第七讲功率谱密度
随机振动--第7章-功率谱密度
Cx
2 x
2 Rx x 2 x
2 2 Rx x x
0时， 1随机变量与它自身是完全相关的
2 2 2 Rx 0 x x x
时，两个随机变量之间将不再相关 前提：不是周期函数
8
自相关函数Rx(τ)描述“平均功率”随时差τ的变化 →“平均功率”的时间结构。 功率谱密度S x(f)：描述“平均功率”在频域（谱 域）的分布→频率结构。 二者在不同的域（时域或频域）反映着同一个统计 特性。在不同的场合，各有所长，相辅相成。
一、自功率谱密度函数 二、互功率谱密度函数
9
自相关函数的傅里叶变换
对于平稳过程：
1 * sxy lim E X Y T T T T
S ( f ) R ( )e i 2f d yx yx R yx ( ) S yx ( f )e i 2f df
31
定义：
S xy f Rxy e j 2 f d
S yx Ryx e j d
2
25
7.3 窄带随机过程与宽带随机过程
窄带过程是功率谱Sx(ω)具有尖峰特性 ,并且只 在该尖峰附近的一个窄频带内 Sx(ω) 才取有意 义的量级。
典型的例子是随机信号通过窄带滤波器后所得到的结 果。窄带过程最极端的情形是相位随机变化的正弦 波，他的谱线是对称分布的两个δ函数。
26
宽带过程是指功率谱Sx(ω)在相当宽的频带上取有意义的 量级。
22
例如。。。
例 2 ：如图的自功率 谱函数，求其自相关 函数。
功率谱密度转换为功率
功率谱密度转换为功率功率谱密度是指信号的功率在频域上的分布情况。
在信号分析中，功率谱密度是一个重要的概念，它能够帮助我们了解信号的频率和能量分布状况。
本文将简要介绍功率谱密度的定义、计算方法以及如何将功率谱密度转换为功率。
首先，我们来了解一下功率谱密度的定义。
功率谱密度（Power Spectral Density，PSD）是一个表示信号在频域上功率分布情况的函数。
它是信号的能量在单位频率内的分布情况，单位通常是每赫兹（Hz）或每雷诺（R）。
功率谱密度可以用来描述信号的频率特征，比如信号中包含的频率成分以及各个频率成分的能量大小。
计算功率谱密度有多种方法，其中常用的有非周期信号的傅里叶变换方法和周期信号的自相关函数法。
在非周期信号的傅里叶变换方法中，我们可以通过对信号进行傅里叶变换，然后计算得到的频谱的模的平方来得到功率谱密度。
在周期信号的自相关函数法中，我们可以通过计算信号的自相关函数，然后对自相关函数进行傅里叶变换，最终得到功率谱密度。
将功率谱密度转换为功率的过程相对简单。
根据功率谱密度的定义，我们可以得到信号的总功率等于功率谱密度在整个频率范围内的积分。
换句话说，功率等于功率谱密度的积分。
具体而言，将功率谱密度转换为功率的步骤如下：1.根据采样频率，将功率谱密度的单位从每赫兹（Hz）转换为每个采样点的功率。
2.对功率谱密度进行积分，即将每个频率分量的功率相加。
这个步骤可以通过数值积分方法，如梯形法则或辛普森法则来进行。
3.最后得到的结果即为信号的总功率，单位为瓦特（W）或分贝瓦特（dBW）。
需要注意的是，功率谱密度是一个连续函数，而功率是一个离散量。
因此，在进行功率谱密度的积分时，需要将频率范围离散化，并使用数值方法对功率谱密度进行近似积分。
此外，还有一种常用的方法将功率谱密度转换为功率，即利用Wiener-Khinchin定理。
Wiener-Khinchin定理表明功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换，因此可以通过对功率谱密度进行逆傅里叶变换来得到信号的自相关函数。
功率谱密度psd计算公式
功率谱密度psd计算公式功率谱密度（Power Spectral Density，简称 PSD）是在信号处理领域中一个非常重要的概念，它用于描述信号在不同频率上的功率分布情况。
那咱就来好好聊聊功率谱密度 PSD 的计算公式。
咱先从一个简单的例子说起哈。
就比如说，你在操场上跑步，你跑的速度不是一直不变的，有时候快，有时候慢。
那如果我们想知道你在不同“速度频率”下的能量消耗情况，这时候功率谱密度的概念就派上用场啦。
功率谱密度 PSD 的计算公式呢，通常可以通过傅里叶变换来推导。
对于一个连续的随机信号 x(t) ，它的自相关函数R(τ) 定义为R(τ) =E[x(t)x(t + τ)] ，其中 E 表示数学期望。
然后通过傅里叶变换，把自相关函数R(τ) 变换到频域，就得到了功率谱密度 S(f) 。
具体的公式就是S(f) = ∫_{-∞}^{+∞} R(τ) e^{-j2πfτ} dτ 。
这里面涉及到的傅里叶变换可能听起来有点复杂，但其实咱们可以把它想象成一个魔法工具，能把一个在时间域里看起来很复杂的信号，变到频率域里，让我们更清楚地看到不同频率成分的“力量”有多大。
再比如说，想象一下你听音乐的时候，那些高音低音，其实就相当于不同的频率成分。
功率谱密度就是告诉我们高音和低音分别有多大的“能量”。
在实际应用中，比如在通信系统里，我们需要知道信号在不同频率上的功率分布，来评估系统的性能。
如果功率谱密度在某些频率上太高，可能就会造成干扰；如果太低，可能信号就传不远。
还有在地震学中，通过分析地震波的功率谱密度，我们可以了解地震的能量在不同频率上的分布，从而更好地研究地震的特性和预测可能的危害。
对于工程师们来说，计算功率谱密度就像是在解谜。
他们得处理一堆复杂的数据，运用各种数学工具和算法，才能得到准确的结果。
总之，功率谱密度 PSD 的计算公式虽然有点复杂，但它在很多领域都有着极其重要的作用，帮助我们更好地理解和处理各种信号。
第七讲 功率谱密度分解
从本例的求解过程可得 RX ( ) ai cos( i )
i 1
的谱密度:
S X ( ) a i [ ( i ) ( i )]
n i 1
例2 已知平稳过程 { X t } 具有如下功率谱密度： 2 4 S X 4 10 2 9 求平稳过程相关函数及平均功率 。
四
1
平稳随机过程的功率谱密度
平均功率与功率谱密度的定义
X ( t )dt 为平稳过程的平均功率 2T T
T 2
定义8 1 lim E 称T
T 1 2 2 由此易得：lim E X ( t ) dt R ( 0 ) X X T 2T T 从而有平稳过程的平均功率等于过程的均方值，
2 S X ( ) , 0 G X ( ) , 0 0
相应地 S X ( ) 可称为“双边功率谱”它 们的图形关系如图所示。
G X ( )
S X ( )
0
性质4
有理谱密度是实际应用中最常
见的一类功率谱密度。其形式必为：
a2 n 2 a S X S0 2 m 2m2 b2 m 2 b 式中 S0 0 。上式要求有理函数的分 子、分母只出现偶次项的原因是因 S X ( ) 为偶函数，又由于要求平均功率有限，所
白噪声 在电路系统分析、自动控制和测量中经 常遇到一类随机干扰—“白噪声” ,因为在电 路系统中，由于分子的热运动，使电路各处 的电流或电压受到随机干扰，在系统分析中 也把随机干扰称为噪声，因为这种电压或电 流的变化反映为声波的变化时，就是人们不 爱听的嘶嘶嚓嚓的声音，从数学上看，这就
五
功率谱密度
功率谱密度功率谱密度是信号处理中的重要概念，它描述了信号的频率成分在功率上的分布。
在工程领域中，功率谱密度广泛应用于信号分析、通信系统设计以及噪声分析等方面。
本文将介绍功率谱密度的定义、性质、计算方法以及在实际应用中的重要性。
1. 定义功率谱密度（Power Spectral Density，PSD）是描述信号功率在频域上的分布情况的密度函数。
在时域中，信号的功率通常被定义为信号的能量在单位时间内的平均值，而功率谱密度则描述了信号功率在不同频率上的分布。
功率谱密度通常用单位频率范围内的功率值表示，是信号频谱特性的重要指标之一。
2. 性质功率谱密度具有以下几个重要性质：•非负性：功率谱密度始终大于等于零，表示信号中的功率都是非负的。
•互相关函数和功率谱密度之间的关系：两个信号的自相关函数的傅里叶变换是它们的功率谱密度的乘积。
•窄带信号：窄带信号的功率谱密度在窄频段内集中，而宽带信号的功率谱密度分布更广。
3. 计算方法计算功率谱密度可以通过信号的自相关函数或者信号的傅里叶变换来实现。
常用的计算方法包括：•周期图法：通过对信号进行周期图分析，可以得到信号的功率谱密度。
•傅里叶变换法：对信号进行傅里叶变换，然后计算幅度谱的平方即可得到功率谱密度。
•Welch方法：对信号进行分段处理，然后对各段信号的功率谱密度进行平均，可以获得更加准确的估计。
4. 应用功率谱密度在通信系统、雷达系统、生物医学工程等领域具有重要应用价值，例如：•在通信系统中，功率谱密度可以帮助分析信道的频率选择性，设计滤波器以及优化调制方案。
•在雷达系统中，功率谱密度可以帮助分析雷达回波信号的频率特性，识别目标特征。
•在生物医学工程中，功率谱密度可用于分析生物信号的频率特征，帮助诊断疾病。
5. 总结功率谱密度作为描述信号频率特性的重要参数，在信号处理和通信系统设计中扮演着重要角色。
了解功率谱密度的定义、性质、计算方法以及应用领域，有助于更深入地理解信号处理中的功率谱密度的重要性和作用。
功率谱密度(PSD)
功率谱密度类似于频谱（Spectrum），但在使用上一定要注意区分，否则容易闹笑话。
在了解PSD之前，首先回顾一下信号的分类。
信号分为能量信号和功率信号。
能量信号全名：能量有限信号。
顾名思义，它是指在负无穷到正无穷时间上总能量不为零且有限的信号。
典型例子：脉冲信号。
功率信号全名：功率有限信号。
它是指在在负无穷到正无穷时间上功率不为零且有限的信号。
典型例子：正弦波信号，噪声信号。
一个信号不可能既是能量信号又是功率信号。
能量信号在无穷大时间上功率为0，不满足功率信号功率不为0的定义；而功率信号在无穷大时间上能量为无穷大，不满足能量有限的定义。
一个信号可以既不是能量信号也不是功率信号，如下面这个信号，其功率无限能量也无限。
能量信号和功率信号的范围不包括所有的信号类型，这是因为工程上一般就是这两种，足以满足描述的需要了。
功率信号还可以细分为周期信号（如正弦波信号）和随机信号（如噪声信号）。
随机信号的定义：幅度未可预知但又服从一定统计特性的信号，又称不确定信号。
综上，上文提到的信号分类如下图所示：对能量信号和周期信号，其傅里叶变换收敛，因此可以用频谱（Spectrum）来描述；对于随机信号（实际的信号基本上是随机信号），傅里叶变换不收敛，因此不能用频谱来描述，而应当使用功率谱密度（PSD）。
能量信号和周期信号通常在教学仿真中用得比较多，而工程上的信号通常都是随机信号，即使原始信号是周期信号，由于数据采集过程中存在噪声，实际获得的信号仍然会是随机信号。
如果在工程应用上用“频谱”而不是“功率谱密度”来表述，会稍显不专业，但是我感觉好像很多工程人员会把这两者混淆起来……在实际应用中，一个信号我们不可能获得无穷长时间段内的点，对于数字信号，只能通过采样的方式获得N个离散的点。
上文提到，实际信号基本上是随机信号，由于不可能对所有点进行考察，我们也就不可能获得其精确的功率谱密度，而只能利用谱估计的方法来“估计”功率谱密度。
第七章 谱密度
lim
1 2T
T
T
x ( t ) dt
2
(4)
x (t ) e
T 2
i t
定义
F , T :
T
T
dt
(3) 式Parseval’等式变为
T
x ( t ) dt
1 2
1 2
F , T
2
d
2
T
lim
1 2T
T
T
x ( t ) dt
| | 2T
） R X ( ) e
i
d
2
S X ( ) lim lim
1 2T
2T
T
E
T
T
X (t )e
i t
dt
i
T
2T
（1
| | 2T
） R X ( ) e
d
R X ( ) e
i
d
例1. 求相关函数
E F X , T F Y , T
(0.1)
为它们的互谱密度，这里，
F X , T :
T
T
X (t ) e
i t
dt
(上节课的公式(12))
互谱密度的一些性质：
性质
S XY
R XY
R XY e
i
R e
a
,
a 0为常数
所对应的功率谱密度 S 解.根据维纳-辛钦公式，
S
功率谱密度定义
功率谱密度定义
功率谱密度定义
1.功率谱密度卡片RANDPS
①定义随机分析中使用的功率谱密度因子，频率相关形式为：
)
()()(F G iY X F S jk +=RANDPS 数据卡格式：
其中：SID 是RANDPS 数据卡的编号，J 和K 是激励载荷的子工况编号，且J≤K ；X 和Y 是复数的实部和虚部；TID 是功率谱密度表TABRND1数据卡的编号，确定G(F)。
注：RANDPS 由工况控制卡RANDOM=SID 选取；
自谱密度，J=K ，X 为大于0的整数，Y 为0；
TID=0，G(F)=0。
2.功率谱密度表输入卡片TABRND1
TABRND1数据卡格式：
其中：TID 是TABRND1数据卡的编号，XAXIS 和YAXIS 确定表的横坐标或纵坐标是线性刻度（LINEAR ）还是对数刻度（LOG ），默认为线性刻度；f i 是用单位时间内的转数表示的频率；g i 是功率谱密度的值；ENDT 是结束标示符。
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性质2 SX 是的实的、非负偶函数。
实际上
SX
lim
T
1 2T
E
FX
,T
2
其中
FX (,T )
T
X
T
t eit dt
性质3 平稳过程的平均功率可由谱密度的积分
表出：
平均功率
lim
T
E
1 2T
T T
X
2
(t
)dt
RX
(0)
2 X
1
2
SX
( )d
即：平稳过程的平均功率等于该过程的均方值，
常遇到一类随机干扰—“白噪声” ,因为在 电路系统中，由于分子的热运动，使电路各 处的电流或电压受到随机干扰，在系统分析 中也把随机干扰称为噪声，因为这种电压或 电流的变化反映为声波的变化时，就是人们 不爱听的嘶嘶嚓嚓的声音，从数学上看，这 就
是随机过程。当外界条件基本不变时，又可认 为这种噪声的主要统计特性不随时间的推移而 改变，所以它又是平稳过程;从功率角度看，这 种噪声对不同频率的输入都能进行干扰，所以 它的谱在各个频率分量上都广泛地存在。一种 常用的抽象是把这类噪声假定为在各个频率分 量都有同样的功率。类似白光的能谱在各种频 率上是均匀分布，我们把这类噪声称为“白噪 声”。所以白噪声是功率谱密度为常数的零均 值平稳过程。即：
X
ei d
为平稳过程 {X t } 的功率谱密度，简称自谱
密度或者谱密度。
谱密度 SX 是从频率这个角度描述 X t 的统计规律的主要数字特征,它是 X t 的平均
功率关于频率的分布.具体看下面的性质。
2 功率谱密度的性质
从前面的讨论我们可以看到，相关函数是从时 间角度描述过程统计规律的最主要数字特征，而功 率谱密度则是从频率角度描述过程统计规律的数字 特征，二者描述的对象是一个，所以它们必定存在
某种关系。下面通过对 SX 的性质的研究得到：
相关函数与功率谱密度构成一个傅氏变换对。
性质1 SX 和自相关函数 RX 是
一傅氏变换对。即
SX RX
RX
ei
d
称为维纳-辛钦公式。
1
S
X
ei d
特别，当X t为实平稳过程时，上述公式为：
SX
2
0
RX
cos
（3）
平均功率
2 X
RX (0) 2
由表12.1之7知：
（4）
SX ( )
RX
(
)e
i
d
2
cos
0
e i
d
2 [ ( 0 ) ( 0 )]
2[ ( 0 ) ( 0 )]
今天作业
p87：1，2 P89：1-9 ；
或等于它的谱密度在频域上的积分。
所以，{X (t)}在 1,2 内的平均功率为:
2 X
1
2
S 2 1
X
d
在工程中，由于只在正的频率范围内进行
测量，根据平稳过程的功率谱密度的偶函数
性质，可将负的频率范围内的值折算到正频
率范围内，得到所谓“单边功率谱”。
单边功率谱 GX ( ) 定义为：
GX
(
)
2S 0
四 平稳随机过程的功率谱密度
1 平均功率与功率谱密度的定义
定义8
称 lim T
E
1 2T
T
X
T
2
(
t
)dt
为平稳过程的平均功率
由此易得：lim T
E
1 2T
T
T
X
2
(
t
)dt
R X
(0)
2 X
从而有平稳过程的平均功率等于过程的均方值，
它实际上刻画的是随机过程的强度。
称 SX
R
定义 一个均值为零，功率谱密度在整个 频率轴上为正常数：
SX S0 0
的平稳过程 {X (t)}，称为白噪声过程，简 称白噪声。
其相关函数为： RX S0 ( )
例5 设 X (t) Acos0t Bsin0t ( t ) ,0 为常数，A、B为相互
独立的随机变量，且
X
(
,
)
,
0 0
相应地 SX ( ) 可称为“双边功率谱”
它们的图形关系如图所示。
S X ( )
0
G X ( )
性质4 有理谱密度是实际应用中最常 见的一类功率谱密度。其形式必为：
SX
S0
2n 2m
a2 n2 2n2 L
b 2m2 2m2
L
a b
式中 S0 0 。上式要求有理函数的分
A ~ N (0, 2 ) , B ~ N (0, 2 )
（1）证明{X (t)}是平稳过程；
（2）证明{X (t)}具有均值各态历经性； （3）求 {X (t)}的平均功率； （4）求 {X (t)}的谱密度。
解：(1) E[ X (t)] E( A)cos0t E(B)sin0t
0 为常数；
RX (t,t ) E{[Acos0t Bsin0t]
[Acos0(t ) Bsin0(t )]}
2 cos0 仅与 有关。
故{X (t)}是平稳过程。
（2）
lim 1 T T
2T
0
(1
2T
)
2
cos( 0
)d
2
lim T T
1
cos 2
2T
2 0
0T
0
所以此平稳过程具有均值各态历经性；
子、分母只出现偶次项的原因是因 SX ( )
为偶函数，又由于要求平均功率有限，所
以必须满足m n，且分母应该无实根。
若干相关函数及其对应的谱密度见书P255 表11.1(尤其是第一、五、七组）
例1 已知平稳过程的相关函数为：
RX
a2 2
cos 0
b2ea
(a 0, b 0)
求功率谱密度 SX
d
RX
1
0
S
X
cos
d
维纳-辛钦公式又称为平稳过程{X t } 的相关函
数的谱表示式或谱分解式.它表达了从时间角度
（即用相关函数 RX ( ) )和从频率角度（即用谱
密度 SX ）分别描述平稳过程的统计规律性
之间的联系。有很大的理论和实用价值。在具体
应用上我们可以根据实际情况选择时间域或等价 的频率域方法去解决问题。
n
从本例的求解过程可得 RX ( ) ai cos(i )
i 1
的谱密度:
n
S X ( ) ai [ ( i ) ( i )] i 1
例2 已知平稳过程 {X t}具有如下功率谱密度：
SX
4
2 4 10 2
9
求平稳过程相关函数及平均功率 。
五 白噪声 在电路系统分析、自动控制和测量中经