江苏省常州一中2016届高三数学上册期中考试题
2016年江苏省常州一中高三理科上学期数学期中考试试卷
2016年江苏省常州一中高三理科上学期数学期中考试试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 已知全集，，，那么 ______．2. 设函数，则的值为______．3. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是______．4. 设，满足约束条件则目标函数的最大值为______．5. 不等式的解集为______．6. 下列四个命题中：（）若，则；（）命题：“，”的否定是“，”；（）直线与垂直的充要条件为；（）“若，则或”的逆否命题为“若或，则”；其中正确的一个命题序号是______．7. 如图，已知，分别是函数在轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且，则该函数的周期是______．8. 在锐角中，，，的面积为，则的长为______．9. 已知两曲线，，相交于点．若两曲线在点处的切线与轴分别相交于，两点，则线段的长为______．10. 在平面直角坐标系中，，为直线上的两动点，以为直径的圆恒过坐标原点，当圆的半径最小时，其标准方程为______．11. 动直线过定点，且，则的最小值为______．12. 已知关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是______．13. 已知函数的导函数为，若，且当时，，则不等式的解集是______．14. 已知函数，若方程有且仅有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是______．二、解答题（共11小题；共143分）15. 已知且．（1）若，求的值；（2）若，求的值．16. 设是边长为的正三角形，点，，，四等分线段（如图所示）．（1）为边上一动点，求的取值范围?（2）为线段上一点，若，求实数的值．17. 如图，在地正西方向的处和正东方向的处各有一条正北方向的公路和，现计划在和路边各修建一个物流中心和，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路和，设．（1）为减少对周边区域的影响，试确定，的位置，使与的面积之和最小；（2）为节省建设成本，试确定，的位置，使的值最小．18. 已知直线与圆：相交，截得的弦长为．（1）求圆的方程；（2）过点作圆的切线，求切线的直线方程；（3）若抛物线上任意三个不同的点，，，且满足直线和都与圆相切，判断直线与圆的位置关系，并加以证明．19. 设函数，．（1）求的极值；（2）设，记在上的最大值为，求函数的最小值；（3）设函数（为常数），若使在上恒成立的实数有且只有一个，求实数和的值．20. 设，函数．（1）若为奇函数，求的值；（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围；（3）当时，求函数零点的个数．21. 已知变换，试写出变换对应的矩阵，并求出其逆矩阵．22. 在极坐标系中，极点为，点的极坐标为，以为斜边作等腰直角三角形（其中，，按逆时针方向分布）．（1）求点的极坐标；（2）求三角形外接圆的极坐标方程．23. 已知正实数，，为三角形的三边长，求证：．24. 如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，．（1）求证： 平面；（2）求二面角的正弦值；（3）设为线段上的点，且，求直线和平面所成角的正弦值．25. 已知，其中．（1）求证：为奇数；（2）定义：表示不超过实数的最大整数．已知数列的通项公式为，求证：存在的无穷子数列，使得对任意的正整数，均有除以的余数为．答案第一部分1.2.3.4.5.6. （）7.8.9.10.11.12.13.14. 或或第二部分15. （1）因为，，，所以，所以（2）因为，，所以，所以，，所以，又因为，，所以，所以16. （1）以所在直线为轴，所在直线为轴，为坐标原点，建立直角坐标系，，，，，设，则，，可得时，取得最小值；时，取得最大值．则的取值范围为；（2）设，由，，共线，可得，即有，，，若，则解得．17. （1）在中，由题意可知，，则，所以，同理在中，，，则，所以，故与的面积之和为，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，故当，时，与的面积之和最小．（2）在中，由题意可知，则，同理在中，，则，令，，则，得，所以，取得最小值，此时，，当为，且为时，的值最小．18. （1）圆心到直线的距离为，因为截得的弦长为，所以，所以圆的方程为：．（2）斜率不存在时，满足题意；斜率存在时，设直线方程为，即，圆心到直线的距离，所以，切线方程为，综上所述，切线方程为或．（3）设，，，可得，直线的方程为，即为，同理可得，直线的方程为，直线的方程为，因为直线和都与圆相切，，，即为，，即有，为方程的两根，可得，，由圆心到直线，则直线与圆相切．19. （1），．令，得或，，随的变化情况如下表所以当时，有极大值，当时，增极大值减极小值增有极小值．（2）由（）知：在，上是增函数，在上是减函数．当时，，，特别的，当时，有．当时，，，特别的，当时，有．由知，当时，函数的最小值为．（3）由已知得在上恒成立，因为，所以时，，时，．所以时，取极小值，也是最小值．所以当，时，在上恒成立，同样，在上恒成立．因为，所以时，，，．所以时，取极小值，也是最小值．所以，时，在上恒成立．所以．因为实数有且只有一个，所以，．20. （1）若为奇函数，则，令得，，即，所以，此时为奇函数．（2）因为对任意的，恒成立，所以．当时，对任意的，恒成立，所以；当时，易得在上是单调增函数，在上是单调减函数，在上是单调增函数，当时，，解得，所以；当时，，解得，所以不存在；当时，，解得，所以；综上得，或．（3）设，令，则，，第一步，令，所以，当时，，判别式，解得，；当时，由得，即，解得；第二步，易得，且，①若，其中，当时，，记，因为对称轴，，且，所以方程有个不同的实根；当时，，记，因为对称轴，，且，所以方程有个实根，从而方程有个不同的实根；②若，其中，由①知，方程有个不同的实根；③若，当时，，记，因为对称轴，，且，所以方程有个实根；当时，，记，因为对称轴，，且，，记，则，故为上增函数，且，，所以有唯一解，不妨记为，且，若，即，方程有个实根；若，即，方程有个实根；若，即，方程有个实根，所以，当时，方程有个实根；当时，方程有个实根；当时，方程有个实根．综上，当时，函数的零点个数为；当时，函数的零点个数为；当时，函数的零点个数为．21. 由题意可知设变换矩阵，所以，所以解得：所以，，所以逆矩阵．22. （1）设，则，，所以．（2）由题意，设三角形外接圆的极坐标方程，．因为，，，所以，所以三角形外接圆的极坐标方程．23. 因为正实数，，为三角形的三边长，所以，，，所以问题得以证明．24. （1）取中点，连接，，所以且，因为，是中点，所以是的中位线，所以且．因为是正方形中心，所以，所以且，所以四边形是平行四边形，所以．因为面，面，所以 面．（2）如图所示建立空间直角坐标系，，，，，设面的法向量，得：所以．因为面，所以面的法向量，，，二面角的正弦值为．（3）因为，所以，因为，所以．设直线和平面所成角为，．所以直线和平面所成角的正弦值为．25. （1）因为，所以，得，即与同奇偶，而当时，为奇数；所以为奇数；（2）由二项式定理得，则，即，所以，从而有，令，则，由（）知为奇数，所以除以的余数为．。
江苏省常州市溧阳市2016届高三数学上学期期中试卷理(含精品解析)
2015-2016学年江苏省常州市溧阳市高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题：每小题5分，满分70分．只需直接写出结果．1．已知全集U=R，A={x|x＜0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）= ．2．命题“∃x0∈R，”的否定是．3．若，则cos2θ= ．4．已知，则的值为．5．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则= ．6．已知函数是奇函数，则常数a= ．7．已知O为坐标原点，A（1，1），C（2，3）且，则的坐标是．8．已知f（x）=log0.5x，且f（1﹣a）＜f（2a﹣1），则a的取值范围是．9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，b=，∠B=，则△ABC的面积为．10．已知{a n}为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，则S10的值为．11．已知sin（+2α）sin（﹣2α）=，则2sin22α﹣1= ．12．已知f（x）=，其中a，b为常数，且ab≠2．若f（x）•f（）=k，k为常数，则k的值为．13．已知等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，前n项和为S n，记数列{log2a n}的前n项和为T n，若a1∈[，]，且=9，则当n= 时，T n有最小值．14．定义“正对数”：ln+x=，现有四个命题：①若a＞0，b＞0，则ln+（a b）=bln+a；②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b；③若a＞0，b＞0，则；④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．其中的真命题有（写出所有真命题的序号）二、解答题：分值90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=2sinx•cosx+cos2x﹣sin2x﹣1（x∈R）（Ⅰ）求函数y=f（x）的周期和递增区间；（Ⅱ）若x∈[﹣，]，求f（x）的取值范围．16．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且5S1，2S2，S3成等差数列．（1）求{a n}的公比q；（2）当a1﹣a3=3时，证明：数列{S n﹣1}也是等比数列．17．已知向量，的夹角为θ，||=2，||=1， =t， =（1﹣t）．（1）当θ=时，若△OPQ为直角三角形，其中∠P=，求t的值；（2）令f（t）=||，若f（t）在t=t0（0＜t0＜）时取得最小值，求θ的取值范围．18．某油库的设计容量是30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为y=（p ＞0，1≤x≤16，x∈N*），并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．（1）试写出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m的取值范围．19．已知函数f（x）=e x﹣a（x﹣1），其中，a∈R，e是自然对数的底数．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性，并写出相应的单调区间；（3）已知b∈R，若函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．20．若数列{a n}满足条件：存在正整数k，使得a n+k+a n﹣k=2a n对一切n∈N*，n＞k都成立，则称数列{a n}为k级等差数列．（1）已知数列{a n}为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求a8+a9的值；（2）若a n=2n+sinωn（ω为常数），且{a n}是3级等差数列，求ω所有可能值的集合，并求ω取最小正值时数列{a n}的前3n项和S3n；（3）若{a n}既是2级等差数列{a n}，也是3级等差数列，证明：{a n}是等差数列．2015-2016学年江苏省常州市溧阳市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：每小题5分，满分70分．只需直接写出结果．1．已知全集U=R，A={x|x＜0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）= {x|0≤x＜1} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：A={x|x＜0}，B={x|x≥1}，则A∪B={x|x≥1或x＜0}．则∁U（A∪B）={x|0≤x＜1}，故答案为：{x|0≤x＜1}【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．命题“∃x0∈R，”的否定是∀x∈R，2x＞0 ．【考点】命题的否定．【专题】阅读型．【分析】利用含量词的命题的否定形式：将∃改为∀，将结论否定，写出命题的否定．【解答】解：据含量词的命题的否定形式得到：命题“∃x0∈R，”的否定是“∀x∈R，2x＞0”故答案为“∀x∈R，2x＞0”【点评】本题考查含量词的命题的否定形式是：“∃”与“∀”互换，结论否定．3．若，则cos2θ= ．【考点】诱导公式的作用；二倍角的余弦．【分析】由sin（α+）=cosα及cos2α=2cos2α﹣1解之即可．【解答】解：由可知，，而．故答案为：﹣．【点评】本题考查诱导公式及二倍角公式的应用．4．已知，则的值为15 ．【考点】函数的值；函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题．【分析】令1﹣2x=得x=；再把代入即可求出结论．【解答】解：因为，令1﹣2x=得x=所以f（）==15．故答案为：15．【点评】本题主要考察函数的求值．解决本题的关键在于令1﹣2x=得x=，进而求出结论．当然也可以用换元法先求出解析式，再把代入．5．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则= 4 ．【考点】等比数列的通项公式．【专题】整体思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：由题意可得： ===4，故答案为：4．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知函数是奇函数，则常数a= ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题．【分析】由已知中函数是奇函数，我们根据定义域为R的奇函数图象必要原点，构造出一个关于a的方程，解方程即可求出常数a的值．【解答】解：若函数是奇函数由于函数的定义域为R则=0即a+=0解得a=﹣故答案为：﹣【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中根据定义域为R的奇函数图象必要原点，构造出一个关于a的方程，是解答本题的关键．7．已知O为坐标原点，A（1，1），C（2，3）且，则的坐标是（4，7）．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】设出点B（x，y）的坐标，跟军条件将向量用坐标表示出来，利用向量相等建立x，y的方程求出x，y 的值，即得点B的坐标，再选出正确选项．【解答】解：设B（x，y），∵A（1，1），C（2，3）且，∴2（1，2）=（x﹣2，y﹣3），∴，解得，则B（4，7），即=（4，7），故答案为：（4，7）．【点评】本题主要考查向量的坐标运算，以及向量相等的应用，解题的关键是求出各个向量的坐标，再根据向量相等建立方程组求出所引入的参数．8．已知f（x）=log0.5x，且f（1﹣a）＜f（2a﹣1），则a的取值范围是．【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的单调性得到关于a的不等式组，要注意真数大于零．【解答】解：因为函数y=log0.5x是定义域内的减函数．所以由题意得．解得．故答案为【点评】本题考查了利用对数函数的单调性解不等式的问题，要注意不能忽视定义域．9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，b=，∠B=，则△ABC的面积为．【考点】正弦定理．【专题】计算题；分类讨论；分析法；解三角形．【分析】由a，b及cosB的值，利用余弦定理求出c的值，再由a，c及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：7=4+c2﹣2c，即（c﹣3）（c+1）=0，解得：c=3或c=﹣1（舍去），则S△ABC=acsinB=×2×3×=．故答案为：．【点评】此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．10．已知{a n}为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，则S10的值为110 ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a1的方程，解方程得a1代入等差数列的求和公式可得．【解答】解：∵{a n}为等差数列，其公差d=﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，∴（a1﹣12）2=（a1﹣4）（a1﹣16），解得a1=20，∴S10=10a1+d=110故答案为：110【点评】本题考查等差数列的求和公式，属基础题．11．已知sin（+2α）sin（﹣2α）=，则2sin22α﹣1= ﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】已知等式利用积化和差公式化简，整理求出cos4α的值，原式变形后，利用二倍角的余弦函数公式化简，即可求出值．【解答】解：已知等式化简得：﹣（cos﹣cos4α）=，整理得：cos4α=，则原式=﹣（1﹣2sin22α）=﹣cos4α=﹣，故答案为：﹣【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．12．已知f（x）=，其中a，b为常数，且ab≠2．若f（x）•f（）=k，k为常数，则k的值为．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题意分别得到f（x）和f（）的解析式，算出f（x）•f（）化简后等于k，根据分式的性质得到k即可；【解答】解：由题可知：f（x）•f（）=•==k则根据分式的性质得： ====k，即k=；故答案为：【点评】此题考查学生理解函数的定义，以及合分比性质的灵活运用，难度中档．13．已知等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，前n项和为S n，记数列{log2a n}的前n项和为T n，若a1∈[，]，且=9，则当n= 11 时，T n有最小值．【考点】等比数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的前n项和公式可得q，利用对数的运算性质及其等差数列的前n项和公式可得T n，再利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：q=1不满足条件，舍去．∵=9，∴ =1+q3=9，解得q=2．∴，log2a n=log2a1+（n﹣1）．∴T n=nlog2a1+=+n，∵a1∈[，]，∴log2a1∈[﹣log22016，﹣log21949]，∴﹣=∈，∵1024=210＜1949＜2016＜2048=211，∴＞＞＞，∴当n=11时，T n取得最小值．故答案为：11．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质、不等式的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．定义“正对数”：ln+x=，现有四个命题：①若a＞0，b＞0，则ln+（a b）=bln+a；②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b；③若a＞0，b＞0，则；④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．其中的真命题有①③④（写出所有真命题的序号）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】由题意，根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对a，b分类讨论，判断出每个命题的真假．【解答】解：（1）对于①，由定义，当a≥1时，a b≥1，故ln+（a b）=ln（a b）=blna，又bln+a=blna，故有ln+（a b）=bln+a；当a＜1时，a b＜1，故ln+（a b）=0，又a＜1时bln+a=0，所以此时亦有ln+（a b）=bln+a，故①正确；（2）对于②，此命题不成立，可令a=2，b=，则ab=，由定义ln+（ab）=0，ln+a+ln+b=ln2，所以ln+（ab）≠ln+a+ln+b，故②错误；（3）对于③，i．≥1时，此时≥0，当a≥b≥1时，ln+a﹣ln+b=lna﹣lnb=，此时则，命题成立；当a＞1＞b＞0时，ln+a﹣ln+b=lna，此时，＞lna，则，命题成立；当1＞a≥b＞0时，ln+a﹣ln+b=0，成立；ii．＜1时，同理可验证是正确的，故③正确；（4）对于④，当a≥1，b≥1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln（2ab），∵a+b﹣2ab=a﹣ab+b﹣ab=a（1﹣b）+b（1﹣a）≤0，∴a+b≤2ab，∴ln（a+b）＜ln（2ab），∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当a＞1，0＜b＜1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+ln2=ln（2a），∵a+b﹣2a=b﹣a≤0，∴a+b≤2a，∴ln（a+b）＜ln（2a），∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当b＞1，0＜a＜1时，同理可证ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当0＜a＜1，0＜b＜1时，可分a+b≥1和a+b＜1两种情况，均有ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．故④正确．故答案为①③④．【点评】本题考查新定义及对数的运算性质，理解定义所给的运算规则是解题的关键，本题考查了分类讨论的思想，逻辑判断的能力，综合性较强，探究性强．易因为理解不清定义及忘记分类讨论的方法解题导致无法入手致错．二、解答题：分值90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=2sinx•cosx+cos2x﹣sin2x﹣1（x∈R）（Ⅰ）求函数y=f（x）的周期和递增区间；（Ⅱ）若x∈[﹣，]，求f（x）的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】（I）利用倍角公式和两角差的正弦公式化简解析式，再求出函数的最小正周期，根据正弦函数的增区间，求出此函数的增区间；（II）由x的范围求出相位的范围，再由正弦函数的性质求出函数的最大值和最小值．【解答】解：（1）由题设f（x）=2sinx•cosx+cos2x﹣sin2x﹣1=sin2x+cos2x﹣1=，则y=f（x）的最小正周期为：π．由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+（k∈z）得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，∴y=f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]（k∈z），（2）由x∈[﹣，]，可得考察函数y=sinx，易知于是．故y=f（x）的取值范围为：[﹣3，1]．【点评】本题考查了倍角公式和两角差的正弦公式，正弦函数的性质应用，属于中档题，16．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且5S1，2S2，S3成等差数列．（1）求{a n}的公比q；（2）当a1﹣a3=3时，证明：数列{S n﹣1}也是等比数列．【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由5S1，2S2，S3成等差数列，可得4S2=S3+5S1，化为q2﹣3q+2=0，解得q．（2）当a1﹣a3=3时，q≠1，可得：a1（1﹣22）=3，解得a1．求出S n，证明当n≥2时， =常数（非0）即可．【解答】（1）解：∵5S1，2S2，S3成等差数列，∴4S2=S3+5S1，化为4a1（q+1）=，∴q2﹣3q+2=0，解得q=1或2．（2）证明：当a1﹣a3=3时，q≠1，可得：a1（1﹣22）=3，解得a1=﹣1．∴S n==1﹣2n，∴当n≥2时， ==2，∴数列{S n﹣1}也是等比数列，首项为﹣2，公比为2．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．已知向量，的夹角为θ，||=2，||=1， =t， =（1﹣t）．（1）当θ=时，若△OPQ为直角三角形，其中∠P=，求t的值；（2）令f（t）=||，若f（t）在t=t0（0＜t0＜）时取得最小值，求θ的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】方程思想；向量法；平面向量及应用．【分析】（1）运用向量的数量积的定义可得•=1，由向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到t；（2）由向量的运算可得||2=（5+4cosθ）t2+（﹣2﹣4cosθ）t+1，由二次函数可得0＜＜，解不等式可得cosθ的范围，可得夹角的范围．【解答】解：（1）当θ=时，•=2×1×cos=1，•=t [（（1﹣t）﹣t]=t（1﹣t）•﹣t22=t﹣5t2，由题意可得OP⊥PQ，可得•=0，即t﹣5t2=0，解得t=（t=0舍去）；（2）由题意可得•=2×1×cosθ=2cosθ，=﹣=（1﹣t）﹣t，∴||2=2=（1﹣t）22+t22﹣2t（1﹣t）•=（1﹣t）2+4t2﹣4t（1﹣t）cosθ=（5+4cosθ）t2+（﹣2﹣4cosθ）t+1由二次函数知当上式取最小值时，t0=，由题意可得0＜＜，解得﹣＜cosθ＜0，∴＜θ＜．即θ的取值范围为（，）．【点评】本题考查数量积的定义和性质与向量的夹角，涉及二次函数和三角函数的运算，属于中档题．18．某油库的设计容量是30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为y=（p ＞0，1≤x≤16，x∈N*），并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．（1）试写出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m的取值范围．【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）利用前4个月，区域外的需求量为20万吨，求出p，可得y=10（1≤x≤16，x∈N*），即可求出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；（2）由题意0≤mx﹣x﹣10+10≤30（1≤x≤16，x∈N*），分离参数求最值，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，20=，∴2p=100，∴y=10（1≤x≤16，x∈N*），∴油库内储油量M=mx﹣x﹣10+10（1≤x≤16，x∈N*）；（2）∴0≤M≤30，∴0≤mx﹣x﹣10+10≤30（1≤x≤16，x∈N*），∴（1≤x≤16，x∈N*）恒成立．；设=t，则≤t≤1，．由≤（x=4时取等号），可得m≥，由20t2+10t+1=≥（x﹣16时取等号），可得m≤，∴≤m≤．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的最值，确定函数解析式，正确分离参数求最值是关键．19．已知函数f（x）=e x﹣a（x﹣1），其中，a∈R，e是自然对数的底数．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性，并写出相应的单调区间；（3）已知b∈R，若函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）求出a=﹣1的函数的导数，求出切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到；（2）求出导数，讨论当a≤0时，当a＞0时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；（3）由（2）可得，a＞0时f（x）取得极小值也为最小值，由恒成立思想可得a（2﹣lna）≥b，则ab≤a2（2﹣lna），令t=a2（2﹣lna），求得导数，求出极大值也为最大值，即可得到．【解答】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=e x+x﹣1的导数为f′（x）=e x+1，函数f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为e+1，又切点为（1，e），则切线方程为y﹣e=（e+1）（x﹣1），即为（e+1）x﹣y﹣1=0；（2）函数f（x）=e x﹣a（x﹣1）的导数f′（x）=e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）递增，则f（x）的增区间为（﹣∞，+∞）；当a＞0时，f′（x）＞0，解得，x＞lna，f′（x）＜0，解得，x＜lna．即有f（x）的增区间为（lna，+∞），减区间为（﹣∞，lna）；（3）由（2）可得，a≤0时，f（x）递增，无最值；当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上递减，在（lna，+∞）上递增，则f（x）在x=lna处取得极小值也为最小值，且为a﹣a（lna﹣1）=a（2﹣lna）．函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，则有a（2﹣lna）≥b，则ab≤a2（2﹣lna），令t=a2（2﹣lna），则t′=2a（2﹣lna）﹣a=a（3﹣2lna），当0＜a＜时，t′＞0，t递增；当a＞时，t′＜0，t递减．则t在a=时取得极大，也为最大，且为e3（2﹣）=e3．则ab的最大值为e3．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查分类讨论的思想方法，考查构造函数运用导数求最值的思想方法，考查运算能力，属于中档题．20．若数列{a n}满足条件：存在正整数k，使得a n+k+a n﹣k=2a n对一切n∈N*，n＞k都成立，则称数列{a n}为k级等差数列．（1）已知数列{a n}为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求a8+a9的值；（2）若a n=2n+sinωn（ω为常数），且{a n}是3级等差数列，求ω所有可能值的集合，并求ω取最小正值时数列{a n}的前3n项和S3n；（3）若{a n}既是2级等差数列{a n}，也是3级等差数列，证明：{a n}是等差数列．【考点】等差数列的性质；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由新定义结合已知求出a8、a9的值，则a8+a9的值可求；（2）由a n=2n+sinωn，且{a n}是3级等差数列，列式得到2sinωn=2sinωncos3ω（n∈N*），求得sinωn=0，或cos3ω=1．进一步求出ω的取值集合，求出ω的最小正值后求出，得到a3n﹣2+a3n﹣1+a3n=6（3n﹣1），然后利用分组求和求得S3n；（3）由{a n}为2级等差数列，即a n+2+a n﹣2=2a n，得到{a2n﹣1}，{a2n}均成等差数列，分别设出等差数列{a2n﹣1}，{a2n}的公差为d1，d2．由{a n}为3级等差数列，即a n+3+a n﹣3=2a n，得到{a3n﹣2}成等差数列，设公差为D．由a1，a7既是{a2n﹣1}中的项，也是{a3n﹣2}中的项，a4，a10既是中{a2n}的项，也是{a3n﹣2}中的项列式得到a2n=a1+（2n﹣1）d（n∈N*）．从而说明{a n}是等差数列．【解答】（1）解：a8=a2+3（a4﹣a2）=0+3×（3﹣0）=9，a9=a1+4×（a3﹣a1）=2+4×2=10，∴a8+a9=19；（2）∵{a n}是3级等差数列，a n+3+a n﹣3=2a n，2（2n+sinωn）=2（n+3）+sin（ωn+3ω）+2（n﹣3）+sin（ωn﹣3ω）（n∈N*），∴2sinωn=sin（ωn+3ω）+sin（ωn﹣3ω）=2sinωncos3ω（n∈N*），∴sinωn=0，或cos3ω=1．sinωn=0对n∈N*恒成立时，ω=kπ（k∈Z）．cos3ω=1时，3ω=2kπ（k∈Z），∴，∴．∴ω最小正值等于，此时，由于（n∈N*），∴a3n﹣2+a3n﹣1+a3n=6（3n﹣1）（n∈N*）.=9n2+3n（n∈N*）；（3）证明：若{a n}为2级等差数列，即a n+2+a n﹣2=2a n，则{a2n﹣1}，{a2n}均成等差数列，设等差数列{a2n﹣1}，{a2n}的公差分别为d1，d2．{a n}为3级等差数列，即a n+3+a n﹣3=2a n，则{a3n﹣2}成等差数列，设公差为D，a1，a7既是{a2n﹣1}中的项，也是{a3n﹣2}中的项，a7﹣a1=3d1=2D．a4，a10既是中{a2n}的项，也是{a3n﹣2}中的项，a10﹣a4=3d2=2D∴3d1=3d2=2D．设d1=d2=2d，则D=3d．∴a2n﹣1=a1+（n﹣1）d1=a1+（2n﹣2）d（n∈N*），a2n=a2+（n﹣1）d2=a2+（2n﹣2）d，（n∈N*）．又a4=a1+D=a1+3d，a4=a2+d2=a2+2d，∴a2=a1+d，。
高三第一学期期中统一测试数学试题
江苏省常州市-高三第一学期期中统一测试数学试题第1部分必考内容（ 满分160分，答卷时间120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案填 写在答题纸相应位置上．1．对于命题p ：R x ∈∃，使得x 2+ x +1 < 0．则p ⌝为：_________．2．复数13i z =+，21i z =-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于第_______象限． 3．“1x >”是“2x x >”的 条件．4．一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1、2、……、10，击中由内至外的区域的成绩 依次为10、9、……、1环，则不考虑技术因素，射击一次,在有成绩的情况下成绩为10环 的概率为 .5．设x 、y 满足条件310x y y x y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥，则22(1)z x y =++的最小值 ．6．如果执行下面的程序框图，那么输出的S = 7．△ABC 中，︒=∠==30,1,3B AC AB ，则△ABC 的面积等 于_________． 8．给出下列命题：①变量 y 与x 之间的相关系数0.9568r =-，查表到相关系 数的临界值为0.050.8016r =，则变量 y 与x 之间具有线性关系； ② 0,0a b >>则不等式3323a b ab +≥恒成立；③ 对于函数()22.f x x mx n =++若()()0.0,f a f b >>则函数在(),a b 内至多有一个零点；④ ()2y f x =-与()2y f x =-的图象关于2x =对称． 其中所有正确命题的序号是__________．0.01频率组距9．若∆ABC 内切圆半径为r ，三边长为a 、b、c ，则∆ABC 的面积S ＝12r (a +b +c ) 类比到空间，若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为S 1、S 2 、S 3 、S 4，则四面体的体积V ＝ ．10．0≠=，且关于x 的函数f(x)=x x ⋅++2331在R 上有极值，则与 的夹角范围为_______．11．已知数列{}n a 为等差数列，且17134a a a π++=，则212tan()a a +=________． 12．函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在的区间是（n ,n ＋1），则正整数n =______． 13．四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如图： 则四棱锥P ABCD -的表面积为 ．14．已知点P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是（4，a ）， 则当||a >4时，||||PA PM +的最小值是 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本题满分14分)某校从参加高一年级期末考试的学生 中抽出60名学生，将其成绩（是不小于40不大于100的整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后（1）求第四小组的频率，并补全这个画出如下部分频率分布直方图.俯视图左视图主视图(2) 观察频率分布直方图图形的信息，估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．16. （本题满分14分）如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点． （1）求证：EF ∥平面CB 1D 1； （2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．17．(本题满分15分)在ABC ∆中，c ,b ,a 分别是角A 、B 、C 的对边，,a (n ),C cos ,c b (m =-=→→2)A cos ，且→→n //m ．（1）求角A 的大小；（2）求)23cos(sin 22B B y -+=π的值域．A 118．(本题满分15分)椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，离心率e = 22，椭圆上的点到焦点的最短距离为1－22, 直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且AP ＝PB λ． （1）求椭圆方程；（2）若OA ＋OB ＝ 4OP λ，求m 的取值范围．19．（本题满分16分）已知数列{}n a 的首项1213a a ==，，前n 项和为n S ，且1n S +、n S 、1n S -（n ≥2）分 别是直线l 上的点A 、B 、C 的横坐标，21n na AB BC a +=，设11b =，12log (1)n n n b a b +=++． ⑴ 判断数列{1}n a +是否为等比数列，并证明你的结论；⑵ 设11114n b n n n n c a a +-++=，证明：11<∑=nk k C ．20（本题满分16分）．对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点。
【数学】2016-2017年江苏省常州市武进区高三(上)期中数学试卷与答案(文科)
2016-2017学年江苏省常州市武进区高三（上）期中数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．（5分）已知集合A={1，2，5，6}，B={2，3，4}，则A∩B=．2．（5分）设a∈R，若复数（1+i）（a+i）的虚部为零，则a=．3．（5分）要得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可将函数y=sin2x的图象向右平移个单位．4．（5分）“直线l垂直于平面α内的两条直线”是“直线l垂直于平面α”的条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．5．（5分）已知函数f（x）=，则f（log23）+f（log2）=．6．（5分）已知向量=（1，2），=（2，0），若向量λ+与向量=（1，﹣2）共线，则实数λ=．7．（5分）设S n是首项不为零的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于．8．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=3，∠DAB=，点E，F分别在BC，DC边上，且=，=，则•=．9．（5分）已知锐角θ满足sin（+）=，则cos（θ+）的值为．10．（5分）已知正数x、y满足x+y=3，则+的最小值为．11．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若S2=7，a n+1=2S n+1，n∈N*，则S5=．12．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=3，则四面体A1BC1D的体积为．13．（5分）已知△ABC的内角A，B满足=cos（A+B），则tanB的最大值为．14．（5分）已知函数f（x）=x3﹣3x在区间[a﹣1，a+1]（a≥0）上的最大值与最小值之差为4，则实数a的值为．二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知函数f（x）=2asinϖxcosϖx+2cos2ϖx﹣（a＞0，ϖ＞0）的最大值为2，且最小正周期为π．（1）求函数f（x）的解析式及期对称轴方程；（2）求函数f（x）的单调递增区间．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=3，D、E分别是BC、AB的中点，F是CC1上一点，且CF=2C1F．（1）求证：C1E∥平面ADF；（2）若BC=2，求证：B1F⊥平面ADF．17．（14分）在△ABC中，c=5，b=2，a=cosA．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求证：∠B=2∠A．18．（16分）某药厂在动物体内进行新药试验，已知每投放剂量为m（m＞0）的药剂后，经过x小时该药剂在动物体内释放的浓度y（y毫克/升）满足函数y=mf（x），其中f（x）=当药剂在动物体内释放的浓度不低于12（毫克/升）时，称为该药剂达到有效．（1）为了使在8小时之内（从投放药剂算起包括8小时）始终有效，求应该投放的药剂m的最小值；（2）若m=2，k 为整数，若该药在k 小时之内始终有效，求k的最大值．19．（16分）已知a∈R，函数f（x）=e x﹣a（x+1）的图象与x轴相切．（1）求f（x）的单调区间；（2）若x＞1时，f（x）＞mx2，求实数m的取值范围．20．（16分）已知数列{a n}中，a1=t（t≠﹣1），且a n+1=．（1）证明：数列{a2n+1}是等比数列；（2）若数列{a n}的前2n项和为S2n：①当t=1时，求S2n；②若{S2n}单调递增，求t的取值范围．2016-2017学年江苏省常州市武进区高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．（5分）已知集合A={1，2，5，6}，B={2，3，4}，则A∩B={2} ．【解答】解：集合A={1，2，5，6}，B={2，3，4}，则A∩B={2}．故答案为：{2}．2．（5分）设a∈R，若复数（1+i）（a+i）的虚部为零，则a=﹣1．【解答】解：∵（1+i）（a+i）=a﹣1+（a+1）i的虚部为零，∴a+1=0，即a=﹣1．故答案为：﹣1．3．（5分）要得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可将函数y=sin2x的图象向右平移个单位．【解答】解：由于函数y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣），故把函数y=sin2x的图象向右平移个单位，可得函数y=sin（2x﹣）的图象，故答案为．4．（5分）“直线l垂直于平面α内的两条直线”是“直线l垂直于平面α”的必要不充分条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．【解答】解：若直线不相交，则当直线l垂直于平面α内两直线时，直线l⊥α不成立，若直线l⊥α，则直线l垂直于平面a内两直线成立，故“直线l垂直于平面α内两直线”是“直线l⊥平面α”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．5．（5分）已知函数f（x）=，则f（log 23）+f（log2）=1．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（log23）+f（log2）=+===1．故答案为：1．6．（5分）已知向量=（1，2），=（2，0），若向量λ+与向量=（1，﹣2）共线，则实数λ=﹣1．【解答】解：因为向量=（1，2），=（2，0），所以向量λ+=（λ+2，2λ），又向量λ+与向量=（1，﹣2）共线，所以﹣2（λ+2）=2λ，解得：λ=﹣1；故答案为：﹣1．7．（5分）设S n是首项不为零的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于1或3．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S1，S2，S4成等比数列，∴=S1•S4，∴=，a1≠0．化为：d2=2a1d，解得d=0，或d=2a1．则=1或3．故答案为：1或3．8．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=3，∠DAB=，点E，F分别在BC，DC边上，且=，=，则•=﹣3．【解答】解：根据条件，，；∴===﹣8+3+2=﹣3．故答案为：﹣3．9．（5分）已知锐角θ满足sin（+）=，则cos（θ+）的值为．【解答】解：∵sin（）=，∴sin2（）=[1﹣cos（θ+）]=，则cos（θ+）=﹣，∵0＜θ＜，∴＜θ+＜，∴sin（θ+）＞0，∴sin（θ+）==∴cos（θ+）=cos（+θ+）=﹣sin（θ+）=﹣，故答案为：．10．（5分）已知正数x、y满足x+y=3，则+的最小值为．【解答】解：∵≥（2+1）2，∴+的最小值为，当且仅当x=y+1，x+y=3时，即y=1，x=2时取等号．故答案为：．11．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若S2=7，a n+1=2S n+1，n∈N*，则S5=202．【解答】解：由n=1时，a1=S1，可得a2=2S1+1=2a1+1，又S2=7，即a1+a2=7，即有3a1+1=7，解得a1=2；=S n+1﹣S n，可得由a n+1S n+1=3S n+1，由S2=7，可得S3=3×7+1=22，S4=3×22+1=67，S5=3×67+1=202．故答案为：202．12．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=3，则四面体A1BC1D的体积为16．【解答】解：如图，四面体A 1BC1D的体积为=．故答案为：16．13．（5分）已知△ABC的内角A，B满足=cos（A+B），则tanB的最大值为．【解答】解：∵△ABC的内角A，B满足=cos（A+B），且sinA＞0，sinB＞0，∴=﹣cosC＞0，即cosC＜0，∴C为钝角，sinB=﹣sinAcosC，又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=﹣sinAcosC，即cosAsinC=﹣2sinAcosC，∴tanC=﹣2tanA，∴tanB=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=≤=，当且仅当=2tanA时，取等号，故tanB的最大值为，故答案为：14．（5分）已知函数f（x）=x3﹣3x在区间[a﹣1，a+1]（a≥0）上的最大值与最小值之差为4，则实数a的值为1或0．【解答】解：y′=f′（x）=3（x+1）（x﹣1），∴函数在在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，+∞）递增，①a=0时，函数在[﹣1，1]递减，函数的最大值是f（﹣1）=2，函数的最小值是f（1）=﹣2，∴f（﹣1）﹣f（1）=2﹣（﹣2）=4，故a=0符合题意；②0＜a＜2时，1＜a+1＜3，﹣1＜a﹣1＜1，∴函数在[a﹣1，1]递减，在（1，a+1]递增，函数的最小值是f（1）=﹣2，∵f（a+1）﹣f（a﹣1）=（a+1）3﹣3（a+1）﹣（a﹣1）3+3（a﹣1）=2（3a2﹣2），令f（a+1）﹣f（a﹣1）=0，解得a=，当0＜a＜时，f（a+1）＜f（a﹣1），∴f（x）max=（a﹣1）3﹣3（a﹣1），∴f（x）max﹣f（x）min=（a﹣1）3﹣3（a﹣1）﹣（﹣2）=4，解得a=0或a=3，都舍去当≤a＜2时，∴f（x）max=（a+1）3﹣3（a+1），∴f（x）max﹣f（x）min=（a+1）3﹣3（a+1）﹣（﹣2）=4，即（a﹣1）3﹣3（a﹣1）﹣2=0，解得a=1，a=﹣2舍去，符合题意．③a≥2时，f（x）在[a﹣1，a+1]递增，∴f（x）min=f（a﹣1），f（x）max=f（a+1），∴（a+1）3﹣3（a+1）﹣（a﹣1）3+3（a﹣1）=4，解得：a=±，舍去，综上：a=1或0．故答案为：1或0二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知函数f（x）=2asinϖxcosϖx+2cos2ϖx﹣（a＞0，ϖ＞0）的最大值为2，且最小正周期为π．（1）求函数f（x）的解析式及期对称轴方程；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）f（x）=2asinϖxcosϖx+2cos2ϖx﹣=asin2ϖx+cos2ϖx=sin（2ϖx+φ），由题意f（x）的周期为π，所以，得ϖ=1，∵f（x）最大值为2，故=2，又a＞0，∴a=1，∴f（x）=2sin（2x+），令2x+=+kπ，解得f（x）的对称轴为x=+（k∈Z）．（2）由，由，得、，∴函数f（x）的单调递增区间是．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=3，D、E分别是BC、AB的中点，F是CC1上一点，且CF=2C1F．（1）求证：C1E∥平面ADF；（2）若BC=2，求证：B1F⊥平面ADF．【解答】证明：（1）（证法一）连接CE与AD交于点H，连接FH．因为D是BC的中点，E是AB中点，所以H是△ABC的重心，所以CH=2EH，又因为CF=2C1F，所以C1E∥FH，因为FH⊂平面ADF，C1E⊄平面ADF，所以C1E∥平面ADF．（证法二）取BD中点H，连接EH，C1H．因为H是BD的中点，E是AB中点，所以EH∥AD，因为AD⊂平面ADF，EH⊄平面ADF，所以EH∥平面ADF，又因为CF=2C1F，CD=2DH，所以C1H∥DF，同理C1H∥平面ADF，∵EH∩C1H=H，所以平面C1EH∥平面ADF，又C1E⊂平面C1EH，所以C1E∥平面ADF．（2）因为AB=AC且D是BC中点，∴AD⊥BC，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥AD又AD⊥BC，BB∩BC=B，∴AD⊥平面B1BCC1，∴AD⊥B1F，∵CC1=3，CF=2C1F，∴CF=2，C1F=1，在△B1C1F与△FCD中，∴B1C1=FC=2，C1F=CD=1，∠B1C1F=∠FCD，∴△B1C1F≌△FCD，∴∠C1B1F=∠CFD，∴∠C1FB1+∠CFD=90°，∴B1F⊥FD，∵FD∩AD=D，∴B1F⊥平面ADF．17．（14分）在△ABC中，c=5，b=2，a=cosA．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求证：∠B=2∠A．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以，因为c=5，，所以3a2+40a﹣49×3=0，解得：a=3或（舍）．…（6分）证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：，所以，因为a=3，c=5，，所以，所以cos2A=cosB．…（12分）因为c＞b＞a，所以，因为B∈（0，π），所以∠B=2∠A．…（13分）18．（16分）某药厂在动物体内进行新药试验，已知每投放剂量为m（m＞0）的药剂后，经过x小时该药剂在动物体内释放的浓度y（y毫克/升）满足函数y=mf（x），其中f（x）=当药剂在动物体内释放的浓度不低于12（毫克/升）时，称为该药剂达到有效．（1）为了使在8小时之内（从投放药剂算起包括8小时）始终有效，求应该投放的药剂m的最小值；（2）若m=2，k 为整数，若该药在k 小时之内始终有效，求k的最大值．【解答】解：（1）由，可知在区间（0，4]上有，即8m≤y≤10m，又f（x）在区间（4，16]上单调递减，mf（8）=5m，为使y≥12恒成立，只要，即，可得．即：为了使在8小时之内达到有效，投放的药剂剂量m的最小值为．（2）m=2时，设当0＜x≤4时，16≤﹣x2+4x+16≤20，显然符合题意，又f（x）在区间（4，16]上单调递减，由g（6）=18﹣2log26=18﹣log236＞12，g（7）=17﹣2log27=17﹣log249＜12，可得k≤6，即k的最大值为6．19．（16分）已知a∈R，函数f（x）=e x﹣a（x+1）的图象与x轴相切．（1）求f（x）的单调区间；（2）若x＞1时，f（x）＞mx2，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=e x﹣a，依题意，设切点为（b，0），则，即，解得：，所以f′（x）=e x﹣1，所以，当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0．所以，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，0），单调递增区间为（0，+∞）．（2）∵x＞1时，f（x）＞mx2，即e x﹣（x+1）＞mx2，∴m＜，记g（x）=，x＞1，g′（x）=，记h（x）=e x（x﹣2）+x+2，则h′（x）=e x（x﹣1）+1，∵x＞1时，h′（x）＞0，∴y=h（x）在（1，+∞）递增，∴x＞1时，h（x）＞h（1）=3﹣e＞0，记g′（x）＞0，∴y=g（x）在（1，+∞）递增，∴x＞1时，g（x）＞g（1）=e﹣2，∴m≤e﹣2．20．（16分）已知数列{a n}中，a1=t（t≠﹣1），且a n+1=．（1）证明：数列{a2n+1}是等比数列；（2）若数列{a n}的前2n项和为S2n：①当t=1时，求S2n；②若{S2n}单调递增，求t的取值范围．【解答】解：（1）证明：设b n=a2n+1，则b1=a2+1，∵a2=2a1+1=2t+1，∴b1=2（t+1）≠0，…（1分）∵，…（3分）∴数列{b n }是公比为2的等比数列，故数列{a 2n +1}是等比数列，…（4分） ∴，∴，…（6分）（2）由（1）得，，∴，…（7分）∴，…（8分）∴S 2n =（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n ﹣1+a 2n ），=，…（10分）①当t=1时， ∴；…（11分）②∵{S 2n }单调递增， ∴对n ≥2且n ∈N *恒成立，…（12分） 即，设，则，∴{P n }在n ≥2且n ∈N *单调递减，…（14分） ∵，∴，即，故t 的取值范围为．…（16分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
江苏省常州市高三上学期期中数学试卷(理科)
江苏省常州市高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高一上·青海月考) 已知全集U＝{0，1，2}且＝{2}，则集合A的真子集共有（）．A . 3个B . 4个C . 5个D . 6个2. （2分） (2020高一下·潮州期中) 若函数的图象经过定点P，且点在角的终边上，则的值等于（）A . 2B .C . －2D .3. （2分）化简=（）A . 1B . 2C .D . -14. （2分） (2016高二上·陕西期中) 下列命题正确的是（）A . 已知实数a，b，则“a＞b”是“a2＞b2”的必要不充分条件B . “存在x0∈R，使得”的否定是“对任意x∈R，均有x2﹣1＞0”C . 函数的零点在区间内D . 设m，n是两条直线，α，β是空间中两个平面，若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β5. （2分）已知数列{an}是等差数列，且a4=1，a7=16，则a6等于（）A . 9B . 10C . 11D . 126. （2分） (2016高三上·厦门期中) △ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足 = ， = +2 ，则下列结论错误的是（）A . | |=1B . （ + ）⊥C . • =1D . | + |=7. （2分） (2016高一下·黄陵开学考) 函数y= 的定义域为（）A . {x|x≤1}B . {x|x≥1}C . {x|x≥1或x≤0}D . {x|0≤x≤1}8. （2分）已知是函数的一个零点.若，则（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高二上·开鲁期中) 下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x= 对称的是（）A . y=sin（2x+ ）B . y=sin（2x﹣）C . y=sin（﹣）D . y=sin（ + ）10. （2分） (2017高二下·沈阳期末) 已知是偶函数，当时，；若当时，恒成立，则的最小值为（）A . 1B .C .D .二、填空题 (共5题；共6分)11. （1分） (2018高一上·龙岩月考) 在等腰中，，，则面积的最大值为________．12. （2分） (2019高三上·浙江月考) 已知，为锐角，且，，则________， ________．13. （1分）若函数f（x）=a•2x+2﹣x为偶函数，则实数a的值是________14. （1分） (2019高二上·上海月考) 等差数列中，表示其前n项和，若，则________15. （1分） (2018高二下·保山期末) 定义在R上的函数f(x)满足 + >1, ,则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为________.三、解答题 (共6题；共50分)16. （10分） (2015高三上·滨州期末) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，sinB= ，（1）求 + 的值；（2）若• =12，求a+c的值．17. （10分）(2017·济南模拟) 已知向量 =（2cosωx，﹣1）， =（sinωx+cosωx，1）（ω＞0），函数f（x）= • ，若函数f（x）图象与x轴的两个相邻交点的距离为．（1）求函数f（x）在[0， ]上的值域；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f（A）=1，a=3，BC边上的高线长为，求b、c的值．18. （10分） (2019高二下·濮阳月考) 在等比数列与等差数列中，，，， .（1）求数列与数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和 .19. （5分） (2017高二下·黄冈期末) 某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到有关部门的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y（分钟）与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出：y=求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻．20. （5分） (2020高一下·怀仁期中) 在锐角三角形中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若，求的周长L的最大值.21. （10分）已知函数f（x）= ﹣alnx（a∈R）．（1）若f（x）在x=2时取得极值，求a的值；（2）求f（x）的单调区间．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共5题；共6分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共50分)答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：。
江苏省常州市高三上学期期中数学试卷
江苏省常州市高三上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共12题；共12分)1. （1分） (2019高一上·杭州期中) 设集合，，则 ________．2. （1分）函数f（x）=（x﹣2）2+1，x∈（﹣∞，0]的反函数f﹣1（x）=________．3. （1分） (2016高一上·徐州期中) 集合M={x|﹣2≤x≤2，N=y|0≤y≤2}．给出下列四个图形，其中能表示以M为定义域，N为值域的函数关系是________．4. （1分） (2016高一上·抚州期中) 已知集合A={x|x＞﹣2}，B={x|1﹣x＞0}，则A∩B=________．5. （1分） (2017高二上·大连期末) 在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为________．6. （1分）已知一组数据为10，10，x，8，其中位数与平均数相等，则这组数据的中位数为________．7. （1分）函数f（x）=log2（|x﹣1|+|x﹣2|﹣3）的定义域为________8. （1分）(2017·南充模拟) 的展开式中，x3的系数是________（用数学填写答案）．9. （1分）一组共10名同学在某次数学测验中4名男生成绩的平均分和标准差分别为：90，5；6名女生成绩的平均分和标准差分别：80，4，则这组同学数学成绩的标准差为________．10. （1分）(2016·花垣模拟) 若f（x）= ，则f（﹣11）=________．11. （1分）已知函数和g（x）=3sinxπ，若，则两函数图象交点的横坐标之和等于________．12. （1分）边长为x的正方形的周长C（x）=4x，面积S（x）=x2 ，则S′（x）=2x，因此可以得到有关正方形的如下结论：正方形面积函数的导数等于正方形周长函数的一半．那么对于棱长为x的正方体，请你写出关于正方体类似于正方形的结论：________．二、选择题 (共6题；共12分)13. （2分）设，且，则“函数”在R上是增函数”是“函数”在R上是增函数”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件14. （2分） (2015高二上·福建期末) 如图在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1 则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（）A .B .C .D .15. （2分） (2017高二下·南昌期末) 六个人站成一排照相，则甲、乙两人之间恰好站两人的概率为（）A .B .C .D .16. （2分）(2020·化州模拟) 已知三棱锥A﹣BCD内接于球O,且AD=BC=3,AC=BD=4,AB=CD ,则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积是（）A . 38πB . 9πC . 76πD . 19π17. （2分）不等式的解集为（）A .B .C .D .18. （2分）已知函数的定义域为，部分对应值如下表，x-1045f(x)1221的导函数的图象如图所示.下列关于的命题：①函数的极大值点为；②函数在上是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；④函数最多有2个零点.其中正确命题的序号是（）A . ①②B . ③④C . ①②④D . ②③④.三、解答题 (共5题；共50分)19. （10分） (2018高二上·成都月考) 如图所示，有一块扇形铁皮，要剪下来一个扇环，作圆台形容器的侧面，并且在余下的扇形内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．试求：参考公式：圆台的体积公式：分别是上、下底面面积，为台体的高）（1）的长；（2）容器的容积．20. （10分） (2016高二上·临泉期中) 解不等式：（1）≥0（2）＞1．21. （15分） (2017高三上·伊宁开学考) 如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中分离出来的：（1）试判断A1是否在平面B1CD内；（回答是与否）（2）求异面直线B1D1与C1D所成的角；（3）如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多可以盛多少体积的水．22. （5分） (2017高一上·襄阳期末) 某电影院共有1000个座位，票价不分等次，根据电影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，票可全部售出；当票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出．为了获得更好的收益，需要给电影院一个合适的票价，基本条件是：①为了方便找零和算账，票价定为1元的整数倍；②电影院放映一场电影的成本是5750元，票房收入必须高于成本．用x（元）表示每张票价，用y（元）表示该电影放映一场的纯收入（除去成本后的收入）．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）票价定为多少时，电影放映一场的纯收入最大？23. （10分）(2017·宁德模拟) 已知函数．（1）当m=1时，求证：对∀x∈[0，+∞）时，f（x）≥0；（2）当m≤1时，讨论函数f（x）零点的个数．参考答案一、填空题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、选择题 (共6题；共12分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共5题；共50分) 19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、23-1、23-2、。
江苏省常州市高三上学期期中数学试卷(理科)
江苏省常州市高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·全国Ⅱ卷理) 已知向量，满足=1,⋅=−1 ，则·(2-)=（）A . 4B . 3C . 2D . 02. （2分） a>b是的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件3. （2分）已知m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,给出下列命题：①若,,则；②若,,且,则；③若,,则；④若,,且,则．其中正确命题的序号是（）A . ①④B . ②③C . ②④D . ①③4. （2分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A . 3π+4B . 4π+2C . +4D . +45. （2分）某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高二下·廊坊期末) （2x+ ）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4 ，则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值为（）A . 1B . ﹣1C . 0D . 27. （2分）右图给出一个算法的程序框图，该程序框图的功能是（）A . 求输出a,b,c三数的最大数B . 求输出a,b,c三数的最小数C . 将a,b,c按从小到大排列D . 将a,b,c按从大到小排列8. （2分） (2018高二下·黑龙江月考) 在中，，，，则的值等于（）A .B .C .D .9. （2分）双曲线2x2－y2＝8的实轴长是（）A . 2B . 2C . 4D . 410. （2分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A . 0.648B . 0.432C . 0.36D . 0.31211. （2分） (2017高一下·南昌期末) 已知某8个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为，方差为s2 ，则（）A . =5，s2＞3B . =5，s2＜3C . ＞5，s2＜3D . ＞5，s2＞312. （2分）(2020·银川模拟) 函数在上的图象大致为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·宾阳月考) 将一颗骰子投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax－by=0与圆(x－2)2＋y2＝2相交的概率为________．14. （1分）已知集合A={x|x2+x﹣6=0}，B={x|ax+1=0}，满足A⊋B，则a能取的一切值是________15. （1分）已知函数f（x）=x+sinπx﹣3，则的值为________16. （1分） (2017高一上·正定期末) 函数f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）= ，给出下列命题：①F（x）=|f（x）；②函数F（x）是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）﹣F（n）＜0成立；④当a＞0时，函数y=F（x）﹣2有4个零点．其中正确命题的序号为________．三、解答题 (共7题；共75分)17. （10分） (2017高二上·阳朔月考) 已知等比数列中，，且 .（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和 .18. （5分） (2017高二下·太仆寺旗期末) 设a为实数，函数f（x）=x3﹣x2﹣x+a ，若函数f（x）过点A （1，0），求函数在区间[﹣1，3]上的最值．19. （10分） (2018高一上·广东期末) 如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面，，且．（1）证明：平面平面；（2）若直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值．20. （15分） (2018高二上·镇江期中) 已知椭圆E：的焦距为2 ，一条准线方程为x= ，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点P，Q在的椭圆上，且点P在第一象限．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若点P，Q关于坐标原点对称，且PQ⊥AB，求四边形ABCD的面积；（3）若AP，BQ的斜率互为相反数，求证：PQ斜率为定值．21. （15分）(2020·日照模拟) 某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产万件的该种产品所需要的总成本（万元），依据产品尺寸，产品的品质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了1000件产品测量尺寸，尺寸分别在，，，，，，（单位：）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示.产品的品质情况和相应的价格（元/件）与年产量之间的函数关系如下表所示.产品品质立品尺寸的范围价格与产量的函数关系式优中差以频率作为概率解决如下问题：（1）求实数的值；（2）当产量确定时，设不同品质的产品价格为随机变量，求随机变量的分布列；（3）估计当年产量为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值.22. （10分）(2017·宁德模拟) 已知直线l的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为，且直线l经过椭圆C的右焦点F．（1）求椭圆C的内接矩形PMNQ面积的最大值；（2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的值．23. （10分） (2016高三上·安徽期中) 已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2（1）解不等式f（x）≥0（2）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6、答案：略7、答案：略8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、。
江苏省常州一中2016届高三数学上册10月阶段考试题
常州一中2016届高三文科数学10月阶段考试一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上. 1•已知全集U ={0,1,2,3},集合A ={0,1}, B ={1,2,3},则(C u A)ClB= _________________ {2,3} 2•命题“ -x • R, sin x叮”的否定是 ____________3•已知幕函数f(x)的图像经过(9,3)，贝y f (2)—f(1)= _______________________ 34•已知函数f(x)=a x-x・b的零点X。
，(k,k・1)(k・Z)，其中a,b满足3a=2,3b=?,4 则k= 1呻片 4 4 ■+ 45.已知向量a,b满足a+2b =(2,-4 ),3a—b =(」,16),,贝U向量a,b的夹角的大小为 ____________ .2 冗 26.函数f(x) =sin( x • sin( x)的图象的相邻两对称轴之间的距离是3 2 3 3 —Ji 27•已知等比数列{a n}的前n项和为S n ,若a?a8 =2a3a6,S^-62，则a j的值是-28•已知cos 且二三(一，二)，则tan( )二45 2|log 2 x9.设函数f(X)= log, _x) (4,0) U(1,二)10.已知实数x, y满足约束条件值是11，则实数k的值是3若f(a) .f^a),则实数a的取值范围是x —0,y丄2x 1, ( k为常数)，若目标函数z = 2x y的最大x y k _011.将一个长宽分别是a,b(0 :: b :::a)的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则—的取值范围是b-J)12.已知{a n}是首项a1=- 2，公差为d的等差数列，它的前n项和为S n,S4= 2$ + 4, b n= 1 +a na n 则当b n取得最大值是，n=13•若点G ABC的重心，且AG丄BG,贝U sinC的最大值为2 114.若函数f(x) - -lnx ■ ax ■ bx - a - 2b有两个极值点x1,x2，其中a - 0,b 0 ,且f区)=X2 ，则方程2a[f (x)]2 - bf (x) -1 =0的实根个数为5(1) 求sin 2〉的值; (2)"(0, n)，求 si n\ -的值.2且：£ 三（n, n ），二 cos:22、2•/ sin 2: = 2sin : cos:••• sin 2，_U9（2）:习 n , n ），「■ ：= （0,n ），二：.；亠『'三（n ,3n ），且si n （'：：亠,）3-4，二 cos （：亠，）= 5 51 sin 二3cos —U3二 sin - -sin[(、； ■- \'-) - : ] =sin (、； ' l ：)cos : -cos (用、l‘)sina = ----------- 152 1 16(本小题满分14分)已知m ・R , a( -1, x m)， b =(m 1,-)，x（1） c=（-m, x ），当m=d 时，求使不等式|a ，c|兰1成立的x 的取值范围; 'x+m ， （2）求使不等式a b _0成立的x 的取值范围.16.解析：（I ）当m = -1时,7=(_1,x 2 -1)，二(1，宀：：=_1x-1.X —1X —1='x 2+x -1 £1，二x? x —1—h 又 x = 1 解得.—2 空 X 弐「1 或 0 空x ::： 1二当m - -1时，使不等式c 叮成立的x 的取值范围是[-2,-1]U[0,1）.2 2(n)v a b —(m 1)x m=x-(m 1)x m =(x-1)(x-m) 0 xx x二当 r<0 时，[m,0） 一 [1,二）；当 n =o 时，[1,：：）;当 0 ：： m ::: 1 时，（0, m] [1,：：）； 当 m^ 1 时，[1,：：）;当 n >1 时，（0,1] 一 [ m,：：）.17（本小题满分14分）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为 10万元，每生产1千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R （x ）万元，且R （x ）二1210.8 x (0 ：： x ^10)30 108 1000“ “、 r(x10) 3x 2二、解答题：本大题共 6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步 骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15（本小题满分14分）已知卅三（n, n ），且sin J2 3（1） 写出年利润 W （万元）关于年产品 x （千件）的函数解析式； （2） 年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?（注：年利润=年销售收入-年总成本）3x 解：(1)当 0<x w 10 时，W=xR(x)-(10 2.7x) =8.1x10 30当 x >10 时，W =xR(x) -(102.7x) =98 -1000 —2.7X3x严3x 8.1x-—-10 0cxE10 .W 二〒 30.............. 5 分100098 2.7x x 10I 3x2x(2)①当 0<x w 10 时，由 W =8.10得x=9且当 x (0,9)时,W 0;10当 x (9,10)时,W ：：0;1 3•••当 x=9 时，W 取最大值，且 W max =8.1 99 —10 = 38.6 .............. 10 分30②当 x>10 时，W=9・1000+2.7x1^98 —=38 I 3x 丿 V 3x当且仅当 1000 =2.7x,即x 二100时,W max =38.3x9综合①、②知x=9时，W 取最大值.所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装生产中获利最大. ........ 15分18（本小题满分16分）已知数列｛aj 的前n 项和为S n .（I ）若数列｛a n ｝是等比数列，满足2a , a 3 =3a 2, a 3 2是a 2,a 4的等差中项，求数列｛a n ｝的 通项公式；（H ）是否存在等差数列｛a n ｝，使对任意n ・N *都有a n S n =2n 2 n V ?若存在，请求出所 有满足条件的等差数列；若不存在，请说明理由. 解：（I ）设等比数列"a n 匚的首项为a 〔，公比为q ,f 2即』®(2 + q )=3阿，(1)©(q+q 3) =2®q 2 +4.⑵由⑴得q 2 - 3q • 2 = 0，解得q = 1或q = 2.依题意，有2a 1 + a 3 = 3a 2, ©2 +a 4 =2@3 +2).当q =1时，不合题意舍；当q =2时，代入⑵得印=2，所以，a^2 -2nJ-2n方法1:[a1 (n 1)d][a1 n n(n 1)d^2n2(n 1)，得2(n)假设存在满足条件的数列{a n}，设此数列的公差为d，则d2 23 2 2 3 1 2 2(_%d -d )n (a -a1d _d )=2n • 2n对n・N*恒成立, d 22=2,3ad _d222 3 .a -一ad2=2,2d2“f d = 2, f d = -2,解得或此时a n= 2n，或a n- -2n .冃=2, © =-2.故存在等差数列｛a n｝，使对任意n • N*都有a n S n=2n2(n 1) •其中a^ 2n ,或a n_ -2n . ................... 15 分方法2：令n =1, a； =4，得a1 = 2 ,令n = 2，得a；a1 a2 -24 二0 ,①当a1=2时，得a2=4或a2- -6,若a2=4 ,贝U d =2 , a n=2n , S n= n(n 1),对任意n N* 都有2a n S n =2n (n ■ 1);若a2=-6，则d=—8, a^ -14, S^ = -18，不满足a3S3= 2 32(3 1)........................ 12分②当a<| = -2 时，得a2 = -4或a2 =6,若a^-4 ,则d「-2 , a. =-2n , S n = —n(n 1),对任意n • N* 都有2a n S n =2n (n 1);右a2=6，则d=8, a3-14, S3-18，不满足a3 S3 = 2 3 (3 1).综上所述，存在等差数列{a n },使对任意n • N *都有a n 0=2n 2(n • 1) •其中或 a * - -2n .范围；在(2)的条件下，对任意 r (1, =),S ・ (0,1)，求证：g(t) -g(s) • e • 2-〕.e.(1P f (0) =0 x = 0是y = f(x)的一个零点.2 1 2 1 当x 0时，f(x)=x(x 2-1--),设(x)=x 2-1 -v x V x」(x)=2x d 〉0'」(x )在(°，p 上单调递增1叮毋(1) =_1 C 0,毋(2)=3—F>0•二®(X )在(1,2)上有唯一零点 V 2.y = f(x)在0,= 上有且仅有2个零点 .............................. 4 2ax ax 1 ax(x 1) , a , (2) g(x) 3 ln xln xln xx- xx(x 1)(x-1)x-1定义域为(0,1) _(1，■ : ■)a _ x 2「2x 1「ax _ x 2「(a 2)x 1 (x -1)2 一 x(x-1)2 一 x(x-1)21设h(x) =x 2 -(a 2)x1,要使y =g(x)在(0,—)上有极值，.h(x) = x 2 -(a 2)x1 = 0e有两个不同的实根x^x ?,.厶=(a ' 2)2 -4 0 ■ a 0或a ：：： -4 (8)1 1 1而且一根在(0,)间，不妨设0 冷：：：,又因为X 1X 2 =1,・0 ：：： X 1 ：：： ::: e ：：： X 2e e e 1 11 h(0) =1,只需 h(厂：0,即2 -(a 2)1 ：： 0e e e.1 c ■ a e 2e15分19.(本小题满分 (1) 求函数y (2) 令 g(x )二 =x 3「x -、x .16分)已知函数f (x) =f (x)的零点的个数；ax 2 亠 ax 1In X ，若函数y = g(x)在(0，)内有极值，求实数 a 的取值 f(x) 、x e(3)g (x)E(1 )求f(2)的值；(2)已知实数t € R ，求函数y = f[xg(x)+t],x ・〔1,el 的最小值;(3)令F(x)电(x) g(x)，给定X1必•(1, r),x 1 ：：： X2，对于两个大于1的正数〉，：， 存在实数m 满足：：• = mx 1 (^ m) x 2，: = (1 -m)% • mx 2，并且使得不等式| F(： ) - F(：)卜：| F(xJ - F(X 2) |恒成立，求实数 m 的取值范围.解：y = f(x)图象与x 轴异于原点的交点 M (a,0)， f'(x)=2x —a y = g(x —1)=l n(xT)图象与x 轴(3)由(2)知,x (1必)时，g (x) :: 0,则g(x)单调递减x (x 2 •二)时，g(x)单调递增 /. g(x)在(1,，°o )上有最小值g(x 2) 即-1 (1, •：：)，都有 g(t) _ g(X 2)又当x (0, xj,g(x) 0. g(x)单调递增 当x ：= (x 「• ：：), g (x) ：：：0,. g(x)单调递减 .g(x)在(0,1)上有最大值g(x) 即对-s (0,1),都有g(s) Eg(xJ 1又 x 1 x 2 = 2 a,x 1x 2 =1,. x 「(0, —)，x 2 (e,：：) a ag ⑴一 g(s)—g(x 2)—g(x 1)小 x 2 芦小 x 1一百,x 2 丄 a a , =In - In x 1 x 2 -1 X<| -1 设k(x) = In x 2 x = 2ln x2 1k (x) 1 2 0 x x 21x 2 x 2(x 2 e)xx x-丄x13— 1.k(x)在(e,；)上单调递增，.k(x) k(e)=2 e- — e 1 g(t) -g(s) e — 2.................................................................. e 16 20(本小题满分16分)已知函数 2f(x)二 X -ax(a=0)，g(x)=lnx ，f (x)图象与 x 轴异于原点的交点M 处的切线为|1， g(xT)与x 轴的交点N 处的切线为l 2，并且h 与I 2平行.x-1 1f(2) =22 -2=2 ............. 3 分( 2 )2 2 2y = f[xg(x)+t] =[xln x+t] -(xlnx+t)=(xln x) (2t-1)(x1 n x) t -1 ........................................ 4分令u = xln x，在x「1,e I 时，u' = l ix 1 0 - u = xln x 在11,e 单调递增，0 m e, .................... 5分2 2 1 -2ty =u (2t -1)u t -t图象的对称轴u ，抛物线开口向上①1 -2t当u = 102 即U-2时y m - i y -n t 丄•…0 t ........ 6分、「/ 1 -2t 1 -2e②当u e 即t <时2 2y min2 2= y|u土二e (2t 1)e t t••…....... 7分立 c 1 一2t 1 -2e 1③当0 e 即::t 时2 2 21 -2t2 1 -2t 2 1ymin -y| z-( c ) +(2t-1) c t —t: •8分h 2 2 4(3)F(x)二g(x) g'(x)=l nx 1，F'(x^1-4 二笃1-0 得x_1 所以F(x)在区间(1,：：)上单调x x x x递增……9分当x_1 时，F (x) F (1) 0 ① 当m (0,1) 时，有-m 1x 1 -m) x 1m(，x1 - ) m =x x-■ - m^ (1 _ m)x2:: m冷(1 _ m)x2= x2，得：〔三(片，x2)，同理：(片，x2)，............io分•-由f(x)的单调性知0：：：F(xJ：：：FG) 、FC)：：：F(X2)，从而有|F(：)-F(J 卜:|F(X J-F(X2)|，符合题设............................ 1分② 当m_0 时，-=m 1 (x 1 ^m) x2- ,X - ) m 的交点N(2,0) g'(x—1)=丄由题意可得kh=k l2，即a = 1 , f(x) = x2—x,,--(1 —m)% mx2_ (1 _ m)x1m% = x，由f(x)的单调性知0 ::：F( J 乞F(xJ :： F(x2)乞F(：)，二|F(： )—FC)|」F(x1^F(x2)|，与题设不符…12分③当m _ 1时，同理可得「冬x1, 亠x2, 得|F(： )-F() |F(X I)_F(X2)| , 与题设不符 (1)分.综合①、②、③得m (0,1) .................................. …16分薄雾浓云愁永瑞脑消金兽。
江苏省常州市高级中学2016届高三(上)阶段调研数学试卷(理科)(二)(解析版)
2016-2017学年江苏省常州市高级中学高三（上）阶段调研数学试卷（理科）（二）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1．函数y=的定义域是．2．设i是虚数单位，若复数z满足z（1+i）=（1﹣i），则复数z的模|z|=．3．“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a﹣1）y+7=0平行”的条件．（选“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空）4．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为．5．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出的值为．6．若等差数列{a n}的公差为2，且a1，a2，a4成等比数列，则a1=．7．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球中有黄球的概率为．8．圆锥的侧面展开图是圆心角为π，面积为2π的扇形，则圆锥的体积是．9．已知sin2x﹣cos2x=2cos（2x﹣θ）（﹣π＜θ＜π），则θ=．10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为．11．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若•=1，则λ的值为．12．如果函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，则mn的最大值为．13．已知函数f（x）=则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是．14．已知圆O：x2+y2=4，点M（1，0）圆内定点，过M作两条互相垂直的直线与圆O交于AB、CD，则弦长AC的取值范围．二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15．在△ABC中，A=，AB=6，AC=3．（1）求sin（B+）的值；（2）若点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．16．在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，DC∥AB，DC=2，AB=4，BC=2，∠CBA=30°．（1）求证：AC⊥PB；（2）若PC=2，点M是棱PB上的点，且CM∥平面PAD，求BM的长．17．某油库的设计容量是30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为y=（p＞0，1≤x≤16，x∈N*），并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．（1）试写出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m的取值范围．18．平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C上一动点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l： +=1，过F2与x轴垂直的直线记为l1，右准线记为l2；①设直线l 与直线l 1相交于点M ，直线l 与直线l 2相交于点N ，证明恒为定值，并求此定值．②若连接F 1P 并延长与直线l 2相交于点Q ，椭圆C 的右顶点A ，设直线PA 的斜率为k 1，直线QA 的斜率为k 2，求k 1•k 2的取值范围．19．设数列{a n }的前n 项和S n ＞0，a 1=1，a 2=3，且当n ≥2时，a n a n +1=（a n +1﹣a n ）S n ． （1）求证：数列{S n }是等比数列； （2）求数列{a n }的通项公式；（3）令b n =，记数列{b n }的前n 项和为T n ．设λ是整数，问是否存在正整数n ，使等式T n +成立？若存在，求出n 和相应的λ值；若不存在，说明理由．20．已知a 为实常数，函数f （x ）=lnx ﹣ax +1． （Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅱ）若函数f （x ）有两个不同的零点x 1，x 2（x 1＜x 2）． （ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）求证：＜x 1＜1，且x 1+x 2＞2．（注：e 为自然对数的底数）[选修4-2：矩阵与变换]21．已知x ，y ∈R ，矩阵A=有一个属于特征值﹣2的特征向量a=，（1）求矩阵A ；（2）若矩阵，求A ﹣1B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xoy 中，曲线C 1：（t 为参数，t ≠0），其中0≤α＜π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=2sin θ，曲线C 3：ρ=2cos θ．（Ⅰ）求C 2与C 3交点的直角坐标；（Ⅱ）若C 2与C 1相交于点A ，C 3与C 1相交于点B ，求|AB |的最大值．23．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．24．若抛物线C的顶点在坐标原点O，其图象关于x轴对称，且经过点M（2，2）．（1）求抛物线C的方程；（2）过点M作抛物线C的两条弦MA，MB，设MA，MB所在直线的斜率分别为k1，k2，当k1，k2变化且满足k1+k2=﹣1时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点坐标．2016-2017学年江苏省常州市高级中学高三（上）阶段调研数学试卷（理科）（二）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1．函数y=的定义域是（﹣1，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质以及父母不为0，得到关于x的不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：x+1＞0，解得：x＞﹣1，故函数的定义域是（﹣1，+∞），故答案为：（﹣1，+∞）．2．设i是虚数单位，若复数z满足z（1+i）=（1﹣i），则复数z的模|z|=1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：z（1+i）=（1﹣i），∴z（1+i）（1﹣i）=（1﹣i）（1﹣i），∴2z=﹣2i，z=﹣i．则复数z的模|z|=1．故答案为：1．3．“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a﹣1）y+7=0平行”的充分不必要条件．（选“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a﹣1）y+7=0平行，可得，解出即可判断出结论．【解答】解：由直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a﹣1）y+7=0平行，可得，解得a=3或﹣2．∴“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a﹣1）y+7=0平行”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．4．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为16．【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差，然后结合变量之间的方差关系进行求解即可．【解答】解：∵样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，∴=8，即DX=64，数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的方差为D（2X﹣1）=4DX=4×64，则对应的标准差为=16，故答案为16．5．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出的值为4．【考点】循环结构．【分析】利用循环体，计算每执行一次循环后a的值，即可得出结论．【解答】解：第一次循环，i=1，a=2；第二次循环，i=2，a=2×2+1=5；第三次循环，i=3，a=3×5+1=16；第四次循环，i=4，a=4×16+1=65＞50，退出循环，此时输出的值为4故答案为4：6．若等差数列{a n}的公差为2，且a1，a2，a4成等比数列，则a1=2．【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．【分析】把a2，a4用a1和常数表示，再由a1，a2，a4成等比数列列式求得a1．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，∴a2=a1+2，a4=a1+6，又a1，a2，a4成等比数列，∴，解得：a1=2．故答案为：2．7．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球中有黄球的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出这2只球中有黄球包含的基本事件个数，由此能求出这2只球中有黄球的概率．【解答】解：袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，基本事件总数n==6，这2只球中有黄球包含的基本事件个数m==5，∴这2只球中有黄球的概率为p==．故答案为：．8．圆锥的侧面展开图是圆心角为π，面积为2π的扇形，则圆锥的体积是π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，利用圆锥的侧面展开图是圆心角为π，面积为2π的扇形，列出关系式，即可求出l，r，然后求出圆锥的高，即可求解圆锥的体积．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知=π，且•2πr•l=2π，解得l=2，r=，所以圆锥高h===1，则体积V=πr2h=π．故答案为：π．9．已知sin2x﹣cos2x=2cos（2x﹣θ）（﹣π＜θ＜π），则θ=．【考点】两角和与差的余弦函数；三角函数中的恒等变换应用．【分析】由条件利用两角和差的余弦公式，诱导公式可得cos（2x﹣）=cos（2x﹣θ），由此求得θ的值．【解答】解：∵sin2x﹣cos2x=2cos（2x﹣θ）（﹣π＜θ＜π），∴sin（2x﹣）=cos（2x﹣θ），即cos（2x﹣）=cos（2x﹣θ），∴θ=，故答案为：．10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意，=，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a 2+b 2=c 2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故答案为：．11．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD=120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC=3BE ，DC=λDF ，若•=1，则λ的值为 2 ． 【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论． 【解答】解：∵BC=3BE ，DC=λDF ，∴=， =，=+=+=+，=+=+=+，∵菱形ABCD 的边长为2，∠BAD=120°，∴||=||=2， •=2×2×cos120°=﹣2，∵•=1，∴（+）•（+）=++（1+）•=1，即×4+×4﹣2（1+）=1，整理得，解得λ=2， 故答案为：2．12．如果函数f （x ）=（m ﹣2）x 2+（n ﹣8）x +1（m ≥0，n ≥0）在区间[]上单调递减，则mn 的最大值为 18 ． 【考点】二次函数的性质．【分析】函数f （x ）=（m ﹣2）x 2+（n ﹣8）x +1（m ≥0，n ≥0）在区间[，2]上单调递减，则f ′（x ）≤0，即（m ﹣2）x +n ﹣8≤0在[，2]上恒成立．而y=（m ﹣2）x +n ﹣8是一次函数，在[，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f ′（）≤0，f ′（2）≤0即可．结合基本不等式求出mn 的最大值．【解答】解：∵函数f （x ）=（m ﹣2）x 2+（n ﹣8）x +1（m ≥0，n ≥0）在区间[，2]上单调递减，∴f′（x）≤0，即（m﹣2）x+n﹣8≤0在[，2]上恒成立．而y=（m﹣2）x+n﹣8是一次函数，在[，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f′（）≤0，f′（2）≤0即可．即，由②得m≤（12﹣n），∴mn≤n（12﹣n）≤=18，当且仅当m=3，n=6时取得最大值，经检验m=3，n=6满足①和②．∴mn的最大值为18．故答案为：18．13．已知函数f（x）=则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是[，）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；分段函数的应用．【分析】由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围．【解答】解：∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，∴y=f（x）与y=ax有2个交点，又∵a表示直线y=ax的斜率，∴y′=，设切点为（x0，y0），k=，∴切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=，∴直线l1的斜率为，又∵直线l2与y=x+1平行，∴直线l2的斜率为，∴实数a的取值范围是[，）故答案为：[，）．14．已知圆O：x2+y2=4，点M（1，0）圆内定点，过M作两条互相垂直的直线与圆O交于AB、CD，则弦长AC的取值范围[﹣1， +1] ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意，求出AC的中点的轨迹方程，求出AC的最大值与最小值，即可得出它的取值范围．【解答】解：设AC的中点为P（x，y），则OP⊥AC，|PA|=|PM|∴=，∴=，∴|PM|max=，∴|PM|min=，∴|AC|max=+1，|AC|min=﹣1，故答案为：[﹣1， +1]．二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15．在△ABC中，A=，AB=6，AC=3．（1）求sin（B+）的值；（2）若点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．【考点】解三角形．【分析】（1）利用余弦定理及其推论，求出BC，cosB，再由同角三角函数基本关系公式，求出sinB，结合两角和的正弦公式，可得答案；（2）过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB，即可求得AD 的长．【解答】解：（1）∵在△ABC中，A=，AB=6，AC=3．由余弦定理得：BC===3，故cosB===，则sinB==，故sin（B+）=（+）=；（2）过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB，∴Rt△ADE中，AD===16．在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，DC∥AB，DC=2，AB=4，BC=2，∠CBA=30°．（1）求证：AC⊥PB；（2）若PC=2，点M是棱PB上的点，且CM∥平面PAD，求BM的长．【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）推导出PC⊥AC，AC=2，从而AC⊥BC，进而AC⊥平面PBC，由此能证明AC⊥PB．（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BM的值．【解答】证明：（1）∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥AC，又∠CBA=30°，BC=2，AB=4，∴AC==，∴AC2+BC2=4+12=16=AB2，∴∠ACB=90°，故AC⊥BC．又∵PC、BC是平面PBC内的两条相交直线，∴AC⊥平面PBC，∴AC⊥PB．7分解：（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，2，0），A（2，0，0），P（0，0，2），D（1，﹣，0），设M（0，b，c），，（0≤λ≤1），即（0，b，c﹣2）=（0，2，﹣2λ），∴b=2，c=2﹣2λ．M（0，2，2﹣2λ），∴=（0，2λ，2﹣2λ），设平面PAD的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣，1）∵CM∥平面PAD，∴•=﹣2λ+2﹣2λ=0，解得λ=，∴M（0，，1），∴BM==2.14分17．某油库的设计容量是30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为y=（p＞0，1≤x≤16，x∈N*），并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．（1）试写出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m的取值范围．【考点】根据实际问题选择函数类型．【分析】（1）利用前4个月，区域外的需求量为20万吨，求出p，可得y=10（1≤x≤16，x∈N*），即可求出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；（2）由题意0≤mx﹣x﹣10+10≤30（1≤x≤16，x∈N*），分离参数求最值，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，20=，∴2p=100，∴y=10（1≤x≤16，x∈N*），∴油库内储油量M=mx﹣x﹣10+10（1≤x≤16，x∈N*）；（2）∴0≤M≤30，∴0≤mx﹣x﹣10+10≤30（1≤x≤16，x∈N*），∴（1≤x≤16，x∈N*）恒成立．；设=t，则≤t≤1，．由≤（x=4时取等号），可得m≥，由20t2+10t+1=≥（x﹣16时取等号），可得m≤，∴≤m≤．18．平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C上一动点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l： +=1，过F2与x轴垂直的直线记为l1，右准线记为l2；①设直线l与直线l1相交于点M，直线l与直线l2相交于点N，证明恒为定值，并求此定值．②若连接F1P并延长与直线l2相交于点Q，椭圆C的右顶点A，设直线PA的斜率为k1，直线QA的斜率为k2，求k1•k2的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点E在椭圆C上．可得|EF1|+|EF2|=3+1=2a，解得a=2．又e==，a2=b2+c2，解得c，b2，即可得到椭圆C的方程；（2）①直线l1：x=1，直线l2：x=4．把x=1代入直线1，解得y，可得M坐标．同理可得N坐标．又=，利用两点之间的距离公式可得=为定值．②由由，解得=．直线l1的方程为：x=1；直线l2的方程为：x=4．直线PF1的方程为：y﹣0=（x+1），由于﹣1＜x0＜2，可得∈（，+∞），即可得出k1k2，利用函数的性质即可得出．【解答】解：（1）由题意知2a=4，则a=2，由e==，求得c=1，b2=a2﹣c2=3∴椭圆C的标准方程为．；（2）①证明：直线l1：x=1，直线l2：x=4．把x=1代入直线1： +=1，解得y=，∴M，把x=4代入直线1： +=1方程，解得y=，∴N，∴②由，解得=3（1﹣）（﹣2≤x0＜2），x0≠﹣1．直线l1的方程为：x=1；直线l2的方程为：x=4．直线PF1的方程为：y﹣0=（x+1），令x=4，可得y Q═．点Q，∵，k2=，∴k1•k2==．∵点P 在椭圆C 上，∴，∴k 1•k 2==．∵﹣1＜x 0＜2，∴∈（，+∞），∴k 1•k 2＜﹣．∴k 1•k 2的取值范围是k 1k 2∈（﹣∞，﹣）．19．设数列{a n }的前n 项和S n ＞0，a 1=1，a 2=3，且当n ≥2时，a n a n +1=（a n +1﹣a n ）S n ． （1）求证：数列{S n }是等比数列； （2）求数列{a n }的通项公式；（3）令b n =，记数列{b n }的前n 项和为T n ．设λ是整数，问是否存在正整数n ，使等式T n +成立？若存在，求出n 和相应的λ值；若不存在，说明理由．【考点】数列与函数的综合；数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）通过当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，a n +1=S n +1﹣S n ，代入a n a n +1=（a n +1﹣a n ）S n ，通过S 1=1，S 2=4，S 3=16，满足，而S n 恒为正值，即可证明数列{S n }是等比数列；（2）利用（1）求出S n ，然后求数列{a n }的通项公式；（3）化简b n =，利用裂项法求出数列{b n }的前n 项和为T n ．通过n=1，推出λ不是整数，不符合题意，n ≥2，是整数，从而λ=4是整数符合题意．然后得到结论 【解答】解：（1）当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，a n +1=S n +1﹣S n ，代入a n a n +1=（a n +1﹣a n ）S n 并化简得（n ≥3），…a n a n +1=（a n +1﹣a n ）S n ，又由a 1=1，a 2=3得S 2=4，代入a 2a 3=（a 3﹣a 2）S 2可解得a 3=12，∴S 1=1，S 2=4，S 3=16，也满足，而S n 恒为正值，∴数列{S n }是等比数列．…（2）由（1）知．当n ≥2时，，又a1=S1=1，∴…（3）当n≥2时，，此时=，又∴．…故，当n≥2时，=，…若n=1，则等式为，不是整数，不符合题意；…若n≥2，则等式为，∵λ是整数，∴4n﹣1+1必是5的因数，∵n≥2时4n﹣1+1≥5∴当且仅当n=2时，是整数，从而λ=4是整数符合题意．综上可知，当λ=4时，存在正整数n=2，使等式成立，当λ≠4，λ∈Z时，不存在正整数n使等式成立．…20．已知a为实常数，函数f（x）=lnx﹣ax+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2）．（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：＜x1＜1，且x1+x2＞2．（注：e为自然对数的底数）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）写出函数f（x）的定义域，求出f'（x），分a≤0，a＞0两种情况讨论，通过解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0可得单调区间；（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可知，当a≤0时f（x）单调，不存在两个零点；当a＞0时，可求得f（x）有唯一极大值，令其大于零，可得a的范围，再判断极大值点左右两侧附近的函数值小于零即可；（ⅱ）由（i）知可判断f（x）的单调性，根据零点存在定理可判断＜1；分析：由0，得，故只要证明：f（）＞0就可以得出结论．下面给出证明：构造函数：g（x）=f（﹣x）﹣f（x）=ln（﹣x）﹣a（﹣x）﹣（lnx﹣ax）（0＜x≤），利用导数可判断g（x）在区间（0，]上为减函数，从而可得g（x1）＞g（）=0，再由f（x1）=0可得结论；【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），其导数f'（x）=﹣a．①当a≤0时，f'（x）＞0，函数在（0，+∞）上是增函数；②当a＞0时，在区间（0，）上，f'（x）＞0；在区间（，+∞）上，f'（x）＜0．∴f（x）在（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数．（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，不可能有两个零点，当a＞0时，f（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，此时f（）为函数f（x）的最大值，当f（）≤0时，f（x）最多有一个零点，∴f（）=ln＞0，解得0＜a＜1，此时，＜，且f（）=﹣1﹣+1=﹣＜0，f（）=2﹣2lna﹣+1=3﹣2lna﹣（0＜a＜1），令F（a）=3﹣2lna﹣，则F'（x）=﹣=＞0，∴F（a）在（0，1）上单调递增，∴F（a）＜F（1）=3﹣e2＜0，即f（）＜0，∴a的取值范围是（0，1）．（ii）由（Ⅱ）（i）可知函数f（x）在（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数．f（x）=lnx﹣ax+1，∴f（）=﹣1﹣+1=﹣＜0，f（1）=1﹣a＞0．故＜1；第二部分：分析：∵0，∴．只要证明：f（）＞0就可以得出结论．下面给出证明：构造函数：g（x）=f（﹣x）﹣f（x）=ln（﹣x）﹣a（﹣x）﹣（lnx﹣ax）（0＜x≤），则g'（x）=+2a=，函数g（x）在区间（0，]上为减函数．0＜x1，则g（x1）＞g（）=0，又f（x1）=0，于是f（）=ln（）﹣a（）+1﹣f（x1）=g（x1）＞0．又f（x2）=0，由（1）可知，即．[选修4-2：矩阵与变换]21．已知x，y∈R，矩阵A=有一个属于特征值﹣2的特征向量a=，（1）求矩阵A；（2）若矩阵，求A﹣1B．【考点】逆矩阵的意义；特征向量的意义．【分析】（1）根据特征值的定义可知Aα=λα，利用待定系数法建立等式关系，从而可求矩阵A；（2）利用公式求逆矩阵，即可求A﹣1B．．【解答】解：（1）由题意可得=﹣2，得即x=﹣1，y=2；∴A=4分（2）|A|=﹣1，∴6分∴10分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xoy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，曲线C3：ρ=2cosθ．（Ⅰ）求C2与C3交点的直角坐标；（Ⅱ）若C2与C1相交于点A，C3与C1相交于点B，求|AB|的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）将C2与C3转化为直角坐标方程，解方程组即可求出交点坐标；（Ⅱ）求出A，B的极坐标，利用距离公式进行求解．【解答】解：（Ⅰ）曲线C2：ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，①C3：ρ=2cosθ，则ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，②由①②得或，即C2与C1交点的直角坐标为（0，0），（，）；（Ⅱ）曲线C1的直角坐标方程为y=tanαx，则极坐标方程为θ=α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤a＜π．因此A得到极坐标为（2sinα，α），B的极坐标为（2cosα，α）．所以|AB|=|2sinα﹣2cosα|=4|sin（α）|，当α=时，|AB|取得最大值，最大值为4．23．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用组合知识求出基本事件总数及事件A发生的个数，然后利用古典概型概率计算公式得答案；（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望．【解答】解：（Ⅰ）由已知，有P（A）=，∴事件A发生的概率为；（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4．P（X=k）=（k=1，2，3，4）．随机变量X的数学期望E（X）=．24．若抛物线C的顶点在坐标原点O，其图象关于x轴对称，且经过点M（2，2）．（1）求抛物线C的方程；（2）过点M作抛物线C的两条弦MA，MB，设MA，MB所在直线的斜率分别为k1，k2，当k1，k2变化且满足k1+k2=﹣1时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点坐标．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设抛物线方程为y2=ax，代入M（2，2），可得a=2，即可求抛物线C的方程；（2）由题意可知直线AB的斜率存在且不为零，可设AB的方程为x=my+b，和（1）中求得轨迹联立后利用根与系数关系得到A，B两点的横纵坐标的和，结合k1+k2=﹣1求得直线方程，由线系方程得答案．【解答】解：（1）设抛物线方程为y2=ax，代入M（2，2），可得a=2，∴抛物线C的方程为y2=2x；（2）由题意可知直线AB的斜率存在且不为零，可设AB的方程为x=my+b，并设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与抛物线可得y2﹣2my﹣2b=0，从而有y1+y2=2m ①，y1y2=﹣2b ②，又k1+k2=﹣1，即+=﹣1，∴+=﹣1∴﹣（y1+2）（y2+2）=2（y1+y2+4），展开即得y1y2+4（y1+y2）+12=0，将①②代入得b=4m+6，得AB：x=my+4m+6．故直线AB经过定点（6，﹣4）。
江苏省常州市高三上学期期中数学试卷(理科)
江苏省常州市高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2016·深圳模拟) 若复数z满足（1+i）z=1﹣i（i为虚数单位），则|z|=（）A .B .C . 2D . 12. （2分） (2016高一下·老河口期中) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足bcosC=a，则△ABC的形状是（）A . 等边三角形B . 锐角三角形C . 直角三角形D . 钝角三角形3. （2分） (2019高二上·阜阳月考) 若 , 则“ ”是“方程表示双曲线”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2020高三上·兴宁期末) 记为等差数列的前项和，若，，则（）A .B .C .D .5. （2分）如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为，此四边形内任一点P到第i条边的距离为，若，则.类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i个面的面积记为，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为，若,则（）A .B .C .D .6. （2分）如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）A .B . i>2012C .D . i>10067. （2分）已知，则的最大值为（）A . 2B .C . 0D .8. （2分） (2017高三下·淄博开学考) 已知f（x）= x2+sin（ +x），f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（）A .B .C .D .9. （2分）设，向量，，，且，，则（）A .B .C .D . 1010. （2分） (2017高二下·中山期末) 将5件不同奖品全部奖给3个学生，每人至少一件奖品，则不同的获奖情况种数是（）A . 150B . 210C . 240D . 30011. （2分）(2020·丹东模拟) 已知当时，函数取得最小值，则（）A .B .C .D .12. （2分）(2016·海南模拟) 已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2 ，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A . 1B .C . 2D . 3二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）若偶函数y=f（x）为R上的周期为6的周期函数，且满足f（x）=（x+1）（x﹣a）（﹣3≤x≤3），则f（﹣6）等于________．14. （1分）的展开式中常数项为________．（用数字作答）15. （1分）若直线y﹣kx﹣1=0（k∈R）与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是________16. （2分） (2016高三上·杭州期中) 设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=﹣1， =Sn ，求数列{an}的前n项和Sn=________，通项公式an=________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （10分）(2017·鞍山模拟) 已知函数f（x）=2cos2x+2 sinxcosx+a，且当x∈[0， ]时，f（x）的最小值为2．（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0， ]上所有根之和．18. （5分） (2016高二上·潮阳期中) △ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．19. （10分） (2016高三上·平阳期中) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，若a1=1，且Sn=tan﹣，其中n∈N*．（1）求实数t的值和数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn=log3a2n，求数列{ }的前n项和Tn．20. （5分）(2018·宁县模拟) 已知函数．Ⅰ 若曲线在和处的切线互相平行，求a的值；Ⅱ 求的单调区间；Ⅲ 设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围．21. （10分） (2016高二下·大丰期中) 已知函数的图象过点（﹣1，2），且在点（﹣1，f（﹣1））处的切线与直线x﹣5y+1=0垂直．（1）求实数b，c的值；（2）求f（x）在[﹣1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值．22. （5分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）设点P（m，0），若直线l与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．23. （10分） (2017高二下·中原期末) 已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。
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300
B
C P
常州一中2016届高三文科数学11月期中考试
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 1．设集合，，则=__________。
2．若（）为幂函数，且的图象过点，则的值为． 1 3．已知直线和，则的充要条件是 ﹣1 ．
4．若曲线在处的切线斜率为0，则实数的值为． 5．已知函数 则=．
6．将函数向左平移个单位,平移后的图像如图所示,则平移后图像所对应的函数解析式为 7．已知等比数列的各项均为正数，且，则数列的通项公式为． 8.下列说法中正确的个数为 2 . ①命题：“若，则”的否命题是“若，则”；
②若复合命题“”为假命题,则均为假命题；
③“三个数成等比数列”是“”的充分不必要条件； ④命题“若,则”的逆否命题为真命题.
9．在锐角△中，若，，依次成等差数列，则的值为．3
10.正方形ABCD 的中心为（3,0），AB 所在直线的方程为，则正方形ABCD 的外接圆的方程为___________________ 11．已知正实数满足，则的最大值为.
12．如图,是直线上三点,是直线外一点,,,,则=________.
13.设函数若存在实数，使得有两个零点，则实数的取值范围是．或
14.已知数列满足,设为均不等于2的且互不相等的常数），若数列为等比数列，则的值为______________． 二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本题满分14分）在直角坐标系中，不共线的四点满足，且，，求： （1）的坐标；
（2）四边形的面积。
16.（本题满分14分）设向量a ,b ,ab .
(1)求函数的单调增区间和图像的对称中心坐标； (2)在锐角中,角的对边分别为,且,求的取值范围。
解: (1)
所以的单调增区间为,对称中心为. (2)由,得 ,为锐角,. 由正弦定理得, =
是锐角三角形,得.所以, 从而的取值范围为
17.（本题满分14分）如图所示,有一块半径长为1米的半圆形钢板,现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD,
设梯形部件ABCD的面积为平方米.
(I)按下列要求写出函数关系式:
①设(米),将表示成的函数关系式;
②设,将表示成的函数关系式.
(II)求梯形部件ABCD面积的最大值.
【答案】解:如图所示,以直径所在的直线为轴,线段中垂线为轴,建立
平面直角坐标系,过点C作于E,
(I)①∵,∴,
∴
②∵,∴,
∴,
(说明:若函数的定义域漏写或错误,则一个扣1分)
(II)(方法1)∴,
令,
则,
令,,(舍)
∴当时,,∴函数在(0,)上单调递增,
当时,,∴函数在(,1)上单调递减,
所以当时,有最大值,
答:梯形部件面积的最大值为平方米.
(方法2),
令,∴,,∴,(舍).
∴当时,,∴函数在(0,)上单调递增,
当时,,∴函数在(,1)上单调递减,
所以当时,
答:梯形部件ABCD面积的最大值为平方米.
(方法3)∴
,
令,得,即,(舍),
∴当时, ,∴函数在上单调递增, 当时,,∴函数在上单调递减 , 所以当时, 答:梯形部件面积的最大值为平方米.
18．（本题满分16分）已知圆的方程为,直线的方程为,点在直线上,过点作圆的切线,切点为.
(1)若,试求点的坐标;
(2)若点的坐标为,过作直线与圆交于两点,当时,求直线的方程;
(3)经过三点的圆是否经过异于点M的定点,若经过,请求出此定点的坐标;若不经过,请说明理由.
【答案】,解:(1)设,由题可知,所以,解之得:, 故所求点的坐标为或.
(2)设直线的方程为:,易知存在,由题知圆心到直线的距离为,所以,( ) 解得,或,ks.5u
故所求直线的方程为:或.( )
(3)设,的中点,因为是圆的切线
所以经过三点的圆是以为圆心,以为半径的圆,
故其方程为:
化简得:,此式是关于的恒等式,故
解得或
所以经过三点的圆必过异于点M的定点
19．（本题满分16分）已知,,是曲线在点处的切线.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)若切线与曲线有且只有一个公共点,求的值;
(Ⅲ)证明对任意的,函数总有单调递减区间,并求出单调递减区间的长度的取值范围.(区间的长度=)
【答案】,,
,切点,斜率为.
∴切线的方程:
(Ⅱ)切线与曲线有且只有一个公共点等价于方程有且只有一个实数解.
令,则有且只有一个实数解.
∵,∴有一解.
①在上单调递增,
∴是方程的唯一解;
②,
∴,
∴方程在上还有一解.故方程的解不唯一;
③当,
∴,而当且趋向-1时,趋向,趋向.
∴方程在上还有一解.故方程的解不唯一.
综上,当与曲线有且只有一个公共点时,.
(Ⅲ);∵∴等价于.
∵,对称轴,,∴有解,其中.
∴当时,.所以的减区间为
当时,区间长度
∴减区间长度的取值范围为]
20．（本题满分16分）己知数列是公差不为零的等差数列，数列是等比数列．
（1）若（n∈N*），求证：为等比数列；
（2）设（n∈N*），其中是公差为2的整数项数列，，若
，且当时，是递减数列，求数列的通项公式；
（3）若数列使得是等比数列，数列的前项和为，且数列满足：对任意，N*,或者恒成立或者存在正常数，使恒成
立，求证：数列为等差数列．
（1）证明：，设公差为且，公比为，
=常数，为等比数列………3分
（2）由题意得：对恒成立且对恒成立，…5分
对恒成立………… ……7分
对恒成立………… ……9分而
或或. ………… ……10分
（3）证明：设
不妨设，
，即.………… ……13分
若，满足，
若，则对任给正数M，则取内的正整数时，
，与矛盾.
若，则对任给正数T=，则取内的正整数时=，与矛盾.
，而是等差数列，设公差为，
为定值，为等差数列.………… ……16分
薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。
佳节又重阳，玉枕纱厨，半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后，有暗香盈袖。
莫道不消魂，帘卷西风，人比黄花瘦。
世上没有一件工作不辛苦，没有一处人事不复杂。
不要随意发脾气，谁都不欠你的。