六年级奥数辅导第13讲 排列组合
小学奥数之排列组合问题
题目：将5个不同的小球放到4个不同的盒子里，要求每个盒子都不空，则不同的放法种数为 _______． 答案：60
掌握基础概念和公式
理解排列组合的原理和计算方法
理解排列组合的概念和公式
练习题：有5个不同的小球放到4个不同的盒子里，要求每个盒子都不空，则不同的放法种数为多少？ 答案解析：根据题意，先选出5个小球，再将其分成4组，然后对4组进行排列，最后将排列后的4组对应到4个不同的盒子里。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{4} = 240$种不同的放法。答案解析：根据题意，先选出5个小球，再将其分成4组，然后对4组进行排列，最后将排列后的4组对应到4个不同的盒子里。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{4} = 240$种不同的放法。练习题：有7把椅子摆成一排，现有3人随机就座，那么任何两人不相邻的坐法种数为多少？ 答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。练习题：用数字0，1，2，3，4可以组成多少个无重复数字且大于2000的三位数？ 答案解析：对于三位数的百位数字，不能为0，所以百位数字可以为1、2、3、4中的任意一个，共有4种选择。对于十位数字和个位数字，由于不能有重复数字，所以十位数字和个位数字各有4种选择。根据分步乘法计数原理，共有$4 \times 4 \times 3 = 48$个无重复数字且大于2000的三位数。答案解析：对于三位数的百位数字，不能为0，所以百位数字可以为1、2、3、4中的任意一个，共有4种选择。对于十位数字和个位数字，由于不能有重复数字，所以十位数字和个位数字各有4种选择。根据分步乘法计数原理，共有$4 \times 4 \times 3 = 48$个无重复数字且大于2000的三位数。练习题：有7把椅子摆成一排，现有3人随机就座，那么任何两人不相邻的坐法种数为多少？ 答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。
六年级下册奥数讲义-奥数方法：排列组合法
一般地，从n个元素中任取m个(m≤n)元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
如果取出的这m个元素不计次序组成一组，则叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，利用有关排列与组合的性质来解答数学问题的思维方法叫做排列组合法。
排列组合的有关性质包括乘法原理、加法原理及抽屉原理等，在很多小学数学竞赛题中还会用到广义的抽屉原理:将多于m×n个物体任意放到n个抽屉中去，那么至少有一个抽屉中物体的个数不少于m+1个。
排列组合法的一般解题步骤为:先对问题进行分析，转化成一个排列或组合问题，然后求解。
在运用排列组合法解题时经常结合交集法、删选法等。
[例1] 10只无明显差异的苹果，小华每天至少吃1只，直到吃完，问有多少种不同的吃苹果方案?思路剖析将10只苹果排成一排，如果第一天吃2只，第二天吃3只，第三天吃4只，第四天吃1只，这种吃苹果方案可以表示如图1所示。
可以看出，本题实质是一个组合问题，吃苹果的方案变成在10只苹果之间的9个空隙里添加竖线。
利用相关知识，不难得出本题答案。
解答由图1．可知，因为每个空隙都可以添加竖线，也可以不添加，所以共2×2×2×2×2×2×2×2×2=512(种)不同方式，所以共有512种不同的吃苹果方案。
[例2] 把写有1到10的十张卡片摆成一圈，不管怎样摆，在这个圈中一定有位置相邻的三张卡片，它们上面的数的和大于17。
[例3] 甲乙两人各有九张分别写着l一9的卡片，两人各自随意拿出一张，求:(1)两张卡片上的数相加，和大于15的可能性；(2)两张卡片上的数相乘，积是奇数的可能性。
思路剖析两人各自拿一张，一共有9×9种不同情况。
两数之和大于15的有9+9，9+8，9+7，8+9，8+8和7+9六种。
两数相乘积是奇数，这两个因数必都是奇数，一共有5×5种。
小学奥数精讲：排列组合常见解题方法
小学奥数精讲：排列组合常见解题方法小学奥数精讲：排列组合问题常见解题方法方法一：捆绑法“相邻问题”——捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。
例1．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“A，B”、C、D、E“四个人”进行排列，有在一起的A、B两人也要排序，有种。
例2．有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。
若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种？【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有法，2本外语书有种排法；根据分步乘法原理共有排法种排法；又3本数学书有种排种。
种排法。
又因为捆绑种排法。
根据分步乘法原理，总的排法有【提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题。
解题过程是“先捆绑，再排列”。
方法二：插空法“不邻问题”——插空法，即在解决关于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
例3．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。
第一将C、D、E三个人排列，有种排法；若排成D C E，则D、C、E“中央”和“两端”共有四个空位置，也等于：︺D︺C︺E︺，此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有共有排队方法：。
种插法。
由乘法原理，例4．在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？【解析】：直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有8个空位，有种方法；用末了一个节目去插9个空位，有=504种。
六年级奥数专题 排列组合综合(学生版)
排列组合综合,掌握几种基本的排列组合相关问题的方法：特殊位置特殊元素优先分析法、捆绑法、插空法、隔板法我们在完成一件事时往往要分为多个步骤,每个步骤又有多种方法,当计算一共有多少种完成方法时就要用到乘法原理.乘法原理：一般地,如果完成一件事需要n个步骤,其中,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法 ,…,做第n步有mn种不同的方法,则完成这件事一共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成,这几步是完成这件任务缺一不可的,这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步,步步相关”.加法原理无论自然界还是学习生活中,事物的组成往往是分门别类的,例如解决一件问题的往往不只一类途径,每一类途径往往又包含多种方法,如果要想知道一共有多少种解决方法,就需要用到加法原理.加法原理：一般地,如果完成一件事有k类方法,第一类方法中有m1种不同做法,第二类方法中有m2种不同做法 ,…,第k类方法中有mk种不同的做法,则完成这件事共有N= m1 + m2 +…+mk 种不同的方法.加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类,类类独立”.特殊位置特殊元素优先分析法把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置）,对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。
捆绑法在解决对于某几个元素要求相邻的问题时,先整体考虑,将相邻元素视作一个大元素进行排序,然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法．插空法元素相离（即不相邻）问题,可以先将其他元素排好,然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。
隔板法隔板法就是在n个元素间插入（b-1）个板,即把n个元素分成b组的方法。
【题目】①有5个人排成一排照相,有多少种排法？②5个人排成两排照相,前排2人,后排3人,共有多少种排法？③5个人排成一排照相,如果某人必须站在中间,有多少种排法？④5个人排成一排照相,某人必须站在两头,共有多少种排法【试题来源】（1）（迎春杯决赛）（2）（兴趣杯少年数学邀请赛决赛）【题目】（1）如右图（1）是中国象棋盘,如果双方准备各放一个棋子,要求它们不在同一行,也不在同一列,那么总共有多少种不同的放置方法？（2）在右图（2）中放四个棋子“兵”,使得每一列有一个“兵”,每一行至多有一个“兵”．有多少种不同的放法？【试题来源】【题目】大林和小林共有小人书不超过50本,他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况？【试题来源】【题目】把13拆成三个数的和,请问有几种拆法？【试题来源】【题目】用数码0,1,2,3,4可以组成多少个小于1000的没有重复数字的自然数?【试题来源】【题目】用1～9可以组成______个不含重复数字的三位数：如果再要求这三个数字中任何两个的差不能是1,那么可以组成______个满足要求的三位数．【试题来源】【题目】数3可以用4种方法表示为1个或几个正整数的和,如3,1＋2,2+1,1+1＋1。
小学奥数排列组合教案
小学奥数-排列组合教案一、教学目标1. 让学生理解排列组合的概念，掌握排列组合的基本算法。
2. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
3. 激发学生的学习兴趣，培养学生的耐心和细心。
二、教学内容1. 排列的概念和排列数公式2. 组合的概念和组合数公式3. 排列组合的综合应用三、教学重点与难点1. 教学重点：排列组合的概念，排列数和组合数的计算方法。
2. 教学难点：排列组合的综合应用，解决实际问题。
四、教学方法1. 采用直观演示法，让学生通过实际操作理解排列组合的概念。
2. 采用案例教学法，分析典型例题，引导学生运用排列组合知识解决实际问题。
3. 采用讨论法，鼓励学生提问、交流、探讨，提高学生的逻辑思维能力。
五、教学安排1. 课时：每课时约40分钟2. 教学步骤：引入新课讲解概念举例讲解练习巩固课堂小结3. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
教案一、引入新课1. 老师：同学们，你们平时喜欢做游戏吗？今天我们就来玩一个有趣的游戏，请大家观察这些数字（出示数字卡片），看看你能发现什么规律？2. 学生观察数字卡片，发现规律。
二、讲解概念1. 老师：同学们观察得很仔细，这些数字卡片其实就是我们今天要学习的内容——排列组合。
什么是排列呢？2. 学生回答：排列是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的排列的个数。
3. 老师：很好，那什么是组合呢？4. 学生回答：组合是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的组合的个数。
5. 老师：同学们掌握得很好，我们来学习排列数和组合数的计算方法。
三、举例讲解1. 老师：我们以n=5，m=3为例，来计算排列数和组合数。
2. 学生计算排列数：5×4×3=60，计算组合数：C(5,3)=10。
3. 老师：同学们计算得很好，这些排列和组合在实际生活中有哪些应用呢？四、排列组合在实际生活中的应用1. 老师：比如说，我们有一排5个位置，要从中选出3个位置来安排3个同学，就有60种排列方式，10种组合方式。
六年级上册复杂排列组合
六年级上册复杂排列组合在六年级上册的数学学习中，复杂排列组合可是一个相当有挑战性的知识点。
对于很多同学来说，它就像是一座难以攀登的高山，但只要我们掌握了正确的方法和技巧，就能顺利地翻越它。
什么是排列组合呢？简单来说，排列就是从给定的元素中按照一定的顺序选取若干个元素进行排列；组合则是从给定的元素中选取若干个元素，不考虑其顺序。
比如说，从 5 个不同的水果中选取 3 个排成一排，这就是排列问题；而从 5 个不同的水果中选取 3 个放在篮子里，不考虑顺序，这就是组合问题。
我们先来看排列问题。
假设我们有数字 1、2、3，要从中选取 2 个数字进行排列，那么一共有多少种不同的排列方式呢？我们可以这样想：先选第一个数字，有 3 种选择；再选第二个数字，有 2 种选择。
根据乘法原理，一共有 3×2 ＝ 6 种不同的排列方式，分别是 12、21、13、31、23、32。
如果数字更多，比如从 5 个不同的数字中选取 3 个进行排列，我们就可以用排列数的公式：A(n, m) ＝ n×（n 1)×（n 2)××（n m ＋ 1) 。
这里的 n 表示总数，m 表示选取的个数。
所以从 5 个数字中选取 3 个的排列数就是 A(5, 3) ＝ 5×4×3 ＝ 60 种。
再来看组合问题。
还是用上面 5 个不同水果的例子，从 5 个水果中选取 3 个放在篮子里，不考虑顺序，一共有多少种组合方式呢？我们可以先算出从 5 个水果中选取 3 个的排列数 A(5, 3) ＝ 60 种。
但是因为组合不考虑顺序，比如选取的是苹果、香蕉、橙子和选取的是橙子、香蕉、苹果，在组合中是一样的，而这样重复的情况有3×2×1 ＝6 种。
所以组合数 C(5, 3) ＝ A(5, 3)÷6 ＝ 10 种。
一般地，组合数的公式是 C(n, m) ＝ A(n, m)÷m! 。
小学数学排列组合
小学数学排列组合数学是一门抽象而精确的科学，涵盖了许多不同的分支和概念。
在小学数学中，排列组合是一个重要的主题，它涉及到如何摆放对象和如何选择对象的问题。
掌握排列组合的基本原理不仅可以锻炼学生的逻辑思维和数学能力，还有助于他们在解决实际问题时找到合适的方法。
排列是指对象的摆放顺序不同所得到的不同结果。
在排列中，每个对象都有一个唯一的位置。
考虑一个简单的例子：有3个不同颜色的小球，要将它们摆放在一个盒子里，问有多少种不同的排列方式。
这里可以使用原则来解决问题。
首先，有3个不同的小球可以选择作为第一个位置的小球，然后剩下2个小球可以选择作为第二个位置的小球，最后只剩下一个小球可以选择作为最后一个位置的小球。
根据原则，我们将这个问题的解答为3 × 2 × 1 = 6种。
组合则是指对象的摆放顺序不考虑所得到的结果。
在组合中，每个对象都可以被选择，并且不关心它们的顺序。
继续以上面的例子：现在我们要选择两个小球放在一个篮子里，问有多少种不同的组合方式。
使用原则解决这个问题时，我们可以先选择第一个小球，然后从剩下的小球中选择第二个小球。
根据原则，我们将这个问题的解答为3 × 2= 6种。
排列和组合都是数学中重要的概念，它们在许多实际问题中都有应用。
一个典型的例子是密码锁。
一个4位的密码锁由0到9的数字组成，每个数字只能使用一次。
有多少种不同的密码组合方式？我们可以使用排列的原则解决这个问题。
首先，对于第一个位置，可以选择10个不同的数字中的任何一个。
然后，对于第二个位置，可以从剩下的9个数字中选择任何一个。
依此类推，最后得到的密码组合方式为10 × 9 × 8 × 7 = 5040种。
在解决排列组合问题时，我们还可以使用树状图的方法来帮助我们组织思路。
对于排列问题，我们可以从树的根节点开始，根据每个节点上的可能选择继续向下分支，直到达到叶子节点。
每个叶子节点代表一种可能的排列方式。
六年级上册排列组合
六年级上册排列组合在六年级上册的数学学习中，排列组合是一个重要且有趣的知识点。
它不仅能锻炼我们的逻辑思维能力，还能帮助我们解决生活中许多实际的问题。
排列组合听起来好像很复杂，但其实它就在我们的日常生活中。
比如说，从你的衣柜里挑选出今天要穿的衣服，这就是一个简单的组合问题。
或者在班级里选班长和副班长，这就是一个排列问题。
先来说说排列。
排列就是从给定的元素中，按照一定的顺序选取若干个元素进行排列。
打个比方，假设我们有三个字母 A、B、C，要从中选取两个进行排列，那么会有多少种不同的排列方式呢？我们可以先选 A 开头，后面可以是 B 或者 C，也就是 AB 和 AC 两种；再选 B开头，后面可以是 A 或者 C，就是 BA 和 BC；最后选 C 开头，后面可以是 A 或者 B，即 CA 和 CB。
这样算下来，一共有 6 种不同的排列方式。
在实际解题的时候，我们可以用排列数的公式来计算。
比如从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作 A(n,m) ，它的计算公式是：A(n,m) ＝ n! ／（n m)！。
这里的“！”表示阶乘，比如 5! ＝ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。
再说说组合。
组合就是从给定的元素中，选取若干个元素组成一组，不考虑它们的顺序。
还是用刚才那三个字母 A、B、C 举例，要从中选取两个组成一组，不管顺序，那就有 AB、AC、BC 这 3 种组合方式。
组合数的计算公式是：C(n,m) ＝ n! ／ m! ×（n m)！。
那排列和组合在实际生活中有什么用呢？比如说，学校要组织一场篮球比赛，需要从 10 个同学中选出 5 个同学作为参赛队员，这就是一个组合问题，因为选出的 5 个同学的顺序不重要。
但如果要从这 5 个同学中选出一个队长和一个副队长，这就是排列问题了，因为队长和副队长的顺序是有区别的。
学习排列组合的时候，我们要特别注意区分这两个概念，不要弄混了。
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六年级奥数辅导第十三讲排列、组合问题
一、排列问题。
在实际生活中，我们常常遇到过这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少中排法，这就是排列问题。
在排列过程中，不仅与参加排列的失误有关，而且与各失误所在的先后顺序有关。
排列公式：P m
=(n-1) (n-2)……(n-m+1)
n
【例题分析】
例1、有9面颜色不同的信号旗，任意取出3面旗从上到下挂在旗杆上表示信号，共可以表示多少种不同的信号？
例2、用0，1，2，3，4，5，6，7，8这九个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
例3、7个人并排站成一排，其中甲必须站在中间位置，共有多少种不同的站法？
【巩固提高】
1、某班有一个小图书馆，有不同的文艺书80本，不同的自然科学书120本。
如果最多从这两类书中各借1本，共有多少种借法？
2、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，如果任何两个舞蹈节目不得相邻，有多少种不同的排法？
3、从1，3，5中任取两个数字，从0，2，4中任取两个数字，共可以组成多少个没有重复数字的四位数？其中偶数有多少个？
二、组合问题。
知识导航：
日常生活中有很多的“分组”问题，如把同学分两组进行篮球对抗赛，从全班同学中选几人参加数学竞赛等。
这种“分组”问题，就是我们要讨论的组合问题。
组合问题与所取的元素有关，而与元素之间的先后顺序无关。
组合公式C m
n =p m
n
÷p m
m
【例题分析】
例1、六（1）班要在25名同学中选出4名同学去参加夏令营活动，共有多少种选法？
例2、从6幅水墨画、3幅油画和4幅素描中选取两幅不同类型的画，布置画室。
共有多少种不同的选法？
例3、圆上有12个点，以每3个点为顶点画一个三角形，一共可以画多少个三角形？若以每4个点为顶点画一个四边形，可以画多少个四边形？
【巩固提高】
1、要从9名男生和5名女生中选出6名学生参加数学竞赛，共有多少种选法？
2、某种产品100件，其中2件次品，其余为合格品，从中抽3件产品来检验，
至少有1件次品的情形有多少种？
3、从16个小朋友中任选4个人合影留念，共需拍多少张照片？
综合练习
一、填空。
1、一筐鱼连筐共143千克，第一次卖出一半还少4千克，第二次卖出余下的一半还多5千克，这时鱼连筐中35千克，原来这筐鱼重_________千克。
2、用1-----7这七个数字组成三个两位数和一个一位数，并且使这四个数的和等于100，要求最大的两位数尽可能小，那么这个最大的两位数是________。
3、小明和小李各有一些玻璃球，小李的球的个数比小明少4
1，小明自豪的说：“我把我的6
1给你，我的玻璃球还是比你多5个。
”小明有玻璃球_________个， 小李有玻璃球________个。
4、实验室里有一些盐和水。
（1）请你配置含盐率5%的盐水500克，你需要取盐______克和水_______克。
（2）如果要求你把（1）所配置的500克盐水变成含盐率15%的盐水，需要加盐
______克。
（3）如果要求你配置含盐率12%的盐水5000克，你应该从含盐率5%的盐水中
取________克和15%的盐水中取__________克才能配置。
5、在一根100厘米长的木棍上，从左到右每隔6厘米染一个红点，同时从右往左每5厘米染一个红点，然后沿红点处将木棍逐渐锯开。
问：长度是1厘米的段木棍有_______根。
6、21+41+81+161+321+641+……+n 2
1=（ ） 7、421÷154×631÷631×154÷421×421÷154×631÷631×154÷42
1×……，那么算到第130个数的结果是____________.
二、计算。
三、解决问题。
1、师徒三人合作加工一批零件，5天可以完成，其中徒弟甲完成的工作是徒弟的乙的21，徒弟乙完成的工作是师傅的2
1，如果徒弟甲一人做2天后，徒弟乙和师傅合做余下的工作，还要几天完成？
2、超市里有相同数量的奶糖和水果糖，奶糖10元2千克，水果糖10元1千克。
营业员不小心把两种糖混在一起了，按照10元1.5千克售出，当糖全部卖完后发现比分开来卖少收入60元，超市原来有奶糖和水果糖各多少千克？
3、东风粮食店里原有两桶大豆。
第一桶卖出73，第二桶卖出5
2吨。
这时两桶卖出的总重量比第一桶原有大豆重量的53少7
2吨。
第一桶大豆原有多少吨？第一桶卖出7
3时，这桶大豆还有多少吨？
4、有一家铁路工程公司，修建一段铁路，修建一周后，已修的与剩下的长度比
是4:3，第二周修了7
6千米，这时已修的与剩下的长度比是9:5.修建一周后，还剩下多少千米？这段铁路全长多少千米？。