专题09解析几何热点问题-2024年高考数学六大题解满分解题技巧秘籍
147分学霸分享丨解析几何的解题方法
147分学霸分享丨解析几何的解题方法数学学习有困难的同学，对解析几何有抵触情绪的同学，想要在拉分最明显的题型中拿到高分的同学。
具体经验解析几何是高中数学的重要部分，一般来说，解析几何会在选择填空中出现一到两题，并且会在必做大题中作为压轴题出现。
分值很大，重要性不言而喻，而且难度比较大，想要学好这方面的知识，不是很容易，因此，掌握一定的技巧与方法很重要。
针对高三学生，在学习解析几何的相关内容上，我有一些心得与体会，希望能与大家分享。
大家都知道高考数学卷中解析几何和导数是最不容易的两道大题，最近几年的数学卷趋向基础，只要细心多数同学可以拿到百分之七八十的分数，而想要在数学上力争顶尖的同学就要把握好这两道大题带来的机会。
然而相对于导数需要较强的技巧和想法来讲，解析几何更重要考察的是心里素质。
为什么这样说：第一因为解析几何的题型是有规律可循的，只要接触过类似的题型，拿到其他题的时候一定不会完全没有思路，但要想了解各个题型是需要不怕难题的勇气的。
第二是因为解析几何要求大量的计算，我高三学习解析几何的时候常常一道题写好几张草稿纸，要想完美的完成一道题需要静下心来，需要耐心。
第三是因为这个题型作为压轴题位于试卷的末尾，我在做高考卷的时候也习惯于先做选做题，再回来做导数和解析几何，在考试的最后，时间往往剩下的不多，这往往考察每个同学的定力，能不能不紧张，细心认真的做完自己所有会的步骤。
毋庸置疑，解析几何很花费时间，因此在复习的过程中不能“吝啬”，要肯花精力与时间，数学是对分析能力要求比较高的学科，复习时着重锻炼自己的分析能力，尽量选择整块的时间解决数学问题，否则思路被打断，效率会比较低。
解析几何作为高考的重点，考查项目不仅要求分析，还要求计算能力，大多数人都会觉得解析几何大题中的式子很长，就可能出现心烦意乱，懒得算下去的现象，但其实平时就是一个积累经验与树立信心的过程，越是在平日里认真地、一步步地算，才越有可能在考场上快速地，准确地算出结果。
高考数学专题：解析几何新题型地解题技巧
解析几何题型命题趋向：解析几何例命题趋势：1. 注意考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以填空题的形式出现，每年必考2. 考查直线与二次曲线的普通方程，属容易题，对称问题常以填空题出现3. 考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以填空题的形式出现，有时会出现有一定灵活性和综合性较强的题，如求轨迹，与向量结合，与求最值结合，属中档题考点透视一．直线和圆的方程1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．3．了解二元一次不等式表示平面区域．4．了解线性规划的意义，并会简单的应用．5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程．二．圆锥曲线方程1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质．2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．4．了解圆锥曲线的初步应用．考点1.求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之.2 2x y 的右焦点重合，则p 的值为例1．若抛物线y2 2px的焦点与椭圆1 6 2考查意图:本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质.解答过程：椭圆2 2x y 的右焦点为(2,0)，所以抛物线16 2y2 2px 的焦点为(2,0)，则p 4 ，考点2. 求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之.2+3 上存在关于直线x+y=0 对称的相异两点A、B，则|AB|等于例2．已知抛物线y-x考查意图:本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用.解：设直线AB 的方程为y x b，由2y xy x b3 2x x b 3 0 x x 11 2，进而可求出AB 的中点1 1M ( , b) ，又由2 21 1M ( , b) 在直线x y 0上可求出 b1，2 2∴ 2 2 0x x ，由弦长公式可求出2 2AB 1 1 1 4 ( 2) 3 2 ．2 2例3．如图，把椭圆x y 的长轴125 16AB 分成8 等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部P P P P P P P 七个点， F 是椭圆的一个焦点，, 2, 3, 4 , 5, 6, 7 分于1则P F P F PF P F P F P F P F ____________.1 2 3 4 5 6 7考查意图:本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.解答过程：由椭圆 2 2x y 的方程知a2 25, a 5.125 16∴7 2aPF P F PF P F P F P F P F 7 a 7 5 35.1 2 3 4 5 6 72故填35.考点3. 曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用:(1)椭圆的离心率e＝c∈(0,1) (e越大则椭圆越扁);a(2) 双曲线的离心率e＝结合有关知识来解题. c ∈(1, ＋∞) (e 越大则双曲线开口越大). a例4．已知双曲线的离心率为2，焦点是( 4,0) ，(4,0) ，则双曲线方程为考查意图:本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念.解答过程： e c 2,c 4,所以 a 2,b2 12. a小结: 对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念，要注意认真掌握.尤其对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会.例5．已知双曲线3x2 y2 9,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于考查意图:本题主要考查双曲线的性质和离心率e＝c∈(1, ＋∞) 的有关知识的应用能力.a解答过程：依题意可知 a 3,c a2 b2 3 9 2 3 ．考点4.求最大(小)值求最大(小)值, 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大(小)值: 特别是,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.2=4x,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22 的最小值例6．已知抛物线y是.考查意图:本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小)值的方法.解:设过点P(4,0)的直线为y k x 4 , k2 x2 8x 16 4x,2 2 2 2k x 8k 4 x 16k 0,28k 4 1 2 2y y 4 x x 4 16 2 32.1 2 2 2 1 2k k考点5 圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心.例7．在平面直角坐标系xOy 中,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆 C 与直线y=x 相切于坐标原点O.椭圆x=1 与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.2 y 2a 92（1）求圆 C 的方程；（2）试探究圆 C 上是否存在异于原点的点Q，使Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段O F 的长.若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.[考查目的]本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．[解答过程] (1) 设圆 C 的圆心为(m, n)则m n,n 2 2 2, 解得2,mn 2.所求的圆的方程为 2 2(x2) ( y 2) 8(2) 由已知可得2a 10， a 5．2 2x y , 右焦点为F( 4, 0) ; 椭圆的方程为125 9假设存在Q 点 2 2 2 cos ,2 2 2 sin 使QF OF ,2 22 2 2 cos 4 2 2 2 s in 4 ．整理得si n 3 c o s 2，2代入 2 2sin cos 1．得: 10cos2 12 2 cos 7 0 , cos 12 2 8 12 2 2 2 1．10 10因此不存在符合题意的Q 点.例8．如图,曲线G 的方程为y2 2x( y 0) .以原点为圆心，以t(t 0)为半径的圆分别与曲线G 和y 轴的正半轴相交于 A 与点B. 直线AB 与x 轴相交于点 C.（Ⅰ）求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标 c 的关系式；（Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为 a 2 ,求证：直线CD 的斜率为定值.[考查目的]本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力.[解答过程]（I）由题意知，A( a, 2a ).因为|OA | t,所以a2 2a t 2.由于t 0,故有t a2 2a. （1）x y由点B（0，t），C（c，0）的坐标知，直线BC 的方程为 1.c t又因点 A 在直线BC 上，故有 2 1,a ac t将（1）代入上式，得1,a a 解得 c a 2 2(a 2) .2ca(a 2)（II）因为D(a 2 2(a 2)) ，所以直线CD 的斜率为2(a 2) 2(a 2) 2(a 2)k CD ，1 a2 c a 2 (a 2 2(a 2) ) 2(a 2)所以直线CD 的斜率为定值.2 2x y例9．已知椭圆，AB 是它的一条弦，M(2,1) 是弦AB 的中点，若以点M(2,1) E : 1(a b 0)2 2a b为焦点，椭圆 E 的右准线为相应准线的双曲线 C 和直线AB 交于点N(4, 1)，若椭圆离心率 e 和双曲线离心率e之间满足1 ee 1，求：1（1）椭圆 E 的离心率；（2）双曲线 C 的方程.解答过程：（1）设A、B 坐标分别为A(x , y ),B(x , y ) ，1 12 2则2 2x y1 12 2a b，12 2x y2 22 2a b1，二式相减得：k2y y (x x )b1 2 1 2AB 2x x (y y )a1 2 1 222b 1 ( 1)，k 12MNa 2 4所以 2 2 22a2b 2(ac )，a2c ， 则 e c2 22a2； 122a( 2c)（2）椭圆 E 的右准线为e2 ，双曲线的离心率1x2cecc 设P(x, y) 是双曲线上任一点，则：，22| PM |(x 2)(y 1) | x 2c || x 2c|2，两端平方且将 N(4, 1)代入得： c 1或 c 3，当 c 1时，双曲线方程为：2 2(x 2) (y 1) 0，不合题意，舍去； 当 c 3时，双曲线方程为：(x 10)2 (y 1)2 32，即为所求 . 小结：（1）“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法； （2）求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义. 考点 6 利用向量求曲线方程和解决相关问题利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算 .典型例题：例 10．双曲线 C 与椭圆 (1)求双曲线 C 的方程； 2 2 x y 有相同的焦点，直线 y= 3x 为 C 的一条渐近线 .184(2)过点 P (0,4)的直线 l ，交双曲线 C 于 A,B 两点，交 x 轴于 Q 点（Q 点与 C 的顶点不重合） .当 PQ QA QB ，且12128 3时，求 Q 点的坐标 . 考查意图 : 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力 .解答过程：（Ⅰ）设双曲线方程为 2 2 x y,221ab22x y,求得两焦点为 ( 2,0),(2,0) ， 由椭圆1 84对于双曲线 C :c 2，又 y 3x 为双曲线 C 的一条渐近线b a 3 解得 2 1, 2 3 a b ，双曲线 C 的方程为2y 21 x3（Ⅱ）解法一：由题意知直线 l 的斜率 k 存在且不等于零 .设l 的方程：y kx A x y ， B(x 2 , y 2 ) ,则Q ( 4 ,0)4, ( , )11k.PQQA,14 4.( , 4) ( x , y )1 1 1k kx4 4( x)1 1k k41y y1 1 14 4 k k141A x y 在双曲线 C 上，( , )1 1 16 1 16.12( ) 1 0 2k1 1162 2 2 216 32 16 k k 0.1 13162 2 2 (16 k ) 32 16 k 0.1 1316同理有： 2 2 2(16 k ) 32 16 k 0.2 2316 k 0,则直线l 过顶点，不合题意.2若216 k 0,1, 2 是二次方程 2 2 16 2(16 ) 32 16 0.k x x k 的两根.332 8 1 2 2k 16 3 , 2 4k ，此时0, k 2.所求Q的坐标为( 2,0) .解法二：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零设l 的方程，y kx A x y B x y ，则Q( 4 ,0)4, ( , ), ( , )1 12 2k.PQ QA，Q 分PA 的比为 1 .1由定比分点坐标公式得4 x 41 1x (1 )1 1k 1 k1 10 4 y 41 1y111 1下同解法一解法三：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零设l 的方程：y kx A x y B x y ，则Q( 4 ,0)4, ( , ), ( , )1 12 2k.PQ QA QB ，1 24 4 4 ( , 4) ( x , y ) (x , y )1 1 12 2 2k k k.4 y y ，1 12 2 1 4y1，24y2，又1 2 83，1 1 2y y1 23,即3( y y ) 2y y .1 2 1 2将y kx 4代入2yx2 1得32 2 2(3 k )y24y 48 3k 0 .3 k 0 ，否则l 与渐近线平行.22 24 48 3k. y y , y y1 2 2 1 2 23 k 3 k224 48 3k. k 2 3 22 23 k 3 kQ .( 2,0)解法四：由题意知直线l 得斜率k 存在且不等于零，设l 的方程：y kx 4 ，A x y B x y ,则Q( 4 ,0)( , ), ( , )1 12 2kPQ QA,14 4. ( , 4) ( x , y )1 1 1k k1x1 44k4 4kx1k.同理14kx24.4 4 8.1 2kx 4 kx 4 31 2即 22k x x 5k( x x ) 8 0 . （*）1 2 1 2y kx 又 22yx3 4 1消去y 得(3 k 2)x2 8kx 19 0.当3 k2 0 时，则直线l 与双曲线得渐近线平行，不合题意， 23 k 0 .由韦达定理有：8k x x1 2 23 k19 x x1 2 23 k代入（*）式得k2 4,k 2 .所求Q 点的坐标为( 2,0) .例11．设动点P 到点A(－l，0)和B(1，0)的距离分别为d1 和d2，2∠APB＝2θ,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得d1d2 sinθ＝λ．（1）证明：动点P 的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；（2）过点 B 作直线交双曲线 C 的右支于M、N 两点,试确定λ的范围,使OM ·ON ＝0,其中点O 为坐标原点．[考查目的]本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．[解答过程]解法1：（1）在△PAB 中，AB 2 ，即 2 2 22 d d 2d d cos21 2 1 24 (d d ) 4d d sin ，即2 21 2 1 2 d d d d （常数），21 2 4 4 1 2 sin 2 1 2点P 的轨迹C是以A，B 为焦点，实轴长2a 2 1 的双曲线．方程为： 2 2x y ．11（2）设M x，y ，( )1 1 N( x，y )2 2①当MN 垂直于x轴时，MN 的方程为x 1，M (1，1) ，N (1，1) 在双曲线上．即 1 1 1 2 1 0 1 5 ，因为0 1，所以 5 11 2 2②当MN 不垂直于x轴时，设MN 的方程为y k(x 1) ．．由12 2x y 1得：(1 )k 2 x2 2(1 )k 2x (1 )(k 2 ) 0 ，y k(x1)由题意知：(1 )k 2 0 ，所以 22k (1 )x x1 2 2(1 )k ， 2(1 )(k )x x1 2 2(1 ) k．于是： 2 2k2y1 y2 k (x1 1)(x2 1) 2(1 )k．因为OM ON 0，且M ，N 在双曲线右支上，所以(1 )x x y y 0 k (1 )21 2 1 2 212x x 0 1 11 22 2x x 0 1 0k1 21 5 1 22 3．由①②知， 5 1 2≤．23解法2：（1）同解法 1（2）设M x，y ，N (x2，y2 ) ，MN 的中点为( )1 1 E x ，y ．( )0 0①当x1 x2 1时，MB 2 1 2 1 0，1因为0 1，所以 5 12；②当x x 时，1 2112x122x2y122y11k MN1xy．y 又0 k kMN BEx0 1 ．所以(1 ) y2 x2 x ；0 0 0由∠得MON22MNx y ，由第二定义得2 20 022 2MN e( x x ) 2a1 22 221 12x x x ．1 (1 ) 20 0 01 1所以(1 ) y2 x2 2(1 )x (1 )2 ．0 0 0于是由 2 2(1 ) y x x ,0 0 02 2 2(1 ) y x 2(1 )x (1 ) ,0 0 0 得x(1 )2 32.因为x0 1，所以 2(1 )2 3，又0 1，1解得： 5 1 22 3 ．由①②知 5 1 2≤．2 3考点7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用解析几何知识建立等量关系容易.例12．设椭圆 E 的中心在坐标原点O，焦点在x 轴上，离心率为 3，过点C( 1,0) 的直线交椭圆 E 于3 A、B 两点，且CA 2BC ，求当AOB 的面积达到最大值时直线和椭圆 E 的方程.解答过程：因为椭圆的离心率为 33，故可设椭圆方程为2x2 3y 2 t(t 0) ，直线方程为my x 1，由 2 22x 3y t 得：(2m 2 3)y2 4my 2 t 0 ，设A(x 1,y1),B(x 2 ,y2) ，my x 14m 则y y1 2 22m 3 ,,,, ①yA又CA 2BC，故(x 1,y ) 2( 1 x , y ) ，即y1 2y2 ,,,, ②1 12 2C8m4m 由①②得：，，yy1 22 22m 32m 31 m则＝ 6 6 S | y y | 6 | |AOB 1 2 22 2m 33 22 | m || m | ，Box当m2 32 ，即m 62时，AOB 面积取最大值，此时 22 t 32my y1 2 2 2 22m 3 (2m 3) ，即t 10 ，所以，直线方程为x 6 y 1 02，椭圆方程为2x2 3y2 10.小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易.例13．已知PA (x 5, y) ，PB (x 5, y) ，且| PA | | PB| 6 ，求| 2x 3y 12 | 的最大值和最小值. 解答过程：设P(x, y) ，A( 5,0) ，B( 5,0) ，因为| PA | | PB| 6，且| AB| 2 5 6 ，所以，动点P 的轨迹是以A、B 为焦点，长轴长为 6 的椭圆，椭圆方程为 2 2x y9 4，令x 3cos , y 2sin ，1则| 2x 3y 12 |＝| 6 2 cos( ) 12 |， 4当cos( )14时，| 2x 3y 12|取最大值12 6 2，当cos( ) 1时，|2x 3y 12|取最小值12 6 2 . 4小结：利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算.考点8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题.2x例14．已知椭圆y 的左焦点为F，O 为坐标原点.2 12（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；（II）设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x轴交于点G，求点G 横坐标的取值范围.考查意图:本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.解答过程：（I）a2 2,b2 1, c 1,F ( 1,0), l : x 2.圆过点O、F，圆心M 在直线 1x 上.2 y设M ( 1 ,t ), 则圆半径( 1)( 2) 3.r2 2 2B由OM r, 得解得t 2.1 32 2( ) t ,2 2l AF G O x所求圆的方程为 1 92 2(x ) ( y 2) .2 4 （II）设直线AB 的方程为y k( x1)(k 0),代入 2 x2 y2 1,整理得 2 2 2 2(1 2k )x 4k x 2k 2 0.直线AB 过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根.记A(x , y ), B(x , y ), AB中点1 12 2 N(x , y ),0 0则 24kx x1 2 22k 1,AB的垂直平分线NG 的方程为 1y y ( x x ).0 0k 令y 0,得2 2 22k k k 1 1x x kyG 0 0 2 2 2 22k 1 2k 1 2k 1 2 4k 21k 0, x 0,G2.点G 横坐标的取值范围为( 1 ,0).2 2 2x y例15．已知双曲线C：，B 是右顶点， F 是右焦点，点 A 在x 轴正半轴上，且满1(a 0,b 0) 2 2a b足|OA |,| OB|,| OF| 成等比数列，过 F 作双曲线 C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P，（1）求证：PA OP PA FP；（2）若l 与双曲线 C 的左、右两支分别相交于点D,E，求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围.解答过程：（1）因|OA |,| OB|,| OF| 成等比数列，故|OA | 2 2|OB | a| OF| c ，即2aA( ,0)c，直线l ：y a (x c)b ，y由ay (x c)2a abbP( , )b c cy xa，DPE F故：则：2 2ab a ab b abPA (0, ),OP ( , ), FP ( , )，c c c c c2 2a b，即P A OP PA FP ；PA OP PA FP2cO AB x（或PA (OP FP) PA (PF PO) PA OF 0，即PA OP PA FP）（2）由a4 4 4 2y (x c) a a a c2 2 2 2b (b )x 2 cx ( a b ) 02 2 2b b b2 2 2 2 2 2b x a y a b，4 2a c2 2( a b )2bx x 0 由1 2 4a2b4 4 2 2 2 2 2b a bc a a e 2 e 2. 得：2 2 2 2 2b c a a e 2 e 2 ）2ba bk k（或由DF DOb a小结：向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，而要运用数量积，必须先恰当地求出各个点的坐标.例16．已知 a (x,0) ，b (1, y) ，(a 3b) (a 3b) ，（1）求点P(x, y) 的轨迹 C 的方程；（2）若直线y kx m(m 0) 与曲线 C 交于A、B 两点，D(0, 1) ，且|AD | | BD |，试求m 的取值范围.解答过程：（1）a3b ＝(x,0) 3(1, y) (x 3, 3y) ，a 3b ＝(x,0) 3(1, y) (x 3, 3y) ，因(a 3b) (a 3b) ，故(a 3b) (a 3b) 0 ，即(x 3, 3y)(x 3, 3y)x 3y 3 0，x 故P点的轨迹方程为32y 1.（2）由y kx m2 2x 3y 3得： 2 2 2(1 3k )x 6kmx 3m 3 0 ，设A(x ,y ),B(x ,y ) ，A、B 的中点为M(x 0,y0)1 12 2则 2 2 2 2 2 (6km) 4(1 3k )( 3m 3) 12(m 1 3k ) 0，6km x x1 2 21 3k ，xx x 3km1 20 22 1 3k，my kx m0 0 21 3k，3km m即A 、B 的中点为( 2 , 2 )1 3k 1 3k，则线段AB 的垂直平分线为：m 1 3kmy ( )(x )2 21 3k k 1 3k，将D(0, 1) 的坐标代入，化简得： 24m 3k 1，则由2 2m 1 3k 0得：24m 3k 12m 4m 0，解之得m 0 或m 4 ，又 24m 3k 1 1，所以m 1 4 ，故m 的取值范围是1( ,0) (4, ) 4.小结：求变量的范围，要注意式子的隐含条件，否则会产生增根现象.考点9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立.例17．已知A,B,C 是长轴长为 4 的椭圆上的三点，点 A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心O，且AC BC 0，| BC| 2|A C| ，（1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上的两点P,Q使PCQ 的平分线垂直于OA ，是否总存在实数λ，使得P Q λAB ？请说明理由；解答过程：（1）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A(2,0) ，2 2x y1，不妨设在轴上方，C x2 yOCWORD文档4 b设椭圆方程为A 由椭圆的对称性，| B C | 2 | A ，又AC BC 0 AC OC ，即ΔO C A为等腰直角三角形，B PQx由A(2,0) 得：C(1,1)，代入椭圆方程得： 2 4b3，即，椭圆方程为2 2x 3y4 41；（2）假设总存在实数λ，使得PQ λAB ，即A B // PQ ，由C(1,1)得B( 1, 1) ，则kAB 0 ( 1) 1 2 ( 1) 3，若设CP：y k(x 1) 1，则CQ：y k(x 1) 1，由2 2x 3y4 41 2 2 2(1 3k )x 6k(k 1)x 3k 6k 1 0 ，y k(x 1) 1由C(1,1)得x 1是方程 2 2 2(1 3k )x 6k(k 1)x 3k 6k 1 0的一个根，由韦达定理得：23k 6k 1x x 1P P 21 3k，以k 代k 得x23k 6k 1Q 21 3k，故k PQ y y k(x x ) 2k 1P Q P Qx x x x 3P Q P Q，故AB // PQ，即总存在实数λ，使得PQ λAB .评注：此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题.考点10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，进一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围.例18．设G、M 分别是ABC 的重心和外心，A(0, a) ，B(0,a)(a 0) ，且G M AB ，（1）求点 C 的轨迹方程；（2）是否存在直线m，使m 过点(a,0) 并且与点 C 的轨迹交于P、Q 两点，且OP OQ 0？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由.解答过程：（1）设C(x, y) ，则x yG( , )3 3，因为G M AB ，所以GM // AB ，则xM( ,0)3，由M 为ABC 的外心，则| MA | | MC |，即x x2 2 2 2 ( ) a ( x) y3 3，2 2x y整理得：；1(x 0)2 23a a（2）假设直线m 存在，设方程为y k(x a) ，y k(x a)由 2 2x y2 2 1(x 0)得： 2 2 2 2 2(1 3k )x 6k ax 3a (k 1) 0，3a a设P(x1,y1),Q(x 2 ,y2) ，则26k ax x1 2 21 3k，2 23a (k 1)x x1 2 21 3k，2 22k a 2 2 2y y k ( x a ) ( x a ) k [ x x a ( x ＝x ) a ]，1 2 1 2 1 2 1 2 21 3k由OP OQ 0得：x1x2 y1y2 0，即2 2 2 23a (k 1) 2k a2 21 3k 1 3k0 ，解之得k 3，又点(a,0) 在椭圆的内部，直线m 过点(a,0) ，故存在直线m，其方程为y 3(x a) .小结：（1）解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的结果，然后做出正确的判断；（2）直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组成的方程组的求解问题.专题训练1．如果双曲线经过点(6, 3) ，且它的两条渐近线方程是y 1 x3，那么双曲线方程是2 2 2 2x y x y2．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方程为1 12 22 23m 5n 2m 3n2 2x y3．已知F1,F2 为椭圆MF 垂直于x 轴，的焦点，M 为椭圆上一点，1(a b 0)12 2a b且F1MF2 60 ，则椭圆的离心率为2 2x y4．二次曲线，当m [ 2, 1]时，该曲线的离心率 e 的取值范围是14 m2 25．直线m 的方程为y kx 1，双曲线 C 的方程为x y 1，若直线m 与双曲线 C 的右支相交于不重合的两点，则实数k 的取值范围是x2 y2 4 ，若抛物线过点A( 1,0) ，B(1,0) ，且以圆的切线为准线，则抛物线的6．已知圆的方程为焦点的轨迹方程为2 2x y 上一点，若0 1 7．已知P 是以F1 、F2 为焦点的椭圆1( 0)PF ，则a b PF1 PF tan 1 F222 2a b 2 椭圆的离心率为______________ .2 28．已知椭圆x +2y =12，A 是x 轴正方向上的一定点，若过点A，斜率为 1 的直线被椭圆截得的弦长4 ，点 A 的坐标是______________ .13为32 2x y9．P 是椭圆上的点，F ,F 是椭圆的左右焦点，设11 24 3差是______________ . |PF | |PF | k ，则k 的最大值与最小值之1 210．给出下列命题：2 2①圆(x 2) (y 1) 1关于点M( 1,2) 对称的圆的方程是2 2(x 3) (y 3) 1；2 2x y右支上一点P 到左准线的距离为18，那么该点到右焦点的距离为29②双曲线116 9 2③顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点( 4, 3) 的抛物线方程只能是y2 9 x；4；④P、Q 是椭圆x2 4y2 16上的两个动点，O 为原点，直线OP,OQ 的斜率之积为 14等于定值20 .把你认为正确的命题的序号填在横线上_________________ .，则|OP |2 | OQ|211．已知两点A( 2,0) ，B( 2,0) ，动点P 在y 轴上的射影为Q，P A PB 2PQ ，2 （1）求动点P 的轨迹 E 的方程；（2）设直线m 过点A，斜率为k，当0 k 1时，曲线 E 的上支上有且仅有一点 C 到直线m 的距离为 2 ，试求k 的值及此时点 C 的坐标.12．如图，F1( 3,0) ，F2 (3,0) 是双曲线 C 的两焦点，直线x 4是双曲线 C 的右准线，A1,A 2 是双曲3线C 的两个顶点，点P 是双曲线 C 右支上异于A的一动点，直线A1P、A2P交双曲线 C 的右准线2分别于M,N 两点，y（1）求双曲线 C 的方程；P（2）求证：F M F N 是定值.1 2 MF1 F2A1 oA2x13．已知OFQ的面积为S，且OF FQ 1 ，建立如图所示坐标系，N y（1）若S 1，| OF| 2，求直线FQ 的方程；Q 2（2）设| OF| c(c 2) ，S 3 c，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆过点Q，求当4oF| O Q取| 得最小值时的椭圆方程.x14．已知点H( 3,0) ，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足HP PM 0 ，，3PM MQ2（1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C；（2）过点T( 1,0) 作直线m 与轨迹 C 交于 A 、B 两点，若在x 轴上存在一点y E(x ,0) ，使得ABE 为等边三角形，求x0 的值. Po Q EHT2 2M x x y 的长、短轴端点分别为A、B，从此椭A15．已知椭圆1( 0)a b2 2a bB 圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点 F ，向量AB与OM 是共线向1量．（1）求椭圆的离心率e；（2）设Q 是椭圆上任意一点，F1 、F2 分别是左、右焦点，求∠F1QF 的取值范围；216．已知两点M （-1，0），N（1，0）且点P 使MP MN, PM PN, NM NP 成公差小于零的等差数列，（Ⅰ）点P 的轨迹是什么曲线？（Ⅱ）若点P 坐标为(x0 , y0 ) ，为PM与PN 的夹角，求tanθ．【参考答案】1．提示，设双曲线方程为(1 x y)( 1 x y)，将点(6, 3) 代入求出即可.3 32．因为双曲线的焦点在x 轴上，故椭圆焦点为 2 2( 3m 5n ,0) ，双曲线焦点为(2m 3n ,0) ，由2 2.3m 5n 2m 3n 得| m | 2 2 |n|，所以，双曲线的渐近线为y 6 | n | 3 x2 2 2 22 |m | 43．设|MF1 | d ，则| MF2 | 2d，| F1F2 | 3d， e c 2c | FF | 3d 3.1 2a 2a | MF | |MF | d 2d 31 24.曲线为双曲线，且 5 12 ，故选C；或用 2a 4 ，2b m 来计算.5．将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组. 6．数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义.7．解：设c 为为椭圆半焦距，∵PF1 PF 0 ，∴2 PF1 PF .2又 1tan PF1 F2 ∴2 P F1PF12PF2PF222a(2 c) 2PF21PF12c 2 5 c 59, 3解得：．( ) ea a8．解：设A（x0，0）（x0＞0），则直线l 的方程为y=x-x 0，设直线l 与椭圆相交于P（x1，y1），Q（x2、y2），由y=x-x 0 可得3x2-4x0x+2x 02-12=0，x2+2y2=124x0x ，x1 2322x 12x ，则x1 232 216x 8x 48 22 20 0| 1 x | ( x x ) 4x x 36 2xx ．2 1 2 1 2 09 3 34 14 4 14 2x2 x x ，即∴ 1 | | 21 23 3 3 ∴x02=4，又x0＞0，∴x0=2，∴A（2，0）．36 22x ．9．1； 2 2 2k |PF | | PF | (a ex)(a ex) a e x .1 210．②④.11．解（1）设动点P 的坐标为(x, y) ，则点Q(0, y) ，PQ ( x,0) ，PA ( 2 x, y) ，PB ( 2 x, y) ， 2 2PA PB x 2 y ，因为 2PA PB 2PQ ，所以2 2 2x 2 y 2x ，即动点P的轨迹方程为： 2 2y x 2 ；（2）设直线m：y k(x 2)(0 k 1) ，依题意，点 C 在与直线m 平行，且与m 之间的距离为 2 的直线上，设此直线为m : y kx b，由1 |2k b |2k 12 ，即2b 2 2kb 2，,, ①把y kx b 代入 2 2y x 2 ，整理得：2 2 2(k 1)x 2kbx (b 2) 0，则 2 2 2 24k b 4(k 1)(b 2) 0，即2 2b 2k 2 ，,,,, ②由①②得：k 2 55 ，b 105，此时，由方程组2 5 10y x5 52 2y x 2C(2 2, 10).12．解：（1）依题意得： c 3，2a 4c 3，所以a 2 ， 2b 5 ，所求双曲线 C 的方程为2 2x y4 51；（2）设P(x ,y ) ，M(x 1,y1) ，N(x 2,y2 ) ，则A1( 2,0) ，A 2(2,0) ，0 0A P (x 2,y )，1 0 0 A P (x 2,y ) ，2 0 010A M ( ,y )1 13， 2A N ( , y )2 23，因为10A P与A1M 共线，故(x 0 2)y 1 y 013，y110y3(x 2)，同理：y22y3(x 2)，13则F1M ( , y1)35，F2N ( ,y2)3，所以65FM F N ＝y1y 21 29＝26520y29 9(x 4)＝25(x 4)2065 4 1029 9(x 4).13．解：（1）因为| O F| 2 ，则F(2,0) ，OF (2,0) ，设Q(x ,y ) ，则0 0 FQ (x 2,y ) ，0 0OF FQ 2(x 2) 1，解得0x0 5 2，1 1 1 5 1由S | OF | |y| | y | yQ( , )，得，故0 0 02 2 2 2 2所以，PQ 所在直线方程为y x 2 或y x 2 ；，（2）设Q(x ,y ) ，因为| O F| c(c 2) ，则FQ (x 0 c,y0) ，0 0由OF FQ c(x c) 1得：x0 c0 1 c ，1 3S c | y | c 又02 4y，则032，1 3 Q(c , )c 2 ，2 1 2 9| OQ | (c )c 4，易知，当 c 2时，|OQ |最小，此时5 3Q( , )2 2，2 2x y2 2a b 1,(a b 0)，则2 2a b 425 92 24a 4b，解得12a 102b 6设椭圆方程为，2 2x y所以，椭圆方程为 1 .10 63 14．解：（1）设M(x, y) ，由PM MQ2 得：yP(0, )2，xQ( ,0)3，由HP PM 0得：y 3y(3, )(x, ) 02 2，即 2y 4x ，由点Q 在x 轴的正半轴上，故x 0，即动点M 的轨迹 C 是以(0,0) 为顶点，以(1,0) 为焦点的抛物线，除去原点；（2）设m: y k(x 1)(k 0) ，代入y2 4x 得：2 2 2 2k x 2(k 2)x k 0 ,,,, ①设A(x ,y ) ，B(x 2 ,y2 ) ，则x1,x2 是方程①的两个实根，1 122(k 2)x x ，x1x2 1，所以线段AB 的中点为则1 2 2k22 1 2 k线段AB 的垂直平分线方程为，y (x )2k k k22 k 2 ( , )2k k，令y 0， 2，得x 10 2k2E( 1,0)2k，因为ABE 为正三角形，则点 E 到直线AB 的距离等于 3 |AB |2 ，又 2 2 | AB | (x x ) (y y ) ＝1 2 1 224 1 k2k21 k，所以，42 3 1 k 22k |k|21 k，解得：k 32x，0113.15．解：（1）∵2bF c x c y 1 ( , 0),则, ，∴1 ( , 0), 则, ，∴M MakOM2bac.bk AB , 与是共线向量，∴∵OM ABaFQ r , F Q r , F QF , （2）设 1 1 2 2 1 2r r 2a, F F 2c,1 2 1 22bacba，∴b=c,故 2e .22 2 2 2 2 2 2r r 4c (r r ) 2r r 4c a a1 2 1 2 1 2cos 1 1 0r r2 2 ( )r r r r r r1 221 2 1 2 1 22当且仅当r1 r2 时，cosθ=0，∴θ][0, .216．解：（Ⅰ）记P（x,y），由M （-1，0）N（1，0）得PM MP x y PN NP ( 1 x, y) ，MN NM (2,0) .( 1 , ),2 y2所以MP MN 2(1 x) . PM PN x 1 ，NM NP 2(1 x) .于是，MP MN ,PM PN, NM NP 是公差小于零的等差数列等价于2 x 2(12yx)12(112[ 2(1x) 0x) 2(1 x)]即2xx 02y 3 .所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆.2 2（Ⅱ）点P 的坐标为(x0 , y0 ) 。
高考数学考点归纳之 解析几何计算处理技巧
高考数学考点归纳之 解析几何计算处理技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．考点一 回归定义，以逸待劳回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果．[典例] 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A.2B.3C.32D.62[解题观摩] 由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 设双曲线C 2的实半轴长为a ， 由椭圆及双曲线的定义和已知， 可得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|AF 1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62. [答案] D [关键点拨]本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．[对点训练]1.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1 解析：选A 由题意可得S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x Bx A＝|BF |－p2|AF |－p 2＝|BF |－1|AF |－1.2．抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF ||P A |的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又|P A |2＝(x P ＋m )2＋y 2P ＝(x P ＋m )2＋4mx P，则⎝⎛⎭⎫|PF ||P A |2＝(x P ＋m )2(x P ＋m )2＋4mx P ＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)，所以|PF ||P A |≥22，所以|PF ||P A |的最小值为22.答案：22考点二 设而不求，金蝉脱壳设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求．[典例] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的标准方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 [解题观摩] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，①②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a 2.又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝12.又9＝c 2＝a 2－b 2， 解得b 2＝9，a 2＝18，所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.[答案] D [关键点拨](1)本题设出A ，B 两点的坐标，却不求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．(2)在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；①“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．[对点训练]1．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A 设OE 的中点为G ，由题意设直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )， 分别令x ＝－c 与x ＝0得|FM |＝k (a －c )，|OE |＝ka ， 由△OBG ∽△FBM ，得|OG ||FM |＝|OB ||FB |，即12ka k (a －c )＝a a ＋c， 整理得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率e ＝13.2．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22.即椭圆C 的离心率e ＝22. 答案：22考点三 巧设参数，变换主元换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．[典例] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |＞ 3.[解题观摩] 法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)． 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1， 消去y 0并整理，得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.①由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0. 而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4. 又a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4， 即k 2＋1＞4，因此k 2＞3，所以|k |＞ 3. 法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ， 可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，得x 20a 2＋k 2x 20b2＝1.因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a 2＜1，即(1＋k 2)x 20＜a 2.②由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2， 代入②，得(1＋k 2)·4a 2(1＋k 2)2＜a 2，解得k 2＞3，所以|k |＞ 3.法三：设P (a cos θ，b sin θ)(0≤θ＜2π)， 则线段OP 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2cos θ，b2sin θ. |AP |＝|OA |⇔A Q ⊥OP ⇔k A Q ×k ＝－1. 又A (－a,0)，所以k A Q ＝b sin θ2a ＋a cos θ，即b sin θ－ak A Q cos θ＝2ak A Q . 从而可得|2ak A Q |≤ b 2＋a 2k 2A Q ＜a1＋k 2A Q ，解得|k A Q |＜33，故|k |＝1|k A Q |＞ 3. [关键点拨]求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量． [对点训练]设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆C ：(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，求r 的取值范围．解：当斜率不存在时，有两条，当斜率存在时，不妨设直线l 的方程为x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线y 2＝4x 并整理得y 2－4ty －4m ＝0， 则有Δ＝16t 2＋16m ＞0，y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m ， 那么x 1＋x 2＝(ty 1＋m )＋(ty 2＋m )＝4t 2＋2m ， 可得线段AB 的中点M (2t 2＋m,2t )， 而由题意可得直线AB 与直线MC 垂直， 即k MC ·k AB ＝－1，可得2t －02t 2＋m －5·1t ＝－1，整理得m ＝3－2t 2(当t ≠0时)，把m ＝3－2t 2代入Δ＝16t 2＋16m ＞0， 可得3－t 2＞0，即0＜t 2＜3， 又由于圆心到直线的距离等于半径， 即d ＝|5－m |1＋t 2＝2＋2t 21＋t 2＝21＋t 2＝r ，而由0＜t 2＜3可得2＜r ＜4. 故r 的取值范围为(2,4)．考点四 数形结合，偷梁换柱著名数学家华罗庚说过：“数与形本是两相倚，焉能分作两边飞．数缺形时少直观，形少数时难入微．”在圆锥曲线的一些问题中，许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合的思想方法，可解决一些相应问题．[典例] 已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．[解题观摩] 设双曲线的左焦点为F 1，根据双曲线的定义可知|PF |＝2a ＋|PF 1|， 则△APF 的周长为|P A |＋|PF |＋|AF |＝|P A |＋2a ＋|PF 1|＋|AF |＝|P A |＋|PF 1|＋|AF |＋2a ， 由于|AF |＋2a 是定值，要使△APF 的周长最小， 则|P A |＋|PF 1|最小，即P ，A ，F 1共线， 由于A (0,66)，F 1(－3,0)，则直线AF 1的方程为x －3＋y 66＝1，即x ＝y26－3，代入双曲线方程整理可得 y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以点P 的纵坐标为26， 所以＝12×6×66－12×6×26＝12 6. [答案] 126 [关键点拨]要求①APF 的周长的最小值，其实就是转化为求解三角形三边长之和，根据已知条件与双曲线定义加以转化为已知边的长度问题与已知量的等价条件来分析，根据直线与双曲线的位置关系，通过数形结合确定点P 的位置，通过求解点P 的坐标进而利用三角形的面积公式来处理．[对点训练]1．椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55B.655C.855D.455解析：选C 如图所示，设椭圆的右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′.因为|MF |＋|NF |＋|MF ′|＋|NF ′|≥|MF |＋|NF |＋|MN |，所以当直线x ＝m 过椭圆的右焦点时，△FMN 的周长最大．此时|MN |＝2b 2a ＝855，又c ＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以此时△FMN 的面积S ＝12×2×855＝855.故选C.2．设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( )A ．4 B.5 C ．6D ．7解析：选C 由题意得，圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r 1＝2；圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1的圆心为(4,0)，半径为r 2＝1.设双曲线x 2－y 215＝1的左、右焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)．如图所示，连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，则|PF 1|－|PF 2|＝2.又|PM |max ＝|PF 1|＋r 1，|PN |min ＝|PF 2|－r 2，所以|PM |－|PN |的最大值m ＝|PF 1|－|PF 2|＋r 1＋r 2＝5.又|PM |min ＝|PF 1|－r 1，|PN |max ＝|PF 2|＋r 2，所以|PM |－|PN |的最小值n ＝|PF 1|－|PF 2|－r 1－r 2＝－1，所以|m －n |＝6.故选C.考点五 妙借向量，无中生有平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数、形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介．妙借向量，可以有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果．[典例] 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．[解题观摩] 把y ＝b 2代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得x ＝±32a ，则B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎭⎫32a ，b 2， 而F (c,0)， 则FB ＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2，FC ＝⎝⎛⎭⎫32a －c ，b 2，又∠BFC ＝90°， 故有FB ·FC ＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2·⎝⎛⎭⎫32a －c ，b 2＝c 2－34a 2＋14b 2＝c 2－34a 2＋14(a 2－c 2)＝34c 2－12a 2＝0，则有3c 2＝2a 2，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝63.[答案]63[关键点拨]本题通过相关向量坐标的确定，结合∠BFC ＝90°，巧妙借助平面向量的坐标运算来转化圆锥曲线中的相关问题，从形入手转化为相应数的形式，简化运算．[对点训练] 设直线l 是圆O ：x 2＋y 2＝2上动点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)处的切线，l 与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的两点A ，B ，则∠AOB 为( )A ．90° B.60° C ．45°D ．30°解析：选A ∵点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)在圆O ：x 2＋y 2＝2上，∴x 20＋y 20＝2，圆在点P (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1，x 0x ＋y 0y ＝2及x 20＋y 20＝2得(3x 20－4)x 2－4x 0x ＋8－2x 20＝0.∵切线l 与双曲线交于不同的两点A ，B ，且0＜x 20＜2，∴3x 20－4≠0，且Δ＝16x 20－4(3x 20－4)·(8－2x 20)＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4x 03x 20－4，x 1x 2＝8－2x 203x 20－4.∵OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋1y 20(2－x 0x 1)(2－x 0x 2)＝x 1x 2＋12－x 20[4－2x 0(x 1＋x 2)＋x 20x 1x 2]＝8－2x 203x 20－4＋12－x 20⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－8x 203x 20－4＋x 20(8－2x 20)3x 20－4＝0，∴∠AOB ＝90°. 考点六 巧用“根与系数的关系”某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．[典例] 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM ，AN 交椭圆于M ，N 两点．(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．[解题观摩] (1)直线AM 的斜率为1时，直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0.解得x 1＝－2，x 2＝－65，所以M ⎝⎛⎭⎫－65，45. (2)设直线AM 的斜率为k ，直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1，化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0. 则x A ＋x M ＝－16k 21＋4k 2，x M ＝－x A －16k 21＋4k 2＝2－16k 21＋4k 2＝2－8k 21＋4k 2.同理，可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝⎛⎭⎫－65，0. 证明如下：因为k MP ＝y M x M ＋65＝k ⎝⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k4－4k 2， 同理可得k PN ＝5k4－4k 2. 所以直线MN 过x 轴上的一定点P ⎝⎛⎭⎫－65，0. [关键点拨]本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x M ＝2－8k 21＋4k 2，这体现了整体思想．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．[对点训练]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，左、右焦点分别为F 1，F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的内切圆半径为327，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由c a ＝12，得a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，将点P ⎝⎛⎭⎫1，32的坐标代入椭圆方程得c 2＝1， 故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1， 代入椭圆方程，整理得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0， 显然判别式大于0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，△AF 2B 的内切圆半径为r 0， 则有y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2，r 0＝327，＝12r 0(|AF 1|＋|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 2|) ＝12r 0·4a ＝12×8×327＝1227， 所以12t 2＋14＋3t 2＝1227，解得t 2＝1， 因为所求圆与直线l 相切，所以半径r ＝2t 2＋1＝2， 所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.[课时跟踪检测]1．在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，则r ＝( )A ．210 B.10 C ．25D.5解析：选B 已知OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，两边平方化简得OA ―→·OB ―→＝－35r 2，所以cos ∠AOB ＝－35，所以cos ∠AOB 2＝55，又圆心O (0,0)到直线的距离为|2|2＝2， 所以2r ＝55，解得r ＝10. 2．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B.23C.22D ．1解析：选C 如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0＞0)， 则y 20＝2px 0，即x 0＝y 202p.设M (x ′，y ′)，由PM ―→＝2MF ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝⎛⎭⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝2(0－y ′)，化简可得⎩⎨⎧x ′＝p ＋x 03，y ′＝y3.∴直线OM 的斜率k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p2p 2y 0＋y 0≤2p 22p 2＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)．故直线OM 的斜率的最大值为22. 3．(2019·惠州调研)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得的弦长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为( )A ．5 B.4 C ．3D ．2解析：选C 由直线与圆相交所得的弦长为2，得圆心到直线的距离d ＝1m 2＋n 2＝3，所以m 2＋n 2＝13≥2|mn |，当且仅当m ＝n 时等号成立．所以|mn |≤16，又A ⎝⎛⎭⎫1m ，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1n ，所以△AOB 的面积S ＝12|mn |≥3，故△AOB 面积的最小值为3.4．(2019·兰州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|2＝8a |PF 2|，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A ．(1,3] B.[3，＋∞) C ．(0,3)D ．(0,3]解析：选A 根据双曲线的定义及点P 在双曲线的右支上，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m －n ＝2a ，m 2＝8an ，∴m 2－4mn ＋4n 2＝0，∴m ＝2n ，则n ＝2a ，m ＝4a ，依题得|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|，∴2c ≤4a ＋2a ，∴e ＝ca ≤3，又e ＞1，∴1＜e ≤3，即双曲线C的离心率的取值范围为(1,3]．5．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF ―→＝λFB ―→(λ＞1)，则λ的值为( )A ．5 B.4 C.43D.52解析：选B 根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由AF ―→＝λFB ―→，得⎝⎛⎭⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝⎛⎭⎫x 2－p 2，y 2， 故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2.设直线AB 的方程为y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2， 联立直线与抛物线方程，消去x ，得y 2－32py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1y 2＝－p 2，则(y 1＋y 2)2y 1y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94，即－λ－1λ＋2＝－94.又λ＞1，解得λ＝4.6.已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，过椭圆上一点A (0,1)作直线l 交椭圆于另一点B ，P 为线段AB 的中点，若直线AB ，OP 的斜率存在且不为零，则k AB k OP ＝________.解析：法一：(特殊值法)取B ⎝⎛⎭⎫1，32，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2＋34，则k AB ＝3－22，k OP ＝2＋32， 故k AB ·k OP ＝3－22×2＋32＝－14. 法二：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1，消去y 得，(1＋4k 2)x 2＋8kx ＝0， 得x B ＝－8k 1＋4k 2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 1＋4k 2，1－4k 21＋4k 2.则P ⎝⎛⎭⎪⎫－4k 1＋4k 2，11＋4k 2，∴k AB ＝k ，k OP ＝－14k ，∴k AB ·k OP ＝－14.法三：(点差法)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 2A4＋y 2A ＝1，x2B4＋y 2B＝1，两式相减得x 2A －x 2B 4＋y 2A －y 2B ＝0， 化简得y A ＋y B x A ＋x B ·y A －y B x A －x B ＝－14，即y A －y B x A －x B ·y 0x 0＝－14，∴k AB ·k OP ＝－14.答案：－147．已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则P A ―→·PB ―→的最小值为________．解析：由题意，设A (cos θ，sin θ)，P (x ，x ＋2)， 则B (－cos θ，－sin θ)，∴P A ―→＝(cos θ－x ，sin θ－x －2)， PB ―→＝(－cos θ－x ，－sin θ－x －2)，∴P A ―→·PB ―→＝(cos θ－x )(－cos θ－x )＋(sin θ－x －2)·(－sin θ－x －2)＝x 2＋(x ＋2)2－cos 2θ－sin 2θ＝2x 2＋4x ＋3＝2(x ＋1)2＋1，当且仅当x ＝－1，即P (－1，1)时，P A ―→·PB ―→取最小值1. 答案：18．(2019·武汉调研)已知A ，B 分别为椭圆x 29＋y 2b 2＝1(0＜b ＜3)的左、右顶点，P ，Q 是椭圆上关于x 轴对称的不同两点，设直线AP ，B Q 的斜率分别为m ，n ，若点A 到直线y ＝1－mn x 的距离为1，则该椭圆的离心率为________．解析：根据椭圆的标准方程x 29＋y 2b2＝1(0＜b ＜3)知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，A (－3,0)，B (3,0)，设P (x 0，y 0)，Q (x 0，－y 0)，则x 209＋y 20b 2＝1，k AP ＝m ＝y 0x 0＋3，k B Q ＝n ＝－y 0x 0－3，∴mn ＝－y 20x 20－9＝b 29，∴1－mn ＝9－b 23，∴直线y ＝1－mn x ＝9－b 23x ，即9－b 2x －3y＝0.又点A 到直线y ＝1－mn x 的距离为1，∴|－39－b 2|9－b 2＋9＝39－b 218－b 2＝1，解得b2＝638，∴c 2＝a 2－b 2＝98，∴e ＝c 2a 2＝18＝24. 答案：249．已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的右顶点为A ，上顶点为B .设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．解：由题意知，A (2,0)，B (0,1)，设P (x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4，所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2，直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1，所以四边形ABNM 的面积S ＝12|AN ||BM |＝12⎝⎛⎭⎫2＋x 0y 0－1⎝⎛⎭⎫1＋2y 0x 0－2 ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42(x 0y 0－x 0－2y 0＋2)＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2，从而四边形ABNM 的面积为定值．10．已知离心率为63的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，|AB |＝233. (1)求此椭圆的方程；(2)已知直线y ＝kx ＋2与椭圆交于C ，D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E (－1,0)，求k 的值．解：(1)设焦距为2c ，∵e ＝c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，∴b a ＝33.由题意可知b 2a ＝33，∴b ＝1，a ＝3， ∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入椭圆方程，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0， 又直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)＞0，解得k 2＞1. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2. 若以CD 为直径的圆过E 点， 则EC ―→·ED ―→＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4， 所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2 ＝(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5 ＝9(k 2＋1)1＋3k 2－12k (2k ＋1)1＋3k 2＋5＝0， 解得k ＝76，满足k 2＞1，所以k ＝76.。
解析几何解答题技巧
解析几何解答题技巧
解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究空间中点、线、面等几何对象在坐标系中的表示和性质。
在解析几何的解答题中，需要注意以下几点技巧：
1. 建立坐标系：根据题目的具体情况，选择适当的坐标系，如直角坐标系、极坐标系或参数方程。
坐标系的建立有助于将几何问题转化为代数问题，便于进一步求解。
2. 设点坐标：根据题目要求，设出未知点的坐标。
设点坐标时需要注意，所设的坐标应尽量满足题目的条件，便于求解。
3. 列出方程：根据题目的已知条件和设定的坐标，列出所需的方程。
列方程时需要注意，方程应尽可能简单，便于求解。
4. 解方程：根据所列的方程，解出未知数的值。
解方程时需要注意，解方程的方法应尽可能简单，便于计算。
5. 验证答案：解出答案后，需要进行验证，确保答案符合题目的条件和已知条件。
验证答案时需要注意，答案应尽可能准确，避免出现误差。
6. 总结答案：最后需要对答案进行总结，写出完整的答案。
总结答案时需要注意，答案应尽可能清晰，便于阅读和理解。
总之，在解析几何的解答题中，需要注意建立坐标系、设点坐标、列出方程、解方程、验证答案和总结答案等技巧。
同时还需要注意计算准确、思路清晰、表达简洁等要求。
2024年高考数学拿120分的全攻略总结
2024年高考数学拿120分的全攻略总结2024年高考数学考试拿满分的全攻略总结1. 努力学习数学基础知识：高考数学考试的题目主要来自于中学数学的基础知识，所以要先打牢基础。
逐章逐节复习教材内容，掌握概念、定理和公式，做好笔记整理，加深记忆。
2. 高效利用教材和辅导资料：使用好教材和辅导资料对提高数学成绩非常重要。
建议选用教育部推荐的教材，参考人教版、北师大版等。
同时，还可以从市面上购买一些名师的辅导资料，进行巩固和拓展。
3. 多做真题和模拟题：通过做真题和模拟题，可以熟悉考试的题型和考点，提高解题能力和应试能力。
可以选择每周安排一个固定的时间段，专门用来做真题和模拟题，同时要认真分析自己的错题，找出解题方法和思路上的问题，及时改正。
4. 注重解题技巧和方法：掌握一些解题技巧和方法，能够帮助在考试中更快更准确地解题。
例如，可以学习利用等式性质、函数性质进行变形和化简，学会运用图形解题的方法和技巧等。
还可以参考一些解题技巧的书籍或网络资料，进行学习和实践。
5. 积极参加课外辅导和训练班：可以报名参加一些数学的课外辅导和训练班，通过和其他同学一起学习和交流，提高学习动力和解题能力。
辅导班可以有针对性地进行突破和强化，同时还能接触到更多考试相关的知识和技巧。
6. 做好时间管理和复习规划：在备考过程中，要合理安排时间，制定详细的复习计划，并按计划进行复习和练习。
要保持良好的作息和饮食习惯，保证充足的睡眠和精神状态。
7. 自信和冷静应对考试：在考试中要保持自信和冷静，不因一些小错误而放弃信心，注意审题，认真答题。
若遇到难题，先尝试解决，若时间不足，也不要纠结于这道题上，及时转到下一题。
总结起来，想要在2024年高考数学考试中取得满分，关键在于打好基础，多做真题，掌握解题技巧，参加课外辅导，合理安排时间，保持自信和冷静应对考试。
这些方法和策略需要长期的积累和实践，希望你能够坚持，并且相信自己的能力。
祝你取得好成绩！。
2024年高考真题分类专项(解析几何)(学生版)
2024年高考真题分类专项（解析几何）一、单选题1．（2024年北京高考数学真题）圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（ ）A B ．2C ．3D ．2．（2024年天津高考数学真题）双曲线22221()00a x y a b b >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（ ） A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）4．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线20ax by a b +-+=与圆2241=0C x y y ++-：交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．65．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-，点()6,4-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A．4 B ．3C ．2D6．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c 与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．4D．二、多选题7．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（ ） A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B三点共线时，||PQ = C ．当||2PB =时，PA AB ⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个8．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足:横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（ ）A ．2a =- B．点在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题9．（2024年上海夏季高考数学真题）已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为 ．10．（2024年北京高考数学真题）抛物线216y x =的焦点坐标为 ．11．（2024年北京高考数学真题）若直线()3y k x =-与双曲线2214x y -=只有一个公共点，则k 的一个取值为 ．12．（2024年天津高考数学真题）圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为 ．13．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为 ．四、解答题14．（2024年上海夏季高考数学真题（网络回忆版））已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b-=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点. (1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标． (3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．15．（2024年北京高考数学真题）已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ． (1)求椭圆E 的方程及离心率； (2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．16．（2024年天津高考数学真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △． (1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．17．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．18．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线交C 于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．。
2024年高考数学第一轮复习解题思路总结
2024年高考数学第一轮复习解题思路总结随着高考的临近，数学复习也进入了关键的阶段。
为了能够顺利备战高考数学，学生们需要理清数学知识的脉络，掌握一定的解题思路和方法。
本文将从数学各个板块出发，总结2024年高考数学第一轮复习的解题思路和要点。
1. 函数与方程函数与方程作为高考数学的基础，是各种高等数学知识的基础。
在复习中，对于函数与方程的掌握至关重要。
首先，要掌握基本的函数与方程的概念和性质，包括一元二次方程、一次函数、指数函数、对数函数、幂函数等。
要熟悉这些函数的图像和特点，能够准确地画出函数的图像和描述函数的性质。
其次，要掌握函数与方程的解法和应用。
对于一元二次方程，要熟悉求解一元二次方程的方法，包括因式分解法、配方法、根的判别式、完全平方公式等。
对于一次函数、指数函数、对数函数、幂函数等，要掌握相应的解法和应用，能够求解函数和方程的零点、最值、极值等。
最后，要注意函数与方程的综合应用。
在复习中，要注重函数与方程的应用题，特别是与实际问题相关的应用题。
要熟悉建立函数模型和方程模型的方法，能够将实际问题转化为函数与方程，从而解决问题。
2. 解析几何解析几何是高考数学中的重要部分，也是考察学生几何思维和空间想象能力的重要手段。
首先，要熟悉平面直角坐标系和空间直角坐标系，掌握坐标变换的方法。
要能够根据给定的坐标条件确定图形的位置和几何特征，能够解决点、线、面的位置关系、相交关系和对称关系等问题。
其次，要熟练掌握解析几何的基本定理和性质。
包括直线的方程、平面的方程、圆的方程等，要能够根据给定的条件求解方程和解决相应的问题。
最后，要注重解析几何的应用题。
要熟悉解析几何的应用方法，能够将实际问题转化为几何问题，并解决问题。
要能够解决距离、面积、体积等问题，并应用相应的几何定理和性质求解。
3. 概率统计概率统计是高考数学中的重要考点，涉及到概率、统计、函数、方程等多个知识点的综合运用。
首先，要掌握基本的概率与统计的概念和技巧。
2024年高考数学知识点与方法大全
2024年高考数学知识点与方法大全PDF2024年高考数学知识点与方法大全PDF对于即将参加2024年高考的同学们来说，数学是一门非常重要的科目，它不仅能够拉开分数差距，还能锻炼学生的思维能力和解决问题的能力。
为了帮助大家更好地备战高考，本文将为大家介绍一些数学知识点和解题方法，同时也会提供一份完整的高考数学知识点总结PDF文件，方便大家进行查阅和复习。
一、高考数学知识点总结1、函数与导数：这部分内容是高考数学中的重点和难点，主要涉及函数的性质、定义域、值域、奇偶性、周期性等，同时还包括导数的概念、运算法则以及应用。
2、三角函数：三角函数是高考数学中的必考知识点，主要涉及正弦、余弦、正切等函数的图像和性质，以及三角函数的恒等变换和最值问题。
3、不等式：不等式是高中数学中的一个重要知识点，主要涉及不等式的性质、证明和求解方法，包括比较法、综合法、分析法等。
4、数列：数列是高考数学中的必考知识点，主要涉及等差数列、等比数列的性质和通项公式，以及数列的求和、求通项等方法。
5、解析几何：解析几何是高考数学中的重要知识点，主要涉及直线、圆、椭圆、双曲线等曲线的方程和性质，以及曲线的交点、距离、面积等计算方法。
6、立体几何：立体几何是高考数学中的必考知识点，主要涉及平面几何与空间几何的基本概念、性质和定理，以及空间几何体的表面积、体积、角度、平行、垂直等计算方法。
7、排列组合与概率：排列组合与概率是高考数学中的必考知识点，主要涉及排列组合的基本概念和计算方法、概率的基本概念和计算方法，以及条件概率、独立事件、贝叶斯公式等应用。
二、高考数学解题方法1、解题思路：在解题时，首先要明确题目所涉及的知识点，从已知条件出发，逐步推导出未知条件，最终得到答案。
2、解题技巧：在解题时，还需要掌握一些技巧，例如图像法、逆推法、特殊值法等，可以根据不同的题型选择合适的解题方法。
3、解题心法：在解题时，还需要注意一些心法，例如细心审题、沉着冷静、先易后难等，以避免因心态问题而犯错。
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解析几何热点问题的基本思路是通过分析图形的性质和给定条件，找
出热点所具有的特点，从而推导出热点的位置或特征。
以下是解析几何热
点问题的一般步骤和解题技巧：
1.仔细阅读题目，理解问题。
明确给定的条件和要求，特别是热点所
具有的性质。
2.分析图形的性质。
如果题目中给出了图形，先仔细观察几何图形的
结构和特征，判断是否存在特殊的轴、对称关系等。
根据图形性质，可以
推断出一些等值关系或类似三角形之间的比例关系。
3.利用给定条件，并结合所求的特征，运用几何定理和性质进行推理。
根据题目中给出的条件和已知的几何定理，可以得出一些等式或者比例关系。
根据热点的定义和特征，可以运用几何定理进行分析，进一步推出解
的范围或唯一性。
4.运用代数方法进行推导。
有时候，解析几何热点问题可以用代数方
法进行推导。
建立坐标系，设定未知数，并利用几何条件和已知条件得出
方程或不等式。
通过求解方程组或优化问题，可以确定热点的位置或特征。
5.检查和验证。
在得到解后，要仔细检查解是否符合题目给定的条件
和要求，特别是热点所具有的性质。
如果解不符合条件或性质，则需要重
新分析和推导，找出问题所在。
在解析几何热点问题时，需要熟悉几何定理和性质，特别是与热点相
关的定理和公式，如三角形的重心、外心、内心，四边形的重心、外心等。
此外，灵活运用代数方法和图像化方法，可以更好地推理和解决热点问题。
下面通过一个例子来说明解析几何热点问题的解题思路：
例题：在直角三角形ABC（∠C=90°）中，D为BC边上一点，E为AC
边上一点，连接AE、BD交于点F，若知BF=3FD，求证：EF⊥AB。
解题思路：
1.明确问题：证明EF⊥AB，即EF与AB垂直。
2.分析图形：根据题目给出的直角三角形ABC以及点F的定义，我们
可以发现三角形CDE与三角形ABC相似，且F是两个相似三角形的对应点。
3.利用相似三角形的性质：因为三角形CDE与三角形ABC相似，可以
得出CE/AC=DE/BC。
4.运用已知条件：根据题目中给出的BF=3FD，可以得到BF/FD=3
5.运用热点性质：由于F是三角形CDE与三角形ABC的对应点，可以
推出相似比的倒数关系，即BF/FD=CE/AE。
6.推理与证明：联立步骤4和步骤5中的等式，得到CE/AE=3，即
CE=3AE。
7.利用几何定理：根据步骤6中得出的等式CE=3AE，可以推导出点E
为三角形ACF重心的条件。
8.推论：根据三角形ACF重心的性质，可以得出EF⊥AB。
通过以上的推导和证明，我们可以得出结论：EF⊥AB。