线性代数经管类知识点
自考线性代数经管类笔记
自考线性代数经管类笔记线性代数是一门应用广泛的数学学科，对于经管类专业的学生来说尤为重要。
本篇笔记将详细介绍线性代数的基本概念和常用方法，以及其中涉及到的经管类应用。
一、向量和矩阵1.1 向量的定义和运算向量是由有序的一组数按照一定顺序排列而成的对象，常用于表示多维度的数据。
向量的加法和数乘是基本的运算操作，能够实现向量之间的合成和缩放。
1.2 矩阵的定义和运算矩阵是由多个向量按行或按列排列而成的矩形数组。
矩阵的加法、数乘和乘法是常见的运算操作，通过这些运算可以实现线性方程组的求解和数据的变换。
二、线性方程组2.1 线性方程组的概念线性方程组是由一组线性方程组成的方程集合，可以用矩阵和向量的形式表示。
线性方程组通常用来描述多个变量之间的关系。
2.2 线性方程组的解法高斯消元法是求解线性方程组的常用方法，通过矩阵的初等行变换将线性方程组化为简化的行阶梯形式，从而得到方程组的解。
三、矩阵的应用3.1 线性变换线性变换是指从一个向量空间到另一个向量空间的一种特殊变换，可以用矩阵表示。
在经管类问题中，线性变换常用于描述经济模型、市场规模和供求关系等。
3.2 特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是描述矩阵性质的重要指标，可以用来判断矩阵的稳定性和变换的特征。
四、行列式4.1 行列式的概念行列式是一个与矩阵相关的标量，可以用来判断矩阵的可逆性、求解线性方程组和计算面积、体积等几何量。
4.2 行列式的性质行列式具有一系列重要的性质，包括行列式的展开性质、可逆矩阵的行列式性质和矩阵乘法的行列式性质等。
五、矩阵的特殊类型5.1 对称矩阵对称矩阵是指矩阵的转置矩阵等于矩阵本身，具有特殊的性质和应用，常用于描述系统的对称程度和分析力学中的刚体问题。
5.2 正定矩阵正定矩阵是指矩阵的所有特征值都大于零，是优化问题和概率论中常见的矩阵类型。
六、线性代数的应用6.1 经济学中的应用线性代数在经济学中有广泛的应用，如求解均衡价格、计算生产函数、分析供求关系等。
线性代数(经管类)
线性代数(经管类)知识点●设,A B 都是可逆矩阵，则下列等式不成立的是111(+)+A B A B ---=●设矩阵-21=1-2A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则A 的特征值为-1，-3●矩阵的初等变换分为初等行变换和初等列变换，矩阵与经有限次初等变换后的矩阵是等价的；●设B A ,均是n 阶方阵，则必有B A AB =●矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；●设A ,B 是实数域R 上的n 阶矩阵（1n >），且满足AB =0，则必有0A =或0B =●设A 为n 阶方阵，且A A =2，则A 的特征值只有0和1。
●交换矩阵的某两行或某两列，其矩阵的值不变。
描述不正确。
●设A 是实数域R 上的n 阶矩阵（2n ≥），且0A =，则()TR A n<、()1R A n ≤-、2()R A n ≠●线性方程组0m n A X ⨯=只有零解（有唯一解）的充要条件是()R A n =●由满秩方阵构成的向量组一定线性无关。
●设向量组123ααα，，线性无关，则122313αααααα+++，，也线性无关●设A 是可逆矩阵，则1(2)A -=112A -●两m n ⨯矩阵等价的充分必要条件是这两个矩阵的秩相等。
●设A 是m n ⨯矩阵，0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是若Ax b =有无穷多个解，则0Ax =有非零解。
●设A 是m n ⨯矩阵()1R A n =-，1α和2α是齐次线性方程组0AX =的两个不同的解，则0AX =的一个基础解系一定可取12αα-●设A 为可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵为TA 。
●向量空间3{(,,0),,}TV x y R x y R =∈∈的维数等于2。
●设n (1)n >阶方阵A 满足=TAA E ，则下列命题不一定成立的是1A =●向量组与其最大无关组是等价的；●向量空间V 的一组基就是向量组V 的一个极大线性无关组。
04184线性代数(经管类)基础知识
第一章行列式（一）行列式的定义1．行列式的定义D n=∑(-1)t a1c1a2c2…a n cn(t是列标c的逆序数)=∑(-1)t a r11a r22…a rn n(t是行标r的逆序数) 2．余子式及代数余子式设有n阶行列式D n,对任何一个元素a ij,划去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序组成一个n-1阶行列式,称它为元素a ij的余子式,记作M ij,再记A ij=(-1)i+j M ij,称A ij为元素a ij的代数余子式.3．特殊行列式①②③（二）行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等，即|A|=|A T|性质2用数k乘行列式D中某一行(列)的所有元素等于用数k乘此行列式D.推论1行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面性质3互换行列式的任意两行(列),行列式的值改变符号.推论2如果行列式中有某两行(列)相同,则此行列式的值等于零.推论3 如果行列式中某两行(列)的对应元素成比例,则此行列式的值等于零.性质4如果行列式某行(列)所有元素均为两个数的和,则行列式可以按该行(列)拆为两个行列式的和.性质5 把行列式某一行(列)所有元素都乘以同一个数然后加到另一行(列)的对应元素上去,行列式不变. 定理1（行列式展开定理）n阶行列式D=|a ij|n等于它任意一行(列)各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即D=a i1A i1+a i2A i2+…+a in A in(i=1,2,…n)（D按第i行的展开式）或D=a1j A1j+a2j A2j+…+a nj A nj(j=1,2,…n)（D按第j列的展开式）定理2行列式D=|a ij|n的任一行(列)各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即a i1A k1+a i2A k2+…+a in A kn=0(i≠k)或a1j A1s+a2j A2s+…+a nj A ns=0(j≠s)（三）行列式的计算行列式的计算主要采用以下两种基本方法：（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：第二章矩阵（一）矩阵的定义矩阵定义：m*n个数a ij(i=1,2,…m，j=1,2,…n)排列成一个m行n列的有序数表，称为m*n矩阵，记为(a ij)m*n （二）矩阵的运算1．矩阵的同型与相等设有矩阵A=(a ij)m*n, B=(b ij)k*s，若m=k, n=s，则说A与B是同型矩阵,若A与B同型,且对应元素相等，即a ij=b ij，则称矩阵A与B相等，记为A=B2．矩阵的加、减法设A=(a ij)m*n, B=(b ij)m*n，是两个同型矩阵，则A+B=(a ij+b ij)m*n , A-B=(a ij-b ij)m*n注意：矩阵的相加(减)体现为对应元素的相加(减),只有A与B为同型矩阵，它们才可以相加(减).①A+B=B+A ②(A+B)+C=A+(B+C) ③A-B=A+(-B)3．数乘运算设A=(a ij)m*n，k为任一个数，则规定kA=(ka ij)m*n, 数k与矩阵A的乘积就是A中所有元素都乘以k①(kj)A=k(j A) ②(k+j)A=k A+j A ③k(A+B)=k A+k B4．乘法运算设A=(a ij)m*k，B=(b ij)k*n，则规定AB=(c ij)m*n，其中c ij=a i1b1j+a i2b2j+…+a ik b kj (i=1,2,…,m, j=1,2,…,n)只有当左矩阵A的列数与右矩阵B的行数相等时，AB才有意义，且AB的行数为A的行数，AB的列数为B的列数，AB中的元素是由左矩阵A中某一行元素与右矩阵B中某一列元素对应相乘再相加而得到.矩阵乘法与普通数乘法不同：不满足交换律,即①AB≠BA②当AB=0,不能推出A=0或B=0,不满足消去律.①(AB)C=A(BC) ②A(B+C)=AB+AC ③(B+C)A=BA+CA ④k(AB)=(k A)B=A(k B)⑤AE=EA=A5．方阵的乘幂与多项式方阵A为n阶方阵，则A m=AAA…A(m个).①A k A j=A k+j ②(A k)j=A kj ③特别地A0=E④若f(x)=a m x m+a m-1x m-1+…+a1x+a0，则规定f(A)=a m A m+a m-1A m-1+…+a1A+a0E，称f(A)为A的方阵多项式。
自考线性代数(经管类考点)知识点
线性代数（经管类）考点逐个击破第一章 行列式（一）行列式的定义行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数.1．二阶行列式由4个数)2,1,(=j i a ij 得到下列式子：11122122a a a a 称为一个二阶行列式，其运算规则为2112221122211211a a a a a a a a -=2．三阶行列式由9个数)3,2,1,(=j i a ij 得到下列式子：333231232221131211a a a a a a a a a称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.3．余子式及代数余子式设有三阶行列式 3332312322211312113a a a a a a a a a D =对任何一个元素ij a ，我们划去它所在的第i 行及第j 列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素ij a 的余子式，记成ij M例如 3332232211a a a a M =，3332131221a a a a M =，2322131231a a a a M =再记 ij ji ij M A +-=)1( ，称ij A 为元素ij a 的代数余子式.例如 1111M A =，2121M A -=，3131M A = 那么 ，三阶行列式3D 定义为我们把它称为3D 按第一列的展开式，经常简写成∑∑=+=-==3111131113)1(i i i i i i i M a A a D4．n 阶行列式一阶行列式 11111a a D ==n 阶行列式 1121211111212222111211n n nnn n n nn A a A a A a a a a a a a a a a D +++==其中(,1,2,,)ij A i j n =为元素ij a 的代数余子式.5．特殊行列式上三角行列式111212*********n n nn nn a a a a a a a a a =下三角行列式1122112212000nn n n nn a a a a a a a a a =21对角行列式1122112200000nn nna a a a a a =（二）行列式的性质性质1 行列式和它的转置行列式相等，即TD D =性质2 用数k 乘行列式D 中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD ，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数.性质3 互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号.推论1 如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零.推论2 如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零.3131212111113332312322211312113A a A a A a a a a a a a a a a D ++==性质4 行列式可以按行（列）拆开.性质5 把行列式D 的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D. 定理1（行列式展开定理）n 阶行列式nij a D =等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即),,2,1(2211n i A a A a A a D in in i i i i =+++= 或),,2,1(2211n j A a A a A a D nj nj j j j j =+++=前一式称为D 按第i 行的展开式，后一式称为D 按第j 列的展开式.本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值. 定理 2 n 阶行列式nij a D =的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即)(02211k i A a A a A a kn in k i k i ≠=+++ 或)(02211s j A a A a A a ns nj s j s j ≠=+++（三）行列式的计算行列式的计算主要采用以下两种基本方法：（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（－1），在按行或按列提取公因子k 时，必须在新的行列式前面乘上k.（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：例1 计算行列式 52072325121314124-=D解：观察到第二列第四行的元素为0，而且第二列第一行的元素是112=a ，利用这个元素可以把这一列其它两个非零元素化为0，然后按第二列展开.。
线性代数自考(经管类)
3．对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开.
4．行列式中各行元素之和为一个常数的类型.
5.范德蒙行列式的计算公式
例6求4阶行列式的值.
测试点 行列式的计算
解
测试点 个维向量线性无关相应的行列式;
解
所以 且.
答案 且.
2. 关于线性相关的几个定理
1) 如果向量组线性无关,而线性相关,则可由线性表示,且表示法唯一.
矩阵的加、减、乘有意义的充分必要条件
例1设矩阵,， ，则下列矩阵运算中有意义的是（ ）
A． B．
C． D．
测试点: 矩阵相乘有意义的充分必要条件
答案: B
例2设矩阵， ，则 =_____________.
测试点: 矩阵运算的定义
解 .
例3设矩阵， ，则____________.
3．转置 对称阵和反对称阵
1）转置的性质
2）若，则称为对称（反对称）阵
例4矩阵为同阶方阵，则=（ ）
A． B．
C． D．
答案: B
例5设令,试求.
测试点 矩阵乘法的一个常用技巧
解 因为,所以
答案
例6为任意阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ ）
1．向量组的线性相关性的定义和充分必要条件：
1）定义: 设是一组维向量.如果存在个不全为零的数，使得
,
则称向量组线性相关，否则，即如果，必有
，则称向量组线性无关.
2) 个维向量线性相关的充分必要条件是至少存在某个是其余向量的线性组合.即线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.
《线性代数(经管类)》讲义
2 0
7025
7025
725
5 31 2
2列 + 5×1列 1
0
0 按第二行展开 31
2 = 81
37 5
7 37 5
10/53
abbb babb 例 2 计算行列式 D4 = b b a b bbba
解：方法 1 这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为文字可能取 0
解：观察到第二列第四行的元素为 0，而且第二列第一行的元素是 a12 = 1 ，利用这个元素可以把这一
列其它两个非零元素化为 0，然后按第二列展开.
2141
2141
3 −1 2 1 2行 +1×1行 5 D4 = 5 2 3 2 3行 + (−2) ×1行 1
062 0 −5 0
56 按第二列展开 − 1 − 5
n
之和等于零.即 ai1 Ak1 + ai2 Ak 2 + L + ain Akn = 0(i ≠ k )
或 a1 j A1s + a2 j A2s + L + anj Ans = 0( j ≠ s)
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（三）行列式的计算
行列式的计算主要采用以下两种基本方法： （1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要注意的是，
那么 ，三阶行列式 D3 定义为
a11 a12 a13 D3 = a21 a22 a23 = a11 A11 + a21 A21 + a31 A31
a31 a32 a33
3
3
∑ ∑ 我们把它称为 D3 按第一列的展开式，经常简写成 D3 = ai1 Ai1 = (−1)i+1 ai1Mi1
自考线性代数(04184)经管类复习提纲内含经典例题分类讲解
线性代数复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分：基本知识一、行列式1．行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。
特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：Ⅰ行列式某行（列）元素全为0；Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例；Ⅳ奇数阶的反对称行列式。
二．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；④|kA|=k^n|A|3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。
04184-线性代数(经管类)
04184-线性代数(经管类)()0A r A n A Ax A A οο⎧⎪<⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪⎪⎩不可逆 有非零解是的特征值的列（行）向量线性相关 12()0,,T s i nA r A n Ax A A A A A A A p p p p Ax οββ⎧⎪=⎪⎪=⎪⎪⎪≠⇔⎨⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪⎪∀∈=⎩可逆 只有零解 的特征值全不为零 的列（行）向量线性无关 是正定矩阵 与同阶单位阵等价 是初等阵总有唯一解⎫⎪−−−→⎬⎪⎭具有向量组等价相似矩阵反身性、对称性、传递性矩阵合同 √ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅：①称为n的标准基，n中的自然基，单位坐标向量；②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关； ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=；④tr()=E n ；⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示. √ 行列式的计算：① 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则(1)mn A A A A BBBBAA B B οοοοο*===**=-②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.③关于副对角线：(1)211212112111(1)n n nnn n n n n n n a a a a a a a a a οοο---*==-√ 逆矩阵的求法:①1A A A*-=②1()()AE E A -−−−−→初等行变换③11a b d b c d c a ad bc --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ TT T TT A B A C C D BD ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦④12111121n a a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦21111211na a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⑤11111221n n A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11121211n n A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦√ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()m n mn A A =√ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++，对n 阶矩阵A 规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++为A 的一个多项式.√ 设,,m n n s A B ⨯⨯A的列向量为12,,,nααα⋅⋅⋅,B的列向量为12,,,sβββ⋅⋅⋅，AB的列向量为12,,,sr r r ,1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,),(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==⋅⋅⋅=⎫⎪==++⎪⎬⎪⎪⎭则：即 用中简若则 单的一个提即：的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量；高运算速度的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,与分块对角阵相乘类似,即：11112222,kk kk A B A B A B A B οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余1n -个向量线性表示. ①m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<；m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=.②()0r A A ο=⇔=.③ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法惟一. ④ 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.⑤ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 向量组等价 12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作：{}{}1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅矩阵等价 A 经过有限次初等变换化为B . 记作：A B =⑥ 矩阵A 与B 等价⇔()(),r A r B A B =≠>作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.⑦ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅.⑧ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且sn >，则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关.向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n . ⑨ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价；⑩ 任一向量组和它的极大无关组等价.⑪ 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. ⑫ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ⑬ 若A 是m n ⨯矩阵,则{}()min ,r A m n ≤,若()r A m =，A 的行向量线性无关；若()r A n =，A 的列向量线性无关,即：12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关.线性方程组的矩阵式Ax β= 向量式 1122n n x x x αααβ+++=1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 12,1,2,,j j jmj j n αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦121212,,,,,,()(),,,n n n Ax Ax n Ax Ax Ax r A r A n βοαααβοβαααββααα⇒⇔==<<≠⇒⇒⇔==⇔=⇔=<≠=⇒有无穷多解有非零解线性相关 有唯一组解只有零解可由线性表示有解线性无关 12()(),,,()()()1()A n r A r A Ax r A r A r A r A ββαααβββ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪−−−−−→⎪⎩⇔≠⎧⎪⇔=⇔<⎨⎪⇔+=⎩当为方阵时克莱姆法则 不可由线性表示无解线性方程组解的性质：1212121211221212(1),0,(2)0,,(3),,,0,,,,,(4),0,(5),,0(6)k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηηηηηηηηλλλληληληγβηγηβηηβηη=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-= 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解211212112212112212,0(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪++=⇔++=⎪⎪++=⇔++=⎩ 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解√ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =,则()()r A r A β=,从而Ax β=一定有解.当m n <时,一定不是唯一解.⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A β和的上限.√ 矩阵的秩的性质： ① ()()()T T r A r A r A A ==② ()r A B ±≤()()r A r B + ③ ()r AB ≤{}min(),()r A r B④ ()0()00r A k r kA k ≠⎧=⎨=⎩ 若 若⑤ ()()A r r A r B B οο⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⑥0,()A r A ≠若则≥1 ⑦ ,,()0,()()m n n s A B r AB r A r B ⨯⨯=+若且则≤n⑧ ,()()()P Q r PA r AQ r A ==若可逆,则 ⑨ ,()()A r AB r B =若可逆则,()()B r AB r A =若可逆则⑩ (),()(),r A n r AB r B ==若则且A 在矩阵乘法中有左消去律:0AB B AB AC B Cο=⇒==⇒=标准正交基 n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.αβ与正交 (,)0αβ=. α是单位向量(,)1ααα==.√ 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且② 对称性：(,)(,)αββα=③ 双线性：1212(,)(,)(,)αββαβαβ+=+ 1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+(,)(,)(,)c c c αβαβαβ==施密特 123,,ααα线性无关,112122111313233121122(,)()(,)(,)()()βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化单位化：111βηβ=222βηβ=333βηβ=正交矩阵 T AA E =.√A 是正交矩阵的充要条件：A 的n 个行（列）向量构成n的一组标准正交基.√ 正交矩阵的性质：①1T A A -=； ② T T AA A A E ==；③A 是正交阵,则T A （或1A -）也是正交阵；④ 两个正交阵之积仍是正交阵； ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.A 的特征矩阵 E A λ-.A 的特征多项式 ()E A f λλ-=.A 的特征方程 0E A λ-=. Ax x Ax x λ=→ 与线性相关√ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素. √ 若0A =,则0λ=为A 的特征值,且0Ax =的基础解系即为属于0λ=的线性无关的特征向量.√12n A λλλ= 1ni A λ=∑tr√ 若()1r A =,则A 一定可分解为A =[]1212,,,n n a a b b b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦、21122()n n A a b a b a b A =+++,从而A 的特征值为：11122n n A a b a b a b λ==+++tr , 230n λλλ====.√ 若A 的全部特征值12,,,n λλλ，()f x 是多项式,则:①()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ；② 当A 可逆时,1A -的全部特征值为12111,,,n λλλ,A *的全部特征值为12,,,nA AAλ.√ 1122,.m m Ak kAa b aA bEAA A A A λλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是的特征值则:分别有特征值 √ 1122,m m A k kAa b aA bEAx A x A A Aλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是关于的特征向量则也是关于的特征向量. A 与B 相似 1B P AP -= （P 为可逆阵） 记为：A B√A 相似于对角阵的充要条件：A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值.√A 可对角化的充要条件：()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数.√ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值,则A 与对角阵相似.A 与B 正交相似 1B P AP -= （P 为正交矩阵）√ 相似矩阵的性质：①11A B -- 若,A B 均可逆② T T A B③kk A B （k 为整数）④E A E Bλλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:x 是A 关于0λ的特征向量,1P x -是B 关于0λ的特征向量.⑤A B= 从而,A B 同时可逆或不可逆⑥ ()()r A r B = ⑦ ()()A B =tr tr√ 数量矩阵只与自己相似. √ 对称矩阵的性质：① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 与对角矩阵合同；③ 不同特征值的特征向量必定正交；④ k 重特征值必定有k 个线性无关的特征向量；⑤ 必可用正交矩阵相似对角化（一定有n 个线性无关的特征向量,A 可能有重的特征值,重数=()n r E A λ--）.A 可以相似对角化 A 与对角阵Λ相似. 记为：A Λ （称Λ是A 的相似标准型）√ 若A 为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）()r A =.√ 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：[]121212112212(,,,)(,,,)(,,,),,,n n n n n n PA A A A λλααααααλαλαλααααλΛ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦. √ 若A B , CD ,则：A B C D οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. √ 若A B ,则()()f A f B ,()()f A f B =.二次型12(,,,)T n f x x x X AX=A 为对称矩阵 12(,,,)T n X x x x =A 与B 合同 T BC AC =. 记作：A B （,,A B C 为对称阵为可逆阵）√ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数.√ 两个矩阵合同的充分条件是：A B√ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B =√12(,,,)Tn f x x x X AX=经过正交变换合同变换可逆线性变换X CY =化为2121(,,,)nn i i f x x x d y =∑标准型.√ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由()r A +正惯性指数负惯性指数惟一确定的.√ 当标准型中的系数i d 为1，-1或0时,则为规范形 .√ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.√ 任一实对称矩阵A 与惟一对角阵11110⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦合同. √ 用正交变换法化二次型为标准形:① 求出A 的特征值、特征向量；② 对n 个特征向量单位化、正交化； ③ 构造C （正交矩阵）,1CAC -=Λ；④ 作变换X CY =,新的二次型为2121(,,,)nn i i f x x x d y =∑,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.正定二次型 12,,,n x x x 不全为零，12(,,,)0n f x x x >.正定矩阵 正定二次型对应的矩阵. √ 合同变换不改变二次型的正定性. √ 成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：① 正惯性指数为n ；② A 的特征值全大于0；③ A 的所有顺序主子式全大于0；④A 合同于E ，即存在可逆矩阵Q 使T Q AQ E =；⑤ 存在可逆矩阵P ，使T A P P = （从而0A >）； ⑥存在正交矩阵，使121T n C AC C AC λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦（i λ大于0）.√ 成为正定矩阵的必要条件：0iia > ； 0A >.。
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线性代数经管类知识点
线性代数在经管类学科中具有重要的地位，其涉及的知识点对于分析、建模和解决管理问题具有重要的作用。
本文将介绍一些线性代数
在经管类学科中常用的知识点，并探讨其应用。
应用于经管类学科的线性代数知识主要包括矩阵运算、线性方程组
的求解以及向量空间的理解。
我们将逐一进行阐述。
1. 矩阵运算：矩阵是一个重要的线性代数工具，在经管类学科中广
泛应用于数据的存储和计算。
矩阵的加法、减法和乘法运算能够对数
据进行处理和分析。
例如，在经济学中，我们可以通过矩阵乘法来计
算不同经济指标的加权平均值，从而对经济状况进行评估。
此外，矩
阵的转置运算也可以用于解决一些经济和管理问题，例如对投资组合
的评估与优化。
2. 线性方程组的求解：线性方程组是经管类学科中常见的数学模型。
通过线性代数的方法，我们可以求解线性方程组，从而得到方程组的
解析解或数值解。
这对于经济学中的均衡分析和管理学中的约束优化
问题具有重要的作用。
同时，我们还可以通过求解线性方程组来进行
数据拟合和趋势预测，帮助企业做出决策。
3. 向量空间的理解：向量空间是线性代数中的一个重要概念，它描
述了向量的线性组合和向量之间的相对位置关系。
在经管类学科中，
我们经常遇到多个变量之间的关系，例如市场需求与供给的关系、公
司利润与销售额的关系等。
通过将变量转化为向量，我们可以使用向
量空间的理论和方法来分析这些关系。
例如，我们可以通过求解向量
的线性相关性来检验变量之间的相关性，从而评估市场需求的变化对供给的影响，或者评估公司销售额的变化对利润的影响。
除了以上提到的知识点，线性代数在经管类学科中还有其他重要的应用。
例如，特征值和特征向量的分析可以用于研究矩阵的稳定性和动态系统的行为。
奇异值分解可以用于降维和数据压缩，从而提取关键信息。
矩阵的逆可以用于求解逆问题，例如在金融学中用于对冲或风险管理。
总之，线性代数在经管类学科中扮演着不可或缺的角色。
通过掌握矩阵运算、线性方程组求解和向量空间的理解，我们能够更好地理解和分析经济和管理问题。
这些线性代数的知识点为我们提供了解决实际问题的数学工具和思维方式，帮助我们做出明智的决策和提出有效的解决方案。