高考数学110分必会热点题型：函数y=sin（x+）的图象及简单应用

高考数学110分必会热点题型：函数y=sin（x+）的图象及
简单应用
函数一直是高考数学重点考查内容，也是高考数学的必考热点知识板块，占有相当高的分值。

因此，如何学好函数、掌握好函数、用好函数等等就成了很多考生关注的话题。

高考函数知识内容比较多，高考函数热点问题一般集中在这四个板块：导数应用、与不等式综合、三角函数应用、函数模型应用。

三角函数相关知识内容可以说是高考数学试题当中的比较常考知识内容，也一直是高考数学必会考查的知识点。

三角函数的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用。

在高考数学复习过程中，我们一定要加强对三角函数基础知识的巩固，突出三角函数的图象及其变换、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质，以及化简、求值和最值等重点内容的复习，要求考生熟练记忆和应用三角公式及其恒等变形，同时要注重三角知识的工具。

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因此，今天我们就来三角函数应用中关于函数y＝sin(ωx＋φ)的图象与性质。

首先，我们要彻底掌握好y＝Asin(ωx＋φ)的相关的基本概念，y ＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时：振幅为A；
周期为T＝2π/ω；
频率为f＝1/T＝ω/2π；
相位为ωx＋φ；
初相为φ.
典型例题分析1：
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋n的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π/2，直线x＝π/3是其图象的一条对称轴，若A>0，ω>0,0<φ<π/2，求函数的解析式．
三角函数相关高考题型有选择、填空和解答题，难度上相对容易，一般位于中档题，只要大家掌握好三角函数公式，利用公式化简解析式并求性质，三角函数类问题就能解决。

同时要学会用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图，我们用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的作法，我们要掌握好以下两种常见的方法：
1、五点法
用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，π/2，π，3π/2，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象。

2、图象变换法
由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。

三角函数高考题型虽然不难，通常以简单题形式出现，但内容却比较丰富，如包含三角函数的图像与性质、三角函数恒等变化、诱导公式等等。

因此，在复习过程中要特别注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象及其变换、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质，以及化简、求值和最值等重点内容的复习，要求考生熟练记忆和应用三角公式及其恒等变形，同时要注重三角知识的工具性。

典型例题分析2：
已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)（A＞0，ω＞0，|φ|<π/2）的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．
(1)求f(x)的解析式及x0的值；
(2)求f(x)的增区间；
(3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域．
近年来，三角函数与向量联系问题有所增加，三角知识在几何及实际问题中的应用也是考查重点，应给于充分的重视。

注重三角函数
与代数、向量、几何及实际问题中的应用，能利用三角函数相关知识解决综合问题。

大家一定要记住，函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤：
要想掌握好y＝Asin(ωx＋φ)相关知识内容，就要学会确定函数解析式，如要学会确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法：
1、求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝（M-m）/2，b＝（M+m）/2.
2、求ω，确定函数的周期T，则可得ω＝T2π.
3、求φ，常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝π/2；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝3π/2；“第五点”时ωx＋φ＝2π。

典型例题分析3：
为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；
③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；
(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？
解：(1)设该函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f(x)在[2,8]上单调递增，且f(2)＝100，所以f(8)＝500.
利用三角函数图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的1/2个最小正周期，可求解参数ω的值，利用图象的最高点、低点为三角函数最值点，可求解参数A的值．在求函数值域时，由定义域转化成ωx＋φ的范围，即把ωx＋φ看作一个整体，再结合三角函数的图象求解。

确定y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0，|φ|<π)中的参数的方法：在由图象求解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝（M-m）/2，k＝（M+m）/2，ω由周期T确定，即由2π/ω＝T求出，φ由特殊点确定．
由y＝sin x的图象变换到y＝A sin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|/ω(ω>0)个单位。

原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是于ωx加减多少值。