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3.5 整环的整除理论
1.对环 R，由一个元素生成的理想 (a) {ar , r R} 称为主理想。若整环 R 的理想均是主
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理想， 则称 R 为主理想整环。 则整数环 Z 和数域 F 上一元多项式环 F[x]的理想均为主理想， Z 和 F[x]均为主理想整环。 2.对整环 R， a, b R ，若 c R使b ac ，则称 a 整除 b，记为 a|b，称 a 为 b 的因子， b 为 a 的倍元。 称单位元 1 的因子为 R 的单位。 若 R为单位使a b ， 称 a,b 为相伴元。 对 0≠a 必有因子单位和相伴元， 称为 a 的平凡因子。 没有非平凡因子的非零非单位元称为 R 的既约元。则有 a | b b (a) (b) (a)
使a bq r , 其中r 0或 (r ) (b) 则称 R 有 Euclid 除式。此时称整环 R 为 Euclid 环。 因此 Euclid 环⫋主理想整环⫋唯一分解环。 5.对环 R 的任意无限递升主理想链 (c1)⫋(c2)⫋...⫋(cn)⫋...
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3.4 交换环
1.对有 1 整环 R，群(R,+)中所有非零元有相同的阶， (1)阶为∞，R 有子环 Z 为整数环
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(2)阶为素数 p，R 有子环 Zp 为有限域 2.整环 R 的群(R,+)中非零元的阶称为 R 的特征， 即 1 在群(R,+)中的阶。 特征为∞的域有 子域 Q 为有理数域，特征为素数 p 的域有子域 Zp 为有限域。称 Q,Zp 为素域。 3.有 1 整环 R 的子环 A 是整环。 4.对有 1 交换环 A，若 A 无非平凡理想，即除{0}和 A 外无理想，则 A 为域。 5.对交换环 A 的真理想 I，若 xy I x I或y I 或等价地 x I , y I xy I ，则称 I 为素理想。 对交换环 A 的真理想 I，若不存在理想 J 使 I⫋J⫋A，则称 I 为极大理想。 6.对有 1 交换环 A 的理想 I，I 为素理想⇔A/I 为整环。若 A 无 1，则 A/I 为无零因子交 换环。 对有 1 交换环 A 的理想 I，I 为极大理想⇔A/I 为域。 对有 1 交换环 A，极大理想必为素理想。
为R单位 ( ) R
a, b为相伴元 (a) (b)
a为b的真因子 (b)⫋(a)⫋R 为既约元 ( )是极大主理想 对整环 R， d R 且 d|a,d|b，称 d 为 a,b 的公因子，若对任意 a,b 的公因子 c 有 c|d，则 称 d 为 a,b 的极大公因子，记为 d=(a,b)。若(a,b)=1，则称 a,b 互素。 对整环 R， p R ，若 a, b R, p | ab p | a或p | b ，则称 p 为素元，必是既约元，且
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A B {a b | a A, b B} AB { ai bi | n N , ai A, bi B}
i 1 n
则有 A+B=B+A。 3.设 A 为 R 的非空子集，若满足 (1)(A,+)是(R,+)的(正规)子群 (2)A 对乘法封闭 则称 A 为 R 的子环。 零环{0}是子环，也是唯一的零元和单位元重合的环。 设 Ai<R，则 A Ai 是 R 的子环。
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( S ) sR Rs RsR
sS sS sS
当 R 有 1 且交换时，
( S ) sR
sS
10.第一同态定理 设 φ 是 R 到 R’的满同态，令 I Ker ，则有 R / I R 11.第二同态定理 对 φ 是 R 到 R 的满同态， I Ker ，令
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称 A 为域 F 上代数。当(A,+)是域 F 上有限维向量空间，称 A 为域 F 上有限维代数。当(A,+) 是除环，称 A 为域 F 上可除代数。 4.四元数代数 H，基为 1,i,j,k，乘法表 1 i j k 1 1 i j k i i -1 k -j j j -k -1 i k k j -i -1 则 H 为实数域 R 上的四维代数，复数域 C 为 R 上二维代数，R 为 R 上一维代数。且 R 上有 限维可除代数有且仅有 R,C,H。 5.对域 F 上的 n 维向量空间 A， 可以取 n 阶群 G 中的元素作为 A 的基， 则(A,+,·)为环(若 基不构成群，但(A,+)仍为交换群)，是 F 上 n 维代数，称为 G 在 F 上的群代数。
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第三章 环与域
3.1 环与域
1.设+,·是集合 R 的两个二元运算，若满足 (1)(R,+)是交换加群，恒等元称为零元 0 (2)(R,·)是半群 (3)乘法对加法的分配律，即 a, b, c R有a (b c) a b a c, (b c) a b a c a 则称(R,+,·)为环。若 (4)乘法的交换律，即 a, b R有a b b a (5)(R,·)是幺半群，单位元为 1 (6)非零元有逆元，即 0 a R有a a 1 1 称满足(4)的环为交换环， 满足(5)的环为有单位元 1 的环， 满足(5)(6)的环为除环， 满足(4)(5)(6) 的环为域 F。 2.在环 R 中 Oa aO O; (a)b ab a(b); (a)(b) ab; 若 R 中有单位元 1，则 1 唯一。并定义
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(2)φ 保持乘法，即 φ(xy)=φ(x)φ(y) 则称 φ 是环 R 到 R’的同态。 φ 的像为 Im { ( x) | x R} ； φ 的核为 Ker {x R | ( x) 0} 。 反同态： ( x y ) ( y ) ( x) 6.设 I 为 R 的非空子集，若满足 (1)(I,+)是(R,+)的(正规)子群 (2) r R, i I , 有ir, ri I 则称 I 为 R 的理想。 若 I 为 R 的理想，则 In=In-1·I 为 R 的理想。 若 Ii 为 R 的理想，则 I I i 是 R 的理想。
(a0 , a1 ,...) (b0 , b1 ,...) (a0 b0 , a1 b1 ,...)
(a0 , a1 ,...) (b0 , b1 ,...) (a0b0 , a0b1 a1b0 ,...,
i j n
a b ,...)
i j
则(P,+,·)是环，零元为(0,0,...)，单位元为(1,0,0,...)。 并记 x (0,1,0,0,...), a (a,0,0,...) 则有 a0 a1 x ... an x n (a0 , a1 ,..., an ,0,0,...) 称 P 为 R 上一元多项式(形式)环，记作 R[x]，x 称为 R 上不定元。
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在有限步停下来，即 N Z 使对i Z , (cN ) (c N i ) ，则称 R 对主理想满足极大条件。 对 环 R 的 理 想 I,J ， I J {x y | x I , y J } 仍 是 理 想 。 主 理 想 (a),(b) 之 和 (a) (b) {ax by | x, y R} 是理想，但一般不是主理想，但在主理想整环中是主理想。 6.对主理想整环 R 有 (1)R 对主理想满足极大条件 (2)(a,b)可表成 a,b 的线性和，即 s, t R使as bt (a, b) (3)分解的存在性：R 中任意非零非单位元可表为既约元的乘积 (4)既约元都是素元，则 R 中元素有分解的唯一性 (5)R 是唯一分解环 7.对复二次数环 Z [ d ] {a b d | a, b Z } ，其中 d 使无平方因数的正整数，记范 数 N (a b d ) (a b d )(a b d ) a 2 b 2 d ，则有 N(xy)=N(x)N(y)。对 Z [ d ] 有 (1)对 n Z , 使N ( x) n 的 x 仅有限个 (2) x为R单位 N ( x) 1 单位仅有限个 (3)x 的相伴元仅有限个
i
7.称环(R/I,+,·)为环 R 关于理想 I 的商环。其中 R / I {r I , r R} (a I ) (b I ) (a b) I , (a I ) (b I ) ab I : R R / I , r r I 是 R 到商环 R/I 的满同态， 8.对环 R 的理想 I， 称 φ 为自然同态。 9.记(S)为由 S 生成的理想，则当 R 有 1 时，
3.3 多项式环
对有 1 的环 R，记
P {(a0 , a1 , a2 ,...), ai R且仅有限个ai 0}
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且对 (b0 , b1 , b2 ,...) P
(a0 , a1 , a2 ,...) (b0 , b1 , b2 ,...) i, ai bi
p为素元 ( p)为素理想 。
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3.对整环 R，若 (1)分解的存在性：R 中任意非零非单位元 a 可表为 a=p1p2...pn，其中 pi 均为既约元 (2)分解的唯一性：若 a=p1p2...pn=q1q2...qm，其中 pi,qj 均为既约元，则必有 n=m 且适当排列 后对 i, ( pi ) (qi ) 则称 R 为唯一分解环。 4.对整环 R，若 (1)有映射 : R \ {0} 自然数集N Z {0} 此处取范数 N ( ) 。 (2)a,0 b R, q, r R