华南理工大学线性代数期末试卷及解析 (2)
(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。
1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。
x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。
4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。
5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。
二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。
a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。
2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。
06-07线性代数试题及解答
3．设020200,001A AB A B ⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵B 。
5、求向量ω=（1，2，1）在基)1,1,1(),1,1,0(),1,1,1(-===γβα下的坐标。
四、（12分）求方程组123451234512345223273251036x x x x x x x x x x x x x x x +-++=⎧⎪-+++=⎨⎪+--+=⎩ 的通解（用基础解系与特解表示）。
五、（12分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵22123122313(,,)22f x x x x x x x x x =++-六、证明题（6分）设0β≠，12,,,r ξξξ 是线性方程组AX β=对应的齐次线性方程组一个基础解系， η是线性方程组AX β=的一个解，求证ηηξηξηξ,,,,21+++r 线性无关。
《2006年线性代数A 》参考答案(2) λ12···λn 2 (3) r(A)=r(A,B)< n(4)t=-8(5)1,2,-3二选择题(1) D (2) A (3) D (4) D (5) D 三解答题(1) A·A *=|A|·E, |A|·|A*|=|A3||A *|=|A|2=|A·A’|=|A·A-1|=1(3)由AB=A-B，有AEABABEA1)(,)(-+==+，故{1α，2α，3α}为一个极大无关组令0543===x x x ,求解得：（1，1，0，0，0）=η。
齐次方程组基础解系为：332211321),1,0,0,0,1(),0,1,0,1,2(),0,0,1,2,0(ηηηηηηηa a a +++-=-==通解为。
五．解：当11=λ时，由()03211=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x A E λ，求得基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛110当12λ=时，由()03212=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x A E λ，求得基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111 当13-=λ时，由()03213=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x A E λ，求得基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-112若,UY =X 则2322212'y y y A -+=X X 。
华南理工大学数分(二)期末考卷
《数学分析（二）》试卷（A ）一、 写出以下定义1、函数f(x)在[a,b]上可积；（5分）2、函数序列f n (x)在(0,1)上内闭一致收敛于f(x)；（5分)二、求不定积分∫x 2+1x +1dx （5分）三、令I n =∫(sin x)n dx π0，求I n 与I n−2之间的递推公式。
（10分）四、 平面上的心脏线参数表达式为r (θ)=a (1+cos (θ))，(0≤θ≤2π)，求该曲线所谓区域面积。
（10分）五、 旋轮线的参数表达式由x (t )=r (t −sin (t ))，y (t )=r (1−cos (t ))，(0≤t ≤2π)给出，把该曲线绕x 轴旋转一周，求所得旋转体体积。
（10分）六、 对不同的值a ，判断反常积分∫ln(1+x)x +∞0dx 的收敛性（条件收敛、绝对收敛）。
（10分）七、 令S =∑k 2+12∞k=11、判断该数项级数收敛性（条件收敛、绝对收敛）；（10分）2、求幂级数∑n 2x n ∞k=1的收敛区域；（10分）3、求S 的值；（5分）八、周期函数f(x)={1，(x∈(2kπ,2kπ+π])−1，(x∈(2kπ−π,2kπ])1.求f(x)的傅里叶级数展开a02+∑[a k cos(kx)∞k=1+b k sin(kx)]；（10分）2.求部分和函数a02+∑[a k cos(kx)∞k=1+b k sin(kx)]的极限函数f̃(x)；（5分）3.判断函数序列{f n(x)}是否一致收敛于f̃(x)，并说明理由。
（5分）《数学分析（二）》试卷（B）一、写出以下定义1、函数序列f n(x)一致收敛于函数f(x)；（5分）2、数列{a n}的上极限为A；（5分）二、求不定积分∫ln(x 2+1)xdx。
（10分）三、计算定积分∫x sin x1+(cos x)2dxπ。
（5分）四、求椭圆x 24+y2=1内部区域面积。
（10分）五、平面上的心脏线参数表达式为r(θ)=a(1+cos(θ))，(0≤θ≤2π)，ba该曲线在x轴以上的部分绕x轴旋转一周，求所得旋转体的体积（5分）六、对反常积分∫[ln(x)]8x a dx+∞1，1、在a取不同的值时判断它的收敛性（条件收敛、绝对收敛）；（10分）2、在a=2时计算该反常积分的值（5分）七、令S=1−12+13−14+⋯+(−1)n−11n+⋯=∑[∞n=1(−1)n−11n]，1、判断该数项级数收敛性（条件收敛、绝对收敛）；（10分）2、写出函数ln(1+x)及11+x在x=0处的幂级数展开，并判断收敛性；（10分）3、求S的值；（5分）八、定义在全部实数上的周期函数f(x)=x，x∈[2kπ−π,2kπ+π)，1、求f(x)的傅里叶级数展开a02+∑[a k cos(kx)∞k=1+b k sin(kx)]；（10分）2、求部分和函数a02+∑[a k cos(kx)∞k=1+b k sin(kx)]的极限函数f̃(x)；（5分）3、判断函数序列{f n(x)}是否一致收敛于f̃(x)，并说明理由。
线性代数期末试卷及详细答案
线性代数期末试卷及详细答案⼀、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每⼩题2分，共10分）1、设1D =3512， 2D =345510200，则D =12D D OO =_____________。
2、四阶⽅阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。
3、三阶⽅阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。
4、若n 阶⽅阵A 满⾜关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。
5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。
⼆、单项选择题（每⼩题仅有⼀个正确答案，将正确答案的番号填⼊下表内，每⼩题2分，共20分）1、若⽅程13213602214x x x x -+-=---成⽴，则x 是（A ）-2或3；（B ）-3或2；（C ）-2或-3；（D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶⽅阵，则下列正确的公式为（A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+；（B ）()()22A B A+B =A B --；（C ）()()2A E=A E A+E --；（D ）()222AB =A B3、设A 为可逆n 阶⽅阵，则()**A=（A ）A E ；（B ）A ；（C ）nA A ；（D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪⼀个是初等矩阵（A ）100002?? ???；（B ）100010011??；（C ）011101001-?? ?- ? ?；（D ）010002100??- ；5、下列命题正确的是（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++= ，则1,α2α，，m α线性⽆关；（B ）向量组1,α2α，，m α若其中有⼀个向量可由向量组线性表⽰，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α的⼀个部分组线性相关，则原向量组本⾝线性相关；（D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每⼀个向量都可由其余向量线性表⽰。
华南理工大学线性代数与解析几何试卷
(1)n 矩阵，B 是m维列向量，则方程组AX B 无解是(2) 已知可逆矩阵P 使得P 1APcos sinsin cos,则 P 1A 2007P)封 题… 答… 不… 内… 线… 封…密…A, 乘一个m 阶初等矩阵, B, 右乘一个m 阶初等矩阵诚信应考,考试作弊将带来严重后果!华南理工大学期末考试(A 卷)I《2007线性代数》试卷线一、填空题(共20分)(3) 若向量组口= (0 , 4, t ), B = (2, 3, 1), 丫= (t , 2, 3)的秩为 2,则 t= (4)若A 为2n 阶正交矩阵，A *为A 的伴随矩阵，则A * =n(5)设A 为n 阶方阵，1， 2， , n 是A 的n个特征根，则i E A =i 1选择题(共20分)(1 )将矩阵A m n的第i列乘C加到第j列相当于对A :C, 左乘一个n 阶初等矩阵, D ，右乘一个n 阶初等矩阵 (4) 若A 是n 阶正交矩阵, 则以下命题那一个成立: A ，矩阵A 1为正交矩阵, B ，矩阵-A 1为正交矩阵 C ,矩阵A 为正交矩阵,D ，矩阵-A 为正交矩阵(5)4n 阶行列式A , 1, C , n的值B , -1-n三、解下列各题(共30分)511 1 1 .求向量1，在基10 , 21 , 31下的坐标310 1(3) 若n 阶方阵A , B 满足，A 2 B 2 ，则以下命题哪一个成立 A , A B ,B , r(A) r(B)C , det AdetB ,D ,r(A B) r(A B) n(2) 若A 为m x n 矩阵，B 是m 维 非零列向量，r(A) r min{ m, n} M {X : AX B, X R n }则A , M 是m 维向量空间，B ,M 是n-r 维向量空间C , M 是m-r 维向量空间,D , A , B , C 都不对集合3 5 92527 125 816254.计算矩阵A10 3列向量组生成的空间的一个基b 。
大一线性代数期末考试试卷+答案
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。
（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ ααα，，， 中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。
大学数学线性代数第二学期期末复习测试试卷含答案
线性代数第二学期期末测试试卷含答案班别_________ 姓名___________ 成绩_____________第一部分 客观题（共30分）一、单项选择题（共 10小题，每小题2分，共20分）1. 若行列式111213212223313233a a a a a a d a a a =，则212223111213313233232323a a a a a a a a a 等于 ( ) (A) 2d (B) 3d (C) 6d (D) 6d -2. 设123010111A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，ij M 是A 中元素ij a 的余子式，则313233M M M -+=（ ）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下列各式恒成立的是（ ） (A) |2|2||T A A = (B) 11(2)2A A --= (C) *1A A -= (D) 11[()][()]T T T T A A --= 4. 初等矩阵满足（ ）(A) 任两个之乘积仍是初等矩阵 (B) 任两个之和仍是初等矩阵 (C) 都是可逆矩阵 (D) 所对应的行列式的值为1 5. 下列不是．．n 阶矩阵A 可逆的充要条件为（ ）(A) 0≠A (B) A 可以表示成有限个初等阵的乘积 (C) 伴随矩阵存在 (D) A 的等价标准型为单位矩阵 6. 设A 为m n ⨯矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，B AC =，则 ( )。
(A) 秩(A )> 秩(B ) (B) 秩(A )= 秩(B )(C) 秩(A )< 秩(B ) (D) 秩(A )与秩(B )的关系依C 而定 7. 如果向量β可由向量组12,,,s ααα线性表示,则下列结论中正确的是（ ） (A) 存在一组不全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立(B) 存在一组全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立(C) 存在一组数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立(D) 对β的线性表达式唯一8. 设12,ξξ是齐次线性方程组0AX =的解，12,ηη是非齐次线性方程组AX b =的解，则（ ）(A) 112ξη+为0AX =的解 (B) 12ηη+为AX b =的解 (C) 12ξξ+为0AX =的解 (D) 12ηη-为AX b =的解9. 设110101011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则A 的特征值是( )。
线性代数a期末考试题及答案
线性代数a期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 对角矩阵D. 奇异矩阵答案：B2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中非零行的最大数目D. 矩阵中非零列的最大数目答案：C3. 如果一个矩阵A的行列式为0，则：A. A是可逆的B. A是不可逆的C. A是正定的D. A是负定的答案：B4. 以下哪个选项不是线性方程组解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 零解D. 非零解答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 矩阵的________是矩阵中所有元素的和。
答案：迹2. 如果一个向量组线性无关，则该向量组的________等于向量的个数。
答案：秩3. 对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=0，则称x为矩阵A的________。
答案：零空间4. 一个矩阵的________是指矩阵中所有行向量或列向量的最大线性无关组的个数。
答案：秩三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，求A的行列式。
答案：\[ \text{det}(A) = 1*4 - 2*3 = 4 - 6 = -2 \]2. 设A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，B=\[\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\]，求AB。
答案：\[ AB = \begin{pmatrix} 1*2 + 2*1 & 1*0 + 2*3 \\ 3*2 +4*1 & 3*0 + 4*3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{pmatrix} \]3. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\]，求A的特征值。
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华南理工大学期末考试（B 卷）
《2010-11（上） 线性代数》试卷
注意事项：1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚；
2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；
3．考试形式：闭卷；
一、
1．对一个m 行n 列的矩阵做一个初等行变换相当于在这个矩阵的 边乘上一
个初等矩阵。
2．设E 是单位矩阵。
若30A =则-1
()A E -= 3．设A 是一个秩为r 的m 行n 列矩阵，那么线性方程组0=AX 的基础解系包含
的向量的个数为
4． 若10cos sin 0sin cos a b A θ
θθθ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
是一个正交矩阵， 则-1A = 5．设A 为n 阶可逆方阵，12,,,n λλλ⋅⋅⋅是A 的特征根，则-1A 的特征根为
二、 选择题（共20分）
1．如果将单位矩阵E 的第i 行与第j 行交换得到的矩阵设为),(j i P ，将单位矩阵
E 的第i 行乘以非0常数k 得到的矩阵设为))((k i P ，将单位矩阵E 的第i 行乘以常数k 加到第j 行得到的矩阵设为))(,(k i j P ）那么
A ， ))((1k i P -＝))((k i P ，
B ，))(,(1k i j P -＝))(,(k i j P
C ，),(1j i P -＝),(j i P ，
D ， 上面的结论都不成立
2．若A ，B 为n 阶矩阵，则下面的结论一定成立的是
A ， )det()det()det(
B A B A +=+， B ，)det()det()det(B A AB •=
B ， )()()(B rank A rank B A rank +=+， D ，)()()(B rank A rank AB rank •=
3．若A ，B , C 是n 阶方阵，则以下命题哪一个成立
A ， BA A
B =， B ，
C AB BC A )()(=
C ， 若AC AB =，则C B =
D ， 若22A B =，则B A =或者B A -=
4．若M 是一个秩为m 的m 行n 列矩阵，则T M M -一定是
A ， 正交矩阵，
B ， 反对称矩阵
C ， 可逆矩阵，
D ， 对称矩阵
5．如果M 是m 行n 列矩阵，B 是m 维列向量,线性方程组B MX =的解集为W ，
0=MX 的解集为V ，那么
A ， W 的两个向量的和在W 中，
B ，V 的两个向量的和在V 中，
C ， W 的向量与V 的向量的和在V 中，
D ，V 的向量都在W 中
三、判断下面的命题是否正确（每小题4分，共12分）（二学分的只需要给出判
断，三学分的要求说明正确的理由或举出不正确的反例）
（1） 设A ，B 是n 阶矩阵，如果对于任意的n 维向量X ，有BX AX =，那么
B A =
（2） 如果A ，B 是正交矩阵，那么AB 也是正交矩阵。
（3） 设A 是n 阶实对称矩阵，如果二次型AX X T
的秩为n 那么对于任意的实n 维非0的列向量X ，AX X T 都不为0。
四、解下列各题（每小题6分）
1． 已知100110111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，求从A 的行向量组到A 的列向量组的过渡矩阵。
2.(0,
c,1,1),(1,1,0,1)T T αβαβ==--已知,求c,使得，正交。
五、（8分）实数a 取何值时，方程组23
1232441236351
23+a a a a a a a a a x x x x x x x x x ⎧+=-⎪++=⎨⎪++=⎩ 有无数多个解？用基础解系表示其通解。
六．证明题（6分）设A 是矩阵，证明如果0=T AA ,那么0=A
七．（6分）如果n 阶矩阵A 满足A A =2，证明每一个n 维向量α都可以表示为βγ+，其中βγ，分别是X AX AX ==,0的解。
八、（10分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出该正交变换所对应的正交变换矩阵。
2
2
2
123123121323(,,)2+22f x x x x x x x x x x x x =++--。