九年级数学上册第二章一元二次方程2.2用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法解简单的一元二次方程同
2.2.1用配方法求解一元二次方程(第1课时)(课件)2024-2025学年九年数学上册(北师大版)
问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完
10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长
吗？
解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积
为6x2dm2，可列出方程
10×6x2=1500，
由此可得 x2=25 开平方得
x=±5，
即x1=5，x2=－5.
因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm．
为多少？
35 m
解: 设道路的宽为 x m．
35×26＝850＋(26＋35)x－x2．
x2－61x＋60＝0．
得 x1＝60(舍去)，x2＝1．
所以，道路的宽为 1 m．
(2)移项，得2(x－3)2=50.系数化为1，得(x－3)2=25.
开平方，得x－3=±5.
∴ x1=8，x2=－2.
探索&交流
议一议
你能解方程 x2 + 12x-15 = 0 吗？你遇到的困难是什么？
你能设法将这个方程转化成上面的形式吗？与同伴进行交流.
x2 + 12x -15 = 0
移项，得
+px+（
p 2
）
2
=（
p
2
）
2
p
2
p
=（ 2
）2 - q
）2 -q
探索&交流
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤
(1)移项.
(2)二次项系数化为1.
(3)配方.
(4)开方.
例题欣赏
☞
例2.解方程：x2 + 8x–9 = 0.
解: 可以把常数项移到方程的右边，得
x2 + 8x = 9.
2022年九年级数学上册第二章一元二次方程2.2用配方法求解一元二次方程第1课时直接开平方法与配方法
0,
1 3
y
2
1
5,
①
1 y 1 5, ②
3
1 y 1 5, ③
3
y 3 5 1, ④
解：不对，从开始错，应改为
1 3
y
1
5,
y1 3 5 3, y2 3 5 3.
5.解下列方程：
1 x2 4x 4 5
x 22 解5, ： x 2 5,
x 2 5, x 2 5,
第二章 一元二次方程
2.2用配方法求解一元二次方程
（第1课时 直接开平方法与配方法(1)）
学习目标
1.会用直接开平方法解形如(x+m)2＝n (n>0)的方程. （重点） 2.理解配方法的基本思路.（难点） 3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程. （重点）
复习引入
导入新课
1.如果 x2=a,则x叫作a的 平方根 .
(B) (x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
(C)
4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)=
±3,
1
x1=4
;
x2=
7 4
(D) (2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
2.填空:
(1)方程x2=0.25的根是 x1=0.5,x2=-0.5 . (2)方程2x2=18的根是x1＝3,x2＝-3 . (3)方程(2x-1)2=9的根是x1＝2,x2＝－1 .
的实数根 x1 p ，x2 p ；
(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 x1 x2 =0；
(3)当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以
方程(I)无实数根.
九年级数学上册 第二章 一元二次方程 2 用配方法求解一元二次方程 解一元二次方程课标解读素材 (新
解一元二次方程课标解读一、课标要求包括配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程．?义务教育数学课程标准〔 2022年版〕?对解一元二次方程一节相关内容提出的要求如下。
1．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程．2．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等．3．了解一元二次方程的根与系数的关系．二、课标解读1．学生已经学习一元一次方程的解法和实际应用，知道可以利用运算律、等式的根本性质，通过去括号、移项、合并同类项等求出它的解．学生还学过二元一次方程组以及三元一次方程组的解法和实际应用，知道可以通过消元，将它们转化为一元一次方程．从数学知识的内部开展看，二元、三元一次方程组可以看成是对一元一次方程在“元〞上的推广．自然地，如果在次数上做推广，首先就是一元二次方程．类比二〔三〕元一次方程组的解法，可以想到：能否将一元二次方程转化为一元一次方程？如何转化？因此，利用什么方法将“二次〞降为“一次〞，这是本章学习的另一条主线．与一元一次方程、二元一次方程组的解法相比，一元二次方程的解法涉及更多的知识，可以根据方程的具体特点，选择相关的知识和方法，对方程进行求解．这是培养学生的思维品质，特别是思维的敏捷性、灵活性、深刻性的时机．根据?课程标准〔 2022年版〕?的规定，教科书着重介绍了配方法、公式法和因式分解法等一元二次方程的解法，而且限定解数字系数的一元二次方程．2．解一元二次方程的根本策略是降次，即通过配方、因式分解等，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．具体地，根据平方根的意义，可得出方程和的解法；通过配方，可将一元二次方程转化为的形式再解；一元二次方程的求根公式，就是对方程配方后得出的．如能将分解为两个一次因式的乘积，那么可令每个因式为0来解．一元二次方程的三种解法——配方法、公式法和因式分解法各有特点．一般地，配方法是推导一元二次方程求根公式的工具．掌握了公式法，就可以直接用公式求一元二次方程的根了．当然，也要根据方程的具体特点，选择适当的解法，因式分解法就显示了这样的灵活性．配方法是一种重要的、应用广泛的数学方法，如后面研究二次函数时也要用到它．在推导求根公式的过程中，从到再到，是方程形式的不断推广，表达了从特殊到一般的过程；而求解方程的过程那么是将推广所得的方程转化为已经会解的方程，表达了化归思想．显然，这个过程对于培养学生的推理能力、运算能力等都是很有作用的．3．与?课程标准〔实验稿〕?相比，?课程标准〔 2022年版〕?重新强调了一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系的重要性，要求“会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等〞，“了解一元二次方程的根与系数的关系〞，这是需要注意的一个变化．这里不仅是为了一元二次方程理论的完整性，更重要的是为了解决初高中衔接问题．实际上，一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系在高中数学中有着广泛的应用，是学习高中数学的必备根底．教科书先以一个设计人体雕像的实际问题作为开篇，并在第一节中又给出两个实际问题，通过建立方程，并引导学生思考这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念、一般形式，给出一元二次方程根的概念．在这个过程中，通过归纳具体方程的共同特点，定义一元二次方程的概念，表达了研究代数学问题的一般方法；一般形式也是对具体方程从“元〞〔未知数的个数〕、“次数〞和“项数〞等角度进行归纳的结果；a ≠0的规定是由“二次〞所要求的，这实际上也是从不同侧面理解一元二次方程概念的契机．一元二次方程的解法，包括配方法、公式法和因式分解法等，是全章的重点内容之一．教科书在第二节中，首先通过实际问题，建立了一个最简单的一元二次方程，并利用平方根的意义，通过直接开平方法得到方程的解；然后将它一般化为，通过分类讨论得到其解的情况，从而完成解一元二次方程的奠基．接着，教科书安排“探究〞栏目，自然引出解并总结出“降次〞的策略，从而为用配方法解比拟复杂的一元二次方程做好铺垫，然后教科书重点讲解了配方的步骤，并归纳出通过配方将一元二次方程转化为后的解的情况．以配方法为根底，教科书安排了“探究〞栏目，引导学生自主地用配方法解一般形式的一元二次方程(a≠0)，得到求根公式．最后，通过实际问题，获得一个显然可以用“提取公因式法〞而到达“降次〞目的的方程，从而引出因式分解法解一元二次方程，并在“归纳〞栏目中总结出几种解法的根本思路、各自特点和适用范围等．上述过程的思路自然，表达了从简单的、特殊的问题出发，通过逐步推广而获得复杂的、一般的问题，并通过将一般性问题化归为特殊问题，获得这一类问题的解．这是具有普适性的数学思想方法．由于限定在实数范围，因此对求根公式，首先要关注判别式的讨论．这是使学生领悟分类讨论数学思想方法的契机．另一方面，求根公式不仅直接反映了方程的根由系数唯一确定〔系数a，b，c确定，方程就确定，其根自然就唯一确定〕，而且也反映了根与系数的联系．这里表达了一种多角度看问题的思想观点，而根与系数的联系表达非常简洁．教科书仍然采用从特殊到一般的方法，先讨论“将方程化为的形式，，与p，q之间的关系〞，在“+，〞的启发下，利用求根公式求和，进而得到根与系数的关系．让学生学习根与系数的关系，不仅能深化对一元二次方程的理解，提高用一元二次方程分析和解决问题的能力，而且也是培养学生发现和提出问题的能力的时机．根与系数的关系是求根公式的自然延伸，得出它的过程并不复杂，而其中蕴含的思想很重要．所以，对于根与系数的关系，教科书着重在其数学思想的启发和引导上，而对用根与系数的关系去解决问题，严格地控制了难度．。
北师大版数学九年级上册2.2用配方法解一元二次方程说课稿
课后作业的目的是让学生巩固所学知识，提升应用能力。我会布置一些与本节课内容相关的题目，如运用配方法解决实际问题、总结配方法的步骤等。同时，我还会鼓励学生进行自主学习，查阅相关资料，加深对配方法的理解。作业的布置将根据学生的实际情况进行调整，确保每个学生都能在作业中得到锻炼和提高。
五、板书设计与教学反思
（二）教学目标
1.知识与技能目标：学生能够理解配方法的概念，掌握配方法的步骤，能够运用配方法解一元二次方程。
2.过程与方法目标：通过自主探究、合作交流的方式，学生能够发现配方法解一元二次方程的规律，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够体验到数学的乐趣，增强对数学学习的兴趣，培养积极的学习态度。
（四）总结反馈
在总结反馈阶段，我会引导学生自我评价，并提供有效的反馈和建议。首先，我会让学生回顾本节课所学的知识点，让他们自己总结配方法的概念和步骤。然后，我会邀请学生分享自己在解决问题过程中的心得和体会，让其他同学进行评价和借鉴。最后，我会根据学生的表现，给予他们个性化的反馈和建议，帮助他们进一步提高。
（一）板书设计
我的板书设计将注重布局的合理性、内容的精炼性和风格的简洁性。布局上，我会将板书分为几个部分，包括配方法的概念、步骤和示例等。内容上，我会突出配方法的关键步骤和注意事项，以及如何运用配方法解一元二次方程。风格上，我会采用清晰的字体和简洁的图形，以突出重点，便于学生理解和记忆。板书在教学过程中的作用是引导学生思考、概括和总结，确保学生能够把握知识结构，提高学习效果。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我会逐步呈现配方法的知识点，引导学生深入理解。首先，我会介绍配方法的基本步骤，包括将方程写成标准形式、找到方程的根与系数的关系、添加适当的常数使得方程变为完全平方等。接着，我会通过具体的例子，演示配方法的操作过程，让学生跟随步骤一起操作，从而加深他们对配方法的理解。同时，我会引导学生思考配方法背后的数学原理，让他们明白配方法的本质。
九年级数学上一元二次方程2.2一元二次方程的解法1配方法__直接开平方法习题湘教
You made my day!
17.用直接开平方法解下列方程．
(1)3(2x－5)2－36＝0；
解：移项，得 3(2x－5)2＝36，
两边同时除以 3，得(2x－5)2＝12.
开方，得 2x－5＝±2 3，
∴2x－5＝2 3或 2x－5＝－2 3.
∴x1＝5＋22
3，x2＝5－22
3 .
(2)4(2y－5)2＝9(3y－1)2.
(2)若max{(x－1)2，x2}＝9，求x的值． 解：∵max{(x－1)2，x2}＝9， ∴当max{(x－1)2，x2}＝x2时，(x－1)2＜x2，x2＝9， 解得x1＝－3(不合题意，舍去)，x2＝3， 当max{(x－1)2，x2}＝(x－1)2时，(x－1)2＞x2，(x－1)2＝9， ∴x－1＝±3，∴x－1＝－3或x－1＝3， 解得x1＝－2，x2＝4(不合题意，舍去)， 综上所述，x的值为3或－2.
16．将 4 个数 a，b，c，d 排成两行两列，两边各加一条竖直线 记成ac db，定义ac db＝ad－bc，上述记号叫作二阶行列 式，若x2－1 x－－31＝7，则 x＝__0_或__2___．
【点拨】根据题意得(x－1)2－2×(－3)＝7，∴(x－1)2＝1， 开方得，x－1＝±1，∴x1＝2，x2＝0.
A．x1＝x2＝3 C．x1＝x2＝－ 3
B．x1＝x2＝ 3 D．x1＝ 3，x2＝－ 3
4．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无实数解
的方程为( C )
A．x2－5＝0
B．3x2＝0
C．3x2＋10＝0
D．－x2＋8＝0
5．【2020·扬州】方程(x＋1)2＝9的根是_x_1＝__2_，__x_2_＝__－__4_．
北师大版数学九年级上册2.2用配方法求解一元二次方程(第一课时)优秀教学案例
3.小组合作的学习方式：组织学生进行小组合作、讨论交流，培养学生合作意识和团队精神，提高自主学习能力。这种学习方式使得学生在互动中思考，共同解决问题，增强学生的团队协作能力。
（二）讲授新知
1.配方法的原理：引导学生发现配方法的基本步骤和规律。例如：“同学们，我们刚才观察到的抛物线，其实可以用配方法来求解。配方法是一种解一元二次方程的有效方法，它包括以下几个步骤：第一步，将方程写成标准形式；第二步，找到方程中的a、b、c值；第三步，进行配方；第四步，求解方程。通过这些步骤，我们可以轻松地求解一元二次方程。”
2.强调配方法在实际生活中的应用，提高学生的应用意识。例如：“同学们，配方法不仅在数学学习中有着重要作用，它在生活中也有很多应用。比如，在租赁房屋、购买商品等方面，我们都可以运用配方法来解决问题。”
（五）作业小结
1.布置相关的作业，让学生巩固所学知识。例如：“同学们，请大家课后运用配方法解几个一元二次方程，并将解题过程写下来。这样可以加深对配方法的理解和记忆。”
2.配方法的应用：通过例题讲解，让学生掌握配方法解题的具体步骤。例如：“同学们，现在我们来解决一个实际问题。假设有一个一元二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0。我们来按照配方法的步骤来解这个方程。”
（三）学生小组讨论
1.组织学生进行小组讨论，让学生合作探索配方法的应用。例如：“同学们，现在请大家分成小组，一起讨论如何运用配方法解这个方程。每个小组成员都要发表自己的观点，共同得出解题思路。”
2.鼓励学生提出问题，培养学生的质疑精神和探究能力。例如，在教学过程中，鼓励学生提问：“为什么配方法可以解一元二次方程？”“配方法的步骤有哪些？”等。
用配方法求解一元二次方程(第1课时)北师大版九年级数学上册教学详案
第二章 一元二次方程2 用配方法求解一元二次方程第1课时 用配方法求解简单的一元二次方程教学目标1.根据平方根的意义解形如x 2＝n (n ≥0)的方程.2.理解配方法，会用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程.3.把一元二次方程通过配方转化为(x+m )2＝n (n ≥0)的形式，体会转化的数学思想.教学重难点重点：利用配方法解一元二次方程.难点：把一元二次方程通过配方转化为(x ＋m )2＝n (n ≥0)的形式.教学过程导入新课试一试:解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.(1)x 2＝4; (2) x 2＝0; (3) x 2+1＝0.解:根据平方根的意义，得（1）x 1＝2,x 2＝-2 ;（2）x 1＝x 2＝0 ;（3）x 2＝-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解.探究新知思考：如果我们把x 2＝4，x 2＝0，x 2+1＝0变形为x 2＝p ，各方程的解会是什么情形？老师总结：一般地，对于方程x 2＝p ：（1）当p >0 时，根据平方根的意义，方程x 2＝p 有两个不相等的实数根x 1＝−√p ，x 2＝√p ；（2）当p ＝0 时，根据平方根的意义，方程x 2＝p 有两个相等的实数根x 1＝x 2＝0； （3）当p <0 时，因为对任何实数x ，都有x 2≥0，所以方程x 2＝p 无实数根. 例1：利用直接开平方法解下列方程: （1）x 2＝25; (2) x 2-900＝0; (3)(x +2)2＝7; (4)2(1−3x)2-18＝0. 解：(1) x 2＝25 直接开平方，得x ＝±5,即x 1＝5，x 2＝-5. （2）x 2-900＝0，移项，得x 2＝900，直接开平方，得x ＝±30，即x 1＝30，x 2＝-30.（3）(x +2)2＝7，直接开平方，得x +2＝±√7，即x 1＝-2+√7，x 2＝-2-√7. （4）2(1−3x)2-18＝0，移项，得2(1−3x)2＝18，则(1−3x)2＝9，直接开平方，得1-3x ＝±3, 即1-3x ＝3或1-3x ＝ -3，解得x 1＝−23，x 2＝43. 注意：（1）采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为x 2＝p 或（mx ＋n ）2＝ p （p ≥0）的形式的方程，可得方程的根为x ＝±√p 或mx ＋n ＝±√p .（2）利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当p 为非负常数时，方程才有解，并且要注意开方的结果有“正”“负”两种情况.做一做：填上适当的数，使下列等式成立.（1）x 2＋12x ＋36＝(x ＋6)2＋6)2＝ x 2+12x ＋36； （2）x 2―4x ＋4＝(x ―2)2 x ―2)2＝ x 2―4x ＋4； （3）x 2＋8x ＋16＝(x ＋4)2 ＋4)2＝x 2＋8x ＋16； （4）a 2+2ab +b 2＝( a +b )2 (a +b )2＝ a 2+2ab +b 2；教学反思（5）a 2-2ab +b 2＝( a -b )2-b )2＝ a 2-2ab +b 2.问题：上面左侧等式的左边的常数项和一次项系数有什么关系？老师总结：二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方. 对于形如 x 2+ax+(a 2)2的式子如何配成完全平方式？老师总结：x 2+ax +(a 2)2＝(x +a 2)2.将不是平方形式的方程，通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 例2：用配方法解方程：x 2＋8x ―9＝0. 分析：先把它变成（x +m )2＝n 的形式再用直接开平方法求解. 解：移项，得x 2＋8x ＝9.两边同时加上一次项系数8的一半的平方,得x 2＋8x +42＝9+42，即（x +4)2＝25.两边开平方，得x +4＝±5，即x +4＝5或x +4＝-5，所以x 1＝1，x 2＝−9.用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤： (1)移 —— 移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项. (2)配 —— 配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使原方程变为(x ＋m )2＝n 的形式.(3)开 —— 如果方程的右边是非负数，即n ≥0，就可左右两边开平方得x ＋m ＝±√n ；当n <0时，原方程无解.(4)解 —— 方程的解为x ＝－m ±√n .即用配方法解方程的基本思路:把方程化为（x +n )2＝p 的形式，将一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程求解. 问题解决： 上节课梯子底部滑动问题：x 2+12x -15＝0.（让学生仿照例2，独立解决） 解：x 2+12x －15＝0，移项，得x 2+12x ＝15.两边同时加上一次项系数12的一半的平方，得x 2+12x +62＝15+62，即(x +6)2＝51.两边开平方，得x +6＝±√51.所以x 1＝√51―6，x 2＝―√51―6(不合实际).注意：在实际问题中，要根据具体问题中的实际意义检验方程解的合理性. 课堂练习1.一元二次方程x 2-16＝0的根是( ) A.x ＝2 B.x ＝4 C.x 1＝2,x 2＝2 D.x 1＝4,x 2＝-42.一元二次方程x 2-6x -6＝0配方后为 ( ) A.(x -3)2＝15 B.(x -3)2＝3 C.(x +3)2＝15 D.(x +3)2＝33.用配方法解方程x 2-3x -3＝0时，配方结果正确的是( ) A.(x −3)2＝3 B.(x −32)2＝3 C. (x −3)2＝34 D.(x −32)2＝2144.若一元二次方程x 2+bx +5＝0配方后为(x −3)2＝k ，则b ，k 的值分别教学反思为（）A. 6，13B.6，4C.-6，4D.-6，135.用配方法解方程:(1)x2-2x＝4; (2)x2+4x-1＝0.参考答案1.D2.A3.D4.C5.解：(1)方程两边都加上1,得x2-2x+1＝5,即(x-1)2＝5，所以x-1＝±√5,所以原方程的解是x1＝1+√5，x2＝1-√5.(2)移项，得x2+4x＝1.配方,得x2+4x+4＝1+4，即(x+2)2＝5.开方，得x+2＝±√5.所以x1＝-2+√5,x2＝-2-√5.课堂小结1.配方法：x2+ax+(a2)2＝(x+a2)2.2.用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：布置作业课本习题2.3 知识技能 1 问题解决2，3板书设计2用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法求解简单的一元二次方程1.配方法：x2+ax+(a2)2＝(x+a2)2.2. 用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：.教学反思。
用配方法求解一元二次方程第1课时课件北师大版九年级上册数学
学习目标
活动探究
当堂检测
课堂总结
试一试：用配方法解决梯子底部滑动问题：x2 + 12x -15=0 .
解：可以把常数项移到方程的右边,得x2+12x=15 ,
两边都加62（一次项系数6的一半的平方）,得
x2+12x+62=15+62,
即（x+6）2=51. 两边开平方,得x+6= 51 , 即x+6= 51或x+6= 51.
直接开平方法：形如（x + m）2 = n (n≥0)
用配方法解 一元二次方程
基本思路： 将方程转化为（x + m）2 = n (n≥0)的情势，再用直接开平方法，
直接求根.
解二次项系数为1的一元二次方程步骤
1.移项 2.配方 3.直接开平方求解
解：（1）∵x2=4， 开平方，得x=±2. （2）∵x2=5， 开平方，得x=± 5 .
（3）∵(x+2)2=5， 开平方，得x+2=± 5 ， ∴x+2= 5 或x+2=- 5 ， ∴x= 5 -2或x=- 5 -2.
对于形如x2 =a(a≥0)的方程,根据平ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ根的定义,可解得x1 a , x2 a
试总结用配方法解一 元二次方程的步骤.
所以x1= 51 6 , x2= 51 6 .
归纳总结 利用配方法解一元二次方程的步骤： （1）移项:把常数项移到方程的右边; （2）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; （3）变形:方程左边写成完全平方式，右边合并同类项; （4）开方：根据平方根的概念，将一元二次方程转化为两个一元一 次方程； （5）求解：解一元一次方程； （6）定解：写出原方程的解．
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2 第1课时 用配方法解简单的一元二次方程
知识点 1 直接开平方法
1．一元二次方程x 2－16＝0的根是( )
A ．x ＝2
B ．x ＝4
C ．x 1＝2，x 2＝－2
D ．x 1＝4，x 2＝－4
2．对于形如(x ＋m )2＝n 的方程，下列说法正确的是( )
A ．可以直接开平方得x ＝－m ±n
B ．可以直接开平方得x ＝－n ±m
C ．当n ≥0时，直接开平方得x ＝－m ±n
D ．当n ≥0时，直接开平方得x ＝－n ±m
3．一元二次方程(x ＋6)2－9＝0的解是( )
A ．x 1＝6，x 2＝－6
B ．x 1＝x 2＝－6
C ．x 1＝－3，x 2＝－9
D ．x 1＝3，x 2＝－9
4．已知关于x 的一元二次方程(x ＋1)2－m ＝0有实数根，则m 的取值范围是( )
A ．m ≥－34
B ．m ≥0
C ．m ≥1
D ．m ≥2 5．若一元二次方程(x ＋6)2＝5可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是x ＋6＝ 5，
则另一个一次方程是________________．
6．用直接开平方法解下列方程：
(1)(2x ＋1)2－6＝0；
(2)(x－2)2＋4＝0.
知识点2 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程7．用配方法解方程x2＋2x－5＝0时，原方程应变形为( ) A．(x－1)2＝6 B．(x＋1)2＝6
C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9
8．将x2＋49配成完全平方式，需加上的一次项为( ) A．7x B．14x
C．－14x D．±14x
9．若x2－4x＋p＝(x＋q)2，则p，q的值分别是( )
A．p＝4，q＝2 B．p＝4，q＝－2
C．p＝－4，q＝2 D．p＝－4，q＝－2
10．一元二次方程a2－4a－7＝0的解为_____________．11．用配方法解下列方程：
(1)x2＋4x－2＝0；
(2)x2－x－1＝0；
(3)x2－3x＝3x＋7；
(4)x2＋2x＋2＝6x＋4.
12．若把x 2＋2x －2＝0化为(x ＋m )2＋k ＝0的形式(m ，k 为常数)，则m ＋k 的值为( )
A ．－2
B ．－4
C ．2
D ．4
13．用配方法解关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0时，方程可变形为( )
A ．(x ＋p 2)2＝p 2－4q 4
B ．(x ＋p 2)2＝4q －p 24
C ．(x －p 2)2＝p 2－4q 4
D ．(x －p 2)2＝4q －p 24
14．代数式x 2＋4x ＋7的最小值是________．
15．若一元二次方程ax 2
＝b (ab ＞0)的两个根分别是m ＋1与2m －4，则b a ＝________． 16．小明用配方法解一元二次方程x 2－4x －1＝0的过程如下所示：
解：x 2－4x ＝1，①
x 2－4x ＋4＝1，②
(x －2)2＝1，③
x －2＝±1，④
x 1＝3，x 2＝1.⑤
(1)小明解方程的方法是________，他的求解过程从第________步开始出现错误，这一步的运算依据应该是____________________；
(2)解这个方程．
17．若a2＋2a＋b2－6b＋10＝0，求a2－b2的值．
18．在宽为20 m，长为32 m的矩形耕地上修筑同样宽的三条道路，两条纵向、一条横向，横向与纵向互相垂直(如图2－2－1)，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为570 m2，求道路的宽．
图2－2－1
19．定义一种运算“*”：当a ≥b 时，a *b ＝a 2＋b 2；当a ＜b 时，a *b ＝a 2－b 2，则方程x *2＝12的解是________．
20．将4个数a ，b ，c ，d 排成两行两列，两边各加一条竖直线记成⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a b c d ，我们将其称为二阶行列式，并定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋1 1－x x －1 x ＋1＝6，则x ＝________．
详解
1．D 2.C
3．C [解析] (x ＋6)2＝9，∴x ＋6＝±3，
∴x 1＝－3，x 2＝－9.故选C.
4．B
5．x ＋6＝－ 5 [解析] 直接开平方，得x ＋6＝± 5.
6．解：(1)移项，得(2x ＋1)2＝6，
直接开平方，得2x ＋1＝±6，即2x ＝－1±6，
解得x 1＝－1＋62，x 2＝－1－62
. (2)移项，得(x －2)2＝－4，
∵(x －2)2≥0，－4＜0，
∴该方程无实数根．
7．B [解析] x 2＋2x －5＝0，x 2＋2x ＝5，x 2＋2x ＋1＝5＋1，(x ＋1)2＝6.故选B.
8．D
9．B [解析] 由x 2－4x ＋p ＝(x ＋q )2＝x 2＋2qx ＋q 2，得2q ＝－4，p ＝q 2，
解得p ＝4，q ＝－2. 10．a 1＝2＋11，a 2＝2－11
11．解：(1)移项，得x 2＋4x ＝2.
配方，得x 2＋4x ＋4＝6.
整理，得(x ＋2)2＝6，
∴x ＋2＝±6，
即x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6.
(2)移项，得x 2－x ＝1.
配方，得x 2
－x ＋14＝54. 整理，得(x －12)2＝54
， ∴x －12＝±52
， 即x 1＝1＋52，x 2＝1－52
. (3)原方程可化为x 2－6x ＝7.
配方，得x 2－6x ＋9＝7＋9.
整理，得(x －3)2＝16，
∴x －3＝±4，
即x 1＝7，x 2＝－1.
(4)移项，得x 2＋2x －6x ＝4－2.
合并同类项，得x 2－4x ＝2.
配方，得x 2－4x ＋22＝2＋22.
整理，得(x －2)2＝6，
所以x －2＝6或x －2＝－6， 即x 1＝2＋6，x 2＝2－ 6.
12．A [解析] x 2＋2x ＝2，x 2＋2x ＋1＝3，(x ＋1)2＝3，所以m ＝1，k ＝－3，所以m ＋k ＝1－3＝－2.
故选A.
13．A [解析] 首先进行移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方式，右边是常数的形式．
14．3 [解析] x 2＋4x ＋7＝x 2＋4x ＋4＋3＝(x ＋2)2＋3≥3，则原式的最小值为3.
15．4 [解析] 利用直接开平方法得到x ＝±b a
，得到方程的两个根互为相反数，所以m ＋1＋2m －4＝0，解得m ＝1，则方程的两个根分别是2与－2，则有
b a ＝2，然后两边平方得到b a
＝4. 16．解：(1)小明解方程的方法是配方法，他的求解过程从第②步开始出现错误，这一步的运算依据应该是等式的基本性质．
故答案为：配方法，②，等式的基本性质．
(2)x 2－4x ＝1，
x 2－4x ＋4＝1＋4，
(x －2)2＝5，
x －2＝±5， x ＝2±5，
∴x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5.
17．解：∵a 2＋2a ＋b 2－6b ＋10＝0，
∴(a 2＋2a ＋1)＋(b 2－6b ＋9)＝0，
即(a ＋1)2＋(b －3)2＝0，
∴a ＝－1，b ＝3，
∴a 2－b 2＝(－1)2－32＝－8.
18．解：设道路的宽为x m ，
由题意得(32－2x )(20－x )＝570，
整理，得x 2－36x ＋35＝0， 解得x 1＝1，x 2＝35.
∵x ＝35＞20，∴不合题意，舍去． 答：道路的宽为1 m.
19．x 1＝2 2，x 2＝－4 [解析] 当x ≥2时，x *2＝x 2＋22＝12， 解得x 1＝2 2，x 2＝－2 2. 因为x ≥2，所以x ＝22； 当x ＜2时，x *2＝x 2－22＝12， 解得x 1＝4，x 2＝－4.
因为x ＜2，所以x ＝－4.
综上可知，方程的解为x 1＝2 2，x 2＝－4.
20．± 2 [解析] 定义⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a b c d ＝ad －bc ， 若⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋1 1－x x －1 x ＋1＝6， 则(x ＋1)2－(x －1)(1－x )＝6， 化简得x 2＝2，
即x ＝± 2.。