近世代数教学
近世代数第三版教学设计
近世代数第三版教学设计背景近世代数是现代数学的重要分支之一，它的理论研究和应用都具备重要意义。
在高等教育中，近世代数作为一门重要的基础课程，一般在本科高年级学习。
为了提高学生的学习效果和兴趣，需要设计一种新的教学方式和方法。
本文针对教学实践和学术研究，结合教学过程中的问题和反馈，提出了一种适合高等教育教学的近世代数第三版教学设计方案。
教学目标通过本课程的学习，学生应该能够：1.理解近世代数的基本概念和理论框架；2.掌握近世代数的基本算法和方法；3.了解近世代数的应用领域和新进展；4.提高数学分析和建模能力；5.培养独立思考和团队协作能力。
教学内容第一章近世代数绪论1.1 近世代数的历史与发展 1.2 近世代数的基本概念与模型 1.3 算法与计算第二章群论2.1 群的基本概念与性质 2.2 置换群 2.3 普适性定理和拓扑群 2.4 有限群理论第三章环论3.1 环的基本概念与性质 3.2 简单环和主理想环 3.3 Euclid算法和扩张域3.4 环的应用第四章域论4.1 域的基本概念与性质 4.2 有限域和代数闭包 4.3 Galois理论和正规扩张4.4 域的应用第五章近世代数的应用5.1 近世代数在密码学、编码和通信中的应用 5.2 近世代数在计算机科学、自然科学和工程学中的应用 5.3 近世代数在社会科学、艺术和文化中的应用教学方法本教学设计采用以下教学方法：1.以学生为中心的教学模式，注重启发性教学和实践性教学；2.讲授与实践相结合，提高学习效果和兴趣；3.运用案例分析和讨论，培养独立思考和团队协作能力；4.采用多媒体教学技术，丰富教学资源和形式；5.通过课堂互动和作业批改，加强师生互动和评估。
教学评估本教学设计采用以下教学评估方法：1.考试和作业的评分，评估学生学习成绩和水平；2.课堂互动和案例分析的教学效果；3.教学反馈和问卷调查的满意度和建议；4.教学质量和效果的综合评价。
教学成果通过本教学设计，预计能够实现以下教学成果：1.提高学生的近世代数知识和应用能力；2.增强学生的创新和实践能力；3.提高学生的团队协作和独立思考能力；4.增强教师的教学水平和教学质量；5.推广近世代数的研究和应用，促进学术发展和社会进步。
关于近世代数的几点教学体会
关于近世代数的几点教学体会近世代数是一门研究和表示空间关系的数学学科，它为人类研究空间提供了方便和有效的表示方式。
它与许多其他数学学科一起，对我们的现代科技社会有着不可低估的价值与作用。
在这篇文章中，我将就近世代数的教学进行一些体会。
首先，在教授近世代数方面，应该先强调教学的基本概念。
教师应以抽象的角度出发，尽可能精炼地让学生从数学定义、理论与实践之间形成正确的理解，掌握近世代数的本质与机理。
这一基础让学生可以把掌握学习内容当作一个整体，它们可以将一些较难的概念和方法当作一个完整的体系来理解，学习其中间的联系。
紧接着，学生也可以根据记忆的深度，记住内容，利用它们去理解新的概念。
其次，在教授近世代数时，老师应尽可能多的引入实际的例子，让学生在学习过程中可以从实际的情况中加深自己对概念的理解。
比如，近世代数中的投影和矩阵就可以应用在几何体的求解、坐标几何以及空间变换等领域。
以高中生的学科水平来看，已经可以把学习到的知识应用在较为容易理解的几何图形中，从原理解释到实际应用，实现从理论到实践的跨度。
这样一来，学生就可以真正加深对近世代数概念的理解，更好地学习并使用这一数学学科。
此外，在教授近世代数时，教师也应当利用当前的教育资源与技术，灵活多变地教授学科内容，让学生在学习过程中更容易理解，更加轻松愉悦。
例如，可以利用多媒体资源，如演示软件、图片等，呈现课程内容，从视觉上加深学生对学科的理解。
也可以利用作业小组教学法，让学生分组彼此讨论，尝试解决相关问题，更好地掌握知识点，锻炼他们的逻辑思维与科学推理能力。
另外，在教授近世代数过程中，教师还应以传授知识的方式，引导学生思路，激发学生的兴趣，引入实际案例，使学生能够得到解决问题的经验，吸收学习成果，从而提升学生能力。
比如，开展问题讨论环节，让学生们自己思考，不断探索，激发其创新思维，让他们更深入的了解近世代数的概念与机理。
总的来说，近世代数是一门十分重要的学科，它不仅要求学生有良好的抽象思维能力，而且要求学生具备知识的实践能力。
《近世代数》课件
近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一，是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义，有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个多项式，那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个不可约多项式，那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等 ，并讨论理想的封闭性、运算性质等。
《近世代数》教案1
《近世代数》教案1《近世代数》教案1教案一：近世代数概述一、教学目标1.了解近世代数的起源和发展历程；2.理解近世代数的基本概念和基本运算；3.掌握近世代数的基本定理和性质；4.培养学生的逻辑推理和证明能力。
二、教学内容1.近世代数的起源和发展历程；2.近世代数的基本概念和基本运算；3.近世代数的基本定理和性质。
三、教学重点和难点1.理解近世代数的基本概念；2.掌握近世代数的基本运算；3.理解和运用近世代数的基本定理和性质。
四、教学方法1.前置知识导入：利用历史故事或问题引入近世代数的起源；2.概念解释与讨论：通过引导学生，共同探讨近世代数的基本概念；3.理解和运用：通过实际问题，让学生理解和运用近世代数的基本定理和性质；4.案例分析和练习：通过案例分析和练习，巩固学生对近世代数的理解和应用能力；5.归纳总结：通过归纳总结，整理和进一步理解所学的知识。
五、教学过程1.前置知识导入（10分钟）-引入：《近世代数》是一门重要的数学学科，它是现代数学的基石之一、那么，你们以为近世代数是从什么时候开始出现的呢？我们来听听关于近世代数起源的故事吧。
-故事：公元16世纪，意大利的一位数学家卡尔达诺被人请到一个庄园解决一个心理障碍的问题，他最终发现了它的根源与代数方程式求解有关。
这个故事揭示了近世代数起源的一部分，下面我们一起来探索更多关于近世代数的知识。
2.概念解释与讨论（20分钟）-定义：近世代数是一门研究代数结构及其性质的学科，它主要研究了代数系统的运算规则和代数方程式的求解方法。
-基本概念：群、环、域是近世代数中的基本概念。
群是指一个非空集合和一个在这个集合上的运算，满足封闭性、结合律、单位元和逆元的性质；环是指一个非空集合和两个在这个集合上的运算，满足加法封闭性、结合律、单位元和可逆性，以及乘法封闭性和结合律；域是指一个非空集合和两个在这个集合上的运算，满足加法封闭性、结合律、单位元和可逆性，以及乘法封闭性、结合律、单位元和可逆性。
近世代数 教案
近世代数教案教案标题：近世代数教学目标：1. 了解近世代数的概念和发展历程。
2. 掌握近世代数的基本概念和运算规则。
3. 能够应用近世代数解决实际问题。
教学内容：1. 近世代数的概念介绍a. 代数的发展历程b. 近世代数的定义和特点2. 近世代数的基本概念a. 群的定义和性质b. 环的定义和性质c. 域的定义和性质3. 近世代数的运算规则a. 群的运算规则b. 环的运算规则c. 域的运算规则4. 近世代数的应用a. 代数方程的解法b. 密码学中的应用c. 数论中的应用第一课时：1. 引入近世代数的概念和发展历程，激发学生对代数的兴趣。
2. 介绍近世代数的定义和特点，帮助学生理解其重要性和应用领域。
第二课时：1. 讲解群的定义和性质，引导学生理解群的基本概念。
2. 通过例题和练习，巩固学生对群的运算规则的理解。
第三课时：1. 介绍环的定义和性质，与学生讨论环的实际应用。
2. 给学生提供环的运算规则的例题和练习，帮助他们掌握环的运算规则。
第四课时：1. 讲解域的定义和性质，与学生分享域在密码学和数论中的应用。
2. 引导学生应用域的运算规则解决实际问题。
第五课时：1. 综合运用近世代数的概念和运算规则，讲解代数方程的解法。
2. 给学生提供代数方程的例题和练习，帮助他们熟练运用近世代数解决方程问题。
教学评估：1. 课堂练习：在每节课结束时进行小组或个人练习，检查学生对概念和运算规则的理解程度。
2. 作业：布置与课堂内容相关的作业，检验学生对近世代数的掌握情况。
3. 期末考试：设计综合性的考试题目，考察学生对近世代数的理解和应用能力。
1. 教科书：提供近世代数的相关知识和例题。
2. 计算工具：使用计算器或电脑软件辅助计算和验证结果。
3. 网络资源：引导学生查找近世代数的实际应用案例和相关研究资料。
教学延伸：1. 鼓励学生参与数学竞赛和研究项目，拓宽对近世代数的应用领域的认识。
2. 鼓励学生自主学习和探索，深入了解近世代数的发展和前沿研究。
近世代数教学大纲
《近世代数》教学大纲课程名称:近世代数英文名称:Abstract Algebra课程编号:0641008 学分:3 学时:54先修课程:高等代数、初等数论替代课程:无适用对象:数学与应用数学专业(4年制普通本科)(一)课程目的要求本课程的目的是引导学生掌握近世代数的基本概念和基本理论,从而达到对近世代数的语言与理论有所了解的目的,帮助学生为进一步的学习和研究打好代数学方面的知识基础.主要是群、环、域的基本概念以及基本理论。
在学习本课程中,要求学生掌握近世代数的基本概念、基本理论和方法,提高数学修养与技巧,以便能深入理解中学代数的内容和方法,为进一步学习其它学科创造条件。
(二)课程简介近世代数是数学与应用数学专业必修课程,是现代数学的一个重要分支,是研究多种代数结构的一门学科。
它的内容对中学代数教学有指导意义,它的思想方法已经渗透到数学的多个分支,它的结果已应用到众多学科领域,现在本课程已作为师范院校数学专业学生的必修课。
本课程的学习分为三个部分,第一部分学习近世代数的预备知识,包括集合、映射、代数运算及等价关系等基本概念。
第二部分学习群的基本理论,主要包括群的定义和基本性质, 子群和商群理论, 群同态和同构定理, 置换群的基本理论,有限群的Lagrange定理。
第三部分学习环论的基础内容, 主要包括环, 子环, 商环的定义和基本性质, 环同态和同构定理, 素理想与极大理想,环上的多项式环的构造,扩域和有限域。
(三)教学方式教学方式是以教师讲授为主,注重知识点之间的比较,运用类比方法;根据课堂教学情况,适当补充一些例题,以帮助学生课后巩固所学知识;适时给出思考题,培养学生的独立思考能力;对一章进行总结时,适当配备一些典型习题讲解, 以帮助学生理解和掌握抽象的概念和性质定理。
1(四)教材和主要教学参考书教材:《近世代数》(第二版),朱平天,李伯洪,邹园编,科学出版社, 2009年出版主要教学参考书:1.张禾瑞编:《近世代数基础》,人民教育出版社, 1984年版。
近世代数教学大纲教学目标
近世代数教学大纲教学目标近世代数教学大纲教学目标近世代数是数学学科中的一个重要分支，它研究的是代数结构以及其在数学和其他学科中的应用。
近年来，随着科学技术的迅猛发展，近世代数的应用领域也越来越广泛。
因此，制定近世代数教学大纲的教学目标至关重要。
本文将探讨近世代数教学大纲的教学目标，并对其进行深入分析。
首先，近世代数教学大纲的教学目标之一是培养学生的代数思维能力。
代数思维是近世代数学习的基础，也是学生在解决实际问题时必不可少的思维方式。
通过近世代数的学习，学生可以培养逻辑思维、抽象思维和推理能力，提高解决问题的能力。
因此，近世代数教学大纲应该强调培养学生的代数思维能力，使学生能够熟练运用代数方法解决实际问题。
其次，近世代数教学大纲的教学目标之二是提高学生的抽象思维能力。
近世代数研究的对象是抽象的代数结构，学生在学习近世代数时需要具备一定的抽象思维能力。
通过近世代数的学习，学生可以学会将具体问题抽象为代数结构，进而利用代数方法进行分析和求解。
因此，近世代数教学大纲应该注重培养学生的抽象思维能力，使学生能够熟练运用抽象思维解决实际问题。
此外，近世代数教学大纲的教学目标之三是拓宽学生的数学视野。
近世代数作为数学学科的一个重要分支，它不仅具有自身的研究内容和方法，还与其他数学学科有着密切的联系。
通过近世代数的学习，学生可以了解代数学科的发展历程、基本概念和研究方法，进一步拓宽了他们的数学视野。
因此，近世代数教学大纲应该注重培养学生对数学学科整体的认识，使学生能够将近世代数与其他数学学科相结合，发现数学的内在联系。
最后，近世代数教学大纲的教学目标之四是培养学生的创新能力。
近世代数作为一个活跃的研究领域，其发展不仅需要学生掌握基本的代数知识和方法，还需要学生具备创新意识和创新能力。
通过近世代数的学习，学生可以培养创新思维、探究精神和解决问题的能力，为将来从事科研工作打下坚实的基础。
因此，近世代数教学大纲应该注重培养学生的创新能力，使学生能够在学习中不断探索、创新和提高。
近世代数教学大纲
近世代数教学大纲一、课程基本信息课程名称：近世代数课程类别：数学专业基础课课程学分：＿____课程总学时：＿____授课对象：数学专业本科生二、课程教学目标1、使学生掌握近世代数的基本概念、理论和方法，包括群、环、域等代数结构。
2、培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，提高学生的数学素养。
3、引导学生运用近世代数的方法解决实际问题，培养学生的创新能力和应用能力。
三、课程教学内容与要求（一）群论1、群的定义和基本性质理解群的定义，包括群的运算满足的四个条件（封闭性、结合律、单位元、逆元）。
掌握群的例子，如整数加法群、对称群等。
熟悉群的基本性质，如消去律、元素的阶等。
2、子群、陪集和拉格朗日定理子群的定义和判定方法。
理解陪集的概念和性质。
掌握拉格朗日定理及其应用。
3、群的同态和同构群同态和同构的定义及性质。
了解同态基本定理。
4、循环群和置换群循环群的结构和性质。
掌握置换群的表示和运算。
（二）环论1、环的定义和基本性质理解环的定义，包括环的运算满足的条件。
熟悉环的基本性质，如零因子、单位元等。
2、子环、理想和商环子环的定义和判定方法。
理想的概念和性质。
掌握商环的构造和性质。
3、环的同态和同构环同态和同构的定义及性质。
4、整环、域和分式域整环和域的定义和性质。
了解分式域的构造。
（三）域论1、域的扩张理解域扩张的概念。
掌握域扩张的次数。
2、有限域有限域的结构和性质。
四、课程教学方法1、课堂讲授：通过讲解基本概念、定理和例题，使学生掌握近世代数的核心内容。
2、课堂讨论：组织学生对一些疑难问题进行讨论，培养学生的思维能力和表达能力。
3、课后作业：布置适量的作业，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
4、课外辅导：对学生在学习过程中遇到的问题进行个别辅导。
五、课程考核方式1、平时成绩（包括作业、考勤、课堂表现等）：占总成绩的_____。
2、期中考试：占总成绩的_____。
3、期末考试：占总成绩的_____。
六、教材及参考资料1、教材：《近世代数》，＿____著，＿____出版社。
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《近世代数》课程是现代数学的基础,既 是中学代数的继续发展，也是高等代数课程的 继续和发展,同时它又同拓扑学、实变函数与泛 函分析构成现代数学的三大基石，是进入数学 王国的必由之路，是数学与应用数学专业学生 必修的重要基础课。 同学应当具备有初等代数，高等代数的 背景，此外还有初等数论等方面的知识背景。
近世代数理论的三个来源
(1) 代数方程的解 (2) Hamilton四元数的发 (3) Kummer理想数的发现
（1） 代数方程的解 两千多年之前古希腊时代数学家就能够利用开 ax2+bx+c=0 方法解二次方程 。16世纪初欧洲 文艺复兴时期之后，求解高次方程成为欧洲代 数学研究的一个中心问题。1545年意大利数学 家 G.Cardano(1501-1576)在他的著作《大术》 （Ars Magna）中给出了三、四次多项式的求根 公式，此后的将近三个世纪中人们力图发现五 次方程的一般求解方法，但是都失败了。
直到1824年一位年青的挪威数学家 N.Abel (1802-1829) 才证明五次和五次以上的一般代数方程 没有求根公式。但是人们仍然不知道什么条件之下一 个已知的多项式能借助加、减、乘、除有理运算以及 开方的方法求出它的所有根,什么条件之下不能求根。 最终解决这一问题的是一位法国年青数学家 E.Galois(1811—1832)，Galois引入了扩域以及群的 概念，并采用了一种全新的理论方法发现了高次代数 方程可解的法则。在Galois之后群与域的理论逐渐成 为现代化数学研究的重要领域，这是近世代数产生的 一个最重要的来源。
阿贝尔
加罗华
被誉为天才数学家的伽罗瓦（1811-1832）是近世代数的创始人之一。他深入 研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“伽罗瓦域”、 “伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦群理 论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透 彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断 几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方 体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代 替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数 学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展 产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构 主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。
Kummer方法的前提是形如a+bη的复整数也象 整数一样具有唯一的素因子分解，其中a与b是通 常整数。并不是对于每个整数n,复整数a+bη都具 有唯一分解性，Kummer把这种复整数的因子分解 称为理想数的分解。 用这种方法 Kummer证明了n≤100时费马大定 理成立,理想数的方法不但能用于费马问题研,实 际上是代数数论的重要研究内容，其后德国数学 家R.Dedekind(1831-1916)把理想数的概念推广为 一般的理想论，使它成为近世代数的想法是：如果上面的方程有正 整数解，假定η是一个n次本原单位根，那么 xn+yn=zn 的等式两边可以作因子分解 zn=(x+y)(x+ηy)…(x+ηn-1y),象整数中的因子分解 一样，如果等式右边的n个因子两两互素，那么 每个因子都应是另外一个“复整数”的n次方幂, 进行适当的变换之后有可能得到更小的整数 x1,y1,z1使 xn+yn=zn 成立，从而导致矛盾。如果 上面等式右边的n个因子有公因式，那么同除这 个公因式再进行上面同样的讨论。
高度的抽象是近世代数的显著特点，它 的基本概念：群、环、域，对初学者也是很抽 象的概念，因此，在本课程的学习中，大家要 多注意实例,以加深对概念的正确理解。 近世代数的习题，因抽象也都有一定的 难度，但习题也是巩固和加深理解不可缺少的 环节，因此，应适当做一些习题，为克服做习 题的困难，应注意教材内容和方法以及习题课 内容。
（3）Kummer理想数的发现
17世纪初法国数学家费马(P.Fermat 1601-1665） 研究整数方程时发现当n≥3时，方程 xn+yn=zn 没有正整数解，费马认为他能够证明这个 定理，但是其后的三百多年中人们研究发现这是一个 非常困难的问题，这一问题被后来的研究者称为费马 问题或费马大定理，此定理直到1995年才被英国数学 家A.Wiles证明。对费马问题的研究在三个半世纪内从 未间断过，欧拉、高斯等著名数学家都对此作出过重 要贡献。但最重大的一个进展是由E.Kummer作出的。
(2)Hamilton四元数的发现
长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法，后来发现 可以把复数看成二元数(a,b)=a+bi，其中i2= -1。二元数按 (a,b)±(c,d)=(a±c,b±d)，(a,b)(c,d)=(ad+bc,ac-bd)的法则进行代 数运算，二元数具有直观的几何意义；与平面上的点一一对应。 这是数学家高斯提出的复数几何理论。二元数理论产生的一个 直接问题是：是否存在三元数？经过长时间探索，力图寻求三 元数的努力失败了。但是爱尔兰数学家W.Hamilton(1805-1865) 于1843年成功地发现了四元数。四元数系与实数系、复数系一 样可以作加减乘除四则运算，但与以前的数系相比，四元数是 一个乘法不交换的数系。从这点来说四元数的发现使人们对于 数系的代数性质的认识提高了一大步。四元数代数也成为抽象 代数研究的一个新的起点，它是近世代数的另一个重要理论来 源。
主要参考书
1．B．L．瓦德瓦尔登著：代数学Ⅰ、Ⅱ 卷，科学出版社，1964年版 2．N．贾柯勃逊著：抽象代数1、2、3卷， 科学出版社，1987年出版 3. <<近世代数基础>>，张禾瑞 ，高等教 育出版，1978年修订本。 4．刘绍学著：近世代数基础，高等教育 出版社，1999年出版
5．石生明著：近世代数初步、高等教育出版 社，2002年出版 6.《近世代数》，吴品山，人民教育出版社， 1979。 7.《抽象代数学》，谢邦杰，上海科学技术出 版社， 1982。 8.《抽象代数基础》，刘云英，北京师范大学 出版 社，1990年。