【课件-高等数学】_第1节 导数的概念
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导数的概念(第一课时)课件
x0 3 x0 1 x0 5 或 . 联立①,②解得: y0 1 y0 25 x0 3
故切点分别为(1,1)或(5,25). 当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2; 当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10; 所以所求的切线有两条,方程分别为:y-1=2(x-1)或y25=10(x-5),即y=2x-1或y=10x-25. 练习2:若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值. 解:设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点P(x0,y0),则有: y0=3x0+1①,y0=ax03②,3ax02=3.③ 由①,②得3x0+1=ax03,由③得ax02=1,代入上式可得: 3x0+1=x0,x0=-1/2. 所以a•(-1/2)3=1,a=4.
解:设所求切线的切点在A(x0,y0). 又因为函数y=x2的导数为 y 2 x, 所以过点A(x0,y0)的 切线的斜率为 y | x x 2 x | x x 2 x0 .
0 0
因为A是曲线y=x2上的一点,所以,y0=x02 ①.
由于所求切线过P(3,5)和A(x0,y0)两点,故其斜率又 应为 y0 5 , 2 x0 y0 5 ②.
例 求曲线f (x)=x2 +1在点P(1,2)处的切线的斜率．
切线方程为:
即
， 1) y 2 2( x y 2x
, )处 的 切 线 斜 率 为 ， 3 2 2 2 从而过 P点 且 与 切 线 垂 直 的 直 的 线斜率为 ； 3 1 2 所求的直线方程为 y ( x ), 2 3 3 故曲线在点 P(
三、例题选讲
2 3 即2 x 3 y 0. 3 2
故切点分别为(1,1)或(5,25). 当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2; 当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10; 所以所求的切线有两条,方程分别为:y-1=2(x-1)或y25=10(x-5),即y=2x-1或y=10x-25. 练习2:若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值. 解:设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点P(x0,y0),则有: y0=3x0+1①,y0=ax03②,3ax02=3.③ 由①,②得3x0+1=ax03,由③得ax02=1,代入上式可得: 3x0+1=x0,x0=-1/2. 所以a•(-1/2)3=1,a=4.
解:设所求切线的切点在A(x0,y0). 又因为函数y=x2的导数为 y 2 x, 所以过点A(x0,y0)的 切线的斜率为 y | x x 2 x | x x 2 x0 .
0 0
因为A是曲线y=x2上的一点,所以,y0=x02 ①.
由于所求切线过P(3,5)和A(x0,y0)两点,故其斜率又 应为 y0 5 , 2 x0 y0 5 ②.
例 求曲线f (x)=x2 +1在点P(1,2)处的切线的斜率．
切线方程为:
即
， 1) y 2 2( x y 2x
, )处 的 切 线 斜 率 为 ， 3 2 2 2 从而过 P点 且 与 切 线 垂 直 的 直 的 线斜率为 ； 3 1 2 所求的直线方程为 y ( x ), 2 3 3 故曲线在点 P(
三、例题选讲
2 3 即2 x 3 y 0. 3 2
高数导数的概念ppt课件
h0
h
h h 0
y y x
o
x
lim
f (0 h)
f (0)
lim
h 1.
h0
h
h h 0
即 f(0) f(0), 函数y f ( x)在x 0点不可导.
五、 导数的几何意义与物理意义 y y f (x)
曲线
若 若 若 若
在点
(当
时)
切线 MT 的斜率
o
y f (x)
N
CM
T
x0 x x
lim tan
割线 M N 的斜率 tan
f (x) f (x0 ) x x0
k lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
瞬时速度 切线斜率
f (t0 )
o y
t0
f (t)
f '( x0 ) 0 0.
函数 f ( x)在点 x0连续 .
定理2. 函数 在点 处右 (左) 导数存在 在点 必 右 (左) 连续.
由定理1和定理2,可得: 在闭区间 [a , b] 上可导
注意:可导的条件要比连续强,存在处处连续但是 处处不可导的函数.
★ 连续函数不存在导数举例
1. 函数 f ( x)连续 , 若 f( x0 ) f( x0 )则称点 x0 为函数 f ( x) 的角点 ,函数在角点不可导.
例如, x2,
f (x) x,
x 0, x0
y
y x2
y x
0
x
在 x 0处不可导, x 0为 f ( x)的角点. y
y x
设描述质点运动位置的函数为
《导数的概念》课件
导数的定义
导数的定义是函数在某一点处的极限值。可以通过求导数来确定函数在该点 的切线斜率。
函数图像与导数的关系
函数的导数可以告诉我们函数的增减性、凹凸性以及极值的位置。导数为0的 点可能是函数的极值点。
复合函数求导法则
复合函数的导数可以通过链式法则来求解。这个法则是求导数中的重要工具， 能够简化复杂函数的求导过程。
高阶导数
高阶导数是指导数的导数。通过求高阶导数可以获得函数的更多信息，如函数的凹凸性和曲率。
求导数的方法总结
求导数的方法有很多种，如基本求导法则、常用函数导数表以及各种求导公式。掌握这些方法可以更有效地求 解导数。
导数的几何意义
导数有的重要作用。
《导数的概念》PPT课件
从导数的概念到应用，全面讲解微积分中的导数知识，帮助学生深入理解并 轻松掌握这一重要概念。
导数的概念简介
导数是微积分中的重要概念之一，用来描述函数在某一点的变化率。通过导数可以分析函数的增减性、极值等 性质。
基本符号表示
导数可以使用不同的符号来表示，如f'(x)、dy/dx、y'等。这些符号是用来表示函数的变化率。
导数的概念ppt课件
v在t0的瞬时速度
f (t0 t) t
f (t0 )
当t 0时
以平均加速度代替瞬时加速度，然后通过
取极限，从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速
度的精确值。 其实函数在某一点处的瞬时变化 率---------导数。
导数的概念
一.导数的概念
函数 y f ( x)在区间（a, b)有定义， x0 （a, b)
如果自变量x在 x0处有增量x，那么函数 y相应地有
增量y f ( x0 x) f ( x0 );
比值 y 就叫做函数 x
y f ( x)在x0到x0 x之间的
,即
如果当x 0时，
y A x
我们就说函数y f ( x)在点 x0处
ห้องสมุดไป่ตู้
, 记 为y x x0
由定义求导数（三步法）
步骤:
例1.求y=x2+2在点x=1处的导数 解：
1.曲线在某一点切线的斜率y=f(x)
2023最新整理收集 do
something
y
Q
回顾
割 线
T 切线
o
P
x
kPQ
f (x x) x
f (x))
2.瞬时速度
设物体作直线运动所经过的路程为s=f(t)。 以t0为起始时刻，物体在t时间内的平均速度为
vv
ss tt
ff((tt00
tt)) tt
课堂练习
1：已知函数f(x)＝x2＋x－6． (1)在x＝－3处的导数是多少？ (2) 求f’(0)，f’(3)； (3)求f’(x).
2. 求下列函数的导函数． (1) f(x) ＝kx＋b； (2) f(x) ＝c；(3) f(x) ＝x2；
导数的概念-课件-导数的概念
导数在现代数学中的地位和作用
基本概念
导数是现代数学的基本概念之一，是研究函数性质和解决实际问题的 重要工具。
数学分析
导数是数学分析的重要分支，是研究函数的可微性、可导性和连续性 的基础。
应用领域
导数的应用领域非常广泛，不仅限于数学和物理领域，还涉及到工程 学、经济学和计算机科学等多个领域。
数学建模
导数的应用发展
物理学
工程学
导数在物理学的各个分支中都有广泛的应 用，如力学、电磁学、热学等。
在机械工程、航空航天工程、土木工程等 领域，导数被用于优化设计、控制工程和 流体力学等方面。
经济学
计算机科学
导数在经济学中被用于研究经济系统的变 化率和最优决策问题。
在计算机图形学、数值分析和机器学习等 领域，导数被用于计算图像处理、数据拟 合和模型训练等方面。
高阶导数在研究函数的极值、拐 点、曲线的形状等方面有重要应 用。
微分学基本定理
微分学基本定理的内容
微分学基本定理是导数与微分之间的关系，即函数在某点的导数 等于该函数在该点的切线的斜率。
微分学基本定理的推导
通过极限的概念和性质，利用切线斜率的定义推导出微分学基本定 理。
微分学基本定理的应用
微分学基本定理是微分学的基础，在研究函数的增减性、极值、曲 线的形状等方面有重要应用。
复合函数求导法则
若$y = f(u)$和$u = g(x)$都可导， 则复合函数$y = f[g(x)]$的导数为 $(y)' = u' cdot (u)' = u' cdot v'$。
隐函数的导数
由显函数表示的隐函数求 导
若由显函数$F(x, y) = 0$表示的隐函数为$y = f(x)$，则通过求偏导数$frac{partial F}{partial x}$和$frac{partial F}{partial y}$ ，可以得到隐函数$y = f(x)$的导数。
《导数定义》课件
2023
《导数定义》ppt课 件
REPORTING
2023
目录
• 导数定义 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的历史发展
2023
PART 01
导数定义
REPORTING
导数的定义
总结词
导数的定义是函数在某一点的变化率 ，是函数在这一点附近的小范围内取 值的平均变化率的极限。
详细描述
导数定义为函数在某一点的变化率， 即函数在该点的切线斜率。具体来说 ，对于可微函数，其导数是函数值随 自变量变化的速率。
隐函数的导数
总结词
隐函数的导数是导数计算中的另一个重要内容，掌握隐函数的导数计算方法有助于解决实际问题。
详细描述
隐函数的导数是通过对隐函数求偏导数来得到的，其核心思想是利用偏导数和全微分的概念，将隐函 数转化为显函数，然后利用显函数的导数计算方法进行计算。
2023
PAR学等。
导数的早期应用
物理学的应用
在研究速度、加速度、斜率等问 题中，导数发挥了关键作用。
经济学应用
在研究成本、收益、效用和供需 关系时，导数提供了重要的分析
工具。
工程学应用
在优化设计、控制理论和流体动 力学等领域，导数也有广泛应用
。
导数在现代数学中的地位
导数是微积分的重要组成部分， 是研究函数性质和变化率的关键
详细描述
导数具有一些重要的基本性质，如线性性质、常数性质、乘积法则、商的法则 和链式法则等。这些性质在研究函数的单调性、极值和曲线的形状等方面具有 广泛应用。
2023
PART 02
导数的计算
REPORTING
导数的四则运算
总结词
理解导数的四则运算法则是掌握导数计算的基础，包括加法、减法、乘法和除法 。
《导数定义》ppt课 件
REPORTING
2023
目录
• 导数定义 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的历史发展
2023
PART 01
导数定义
REPORTING
导数的定义
总结词
导数的定义是函数在某一点的变化率 ，是函数在这一点附近的小范围内取 值的平均变化率的极限。
详细描述
导数定义为函数在某一点的变化率， 即函数在该点的切线斜率。具体来说 ，对于可微函数，其导数是函数值随 自变量变化的速率。
隐函数的导数
总结词
隐函数的导数是导数计算中的另一个重要内容，掌握隐函数的导数计算方法有助于解决实际问题。
详细描述
隐函数的导数是通过对隐函数求偏导数来得到的，其核心思想是利用偏导数和全微分的概念，将隐函 数转化为显函数，然后利用显函数的导数计算方法进行计算。
2023
PAR学等。
导数的早期应用
物理学的应用
在研究速度、加速度、斜率等问 题中，导数发挥了关键作用。
经济学应用
在研究成本、收益、效用和供需 关系时，导数提供了重要的分析
工具。
工程学应用
在优化设计、控制理论和流体动 力学等领域，导数也有广泛应用
。
导数在现代数学中的地位
导数是微积分的重要组成部分， 是研究函数性质和变化率的关键
详细描述
导数具有一些重要的基本性质，如线性性质、常数性质、乘积法则、商的法则 和链式法则等。这些性质在研究函数的单调性、极值和曲线的形状等方面具有 广泛应用。
2023
PART 02
导数的计算
REPORTING
导数的四则运算
总结词
理解导数的四则运算法则是掌握导数计算的基础，包括加法、减法、乘法和除法 。
《高等数学导数》课件
答案
2. 求下列函数的极值：
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，极值点为 $x=1 pm sqrt{2}$，极大值为 $f(1+sqrt{2}) = 1 + 2sqrt{2}$，极小值为 $f(1-sqrt{2}) = 1 - 2sqrt{2}$。
$f'(x) = ln x + 1$，极值点为 $x=1$，极大值为 $f(1) = 0$。
《高等数学导数》ppt 课件
contents
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的扩展 • 习题与答案
CHAPTER 01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点附近取得的 最小变化率，即函数在这一点处的切 线斜率。导数的计算公式为lim(x→0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中h趋于0。
2. 求下列函数的极值：
01
03 02
习题
$f(x) = frac{1}{x}$
$f(x) = e^x$
答案
01
1. 求下列函数的导数：
02
$y' = 2x + 2$
03
$y' = -frac{1}{x^2}$
答案
• $y' = \sin x + x \cdot \cos x$
答案
• $y' = e^x$
总结词
导数的四则运算在解决实际问题中具 有广泛的应用，例如在经济学、物理
学和工程学等领域。
详细描述
导数的四则运算法则是基于极限理论 推导出来的，通过这些法则，可以方 便地求出复杂函数的导数。
导数的概念-课件-导数的概念(第一课时)
总结导数的理论知识和实 际应用，鼓励学生深入学 习和探索导数。
小结
1 本次课程的重点
总结本次课程的重点内容，帮助学生加深对导数概念的理解。
2 理解和应用
P强调学生对导数的理解和应用，鼓励他们练习导数的求法和应用方法。
导数的概念-课件-导数的 概念(第一课时)
导数的概念-课件-导数的概念(第一课时) 大纲
引言
1 重要性
深入讲解导数的重要性，为学生明确学习目标。
2 概念的含义
引导学生思考导数概念的含义，激发他们对导数的兴趣。
导数的定义
1 定义及公式
详细讲解导数的定义及公式，帮助学生掌握导数的基本概念。
2 导数与函数的关系
讲解导数对函数的单调性的影响，帮助学生分析 函数图像。
求导法则
简要介绍常数函数、幂函数、指数函数、对数函 数及三角函数的求导法则。
应用
1 使用导数求函数极值 2 其它应用领域
3 理论与实际应用
教授使用导数求函数极值 的方法，帮助学生应用导 数解决实际问题。
介绍导数在其他领域的应 用，引发学生对导数的更 多思考。
解释导数与函数的关系，帮助学生理解导数在函数中的应用。
3 使用举例解释
通过举例解释导数的定义，让学生更好地理解导数的具体应用。
导数的性质
可加性和可乘性
介绍导数的可加性和可乘性，帮助学生理解导数 在数学运算中的灵活性。
图形意义
解释导数在图形上的意义，让学生从图像中探索 导数
导数的概念.课件.导数的概念(第一课时)课件
3.1 导数的概念
曲线的切线和瞬时速度
3.1 导数的概念
Hale Waihona Puke 1．曲线的切线3.1 导数的概念
例 求曲线f (x)=x2 +1在点P(1,2)处的切线的斜率． 在 y=x2 +1 上取点 P(1,2) 及临近一点 Q(1+Dx，2+Dy),过P、Q两点作割线 PQ，并分别过 P、Q 两点作 x 轴与 y 轴的平行线 PM、MQ 相交于点 M， 设割线的倾斜角为 ，割线PQ的斜 率为 f ( x 0 Dx ) f ( x 0 ) k lim Dx 0 Dx (1 Dx ) 2 1 (1 1) lim Dx 0 Dx 2Dx ( Dx ) 2 lim Dx 0 Dx 2
； /gongxw/8432.html 齐鑫金融
北京四中龙门网络教育技术有限公司 Beijing Etiantian Net Educational Technology Co.,Ltd
平均速度 v 的极限为: Ds v lim v lim 2 g 19.6( m / s ) Dt 0 Dt 0 D t 即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于19.6(m/s). 当时间间隔Dt 逐渐变小时,平均速度 v 就越接近 t0=2(s) 时的瞬时速度v=19.6(m/s)
Ds OA1 OA0 s( t 0 Dt ) s( t 0 )
在时间段( t0+Dt)－ t0 = Dt 内，物体的平均速度为:
s( t 0 Dt ) s( t 0 ) Ds v t 0 Dt t 0 Dt
3.1 导数的概念
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时 刻运动的快慢程度．如果物体的运动规律是 s =s(t )，那么物 体在时刻t 的瞬时速度v，就是物体在t 到 t+Dt 这段时间内， 当 Dt0 时平均速度．
曲线的切线和瞬时速度
3.1 导数的概念
Hale Waihona Puke 1．曲线的切线3.1 导数的概念
例 求曲线f (x)=x2 +1在点P(1,2)处的切线的斜率． 在 y=x2 +1 上取点 P(1,2) 及临近一点 Q(1+Dx，2+Dy),过P、Q两点作割线 PQ，并分别过 P、Q 两点作 x 轴与 y 轴的平行线 PM、MQ 相交于点 M， 设割线的倾斜角为 ，割线PQ的斜 率为 f ( x 0 Dx ) f ( x 0 ) k lim Dx 0 Dx (1 Dx ) 2 1 (1 1) lim Dx 0 Dx 2Dx ( Dx ) 2 lim Dx 0 Dx 2
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平均速度 v 的极限为: Ds v lim v lim 2 g 19.6( m / s ) Dt 0 Dt 0 D t 即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于19.6(m/s). 当时间间隔Dt 逐渐变小时,平均速度 v 就越接近 t0=2(s) 时的瞬时速度v=19.6(m/s)
Ds OA1 OA0 s( t 0 Dt ) s( t 0 )
在时间段( t0+Dt)－ t0 = Dt 内，物体的平均速度为:
s( t 0 Dt ) s( t 0 ) Ds v t 0 Dt t 0 Dt
3.1 导数的概念
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时 刻运动的快慢程度．如果物体的运动规律是 s =s(t )，那么物 体在时刻t 的瞬时速度v，就是物体在t 到 t+Dt 这段时间内， 当 Dt0 时平均速度．
高数课件-导数的概念
率
导数的四则运算规则
加法规则：导数相加等于导数之和
乘法规则：导数相乘等于导数之积
添加标题
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添加标题
添加标题
减法规则：导数相减等于导数之差
除法规则：导数相除等于导数之商
复合函数的导数计算
复合函数的定 义：由两个或 多个函数组成
的函数
复合函数的导 数计算方法：
链式法则
链式法则：将 复合函数分解 为多个简单函 数，分别计算 导数，然后将
导数的性质定理
导数的定义：导数是函数在某一点的切线斜率 导数的性质：导数是连续的，可导函数在定义域内处处可导 导数的公式：导数的基本公式包括导数的四则运算、复合函数求导公式、隐函数求导公式等 导数的应用：导数在微积分、函数极限、函数极值、函数凹凸性等方面有广泛应用
感谢观看
汇报人：
导数的定理与公式
导数的定义：导数是函数在某一点 的切线斜率
导数的基本定理
导数的公式：导数公式包括基本导 数公式、复合函数导数公式、隐函 数导数公式等
添加标题
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导数的性质：导数是函数在某一点 的极限值
导数的应用：导数在微积分、函数 分析、=lim(h>0)(f(x+h)-f(x))/h
导数的推导公式
导数的定义：函数在某一点的导数是该函数在该
01
点附近曲线的切线斜率 导数的基本公式：f'(x)=lim(h->0) [f(x+h)-
02
f(x)]/h 导数的四则运算法则：f'(x)=f(x)+g'(x)，
03
f'(x)=f(x)-g'(x)，f'(x)=f(x)*g'(x)，f'(x)=f(x)/g'(x) 04 导数的复合函数公式：f'(g(x))=f'(g(x))*g'(x)
导数的四则运算规则
加法规则：导数相加等于导数之和
乘法规则：导数相乘等于导数之积
添加标题
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减法规则：导数相减等于导数之差
除法规则：导数相除等于导数之商
复合函数的导数计算
复合函数的定 义：由两个或 多个函数组成
的函数
复合函数的导 数计算方法：
链式法则
链式法则：将 复合函数分解 为多个简单函 数，分别计算 导数，然后将
导数的性质定理
导数的定义：导数是函数在某一点的切线斜率 导数的性质：导数是连续的，可导函数在定义域内处处可导 导数的公式：导数的基本公式包括导数的四则运算、复合函数求导公式、隐函数求导公式等 导数的应用：导数在微积分、函数极限、函数极值、函数凹凸性等方面有广泛应用
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导数的定理与公式
导数的定义：导数是函数在某一点 的切线斜率
导数的基本定理
导数的公式：导数公式包括基本导 数公式、复合函数导数公式、隐函 数导数公式等
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导数的性质：导数是函数在某一点 的极限值
导数的应用：导数在微积分、函数 分析、=lim(h>0)(f(x+h)-f(x))/h
导数的推导公式
导数的定义：函数在某一点的导数是该函数在该
01
点附近曲线的切线斜率 导数的基本公式：f'(x)=lim(h->0) [f(x+h)-
02
f(x)]/h 导数的四则运算法则：f'(x)=f(x)+g'(x)，
03
f'(x)=f(x)-g'(x)，f'(x)=f(x)*g'(x)，f'(x)=f(x)/g'(x) 04 导数的复合函数公式：f'(g(x))=f'(g(x))*g'(x)
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2020年8月11日星期二
2
第一节 导数的概念
一、引例 二、导数的定义 三、导数的意义 四、函数的可导性与连续性的关系
数学与生物信息学教研室 Mathematics & Bioinformatics Group
3
一、 引例
1. 变速直线运动的速度
设描述质点运动位置的函数为
s f (t)
则 t0 到 t 的平均速度为
若 lim y(x)
在
x0 的导数为无穷大
.
若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导.
此时导数值构成的新函数称为导函数.
记作: y ;
f (x) ; dy ; d f (x) .
dx dx
数学与生物信息学教研室 Mathematics & Bioinformatics Group
若
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
lim
x0
y x
存在, 则称函数 f ( x) 在点 x0 处可导, 并称此极限为
y f ( x) 在点 x0 的导数. 记作:
y xx0 ;
f (x0 ) ;
dy dx
x
x0
;
d f (x) dx x x0
即
y
x x0
f
(x0 )
lim
例1. 研究函数 y x 2 , y x 2 与 y log 2 x 在 x 1 临近函数图形的特点.
5
3
1
0.2 -1
1.0
1.8
数学与生物信息学教研室 Mathematics & Bioinformatics Group
12
解: y x 2 在 x 1 处 y | x 1 2 x | x 1 2
定义2 . 设函数 y f (x) 在点 x0的某个右 (左)
9
邻域内有定义, 若极限
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x0 x x0
x
( x 0 )
( x 0 )
x0
存在,则称此极限值为 f (x) 在 x0 处的右 (左) 导数, 记作
f (x0 ) ( f (x0 ))
v
f (t) f (t0 ) t t0
而在 t0 时刻的瞬时速度为
v lim
t t0
f (t) f (t0 ) t t0
自由落体运动
s
1 2
gt
2
f (t0 )
o t0
f (t)
t
s
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2. 曲线的切线斜率
y
曲线 C : y f (x) 在 M 点处的切线
割线 M N 的极限位置 M T
(当 时)
切线 MT 的斜率
o
4
y f (x)
N
CM
T
x0 x x
k tan lim tan
割线 M N 的斜率 tan
f (x) f (x0 ) x x0
k lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
10
三、导数的意义
1. 导数的物理意义 加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 线密度 是质量增量与长度增量之比的极限
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限
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11
2. 导数的几何意义
第三章 一元函数 的导数、微分及其应用
第一节 导数的概念
第二节 导数的运算
第三节 微分的概念与应用
第四节 微分中值定理
第五节 导数的应用 f (b) f (a) f '( )(b a)
b
f (x)dx F (b) F (a)
a
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k lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
f (x0 )
y y f (x)
N
CM
T
o x0 x x
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瞬时速度
v lim
t t0
f (t) f (t0 ) t t0
切线斜率
k lim
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运动质点的位置函数 s f (t)
在 t0 时刻的瞬时速度
f (t0 )
o t0
v lim
t t0
f (t) f (t0 ) t t0
f (t0 )
5
f (t) s t
曲线 C : y f (x) 在 M 点处的切线斜率
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
f (t0 )
o t0
f (t)6
t
s
y
y f (x)
N
CM
T
o x0 x x
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .
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7
二、导数的定义
定义1 . 设函数 y f ( x) 在点 x0 的某邻域内有定义 ,
x0
y x
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 )
lim
h0
f (x0 h) h
f (x0 )
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8
lim
x x0
f (x) f (x0 ) lim y
x x0
x0 x
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x0不可导.
| x 1
1 ln 2
该函数所对应的曲线在点(1,0)处切线的斜率为 1
1
ln 2
反映该函数在 x 1 处因变量的增长率为ln 2
数学与生物信息学教研室
.
Mathematics & Bioinformatics Group
即
f (x0 )
lim
x 0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
函数 y f (x) 在点 x0 可导的充分必要条件
是 f (x0 )与 f (x0 ) 存在, 且 f (x0 ) f (x0 ).
简写为 f (x0) 存在
f( x0 ) f ( x ) 数学与生物信息0学教研室
Mathematics & Bioinformatics Group
该函数所对应的曲线在点(1,1)处切线的斜率为2， 反映该函数在 x 1 处因变量的增长率为2；
y x2 在 x 1 处 y |x1 2x3 |x1 2
该函数所对应的曲线在点(1,1)处切线的斜率为-2，
反映该函数在 x 1 处因变量的减少率为2；
y log2 x
在
x 1 处
y |x1
1 x ln 2
2
第一节 导数的概念
一、引例 二、导数的定义 三、导数的意义 四、函数的可导性与连续性的关系
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3
一、 引例
1. 变速直线运动的速度
设描述质点运动位置的函数为
s f (t)
则 t0 到 t 的平均速度为
若 lim y(x)
在
x0 的导数为无穷大
.
若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导.
此时导数值构成的新函数称为导函数.
记作: y ;
f (x) ; dy ; d f (x) .
dx dx
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若
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
lim
x0
y x
存在, 则称函数 f ( x) 在点 x0 处可导, 并称此极限为
y f ( x) 在点 x0 的导数. 记作:
y xx0 ;
f (x0 ) ;
dy dx
x
x0
;
d f (x) dx x x0
即
y
x x0
f
(x0 )
lim
例1. 研究函数 y x 2 , y x 2 与 y log 2 x 在 x 1 临近函数图形的特点.
5
3
1
0.2 -1
1.0
1.8
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12
解: y x 2 在 x 1 处 y | x 1 2 x | x 1 2
定义2 . 设函数 y f (x) 在点 x0的某个右 (左)
9
邻域内有定义, 若极限
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x0 x x0
x
( x 0 )
( x 0 )
x0
存在,则称此极限值为 f (x) 在 x0 处的右 (左) 导数, 记作
f (x0 ) ( f (x0 ))
v
f (t) f (t0 ) t t0
而在 t0 时刻的瞬时速度为
v lim
t t0
f (t) f (t0 ) t t0
自由落体运动
s
1 2
gt
2
f (t0 )
o t0
f (t)
t
s
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2. 曲线的切线斜率
y
曲线 C : y f (x) 在 M 点处的切线
割线 M N 的极限位置 M T
(当 时)
切线 MT 的斜率
o
4
y f (x)
N
CM
T
x0 x x
k tan lim tan
割线 M N 的斜率 tan
f (x) f (x0 ) x x0
k lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
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三、导数的意义
1. 导数的物理意义 加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 线密度 是质量增量与长度增量之比的极限
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限
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2. 导数的几何意义
第三章 一元函数 的导数、微分及其应用
第一节 导数的概念
第二节 导数的运算
第三节 微分的概念与应用
第四节 微分中值定理
第五节 导数的应用 f (b) f (a) f '( )(b a)
b
f (x)dx F (b) F (a)
a
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k lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
f (x0 )
y y f (x)
N
CM
T
o x0 x x
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瞬时速度
v lim
t t0
f (t) f (t0 ) t t0
切线斜率
k lim
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运动质点的位置函数 s f (t)
在 t0 时刻的瞬时速度
f (t0 )
o t0
v lim
t t0
f (t) f (t0 ) t t0
f (t0 )
5
f (t) s t
曲线 C : y f (x) 在 M 点处的切线斜率
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
f (t0 )
o t0
f (t)6
t
s
y
y f (x)
N
CM
T
o x0 x x
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .
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二、导数的定义
定义1 . 设函数 y f ( x) 在点 x0 的某邻域内有定义 ,
x0
y x
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 )
lim
h0
f (x0 h) h
f (x0 )
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lim
x x0
f (x) f (x0 ) lim y
x x0
x0 x
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x0不可导.
| x 1
1 ln 2
该函数所对应的曲线在点(1,0)处切线的斜率为 1
1
ln 2
反映该函数在 x 1 处因变量的增长率为ln 2
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.
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即
f (x0 )
lim
x 0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
函数 y f (x) 在点 x0 可导的充分必要条件
是 f (x0 )与 f (x0 ) 存在, 且 f (x0 ) f (x0 ).
简写为 f (x0) 存在
f( x0 ) f ( x ) 数学与生物信息0学教研室
Mathematics & Bioinformatics Group
该函数所对应的曲线在点(1,1)处切线的斜率为2， 反映该函数在 x 1 处因变量的增长率为2；
y x2 在 x 1 处 y |x1 2x3 |x1 2
该函数所对应的曲线在点(1,1)处切线的斜率为-2，
反映该函数在 x 1 处因变量的减少率为2；
y log2 x
在
x 1 处
y |x1
1 x ln 2