2C．7π12D ．3π4答案ABC解析f (x )＝12sin x 作出函数f (x )的图象，如图所示．在一个周期内考虑问题，若要使当x ∈[m ，n ]时，f (x )∈－12，14，＝π2，n ≤7π6m ≤5π6，＝7π6，所以n －m 的值可以为区间π3，2π3内的任意实数．故选ABC.10．已知函数f (x )＝sin2x ＋2sin 2x －1在[0，m ]上单调递增，则m 的值可能是()A ．π4B ．π2C ．3π8D ．π答案AC解析由题意，得f (x )＝sin2x ＋2sin 2x －1＝sin2x －cos2x ＝2sin x 由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，－π8≤x ≤3π8，即函数f (x )在－π8，3π8上单调递增．因为函数f (x )在[0，m ]上单调递增，所以0<m ≤3π8.故选AC.三、填空题11．函数y ＝2＋log 12x ＋tan x 的定义域为________．答案[π，4]解析＋log 12x ≥0，x ≥0，log 12x ≥log 124，x ≥0，x ≤4，π≤x <k π＋π2，k ∈Z ，解得x [π，4]．12．函数f (x )＝sin x cos x1＋sin x ＋cos x的值域为________．答案－2－12，－1，2－12解析令t ＝sin x ＋cos x ＝2sint ∈[－2，－1)∪(－1，2]，则t 2＝1＋2sin x cos x ，即sin x cos x ＝t 2－12，所以y ＝t 2－121＋t ＝t －12，又因为t ∈[－2，－1)∪(－1，2]，所以y ∈－2－12，－1，2－12，即函数f (x )＝sin x cos x1＋sin x ＋cos x的值域为－2－12，－1，2－12.13．比较大小：sin164°________cos110°.答案＞解析sin164°＝sin(180°－16°)＝sin16°，cos110°＝cos(90°＋20°)＝－sin20°.因为y ＝sin x 在－π2，π2上单调递增，所以－sin20°<sin16°，即cos110°<sin164°.14．函数y ＝lg (sin2x )＋9－x 2的定义域为________．答案－3解析∵函数y ＝lg (sin2x )＋9－x 2，∴x x >0，－x 2≥0，π<x <π2＋k π，3≤x ≤3，其中k ∈Z ，∴－3≤x <－π2或0<x <π2，∴函数的定义域为－3，四、解答题15．已知函数f (x )＝2sinx (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解(1)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .故函数f (x )的单调递增区间为k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(2)因为当x ∈π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤x ≤22，所以－2≤f (x )≤1.所以当x ∈π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－2.16．(多选)下列各式中正确的是()A ．tan3π5<tan π5B ．tan2>tan3C ．D ．答案AC解析对于A ，tan 3π5＝因为正切函数y ＝tan x －π2，，且－π2<－2π5<π5<π2，所以<tan π5，即tan 3π5<tan π5，A 正确；对于B ，由于正切函数y ＝tan x ，且π2<2<3<3π2，所以tan2<tan3，B 不正确；对于C ，cos 17π4＝cos π4，cos23π5＝cos 3π5，因为余弦函数y ＝cos x 在(0，π)上为减函数，且0<π4<3π5<π，所以cos π4>cos 3π5，即C 正确；对于D ，由于正弦函数y＝sin x －π2，，且－π2<－π10<－π18<π2，所以D 不正确．故选AC.17．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x (x ∈R )，则函数y ＝f (x )f 在0，π2上的最大值为________．答案1＋22解析2sin x ，所以y ＝f (x )＝2sin x (sin x ＋cos x )＝2(sin x cos x ＋sin 2x )x －12cos2x x 22.当x ∈0，π2时，2x －π4∈－π4，3π4，所以当2x －π4＝π2，即x ＝3π8时，函数y ＝f (x )f 在0，π2上取得最大值1＋22.18．(2023·北京高考)设函数f (x )＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin >0，|φ(1)若f (0)＝－32，求φ的值；(2)已知f (x )在区间－π3，2π3上单调递增，1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f (x )存在，求ω，φ的值．条件①：＝2；条件②：1；条件③：f (x )在区间－π2，－π3上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．解(1)因为f (x )＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ，ω>0，|φ|<π2，所以f (0)＝sin(ω·0)cos φ＋cos(ω·0)sin φ＝sin φ＝－32，因为|φ|<π2，所以φ＝－π3.(2)因为f (x )＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ，ω>0，|φ|<π2，所以f (x )＝sin(ωx ＋φ)，ω>0，|φ|<π2，所以f (x )的最大值为1，最小值为－1.若选条件①：因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最大值为1，最小值为－1，所以＝2无解，故条件①不能使函数f (x )存在．若选条件②：因为f (x )在－π3，2π3上单调递增，且1，1，所以T 2＝2π3－π，所以T ＝2π，ω＝2πT＝1，所以f (x )＝sin(x ＋φ)，又因为1，所以－π3＋1，所以－π3＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，所以φ＝－π6＋2k π，k ∈Z ，因为|φ|<π2，所以φ＝－π6 .所以ω＝1，φ＝－π6 .若选条件③：因为f(x)在－π3，2π3上单调递增，在－π2，－π3上单调递减，所以f(x)在x＝－π3处取得最小值－1，即 1.以下与条件②相同．。
2025高考数学一轮复习-21.1-三角函数的图象和性质【课件】
4．函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，0＜φ＜π)在
一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式 为 y＝2sin 2x＋23π
【解析__】_由__图__象__可_知__A_＝__2_，．T2＝51π2＋1π2＝π2，所以 T＝π，所以 ω＝2，所以三角函数的
解析式是 y＝2sin (2 x＋φ).因为函数的图象过－1π2，2这一点，把点的坐标代入三角 函数的解析式，得 2＝2sin 2×－1π2＋φ，所以 φ－π6＝2kπ＋π2，k∈Z，φ＝23π＋2kπ， k∈Z.因为 0＜φ＜π，所以 φ＝23π，所以三角函数的解析式是 y＝2sin 2x＋23π.
y＝tan x ___π__ 奇函数
____[_2_k_π_－__π_，__2_k_π_]___ ____k_π_－__π2_，__k_π_＋__π2____
____[_2_k_π_，__2_k_π_＋__π_]___ ___k_π_＋__π2_，__0__ ___
无 k2π，0
__x_＝__k_π___
第1课时 三角函数的图象和性质
举题说法
三角函数的周期性、对称性
1 (1) 已知函数 f(x)的一条对称轴为直线 x＝2，一个周期为 4，则 f(x)的解析式可
能为
()
A．f(x)＝sin π2x
B．f(x)＝cos π2x
C．f(x)＝sin π4x
D．f(x)＝cos π4x
【解析】由函数的解析式计算函数的最小正周期：A 中 T＝2ππ＝4，B 中 T＝2ππ＝4，C
3．常用结论
(1) 对称与周期：①正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离 是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．②正切曲线相邻两对称 中心之间的距离是12个周期． (2) 奇偶性：若函数 f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，则：①函数 f(x)为偶函数的充要 条件是 φ＝π2＋kπ(k∈Z)；②函数 f(x)为奇函数的充要条件是 φ＝kπ(k∈Z). (3) 对于 y＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间kπ－π2，kπ＋π2(k ∈Z)内为增函数．
2023版新高考数学总复习专题五三角函数的图象和性质 课件
24
2
2
k+
3 2
(k∈Z),∴f(x)的图象的对称中心是
2k
3 2
,
0
(k∈Z).故选C.
(2)由题图可知 3T =13 - = 3 ,则T=π,所以|ω|=2 =2,不妨取ω=2,则函数f
4 12 3 4
T
(x)=2cos(2x+φ),将
13
12
,
2
代入得,2×13
12
+φ=2kπ,k∈Z,解得φ=- 13
2
,
0
,(π,-1),
3
2
,
0
,(2π,1).
2.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)在一个周期内的简图 用五点法画y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)在一个周期内的简图时,一般先列表,后 描点,连线,其中所列表如下:
ωx+φ
0
x
-
y=A·
0
sin(ωx+φ)
π 2
- + π 2
≤ 2 ,则sin xcos x= t2 1,把三角问题转化为代数问题求解.
2
5)y=asin x+ c (a,b,c>0),令sin x=t(-1≤t≤1,且t≠0),转化为求y=at+ c (-1
bsin x
bt
≤t≤1,且t≠0)的最值,一般可结合图象求解.
例3 (2021北京,7,4分)函数f(x)=cos x-cos 2x是 ( ) A.奇函数,且最大值为2 B.偶函数,且最大值为2
例2
已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)
ω
0,|
2025届高考数学一轮知识清单专题：三角函数的图象与性质综合(解析版)
三角函数的图象与性质综合（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）知识点1三角函数的图象与性质1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)(π，0)(2π，0)．(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)(π，－1)(2π，1)．2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)|π对称轴方程x ＝k π＋π2x ＝k π无知识点2函数y=Asin(ωx ＋φ)1、y ＝Asin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)振幅周期频率相位初相(A >0，ω>0)AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2、用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)ωx ＋φ0π2π3π22πx－φωπ2ω－φωπ－φω3π2ω－φω2π－φωy ＝A sin(ωx ＋φ)0A 0－A3由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种方法重难点01利用三角函数的单调性求参数1、子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；2、反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解；3、周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解。
【典例1】（23-24高三下·江西宜春·模拟预测）已知函数π()cos (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的取值范围是．【答案】17,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为()f x 在区间π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以π2ππ233T ≥-=，则4π3T ≥，即2π4π3ω≥，所以302ω<≤，因为π,π3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0ω>，所以ππππ,π6366x ωωω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，因为302ω<≤，所以ππππ,3663ω⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，ππ4ππ,663ω⎛⎤-∈- ⎝⎦，因为()f x 在区间π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以ππ036πππ6ωω⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得1726ω≤≤，所以ω的取值范围为17,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【典例2】（23-24高三下·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数π()sin (0)4f x x ωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭在区间π,π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是.【答案】30,4⎛⎤⎥⎝⎦【解析】当π,π3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππππ3444x ωωω-<-<-，又sin y x =-的单调递减区间为ππ2π,2π(Z)22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，所以2ππππ2π4πππ3+224k k ωω⎧-≥⎪⎪⎨⎪≤-⎩-⎪()k ∈Z ，解得3362(Z)44k k k ω-≤≤+∈，且2k +336(Z)44k k ≥-∈，解得38k ≤，又0ω>，所以k =0，所以ω的取值范围为30,4⎛⎤⎝⎦.重难点02与函数零点或方程的根有关的参数问题因为op =As(B +p 的最小正周期是==2，也就是说只要确定了周期T ，就可以确定的取值.对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k 个零点，需要确定含有k 个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k 个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值．【典例1】（23-24高三下·河北沧州·月考）已知函数2π1sin (0)64y x ωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有3个零点，则实数ω的取值范围是（）A ．()2,4B ．8,43⎛⎫⎪⎝⎭C ．8,43⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(]2,4【答案】C【解析】由2π1sin (0)64y x ωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭可得1π1cos 2234y x ω⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，令1π1π1ππcos 20cos 222π,Z 2343233x x x k k ωωω⎛⎫⎛⎫--+=⇒-=⇒-=±+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()31π3k x ω+=或π,Z k x k ω=∈，故函数的正零点从小到大排列为：π3π4π6π7π,,,,,33333ωωωωω，要使在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有3个零点，需要满足4ππ32ω<且6ππ32ω≥，解得834ω<≤，故选：C 【典例2】（23-24高三下·湖北·二模）已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的最小正周期为T ，63T T f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在[]0,1内恰有10个零点则ω的取值范围是．【答案】[)9π,10π【解析】函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的周期为2πT ω=，又63T T f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2π33πf f ωω⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin s 2in ππ33ωωωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⨯+=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin s n π2π33i ϕϕ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为π2ϕ<，所以π2ππ3322ϕϕ+++=，解得0ϕ=，所以()sin f x x ω=，因为[]0,1x ∈，所以0x ωω≤≤，要使()f x 在[]0,1内恰有10个零点，则9π10πω≤<.所以ω的取值范围是[9π,10π).重难点03利用三角函数的对称性（奇偶性）求参数（1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为2，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为4，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值。
上海2023年高中数学 专项复习：三角函数
上海2023年高中数学专项复习：三角函数【公式】一、和差倍角公式：（1）两角差的余弦、正弦和正切=-)sin(βα=-)cos(βα=-)tan(βα（2）两角和的余弦、正弦和正切=+)sin(βα=+)cos(βα=+)tan(βα（3）二倍角公式=α2sin =α2cos ===α2tan （4）降幂公式：=α2sin =α2cos （5）辅助角公式：=+ααcos sin b a （6）扇形面积公式：（7）弧长公式：（8）同角三角公式：（9）诱导公式口诀：二、正弦函数、余弦函数、正切函数的性质及图像特点：正余弦函数补充结论：1）2）3）4）三角函数sin y x=cos y x=tan y x=图像定义域值域奇偶性最小正周期对称中心对称轴单调性最值三、反三角函数的图像和性质:反三角函数arcsin y x=arccos y x=arctan y x=图像定义域值域奇偶性单调性四、最简三角方程的解集，见下表：方程方程的解集sin x a=1a >1a =1a <cos x a =1a >1a =1a <tan x a=【习题】模块01：三角比（正切、余切、正弦、余弦；和差倍角公式）1、已知角α是第二象限角，求：（1）角2α是第几象限的角；（2）角α2终边的位置。
2、（1）已知角α的终边上一点αααtan ,cos ),42sin ,0)(,3(求且y y y P =≠-（2）已知角α的终边落在直线ααcos sin 2,43+-=求上x y 。
（3）单位圆O 圆周上的点P 以A 为起点做逆时针方向旋转，10分钟转一圈，24分钟之后，OP 从起始位置OA 转过的角是()A ．245π-B ．125πC ．145πD ．245π（4）已知一扇形的圆心角为(0)αα>，所在圆的半径为R ．①若90α=︒，10R cm =，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；②若扇形的周长是一定值(0)C C >，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？（5）《九章算木》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面釈所用的经验公式为：弧田面积=12(弦×矢+矢²).弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第07讲 三角函数图像与性质【考点梳理】一、 三角函数的图象与性质1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 R R{x |x ∈R ，且 x ≠k π＋π2}值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数偶函数奇函数递增区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π] ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2递减区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π] 无对称中心(k π，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0对称轴方程 x ＝k π＋π2x ＝k π 无二、 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质1.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.x －φω－φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω 2π－φωωx ＋φ 0 π2π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅 周期 频率 相位 初相A T ＝2πω f ＝1T ＝ω2πωx ＋φ φ3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径4.三角函数应用(1)用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象：简谐振动(单摆、弹簧等)，声波(音叉发出的纯音)，交变电流.(2)三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 中的待定系数.(3)把实际问题翻译为函数f (x )的性质，得出函数性质后，再把函数性质翻译为实际问题的答案.【解题方法和技巧】1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式.2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t (或y ＝cos t )的性质.3.数形结合是本节的重要数学思想.4.五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化. 5.由图象确定函数解析式解决由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定A ，ω，φ的问题时，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点.【考点剖析】【考点1】正切函数一、单选题1．（2021·上海·闵行中学高三期中）下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（ ） A ．sin y x = B ．tan y x =C ．e x y =D ．32y x x =+【答案】D【分析】根据基本初等函数的单调性以及单调性的性质、函数奇偶性的定义逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】对于A ：sin y x =为奇函数，在定义域上有增有减，不是增函数，故选项A 不正确；对于B ：tan y x =为奇函数，在πππ,π22k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上单调递增，但在定义域上不是增函数，故选项B不正确；对于C ：e x y =既不是奇函数也不是偶函数，故选项C 不正确；对于D ：()()()3322f x x x x x f x -=--=-+=-，所以32y x x =+是奇函数，因为3y x =和2y x =都是R 上的增函数，所以32y x x =+在定义域上是增函数，故选项D 正确； 故选：D.2．（2021·上海市进才中学高三期中）下列函数中，值域为()0,∞+的是（ ） A ．4x y =B ．32y x =C ．tan y x =D ．cos y x =【答案】A 【分析】逐一进行验证，可判断结果. 【详解】对A ，函数4x y =的值域为()0,∞+；对B ，函数32y x =的值域为[)0,+∞； 对C ，函数tan y x =的值域为R ； 对D ，函数cos y x =的值域为[]1,1- 故选：A3．（2022·上海·高三专题练习）在平面直角坐标系中，角θ（32ππθ<<）的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过函数()2x f x =-与12()log ()g x x =--的交点，角(0,)4πα∈，则（ ）A ．1cot()θα-<+<B ．1tan()θα-<+<C ．1cos()θα-<+<D ．1sin()θα-<+<【答案】D【分析】首先函数特征判断函数()f x 和()g x 互为反函数，所以可判断54πθ=，再计算53,42ππθα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，再判断函数值的范围，判断选项.【详解】因为122()2()log ()log (),xf xg x x x =-=--=-互为反函数，其交点在y x =上，又32ππθ<<，所以54πθ=，而0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以53,42ππθα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()()tan()1,,cot()0,1,sin()1,θαθαθα⎛+∈+∞+∈+∈- ⎝⎭. 故选:D.【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质与三角函数的综合应用，本题的关键是判断函数()f x 和()g x 互为反函数，从而确定角θ的大小. 二、填空题4．（2022·上海·高三专题练习）若函数()y f x =在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x 都有()()()12121n n x x x f x f x f x f n n ++⋅⋅⋅+⎛⎫++⋅⋅⋅+≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，若函数()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，则在△ABC 中，sin sin sin A B C ++的最大值是______.【分析】根据题设凸函数的性质可得1(sin sin sin )sin()33A B CA B C ++++≤即可求最大值，注意等号成立条件.【详解】由题设知：1(sin sin sin )sin()sin 333A B C A B C π++++≤==∴sin sin sin A B C ++≤3A B C π===时等号成立.5．（2022·上海·高三专题练习）函数πtan 2y x =的最小正周期为___________. 【答案】2【分析】根据正切函数的周期性进行求解即可.【详解】解：πtan 2y x =的周期为π2π2T ==，故答案为：26．（2022·上海·高三专题练习）已知函数tan 6y x πω⎛⎫ ⎪⎝+⎭=的图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，且1ω≤，则实数ω的值为___________. 【答案】12-或1【分析】根据正切函数的性质，代入点,03π⎛⎫⎪⎝⎭，求解参数ω的值.【详解】∵函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且1ω≤，∴36k ππωπ⨯+=，k ∈Z ，或362k πππωπ⨯+=+，k ∈Z则令0k =，可得实数12ω=-或1ω=，故答案为：12-或1.【考点2】三角函数图像与性质一、单选题1．（2022·上海市实验学校模拟预测）已知以4为周期的函数()(](]1,1cos ,1,32x f x xx π⎧∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，其中0m >.若方程()3xf x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ） A．8)3 B． C ．48(,)33D．4(3【答案】B【分析】作出函数()f x 和3x y =的图象，要想使方程()3xf x =恰有5个实数解，则需直线3x y =处在函数()f x 在(3,4)内的曲线切线和()8f 之间．【详解】解：作出函数()f x 和()3xy g x ==的图象如图：若方程()3x f x =恰有5个实数解， 则直线3xy =处在函数()f x 在(3,4)内的曲线切线和()8f 之间． 函数()f x 是周期为4的周期函数， ∴()()80f f m ==，此时8()3g x =．()61f =，()()626g f =>，∴此时两个函数不相交．当(3x ∈，5]时，4(1x -∈-，1]，2()(4)1(4)f x f x m x ∴=-=--(3x ∈，5]．由21(4)3x m x --，得22222(91)721350m x m x m +-+=， 则由0∆=，得22222(72)4(91)1350m m m --+⨯=， 整理得213515819m ==，解得15m = 当(7x ∈，9]时，8(1x -∈-，1]，2()(8)1(8)f x f x m x ∴=-=--(7x ∈，9]． 即2221(8)y x m --=，将3x y =代入整理得222(8)19x x m -+=，即221(1)166309x x m+-+=， 由判别式221164(1)6309m ∆=-+⨯<得7m <∴要使方程()3x f x =恰有5个实数解，则1573m <<， 即m 的取值范围为15,73⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故选：B ．2．（2021·上海·模拟预测）函数()()sin2cos f x x x θ=-+在()0,2π上的零点个数记为()g θ，若π02θ≤≤，则()g θ的最大值与最小值之和为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】A【分析】函数()()sin2cos f x x x θ=-+在()0,2π上的零点个数即为函数sin 2y θ=与()cos y x θ=+的交点个数，()cos y x θ=+是由cos y x =向左平移θ个单位得到的， 可得当0θ=时，()g θ最大；当π2θ=时，()g θ最小，即可求解. 【详解】令()()sin 2cos 0f x x x θ=-+=，解得()sin 2cos x x θ=+，()f x 的零点个数可看成sin 2y θ=与()cos y x θ=+的交点个数，()cos y x θ=+是由cos y x =向左平移θ个单位得到的，因为π02θ≤≤，所以当0θ=时，交点个数最多，由sin 2cos x x =， 即2sin cos cos x x x =，所以cos 0x =或1sin 2x =， 解得：1π2x =，23π2x =，3π6x =，45π6x =， 所以()()max 04g g θ==，当π2θ=时，交点个数最少，πsin 2cos sin 2x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，即2sin cos sin x x x =-，所以1cos 2x =-或sin 0x =，解得：5πx =，62π3x =，74π3x =， 所以()min π32g g θ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故()g θ的最大值与最小值之和为437+=，故选：A.3．（2022·上海·模拟预测）已知函数()sin cos f x a x b x =-（a 、b 为常数0a ≠，x ∈R ）在π4x =处取得最小值，则函数3π()4f x -是（ ） A ．偶函数，且图象关于点(π,0)对称 B ．偶函数，且图象关于点3π(,0)2对称 C ．奇函数，且图象关于点3π(,0)2对称 D ．奇函数，且图象关于点(π,0)对称【答案】D【分析】由题意先求出()f x 的最简形式，再根据三角函数性质对选项逐一判断 【详解】22()sin cos )f x a x b x a b x ϕ=-++，若()f x 在4x π=处取得最小值，则πsin()14ϕ+=-，ϕ5π2π,Z 4k k =+∈，225π())4f x a b x =++，2222)3π3π()445π)4f b x a x x a b --++=+-， 可得函数3π()4f x -是奇函数，且图象关于点(π,0)对称． 故选：D4．（2021·上海市七宝中学模拟预测）函数()()30,0y x ωϕωϕπ=+><<为奇函数，A 、B 分别为函数图象上相邻的最高点与最低点，且AB 4=，则该函数的一条对称轴为（ ） A ．1x = B ．2x =C ．2x π=D ．2x π=【答案】A【分析】由函数()f x 的基本性质可求得ϕ、ω的值，再利用正弦型函数的对称性可求得该函数的对称轴方程，即可得出合适的选项.【详解】因为函数()()0,0y x ωϕωϕπ+><<为奇函数，且0ϕπ<<，则2ϕπ=，所以，2y x x πωω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为A 、B 分别为函数图象上相邻的最高点与最低点，且AB 4=，则(2216AB πω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，因为0>ω，可得2πω=，则()2x f x π=，由()Z 22xk k πππ=+∈，可得()21Z x k k =+∈，所以，该函数的一条对称轴为直线1x =. 故选：A.5．（2021·上海市建平中学高三期中）设函数()sin cos f x a x x =+（a 为常数），则“0a =”是“()f x 为偶函数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件【答案】C【分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断. 【详解】解：当0a = 时，()sin cos cos f x x x x a =+=, 所以()f x 为偶函数； 当()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，∴()sin()cos()sin +cos a f x x x a x x -=-+-=-，即sin cos sin +cos x x x x a a +=- ，得sin 0a x =对任意的x 恒成立，从而0a =.从而“0a =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件. 故选：C.6．（2020·上海·高三专题练习）已知函数tan y x ω=在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是严格减函数，则ω的取值范围是（ ）A ．01ω<B ．10ω-<C ．1ωD ．1ω-【答案】B【分析】根据正切函数的图象与性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为函数tan y x ω=存在减区间，则0ω<由,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可得,22x ωπωπω⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，由题意函数tan y x ω=在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是严格减函数，可得0ω<且满足2222ωππωππ⎧≥-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得10ω-<.故选：B.7．（2022·上海·高三专题练习）已知()tan f x x =，x ∈Z ，则下列说法中正确的是（ ） A ．函数()f x 不为奇函数 B ．函数()f x 存在反函数 C ．函数()f x 具有周期性 D ．函数()f x 的值域为R【答案】B【解析】根据()tan f x x =，x ∈Z 图象与性质，逐一分析选项，即可得答案.【详解】对于A ：()f x 的定义域关于原点对称，且()tan()tan ()f x x x f x -=-=-=-，x ∈Z ，故()f x 为奇函数，故A 错误；对于B ：()tan y f x x ==，x ∈Z 在定义域内一一对应，所以arctan =x y ，即()f x 的反函数为arctan y x =，故B 正确；对于C ：因为()tan f x x =，x ∈Z ，故()f x 图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以()f x 不具有周期性，故C 错误；对于D ：因为()tan f x x =，x ∈Z ，所以()f x 图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以()f x 的值域为一些点构成的集合，不是R ，故D 错误.故选：B8．（2022·上海浦东新·二模）将函数()sin2f x x =的图像向左平移4π个单位后，得到函数()g x 的图像，设,,A B C 为以上两个函数图像不共线的三个交点，则ABC 的面积不可能为（ ）A． BCD【答案】D【分析】先求得()g x 的解析式，在同一坐标系内作出()()f x g x 、图像，不妨取x 轴正半轴第一个交点为A ，第二个交点为B ，分别求得当C 位于不同位置时，ABC 的面积，根据规律，分析即可得答案.【详解】由题意得()sin 2sin 2cos 242g x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，在同一坐标系内作出()()f x g x 、图像，如下图所示令sin 2cos2x x =，解得,82k x k Z ππ=+∈， 不妨取x 轴正半轴第一个交点为A ，第二个交点为B ， 所以252,,88A B ππ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭若C 点位于192,82C π⎛ ⎝⎭时，ABC 的面积1922288S ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，故C 正确 当C 点位于2132,8C π⎛ ⎝⎭时，ABC 的面积113522288S ππ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭， 当C 点位于31728C π⎛ ⎝⎭时，ABC 的面积11722288S πππ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭，故B 正确， 因为312AC AC =，此时3ABC △为1ABC 面积的2倍， 以此类推，当C 位于不同位置时，ABC 2的整数倍，故A 正确，D 错误， 故选：D二、填空题9．（2021·上海崇明·一模）设函数()5sin 0,2f x x m x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的零点为123,,x x x ，若123,,x x x 成等比数列，则m =_______. 2【分析】将函数()5sin 0,2f x x m x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的零点转化为sin ,y x y m ==的交点横坐标，结合函数图像，列方程求出零点，进而可得m 的值. 【详解】令sin 0x m -=，得sin x m =则函数()5sin 0,2f x x m x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的零点即为sin ,y x y m ==的交点横坐标，如图：由图可知122321323x x x x x x x ππ+=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，解得123143494x x x πππ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩2sin4m π∴==210．（2021·上海·曹杨二中高三期中）设0>ω.若函数sin y x ω=在区间[],2ππ上恰有两个零点，则ω的取值范围是___________. 【答案】1ω=或322ω≤<或522ω<<. 【分析】由sin 0x ω=得,x k ωπ=则满足2,Z k k ωω≤≤∈的k 恰有两解，即求.【详解】由sin 0x ω=得,x k ωπ=即,Z k x k πω=∈，∵函数sin y x ω=在区间[],2ππ上恰有两个零点， ∴2,Z k k πππω≤≤∈，即满足2,Z k k ωω≤≤∈的k 恰有两解，又0>ω，所以k 取1,2或2,3或3,4，当k 取1,2时，01ω<≤且223ω≤<，即1ω=； 当k 取2,3时，12ω<≤且324ω≤<，即322ω≤<，当k 取3,4时，23ω<≤且425ω≤<，即522ω<<， 所以ω的取值范围是1ω=或322ω≤<或522ω<<. 故答案为：1ω=或322ω≤<或522ω<<.11．（2022·上海·高三专题练习）设函数()cos20y x x =≥和函数()cos100y x x =≥的图象的公共点的横坐标从小到大依次为1x ，2x ，…，n x ，若()34tan cos x x α-=，则sin 2α=___________.【答案】35【分析】利用余弦方程，解出x 的值，然后得到3π4x =，4π3x =，代入()34tan cos x x α-=，利用正切的两角差公式求出tan α的值，然后再利用二倍角公式以及“1”的代换，结合“弦化切”的方法，求解即可. 【详解】因为()cos2cos100x x x =≥，则有1022πx x k =+或1022πx x n +=，k ，n ∈N ， 解得1π4x k =或π6n x =，k ，n ∈N ， 又函数()cos20y x x =≥和函数()cos100y x x =≥的图象的公共点的横坐标从小到大依次为1x ，2x ，…，n x ， 所以0x =，π6，π4，π3，π2，2π3，…，故3π4x =，4π3x =， 所以()34tan cos x x α-=，即ππtan cos 43α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则1tan 11tan 2αα-=+，解得1tan 3α=， 故2222sin cos 2tan 3sin 22sin cos sin cos tan 15ααααααααα====++.故答案为：35. 12．（2022·上海·模拟预测）给定曲线族()()24sin 2cos 68sin cos 10x y θθθθ-+-++=，θ为参数，则这些曲线在直线2y x =上所截得的弦长的最大值是_____【答案】【分析】联立求得交点的横坐标，利用弦长公式得到弦长，根据三角函数的有界性得到不等关系，求出82x -≤≤，从而求出弦长最大值.【详解】联立方程()()24sin 2cos 68sin cos 102x y y x θθθθ⎧-+-++=⎨=⎩，解得：0x =或8sin cos 12sin cos 3x θθθθ++=-+，所以弦长12d x =-=，由8sin cos 1,2sin cos 3x θθθθ++=-+得：(28)sin (1)cos 13x x x θθ--+=-，由辅助)13,x θϕ+=-13x ∴-26160x x +-≤，解得：82x -≤≤，所以8,x d ≤=≤即弦长的最大值是85 故答案为：8513．（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）已知0>ω，()()2sin 0f x x x πωω⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，()2,0A ，()2,1B ，()1,1C ，()1,2D ，()0,2E ，O 位坐标原点，()y f x =图像上的点都在折线OABCDEO 所围成的区域（包括边界）内，则ω的最小值为___________. 【答案】56π【分析】由函数图象在折线OABCDEO ，围成区域内，要使得ω最小，即周期最大，因此点(1,1)C 在函数图象上，代入求解即可得．【详解】要使得ω最小，即周期最大，因此点(1,1)C 在函数图象上，所以2sin 1ω=，1sin 2ω=， 又最大值是2，最高点在线段AD 上，因此点(1,1)C 在函数的递减区间上，所以56πω=． 故答案为：56π．14．（2022·上海·复旦附中模拟预测）如果存在正整数ω和实数ϕ使得函数()()2cos =+f x x ωϕ（ω，ϕ为常数）的图像如图所示（图像经过点()1,0），那么ω的值为______．【答案】2【分析】函数式降幂化为余弦的一次式，由(1)0f =得2k πωϕπ+=+，再由图象得周期T 满足423T <<，得出324ππω<<，结合*ω∈N ，可得ω的值． 【详解】21cos(22)()cos ()2x f x x ωϕωϕ++=+=，由图象可得1cos(22)(1)02f ωϕ++==，222k ωϕππ+=+，2k πωϕπ+=+①，3142TT ⎧>⎪⎨⎪<⎩，423T <<，42232πω<<，324ππω<<②． *ω∈N ，所以2ω=．故答案为：2．15．（2022·上海交大附中高三开学考试）在数列{}n a 中，11a =，n S 为{}n a 的前n 项和，关于x 的方程21cos 10n n x a x a +-++=有唯一解，若不等式()291nn n S ka +≥-，对任意的*N n ∈恒成立，则实数k 的取值范围为______ 【答案】297,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】设()21cos 1n n f x x a x a +=-++，分析可得()1010n n f a a +=+-=，求得n a n =，()12n n n S +=，对n分奇数和偶数两种情况讨论，结合参变量分离法可求得实数k 的取值范围.【详解】设函数()21cos 1n n f x x a x a +=-++，该函数的定义域为R ，因为()()()()2211cos 1cos 1n n n n f x x a x a x a x a f x ++-=---++=-++=，则函数()f x 为偶函数，因为方程()0f x =有唯一解，则()1010n n f a a +=+-=，所以，11n n a a +-=且11a =，故数列{}n a 是以1为公差和首项的等差数列， 故11n a n n =+-=，()12n n n S +=，由题意可得()291nn n kn ++≥-.若n 为奇数，则91k n n -≤++，因为9117n n ++≥=，当且仅当3n =时，等号成立， 所以，7k -≤，可得7k ≥-； 若n 为偶数，则91k n n ≤++，令91n b n n=++，则2152b =，4294b =，当4n ≥时，()()299991821122222n n b b n n n n n n n n +-=+++---=+-=-+++,()()221802n n n n +-=>+， 且数列{}n b 中的偶数项从4b 开始单调递增，因为42b b <，此时294k ≤. 综上所述，2974k -≤≤. 故答案为：297,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.16．（2022·上海市光明中学模拟预测）设角数列{}n α的通项为()*21N n n n kπαϕ=-+∈，，其中k 为常数且02πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．若存在整数[]340k ∈，，使{}n α的前k 项中存在()i j i j αα≠，满足cos cos i j αα=，则ϕ的最大值为__________． 【答案】1939π【分析】由cos cos i j αα=确定i j αα，之间的关系，结合,i j 的范围求ϕ的最大值. 【详解】因为cos cos i j αα=，不妨设1,Z i j k i j ≤<≤∈，， 所以)=2(Z j i t t ααπ∈-或)=2(Z j i t t ααπ∈+， 所以()()22112j i t k k ππϕϕπ-+---=或()()22112j i t k kππϕϕπ-++-+=， 所以j i tk -=或()2j i t kπϕπ+-+=因为1i j k ≤<≤，Z t ∈，所以j i tk -≠， 所以()2j i t kπϕπ+-+=，因为1i j k ≤<≤，所以1223i j k ≤+-≤-所以1232i j k k k +-≤≤-，又02πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，Z t ∈ 所以12t ≤≤ 所以()22j i t j i t k k πϕππ+-⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭，又02πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 若1t =，k 为偶数时，要使ϕ最大，则2i j +-最小，又02πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以122i j k +->，2Z i j +-∈所以当1212i j k +-=+时ϕ取最大值，最大值为2111912240k k k ϕπππ+⎛⎫⎛⎫=-=-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若1t =，k 为奇数时，要使ϕ最大，则2i j +-最小，又02πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以122i j k +->，2Z i j +-∈所以当11222i j k +-=+时ϕ取最大值，ϕ最大值为11119122239k k k ϕπππ+⎛⎫⎛⎫=-=-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 同理可得若2t =，k 为偶数时，则ϕ的最大值为32111922240k k k ϕπππ+⎛⎫⎛⎫=-=-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若2t =，k 为奇数时，则ϕ的最大值为311119222239k k k ϕπππ+⎛⎫⎛⎫=-=-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又19193940ππ≥， 所以ϕ的最大值为1939π， 故答案为：1939π. 三、解答题17．（2021·上海市七宝中学模拟预测）已知函数()1sin 2212g x x x =+，函数()f x 与函数()g x 的图象关于原点对称. (1)求()y f x =的解析式；(2)求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间.【答案】(1)()sin 213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(2)单调递增区间是0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）设点(),x y 是函数()y f x =的图象上任意一点，所以，点(),x y --在()y g x =的图象上，将点(),x y --的坐标代入函数()y g x =的解析式，可得出函数()y f x =的解析式；（2）化简函数解析式为()sin 213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的单调性可求得函数()f x 在R 上的单调递增区间A ，将区间A 与区间[]0,π取交集可得结果.(1)解：设点(),x y 是函数()y f x =的图象上任意一点， 由题意可知，点(),x y --在()y g x =的图象上，于是有()()1sin 2212y x x -=--+，所以，()1πsin 221sin 2123f x x x x ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭. (2)解：由（1）可知，()sin 213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，[]0,x π∈，记[0,]D π=，由()222Z 232k x k k πππππ-≤+≤+∈，解得()5Z 1212k x k k ππππ-≤≤+∈，记()5,Z 1212A k k k ππππ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦，则70,,1212A D πππ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 于是，函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间是0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18．（2022·上海市实验学校模拟预测）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：ππ()10sin 1212f t t t =-，[0,24)t ∈. (1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11C ︒，则在哪段时间实验室需要降温？ 【答案】(1)4C ︒(2)在10时至18时实验室需要降温【分析】（1）先把解析式化简，得到()102sin()123f t t ππ=-+，利用三角函数的性质求出()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8，即可求得；（2）依题意列不等式()11f t >，直接解得. (1)因为1()10sin )102sin()12212123f t t t t ππππ=-+=-+， 又024t ≤<，所以731233t ππππ≤+<，1sin()1123ππ-≤+≤t ，当2t =时，sin()1123t ππ+=；当14t =时，sin()1123t ππ+=-；于是()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12C ︒，最低温度为8C ︒，最大温差为4C ︒(2)依题意，当()11f t >时实验室需要降温.由（1）得()102sin()123f t t ππ=-+，所以102sin()11123t ππ-+>，即1sin()1232t ππ+<-，又024t ≤<，因此71161236t ππππ<+<，即1018t <<， 故在10时至18时实验室需要降温.19．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）已知平面向量()()()sin π2,1,3,cos2a x b x =-=，函数()f x a b =⋅．(1)写出函数f （x ）的单调递减区间；(2)设π()lim (02π)πnn nn g x x x ∞→+=<<+，求函数()y f x =与()y g x =图象的所有交点坐标．【答案】(1)减区间为π2ππ,π,Z 63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；(2)π17π23π,1,,0,,031212⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合辅助角公式、正弦型函数的单调性进行求解即可；（2）根据极限的运算性质，结合特殊角的正弦值进行求解即可. (1)()π3sin(π2)cos 22cos 22sin(2)6f x a b x x x x x =⋅=-+=+=+，当ππ3π2π22π(Z)262k x k k +≤+≤+∈时，函数单调递减， 解得：π2πππ(Z)63k x k k +≤+≤+∈， 因此函数f （x ）的单调递减区间为π2ππ,π,Z 63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；(2)当0πx <<时，π1()lim lim 1π1()πn n n n n ng x x x ∞∞→+→+===++，即()ππ5ππ2sin(2)126663f x x x x =+=⇒+=⇒=，所以交点的坐标为π,13⎛⎫⎪⎝⎭； 当πx =时，π1()limππ2n n n n g x ∞→+==+，即()π12sin(2π)62f x =+=，方程无实根； 当π2πx <<时，1()lim1()πn n g x x ∞→+==+，即()ππ2sin(2)023π66f x x x =+=⇒+=，或π24π6x +=，解得17π12x =或23π12x =，即交点坐标为17π23π,0,,01212⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上所述：交点坐标为π17π23π,1,,0,,031212⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 20．（2022·上海交大附中模拟预测）已知函数()()1cos 2f x x g x f x ωϕ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，，其中[]0,2πϕ∈(1)若12ω=且直线π2x =是()g x 的一条对称轴，求()g x 的递减区间和周期；(2)若21π3ωϕ==，，求函数()()()h x f x g x =-在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的最小值； 【答案】(1)3ππ4π,4π,22k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；4π，(2)14-【分析】（1）根据题设中的对称轴可得π2π,2k k Z ϕ=-∈，根据其范围可求其值，再根据公式和整体法可求周期及减区间.（2）利用三角变换和整体法可求函数的最小值.(1)可知11()cos 22g x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为直线π2x =是()g x 图象的一条对称轴，故1π1π,222k k Z ϕ⨯+=∈，解得π2π,2k k Z ϕ=-∈，而[]0,2πϕ∈，故3π2ϕ=，则13()cos π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则周期2π4πT ω==，再令13π[2π,π2π],24x k k k Z +∈+∈，则3ππ4π,4π,22x k k k Z ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦，故()g x 的递减区间为3ππ4π,4π,22k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.(2)可知π()cos 3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ()cos()cos cos cos 3 3h x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211cos cos cos cos 22x x x x x x ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭11cos 2222x x +=⋅1π1sin 2264x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故ππ5π2,666x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则在ππ262x -=即π3x =取()h x 最小值，其最小值为111244-+=-.【考点3】三角函数综合应用一、填空题1．（2022·上海闵行·二模）若函数cos y x x =+的图像向右平移ϕ个单位后是一个奇函数的图像，则正数ϕ的最小值为___________；【答案】π6【分析】先用辅助角公式得到πcos 2sin 6y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，求出平移后的解析式，根据奇偶性得到16k <，从而当0k =时，求出ϕ的最小值.【详解】πcos 2sin 6y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，向右平移ϕ个单位后解析式为()π2sin 6f x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则要想使得()π2sin 6f x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为奇函数，只需ππ,6k k Z ϕ-+=∈，解得：ππ,6k k Z ϕ=-∈， 因为0ϕ>，所以ππ>06k -，k Z ∈，解得：16k <，k Z ∈，当0k =时，正数ϕ取得最小值，所以π6ϕ=. 故答案为：π62．（2020·上海·高三专题练习）方程2cot 1x =的解集是_________．【答案】,4x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭【分析】化简得到cot 1x =±，分别计算cot 1x =和cot 1x =-得到答案. 【详解】2cot 1x =，则cot 1x =±， 当cot 1x =时，4x k ππ=+，k Z ∈；当cot 1x =-时，4x k ππ=-，k Z ∈；故4x k ππ=±，k Z ∈.故答案为：,4x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查了解三角方程，意在考查学生的计算能力，漏解是容易发生的错误. 3．（2021·上海·南洋中学高三阶段练习）将函数()sin 2y x ϕ=+的图象向左平移4π个单位后得到得到函数图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，那么ϕ的最小值为__________．【答案】6π【分析】首先确定平移后函数的解析式，然后结合三角函数的特征整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知平移之后的函数解析式为：()sin 22cos 24y x x πϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，则：()4232k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 整理可得：()136k k Z πϕπ=-∈， 则当2k =时，ϕ有最小值6π. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的对称中心及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 二、解答题4．（2020·上海·高三专题练习）已知函数2()2cos sin 3sin sin cos 3⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭f x x x x x x π（1）求函数()f x 的最小值及取得最小值时相应的x 的值；（2）若当7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的反函数为1()f x -，求1(1)f -的值【答案】（1）当512πx k π=-，则()f x 的最小值为2-；（2）4π.【解析】（1）根据和差公式，二倍角公式，化简函数的解析式，再根据三角函数的性质即可得出答案；（2）利用互为反函数的性质，可得出()11f -的值.【详解】()2212cos sin 3sin cos 3 =2cos sin cos cos sin 3sin cos 33 =2sin cos 322sin 23f x x x x x xx x x x x x x x x x ππππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（）当()2232x k k Z πππ+=-∈时，即()512x k k Z ππ=-∈，()f x 取得最小值2-. （2）令72sin 21,,31212x x πππ⎛⎫⎡⎤+=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦32,322x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，则52364x x πππ+=⇒=故()114f π-=.【点睛】（1）三角恒等变换主要是考查对和差公式，二倍角公式，降幂公式的综合应用，一般是将函数的解析式化简为()sin()f x A ωx φB =++形式,再研究该函数的性质.（2）求反函数的y 值时，易错点为容易忽略,x y 的范围.5．（2020·上海市杨浦高级中学高三阶段练习）函数2())6sin cos 2cos 14f x x x x x π=-+-+，x ∈R .（1）把()f x 的解析式改写为()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω)的形式；（2）求()f x 的最小正周期并求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值；（3）把()y f x =图像上所有的点的横坐标变为原来的2倍得到函数()y g x =的图像，再把函数()y g x =图像上所有的点向左平移4π个单位长度，得到函数()y h x =的图像，若函数()y h x =[0,]m 上至少有20个零点，求m 的最小值.【答案】（1）())4f x x π=-；（2）T π=，最大值2-；（3）1136π.【解析】（1）由三角恒等变换的公式，即可化简函数()f x 的解析式为())4f x x π=-；（2）由（1）知())4f x x π=-，求得()f x 的最小正周期为22T ππ==，结合三角函数的性质，即可求得函数的最大值和最小值；（3）根据三角函数的图象变换，求得函数()h x x =，得到y x =令0y =，求得26x k ππ=+或52,6ππ=+∈x k k Z ，结合函数()y h x =[0,]m 上至少有20个零点，求得1136m π≥，即可得到实数m 的最小值.【详解】（1）由题意，函数2())6sin cos 2cos 14f x x x x x π=-+-+22)3sin 2(2cos 1)x x x x =+--2sin 22cos 2)4πx x x =-=-.即()f x 的解析式为())4f x x π=-.（2）由（1）知())4f x x π=-，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 因为[0,]2x π∈，则2[,]444x ππ3π-∈-，所以当244x ππ-=-，即0x =时，函数取得最小值，最小值为())24f x π=-=-；当242x ππ-=，即38x π=时，函数取得最大值，最大值为()sin()2f x π==即函数的最小值为2-，最大值为（3）把()y f x =图像上的点的横坐标变为原来的2倍，得到函数())4g x x π=-，再把函数()y g x =图像上所有的点向左平移4π个单位长度，可得()h x x =，则函数()y h x x ==，令0y =，即0x =，即1sin 2x =，解得26x k ππ=+或52,6ππ=+∈x k k Z ，要使得函数()y h x =[0,]m 上至少有20个零点， 则满足51132966m πππ≥+⨯=，即实数m 的最小值为1136π. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的化简的综合应用，同时考查了函数与方程的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.6．（2020·上海市浦东中学高三期中）已知函数()2cos 2sin f x x x x =-．⑴若角α的终边与单位圆交于点34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，求()f α的值；⑵当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的单调递增区间和值域．⑵单调递增区间是,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,值域是[]2,1-． 【分析】⑴ 利用定义即可求解()f α的值；⑵ 利用三角恒等式公式化简，结合三角函数的性质即可求解，当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求解内层函数，从而求解值域．【详解】解：()1角α的终边与单位圆交于点34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，43sin ,cos 55αα∴==，()22434cos 2sin 2555f αααα⎛⎫=-=⨯-⨯ ⎪⎝⎭⑵由()2cos 2sin cos212sin 216f x x x x x x x π⎛⎫=-=+-=+- ⎪⎝⎭；由222262k x k πππππ-≤+≤+，得，36k x k ππππ-≤≤+，又,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 的单调递增区间是,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，52666x πππ∴-≤+≤，1sin 2126x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭， 故得()f x 的值域是[]2,1-．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键． 7．（2020·上海·高三专题练习）已知2221tan tan αβ＝＋ ，求证：2221sin sin βα＝－ . 试题分析：方法一由2221tan tan αβ＝＋ ⇒222tan 1tan tan2sin221tan αββββ-+＝＝.⇒2222222222222sin tan 11tan 1sin cos cos 2sin22s 1tan 1sin tan 1sin cos 112cos in ααααααβααααααα-----++++＝＝＝＝＝－；方法二：由已知可得2212(1)tan tan αβ＋＝＋⇒222sin cos 2cos ααα+＝·22222sin cos 12cos cos cos βββαβ+＝⇒222cos cos βα＝ ，⇒2212(1)sin sin βα－＝－⇒2221sin sin βα＝－ .试题解析：方法一 ∵2221tan tan αβ＝＋ ，∴2tan 1tan22αβ-＝. ∵2222sin sin tan2cos 1sin βββββ-＝＝，∴22tan sin21tan βββ+＝. ∴22222222sin tan 11tan 1cos 2sin2tan 1sin tan 1112cos ααααβαααα----+++＝＝＝22222sin cos 2s 1sin cos in ααααα-+＝＝－. 方法二 ∵2221tan tan αβ＝＋ ，∴2212(1)tan tan αβ＋＝＋ ， 即222sin cos 2cos ααα+＝·222sin cos cos βββ+，即2212cos cos αβ＝， 即222cos cos βα＝ ，即2212(1)sin sin βα－＝－ ， ∴2221sin sin βα＝－ .【真题模拟题专练】一、单选题1．（2022·上海青浦·二模）已知函数()sin cos f x x x =+的定义域为[],a b ，值域为2⎡-⎣，则b a -的取值范围是（ ）A ．3ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】根据正弦函数的图像特征和性质，结合定义域和值域，即可求解.【详解】π()sin cos )4f x x x =+=+，因为[],x a b ∈，所以πππ,444x a b ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，因为π1)4x -≤+≤πsin()14x ≤+≤.正弦函数sin y x =在一个周期π3π,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内，要满足上式，则ππ5π,444x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以()()max min 5ππ3π5ππ3π--=,-=442424b a b a ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以b a -的取值范围是3π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：D2．（2022·上海松江·二模）设函数()sin()(05)6f x x πωω=+<<图像的一条对称轴方程为12x π=，若1x 、2x 是函数()f x 的两个不同的零点，则12||x x -的最小值为（ ） A ．6πB ．4π C ．2π D ．π【答案】B【分析】根据对称轴和ω的范围可得ω的值，从而可得周期，然后由题意可知12||x x -的最小值为2T可得. 【详解】由题知,1262k k πππωπ+=+∈Z ，则124,k k ω=+∈Z ，因为05ω<<，所以4ω= 所以22T ππω==易知12||x x -的最小值为24T π=. 故选：B3．（2021·上海金山·一模）下列函数中，以2π为周期且在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增的是（ ） A ．()cos2f x x =B ．()sin 2f x x =C ．()sin 4f x x =D ．()cos2f x x =【答案】A 【分析】分别计算出ABCD 的周期，再判断是否在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增即可．【详解】A: ()cos2f x x =，周期为2π，在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故A 正确；B: ()sin 2f x x =,周期为2π，在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，排除；C: ()sin 4f x x =,周期为2π,在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不具有单调性，排除； D: ()cos2f x x =,周期为π,排除. 故选：A.4．（2020·上海黄浦·一模）将函数y ＝sin （4x 3π+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移3π个单位，得到的函数图象的一条对称轴的方程为（ ） A ．x 12π=-B ．x 16π=C ．x 4π=D ．x 2π=【答案】A【解析】先求出变换后的解析式，再根据解析式求解函数的对称轴. 【详解】将函数y ＝sin （4x 3π+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移3π个单位，得到的函数为sin(2)3y x π=-，令232x k ππ-=π+，k Z ∈，解得212k x π5π=+， 由1k =-可得12x π=-.故选：A.【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及性质，注意x 的系数对结果的影响，侧重考查数学运算的核心素养.5．（2021·上海黄浦·一模）为了得到函数()sin y x x x R =∈的图像，可以将函数()2sin y x x R =∈的图像（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向左平移3π个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位【答案】C【分析】将函数转化为2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后根据三角函数图象变换的知识判断出正确选项.【详解】函数sin 2sin 3y x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭所以将函数2sin y x =的图象向右平移3π个单位，即可得到2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，即得到函数sin y x x =的图象.故选：C. 二、多选题6．（2021·上海交大附中模拟预测）为了得到函数sin 22y x x =的图象，可以将函数2cos 2y x x =-的图象作怎样的平移变换得到（ ）A ．向左平移34π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向右平移34π个单位 D ．向右平移4π个单位 【答案】BC【分析】由函数解析式应用辅助角公式化简，结合左加右减的原则，即可判断平移变换的过程.【详解】sin 222(sin 2coscos 2sin )2sin[2()]336y x x x x x πππ==+=+，[sin 2cos()cos 2sin()]2sin 2cos 22[2()]6612x x x y x x πππ-+-=-=-=，∴2cos 2y x x =-向左平移4π个单位或向右平移34π个单位得到sin 22y x x =.故选：BC 三、填空题7．（2022·上海金山·二模）设()sin f x a x =+，若存在125,,,,36n x x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()()()121n n f x f x f x f x -+++=成立的最大正整数n 为9，则实数a 的取值范围是__________.【答案】151773,,1416167⎡⎫⎛⎤--⋃--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦##151773|1416167a a a ⎧⎫-≤≤--<≤-⎨⎬⎩⎭或【分析】依题意()()()()min maxmin max 89f x f x f x f x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩，分类讨论作出函数简图，求得最值解不等式组即可【详解】536x ππ≤≤1sin 12x ⇒≤≤1sin 12a a x a ⇒+≤+≤+ 依题意()()()()min maxmin max 89f x f x f x f x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩（1）当12a >-时, 函数草图如下图所示,此时, ()()min max 1,12f x a f x a =+=+,则8419912a a a a +≤+⎧⎪⎨+>+⎪⎩⇒73167a -<≤- 满足条件; （2）当 112a -<≤-时, 函数草图如下图所示,此时,()()min max 50,max ,26f x f x ff ππ⎧⎫⎛⎫⎛⎫==⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭, 则()()()()min max min max 89f x f x f x f x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩无解（3）当1a =-时, 函数草图如下图此时, ()min 0f x =,()max 12f x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,则102102a a ⎧⎛⎫≤-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪>-+ ⎪⎪⎝⎭⎩, 无解; （4）当1a <-时, 函数草图如下图所示,此时, ()()min 1f x a =-+, ()max 12f x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,则 ()()18121912a a a a ⎧⎛⎫-+≤-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-+>-+ ⎪⎪⎝⎭⎩解得 15171416a -≤<-, 满足条件故答案为：151773,,1416167⎡⎫⎛⎤--⋃--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦8．（2021·上海松江·一模）已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>，若()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为___________.【答案】43【分析】化简()f x ，由()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭可得24f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得到48,3ωk k Z =+∈即可求解.【详解】()cos 2sin()6f x x x x =+=+πωωω，且()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭，()2sin 2446πππf ω⎛⎫∴=⨯+= ⎪⎝⎭，2,462πππωk πk Z ∴⨯+=+∈,483ωk ∴=+,k Z ∈ min 43ω∴=故答案为：439．（2021·上海杨浦·一模）在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -､(0,3)B ，E ､F 为圆224x y +=上两个动点，且||4EF =，则AE BF ⋅的最大值为___________.【答案】4【分析】依题意E 、F 为直径的两个端点，设()2cos ,2sin E θθ，则()2cos ,2sin F θθ--，即可表示出AE ，BF ，再根据平面向量数量积的坐标运算及辅助角公式计算可得；【详解】解：因为E 、F 为圆224x y +=上两个动点，且||4EF =，所以E 、F 为直径的两个端点，设()2cos ,2sin E θθ，则()2cos ,2sin F θθ--，因为(1,0)A -､(0,3)B ，所以()2cos 1,2sin AE θθ+=，()2cos ,2sin 3BF θθ=---，所以()()()222cos 2cos 1sin 2sin 34cos sin 2cos 26sin AE BF θθθθθθθθ+--=-⋅=-++--42cos 6sin θθ=--- ()4θϕ=--+，其中1tan 3ϕ=；所以当()sin 1θϕ+=-时()max4AE BF⋅=故答案为：410．（2021·上海奉贤·一模）函数3cos y x a x =+是奇函数，则实数=a __________. 【答案】0【分析】根据给定条件利用奇函数的定义计算作答.【详解】因函数3()cos y f x x a x ==+是奇函数，其定义域为R ，则对R x ∀∈，()()f x f x -=-，即33()cos()(cos )x a x x a x -+-=-+，整理得：2cos 0a x =，。