MIT线性代数公开课学习笔记
线性代数03.矩阵的乘法和逆
线性代数03.矩阵的乘法和逆本篇为MIT 公开课——线性代数 笔记。
矩阵乘法的运算规则1.⾏乘列乘法⼀般性法则：⾏乘列得到⼀个数。
假设有两个矩阵 A 、B ，并且我们让 A ∗B =C , 可以求得矩阵 C 中 i ⾏ j 列元素：C ij =(row_i at A )(column_j at B )即矩阵 A 中 i ⾏点乘以矩阵 B 中的 j 列，就是矩阵 C 中 i ⾏ j 列的元素。
注意是 “⾏*列”。
例如A =◻◻◻◻◻◻◻◻a 31a 32a 33⋯◻◻◻◻◻◻◻◻B =◻◻◻b 14◻◻◻◻b 24◻◻◻◻b 34◻◻◻◻⋯◻则 矩阵 C 中 第3⾏4列元素为：C 34=a 31b 14+a 32b 24+a 33b 34+⋯+a 3n b n4=n∑k =1a 3k b k4前提条件是矩阵 A 的总列数 必须和矩阵 B 中的总⾏数相等。
假设矩阵 A 是 m ∗n 矩阵，矩阵 B 是 n ∗p 矩阵， 那么 矩阵 C =A ∗B ， 矩阵 C 是 m ∗p 矩阵。
其实很好理解，原来 矩阵A 的⼀⾏与矩阵 B 的⼀列的点乘，可以得到矩阵C 中的⼀个元素，那么 m ⾏乘以 p 列就可以得到 m ∗p 个元素，所以矩阵 C 是 m ∗p 矩阵。
2.矩阵列的线性组合举例：◻◻⋯◻◻⋯⋯⋯⋯◻◻⋯◻◻⋯⋯⋯⋯=◻◻⋯◻◻⋯⋯⋯⋯A ∗B =C矩阵 A 的所有列乘以 B 的列1得到矩阵 C 的列1，矩阵 A 乘以 B 的列2得到矩阵 C 的列2....将矩阵乘法考虑为矩阵乘以向量，矩阵 B 可以看成 p 个单独的列向量，只是这⾥排在⼀起。
⽤矩阵 A 乘以每个列向量，相应得到 矩阵 C 的各列。
矩阵 C 中的各列，是矩阵 A 中各列的线性组合，矩阵 B 表⽰是怎么样的线性组合。
()()()()()Processing math: 100%3.矩阵⾏的线性组合◻◻⋯◻◻⋯⋯⋯⋯◻◻⋯◻◻⋯⋯⋯⋯=◻◻⋯◻◻⋯⋯⋯⋯A ∗B =C同样的例⼦，我们从矩阵⾏的⾓度看，可以看成矩阵 A 的每⼀⾏乘以矩阵 B 所有⾏,可以得到相应矩阵C 的每⼀⾏。
麻省理工上课讲义 线性代数[第1集]An overview of key ideas
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Vectors
What do you do with vectors? Take combinations. We can multiply vectors by scalars, add, and subtract. Given vectors u, v and w we can form the linear combination x1 u + x2 v + x3 w = b. An example in R3 would be: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 0 0 u = ⎣ −1 ⎦ , v = ⎣ 1 ⎦ , w = ⎣ 0 ⎦ . −1 1 0 The collection of all multiples of u forms a line through the origin. The collec tion of all multiples of v forms another line. The collection of all combinations of u and v forms a plane. Taking all combinations of some vectors creates a subspace. We could continue like this, or we can use a matrix to add in all multiples of w.
Subspaces
Geometrically, the columns of C lie in the same plane (they are dependent; the columns of A are independent). There are many vectors in R3 which do not lie in that plane. Those vectors cannot be written as a linear combination of the columns of C and so correspond to values of b for which C x = b has no solu tion x. The linear combinations of the columns of C form a two dimensional subspace of R3 . This plane of combinations of u, v and w can be described as “all vectors C x”. But we know that the vectors b for which C x = b satisfy the condition b1 + b2 + b3 = 0. So the plane of all combinations of u and v consists of all vectors whose components sum to 0. If we take all combinations of: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 0 0 u = ⎣ −1 ⎦ , v = ⎣ 1 ⎦ , and w = ⎣ 0 ⎦ 0 −1 1 we get the entire space R3 ; the equation Ax = b has a solution for every b in R3 . We say that u, v and w form a basis for R3 . A basis for Rn is a collection of n independent vectors in Rn . Equivalently, a basis is a collection of n vectors whose combinations cover the whole space. Or, a collection of vectors forms a basis whenever a matrix which has those vectors as its columns is invertible. A vector space is a collection of vectors that is closed under linear combina tions. A subspace is a vector space inside another vector space; a plane through the origin in R3 is an example of a subspace. A subspace could be equal to the space it’s contained in; the smallest subspace contains only the zero vector. The subspaces of R3 are: 3
人工智能+Python：MIT线性代数课程笔记
知识概要本节始，们来学习线性代数的有关知识，首节们从解方程谈起，学习线性代数的应用之一就求解复杂方程问题，本节核心之一即为从行图像与列图像的角度解方程。
方程组的几何解释基础：2.1二维的行图像们首先通过一个例子来从行图像角度求解方程：们首先按行将方程写为矩阵形式：系数矩阵(A)：将方程系数按行提取出来，构成一个矩阵。
未知向量(x)：将方程未知数提取出来，按列构成一个向量。
向量(b)：将等号右侧结果按列提取，构成一个向量。
接下来们通过行图像来求解这个方程：所谓行图像，就在系数矩阵上，一次取一行构成方程，在坐标系上作图。
和们在初等数学中学习的作图求解方程的过程无异。
2.2二维的列图像接下来们使用列图像求解此方程：即寻找合适的x，y使得x倍的(2,-1)+y倍的(-1,2)得到最终的向量(0,3)。
很明显能看出来，1倍(2,-1)+2倍(-1,2)即满足条件。
反映在图像上，明显结果正确。
3方程组的几何解释推广3.1高维行图像如果绘制行图像，很明显这一个三个平面相交得到一，们想直接看出这个的性质可谓难上加难。
比较靠谱的思路先联立其中两个平面，使其相交于一条直线，在研究这条直线与平面相交于哪个，最后得到坐标即为方程的解。
这个求解过程对于三维来说或许还算合理，那四维呢?五维甚至更高维数呢?直观上很难直接绘制更高维数的图像，这种行图像受到的限制也越来越多。
3.2高维列图像左侧线性组合，右侧合适的线性组合组成的结果，这样一来思路就清晰多了，“寻找线性组合”成为了解题关键。
很明显这道题一个特例，们只需要取x=0，y=0，z=1。
就得到了结果，这在行图像之中并不明显。
当然，之所以们更。
《线性代数》学习笔记三
主 题： 《线性代数》学习笔记 内 容：《线性代数》学习笔记三——矩阵的概念、运算、分块矩阵1． 矩阵概念定义：由mxn 个数a ij (i-1.2,……，m;j=1.2,……,n)排成m 行n 列的数表 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211称为一个mxn 矩阵，a ij 称为第i 行第j 列上的元素，可简记作A=(a ij )mxn 或Amxn ，当m=n 时也称Amxn 为n 阶方阵，可记为An 。
当m=1时，Amxn=(a 11,a 12,……a 1n )称为行矩阵，当n=1时，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12111m mxna a a A 称为列矩阵，有元素皆为0的矩阵称为零矩阵，记作0。
对于n 阶方阵An ，称a n ，a 22 ，…，nn a 为A 的全对角线上元素称∑=ni ii a 1为分阵A 的迹，记作tr A ，即tr A =1nii i a 。
当n 阶方阵A 的主对角线以下（上）的所有元素皆为零称A 为上（下）三角形矩阵，除主对角线上元素外其元素皆为零的方阵为对角形矩阵，主对角线上有元素皆为1的对角形矩阵称为单位方阵，记作F 即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001F 2.矩阵运算1加法A=（ij a ）mxn ，B=（ig b ）mxn 则A+B=（a ij +b ij ）mxn即只有两个矩阵都是mxn 矩阵，也称为同型矩阵，才能做加法运算。
称（－a ij ）mxn 为A 的负矩阵，记作－A ，即－A=（－a ij ）mxn 。
由此可定义A －B=A+（－B ）=（a ij －bij ）mxn 。
证与数的加、减运算类似，矩阵的加法运算满足 （1）A+B=B+A （交换律）（2）（A+B ）+C=A+（B+C ）（结合律） （3）A+O=O+A=A ，（4）A+（－A ）=（－A ）+A=O 2．数乘：设K 是一个数， mxnijmxnA a 则R 与矩阵A 相乘定义为111212122212n n ijmxnm m mnka ka ka ka ka ka kAka ka kaka也就是ka 是指用k 去乘A 的每一个元素，另证，其满足以下规律： （1）K （A+B ）=KA+KB ，（K+L ）A=KA+LA ，（分配律） （2）（KL ）A=K （LA ）=L （KA ），（结合律）， （3）若KA=0，则K=0或A=0。
(完整版)线性代数笔记
等行变换，则得到的是 。
对于第二类的可先转化为第一类的 ，即由
两边转置得
按上例的方法求出 进而求出 X
二.初等变换的性质
定理 2.5.1 设线性方程组的增广矩阵 经有限次的初等行变换化为 ，则以 与
为增广矩阵的方程组同解。 定理 2.5.2 任何矩阵都可以经有限次初等行变换化成行最简形式，经有限次初等变换 （包括行及列）化成等价标准形。且其标准形由原矩阵惟一确定，而与所做的初等变换无
3、矩阵的乘法 设 A=（aij）m×n，B=（bjk）n×l，则 A*B=C=（cik）m×l 其中 C=Σaijbjk（j=1，n） 注意；两个矩阵相乘必须第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数；矩阵乘法不满足交换 律，即 AB 不一定等于 BA；矩阵乘法有零因子，即 A≠0（零矩阵），B≠0（零矩阵），但 有可能 A*B=0（零矩阵） 矩阵的乘法适合以下法则： （1）结合律：（AB）C=A（BC） （2）分配律（A+B）C=AC+BC
hing at a time and All things in their being are good for somethin
此处 0 表示与 A 同型的零矩阵，即 A=（aij）m×n ，0=0m×n （4）矩阵 A=（aij）m×n，规定-A=（-aij）m×n，（称之为 A 的负矩阵），则有 A+（-A）=（A）+A=0
如果 n 个未知数，n 个方程的线性方程组的系数行列式 D≠0,则方程组
定理 1.4.3 如果 n 个未知数 n 个方程的齐次方程组的系数行列式 D≠0，则该方程组只有零 解，没有非零解。 推论 如果齐次方程组有非零解，则必有系数行列式 D=0。
第二章 矩阵
一、矩阵的运算
MIT公开课-线性代数笔记
目录方程组的几何解释 (2)矩阵消元 (3)乘法和逆矩阵 (4)A的LU分解 (6)转置-置换-向量空间R (8)求解AX=0：主变量，特解 (9)求解AX=b：可解性和解的解构 (10)线性相关性、基、维数 (11)四个基本子空间 (12)矩阵空间、秩1矩阵和小世界图 (13)图和网络 (14)正交向量与子空间 (15)子空间投影 (18)投影矩阵与最小二乘 (20)正交矩阵和Gram-Schmidt正交化 (21)特征值与特征向量 (27)对角化和A的幂 (28)微分方程和exp(At)（待处理） (29)对称矩阵与正定性 (29)正定矩阵与最小值 (31)相似矩阵和若尔当型（未完成） (32)奇异值分解(SVD) (33)线性变换及对应矩阵 (34)基变换和图像压缩 (36)NOTATIONp：projection vectorP：projection matrixe：error vectorP：permutation matrixT：transport signC(A)：column spaceN(A)：null spaceU：upper triangularL：lower triangularE：elimination matrixQ：orthogonal matrix, which means the column vectors are orthogonalE：elementary/elimination matrix, which always appears in the elimination of matrix N：null space matrix, the “solution matrix” of AX=0R：reduced matrix, which always appears in the triangular matrix, “IF00”I：identity matrixS：eigenvector matrixΛ：eigenvalue matrixC：cofactor matrix关于LINER ALGEBA名垂青史的分析方法：由具象到抽象，由二维到高维。
MIT线性代数中文笔记
1.31
31. 线性变换及对应矩阵
1.32
32. 基变换和图像压缩
1.33
33. 复习三
1.34
34. 左右逆和伪逆
1.35
35. 期末复习
1.36
2
MIT 线性代数中文笔记
中文 Linear Algebra （线性代数） 笔记
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Contents （目录）
01. 方程组的几何解释 01.01 方程组的几何解释
02. 矩阵消元 02.01 矩阵消元
03. 乘法和逆矩阵 03.01 矩阵乘法和逆矩阵
04. A的LU分解 04.01 A的LU分解
05. 转置-置换-向量空间R
3
MIT 线性代数中文笔记
05.01 矩阵转置 05.02 置换 05.03 向量空间 R 06. 列空间和零空间 06.01 列空间 06.02 零空间 07. 求解Ax=0:主变量,特解 07.01 主变量 07.02 特解 08. 求解Ax=b:可解性和解的结构 08.01 可解性 08.02 解的结构 09. 线性相关性、基、维数 09.01 线性相关性 09.02 基 09.03 维数 10. 四个基本子空间 10.01 基本子空间 10.02 四个基本子空间 11. 矩阵空间、秩1矩阵和小世界图 11.01 矩阵空间 11.02 秩1矩阵 11.03 小世界图 12. 图和网络 12.01 图 12.02 网络 13. 复习一 13.01 复习一 14. 正交向量与子空间 14.01 正交向量 14.02 子空间 15. 子空间投影 15.01 子空间投影 16. 投影矩阵和最小二乘 16.01 投影矩阵 16.02 最小二乘 17. 正交矩阵和Gram-Schmidt正交化 17.01 正交矩阵 17.02 Gram-Schmidt正交化 18. 行列式及其性质
04184线性代数(经管类)课堂笔记-红字重点
04184线性代数(经管类)课堂笔记-红字重点第一章行列式1.1行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义（1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。
注意：在线性代数中，符号不是绝对值。
例如，且；（2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。
（主对角线减次对角线的乘积）例如（3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为例如=0三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。
我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。
例如：（1）=1某5某9+2某6某7+3某4某8-3某5某7-1某6某8-2某4某9=0（2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如解因为所以8-3a=0，时例2当某取何值时，解：.解得0所以当0它由n行、n列元素（共个元素）组成，称之为n阶行列式。
其中，每一个数称为行列式的一个元素，它的前一个下标i称为行标，它表示这个数在第i行上；后一个下标j称为列标，它表示这个数在第j列上。
所以在行列式的第i行和第j列的交叉位置上。
为叙述方便起见，我们用(i,j)表示这个位置。
n阶行列式通常也简记作。
也是一个数，至于它的值的计算方法需要引入下面两个概念。
（1）在n阶行列式中，划去它的第i行和第j列，余下的数按照原来相对顺序组成的一个(n-1)阶行列式叫元素的余子式，记作例如，在三阶行列式中，的余子式表示将三阶行列式划去第1行和第1列后，余下的数按照相对位置组成的二阶行列式，所以相似地，的余子式表示将三阶行列式划去第二行和第三列后，余下的数组成的二阶行列式。
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MIT线性代数公开课学习笔记在MIT公开课《线性代数》中，我学习到了许多有关线性代数的基本知识和应用。
线性代数是一门研究向量空间和线性映射的数学学科，不仅在数学领域有广泛的应用，还在计算机科学、物理学、经济学等
领域中有着重要的作用。
本文将着重讨论我在这门课程中学到的内容
和理解。
几何矢量和向量空间
线性代数的基础是对几何矢量和向量空间的研究。
在课程中，我了
解到几何矢量是具有大小和方向的物理量，可以通过箭头表示。
向量
空间是指由一组向量所张成的空间，具有加法和数乘运算，并且满足
一定的公理。
通过学习几何矢量和向量空间的性质，我可以更好地理
解线性代数的基本概念和操作。
矩阵和线性变换
矩阵是线性代数中的重要概念之一，它是一个由元素排列成矩形的
数表。
在课程中，我学习到了矩阵的代数运算和性质，并了解了矩阵
和线性方程组之间的关系。
线性变换是指将一个向量空间映射到另一
个向量空间的操作。
通过矩阵的乘法运算，我可以更方便地描述和计
算线性变换。
特征值和特征向量
特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，它们在矩阵和线性变
换的理解中起到了关键作用。
在课程中，我学习到了如何通过计算特
征值和特征向量来分析矩阵的性质和行为。
特征值表示线性变换在某
个方向上的缩放比例，而特征向量则表示在该方向上的不变性。
通过
对特征值和特征向量的计算和分析，我可以更好地理解线性代数的应用。
内积和正交性
内积是指将两个向量进行运算得到一个标量的操作，它在线性代数
中有着重要的应用。
在课程中，我学习到了内积的性质和计算方法，
并了解了内积和向量的夹角之间的关系。
正交性是指两个向量之间的
夹角为90度，它在很多实际问题中具有重要的性质。
通过学习内积和
正交性的概念，我可以更好地理解向量的投影和正交基的概念。
奇异值分解和最小二乘法
奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是线性代
数中一种重要的矩阵分解方法，它将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积。
在课程中，我学习到了SVD的定义和计算方法，并了解了它在数据压
缩和信号处理中的应用。
最小二乘法是一种用于解决过定线性方程组
的方法，它通过最小化误差的平方和来求解方程组的解。
通过学习最
小二乘法的原理和应用，我可以更好地处理线性方程组和拟合问题。
总结与展望
通过参加MIT公开课《线性代数》的学习，我增强了对线性代数基本概念和应用的理解。
我学会了如何处理向量和矩阵的运算，理解了
线性变换和特征分析的方法，掌握了SVD和最小二乘法等重要技巧。
这门课程不仅为我提供了数学知识，还培养了我的逻辑思维和问题解决能力。
在未来的学习和工作中，我将继续深入研究线性代数，并将其应用于更广泛的领域中，为科学研究和实际问题的解决提供有力支持。